Corso di Analisi Matematica 1 -...

Corso di Analisi Matematica 1Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica – Prof. A. Iannizzotto

Prove d’esame

Versione del 15 settembre 2018

Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 14 gennaio 2016 – Tempo: 150 minuti

Compito A

Nome e Cognome

Matricola

Corso di Laurea

Crediti

Docente

1. Enunciare e dimostrare il Teorema di Rolle. Quindi, data una funzione f : [−1, 1]→ Rpari e derivabile, dimostrare che esiste x ∈]− 1, 1[ tale che Df(x) = 0.

2. Studiare la funzione

f(x) =

√x2 − 1

x2 + 1,

disegnandone il grafico.3. Calcolare il seguente integrale definito:∫ π

4

0

1 + sin(x)2

2 cos(x)2dx.

4. (Programma da 9 crediti) Studiare la convergenza assoluta e semplice della serie∞∑n=1

(−1)n ln(n+ 1

n

).

5. (Programma da 9 crediti) Risolvere il problema di Cauchyu′′ + u′ + u = x+ 2

u(0) = 0

u′(0) = 1.

6. (Programma da 5, 6 crediti) Scrivere il polinomio di Maclaurin di ordine 3 per lafunzione

f(x) = ln(x2 + 1).

7. (Programma da 5, 6 crediti) Enunciare e dimostrare il Teorema della Media Integrale.

Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 14 gennaio 2016 – Tempo: 150 minuti

Compito B

Nome e Cognome

Matricola

Corso di Laurea

Crediti

Docente

1. Enunciare e dimostrare il Teorema di Lagrange. Quindi, data una funzione f :[−1, 1]→ R dispari e derivabile, dimostrare che esiste x ∈]−1, 1[ tale che Df(x) = f(1).


f(x) =

√x− 1

x+ 1,

disegnandone il grafico.3. Calcolare il seguente integrale definito:∫ π

4

0

1 + cos(x)2

2 sin(x)2dx.

4. (Programma da 9 crediti) Studiare la convergenza assoluta e semplice della serie∞∑n=1

(−1)n ln(n2 + 1

n2

).

5. (Programma da 9 crediti) Risolvere il problema di Cauchyu′′ − u′ + u = cos(x)

u(0) = 1

u′(0) = 0.

6. (Programma da 5, 6 crediti) Scrivere il polinomio di Maclaurin di ordine 3 per lafunzione

f(x) = ex2−1.

7. (Programma da 5, 6 crediti) Enunciare e dimostrare il Teorema di Unicita del Limite.

Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 4 febbraio 2016 – Tempo: 150 minuti

Compito A

Nome e Cognome

Matricola

Corso di Laurea

Crediti

Docente

1. Enunciare e dimostrare uno dei teoremi di de l’Hopital. Applicandolo, calcolare

limx→0

ln(1 + x)

2x.


f(x) = arctan(x− 1

x+ 1

),

disegnandone il grafico. Determinare l’estremo superiore di f nel suo insieme didefinizione, precisando se si tratta di un massimo.

3. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫x+ 2

x2 + 4x+ 3dx.

4. (Programma da 9 crediti) Calcolare i seguenti limiti di successioni

limn

ln(2) + ln(3) + . . .+ ln(n)

n!, lim

n

n!

nn.

5. (Programma da 9 crediti) Risolvere il problema di Cauchy{u′ = tan(u)

u(0) =π

2.

6. (Programma da 5, 6 crediti) Calcolare l’area del dominio

D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 1, (x− 1)2 + y2 6 1}.7. (Programma da 5, 6 crediti) Sia f : R→ R una funzione derivabile: dimostrare che f

e continua. E vero l’inverso (giustificare la risposta con un esempio)?.


Compito B

Nome e Cognome

Matricola

Corso di Laurea

Crediti

Docente

1. Enunciare e dimostrare uno dei teoremi di de l’Hopital. Applicandolo, calcolare

limx→0

tan(x)

2x.


f(x) = arctan(x+ 1

x− 1

),

disegnandone il grafico. Determinare l’estremo inferiore di f nel suo insieme didefinizione, precisando se si tratta di un minimo.

3. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫x+ 1

x2 − 4x+ 4dx.

4. (Programma da 9 crediti) Calcolare i seguenti limiti di successioni

limn

n

√sin( 1

n

), lim

n

n

√sin( 1

en

).

5. (Programma da 9 crediti) Risolvere il problema di Cauchy{u′ = x(1 + 4u2)

u(0) = 0.

6. (Programma da 5, 6 crediti) Calcolare l’area del dominio

D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 1, (x+ 1)2 + y2 6 1}.7. (Programma da 5, 6 crediti) Sia f : R → R una funzione derivabile t.c. Df(x) > 0

per ogni x ∈ R: dimostrare che f e crescente. E vero l’inverso (giustificare la rispostacon un esempio)?.


