Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali
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Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali
Reti Elettriche – Parte I
Revisione aggiornata al 18-3-2013
(www.elettrotecnica.unina.it)
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Oggetto del corso
• Studio delle reti elettriche
- reti in regime stazionario
- reti in regime lentamente variabile ed
in particolare sinusoidale
• Elementi di impianti elettrici
- il trasformatore
- elementi di sicurezza elettrica
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Supporti didattici
• Giulio Fabricatore: “Elettrotecnica ed applicazioni” Liguori Editore
• Appunti integrativi su:
- Trasformatore
- Esercizi numerici
• Slides del corso
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Tipologia delle reti elettriche considerate
Reti di bipoli
Definizione preliminare di bipolo: Oggetto elettrico facente capo a due morsetti terminali A e B, che sono attraversati dalla corrente i e a cui è applicata la tensione v. Si considera il funzionamento dei singoli bipoli “a scatola chiusa”, partendo dalle relazioni tra v ed i.
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Richiami preliminari
Corrente elettrica, tensione elettrica e forza elettromotrice
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La corrente elettrica (di conduzione)
Δq carica netta che, nell’intervallo di tempo Δt, transita nel verso diretto dalla sez. A alla sez. B attraverso la sez. S.
t
qi ot
lim
qqqqq
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Vettore densità di corrente (di conduzione)
Il vettore densità di
corrente di conduzione da A verso B attraverso la superficie S è definito da:
S
dSnGi
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Corrente elettrica in un conduttore filiforme
Definizione di Ampére.
In 2 conduttori filiformi, rettilinei, paralleli e indefiniti posti in aria circola la corrente di un A, se tra di essi si esercita una forza pari a 2·10-7 N per metro di lunghezza.
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Misura della corrente (amperometro ideale)
L’amperometro ha 2 morsetti,uno + ed uno -
Misura della corrente da A verso B.
Misura della corrente da
B verso A.
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Diversi tipi di corrente
Corrente nei conduttori metallici, costituita da un flusso di elettroni (e=-1.6·10-19 coulomb)
(1 coulomb=1 A * 1 sec)
Corrente nei conduttori elettrolitici costituiti da un flusso di ioni positivi e negativi
K
eKF
F
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La corrente nei semiconduttori
Struttura cristallina del silicio
Conduzione di tipo p (positiva) costituita da un flusso di “buchi”
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La corrente di spostamento
La corrente di spostamento jS attraverso una superficie S invariata nel tempo ed immersa in un mezzo lineare di costante dielettrica ε è data da:
La quantità rappresenta il vettore
densità di corrente di spostamento
t
K
)(
S
S dSnt
Kj
)(
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Un esempio di corrente di spostamento
v
S
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La corrente totale
La somma della corrente di conduzione i e della corrente di spostamento jS:
itot=i+jS è detta corrente totale. Il corrispondente vettore densità è solenoidale:
Pertanto la somma delle correnti di conduzione i e di spostamento jS uscenti dalla (o entranti nella) superficie chiusa Σ è nulla.
0])(
[
dnt
KG
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La tensione elettrica
Data una linea ϒ di estremi A e B si dice
tensione da A a B lungo ϒ, la quantità
che rappresenta il lavoro compiuto dal campo
elettrico per spostare l’unità di carica positiva da A a B lungo ϒ. L’unità di misura della tensione è il volt [V]. 1 volt=1 joule/coulomb. (1 coulomb =1 ampére·secondo). Se il campo elettrico è conservativo la tensione è
B
A
dltK)(
K
BAT
%
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La tensione elettrica
indipendente da γ. Il campo elettrico è dotato di potenziale:
La d.d.p. tra A e B può essere formalmente indicata come
)()(' BVAVTT BABA
ABVBVAV )()(
VK
'
AB AB
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Misura della tensione elettrica (voltmetro ideale)
Il voltmetro ha 2
morsetti,uno + ed uno - Misura della d.d.p. VAB
Misura della d.d.p. VBA
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Forza elettromotrice
Si dice forza elettromotrice (f.e.m.) agente lungo una linea chiusa orientata γ la quantità scalare algebrica:
Essa è diversa da zero solo se non è conservativo
sulla linea γ o almeno su di una sua parte e quindi se γ è immersa in tutto o in parte in una regione dello spazio R sede di fenomeni fisici di trasformazione d’energia.
