ANALYSE DES STRUCTURES ET MILIEUX CONTINUS

Trait de Gnie CivilVolume 5

gerbig

Eiskapelle (Heinz Isler)Tente en glace ; base en toile produisant un effet de structureplisse raidissant la coque ; hauteur de 6 m.

Everything in nature, whatever you find is organic shape, is double curvature,nothing plane.

Where traditional statics ends, there the calculation of a shell starts.

Heinz Isler(tir de Chilton J., Heinz Isler, Thomas Telford, 2000)

Illustration de couverture :

Weihnachtsdorf (Heinz Isler, 1980 -1981)Dmes et tentes en glace

Photographies de Heinz Isler(consulter la bibliographie, ainsi que Spiel ohne Grenzen, H. Isler,Technische Universitt Mnchen, Nov. 2000)

Volume 5

ANALYSE DES STRUCTURESET MILIEUX CONTINUS

Coques

Franois FreyProfesseur lEcole polytechnique fdrale de Lausanne

Marc-Andr StuderCharg de cours lEcole polytechnique fdrale de Lausanne

Dessins raliss par

Maurice Fiaux

PRESSES POLYTECHNIQUES ET UNIVERSITAIRES ROMANDES

Trait de Gnie Civilde lEcole polytechnique fdrale de Lausanne

publi sous la direction de Ren Walther et Manfred A. Hirt

Trait de Gnie Civilde lEcole polytechnique fdrale de Lausanne

Cet ouvrage fait partie dune srie dune vingtaine de volumes qui sont publis sous la direction de Ren Waltheret Manfred Hirt, professeurs lEcole polytechnique fdrale de Lausanne, dont la liste suivante, non exhaustive,

prsente le plan gnral de publication (voir ltat des parutions sur notre site web http://www.ppur.org).

1. ANALYSE DES STRUCTURES ET MILIEUX CONTINUSStatique applique

2. ANALYSE DES STRUCTURES ET MILIEUX CONTINUSMcanique des structures

3. ANALYSE DES STRUCTURES ET MILIEUX CONTINUSMcanique des solides

4. ANALYSE DES STRUCTURES ET MILIEUX CONTINUSPoutres et plaques

5. ANALYSE DES STRUCTURES ET MILIEUX CONTINUSCoques

6. ANALYSE DES STRUCTURES ET MILIEUX CONTINUSMthode des lments finis

7. DIMENSIONNEMENT DES STRUCTURES EN BTONBases et technologie

8. DIMENSIONNEMENT DES STRUCTURES EN BTONAptitude au service et lments de structures

9. PONTS EN BTONGnralits, conception et dimensionnement

10. CONSTRUCTION MTALLIQUENotions fondamentales et mthodes de dimensionnement

11. CHARPENTES MTALLIQUESConception et dimensionnement des halles et btiments

12. PONTS EN ACIERConception et dimensionnement des ponts mtalliques et mixtes acier-bton

13. CONSTRUCTION EN BOISMatriau, technologie et dimensionnement

14. VOIES DE CIRCULATIONRoutes et chemins de fer, conception et construction

15. CONSTRUCTIONS HYDRAULIQUESEcoulements stationnaires

16. HYDRAULIQUE FLUVIALEEcoulement et phnomnes de transport dans les canaux gomtrie simple

17. BARRAGESConception, construction, contrle

18. MCANIQUE DES SOLS ET DES ROCHES19. FOUILLES ET FONDATIONS

20. OUVRAGES ET TRAVAUX SOUTERRAINS21. SYSTMES NERGTIQUES

Offre et demande dnergie: mthodes danalyse22. AMNAGEMENTS NERGTIQUES

23. TUDES DIMPACT SUR LENVIRONNEMENT24. MATRIAUX

Constitution et lois de comportements rhologiques

Complments au Trait de Gnie CivilLE GEL et son action sur les sols et les fondations

CONSTRUIRE EN BTON Synthse pour architectesCONSTRUCTION MTALLIQUE

Exemples numriques adapts aux Eurocodes

Le Trait de Gnie Civil est une publication des Presses polytechniques et universitaires romandes,fondation scientifique dont le but est principalement la diffusion des travaux de lEcole polytechnique fdrale de Lausanne.

