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22
Complementi di Gasdinamica – T Astarita – Modulo 6 del 10/11/2009 Corso di Gasdinamica II Tommaso Astarita [email protected] www.docenti.unina.it Complementi di Gasdinamica – T Astarita 2 Potenziale Equazioni di bilancio in forma locale: In forma conservativa diventano: 0 = + V Dt D ρ ρ d p Dt V D τ ρ = + ( V p V T Dt DE d t - + = τ λ ρ ( ( 29 U V k V s d + = 0 2μ τ 2 2 V u E t + = ( 0 = V t ρ ρ ( 29 ( d t p V V V τ ρ ρ = + + ( 29 ( ( V p V T E V E d t t t - + = + τ λ ρ ρ t t = ρ ρ ρ ρ ρ + = V t Dt D

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Complementi di Gasdinamica – T Astarita – Modulo 6 del 10/11/2009

Corso diGasdinamica II

Tommaso [email protected]

www.docenti.unina.it

Complementi di Gasdinamica – T Astarita 2

Potenziale

Equazioni di bilancio in forma locale:

In forma conservativa diventano:

0=⋅∇+ VDtD ρρ

dpDtVD τρ ⋅∇=∇+

( )VpVTDt

DEd

t −⋅+∇⋅∇= τλρ

( ) ( )UVkV sd ⋅∇+∇= 02µτ

2

2VuEt +=

( ) 0=⋅∇+ Vt ρρ

( ) ( ) dt pVVV τρρ ⋅∇=∇+⋅∇+

( ) ( ) ( )VpVTEVE dttt −⋅+∇⋅∇=⋅∇+ τλρρ

tt ∂∂= ρρ

ρρρ ∇⋅+∂∂= V

tDtD

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Complementi di Gasdinamica – T Astarita 3

Potenziale

Bilancio dell’entropia:

( )T

TTDt

Ds 21 φλρ +∇⋅∇= ( )sd V 0

2 : ∇= τφ

( )

+∇+

∇⋅∇= 221 φλλρ

TT

TTT

DtDs

Complementi di Gasdinamica – T Astarita 4

Potenziale

Trascurando i flussi dissipativi e in coordinate cartesiane le equazionipossono essere messe nella forma:

=

tE

w

v

u

Q

ρρρρρ

0=∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂

zG

yF

xE

t

Q

+

+=

puuE

uw

uv

pu

u

E

tρρρ

ρρ2

+

+=

pvvE

vw

pv

uv

v

F

tρρ

ρρρ

2

++

=

pwwE

pw

vw

uw

w

G

tρρ

ρρρ

2

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Complementi di Gasdinamica – T Astarita 5

Potenziale

Nell’ipotesi aggiuntiva di moto stazionario per il teorema di Crocco, a parteper casi particolari (moto alla Beltrami), il moto è anche irrotazionale.

L’equazione di bilancio della quantità di moto diventa:

0=∇+∇⋅ pVVρ

kyu

xv

jxw

zu

izv

yw

x

VV k

i

jijk

∂∂−

∂∂+

∂∂−

∂∂+

∂∂−

∂∂=

∂∂

=∧∇ σε

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 00

00

00

=+++→=+++

=+++→=+++

=+++→=+++

zzzzzzyx

yyyyyzyx

xxxxxzyx

pwwvvuupwwvwuw

pwwvvuupwvvvuv

pwwvvuupwuvuuu

ρρρρρρ

===

→=∧∇

yx

xz

zy

uv

wu

vw

V 0

Complementi di Gasdinamica – T Astarita 6

Potenziale

Luigi Crocco Eugenio BeltramiPalermo – 1909 -1986 Cremona - 1835-1899

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Complementi di Gasdinamica – T Astarita 7

Potenziale

Moltiplicando la prima per dx la seconda per dy e la terza per dz esommando si ha:

( )

( )