dltKe
K
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L’esempio della pila (funzionamento a vuoto)
Sia KT la forza totale agente sull’unità di carica.
dove è il campo elettrostatico creato dalla distribuzione di cariche sugli elettrodi e è il campo di natura
dltKe T
ieT KKK
eK
iK
2
21
1 da A a B
2 da B ad A%
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L’esempio della pila (funzionamento a vuoto)
elettrochimica presente solo all’interno della soluz. elettrolitica,dove:
Nell’aria si ha:
0 ieT KKK
0iK eT KK
dltKdltKe ie
0
2
e )( 2 A
B
i dltK )( 2 A
B
ABe VAVBVdltK )]()([
ABVe
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F.e.m derivante dall’induzione elettromagnetica
Solenoidalità del vettore induzione magnetica
21 SSS S
dSnB 0
S
S SdSnBdSnBdSnB
1 221 0
1 2
21S S
dSnBdSnB
B
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F.e.m derivante dall’induzione elettromagnetica
Flusso concatenato con una linea chiusa orientata γPer la solenoidalità del vettore induzione magnetica i due integrali di superficie estesi a S1 e S2 sono indipendenti dalla superficie purché questa sia orlata da γ.Dati il vettore induzione magnetica ed una linea chiusa orientata γ si definisce pertanto flusso di tale vettore concatenato con γ la quantità:
in cui Sγ è una qualsiasi superficie orlata da γ e la normale a Sγ è orientata in maniera congruente all’orientazione di γ.
B
n
S
dSnB
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F.e.m derivante dall’induzione elettromagnetica
Flusso concatenato con una linea chiusa Flusso concatenato con una linea chiusa orientata orientata γγ
Congruenza del verso della normale alla superficie S rispetto a quello della linea γ
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F.e.m derivante dall’induzione elettromagnetica
Legge di Faraday
Per effetto della variabilità nel tempo dell’induzione magnetica, nella linea chiusa orientata γ insorge una f.e.m. data da:
in cui vale il segno – se il flusso concatenato con γ è calcolato con la stessa orientazione di γ con cui è definita la f.e.m e.
dt
de
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Definizione di bipolo
Si definisce bipolo un oggetto elettrico racchiuso da una superficie S, da cui fuoriescano due morsetti A e B; S sia scelta in maniera tale che: 1) iA=iB; 2) sia conservativo su S e nelle sue immediate vicinanze; 3) vi sia assenza di forze di natura non elettrica. Il regime di funzionam. è stazionario o lentamente variabile
K
0])(
[
S
dSnt
KG
se
0S
dSnG
BA ii
se
ABBA VT
0)(
t
K
0t
B
0dt
ddlKe
![Page 26: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/26.jpg)
S
zaIndut tan
dt
diLv
Pila ideale
ev
Esempi di bipoli
A
B
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Esempi di bipoli: la capacità
v
S
A
B
i
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Convenzioni dei segni in un bipolo
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Potenza assorbita da un conduttore
Il lavoro dL secondo la direzione della forza per spostare la carica positiva dq da A a B (lavoro assorbito) è:
La potenza corrispond. è pass=vi: tale espressione è esatta in regime staz. ed approssim. in regime lentamente variab.
K dF
KidtKdqdF )( B
A
dldFdL
B
A
vidtdlKidtdL )(
vidt
dLpass
Convenz. utilizzatore
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Tale potenza è erogata dal resto della rete a monte del conduttore e trasferita a questo che la assorbe. Se si considera il lavoro elementare dL da B ad A,si ha:
dL=-vidt e p=-vi questa potenza,derivante da un lavoro secondo una
direzione opposta alla forza, si dice erogata dal conduttore.
Se si considera un qualsiasi bipolo e si adopera la convenzione dell’utilizzatore si può dimostrare che continuano a valere le precedenti relazioni:
Passorbita=vi Perogata=-vi Se v·i>0 si può dimostrare che una potenza positiva
entra nella superficie limite del bipolo utilizzatore.
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Potenza erogata o assorbita da un bipolo (convenzione del
generatore)
Perogata=-vi=vi’ Passorbita=vi=-vi’
![Page 32: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/32.jpg)
Potenza assorbita o erogata da un bipolo
Convenzione dell’utilizzatore
p assorbita =vi
p erogata =-vi
Convenzione del generatore
p erogata =vi
p assorbita =-vi
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Misura della potenza
La misura della potenza assorbita (o erogata) da un bipolo si fa con il wattmetro, che presenta 2 coppie di morsetti: una coppia amperometrica attraversata da i ed una voltmetrica, cui è applicata v. Ciascuna coppia ha un morsetto +.