Le catalogue de ces publications peut tre obtenu aux Presses polytechniques et universitaires romandes, CH-1015 Lausanne

Premire ditionISBN 2-88074-516-0

2003, Presses polytechniques et universitaires romandes, CH-1015 LausanneTous droits rservs. Reproduction, mme partielle, interdite.

Imprim en Suisse par Jordi AG, Belp

Avant-propos

Cet ouvrage forme le cinquime maillon de la srie douvrages consacre lanalyse des structureset milieux continus. Le lecteur peut se reporter lavant-propos du premier dentre eux (TGC vol. 1,Statique applique), qui reste dactualit.

Conformment lesprit du Trait de Gnie Civil, ce livre est le reet du cours intitul Structures3D parois minces que les tudiants de la section de Gnie civil de lEcole polytechnique fdralede Lausanne (EPFL) reoivent durant le septime semestre. Dans un domaine aussi large que celuides coques, on se limite volontairement aux bases classiques, en les prsentant de manire simple etavec loptique de lingnieur.

Spcialiste de lanalyse des coques, notre collgue et ami G. Fonder, professeur lUniversit deLige, a mis notre disposition ses notes de cours ce dont le prsent ouvrage a fortement bn-ci et a, de surcrot, relu et discut lentier du manuscrit avec un esprit trs constructif. Les auteursle remercient chaleureusement.

Notre collgue J. Jirousek, professeur honoraire, qui a partag lenseignement du cours avec lesauteurs de nombreuses annes, a galement laiss des traces importantes dans cet ouvrage, en parti-culier dans les chapitres 3, 5, 9 et 10. Nous len remercions vivement.

Ont galement contribu la valeur du prsent texte, de manire directe ou indirecte, les collabo-rateurs et chercheurs du LSC qui ont consacr leur temps aux exercices, travaux pratiques, travaux dediplme, travaux de recherche ou thses de doctorat dans le domaine des coques. Ce sontM. Amieur,Y. Dubois-Plerin, C. Falla Luque, A. Ibrahimbegovic, Ph. Jetteur, S. Jaamei, H. Rabemanantsoa,B. Rebora et C. Scholts.

Enn, nous remercions galement les Presses polytechniques et universitaires romandes (PPUR),qui ont apport un soutien dcisif la ralisation de ce volume et mis notre disposition les talents deMme M.-H. Gellis pour la composition et la mise en page, et ceux de M. M. Fiaux pour lexcutionet le traitement informatiss des dessins, graphiques et photographies.

Franois FreyMarc-Andr Studer

Introduction

Coques : conception, analyse et esthtique

Les structures en coques ne sont pas lexclusivit de lingnieur civil ; elles sont employes gale-ment en construction aronautique, navale, automobile et mcanique, ainsi quen gnie chimique etnuclaire. Elles ont nanmoins la particularit commune dtre parmi les structures les plus dlicates tudier.

Quil sagisse dune couverture en voile mince ou dun rservoir sous pression, dune coque denavire ou dun chteau deau, lingnieur reste confront aux deux impratifs usuels suivants : savoiranalyser la structure pour la dimensionner avec prcision et scurit, et savoir concevoir, planier etconstruire la structure de manire rationnelle et conomique.

Mais, pour lingnieur civil, dans le domaine des coques et structures plisses, survient frquem-ment une troisime exigence essentielle : savoir choisir des formes esthtiques pour donner la construc-tion un aspect attrayant. Ce troisime impratif est trop souvent nglig voire abandonn dau-tres alors que, dans ce type de structures, analyse, construction et esthtique sont intimement lis.Ngliger lune de ces composantes revient aller au-devant de dboires certains (lopra de Sydneyrestera clbre ce point de vue).

Alors que lanalyse surtout (objet de ce texte) et la construction senseignent aisment, sappuyantsur des notions mathmatiques et pratiques prouves, lesthtique par contre reste par nature beau-coup plus oue, intuitive, subjective et dicile cerner avec prcision. Dans les structures tridimen-sionnelles de lingnieur civil, elle est un pivot essentiel du projet. Les grands constructeurs de coqueslont bien compris : ils sont de bons scientiques, mais ils sont aussi artistes, et ils savent sappuyersur des architectes comptents.