( ) 022

022

022

2222

2222

2222

=+

∂∂=+

++∂∂=+++

=+

∂∂=+

++∂∂=+++

=+

∂∂=+

++∂∂=+++

zzzzyx

yyyzyx

xxxxxx

pV

zp

wvuz

pwwvwuw

pV

yp

wvuy

pwvvvuv

pV

xp

wvux

pwwvvuu

ρρρ

ρρρ

ρρρ

dpdzpdypdxp

Vddz

Vz

dyV

ydx

Vx

zyx −=−−−=

=

=

∂∂+

∂∂+

∂∂

2222

2222

ρρρρ

ρρ pV

dpV

d∇−=

∇→−=

22

22

Complementi di Gasdinamica – T Astarita 8

Potenziale

Lo stesso risultato si può ottenere un termini vettoriali dall’identità:

( ) ( )

∇−∇⋅=∧∧∇

2

2VVVVV 0=∇+∇⋅ pVVρ

( )ρpVV

VVVV∇−=

∇=

∇+∧∧∇=∇⋅

22

22

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Complementi di Gasdinamica – T Astarita 9

Potenziale

Ma:Supponiamo k=1 il primo membro è diverso da 0 solo se i≠j, l≠m e i≠1, j≠1,l≠1, m≠1. Quindi:

( ) mli

jklmkijml

i

jklmijkllk

i

jijk V

x

VV

x

VV

x

VVV σεεσεεσσε

∂∂

=∂∂

=∧∂∂

=∧∧∇

jlimjmilklmkij δδδδεε −=

( )nepermutazioljmi

mjli

jlim

jmil

−→==→==

δδδδ

( )

( ) ( )

∇−∇⋅=

∂∂

−∂∂

=∂∂

=∂∂

=∂∂

=∧∂∂

=∧∧∇

2

2VVVV

x

VV

x

VV

x

V

Vx

VV

x

VV

x

VVV

iji

jji

i

jml

i

jjlimjmil

mli

jklmkijml

i

jklmijkllk

i

jijk

σσσδδδδ

σεεσεεσσε

Complementi di Gasdinamica – T Astarita 10

Potenziale

Il potenziale ϕ è tale che:

Se è possibile definire una funzione che soddisfa queste condizioni il motosi dice a potenziale. Per flussi incompressibili si ha:

Equazione di Laplace. Dal teorema di Schwartz:

ϕ∇=Vzyx wvu ϕϕϕ ===

( ) 00 2 =∇=∇⋅∇→=⋅∇ ϕϕV

0=++ zzyyxx ϕϕϕ

0=∧∇→

=→==→==→=

V

vw

wu

vu

zyzyyz

xzzxxz

xyyxxy

ϕϕϕϕϕϕ

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Complementi di Gasdinamica – T Astarita 11

Potenziale

Pierre-Simon, Marchese di Laplace (Beaumont-en-Auge, Normandia, 23marzo 1749 - Parigi, 5 marzo 1827)

Complementi di Gasdinamica – T Astarita 12

Potenziale

In generale si può applicare la decomposizione di Helmholtz:

Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz (August 31, 1821 – September8, 1894)

aV ∧∇+∇= ϕ

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Complementi di Gasdinamica – T Astarita 13

Potenziale

Dall’equazione della continuità si ha:( ) 0=⋅∇ Vρ

( ) ( ) ( ) 0=∂∂+

∂∂+

∂∂

wz

vy

ux

ρρρ

( ) ( ) ( ) 0=∂∂+

∂∂+

∂∂

zyx zyxρϕρϕρϕ

( ) ( ) 01 =+++++ zzyyxxzzyyxx ϕϕϕρϕρϕρϕρ

Complementi di Gasdinamica – T Astarita 14

Potenziale

Nelle stesse ipotesi si ha:

Che sostituite nella (1) danno:

++−=

−==22

1222

2

2

2zyxd

aV

da

dpdpd

dϕϕϕρρρρ

( )

( )

( )zzzyzyxzxz

yzzyyyxyxy

xzzxyyxxxx

a

a

a

ϕϕϕϕϕϕρρ

ϕϕϕϕϕϕρρ

ϕϕϕϕϕϕρρ

++−=

++−=

++−=

2

2

2

( )

( ) ( ) 011

1

22

2

=++−++−

+++−++

zzzyzyxzxzyzzyyyxyxy

xzzxyyxxxxzzyyxx

aa

a

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

( ) ( ) 01 =+++++ zzyyxxzzyyxx ϕϕϕρϕρϕρϕρ

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Complementi di Gasdinamica – T Astarita 15

Potenziale

Raggruppando:

Per si ricade nelle ipotesi di moto incompressibile e l’equazione siriduce a quella di Laplace.