Compito A

Nome e Cognome

Matricola

Corso di Laurea

Crediti

Docente

1. Scrivere e dimostrare la formula per la derivata di una funzione composta. Quindideterminare tutti i punti critici della funzione f(x) = tan(x2 + x) nel suo insieme didefinizione.

2. Studiare la funzionef(x) = x+ ln(|x|),

disegnandone il grafico.3. Studiare la convergenza dell’integrale generalizzato∫ +∞

2

(ln(x+ 1)− ln(x− 1)

)dx.

4. (Programma da 9 crediti) Enunciare e dimostrare la formula del binomio di Newton.Applicandola, calcolare

10∑k=0

(10k

).

5. (Programma da 9 crediti) Determinare tutte le soluzioni dell’equazione differenziale

u′ +u

x= ex

definite in ]0,+∞[.6. (Programma da 5, 6 crediti) Determinare l’estremo superiore e l’estremo inferiore della

funzione f :]0, π]→ R definita da

f(x) =sin(x)

x,

precisando se si tratta di massimo e minimo.7. (Programma da 5, 6 crediti) Determinare tutte le primitive della funzione

f(x) =|x− 1|x2 − 1

nel suo insieme di definizione.


Compito B

Nome e Cognome

Matricola

Corso di Laurea

Crediti

Docente

1. Scrivere e dimostrare la formula per la derivata di una funzione inversa. Quindicalcolare la derivata di f(x) = arcsin(x+ 1) nel suo insieme di definizione.

2. Studiare la funzionef(x) = x− ln(|x|),

disegnandone il grafico.3. Studiare la convergenza dell’integrale generalizzato∫ +∞

1

ln(x)

x2dx.

4. (Programma da 9 crediti) Enunciare e dimostrare la formula del binomio di Newton.Applicandola, calcolare

10∑k=0

(10k

)2k.

5. (Programma da 9 crediti) Determinare tutte le soluzioni dell’equazione differenziale

u′ − u

x= x2

definite in ]0,+∞[.6. (Programma da 5, 6 crediti) Determinare l’estremo superiore e l’estremo inferiore della

funzione f : [−π, 0[→ R definita da

f(x) =sin(x)

x,

precisando se si tratta di massimo e minimo.7. (Programma da 5, 6 crediti) Determinare tutte le primitive della funzione

f(x) =|x+ 1|x2 − 1

nel suo insieme di definizione.

Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 14 aprile 2016 – Tempo: 150 minuti

Nome e Cognome

Matricola

Corso di Laurea

Crediti

Docente

1. Dimostrare il Teorema dei valori intermedi (o di esistenza degli zeri). Applicandolo,dimostrare che l’equazione

tan(ex) = 0

ammette infinite soluzioni in ]0,+∞[.2. Studiare la funzione

f(x) = 3√x(x− 1)2,

disegnandone il grafico (omettere lo studio della derivata seconda). Descrivere ilcomportamento di f nei punti x = 0, 1.

3. Calcolare il seguente integrale definito:∫ 2

0

x− 2

x2 + 4x+ 5dx.

4. (Programma da 9 crediti) Enunciare e dimostrare il Criterio di Leibniz per le serienumeriche, illustrandolo con un esempio.

5. (Programma da 9 crediti) Risolvere il seguente problema di Cauchy:{u′ +

u

x= cos(x)

u(π) = 0.

6. (Programma da 5, 6 crediti) Dire, motivando la risposta, per quali valori di α > 0converge l’integrale generalizzato ∫ 1

0

1

xαdx.

7. (Programma da 5, 6 crediti) Calcolare l’area dell’insieme

D = {(x, y) ∈ R2 : |y − 1|+ x2 6 1}.

Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 9 giugno 2016 – Tempo: 150 minuti

Compito A

Nome e Cognome

Matricola

Corso di Laurea

Crediti

Docente

1. Calcolare, senza fare uso dei Teoremi di de l’Hopital, il seguente limite:

limx→+∞

ln(x2 + x)− ln(x)√x+ 1

.

2. Studiare la seguente funzione, tracciandone il grafico:

f(x) =x2 − |x|+ 1

x+ 1.

3. Enunciare e dimostrare la formula di integrazione per parti. Applicandola, calcolare ilseguente integrale definito: ∫ π

2

0

ex cos(2x) dx.

4. (Programma da 9 crediti) Studiare la convergenza semplice e assoluta della serie∞∑n=1

(−1)n tan( n

n2 + 1

).