![Page 34: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/34.jpg)
I principio di Kirchhoff (Legge di Kirchhoff delle correnti -LKC)
Per la definizione di bipolo:
In generale:
m numero lati confluenti nel nodo
1i
2i
3i
4i
0S
dSnG
04321 iiii
m
ki1
0
![Page 35: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/35.jpg)
II principio di Kirchhoff (Legge di Kirchhoff delle tensioni -LKT)
Per la definizione di bipolo:
In generale:
m è il numero di lati della maglia
1v
2v
3v
4v
0dlK
A
D
D
C
C
B
B
A
dlK
04321 vvvv
m
kv1
0
![Page 36: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/36.jpg)
Reti in regime stazionario
Analisi delle reti
![Page 37: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/37.jpg)
Caratteristica statica di un bipolo
Si dice caratteristica statica di un bipolo la relazione:
V=f(I))
che lega la tensione V applicata ai morsetti A e B alla corrente I che lo attraversa in regime stazionario.
Due bipoli si dicono equivalenti se hanno la stessa caratteristica
![Page 38: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/38.jpg)
Dipendenza della caratteristica dalle convenz. dei segni di V ed I
%
![Page 39: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/39.jpg)
Dipendenza della caratteristica dalle convenz. dei segni di V ed I
![Page 40: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/40.jpg)
Classificazione dei bipoli: bipoli lineari e non lineari
Si dice lineare un bipolo la
cui caratteristica è lineare.
Si dice non lineare nel
caso contrario
![Page 41: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/41.jpg)
Classificazione dei bipoli:bipoli inerti e bipoli non inerti
Si dice inerte un bipolo la cui caratteristica la caratteristica passa per l’origine degli assi.
Si dice non inerte nel caso contrario
![Page 42: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/42.jpg)
Classificazione dei bipoli: bipoli passivi
Si dice passivo un bipolo per il quale la potenza assorbita è maggiore o eguale a zero. Esso funziona sempre da utilizzatore.
vipass
V·I≥0
![Page 43: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/43.jpg)
Classificazione dei bipoli: bipoli attivi
Si dice attivo un bipolo non passivo. In alcune regioni del piano V,I esso funziona da generatore in altre da utilizzatore.
Convenzione utilizzatore
V·I≥0V·I≤OV·I>0
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Una rete elementare
1V 2V
2I1I
)( 222 IfV
VVV 21021 VV
021 II III 21
)( 111 IfV
VIfIf )()( 21
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Bipoli lineari ideali
![Page 46: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/46.jpg)
Bipolo Resistenza
RIV oppure
oppure
GVI
)1
(R
G
RIV
GVI
G
![Page 47: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/47.jpg)
Potenza assorbita dal bipolo Resistenza
Convenzione utilizzatore
Pass=V∙I=(R∙I)∙I=R∙I2; Pass= V2/R=G V2.
Convenzione generatore
Pass=-V∙I=-(-R∙I)∙I=R∙I2; Pass= V2/R=G V2.
