Corso di laurea in Ingegneria Meccatronica MODI E ... · dell'evoluzione forzata di un sistema...

Università degli Studidi Modena e Reggio Emilia

AutomationRobotics and

SystemCONTROL

Corso di laurea in Ingegneria Meccatronica

MODI E STABILITA’ DEI SISTEMI MODI E STABILITA’ DEI SISTEMI DINAMICI

CA - 04 – ModiStabilitaCesare Fantuzzi ([email protected])

www.automazione.unimore.it

Antitrasformate di Laplace

� La determinazione dell'evoluzione libera e dell'evoluzione forzata di un sistema lineare stazionario si riportano all'antitrasformazione di un rapporto di polinomi in s, cioè di una funzione del tipo

)()(...

)()()( 01

1 sXsb

sXsbsbsb

sXsFsY

m

i

iii

im

mm

m∑

=−

− =+++==

� Si definisce n-m grado relativo della funzione razionale F(s)

� Per la fisica realizzabilita’ del sistema occorre che:n > m n – m > 0

Marzo - Giugno 2011

)()(...

...)()()(

0

0

01

1

1 sXsa

sXasasa

sbsbsbsXsFsY

n

i

ii

in

nn

n

imm

∑

∑

=

=−

−

− =++++++==

2CA-04-ModiStabilità

Antitrasformata di Laplace

F(s)X(s) Y(s) )()( 0 sX

sa

sbsY n

i

m

i

ii

∑

∑==

Dalla Funzione di Trasferimento e’ possibile determinare l’uscita del sistema una volta applicato un determinato ingresso

Marzo - Giugno 2011 CA-04-ModiStabilità

0

sai

ii∑

=

Applichiamo un ingresso impulsivo

1)()()( =→= sXttx δ∑

∑

=

==n

i

ii

m

i

ii

sa

sbsY

0

0)(

3

Grado Relativo

Se: � grado relativo ¸ 1

Frazione strettamente propria: si può scomporre il rapporto di P(s) e Q(s) in unasomma di termini facilmente antitrasformabili, detta somma di fratti semplici.Esempio:

� grado relativo = 0Dividendo i polinomi si ottiene la somma di una costante e di una frazionestrettamente propria, che si possono antitrasformare indipendentemente(l'antitrasformata della costante è la stessa moltiplicata per un impulso di Dirac).Esempio:

Marzo - Giugno 2011 4CA-04-ModiStabilità

Antitrasformata di Laplace � E’ noto che un polinomio di grado n a coefficienti reali ammette n zeri reali o

complessi, cioè l'equazione algebrica ottenuta imponendo l'annullarsi di un polinomio

ammette n radici reali o complesse. Se fra tali radici ve n‘è una complessa, vi è pure la sua coniugata.

� Data una l’equazione

si dice equazione caratteristica relativa alla funzione di trasferimento F(s).Marzo - Giugno 2011 5CA-04-ModiStabilità


� Siano p1, … , pn le sue radici, per cui il polinomio Φ(s) sipuò scrivere nella forma fattorizzata

In particolare, se z1, … ,zm e p1, …,pn sonorispettivamente gli zeri di P(s) e Q(s) (polinomio a rispettivamente gli zeri di P(s) e Q(s) (polinomio a numeratore e a denominatore di F(s)) si ha la forma fattorizzata

in cui con K (=bm) si è indicato un opportuno coefficientereale.


Zeri e Poli

� Si definiscono le costanti complesse:

z1, …, zm zeri di F(s)

p1, …, pn poli di F(s)

� Una funzione razionale è completamente determinata, a meno di un fattore costante K, una volta assegnati i suoizeri e i suoi poli.