5. (Programma da 9 crediti) Risolvere il seguente problema di Cauchy:{u′ = u(2− u)

u(0) = 1.

6. (Programma da 5, 6 crediti) Sia f : R→ R la funzione definita da

f(x) =

{sin(x ln(|x|)) se x 6= 0

0 se x = 0.

Dire, motivando la risposta, se f e continua o derivabile in 0.7. (Programma da 5, 6 crediti) Scrivere il polinomio di Maclaurin di ordine 2 per

f(x) = tan(x2),

quindi usarlo per dimostrare che f ha un minimo in 0.


Compito B

Nome e Cognome

Matricola

Corso di Laurea

Crediti

Docente

1. Calcolare, senza fare uso dei Teoremi di de l’Hopital, il seguente limite:

limx→+∞

ln(x2 − x)− ln(x)√x− 1

.


f(x) =x2 + |x|+ 1

x− 1.

3. Enunciare e dimostrare la formula di integrazione per parti. Applicandola, calcolare ilseguente integrale definito: ∫ π

2

0

ex sin(2x) dx.

4. (Programma da 9 crediti) Studiare la convergenza semplice e assoluta della serie∞∑n=1

(−1)n sin( n

n2 + 1

).

5. (Programma da 9 crediti) Risolvere il seguente problema di Cauchy:{u′ = u(3− u)

u(0) = 2.

6. (Programma da 5, 6 crediti) Sia f : R→ R la funzione definita da

f(x) =

{tan(x ln(|x|)) se x 6= 0

0 se x = 0.

Dire, motivando la risposta, se f e continua o derivabile in 0.7. (Programma da 5, 6 crediti) Scrivere il polinomio di Maclaurin di ordine 2 per

f(x) = sin(x2),

quindi usarlo per dimostrare che f ha un minimo in 0.


Compito A

Nome e Cognome

Matricola

Corso di Laurea

Crediti

Docente

1. Calcolare il seguente limite:

limnn2(e

1n − e

1n2).


f(x) = (x+ 1)e1x+1 .

3. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫sin(2x)− cos(x)

sin(x)2 − cos(x)2dx.

4. Determinare il punto di massimo globale della funzione f : [π2, 3π

2]→ R definita da

f(x) =

∫ x

π2

sin(t)

tdt.

5. (Programma da 9 crediti) Risolvere il seguente problema di Cauchy:{u′ + cos(x)u = cos(x)

u(0) = 0.

6. (Programma da 5, 6 crediti) Enunciare e dimostrare uno dei Teoremi di de l’Hopital.Applicandolo, calcolare il seguente limite:

limx→0

arctan(ex − 1)

ln(x2 + 1).


Compito B

Nome e Cognome

Matricola

Corso di Laurea

Crediti

Docente


limnn(e

1n − e

1n2).


f(x) = (x− 1)e1

x−1 .

3. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫sin(2x)− sin(x)

sin(x)2 − cos(x)2dx.

4. Determinare il punto di minimo globale della funzione f : [π, 2π]→ R definita da

f(x) =

∫ x

π

cos(t)

tdt.

5. (Programma da 9 crediti) Risolvere il seguente problema di Cauchy:{u′ + sin(x)u = sin(x)

u(0) = 0.

6. (Programma da 5, 6 crediti) Enunciare e dimostrare uno dei Teoremi di de l’Hopital.Applicandolo, calcolare il seguente limite:

limx→0

tan(ex − 1)

ln(x2 + 1).

Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 22 luglio 2016 – Tempo: 150 minuti

Nome e Cognome

Matricola

Corso di Laurea

Crediti

Docente


f(x) =x2

ln(|x|).

2. Determinare gli estremi superiore e inferiore dell’insieme

A ={x− 1

x: x ∈]0,+∞[

}.

3. Calcolare il seguente integrale definito:∫ √20

x+ 2

x2 + 2dx.

4. Calcolare, facendo uso dei Teoremi di de l’Hopital, il limite

limx→+∞

ln(π

2− arctan(x)

)x+ ln(x)

.

5. (Programma da 9 crediti) Risolvere il seguente problema di Cauchy:u′′ − u′ = cos(x)

u(0) = 0

u′(0) = 1.

6. (Programma da 5, 6 crediti) Sia f(x) = ex2+x. Determinare il polinomio di grado 2

che meglio approssima f in un intorno di 0.

Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 23 settembre 2016 – Tempo: 150 minuti

Nome e Cognome

Matricola

Corso di Laurea

Crediti

Docente

1. Dimostrare il Teorema della media integrale. Applicandolo, dimostrare la seguentediseguaglianza:

cos(1) 6 sin(1) 6 1.


f(x) =ln(1− x)

x− 1.


0

√1 + x dx.