La construction des coques sest fort dveloppe ces soixante dernires annes et le recul que lin-gnieur peut prendre aujourdhui vis--vis de ces ouvrages, en ce qui concerne la conception, lesth-tique, la construction et la durabilit, est un excellent guide pour lavenir. Nombre de ces structuresont t riges avec peu de thorie mathmatique, mais avec une connaissance saine du jeu des forces,du comportement structural et de lart de construire.

Aujourdhui, la nesse, laudace et la complexit des structures tridimensionnelles deviennentmonnaie courante, car lingnieur bncie, grce au calcul numrique par ordinateur, de moyensdtude trs complets pour comprendre dans le dtail la manire dont ces structures transmettentles eorts. Les mthodes analytiques lourdes et souvent imprcises du calcul manuel sont totalementabandonnes. Les mthodes simples et sres sont par contre conserves tant pour comprendre les-sentiel du fonctionnement structural que pour prdimensionner. Lanalyse ne est alors eectue parun bon programme de calcul par ordinateur (mthode des lments nis).

Linformatique toutefois ne reste jamais quun auxiliaire pour le constructeur : une bonne concep-tion dcoule dabord dun mariage harmonieux des connaissances thoriques et pratiques.

viii COQUES

Cadre de louvrage

Ce livre prtend orir une introduction consquente lanalyse thorique et numrique descoques et structures plisses. Dans cette optique, et face ltendue des dveloppements dans cedomaine, on sest restreint aux notions les plus classiques et les plus solides.

Le livre est ddi, pour la plus grande part, aux coques minces. La thorie gnrale la plus simpledes coques minces, due Love, est expose dans les coordonnes curvilignes des lignes de cour-bure principale, ce qui vite lemploi de lanalyse tensorielle. Quelques notions de thorie des coquesdpaisseur modre sont nanmoins mentionnes en liaison avec la mthode des lments nis. Aureste, on se limite au cas statique, lastique linaire, isotrope et, lexception des problmes dinsta-bilit, gomtriquement linaire (petits dplacements).

Lanalyse de certains types courants de coques est dveloppe plus en dtail. Dans la mesure dupossible, les thories particularises ces types sont tablies nouveau. On pourrait craindre undouble emploi avec la thorie gnrale. A vrai dire, cette dernire peut paratre abstraite ou loignedu sens physique de lingnieur. Cest donc pour bien faire saisir le fonctionnement de ces diverstypes de coques, donner une signication concrte aux termes des quations gnrales, voire viterde retenir tous les dtails de ces quations, que les thories particularises sont prsentes de faonindpendante. De plus, le lecteur dispose galement, de la sorte, dune certaine autonomie dans lesdivers chapitres.

On na dailleurs retenu, des dveloppements prcdents, que ce qui peut tre utile au construc-teur. En fait, ces notions doivent permettre de saisir le mode de travail de la coque et den calculercertains lments, an daborder un calcul aux lments nis avec conance et, tape essentielle, dencontrler la validit des rsultats. Aujourdhui en eet, seule la mthode des lments nis est capabledanalyser une coque avec prcision. Lingnieur se doit donc de recourir cet outil, an de sassurerdu dimensionnement correct de son ouvrage, mais en connaissance de cause.

Notation

La notation est classique. Les variables sont en italique maigre, les vecteurs et matrices sont enromain gras, et la notation indicielle nest pas compacte.

Table des matires

AVANT-PROPOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

TABLE DES MATIRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

1 Description

1.1 Elment structural paroi mince . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Gomtrie de la surface moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Etat membranaire et tat exionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Coques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Structures plisses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6 Autres structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.7 Analyse des surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Thorie des coques minces

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 Thorie de Love . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3 Elment de coque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4 Hypothses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.5 Autres thories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.6 Cinmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.7 Statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.8 Loi constitutive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.9 Bilan des inconnues et quations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.10 Conditions aux limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3 Thories particulires

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2 Thorie membranaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3 Thorie en coordonnes cartsiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.4 Coques surbaisses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4 Coques de rvolution Thorie membranaire

