Corrección

7/21/2019 Corrección

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UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDASPROYECTO DE MATEMÁTICAS

CÁLCULO III

CORRECIÓN DEL PRIMERPARCIAL

1. Sea f ( x , y )=√ (| xy|) .

a. Comprobar que D₁ f (0,0)=0 y D ₂ f (0,0)=0 .

b. ¿Tiene la superficie z=f ( x , y ) plano tangente en el origen?

Justifique su respuesta tomando mínimo dos caminos que

pasen por el origen e indique claramente la situación en el

punto.

2. allar una constantec

tal que en todo punto de la intersección delas dos esferas!

( x−c )2+ y2+ z

2=3 " y

x2+( y−1)2+ z

2=1

los planos tangentes correspondientes sean perpendiculares el uno al

otro.#. $esuel%a lo pedido!

a. Calcular la deri%ada direccional de f ( x , y , z )=( x

y )

z

en el punto

(1,1,1 ) y en la dirección de 2i+ j−k .

b. &as ecuaciones u=f ( x , y) " x= X ( t ) " y=Y (t ) definen a

u como función de t " esto es u= F (t ) . 'plique la regla de

la cadena para calcular F ' ( t ) y F ' ' ( t ) sí!

f ( x , y )=e xycos ( xy

2 )

X (t )=cos (t )Y ( t )=sen (t )




CÁLCULO III

Solución

Primer Punto

Este es el promedio de !ri!"i#$ por %$id!d de lo$&it%d ! lo l!r&o del e'e ()

D1

f (0,0 )= limh →0

f [ (0,0)+h (1,0 ) ]− f (0,0 )h

=limh → 0

f [ (h ,0 ) ]−f (0,0 )h

=0

D2 f (0,0 )=limh →0

f [ (0,0 )+h (0,1 ) ]−f (0,0 )h

=limh →0

f [ (0,h ) ]−f (0,0 )h

=0

E$to$"es ded%"imos *%e f ' ((0,0) ; r ' (t ))=f ' [(0,0); i ]= D ₁ f (0,0)=0 + !dem,s-

f ' ((0,0) ; r ' (t ))=f ' [(0,0); j ]= D₂ f (0,0)=0.

A.or!- tom!$do el "!mi$o c ₁ : y= x ) Se ded%"e *%e¿ x ²∨¿=¿ x∨¿

f ( x , y )=√ ¿ )

Los p%$tos de est! /%$"i#$ ie$e$ d!dos por l! e(presi#$ r (t )=(t ,t ,|t |) + por lo

t!$to- s% deri!d! ie$e d!d! ! tr!0s de l! deri!d! "ompo$e$te ! "ompo$e$te

r' ( t )=(1,1,) ) El pro1lem! se ie$e ! er "%!$do t tom! el !lor 0 - de1ido !

*%e $o e(iste l! deri!d! de !lor !1sol%to e$ el p%$to "ero)




CÁLCULO III

Como $o e(iste %$! "ompo$e$te del e"tor r' (t ) - e$to$"es tod! r

' (t ) $o

e(iste)

No .!+ %$ pl!$o t!$&e$te +! *%e e(iste %$ "!mi$o *%e p!s! por (0,0

) "%+o

r' (t ) $o e(iste) Y re"ordemos *%e e$ %$ p%$to P todos los i$/i$itos "!mi$os

tie$e$ %$ r' (t ) + el pl!$o t!$&e$te "o$tie$e ! todos los i$/i$itos r

' (t ) )

Se ded%"e *%e los e"tores t!$&e$tes r' (t ) determi$!$ %$ pl!$o ll!m!do Pl!$o

T!$&e$te)

Tom!$do otro "!mi$o c2: y=− x - e$to$"es¿− x ²∨¿=¿ x∨¿

f ( x , y)=√ ¿ ) Se lle&! ! l!

mism! "o$"l%si#$ de1ido ! *%e o1te$emos ! V!lor A1sol%to "omo /%$"i#$respe"to !l p%$to 2)

()T'

Co$ z=√ x2+ y2

*%e es %$ "o$o3

Podemos o1te$er *%e3

D1 f (0,0 )=limh →0

f [ (h ,0 ) ]− f (0,0 )h

=limh → 0

√ h2

h =lim

h →0

|h|h

Co$ el *%e se s!1e de !$tem!$o *%e el l4mite $o e(iste) A.or!-

D2 f (0,0 )=limh →0

f [ (0,h ) ]h

=limh →0

√ h2

h =lim

h →0

|h|h

5%e t!mpo"o e(iste) Por lo t!$to- $o e(iste$ deri!d!s p!r"i!les)




CÁLCULO III

Si y= x - z=√ 2 x2=√ 2√ x2=√ 2| x| ) Por lo t!$to- o1te$emos *%e

r (t )=(t ,t ,√ 2|t |) + por lo t!$to r ' (t )=(1,1,) ) As4 $o .!+ r ' (0 ) ) Por lo *%e $o

.!+ pl!$o t!$&e$te)

Segundo Punto

F 1 ( x , y , z )=( x−c )2+ y

2+ z2−3

F 2 ( x , y , z )= x2+( y−1)2+ z

2−1

Por lo *%e !l .!ll!r los e"tores &r!die$tes- o1te$emos *%e3∇ F 1 ( x , y , z )=(2 ( x−c ) ,2 y , 2 z )