![Page 48: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/48.jpg)
Una diversa caratterizzazione del bipolo resistenza
Vn, Pn
n
n
P
VR
2
10 V, 20 W 500 V, 50 kW
5R 5R
![Page 49: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/49.jpg)
Equivalenza di bipoli
• Due bipoli si dicono equivalenti se hanno la stessa caratteristica statica
![Page 50: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/50.jpg)
Corrente nei conduttori metallici
V=RI
e=-1.6·10-19 coulomb
![Page 51: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/51.jpg)
Resistenza reale di un conduttore
La resistenza di un conduttore cilindrico di sezione S e lunghezza l è dato da:
dove ρ è la resistività variabile con la temperatura T:
ρ= ρ0(1+αT)
ρ0 resistività a 0 0C
S
lR
![Page 52: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/52.jpg)
Generatore ideale di tensione
V=E
![Page 53: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/53.jpg)
Generatore ideale di corrente
I=J
![Page 54: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/54.jpg)
Corto circuito ideale
V=0
Può essere derivato dal bipolo resistenza ponendo R=0 odal bipolo generatore ideale di tensione ponendo E=0
![Page 55: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/55.jpg)
Aperto ideale
I=0
Può essere derivato dal bipolo resistenza ponendo G=0 odal bipolo generatore ideale di corrente ponendo J=0
![Page 56: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/56.jpg)
Serie e parallelo di bipoli
1I 2I
nInV2V1V
V
IIII n .....21
1V 2V nV
1I2I nI
V
I
VVVV n .....21
n
kII1
n
kVV1
A B
A
B
![Page 57: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/57.jpg)
Resistenze in serie
n
kVV1
IRV kk
n
keq RR1
IRRIV eq
n
k 1
V
V
![Page 58: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/58.jpg)
Resistenze in parallelo
n
kII1
VGR
VI k
kk
VGGVI eq
n
k 1
IRV eq
n
keq
eq
GG
R
1
11
n
k
eq
R
R
1
1
1
Se n=2
Se RRR 21
2
RReq
21
21
21
111
RR
RR
RR
Req
![Page 59: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/59.jpg)
Generatori ideali di tensione in serie e in parallelo
n
eqk EEE1
E=E1=E2
I=I1+I2
![Page 60: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/60.jpg)
Equivalenza di bipoli
1V 2V
21 VVV RIV 1 02 V RIV
1I 2I
III 2102 I
![Page 61: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/61.jpg)
Equivalenza di bipoli
1V
2V
021 VVV
02 I
II 1
![Page 62: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/62.jpg)
Equivalenza di bipoli
V=E
I=J
![Page 63: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/63.jpg)
Bipolo di Thévenin
LKT
Caratteristica statica
TR
TR
RV
E
ccI
0 VVE R
IRV TR
IREV T
Tcc REI /
![Page 64: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/64.jpg)
Bipolo di Norton
LKC
Caratteristica statica
J
NR
NR
RI
0 IIJ R
NR RVI /
dove
0 IR
VJ
N
)( IJRV N
![Page 65: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/65.jpg)
Equivalenza del bipolo di Norton al bipolo di Thévenin
E
TR
ccI JNR
Thévenin Norton
Il bipolo di Norton è equivalente al bipolo di Thévenin se:
TN RR ccIJ
![Page 66: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/66.jpg)
Generatore reale di tensione
Pila reale sotto carico Circuito equivalente
iR
A B
![Page 67: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/67.jpg)
Generatore reale di tensione
iR
uRuV
uI
uiu IREV
uuu IRV
E
ccI
uV
uI
uRiR
ui IR
iuu RR
EI
iu
uu RR
REV
P
A
B O
![Page 68: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/68.jpg)
Potenza utile erogata dal generatore reale di tensione
Potenza utile
Il massimo di Pu al variare di Ru si ha se:
2uuuuu IRIVP
2
2
)( iuu RR
ER
0
u
u
R
P iu RR iu RR /
uP
1
ccEI4
1
![Page 69: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/69.jpg)
Bilancio delle potenze e rendimento
LKT iR
uR
uI
uV
2uiuuu IRIVEI
uiuuiu IRRIRVE )(
cP uP JP
2)( uiuc IRRP
iu
u
c
u
RR
R
P
P
2uuu IRP
iu RR /
![Page 70: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/70.jpg)
Caduta di tensione nel generatore reale di tensione
Caduta di tensione
uR
iR uI
uV
uiu IRVEV
iu
i
RR
RE
100100%iu
i
RR
R
E
VV
iu RR /
%V
![Page 71: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/71.jpg)
Parallelo di generatori reali di tensione
02211 EVVE
ci IRV 11 ci IRV 22
21
21
iic RR
EEI
Ic=0 se E1=E2
![Page 72: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/72.jpg)
Una particolarizzazione della LKT
LKT per una generica maglia a m lati
Generico lato k-esimo
kR
kE
kV
kI
m
kV1
0)( dove
kkkk IREV
m
kkk IRE1
0))((
m m
kkk IRE1 1
)()(
![Page 73: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/73.jpg)
Un esempio
1I
2I3I
4I 2E
1E1R
2R
3R
4R4433221121 IRIRIRIREE
![Page 74: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/74.jpg)
Formule del partitore di tensione
Ripartizione della tensione V applicata a 2 resistenze in serie
IRV 11 IRV 22
21 RR
VI
21
11 RR
RVV
21
22 RR
RVV
