CORPOS R´IGIDOS Mecanica II (FIS-26)ˆ Prof. Dr. Ronaldo...

RevisaoCorpos Rıgidos

CORPOS R IGIDOSMecanica II (FIS-26)

Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pela

IEFF-ITA

5 de marco de 2013

R.R.Pela Corpos Rıgidos


Roteiro

1 Revisao

2 Corpos RıgidosIntroducaoMovimento Plano do Corpo Rıgido



Roteiro

1 Revisao

2 Corpos Rıgidos



Algarismos significativos

0,333→ 3 alg. sign.3,155→ 4 alg. sign.3→ 1 alg. sign.3,0→ 2 alg. sign.30→ 2 alg. sign.300→ 3 alg. sign.3,010→ 4 alg. sign.0,033→ 2 alg. sign.0,030→ 2 alg. sign.



Algarismos significativos

Algarismo significativo e diferente de casa decimalFazer os calculos com a maior quantidade de casasdecimais possıvelNo final, ao dar a resposta, colocar com a quantidadeadequada de algarismos significativos

Regra do “mais pobre”Arredondar sempre para o numero mais proximo

Arredondar nao e o mesmo que truncar



Exemplo

Um corpo de 3,00 kg esta sujeito a uma forca de 10 N.Qual a aceleracao deste corpo? Qual o deslocamento docorpo apos 3,00 s, considerando que o mesmo partiu dorepouso?Solucao:

Aceleracao: a = F/m = 10/3,00 = 3,33333 m/s2

Considerando alg. sign.: a = 3,3 m/s2

Distancia: d = at2/2 = (3,3333)(3, 00)2/2 = 15,000 mConsiderando alg. sign.: d = 15 m



Mecanica I

EstaticaCinematicaDinamica: forca e aceleracaoDinamica: trabalho e energiaDinamica: momento linear e angularTeoria cinetica dos gases



Mecanica I

Centro de Massa (CM) de um sistema de N partıculas:

~rCM =

∑mi~riM

sendo M =

N∑i=1

mi.

Ha uma tabela de CM no apendice da apostilaTambem no site:

http://www.ief.ita.br/∼rrpela/downloads/FIS26-MomentoArea-2011.jpeghttp://www.ief.ita.br/∼rrpela/downloads/FIS26-MomentoInercia-2011.jpeg



Mecanica I

Distribuicao linear:

~rCM =

∫~rdm

M=

∫~rλdl

M

Distribuicao superficial:

~rCM =

∫~rdm

M=

∫~rσdA

M

Distribuicao volumetrica:

~rCM =

∫~rdm

M=

∫~rρdV

M



Mecanica I

Se um corpo possui um eixo de simetria, entao o CM estalocalizado sobre este eixo.Se um sistema de partıculas pode ser subdividido em doissubsistemas A e B, entao:

~rCM =mA~rCM,A +mB~rCM,B

mA +mB



Mecanica I

Momento linear de um sistema de partıculas:

~P = m1~v1 +m2~v2 + . . .+mN~vN = M~vCM

Segunda lei de Newton:

~F (ext) =d~P

dt= M~aCM

Propriedade do CMO CM de um sistema de partıculas se move como se a massa to-tal do sistema e todas as forcas estivessem atuando neste ponto.



Mecanica I

Momento angular de um sistema de partıculas:

~L =

N∑i=1

mi~ri × ~vi = M~rCM × ~vCM + ~LCM

onde ~LCM e o momento angular do sistema em relacao aum referencial no CMTorque:

~τ (ext) =d~L

dt

~τ(ext)CM =

d~LCMdt



Mecanica I

Trabalho e energia:

W (ext) +W (int) = ∆EC

se as forcas internas sao conservativas:

W (ext) = ∆U

sendo U = EC + E(int)P

Pergunta desafio: Como desfazer a aparente contradicaoentre a equacao W (ext) = ∆U e a primeira lei daTermodinamica?



Mecanica I

Energia cinetica:

EC =m1v

21

2+m2v

22

2+ . . .+

mNv2N

2=Mv2CM

2+ EC,CM

No caso de duas partıculas:

EC,CM =µv2rel

2

sendo µ = (m1m2)/(m1 +m2) a massa reduzida dosistema de duas partıculas.



IntroducaoMovimento Plano do Corpo Rıgido

Roteiro

1 Revisao

2 Corpos RıgidosIntroducaoMovimento Plano do Corpo Rıgido




Motivacao

Dificilmente, as partıculas ocorrem isoladamente nanatureza, elas geralmente formam aglomerados, oumelhor, sistemas de partıculas.

Molecula de H2: sistema de 4 partıculas.22,4 l de Ar, nas condicoes normais de temperatura epressao, podem ser vistos como um sistema de 6× 1023

partıculas de Ar

Classe de sistemas de partıculas particularmente util emdiversos problemas de Engenharia: sao os corpos rıgidos.




Motivacao

Corpo Rıgido

Um corpo rıgido e um sistema de partıculas no qual a distanciaentre quaisquer duas partıculas nao se altera com o tempo.