∇ F 2 ( x , y , z )=(2 x ,2 ( y−1 ) ,2 z )

Y "omo de1e$ ser perpe$di"%l!res- el prod%"to i$ter$o de los &r!die$tes de1e ser orto&o$!l- es de"ir 2)

∇ F 1∗∇ F 2=4 x ( x−c )+4 y ( y−1 )+4 z2=0

( x2+ y2+ z

2 )−cx− y=0[1]

Adem,s- de ∇ F 1 + de ∇ F 2 o1te$emos *%e3

( x−c )2+ y2+ z

2−3=0→ ( x2+ y2+ z

2 )−2cx+c2=3[2]

Y t!m1i0$-

x2+( y−1)2+ z

2−1=0→ ( x2+ y2+ z

2 )=2 y [3]

A.or!- reempl!6!$do [3 ] e$ [1] - o1te$emos

2 y−cx− y=0→ y−cx=0




CÁLCULO III

Y de este res%lt!do e$ [2 ] ,

2 y−2 cx+ c2=3→2 ( y−cx )+ c

2=3

c2=3→ c=±√ 3

A.or!- si c=√ 3→ y=√ 3 x ) P!r!metri6!$do x=t - y=√ 3 t - e$to$"es

t 2+3 t 2+ z2=2√ 3 t

4 t 2+ z

2=2√ 3 t

z2=2√ 3 t −4 t

2=2t (√ 3−2 t )

Y e$ [1] o1te$emos

t 2

+3 t 2

+2√ 3 t −4 t 2

−√ 3 t −√ 3 t =0

As4- o1te$emos el e"tor ( x , y , z ) e(pres!do e$ t0rmi$os de t 3

r (t )=(t ,√ 3 t , (2√ 3 t −4 t 2 )

1

2)




CÁLCULO III

Tercer Punto

!) f ( x , y , x )= x z

y z → D

1f ( x , y , z )= zx

z−1

y z

→ D1

f (1,1,1 )=1

D2

f ( x , y , z )= x z

zy z−1

= x z [− z y

− z−1 ] → D2

f (1,1,1)=−1

D3 f ( x , y , z )= x

y

z

ln( x

y )→ D3 f (1,1,1 )=0

Y /orm!mos el e"tor &r!die$te- e$to$"es∇ f (1,1,1 )= (1,−1,0 )

A.or!- $orm!li6!$do el e"tor u " o1te$emos

u= (2,1,−1)‖(2,1,−1)‖

=(2,1,−1)√ 6

Co$ esto- podemos .!ll!r l! deri!d! dire""io$!l + !s43

f ' [ (1,1,1 ); u ]=∇ f (1,1,1 )∗u=(1,−1,0 )(

2

√ 6, 1

√ 6,−1

√ 6)

¿ 2

√ 6−

1

√ 6=

1

√ 6=√ 6

6

1) El di!&r!m! *%e represe$t! l! re&l! de "!de$! ! %s!r es el si&%ie$te3

R → R2

→ R

t → r (t )→ f [r (t )]

u= F (t )=f (r (t ))

As4- F ' (t )=∇ f (r (t ) )∗r

' ( t )= D1 f ( x , y )∗ X ' (t )+ D2 f ( x , y )∗Y

' (t ) )

Por lo *%e primero se .!ll!r,$ l!s deri!d!s p!r"i!les D1 f y D2 f )

D1

f ( x , y )=e xy [−sin ( x y

2 )∗ y2 ]+ ye

xycos ( xy

2)

D1 f ( x , y )=− y2 e xy

[ sin ( x y2 ) ]+ ye xy cos ( xy2)

Y "o$ X ' (t )=−sin t 3

D1 f ( x , y )=¿

¿−(sin t )2 esint ∗cos t [sin (cos t ∗(sin t )2 )]+ sint e

sin t ∗cos t cos(cos t ∗(sin t )2)




CÁLCULO III

A.or!-

D2 f ( x , y )=e xy [sin ( x y

2 )∗−2 yx ]+ xe xycos( xy

2)

D2

f ( x , y )=−2 yx∗e xy [sin ( x y

2) ]+ xe xycos( xy

2)

Y "o$ Y ' (t )=cos t :

D2

f ( x , y )=¿

t

sin t ∗cos¿¿

¿−2¿

+cos t esin t ∗cos t

cos (cos t ∗(sin t )2 )

Por lo t!$to- F

' ( t )= (sin t )3

esint ∗cos t [sin (cos t ∗(sin t )2 )]

−(sin t )2 esin t ∗cost


sin t ∗(cos t )2esin t ∗cos t [sin (cos t ∗(sint )2) ]

−2¿

+(cos t )2 esin t ∗cos t


sin t ∗(cos t )2

(sin t )3−2¿esin t ∗cos t

[sin (cos t ∗(sin t )2) ]¿¿

+[( cos t )2−(sin t )2]esin t ∗cost

cos (cost ∗(sin t )2 )

¿ [2 (cos t )2−1 ]esin t ∗cos t cos (cos t ∗(sin t )2 )

t

sin ¿

3 (sin t )3−2¿e

sint ∗cos t [cos (cos t ∗(sin t )2 )]+¿




CÁLCULO III

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