( )

( ) ( ) 011

1

22

2

=++−++−

+++−++

zzzyzyxzxzyzzyyyxyxy

xzzxyyxxxxzzyyxx

aa

a

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

( ) ( ) ( ) 0212

2222

2=++−++−

+++

xzxzyzzyxyyxzzzyyyxxx

zzyyxx

aaϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕ

∞→2a

( )222222

2

21

21

2 zyxooopp

aVRTV

TccR

RTa ϕϕϕγγγγγ ++−−=−−=

−==

Complementi di Gasdinamica – T Astarita 16

Potenziale

La (2) diventa:

Questa espressione è una equazione differenziale alle derivate parzialilineare di non facile soluzione. Ha senso riscrivere questa equazione intermini vettoriali:

( ) ( ) ( ) 0212

2222

2=++−++−

+++

xzxzyzzyxyyxzzzyyyxxx

zzyyxx

aaϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕ

( )22222

21

zyxoaa ϕϕϕγ ++−−=

( )( ) ( )

( ) ( ) 02

21

3222

2222

=++−++−

+++

++−−

xzxzyzzyxyyxzzzyyyxxx

zzyyxxzyxoa

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕγ

( ) ( ) 02 =∇+∇⋅∇=∇⋅∇=⋅∇ ϕρϕρϕρρV

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Complementi di Gasdinamica – T Astarita 17

Potenziale

Che essendo generale può essere applicata in qualunque sistema diriferimento.

( ) ( ) 02 =∇+∇⋅∇=∇⋅∇=⋅∇ ϕρϕρϕρρV

( )ϕϕρρρ ∇⋅∇∇−=

∇−=∇=∇

2

2

22 221

aV

ap

a

( ) ( )ϕϕγϕϕϕγ ∇⋅∇−−=++−−=2

12

1 222222ozyxo aaa

( ) 02

22

=∇+∇⋅∇⋅∇∇− ϕρϕϕϕρa

( ) ( ) ( ) ϕϕϕϕϕϕγ ∇⋅∇⋅∇∇=∇

∇⋅∇−− 22

21

24 oa

ρpV ∇−=

2

2

Complementi di Gasdinamica – T Astarita 18

Potenziale

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Complementi di Gasdinamica – T Astarita 19

Potenziale

Complementi di Gasdinamica – T Astarita 20

Potenziale

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Complementi di Gasdinamica – T Astarita 21

Teoria delle caratteristiche

La (3) e, in generale la (4), per moto bidimensionale possono essere messenella forma:

Che è una equazione differenziale quasi lineare (le costanti possonodipendere anche dalle derivate prime di ϕ) alle derivate parziali del secondoordine.

( ) 4321 25 cccc yyxyxx =++ ϕϕϕ

Complementi di Gasdinamica – T Astarita 22

Teoria delle caratteristiche

La teoria delle caratteristiche può essere utilizzata per la soluzione diequazioni alle derivate parziali di tipo iperbolico. Come si vedrà in seguitenella gasdinamica l’equazione del potenziale diventa iperbolica quando ilmoto è supersonico. In questo caso è possibile definire delle proprietàdelle curve caratteristiche:

� Lungo una curva caratteristica si propagano i piccoli disturbi alla velocità delsuono locale.

Dovrebbe essere noto che in moto subsonico i piccoli disturbi possonoraggiungere tutti i punti del dominio d’interesse. Mentre in regimesupersonico i piccoli disturbi non essendo in grado di risalire la correntepossono raggiungere solo alcuni punti del dominio d’interesse.