4. Determinare i punti di accumulazione dell’insieme numerico

A ={n+ 1

n2: n ∈ N, n > 1

}.

5. (Programma da 9 crediti) Studiare il carattere della serie∞∑n=0

tan( 1

n+ 3− 1

n+ 4

)(suggerimento: usare il criterio del confronto asintotico).

6. (Programma da 5, 6 crediti) Calcolare il seguente limite:

limx→0

ln(1− x2)sin(x)2

.

Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello per fuori-corso del 18 ottobre 2016 – Tempo: 150 minuti

Nome e Cognome

Matricola

Corso di Laurea

Crediti

Docente

1. Determinare tutti i punti di frontiera in R dell’insieme

A = {x ∈ Q : 0 6 x 6 1}.2. Calcolare il seguente limite:

limnn(esin(1/n) − 1

).


f(x) =ex

x2 + 1

(suggerimento: l’unica radice reale del polinomio x3 − 3x2 + 5x+ 1 e x = −0, 179...).4. Calcolare il seguente integrale definito:∫ 1

0

x

x2 + 2x+ 2dx.

5. Determinare il polinomio di Maclaurin di ordine 4 della funzione f(x) = cos(x).Dimostrare quindi che, se f e una funzione pari, anche i suoi polinomi di Maclaurinsono funzioni pari.

Prova scritta di Analisi Matematica 1Prova parziale del 14 novembre 2016 – Tempo: 90 minuti

Compito A

Nome e Cognome

Matricola

Corso di Laurea

Crediti

Docente

1. Sia f : [a, b]→ R una funzione derivabile e convessa. Dimostrare che essa e massimaagli estremi dell’intervallo di definizione, cioe

maxx∈[a,b]

f(x) = max{f(a), f(b)}.

Applicando il precedente risultato, determinare il massimo della funzione f(x) = x4 − xnell’intervallo [−2, 1].

2. Studiare il carattere della serie∞∑n=0

ln(en + 1)

n3 + 1.

3. Studiare la funzione f(x) =√x4 − 1 nel suo insieme di definizione, tracciandone il

grafico. Precisare se f ammette massimo o minimo globali.


Compito B

Nome e Cognome

Matricola

Corso di Laurea

Crediti

Docente

1. Sia f : [a, b]→ R una funzione derivabile e convessa. Dimostrare che essa e massimaagli estremi dell’intervallo di definizione, cioe

maxx∈[a,b]

f(x) = max{f(a), f(b)}.

Applicando il precedente risultato, determinare il massimo della funzione f(x) = ex2

nell’intervallo [−2, 1].2. Studiare il carattere della serie

∞∑n=0

ln(en + 1)

n2 + 1.

3. Studiare la funzione f(x) =√x2 − 1 nel suo insieme di definizione, tracciandone il

grafico. Precisare se f ammette massimo o minimo globali.

Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 19/12/2016 – Tempo: 180 minuti (Simulazione)

Nome e Cognome

Matricola

Corso di Laurea

Crediti

Docente

1. Enunciare e dimostrare il Teorema di Fermat. Applicandolo, determinare gli estremidella funzione f :]−

√π,√π[→ R definita da

f(x) = sin(x2).


limnnn tan

(e

1n! − 1

).

3. Studiare la seguente funzione nel suo insieme di definizione, tracciandone il grafico:

f(x) = exx+1 .

4. Stabilire se il seguente integrale generalizzato converge:∫ +∞

2

ln(

1 +1

x2

)dx.

5. Stabilire se la funzione f(x) = sinh(x) e analitica in 0. Quindi usare le serie diMaclaurin di f e di Df per dimostrare che

sinh(x) + cosh(x) = ex.

6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:u′′ − 2u′ + u = x2

u(0) = 1

u′(0) = 1.

Prova scritta di Analisi Matematica 1Appello del 12/1/2017 – Tempo: 180 minuti

Compito A

Nome e Cognome

Matricola

Corso di Laurea

Crediti

Docente

1. Determinare gli estremi superiore e inferiore del seguente insieme, precisando se sitratta di minimo o massimo:

A ={n2 + 1

n+ 1: n ∈ N

}.

2. Studiare la convergenza della serie∞∑n=0

en(n3 + n)

n!.


f(x) = x2 + 2 ln(|x+ 2|).4. Calcolare il seguente integrale definito:∫ e

1

1

x ln(x)2 + xdx.

5. Studiare la convergenza della seguente serie di potenze:∞∑n=1

tan( 1

n

)xn.

6. Determinare la soluzione generale della seguente equazione differenziale:

u′′ + 4u′ + 4u = 1 + e−x.

7 Calcolare la media integrale della funzione f : [0, 2]→ R definita da

f(x) =

{x2 se x ∈ [0, 1]

x3 se x ∈ ]1, 2].

