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Complementi di Gasdinamica – T Astarita – Modulo 6 del 10/11/2009
Corso diGasdinamica II
Tommaso [email protected]
www.docenti.unina.it
Complementi di Gasdinamica – T Astarita 2
Potenziale
Equazioni di bilancio in forma locale:
In forma conservativa diventano:
0=⋅∇+ VDtD ρρ
dpDtVD τρ ⋅∇=∇+
( )VpVTDt
DEd
t −⋅+∇⋅∇= τλρ
( ) ( )UVkV sd ⋅∇+∇= 02µτ
2
2VuEt +=
( ) 0=⋅∇+ Vt ρρ
( ) ( ) dt pVVV τρρ ⋅∇=∇+⋅∇+
( ) ( ) ( )VpVTEVE dttt −⋅+∇⋅∇=⋅∇+ τλρρ
tt ∂∂= ρρ
ρρρ ∇⋅+∂∂= V
tDtD
Complementi di Gasdinamica – T Astarita 3
Potenziale
Bilancio dell’entropia:
( )T
TTDt
Ds 21 φλρ +∇⋅∇= ( )sd V 0
2 : ∇= τφ
( )
+∇+
∇⋅∇= 221 φλλρ
TT
TTT
DtDs
Complementi di Gasdinamica – T Astarita 4
Potenziale
Trascurando i flussi dissipativi e in coordinate cartesiane le equazionipossono essere messe nella forma:
=
tE
w
v
u
Q
ρρρρρ
0=∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂
zG
yF
xE
t
Q
+
+=
puuE
uw
uv
pu
u
E
tρρρ
ρρ2
+
+=
pvvE
vw
pv
uv
v
F
tρρ
ρρρ
2
++
=
pwwE
pw
vw
uw
w
G
tρρ
ρρρ
2
Complementi di Gasdinamica – T Astarita 5
Potenziale
Nell’ipotesi aggiuntiva di moto stazionario per il teorema di Crocco, a parteper casi particolari (moto alla Beltrami), il moto è anche irrotazionale.
L’equazione di bilancio della quantità di moto diventa:
0=∇+∇⋅ pVVρ
kyu
xv
jxw
zu
izv
yw
x
VV k
i
jijk
∂∂−
∂∂+
∂∂−
∂∂+
∂∂−
∂∂=
∂∂
=∧∇ σε
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 00
00
00
=+++→=+++
=+++→=+++
=+++→=+++
zzzzzzyx
yyyyyzyx
xxxxxzyx
pwwvvuupwwvwuw
pwwvvuupwvvvuv
pwwvvuupwuvuuu
ρρρρρρ
===
→=∧∇
yx
xz
zy
uv
wu
vw
V 0
Complementi di Gasdinamica – T Astarita 6
Potenziale
Luigi Crocco Eugenio BeltramiPalermo – 1909 -1986 Cremona - 1835-1899
Complementi di Gasdinamica – T Astarita 7
Potenziale
Moltiplicando la prima per dx la seconda per dy e la terza per dz esommando si ha:
( )
( )
( ) 022
022
022
2222
2222
2222
=+
∂∂=+
++∂∂=+++
=+
∂∂=+
++∂∂=+++
=+
∂∂=+
++∂∂=+++
zzzzyx
yyyzyx
xxxxxx
pV
zp
wvuz
pwwvwuw
pV
yp
wvuy
pwvvvuv
pV
xp
wvux
pwwvvuu
ρρρ
ρρρ
ρρρ
dpdzpdypdxp
Vddz
Vz
dyV
ydx
Vx
zyx −=−−−=
=
=
∂∂+
∂∂+
∂∂
2222
2222
ρρρρ
ρρ pV
dpV
d∇−=
∇→−=
22
22
Complementi di Gasdinamica – T Astarita 8
Potenziale
Lo stesso risultato si può ottenere un termini vettoriali dall’identità:
( ) ( )
∇−∇⋅=∧∧∇
2
2VVVVV 0=∇+∇⋅ pVVρ
( )ρpVV
VVVV∇−=
∇=
∇+∧∧∇=∇⋅
22
22
Complementi di Gasdinamica – T Astarita 9
Potenziale
Ma:Supponiamo k=1 il primo membro è diverso da 0 solo se i≠j, l≠m e i≠1, j≠1,l≠1, m≠1. Quindi:
( ) mli
jklmkijml
i
jklmijkllk
i
jijk V
x
VV
x
VV
x
VVV σεεσεεσσε
∂∂
=∂∂
=∧∂∂
=∧∧∇
jlimjmilklmkij δδδδεε −=
( )nepermutazioljmi
mjli
jlim
jmil
−→==→==
δδδδ
( )
( ) ( )
∇−∇⋅=
∂∂
−∂∂
=∂∂
−
=∂∂
=∂∂
=∧∂∂
=∧∧∇
2
2VVVV
x
VV
x
VV
x
V
Vx