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2 Gomtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

x COQUES

4.3 Equations dquilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.4 Chargement de rvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.5 Cinmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.6 Conditions aux limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.7 Application Coque cylindrique (chargement de rvolution) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5 Coques de rvolution Thorie exionnelle sous chargement de rvolution

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.2 Gomtrie, charges et eorts intrieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.3 Equations dquilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.4 Cinmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.5 Loi constitutive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.6 Bilan et conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.7 Coque cylindrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.8 Coque cylindrique Eet exionnel de bord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.9 Mthode approche par superposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.10 Application Rservoir cylindrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.11 Coque sphrique Eet exionnel de bord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.12 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.13 Annexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6 Coques de rvolution Jonctions

6.1 Position du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.2 Anneau raidisseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.3 Rexions sur les eorts aux jonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.4 Calcul des jonctions de coques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.5 Application Fond de rservoir sous pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

7 Coques cylindriques Thorie membranaire

7.1 Gomtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.2 Equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1367.3 Cinmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1387.4 Loi constitutive et bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1397.5 Conditions aux limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1397.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417.7 Forme de la directrice dune vote autoportante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1467.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1477.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

TABLE DESMATIRES xi

8 Coques cylindriques Thorie exionnelle

8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1518.2 Equations de la thorie exionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1518.3 Calcul dune coque cylindrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1538.4 Votes autoportantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1548.5 Votes longues Mthode de la poutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1558.6 Votes raidies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1598.7 Prcontrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1618.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1628.9 Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

9 Parabolodes

9.1 Description et gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1679.2 Parabolodes hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1709.3 Parabolodes elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1779.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

10 Structures plisses

10.1 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18110.2 Mode de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18110.3 Coques prismatiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18310.4 Coques prismatiques droites simple porte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18310.5 Mthode par panneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18410.6 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

11 Mthodes numriques

11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19511.2 Avantages et inconvnients de la mthode des lments nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19511.3 Exigences communes aux lments nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19711.4 Thories et lments nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19811.5 Elments de coque mince . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20111.6 Elments plaques-membranes minces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20711.7 Elments de coque dpaisseur modre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20811.8 Quelques problmes de discrtisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21611.9 Elments nis particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22411.10 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22711.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

12 Instabilit

12.1 Complexit et importance du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22912.2 Echec de la thorie classique de linstabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22912.3 Analyse non linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

xii COQUES

12.4 Forme rationnelle des coques pour lutter contre linstabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24012.5 Instabilit par uage et claquement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24112.6 Deux formules de dimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24212.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

SOLUTION DES EXERCICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

BIBLIOGRAPHIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

INDEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

NOTATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

ABRVIATIONS ET SYMBOLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

1 Description

1.1 Elment structural paroi mince

On considre une portion dune surface , ainsi que sa normale n au point A (g. 1.1a). Onporte, sur n, le segment BC de longueur t, symtriquement par rapport A (AB = AC). En fai-sant parcourir au point A toute la surface , la grandeur t pouvant varier trs progressivement, onmatrialise un lment structural, dit paroi mince si t est petit vis--vis de certaines dimensions ca-ractristiques de (t < L, t < a, t < r ; g. 1.1b). On appelle la surface moyenne et t lpaisseur.Les surfaces engendres par les extrmits B et C du segment normal, qui limitent llment structu-ral selon lpaisseur, sont appeles faces (ou surfaces) extrmes, suprieure et infrieure, extrieure etintrieure, voire avant et arrire, selon les cas.

(a)

B

A

C

normale n

t

surface S

n

(b)

a

r

t (variable)

L

S (surface moyenne)

Fig. 1.1 Elment structural mince (t est lpaisseur) : (a) surface moyenne et sa normale ;(b) dimensions caractristiques (L, a, r).

Ingnieurs et architectes conoivent une innie varit de structures formes dun ou plusieurslments de ce genre, de sorte quune classication est presque impossible. On distingue, daprs laforme de la surface moyenne,

2 COQUES

les coques ou voiles, surface moyenne courbe,

les parois et plaques, surface moyenne plane (TGC vol. 4),

les structures plisses, surface moyenne polydrique.

