Corrigé TD 15 - Liaisons - Schéma Cinématique (1)

Sciences Industrielles pour lIngnieur Page 1/6 16/01/2012

- MODELISATION DUN MECANISME - LIAISONS SCHEMA CINEMATIQUE

LIAISONS EQUIVALENTES

Exercice 1 : GUIDAGE EN ROTATION

Question 1 : En tenant compte des indications du constructeur sur langle de rotulage et en observant la faon dont est mont le roulement Rlt1, choisir une liaison permettant de modliser le comportement cinmatique de larbre 1 par rapport au bti 0 (uniquement pour ce roulement).

Question 2 : En tenant compte des indications du constructeur sur langle de rotulage et en

observant la faon dont est mont le roulement Rlt2, choisir une liaison permettant de modliser le comportement cinmatique de larbre 1 par rapport au bti 0 (uniquement pour ce roulement).

Question 3 : En dduire le graphe des liaisons correspondant ce guidage en rotation. Prciser

sil y a des liaisons en parallle ou en srie. Les 2 liaisons sont en parallle. Seul le graphe des liaisons nous permet de voir clairement si les liaisons sont en parallle ou en srie.

Question 4 : Dessiner, dans le plan ( , , )O x yJG JG

, le schma cinmatique correspondant.

Corrig TD 15 - Liaisons - Schma cinmatique CPGE 1re anne


Question 5 : Dterminer le torseur, au point B, de la liaison quivalente ces deux liaisons. Donner le nom de cette liaison. On donne AB a= .

Liaisons en parallle :{ } { } { }1 0 1/01/0eq A BL LIL = =V VV Attention : pour crire lgalit des lments de rduction des torseurs, il faut imprativement quils soient exprims au mme point !

{ } ,1/0 , 1/01/0 ,1/0,1/0 ( , , )

00

BB

B B

B

L Lx x BLLyLzB x y z

v = G G G

V et { } ,1/01/0 ,1/0,1/0 ( , , )

000

A

A A

A

Lx

L LyLzA x y z

= G G GV

On exprime le torseur de la liaison LA au point B :

1/01/0 1/0 ,1/0 ,1/0 ,1/0 ,1/0 ,1/0

0

( )A A A A A A AL L L L L L LB A x y z y zV V BA a x x y z a z a y = + = + + = GJJJJJJJG JJJJJJJG JJJG JJJJJG JG JG JG G G JG

Donc : { } ,1/01/0 ,1/0 ,1/0,1/0,1/0 ( , , )

0A

A A A

AA

Lx

L L Ly z

LLyzB x y z

a

a

= G G GV

Donc :{ } ,1/0 ,1/0, 1/0,1/0 ,1/0 ,1/0,1/0,1/0 ,1/0( , , ) ( , , )

1/0

0

00

B AB

eq B A A

AB A

L LLx xx BL L Ly y z

LL Lyz zB x y z B x y z

Lv

a

a

= = G G G G G G

V

Ce qui permet dobtenir les 6 quations scalaires suivantes que doivent satisfaire les composantes des lments de rduction de la liaison quivalente eqL :

,1/0 ,1/0 ,1/0 , 1/0 , 1/0

,1/0 ,1/0 ,1/0 , 1/0 ,1/0

,1/0 ,1/0 ,1/0 , 1/0 ,1/0

0

0

0

eq eqB A B

eq eqB A A

eq eqB A A

L LL L Lx x x x B x BL LL L Ly y y y B zL LL L Lz z z z B y

v v

et v a

v a

= = = = = = = = = = = =

On a donc : { } ,1/0( , , )

1/0

00 00 0

eq

eq

Lx

B x y z

L

= G G GV

Ce torseur correspond au torseur cinmatique dune liaison pivot daxe ( , )B xJG

. Question 6 : En dduire et dessiner le schma cinmatique minimal correspondant ce guidage

en rotation.



Exercice 2 : POMPE HYDRAULIQUE Question 1 : Compter le graphe des liaisons et le schma cinmatique de la pompe.

Question 2 : Donner, au point B, la forme du torseur cinmatique de la liaison 2/1L .

{ } , 2/12/1 ,2/1, 2/1 ( , , )

0

0

0

x B

y

z BB x y z

v

v

= G G GV

Question 3 : Donner, au point A, la forme du torseur cinmatique de la liaison 3/2L .

{ } ,3/23/2 ,3/2,3/2 ( , , )

000

x

y

zA x y z

= G G GV

Question 4 : Dterminer le torseur, au point A, de la liaison quivalente eqL entre S3 et S1. Donner le nom de cette liaison.

Les 2 liaisons sont en srie. Seul le graphe des liaisons nous permet de voir clairement si les liaisons sont en parallle ou en srie.

Liaisons en srie :{ } { } { }3 2 2/13/1eq IL = +V VV Attention : pour crire la somme des lments de rduction des torseurs, il faut imprativement quils soient exprims au mme point !

{ } ,3/23/2 ,3/2,3/2 ( , , )

000

x

y

zA x y z

= G G GV et { } , 2/12/1 ,2/1

, 2/1 ( , , )

0

0

0

x B

y

z BB x y z

v

v

= G G GV

On exprime le torseur de la liaison L2/1 au point A :

{ } , 2/12/1 ,2/1, 2/1 ( , , )

0

0

0

x A

y

z AA x y z

v

v

= G G GV

Il est trs important de bien connatre les zones de validit de la forme des torseurs cinmatique des liaisons usuelles afin dviter de faire des calculs inutiles lorsque lon dplace ces torseurs dun point un autre.