VV
x
VV
x
VVV
iji
jji
i
jml
i
jjlimjmil
mli
jklmkijml
i
jklmijkllk
i
jijk
σσσδδδδ
σεεσεεσσε
Complementi di Gasdinamica – T Astarita 10
Potenziale
Il potenziale ϕ è tale che:
Se è possibile definire una funzione che soddisfa queste condizioni il motosi dice a potenziale. Per flussi incompressibili si ha:
Equazione di Laplace. Dal teorema di Schwartz:
ϕ∇=Vzyx wvu ϕϕϕ ===
( ) 00 2 =∇=∇⋅∇→=⋅∇ ϕϕV
0=++ zzyyxx ϕϕϕ
0=∧∇→
=→==→==→=
V
vw
wu
vu
zyzyyz
xzzxxz
xyyxxy
ϕϕϕϕϕϕ
Complementi di Gasdinamica – T Astarita 11
Potenziale
Pierre-Simon, Marchese di Laplace (Beaumont-en-Auge, Normandia, 23marzo 1749 - Parigi, 5 marzo 1827)
Complementi di Gasdinamica – T Astarita 12
Potenziale
In generale si può applicare la decomposizione di Helmholtz:
Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz (August 31, 1821 – September8, 1894)
aV ∧∇+∇= ϕ
Complementi di Gasdinamica – T Astarita 13
Potenziale
Dall’equazione della continuità si ha:( ) 0=⋅∇ Vρ
( ) ( ) ( ) 0=∂∂+
∂∂+
∂∂
wz
vy
ux
ρρρ
( ) ( ) ( ) 0=∂∂+
∂∂+
∂∂
zyx zyxρϕρϕρϕ
( ) ( ) 01 =+++++ zzyyxxzzyyxx ϕϕϕρϕρϕρϕρ
Complementi di Gasdinamica – T Astarita 14
Potenziale
Nelle stesse ipotesi si ha:
Che sostituite nella (1) danno:
++−=
−==22
1222
2
2
2zyxd
aV
da
dpdpd
dϕϕϕρρρρ
( )
( )
( )zzzyzyxzxz
yzzyyyxyxy
xzzxyyxxxx
a
a
a
ϕϕϕϕϕϕρρ
ϕϕϕϕϕϕρρ
ϕϕϕϕϕϕρρ
++−=
++−=
++−=
2
2
2
( )
( ) ( ) 011
1
22
2
=++−++−
+++−++
zzzyzyxzxzyzzyyyxyxy
xzzxyyxxxxzzyyxx
aa
a
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
( ) ( ) 01 =+++++ zzyyxxzzyyxx ϕϕϕρϕρϕρϕρ
Complementi di Gasdinamica – T Astarita 15
Potenziale
Raggruppando:
Per si ricade nelle ipotesi di moto incompressibile e l’equazione siriduce a quella di Laplace.
( )
( ) ( ) 011
1
22
2
=++−++−
+++−++
zzzyzyxzxzyzzyyyxyxy
xzzxyyxxxxzzyyxx
aa
a
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
( ) ( ) ( ) 0212
2222
2=++−++−
+++
xzxzyzzyxyyxzzzyyyxxx
zzyyxx
aaϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕ
∞→2a
( )222222
2
21
21
2 zyxooopp
aVRTV
TccR
RTa ϕϕϕγγγγγ ++−−=−−=
−==
Complementi di Gasdinamica – T Astarita 16
Potenziale
La (2) diventa:
Questa espressione è una equazione differenziale alle derivate parzialilineare di non facile soluzione. Ha senso riscrivere questa equazione intermini vettoriali:
( ) ( ) ( ) 0212
2222
2=++−++−
+++
xzxzyzzyxyyxzzzyyyxxx
zzyyxx
aaϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕ
( )22222
21
zyxoaa ϕϕϕγ ++−−=
( )( ) ( )
( ) ( ) 02
21
3222
2222
=++−++−
+++
++−−
xzxzyzzyxyyxzzzyyyxxx
zzyyxxzyxoa
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕγ
( ) ( ) 02 =∇+∇⋅∇=∇⋅∇=⋅∇ ϕρϕρϕρρV
Complementi di Gasdinamica – T Astarita 17
Potenziale
Che essendo generale può essere applicata in qualunque sistema diriferimento.