![Page 75: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/75.jpg)
Formule del partitore di corrente
Ripartizione della corrente I tra due resistenze in parallelo
11 R
VI
22 R
VI
21
2121 )//(
RR
RRIIRRV
21
21 RR
RII
21
12 RR
RII
![Page 76: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/76.jpg)
Trasformazioni triangolo-stella e stella-triangolo
![Page 77: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/77.jpg)
Equivalenza di tripoli di resistenze
![Page 78: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/78.jpg)
Condizioni di equivalenza tra tripoli di resistenze
)()(
BAACBCAB
ACBCAB RRJRRR
RRRJ
![Page 79: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/79.jpg)
Condizioni di equivalenza tra tripoli di resistenze
)()(
CBACBCAB
ACABBC RRJRRR
RRRJ
![Page 80: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/80.jpg)
Condizioni di equivalenza tra tripoli di resistenze
)()(
CAACBCAB
BCABAC RRJRRR
RRRJ
![Page 81: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/81.jpg)
Equazioni delle trasformazioni triangolo-stella e stella-triangolo Eliminando J dalle equazioni precedenti si ottiene il
sistema:
BAACBCAB
ACBCAB RRRRR
RRR
)(
CBACBCAB
ACABBC RRRRR
RRR
)(
CAACBCAB
BCABAC RRRRR
RRR
)(
![Page 82: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/82.jpg)
Equazioni delle trasformazioni triangolo-stella e stella-triangolo
Trasformazione triangolo-stella
Trasformazione stella-triangolo
0R
RRR ACAB
A 0R
RRR BCAB
B 0R
RRR ACBC
C dove
ACBCAB RRRR 0
0GRRR BAAB 0GRRR CBBC 0GRRR CAAC dove
CBA RRRG
1110
![Page 83: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/83.jpg)
Un caso particolare
YCBA RRRR 02
0 GRGRRR YBAAB YCBA RRRR
G3111
0
YY
YAB RR
RR 332 RRRR ABACBC
3
3
R
R
RR
y
Y
![Page 84: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/84.jpg)
Analisi di una rete elettrica
LKT per le maglie 1, 2, 3
1)
2)
3)
LKC per il nodo A (o B)
33111 IRIRE
33222 IRIRE
221121 IRIREE
0321 III
![Page 85: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/85.jpg)
Analisi di una rete elettrica, grafo, albero e coalbero
Data una generica rete elettrica di bipoli lineari costituita da l lati e n nodi:
Si dice grafo l’insieme costituito da tutti i lati e nodi della rete.
Si dice albero il sottoinsieme del grafo costituito da tutti i nodi e da n-1 lati che congiungono tali nodi senza formare maglie chiuse.
Il coalbero è l’insieme complementare dell’albero. Esso è costituito da l- (n-1) lati
![Page 86: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/86.jpg)
Esempi di grafi, alberi e coalberi
l=3
n=2
![Page 87: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/87.jpg)
Esempi di grafi, alberi e coalberi
l=10
n=6
![Page 88: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/88.jpg)
Analisi di reti resistive con sorgenti di tensione
Data la generica rete, con l lati ed n nodi:
il calcolo delle correnti si effettua risolvendo il sistema di l eq. lineari nelle l incognite Ik costituito da:
l-(n-1) LKT
n-1 LKC
m m
kkk IRE1 1
)()(
m
kI1
0
![Page 89: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/89.jpg)
Un esempio numerico
20321 RRR
E1=30 V E2=60 V
Sistema risolvente
302020 31 II
602020 32 II
0321 III
Forma matriciale
I1=0
I2=1,5 A
I3=1,5 A
Risultato
0
60
30
111
20200
20020
3
2
1
I
I
I
![Page 90: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/90.jpg)
Le potenze in gioco
Potenza erogata da E1: Pe1=E1 I1=0 W Potenza erogata da E2: Pe2=E2I2 =90 W Potenze assorbite dalle resistenze: PR1=R1I1
2 =0 W PR2=R2I2
2 =45 W PR3=R2I3
2 =45 W Prtot=90 W
Pe1 + Pe2 =Prtot
![Page 91: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/91.jpg)
Una rete con sorgenti di tensione e di corrente
20321 RRR
E1=30 V J=2 A
JI 3
302020 21 II
12211 EIRIR JII 21
221 II
J
E
I
IRR 1
2
121
11
J
ERR
I
I 1
1
21
2
1
11
I1=-0,25 A I2=1,75 A
![Page 92: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/92.jpg)
Le potenze in gioco
Potenza erogata da E1:
Pe1=E1 I1=-7,5 W
Potenza erogata da J:
PeJ=VJJ=150 W
Potenze assorbite dalle resistenze:
PR1=R1I12=1,25 W
PR2=R2I22=61,25 W
PR3=R2I32=80 W
Prtot=142,5 W
2233 IRIRV j
VJ=75 V
Pe1 + PeJ = Prtot
![Page 93: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/93.jpg)
Analisi di reti con sorgenti di tensione e di corrente
Data la generica rete, con sorgenti di tensione e di corrente, con n nodi ed l lati (l è definito non considerando i lati contenenti i generatori di corrente in cui la corrente è nota), il calcolo delle l correnti incognite Ik si effettua risolvendo il sistema di l eq. lineari, linearmente indipendenti costituito da:
l-(n-1) LKT
n-1 LKC
m m
kkk IRE1 1
)()(
m r
kk JI1 1
)()(
![Page 94: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/94.jpg)
Principio di conservazione delle potenze elettriche
Ipotesi: La stessa convenzione dei segni su tutti gli l lati della rete.