Marzo - Giugno 2011 CA-04-ModiStabilità 7


� Esempio

� Esempio



∑∑

= ==n

j

mi

i csb

Riscriviamo in la Funzione di Trasferimento come somma di Frattisemplici (Fattorizzazione)

Residuo, da calcolarsi per soddisfarel’uguaglianza


∑∑

∑

=

=

=

−==

n

j j

j

n

i

ii

i

ps

c

sasY

1

0

0)(

j - esimo polo della Funzione diTrasferimento

9


H(s)

La Fattorizzazione della Funzione di Trasferimento corrisponde allasuddivisione della risposta impulsiva in elementi “semplici”, chiamati modidel Sistema

1

1

ps

c

−

c


X(s) Y(s)2

2

ps

c

−

n

n

ps

c

−

10

Modo del Sistema

tpecps

cL 1

11

11 =

−−

Si definisce Modo di un Sistema l’antitrasfomata (funzione neldominio del tempo) di ciascun fratto semplice in cui vienefattorizzata la Funzione di Trasferimento


ps 1 −

Modo del sistema (Caso in cui la Funzione diTrasferimento ha tutti i poli semplici)

11

Modi di un Sistema

La somma dei modi di un sistema corrisponde all’uscita del Sistemaa cui e’ applicato l’ingresso Impulso di Dirac

tp

tpec 11

)(tδ

Marzo - Giugno 2011 CA-04-ModiStabilitàControlli Automatici

tpec 22

tpn

nec

)(tδ)(ty

12


� Antitrasformazione in caso di poli semplici� Antitrasformazione in caso di poli multipli


Antitrasformate di Laplace – Poli semplici

� Lo sviluppo della F(s) in somma di fratti semplici corrisponde all'espressione

Ki : residui relativi ai vari poli pi

Reali in corrispondenza di poli reali

Complessi coniugati

� I residui si possono ricavare facilmente da

Marzo - Giugno 2011

Complessi coniugati in corrispondenza di poli complessi coniugati



� Riassumendo:

� Complessivamente, si ha:� Complessivamente, si ha:



ESEMPIO� Sia

I residui sono:

e infine, antitrasformando i singoli termini, si ottiene

Marzo - Giugno 2011 0 2 4 6 8 10-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Tempo (sec)

f(t)

f(t)



� Quando si hanno coppie di poli complessi coniugati, nella antitrasformata f(t) sono presenti esponenziali complesse moltiplicate per coefficienti complessi: essi si possono però facilmente ricondurre a prodotti di esponenziali reali per funzioni trigonometriche applicando le formule di Eulero.

σ

j ω

φ

e j φ

Si abbiano infatti i poli complessi coniugati

a cui corrispondono i residui

La somma di fratti semplici ad essi relativa è

Marzo - Giugno 2011

e -j φ



� Posto

mettendo in forma polare i residui (u1+j v1 = M ej φ1) si può scrivere

da cui, antitrasformando, si ottieneda cui, antitrasformando, si ottiene

funzione che, infine, si può porre nella forma



� Sia

Scomponendo in fratti semplici e calcolando i residui si deduce

e pertanto

da cui, antitrasformando,



4

5

6

7f(t)

0 2 4 6 8 10-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Tempo (sec)

f(t)



� Dovendo antitrasformare l'espressione generale

si può ricorrere all'impiego di tabelle, che riportano le antitrasformate di alcuni fratti elementari.Per usare tali tabelle, anzitutto si pone lo sviluppo in fratti semplici nella forma

� in cui:– il primo termine si riferisce ad un eventuale polo nell'origine,– la prima sommatoria ai cosiddetti termini del primo ordine, relativi agli h poli reali non nulli– la seconda sommatoria ai cosiddetti termini del secondo ordine, relativi alle k coppie di poli

complessi coniugati.Marzo - Giugno 2011

ii p

1−=τ


Un Esempio: Risposta al gradinounitario

Risposta al gradino unitario di un sistema elementare del primo ordine.

� Se per esempio:

� Antitrasformando i due termini si ha:

� A parte un guadagno, la risposta è del tipo f(t) = 1 – e-t/τ

� La risposta è dunque caratterizzata dal valore di τ (costante di tempo)



� Per ottenere i termini del primo ordine dai corrispondenti termini della F(s) bastaeseguire opportune posizioni.Infatti in questo caso i poli pi sono reali e quindi:

dove il parametroττττ costante di tempoττττi costante di tempo

caratterizza la risposta al gradino unitario del sistema elementare del primo ordine.