Gli studenti che hanno superato la prova parziale svolgano i quesiti 4, 5, 6; quelli chesostengono l’esame intero con programma da 9 CFU, i quesiti 1, 2, 3, 4, 5, 6; quelli chesostengono l’esame intero con programma da 5 CFU, i quesiti 1, 2, 3, 4, 7.


Compito B

Nome e Cognome

Matricola

Corso di Laurea

Crediti

Docente

1. Determinare gli estremi superiore e inferiore del seguente insieme, precisando se sitratta di minimo o massimo:

A ={n2 − 1

n+ 2: n ∈ N

}.

2. Studiare la convergenza della serie∞∑n=0

en(n2 + 1)

n!.


f(x) = x2 + 2 ln(|x+ 1|).4. Calcolare il seguente integrale definito:∫ e

1

ln(x)

x ln(x)2 + xdx.


sin( 1

n

)xn.

6. Determinare la soluzione generale della seguente equazione differenziale:

u′′ + 4u′ + 4u = 1− e−x.7 Calcolare la media integrale della funzione f : [0, 2]→ R definita da

f(x) =

{x3 se x ∈ [0, 1]

x2 se x ∈ ]1, 2].

Gli studenti che hanno superato la prova parziale svolgano i quesiti 4, 5, 6; quelli chesostengono l’esame intero con programma da 9 CFU, i quesiti 1, 2, 3, 4, 5, 6; quelli chesostengono l’esame intero con programma da 5 CFU, i quesiti 1, 2, 3, 4, 7.


Compito A

Nome e Cognome

Matricola

Corso di Laurea

Crediti

Docente

1. Dimostrare, per induzione, che per ogni n ∈ N, n > 1

13 + 23 + . . .+ n3 =n2(n+ 1)2

4.

2. Studiare la convergenza assoluta e semplice della serie∞∑n=0

(−1)n ln(n2 + 1

n2

).


f(x) = arctan( x

x+ 1

).

4. Studiare la convergenza del seguente integrale:∫ 1

0

1

sin(x)dx.

5. Applicando la formula di Maclaurin, calcolare il seguente limite:

limx→0

ex − cos(x)− xx2

.

6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:u′ =ln(x)

uu(1) = 1.

7 Dimostrare il Teorema di Lagrange.

Gli studenti che sostengono l’esame con programma da 9 CFU svolgano i quesiti 1, 2, 3, 4,5, 6; quelli che sostengono l’esame con programma da 5 CFU, i quesiti 1, 2, 3, 4, 7.


Compito B

Nome e Cognome

Matricola

Corso di Laurea

Crediti

Docente

1. Dimostrare, per induzione, che per ogni n ∈ N, n > 1

1 + 3 + . . .+ (2n− 1) = n2.


(−1)n sin(n+ 1

n3

).


f(x) = arctan( x

x− 1

).

4. Studiare la convergenza del seguente integrale:∫ 1

0

1

ln(x+ 1)dx.

5. Applicando la formula di Maclaurin, calcolare il seguente limite:

limx→0

sin(x)− arctan(x)

x3.

6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:u′ =sin(x) cos(x)

uu(0) = 1.

7 Dimostrare il Teorema di Rolle.



Compito A

Nome e Cognome

Matricola

Corso di Laurea

Crediti

Docente

1. Sia f : R→ R derivabile due volte: dimostrare che f e convessa se e solo se D2f(x) > 0per ogni x ∈ R. Dimostrare che se f e convessa e non costante, allora f e superiormenteillimitata.


limx→0

ln(ex − x)

1− cos(x).


f(x) = ln(x2 + 1)− x.4. Calcolare il seguente integrale definito:∫ 1/2

0

2x2

x4 − 1dx.

5. Determinare il carattere della seguente serie numerica:∞∑n=0

(√n2 + 1− n

).

6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:u′′ + 4u = sin(2x)

u(0) = 1

u′(0) = 0.

7 Enunciare e dimostrare il Teorema di Fermat.



Compito B

Nome e Cognome

Matricola

Corso di Laurea

Crediti

Docente

1. Sia f : R→ R derivabile due volte: dimostrare che f e concava se e solo se D2f(x) 6 0per ogni x ∈ R. Dimostrare che se f e concava e non costante, allora f e inferiormenteillimitata.


limx→0

ln(ex − x)

x sin(x).


f(x) = ln(x2 + 1) + x.

4. Calcolare il seguente integrale definito:∫ 1/2

0

2

x4 − 1dx.

5. Determinare il carattere della seguente serie numerica:∞∑n=1

(n−√n2 − 1

).