Siano P1,.. Pi,…Pn gli n nodi della rete
Tesi
Somma parziale relativa al nodo Pi
l
kk IV1
0
Generico bipolo costituente il k-esimo lato della rete
)'()"( kkk PUPUV
l l
kkkk IPUIPU1 1
0)'()"(
0)........( '21 ii ilihiiP IIIIU
![Page 95: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/95.jpg)
Una formulaz. del principio di conservazione nelle reti lineari
0 i
Ri
Ji
E iiiPPP
2iiR IRP
i
iii
iJ
iE IRPP
ii
2
La somma delle potenze erogate dai generatoridi tensione e di corrente è eguale alla sommadelle potenze assorbite dalle resistenze
![Page 96: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/96.jpg)
Un corollario dei principi di Kirchhoff
Ipotesi Nel generico nodo P’ confluiscono solo bipoli passivi
Tesi Tra i nodi contigui esiste almeno un nodo P” a potenziale U≥U(P’) e almeno uno a potenziale U≤U(P’).
Da questo corollario scaturisce il principio di non amplificazione delle tensioni.
0kk IV
4
1
0kI
Se I1, I2>0 si ha V1,V2≥0 e U(P”1)≤U(P’) e U(P”2)≤U(P’)
Se I3, I4<0 si ha V3,V4 ≤ 0 e U(P”3) ≥ U(P’) e U(P”4) ≥ U(P’)
![Page 97: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/97.jpg)
Principio di non amplificazione delle tensioni
Tale principio prevede che ai capi dell’unico lato attivo di una rete in regime stazionario, in cui vi siano tutti lati passivi tranne uno, è applicata la tensione massima.
Si consideri infatti l’insieme di n elementi costituito dai potenziali degli n nodi della rete. Per il precedente corollario il potenziale dei nodi in cui confluiscono solo lati passivi non può essere né il massimo né il minimo di tale insieme. Conseguentemente i potenziali massimo e minimo devono essere relativi ai nodi posti agli estremi dell’unico lato attivo.