La rigidit de ces structures peut tre accrue par ladjonction de raidisseurs. On parle alors decoques et plaques nervures ou raidies.

Les domaines dutilisation couvrent tous les secteurs : rservoirs, conduites et tuyauteries, cou-vertures, carrosseries, fuselages davion, coques de navire, ponts biais ou courbes, chteaux deau,votes, barrages, silos, enceintes de racteur, tours de refroidissement, bouteilles, murs et cules, pla-telages, tunnels, etc.

Les matriaux utiliss sont le bton, lacier et, moins frquemment, les matriaux composites (bres de verre, aramide et carbone), les matires plastiques, le bois, la brique et les alliages dalumi-nium.

Dans ltude thorique des coques, la surface moyenne , la normale n et le segment BC jouentun rle essentiel. Dans la suite, on dsigne par normale tant le segment que la droite qui le porte.Le segment correspond, dans la thorie des coques, la section droite dans la thorie des poutres deBernoulli.

Pour viter de recourir une analyse de solide tridimensionnel, lobjectif de toute thorie decoque est de tirer parti de la minceur de llment structural dni ci-dessus : sa rponse peut eneet tre ramene ltude bidimensionnelle de sa surface moyenne, complte de rgles dictant lecomportement des normales. Lanalyse de la surface moyenne est donc importante et ce chapitre estavant tout consacr ltude des surfaces : rappel de proprits gomtriques (sect. 1.2), descriptionde formes utilises en construction (sect. 1.3 1.6) et relations analytiques (sect. 1.7).

1.2 Gomtrie de la surface moyenne

1.2.1 Dnition

Dans un systme daxes cartsiens droit (X,Y, Z), les quations paramtriques

X = X(, ) Y = Y (, ) Z = Z(, ) (1.1)

dnissent une surface . A toute valeur constante C du paramtre correspond une ligne sur lasurface, dite ligne de coordonne ; de mme, = C dnit une ligne de coordonne . Lensembleforme les lignes de coordonnes et (, ) sont les coordonnes curvilignes de la surface (g. 1.2).

Si les paramtres et peuvent tre limins des quations (1.1), on obtient la forme explicite

Z = Z(X,Y ) (1.2)

La surface peut, semblablement, tre dnie (de faon vectorielle et paramtrique) par le vecteur

OA = x(, ) = Xe1 + Y e2 + Ze3 (1.3)

o e1, e2 et e3 sont les vecteurs units dans (X,Y, Z).

DESCRIPTION 3

b

ligne a = C

a

Y

Z

A

e

O

x

X

a

ligne b = Cb

1

Z

Y

X

e

3

e

2

S

Fig. 1.2 Surface et ses lignes de coordonnes.

1.2.2 Courbure normale

Soit n la normale leve au point A dune surface (g. 1.3). On dit quun plan P contenant nralise une section normale de la surface ; cette section se traduit par une courbe plane trace sur .Au point A de cette courbe, on dsigne par rn le rayon de courbure ; son inverse 1/rn est la courburenormale.

Lorsque le plan P tourne autour de n, rn et 1/rn varient entre deux valeurs extrmes appelesrayons de courbure principaux rmax et rmin et courbures principales 1/rmin et 1/rmax ; les plans Pcorrespondants sont perpendiculaires.

A

n

n

P

S

r

n

Fig. 1.3 Courbe , de courbure normale 1/rn au point A,section normale de la surface par le plan P.

La trace de ces deux plans dessine, au voisinage immdiat du point A, une petite croix sur la sur-face . Les bras de cette croix sont les directions principales ; les courbes enveloppes de ces directions,en tous les points de , constituent un rseau orthogonal de deux familles de lignes, les lignes decourbure principale ou, simplement, les lignes de courbure.

1.2.3 Lignes de courbure

Le rseau des lignes de courbure dune surface peut tre utilis avantageusement comme systmede lignes de coordonnes curvilignes (, ) pour exprimer les quations des coques (chap. 2). Outre

4 COQUES

lorthogonalit, ce rseau possde la proprit essentielle suivante : le long dun tronon ds (ou ds)dune ligne de courbure, la normale reste dans le plan contenant la section normale et passe par lecentre de courbure de ce tronon (g. 1.4). Grce cette proprit, on peut isoler un fragment decoque dpaisseur t par des sections droites, cest--dire des coupes planes et normales la surfacemoyenne.