( ) ( ) 02 =∇+∇⋅∇=∇⋅∇=⋅∇ ϕρϕρϕρρV
( )ϕϕρρρ ∇⋅∇∇−=
∇−=∇=∇
2
2
22 221
aV
ap
a
( ) ( )ϕϕγϕϕϕγ ∇⋅∇−−=++−−=2
12
1 222222ozyxo aaa
( ) 02
22
=∇+∇⋅∇⋅∇∇− ϕρϕϕϕρa
( ) ( ) ( ) ϕϕϕϕϕϕγ ∇⋅∇⋅∇∇=∇
∇⋅∇−− 22
21
24 oa
ρpV ∇−=
∇
2
2
Complementi di Gasdinamica – T Astarita 18
Potenziale
Complementi di Gasdinamica – T Astarita 19
Potenziale
Complementi di Gasdinamica – T Astarita 20
Potenziale
Complementi di Gasdinamica – T Astarita 21
Teoria delle caratteristiche
La (3) e, in generale la (4), per moto bidimensionale possono essere messenella forma:
Che è una equazione differenziale quasi lineare (le costanti possonodipendere anche dalle derivate prime di ϕ) alle derivate parziali del secondoordine.
( ) 4321 25 cccc yyxyxx =++ ϕϕϕ
Complementi di Gasdinamica – T Astarita 22
Teoria delle caratteristiche
La teoria delle caratteristiche può essere utilizzata per la soluzione diequazioni alle derivate parziali di tipo iperbolico. Come si vedrà in seguitenella gasdinamica l’equazione del potenziale diventa iperbolica quando ilmoto è supersonico. In questo caso è possibile definire delle proprietàdelle curve caratteristiche:
� Lungo una curva caratteristica si propagano i piccoli disturbi alla velocità delsuono locale.
Dovrebbe essere noto che in moto subsonico i piccoli disturbi possonoraggiungere tutti i punti del dominio d’interesse. Mentre in regimesupersonico i piccoli disturbi non essendo in grado di risalire la correntepossono raggiungere solo alcuni punti del dominio d’interesse.
Complementi di Gasdinamica – T Astarita 23
Teoria delle caratteristiche
� Attraverso una curva caratteristica le proprietà del flusso sono continue, anchese le derivate possono essere discontinue, mentre lungo una curvacaratteristica le derivate sono indeterminate.
La prima caratteristica è evidente in un’espansione alla Prandtl e Meyerinfatti, in questo caso le curve caratteristiche sono le rette che partono dallospigolo e attraverso queste curve la funzione è continua ma le sue derivateno. Infatti prima o dopo la curva la funzione è costante e, quindi la derivata ènulla, mentre sulla curva caratteristica deve essere diversa da zero perconsentire la variazione infinitesima.
Complementi di Gasdinamica – T Astarita 24
Teoria delle caratteristiche
La seconda caratteristica può essere verificata con un esempio:
Il differenziale di u può essere espresso come:
Queste due equazioni possono essere viste come due equazioni nelle dueincognite ux e uy:
Che risolta con la regola di Cramer da:
cbuau yx =+
dyudxudu yx +=
=
du
cu
u
dydx
ba
y
x
ab
dxdy
dxdu
ab
dxdy
ac
bdxadybducdy
dydx
ba
dydu
bc
ux
−
−=
−−=
=
Complementi di Gasdinamica – T Astarita 25
Teoria delle caratteristiche
Quando le derivate ux e uy risultano indeterminate. Le curve di
questo tipo sono evidentemente particolari e vengono chiamate curvecaratteristiche. Se imponiamo che anche il numeratore sia nullo il sistemaè indeterminato. Per risolvere il problema si devono risolvere due equazionidifferenziali ordinarie:
=
du
cu
u
dydx
ba
y
x
ab
dxdy
ac
dxdu
bdxadycdxadu
dydx
ba
dudx
ca
uy
−
−=
−−=
=
ab
dxdy =
ac
dxdu =
ab
dxdy =
Complementi di Gasdinamica – T Astarita 26
Teoria delle caratteristiche
� Lungo una curva caratteristica l’equazione differenziale alle derivate parziali puòessere trasformata in una equazione differenziale ordinaria.
Che confrontata con la derivata totale lungo una curva caratteristica:
ac
ab
uudxdy
uudxdu
yxyx =+=+=
cbuau yx =+ac
uab
u yx =+
ab
dxdy =
ac
dxdu =
Complementi di Gasdinamica – T Astarita 27
Teoria delle caratteristiche
Si supponga di avere la seguente equazione differenziale ordinaria:
La soluzione generale è:
Infatti derivando si ha:
Con un problema di valori iniziali (problema di Cauchy) è facile trovare ilvalore delle costanti e la soluzione è unica. Ad esempio se supponiamo cheil punto iniziale sia per x=0 si ha:
0=+′′ zz
( ) ( )xcoscxsincz 21 +=
( ) ( )( ) ( )xcoscxsincz
xsincxcoscz
21
21
−−=′′−=′
( )( ) 1
2
0
0
cz
cz
=′=
Complementi di Gasdinamica – T Astarita 28
Teoria delle caratteristiche
Fissando i valori delle due costanti la soluzione è unica.