Marzo - Giugno 2011

σ

j ωPiano s

σi = -1/τi

x

Per t = ττττ l’uscitaraggiunge il 63.2% del valore di regime



� Andamento di f(t) = 1 – e-t/τ per diversi valori di τ (=5, 4, 3, 2, 1)

j ωPiano s

0.6

0.7

0.8

0.9

11-exp(-t/ττττ)

63,2%

ττττ = 1

Marzo - Giugno 2011

σσ = -1/τ

0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

x x x

Tempo (sec)

Al diminuire di ττττ, la “velocità”dell’uscita aumenta

ττττ = 5ττττ = 1

xττττ = 5

x



� Per quanto riguarda i termini relativi ai poli complessi coniugati, si ha

che equivale ad un termine del tipo

in cui si è postoin cui si è posto

� I parametri δδδδi coefficiente di smorzamento (0 · δi · 1)ωωωωi pulsazione naturale

caratterizzano la risposta al gradino unitario del sistema elementare del secondo ordine.



� Risposta a gradino di un termine del secondo ordine

1

1.5

Marzo - Giugno 2011

0 2 4 6 8 100

0.5

Tempo (sec)



� Avendo posto lo sviluppo in fratti nella forma

si può eseguire la antitrasformazione impiegando la seguente tabella.


Antitrasformate di Laplace – Poli multipli

� Si suppone che gli n poli della funzione razionale F(s) si possano dividere in h gruppi, ciascuno formato da ri (i = 1, … ,h) poli coincidenti.In altre parole, si suppone che si abbiano h poli diversi pi (i = 1, … , h), ciascunocaratterizzato da un ordine di molteplicità ri ¸ 1. Naturalmente è

� Lo sviluppo in fratti semplici in questo caso è dato da

� in cui le costanti Kil si ricavano mediante la formula



� Facendo uso della proprietà di linearità e della relazione

si può infine ottenere l'antitrasformata come

Anche in questo caso i coefficienti Ki sono complessi coniugati in corrispondenza di poli complessi coniugati, per cui le esponenziali complesse possono essere sostituite con prodotti di esponenziali reali e funzioni trigonometriche, con procedimento analogo a quello seguito nel caso di poli distinti.



� Esempio: Sia

Calcolando i residui si deduce

e pertanto

da cui, antitrasformando



� Si ottiene:

0.14

0.16

0.18f(t)

Marzo - Giugno 2011

0 2 4 6 8 100

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

Tempo (sec)

f(t)



� Nel calcolo di una antitrasformata si ottengono termini del tipo:

A) K, K eσ t, K eσ t sin(ω t + φ) poli semplici

B) K th, K th eσ t, K th eσ t sin(ω t + φ) poli multipli


Antitrasformata di Laplace – Modi di un sistema

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

f(t)

K * exp( σσσσ t)

σσσσ = 0

σσσσ > 0

σσσσ < 0

K eσ t

-3

-2

-1

0

1

2

3

f(t)

K * exp ( σσσσ t) * sin(w t + f)

σσσσ = 0

σσσσ > 0

σσσσ < 0

K eσ t sin(ω t + φ)

Polisemplici

Marzo - Giugno 2011

0 2 4 6 8 100

0 2 4 6 8 10-3

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

2.5

Tempo (sec)

f(t)

K * t * exp( σσσσ t)

σσσσ < 0, j = 0

σσσσ < 0, j = 1

σσσσ < 0, j = 2

K t j eσ t

0 2 4 6 8 10-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Tempo (sec)

f(t)

K * t2 * exp( σσσσ t) * sin(w t + f)

σσσσ < 0, j = 2K t j eσ t sin(ω t + φ)

Polimultipli



Risultato fondamentale: � l'antitrasformata di una funzione razionale fratta rimane limitata se e solo se la

funzione da antitrasformare– non presenta alcun polo a parte reale positiva e– gli eventuali poli a parte reale nulla sono semplici,

diverge in caso contrario.