Dans le cas dune liaison appui plan, la forme gnrale du torseur cinmatique reste valable pour tous les points de lespace (ce qui ne signifie pas que les composantes des lments de rduction du torseur sont les mmes pour tous les points !)



Donc :{ } { } { } { } ,3/2 , 2/13 2 2/1 ,3/2 ,2/1, 2/1,3/2 ( , , )

3/1 3/1 0eq eq

x x A

I y y

z AzA x y z

L Lv

v

= + = + G G GV VV V

Ce torseur correspond au torseur cinmatique dune liaison sphre-cylindre de conatct A et de normale y

JG.

Question 5 : En dduire et dessiner le schma cinmatique minimal de la pompe.

Question 6 : Indiquer pour quelles raisons le concepteur de la pompe a choisi dutiliser les

plots 5.

En interposant les plots 5 entre les pistons 6 et larbre 1, on : - augmente la surface de contact entre les pices , ce qui permet de diminuer les dformations dues la pression de contact. F = p x S dans le cas dun contact ponctuel, la pression de contact est infinie ; - favorise le contact entre des matriaux qui possdent un faible coefficient de frottement; - permet un report dusure au niveau du contact plan entre les plots 5 et larbre 1. Cela sera moins couteux de changer les plots 5 plutt que les pistons 6.

Exercice 3 : GALET TENDEUR DE COURROIE Question 1 : Dessiner le graphe des liaisons.

1 Pivot glissant daxe )z,Q(

3 2

4

Pivot glissant daxe )z,P(

Pivot glissant daxe )y,Q( Pivot glissant

daxe )y,Q(



Question 2 : Donner la forme du torseur cinmatique de la liaison 2/1L .

Liaison pivot glissant daxe ( , )P zG

: { },2 1 , 2 1( , ) ( , , )

0 00 02/1

/ /z z MM P z x y zv

= G JG JG GV


Liaison pivot glissant daxe ( , )Q zG

: { },3 1 , 1 3( , ) ( , , )

0 00 03/1

/ /z z MM Q z x y zv

= G JG JG GV


Liaison pivot glissant daxe ( , )Q yJG

: { }2 3 ,2 3 , 2 3( , ) ( , , )

0 0

/ / /0 0y y M

M Q y x y z

v

= JG JG JG GV

Question 5 : Dterminer la forme du torseur cinmatique, au point Q , de la liaison quivalente eqL entre 2 et 1. Prciser son nom.

Seul le graphe des liaisons nous permet de voir clairement si les liaisons sont en parallle ou en srie. La liaison 2/1L est en parallle avec les 2 liaisons en srie 2/3L et 3 1/L , donc : { } { } { } { }2/1 2 3 3 12 1/ / /eqL = = +V V VV Attention : pour crire lgalit et/ou la somme des lments de rduction des torseurs, il faut imprativement quils soient exprims au mme point !

En exprimant les diffrents torseurs au point Q :

{ },2 1 , 2 1 ( , , )

0 00 02/1

/ /z z PP x y zv

= JG JG GV { } ,2/1

,2/1 , 2/1 ( , , )

.00 0 2/1

z

z z QQ x y z

b

v

= JG JG GV

car Q 2/1 P 2/1 , 2/1 ,2/1 ,2/1 , 2/1V V .z . .z . .x .z 2/1 z P z z z PQP v b y b v = + = + = +JJJJJJJG JJJJJJJG JJJG JJJJJG G JG G G G

{ },3 1 , 1 3 ( , , )

0 00 03/1

/ /z z QQ x y zv

= JG JG GV et { }2 3 ,2 3 , 2 3

( , , )

0 0

/ / /0 0y y Q

Q x y z

v = JG JG G

V

Il est trs important de bien connatre les zones de validit de la forme des torseurs cinmatique des liaisons usuelles afin dviter de faire des calculs inutiles lorsque lon dplace ces torseurs dun point un autre. Donc :

{ } ,2/1 ,2 3 , 2 3,2/1 , 2/1 ,3 1 , 1 3( , , ) ( , , )( , , )

2 1

.0 0 0 0 00 0 0 0/ //

0 0 / /

eq

z

y y Q

z z Q z z QQ x y z Q x y zQ x y z

Lb

vv v

= = + JG JG G JG JG GJG JG GV

{ } ,2/1 ,2 3 , 2 3,2/1 , 2/1 ( , , ) ,3 1 , 1 3 ( , , )

2 1

.0 0 00 0 /

/ /

//eq

z

y y Q

z z QQ x y z z z QQ x y z

Lb

vv v

= = JG JG G JG JG GV



{ }, 2/1 , 1 3 ( , , )

2 1

0 00 0 /0 /

eq

z Q z QQ x y z

L

v v

= = JG JG GV

On reconnait ici la forme gnrale du torseur cinmatique correspondant une liaison glissire de direction z

G.

Question 6 : En dduire le schma cinmatique minimal 3D en prenant la mme orientation que pour le schma cinmatique donn ci-dessus.

y

z

x O

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