6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:u′′ + 4u = cos(2x)

u(0) = 0

u′(0) = 1.

7 Enunciare e dimostrare il Teorema di unicita del limite per le funzioni.



Nome e Cognome

Matricola

Corso di Laurea

Crediti

Docente

1. Enunciare e dimostrare il Teorema di Rolle.2. Calcolare il seguente limite:

limx→+∞

(√x2 + x−

√x2 + 1

).


f(x) = xe1x .

4. Calcolare il seguente integrale definito:∫ π/4

0

1

sin(x)2 + 1dx.

5. Studiare la convergenza semplice e assoluta della seguente serie numerica:∞∑n=0

(−1)n√n2 + 1

.

6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:u′′ + u = x2 + 1

u(0) = 0

u′(0) = 1.

7 La funzione

f(x) = arctan(x− 1

x

)ha in 0 una discontinuita: di che tipo?



Nome e Cognome

Matricola

Corso di Laurea

Crediti

Docente


limx→0

ln(1 + arctan(x2))

ex − 1.


f(x) =x2 + 2|x|+ 1

x+ 1.


0

e2x + 2ex

e2x + 1dx.

4. Enunciare e dimostrare il Teorema di Fermat.5. Studiare la convergenza puntuale e uniforme della seguente serie di potenze:

∞∑n=1

(1− cos

( 1

n

))xn.

6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:{u′ + cos(x)u = cos(x)

u(0) = 0.

7 Determinare e classificare i punti di discontinuita della seguente funzione:

f(x) =sin(x) + 1

x+ 1.



Nome e Cognome

Matricola

Corso di Laurea

Crediti

Docente


limx→+∞

(x2 + 1

x+ 1

) 1x.


f(x) = x− 2 arctan(x).

3. Calcolare il seguente integrale definito:∫ e

1

ln(x)2 dx.

4. Enunciare e dimostrare il Teorema della media integrale.5. Studiare la convergenza delle seguenti serie:

∞∑n=1

tan( 1

n

)n,∞∑n=1

cos( 1

n

)n.

6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:{u′ + tan(x)u = cos(x)

u(0) = 1.

7 Dimostrare che la funzione F : [0,+∞[→ R definita da

F (x) =

∫ x

0

(et − t) dt

e convessa.



Nome e Cognome

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Corso di Laurea

Crediti

Docente


limn

(ln(n2 + n)− ln(2n2)

).

2. Studiare la seguente funzione, disegnandone il grafico:

f(x) = ex−x3

(omettere la localizzazione dei punti di flesso, limitandosi a indicarne il numero).3. Studiare la convergenza del seguente integrale generalizzato:∫ 1

0

ln(x+√x) dx.

4. Enunciare e dimostrare il Teorema dei valori intermedi.5. Studiare la convergenza della seguente serie di potenze:

∞∑n=1

tan( √nn+ 1

)xn.

6. Determinare tutte le soluzioni della seguente equazione differenziale:

u′′ + 4u′ + 3u = e−x.

7. La funzione continua

f(x) =ex

x− 1assume valori positivi e negativi, ma non si annulla mai. Com’e possibile?



Nome e Cognome

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Corso di Laurea

Crediti

Docente


limx→+∞

ex + ln(1 + x2)

2x + sin(x).

2. Stabilire se la funzione g(x) = |x|3x e derivabile in 0, e in caso affermativo calcolareDg(0) = 0.

3. Studiare la funzione f(x) = ln(1 + 2x2), tracciandone il grafico e deteminandone gliestremi globali.

4. Calcolare il seguente integrale:∫ e

1

1 + ln(x)

x2dx.

5. Studiare la convergenza semplice e assoluta della seguente serie numerica:∞∑n=1

(−1)n(e

1n − 1

).

6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:{u′ =

√xu2

u(1) = 1.

7. Determinare tutti i punti critici della funzione

I(x) =

∫ x

0

sin(t)

tdt.



Compito A (Simulazione)

Nome e Cognome

Matricola

Corso di Laurea

Crediti

Docente

1. Dimostrare, per induzione su n, la seguente eguaglianza:n∑i=0

(2i+ 1) = (n+ 1)2.

2. Calcolare i seguenti limiti:

limx→0

ln(cos(x))

x2, limx→+∞

arctan(e

1x − 1

)ln(1x

+ 1) .


f(x) = ln(x2 − 2|x|+ 1

x+ 1

).


Compito B (Simulazione)

Nome e Cognome

Matricola

Corso di Laurea

Crediti

Docente

1. Determinare i punti interni, di frontiera e di accumulazione dell’insieme

A ={ n2

n2 + 1: n ∈ N

}.


limn

(1 + e−n

)n!, lim

n

(1 + e−n

)n2

.


f(x) = x− arctan(x+ 1).