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Complementi di Gasdinamica – T Astarita 23

Teoria delle caratteristiche

� Attraverso una curva caratteristica le proprietà del flusso sono continue, anchese le derivate possono essere discontinue, mentre lungo una curvacaratteristica le derivate sono indeterminate.

La prima caratteristica è evidente in un’espansione alla Prandtl e Meyerinfatti, in questo caso le curve caratteristiche sono le rette che partono dallospigolo e attraverso queste curve la funzione è continua ma le sue derivateno. Infatti prima o dopo la curva la funzione è costante e, quindi la derivata ènulla, mentre sulla curva caratteristica deve essere diversa da zero perconsentire la variazione infinitesima.

Complementi di Gasdinamica – T Astarita 24

Teoria delle caratteristiche

La seconda caratteristica può essere verificata con un esempio:

Il differenziale di u può essere espresso come:

Queste due equazioni possono essere viste come due equazioni nelle dueincognite ux e uy:

Che risolta con la regola di Cramer da:

cbuau yx =+

dyudxudu yx +=

=

du

cu

u

dydx

ba

y

x

ab

dxdy

dxdu

ab

dxdy

ac

bdxadybducdy

dydx

ba

dydu

bc

ux

−=

−−=

=

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Complementi di Gasdinamica – T Astarita 25

Teoria delle caratteristiche

Quando le derivate ux e uy risultano indeterminate. Le curve di

questo tipo sono evidentemente particolari e vengono chiamate curvecaratteristiche. Se imponiamo che anche il numeratore sia nullo il sistemaè indeterminato. Per risolvere il problema si devono risolvere due equazionidifferenziali ordinarie:

=

du

cu

u

dydx

ba

y

x

ab

dxdy

ac

dxdu

bdxadycdxadu

dydx

ba

dudx

ca

uy

−=

−−=

=

ab

dxdy =

ac

dxdu =

ab

dxdy =

Complementi di Gasdinamica – T Astarita 26

Teoria delle caratteristiche

� Lungo una curva caratteristica l’equazione differenziale alle derivate parziali puòessere trasformata in una equazione differenziale ordinaria.

Che confrontata con la derivata totale lungo una curva caratteristica:

ac

ab

uudxdy

uudxdu

yxyx =+=+=

cbuau yx =+ac

uab

u yx =+

ab

dxdy =

ac

dxdu =

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Teoria delle caratteristiche

Si supponga di avere la seguente equazione differenziale ordinaria:

La soluzione generale è:

Infatti derivando si ha:

Con un problema di valori iniziali (problema di Cauchy) è facile trovare ilvalore delle costanti e la soluzione è unica. Ad esempio se supponiamo cheil punto iniziale sia per x=0 si ha:

0=+′′ zz

( ) ( )xcoscxsincz 21 +=

( ) ( )( ) ( )xcoscxsincz

xsincxcoscz

21

21

−−=′′−=′

( )( ) 1

2

0

0

cz

cz

=′=

Complementi di Gasdinamica – T Astarita 28

Teoria delle caratteristiche

Fissando i valori delle due costanti la soluzione è unica.

( ) ( )xcoscxsincz 21 += ( )( ) 1

2

0

0

cz

cz

=′=

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Complementi di Gasdinamica – T Astarita 29

Teoria delle caratteristiche

Supponendo che: ( ) ( )xcoscxsincz 21 +=( )( ) 10

00

cz

z

=′=

Complementi di Gasdinamica – T Astarita 30

Teoria delle caratteristiche

Supponendo che: ( ) ( )xcoscxsincz 21 +=( )( ) 00

0 2

=′=

z

cz

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Complementi di Gasdinamica – T Astarita 31

Teoria delle caratteristiche

Per un problema ai limiti invece la situazione è più complessa infatti se lecondizioni sono imposte per x=0 e per x=ξ:

È facile capire che per certi valori di ξ non è garantita l’esistenza dellasoluzione. Ad esempio per.