Si può dimostrare che in tale lato si ha anche la massima corrente (Principio di non amplificazione delle correnti)
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Sovrapposizione degli effetti
J
E
I
IRR 1
2
121
11
)12()12()22( HIA
"'0
011 HH
J
E
J
EH
"'"' 111 IIHAHAHAI
JI 3
011'
' 1
1
21
2
1 ERR
I
I
J
RR
I
I 0
11"
"1
21
2
1
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Sovrapposizione degli effetti, un esempio numerico
20321 RRR J=2 AE1=30 V
0'3 I75,0''21
121
RR
EII 1"
21
21
RR
RJI 1"
21
12
RR
RJI
2"3 JI
I1=I’1+I”1=-0,25 A I2=I’2+I”2=1,75 A
I3=I’3+I”3=2 A
%
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Sovrapposizione degli effetti, un esempio numerico
20321 RRR E2=60 VE1=30 V
eqR
EI 11'
Req=R1+R2//R3=30 Ω
I’1= 1 A 5,0''32
312
RR
RII 5,0''
32
213
RR
RIIA A
%
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Sovrapposizione degli effetti, un esempio numerico
Req=R2+R1//R3=30 Ω
2" 22
eqR
EI 1""
32
223
RR
RII 1""
32
321
RR
RII
I1=I’1+I”1=0 I2=I’2+I”2=1,5 A I3=I’3+I”3=1,5 A
![Page 102: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/102.jpg)
Non applicabilità della sovrapposizione degli effetti al calcolo delle potenze
Posto:
la potenza Pk assorbita dalla resistenza Rk non è pari alla somma di P’k e P”k; infatti:
2''kkk IRP 2""
kkk IRP
"'"'2"'2 2)( kkkkkkkkkkk IIRPPIIRIRP
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Analisi di reti con sorgenti di tensione e di corrente
Data la generica rete con n nodi ed l lati il calcolo delle l correnti incognite Ik si effettua risolvendo il sistema di l eq. lineari, linearmente indipendenti costituito da:
l-(n-1) LKT
n-1 LKC
m m
kkk IRE1 1
)()(
m r
kk JI1 1
)1()1()( llll HIA kR
kE
kV
kI
kkkk IREV )1()1()( '' llll HVA
![Page 104: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/104.jpg)
Metodo dei potenziali nodali
Sostituendo le correnti nelle n-1 LKC:
si ha il sistema di n-1 eq. nelle n incognite Upk:
Se poniamo eguale a zero il potenziale di uno degli n nodi, si ottiene:
kT kSkR
kI
kE
TkSkk UUV
kkkk IREV
kTkSkkk GUUEI )(
kk RG /1
m r
kk JI1 1
m r
kkTkSkk JGUUE1 1
)(
1)1(1)1()1()1( "" nnnn HUA
![Page 105: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/105.jpg)
Metodo dei potenziali nodali, la formula di Millmann
La LKC fornisce
dove:
0BU
n
iI1
0
iAii GUEI )(
ii R
G1
i
n n
Aii GUGE 1 1
n
i
n
ii
ABA
G
GEVU
1
1
![Page 106: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/106.jpg)
Formula di Millmann: un esempio numerico
20321 RRR
E1=30 V E2=60 V
0BU
G1=G2=G3=G=0,05 Ω-1
303
213
1
3
11
G
GEGE
G
GEU
i
i
A VI1=(E1-UA)G1=0
I3=(-UA)G3=-1,5 A
I2=(E2-UA)G2=1,5 A
![Page 107: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/107.jpg)
Teorema di Thévenin: enunciato
Se s’isola un lato AB di una rete lineare, il bipolo a monte dei morsetti A,B è equivalente ad un bipolo di Thévenin, in cui V0 è la tensione a vuoto tra A e B e Req è la resistenza equivalente dello stesso bipolo reso passivo.
0V
eqR
![Page 108: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/108.jpg)
Teorema di Thévenin: dimostrazione
"" IRV eq%
![Page 109: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/109.jpg)
Teorema di Thévenin: dimostrazione
0V
eqR
""' 0 IRVVVV eq
"0"' IIII
IRVV eq 0
![Page 110: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/110.jpg)
Teorema di Thévenin: una conseguenza
eqRR
VI
0
eqRR
RVV
0
![Page 111: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/111.jpg)
Un esempio numerico20321 RRR
E1=30 V E2=60 V
75,021
12
RR
EEI A 45220 IREV
Req=R1//R2=10 Ω
V
5,11020
45
3
03
eqRR
VI A
![Page 112: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/112.jpg)
Teorema di Norton: enunciato
Se s’isola un lato AB di una rete lineare, il bipolo a monte dei morsetti A,B è equivalente ad un bipolo di Norton, in cui Icc
è la corrente di corto circuito tra A e B e Req è la resistenza equivalente dello stesso bipolo reso passivo.
eqR
![Page 113: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/113.jpg)
Teorema di Norton: dimostrazione
0V
eqR
Caratteristica comune ai bipoli di Thévenin e Norton
![Page 114: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/114.jpg)
Teorema di Norton: una conseguenza
eq
eqcc RR
RII
eq
eqcc RR
RRIV
![Page 115: Corso di Elettrotecnica Allievi aerospaziali](https://reader035.fdocuments.net/reader035/viewer/2022062217/5681348c550346895d9b72ad/html5/thumbnails/115.jpg)
Un esempio numerico20321 RRR
E1=30 V E2=60 V
Req=R1//R2=10 Ω
A
Icc=E1/R1+E2/R2=4,5 A
5,11020
105,43
eq
eqcc RR
RII