( ) ( )xcoscxsincz 21 += ( )( ) 1
2
0
0
cz
cz
=′=
Complementi di Gasdinamica – T Astarita 29
Teoria delle caratteristiche
Supponendo che: ( ) ( )xcoscxsincz 21 +=( )( ) 10
00
cz
z
=′=
Complementi di Gasdinamica – T Astarita 30
Teoria delle caratteristiche
Supponendo che: ( ) ( )xcoscxsincz 21 +=( )( ) 00
0 2
=′=
z
cz
Complementi di Gasdinamica – T Astarita 31
Teoria delle caratteristiche
Per un problema ai limiti invece la situazione è più complessa infatti se lecondizioni sono imposte per x=0 e per x=ξ:
È facile capire che per certi valori di ξ non è garantita l’esistenza dellasoluzione. Ad esempio per.
ξ=2πNon è possibile assegnare il valore della funzione a piacere. Ma perl’esistenza della soluzione è necessario che:
Ed in questo caso esistono infinite soluzioni possibili.
( ) ( )xcoscxsincz 21 +=( )( ) ( ) ( )ξξξ coscsincz
cz
21
20
+==
( ) ( )ξzz =0
Complementi di Gasdinamica – T Astarita 32
Teoria delle caratteristiche
( ) ( )xcoscxsincz 21 +=( )( ) 2
2
2
0
cz
cz
==
π
Complementi di Gasdinamica – T Astarita 33
Teoria delle caratteristiche
Nel caso generale di una equazione del secondo ordine tipo quella delpotenziale si possono utilizzare vari metodi per la determinazione delleequazioni delle curve caratteristiche e delle condizioni di compatibilità.Metodo 1 – Metodo delle derivate indeterminate.È la generalizzazione del metodo già visto:
Le tre equazioni messe in forma matriciale diventano:
Ovvero in forma matriciale:
( ) 4321 25 cccc yyxyxx =++ ϕϕϕ
( )( ) dydxd
dydxd
yyxyy
xyxxx
ϕϕϕϕϕϕ
+=+=
( )( )
=
4321 2
0
0
c
d
d
ccc
dydx
dydx
y
x
yy
xy
xx
ϕϕ
ϕϕϕ
cbA =⋅
=
321 2
0
0
ccc
dydx
dydx
A
=
yy
xy
xx
b
ϕϕϕ ( )
( )
=
4c
d
d
c y
x
ϕϕ
Complementi di Gasdinamica – T Astarita 34
Teoria delle caratteristiche
Questo sistema di equazioni è indeterminato quando il determinante dellamatrice A è nullo:
Dividendo per dx2 si ha:
Che risolta da le equazioni delle due famiglie di curve caratteristiche:
Se il discriminante fosse negativo le equazioni delle curvecaratteristiche sarebbero complesse.
( ) ( ) 0202 12
232
123 =+−=−−−= cdydxdyccdxdycdydycdxcdxA
cbA =⋅
=
321 2
0
0
ccc
dydx
dydx
A
=
yy
xy
xx
b
ϕϕϕ ( )
( )
=
4c
d
d
c y
x
ϕϕ
02 321
2
=+−
ccdxdy
cdxdy
1
31222
c
cccc
dxdy −±
=
3122 ccc −
Complementi di Gasdinamica – T Astarita 35
Teoria delle caratteristiche
<=>
−ellittica Equazione0
parabolica Equazione0
iperbolica Equazione0
3122 ccc
Complementi di Gasdinamica – T Astarita 36
Equazioni iperboliche
� Equazione delle onde;� Moto supersonico;� Moto non stazionario inviscido.
yytt c ϕϕ 2= cc
dtdy
dxdy
cc
c
c
±=+±==
−===
10
0
12
23
2
1
1
31222
c
cccc
dxdy −±
=
( ) 4321 25 cccc yyxyxx =++ ϕϕϕ
Complementi di Gasdinamica – T Astarita 37
Equazioni iperboliche
Complementi di Gasdinamica – T Astarita 38
Equazioni iperboliche
Complementi di Gasdinamica – T Astarita 39
Equazioni paraboliche
� Equazione del calore;� Equazioni dello strato limite.
xxt αϕϕ =0
0
0
0
3
2
1
===
===
α
α
dxdt
dxdy
c
c
c
1
31222
c
cccc
dxdy −±
=
( ) 4321 25 cccc yyxyxx =++ ϕϕϕ
Complementi di Gasdinamica – T Astarita 40
Equazioni paraboliche
Complementi di Gasdinamica – T Astarita 41
Equazioni paraboliche
Complementi di Gasdinamica – T Astarita 42
Equazioni ellittiche
� Equazione di Laplace;� Moto a potenziale subsonico.
0=+ yyxx ϕϕ
Complementi di Gasdinamica – T Astarita 43
Equazioni ellittiche