ξ=2πNon è possibile assegnare il valore della funzione a piacere. Ma perl’esistenza della soluzione è necessario che:

Ed in questo caso esistono infinite soluzioni possibili.

( ) ( )xcoscxsincz 21 +=( )( ) ( ) ( )ξξξ coscsincz

cz

21

20

+==

( ) ( )ξzz =0

Complementi di Gasdinamica – T Astarita 32

Teoria delle caratteristiche

( ) ( )xcoscxsincz 21 +=( )( ) 2

2

2

0

cz

cz

==

π

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Complementi di Gasdinamica – T Astarita 33

Teoria delle caratteristiche

Nel caso generale di una equazione del secondo ordine tipo quella delpotenziale si possono utilizzare vari metodi per la determinazione delleequazioni delle curve caratteristiche e delle condizioni di compatibilità.Metodo 1 – Metodo delle derivate indeterminate.È la generalizzazione del metodo già visto:

Le tre equazioni messe in forma matriciale diventano:

Ovvero in forma matriciale:

( ) 4321 25 cccc yyxyxx =++ ϕϕϕ

( )( ) dydxd

dydxd

yyxyy

xyxxx

ϕϕϕϕϕϕ

+=+=

( )( )

=

4321 2

0

0

c

d

d

ccc

dydx

dydx

y

x

yy

xy

xx

ϕϕ

ϕϕϕ

cbA =⋅

=

321 2

0

0

ccc

dydx

dydx

A

=

yy

xy

xx

b

ϕϕϕ ( )

( )

=

4c

d

d

c y

x

ϕϕ

Complementi di Gasdinamica – T Astarita 34

Teoria delle caratteristiche

Questo sistema di equazioni è indeterminato quando il determinante dellamatrice A è nullo:

Dividendo per dx2 si ha:

Che risolta da le equazioni delle due famiglie di curve caratteristiche:

Se il discriminante fosse negativo le equazioni delle curvecaratteristiche sarebbero complesse.

( ) ( ) 0202 12

232

123 =+−=−−−= cdydxdyccdxdycdydycdxcdxA

cbA =⋅

=

321 2

0

0

ccc

dydx

dydx

A

=

yy

xy

xx

b

ϕϕϕ ( )

( )

=

4c

d

d

c y

x

ϕϕ

02 321

2

=+−

ccdxdy

cdxdy

1

31222

c

cccc

dxdy −±

=

3122 ccc −

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Complementi di Gasdinamica – T Astarita 35

Teoria delle caratteristiche

<=>

−ellittica Equazione0

parabolica Equazione0

iperbolica Equazione0

3122 ccc

Complementi di Gasdinamica – T Astarita 36

Equazioni iperboliche

� Equazione delle onde;� Moto supersonico;� Moto non stazionario inviscido.

yytt c ϕϕ 2= cc

dtdy

dxdy

cc

c

c

±=+±==

−===

10

0

12

23

2

1

1

31222

c

cccc

dxdy −±

=

( ) 4321 25 cccc yyxyxx =++ ϕϕϕ

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Equazioni iperboliche

Complementi di Gasdinamica – T Astarita 38

Equazioni iperboliche

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Complementi di Gasdinamica – T Astarita 39

Equazioni paraboliche

� Equazione del calore;� Equazioni dello strato limite.

xxt αϕϕ =0

0

0

0

3

2

1

===

===

α

α

dxdt

dxdy

c

c

c

1

31222

c

cccc

dxdy −±

=

( ) 4321 25 cccc yyxyxx =++ ϕϕϕ

Complementi di Gasdinamica – T Astarita 40

Equazioni paraboliche

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Complementi di Gasdinamica – T Astarita 41

Equazioni paraboliche

Complementi di Gasdinamica – T Astarita 42

Equazioni ellittiche

� Equazione di Laplace;� Moto a potenziale subsonico.

0=+ yyxx ϕϕ

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Complementi di Gasdinamica – T Astarita 43

Equazioni ellittiche