� I poli che caratterizzano la trasformata della risposta di un sistema dinamico lineare stazionario a un segnale di ingresso la cui trasformata di Laplace sia una lineare stazionario a un segnale di ingresso la cui trasformata di Laplace sia una funzione razionale fratta (come l'impulso di Dirac, il gradino, la sinusoide) sono quelli della funzione di trasferimento, più quelli relativi al segnale di ingresso.


Convergenza dei Modi

� Come si è visto, la posizione dei poli della funzione di trasferimento (i poli del sistema) rispetto all'asse immaginario influisce sulla proprietà di convergenza del modo corrispondente.

� Definizione:– Un modo m(t) si dice convergente a zero se:– Un modo m(t) si dice convergente a zero se:

– Un modo m(t) si dice limitato se esiste una costante M:

– Un modo m(t) si dice divergente all’infinito se:

Marzo - Giugno 2011

0)(lim =∞→ tmt

∞<=∞→ Mtmt |)(|lim

∞=∞→ |)(|lim tmt


Proprieta’ di convergenzadei modi

� In base alla relazione che esiste tra ciascun polo del sistema e il corrispondente modo, possiamo affermareche:– Se un polo ha parte reale negativa, il corrispondente modo

e’ convergenze a zero.– Se un polo semplice ha parte reale nulla, il corrispondente– Se un polo semplice ha parte reale nulla, il corrispondente

modo e’ limitato– Se un polo ha parte reale positiva, oppure ha parte reale

nulla ma e’ di molteplicita’ maggiore di uno, ilcorrispondente modo e’ divergente.


Definizione di Stabilita’ di un Sistema

� Sia dato un sistema in quiete, cioe’ un sistema per cui l’uscita y(t) rimarrebbe costante in presenza di ingresso costante (o nullo).

� Si sottoponga al sistema un ingresso impulsivo (una approssimazionedell’impulso di Dirac).

� Definizione:– Il sistema si dice asintoticamente stabile se:

0)(lim =ty– Il sistema si dice semplicemente stabile se esiste M:

– Il sistema si dice instabile se:


0)(lim =∞→ tyt

∞<=∞→ Mtyt |)(|lim

∞=∞→ |)(|lim tyt

37

Proprieta’ di Stabilita’ di un Sistema

� Siccome la riposta di un sistema all’ingresso impulsivo e’ data dalla somma dei modi del sistema, il cui carattere di convergenza e’ a sua volta dipendente dal polo corrispondente:– Un sistema e’ asintoticamente stabile se tutti i poli hanno

parte reale negativa.parte reale negativa.– Un sistema e’ semplicemente stabile se tutti i poli hanno

parte reale negativa e se esistono poli semplici a parte reale nulla.

– Un sistema e’ instabile se esiste anche un solo polo a parte reale positiva, oppure un polo a parte reale nulla dimolteplicita’ maggiore di uno.


Sommario

� Abbiamo definito due concetti:– I modi di un sistema, come antitrasformata di Laplace della

risposta libera della Funzione di Trasferimento.– Il carattere di convergenza dei modi, e quindi la stabilità

del sistema fisico descritto dal modello matematico.

� Riferimenti al libro di testo:� Riferimenti al libro di testo:– La stabilità in termini generali è trattata nel capitolo 2.6, da

pag. 41.– I modi del sistema (trattati con il formalismo nello spazio

degli stati e autovalori) sono trattati nel capitolo 3.2.5, da pag. 56.

– La stabilità dei sistemi dinamici lineari è trattata nel capitolo 3.4, da pag. 63.


Assignment 4.1

� Calcolare la antitrasformata di Laplace delle seguenti funzioni nella variabile complessa s:


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MODI E STABILITA’. FINE


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