Prova scritta di Analisi Matematica 1Prova parziale del 17/11/2017 – Tempo: 90 minuti

Compito A

Nome e Cognome

Matricola

Corso di Laurea

Crediti

Docente

1. Data la successione

an = ln( n2

n2 + 1

),

dimostrare che (an) e monotona. Quindi calcolare

infn∈N0

an, supn∈N0

an.

2. Sia f : R → R una funzione pari, derivabile, tale che f(0) = 0, e sia g(x) = xf(x).Dimostrare che g e dispari e che 0 e un punto critico sia per f che per g.

3. Studiare la funzione f(x) = x2e1x , tracciandone il grafico e determinandone gli estremi

globali.

Prova scritta di Analisi Matematica 1Prova parziale del 17/11/2017 – Tempo: 90 minuti

Compito B

Nome e Cognome

Matricola

Corso di Laurea

Crediti

Docente

1. Data la successione

an = ln(n2 + 1

n2

),

dimostrare che (an) e monotona. Quindi calcolare

infn∈N0

an, supn∈N0

an.

2. Sia f : R→ R una funzione dispari, derivabile, e sia g(x) = xf(x). Dimostrare che ge pari e che 0 e un punto critico per g.

3. Studiare la funzione f(x) = xe1x2 , tracciandone il grafico e determinandone gli estremi

globali.


Compito A (Simulazione)

Nome e Cognome

Matricola

Corso di Laurea

Crediti

Docente


limn

(n2 + 1

n2

)2 ln(n).

2. Scrivere il polinomio di Maclaurin di ordine 3 della funzione sinh(x). Applicando laformula di Maclaurin, calcolare

limx→0

sinh(x)− xx3

.


f(x) =ex

ex − 1.

4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫cos(x)2

2 cos(x)2 + sin(x)2dx.

5. Enunciare e dimostrare il Teorema della media integrale. Applicandolo, dimostrareche se f : [0, 1]→ R e una funzione crescente e f denota la sua media integrale, allora

f(0) 6 f 6 f(1).

6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:u′′ − 4u = xe2x

u(0) = 1

u′(0) = 0.


Compito B (Simulazione)

Nome e Cognome

Matricola

Corso di Laurea

Crediti

Docente


limx→+∞

e2x2+1

x3 − 1

ln(1 + 1/x

) .2. Enunciare e dimostrare il Teorema di Rolle. Applicandolo, dimostrare che se f :

[−1, 1]→ R e una funzione pari derivabile, allora Df(0) = 0.3. Studiare la seguente funzione, disegnandone il grafico:

f(x) = arctan(x2 − 1

x2

).

4. Studiare la convergenza del seguente integrale generalizzato:∫ 1

0

ln(x)√xdx.


limx→0+

∫ x0

sin(ln(t+ 1)) dx

x2.

6. Risolvere la seguente equazione differenziale:

u′′ + 2u′ − 3u = x2 + x.


Compito A

Nome e Cognome

Matricola

Corso di Laurea

Crediti

Docente


limnn2(

ln(n2 + 1)− ln(n2)).

2. Enunciare e dimostrare il Teorema di Fermat. Applicandolo, determinare i punti diestremo locale della funzione f(x) = 3x3 − 2x2 + 1.


f(x) =

√x2 + 1

x+ 1

(lo studio del segno della derivata seconda non va completato).4. Calcolare il seguente integrale:∫ 1

0

e2x + ex

e3x + 1dx.


0

1

ln(√x+ 1)

dx.

6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:{u′ − 2xu = x

u(0) = 1.

7. Studiare la convergenza delle seguenti serie:∞∑n=1

sin( 1

n2

),

∞∑n=1

1

sin(n2).

Gli studenti che sostengono l’esame con programma 2017-2018 svolgano i quesiti 1, 2, 3, 4,5, 6; quelli che sostengono l’esame con programma da 9 CFU fino al 2016-2017 svolgano iquesiti 1, 2, 3, 4, 6, 7; quelli che sostengono l’esame con programma da 5 CFU, i quesiti 1,2, 3, 4.


Compito B

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Corso di Laurea

Crediti

Docente


limnn(

ln(n2 + n)− ln(n2)).

2. Enunciare e dimostrare il Teorema di Fermat. Applicandolo, determinare i punti diestremo locale della funzione f(x) = 2x3 − 3x2.


f(x) =

√x2 + 1

x− 1

(lo studio del segno della derivata seconda non va completato).4. Calcolare il seguente integrale:∫ 1

0

e2x − ex

e3x − 1dx.


0

1

ln(x2 + 1)dx.

6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:{u′ + 2xu = 2x

u(0) = 1.