Exemplos de corpos rıgidos: uma caixa, as pas da helicede um ventilador, a roda de um automovel, a fuselagem deum aviao, uma barraNa pratica, nao existam corpos perfeitamente rıgidos

Todos os corpos admitem pequenas deformacoesNo entanto, a teoria de corpos rıgidos consegue fornecerresultados excelentes para o movimento de muitos corpos

Corpos deformaveis: podem ser considerados rıgidos,numa primeira aproximacao




Movimento Plano do Corpo Rıgido

Quando todas as partıculas de um corpo rıgido se movemao longo de trajetorias que sao equidistantes de um planofixo, diz-se que o corpo rıgido possui um movimento plano.Ha 3 tipos de movimento plano de corpo rıgido

1 Translacao: quando cada segmento de linha sobre o corporıgido permanece, durante o movimento, paralelo a suaposicao original.

2 Rotacao em torno de um eixo fixo: quando todas aspartıculas do corpo rıgido (exceto as que se apoiam sobreo eixo de rotacao) se movem em trajetorias circulares.

3 Movimento plano geral: quando ha uma combinacao dosdois movimentos anteriores.




Movimento Plano do Corpo Rıgido




Movimento de Translacao

O movimento de translacao ede analise imediata

~rB = ~rA + ~rB/A

Derivando:

~vB = ~vA

A derivada de ~rB/A e zero porse tratar de movimento detranslacaoPor fim, a aceleracao e dadapor:

~aB = ~aA




Rotacao em torno de um eixo fixo

Reduz-se ao movimento circular de um ponto P emqualquer secao transversal ao eixo.1 grau de liberdade: angulo θ

Isto e falso para um movimento de rotacao mais geral(e.g., no movimento de um piao, o eixo de rotacao varia acada instante).

Para caracterizar uma rotacao no caso geral, nao basta oangulo de rotacao, e preciso saber a direcao do eixo derotacao.





Podemos associar um vetor “θ” a uma rotacao?Uma rotacao finita, embora tenha modulo, direcao esentido, nao e um vetorRotacoes infinitesimais podem ser caracterizadas comovetores.

δ~θ :

modulo: δθ (deslocamento angular),direcao: eixo de rotacao,sentido: regra da mao direita.





Sendo−−→OP = ~r e

−−→PP ′ = δ~s,

temos:

δ~s = δ~θ × ~r.

Isto continua valido mesmoquando

−−→OP e

−−→PP ′ nao estao

no mesmo plano.

Neste caso:δs = ρδθ = r sinϕ(δθ).





Uma vez definido o vetor angulo (infinitesimal), temos:

~ω = limδt→0

(δ~θ

δt

),

~v = limδt→0

(δ~s

δt

)= lim

δt→0

(δ~θ

δt

)× ~r = ~ω × ~r.

Derivando em relacao ao tempo, obtemos a aceleracao deum certo ponto P do corpo rıgido:

~a =d~ω

dt× ~r + ~ω × d~r

dt= ~α× ~r + ~ω × (~ω × ~r),

sendo ~α =d~ω

dta aceleracao angular.




Movimento Plano Geral

Movimento plano geral = translacao + rotacao

O sistema de eixos xy e fixo e mede a posicao “absoluta”de dois pontos A e B sobre o corpo.A origem do sistema x′y′ esta fixada a um ponto A docorpo rıgido (um ponto que geralmente tem um movimentoconhecido)Os eixos x′y′ nao giram com o corpo, eles podem apenastransladar em relacao ao sistema fixo




Movimento Plano Geral

~vB = ~vA + ~vB/A

B esta sempre a mesma distancia de ASeu movimento (em relacao a A) pode ser caracterizadocomo uma rotacao em torno de um eixo “fixo” que passapor A

~vB = ~vA + ~ω × ~rB/A~aB = ~aA + ~α× ~rB/A + ~ω × (~ω × ~rB/A)




Exemplo

A barra AB mostrada na Figura esta confinada a mover-se aolongo de planos inclinados em A e B. Se o ponto A tem umaaceleracao de 3,00 m/s2 e uma velocidade de 2,00 m/s ambasdirecionadas plano abaixo no instante em que a bara fica nahorizontal, determine a aceleracao angular da barra nesteinstante.




Solucao

Uma vez que A e B se movem em trajetorias retilıneas, asvelocidades (e aceleracoes) destes pontos estao dirigidasao longo destas direcoesComo o comprimento da barra nao varia com o tempo,vA cos 45◦ = vB cos 45◦, ou seja, vB = vA = 2,00 m/s. ComovB/A = ωrB/A, temos: (2).(2m/s).(

√2/2) = (ω).(10,0 m),

ou seja,~ω = (0,283 rad/s)z




Solucao

Aceleracao angular:

~aB = ~aA + ~α× ~rB/A + ~ω × (~ω × ~rB/A)

(aB cos 45◦)x+ (aB sin 45◦)y = (aA cos 45◦)x− (aA sin 45◦)y

+ (10,0α)y − (0,283)2.(10,0)x

que conduz ao seguinte sistema de equacoes:{aB cos 45◦ = aA cos 45◦ − (0,283)2.(10,0)aB sin 45◦ = −aA sin 45◦ + 10,0α

Substituindo aA = 3,00 m/s2, obtemos

~α = (0,344 rad/s2)z


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