7. Studiare la convergenza delle seguenti serie:∞∑n=1

ln(

1 +1

n2

),

∞∑n=1

1

ln(1 + n2).



Nome e Cognome

Matricola

Corso di Laurea

Crediti

Docente


limx→±∞

arctan( |x|+ 1

x+ 1

).

2. Enunciare e dimostrare il Teorema dei valori intermedi. Applicandolo, dimostrare cheesiste x ∈ R t.c. ex = x2. (Facoltativo: dimostrare che tale x e unico.)

3. Studiare, disegnandone il grafico, la seguente funzione:

f(x) = x− ln(|x+ 1|).4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫

(x+ 1) arctan(x− 1) dx.

5. Determinare i punti critici della funzione F : [0, 2]→ R definita da

F (x) =

∫ x

0

sin(t2)

t+ 1dt.

6. Determinare tutte le soluzioni della seguente equazione differenziale:

u′′ + 4u′ + 4u = sin(2x).


(1 +

1

n2

)nxn.



Nome e Cognome

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Corso di Laurea

Crediti

Docente

1. Determinare i punti di accumulazione dell’insieme

A ={1 + n

en: n ∈ N0

}.

2. Determinare e classificare i punti di discontinuita della funzione

f(x) =arctan(1/x)

1− x2.


f(x) = ln(x+ 1

x− 1

).

4. Calcolare il seguente integrale:∫ e

1

ln(x)− 1

x ln(x)2 + xdx.

5. Calcolare il polinomio di Maclaurin di ordine 3 della funzione f(x) = sin(2x), quindiapplicandolo calcolare

limx→0

sin(2x)− 2x

x3.

6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:{u′ +

u

x+ 1= ex

u(0) = 1.


(−1)n2n

n!.



Nome e Cognome

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Crediti

Docente


limnn2 ln

(cos(1/n)2 + 2 sin(1/n)2

).

2. Determinare gli estremi globali della funzione f(x) = x+2|x| nell’intervallo I = [−1, 1].3. Studiare la seguente funzione, tracciandone il grafico:

f(x) = ln( x2

1 + x2

).

4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫e2x + 2ex

1 + exdx.

5. Enunciare e dimostrare il Teorema di Fermat.6. Determinare tutte le soluzioni della seguente equazione differenziale:

u′′ + 5u′ + 6u = e−2x.


xn

3√n.



Nome e Cognome

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Corso di Laurea

Crediti

Docente


limx→0+

ln(1 + xx).

2. Sia (an) una successione a termini reali crescente, tale che an 6 1 per ogni n ∈ N.Dimostrare che (an) e convergente.


f(x) =x2 + |x|x2 + 1

(calcolare la derivata seconda senza determinare esplicitamente i punti di flesso).4. Calcolare il seguente integrale definito:∫ 1

0

arctan(x+ 1) dx.

5. Stabilire se la funzione f : R→ R definita da

f(x) =

{x ln(|x|) se x 6= 0

0 se x = 0

ammette le derivate destra e sinistra in 0.6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:{

u′ = x(1 + u2)

u(0) = 0.

7. Studiare la convergenza assoluta e semplice della seguente serie numerica:∞∑n=1

(−1)n2n

n!.



Nome e Cognome

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Corso di Laurea

Crediti

Docente


limn

n2e2n

n!(suggerimento: dimostrare che la successione e definitivamente decrescente...)

2. Calcolare gli estremi superiore e inferiore dell’insieme

A ={

ln(n+ 1

n

): n ∈ N0

},

specificando se si tratta di massimo o minimo.3. Studiare la seguente funzione, tracciandone il grafico:

f(x) =ex

2x+ 1.

4. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫sin(ln(x))

xdx.

5. Enunciare e dimostrare il Teorema di Rolle.6. Determinare tutte le soluzioni della seguente equazione differenziale:

u′′ + 2u′ + u = cos(x).

7. Determinare l’insieme di convergenza della seguente serie di potenze:∞∑n=1

xn

2n + n.



Nome e Cognome

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Corso di Laurea

Crediti

Docente


limx→0

ln(cos(x))

ln(x+ 1).

2. Enunciare il Teorema di Weierstraß. Quindi stabilire, motivando la risposta, se lafunzione f(x) = e

1x ammette massimo o minimo globali in R \ {0}.


f(x) =√x2 − 2x− 3.


0

x+ 2

x2 + 4dx.

5. Enunciare e dimostrare la formula della derivata di un prodotto.6. Risolvere il seguente problema di Cauchy:{

u′ + cos(x)u = sin(2x)

u(0) = 0.

7. Determinare il carattere della seguente serie:∞∑n=0

n2 + 1

en.


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