Seules les lignes de courbure prsentent cette particularit ; sur une autre ligne, la normale tourneautour de la ligne, traduisant la torsion de cette ligne.

t

ds

a

ds

b

r

n

Fig. 1.4 Elment de surface limit par des lignes de courbure ; le long dun ct, la normale restedans le plan de la section normale ; pour toute autre ligne, la normale tourne autour de la ligne.

1.2.4 Proprits gomtriques

En un point dune surface, la courbure de GaussK, ou courbure totale, est le produit des courburesprincipales

K =1

rmaxrmin(1.4)

et la courbure moyenneH est simplement

H =12

(1

rmax+

1rmin

)(1.5)

DESCRIPTION 5

Dans une surface simple courbure, lune des courbures principales est nulle et K = 0 (cnepar exemple ; g. 1.5). Dans une surface double courbure, les deux courbures principales sont nonnulles ; si elles sont de mme signe, ou de signe contraire, la surface est dite courbure de Gauss po-sitive (parabolode de rvolution par exemple), ou ngative (parabolode hyperbolique par exemple).

ligne asymptotiqueK = 0K < 0

K > 0

(d)(c)

(a)

A

S

T

(b)

A

S

T

directionasymptotique

S

directionasymptotique

A

T

Fig. 1.5 Surfaces diverses selon la valeur de la courbure de GaussK : (a) parabolode de rvolution(cas elliptique, K > 0) ; (b) parabolode hyperbolique (cas hyperbolique, K < 0) ;

(c) cne (cas parabolique, K = 0) ; (d) tore (K 0 etK 0).

Certaines surfaces ont des zones courbure totale positive, nulle ou ngative (tore par exemple).Il convient donc dexaminer cette notion de manire plus locale. Soit T le plan tangent au point Adune surface . Localement, trois cas sont possibles (g. 1.5) :

la surface reste situe dun seul ct de T, ne coupe pas T : le point A est dit elliptique (si loncoupe par un plan parallle T, trs voisin de T, la section est, en premire approximation,une ellipse) ; la courbure totale K est positive ; pour toute section normale par A, la courburenormale 1/rn ne change pas de signe ;

la surface coupe T et se situe des deux cts de T : le point A est dit hyperbolique et la cour-bure totale est ngative ; lintersection de avec T se fait selon deux directions dites asympto-tiques ; les directions principales en sont les bissectrices ; la courbure normale 1/rn change designe, sannulant le long des directions asymptotiques ;

6 COQUES

la surface et le plan T ont une ligne en commun, dnissant une direction asymptotique ; lepoint A est dit parabolique et la courbure de Gauss est nulle ; la courbure normale ne changepas de signe, sannulant, une seule fois, sur la direction asymptotique.

Une surface est diteminimale si sa courbure moyenneH est nulle ; siH = 0, les rayons principauxde courbure sont opposs et la courbure totaleK est ngative. Dintrt particulier sont les surfacesdaire minimale pour un contour donn ; ce sont des surfaces minimales et on peut les matrialiser parune bulle de savon tendue sur un l de fer pousant le contour (hlicode et catnode par exemple ;g. 1.6).

(b)(a)

Fig. 1.6 Surfaces minimales daire minimale : (a) hlicode (surface rgle) ;(b) catnode (ou alysside), surface de rvolution engendre par la rotation de la chanette.

Une surface est rgle si elle est engendre par une droite, la gnratrice, dont le dplacement nestfonction que dun seul paramtre, par exemple une droite sappuyant sur trois courbes quelconques,ou encore sur deux courbes et parallle un plan. La courbure de GaussK dune surface rgle estngative ou nulle (hyperbolode de rvolution par exemple ; g. 1.13).

Une surface est dveloppable si elle peut tre applique sur un plan sans dchirure ni superposi-tion. Sa courbure totale est en tout point nulle. Toute surface issue de la dformation dun plan (sansltirer ni le contracter) est dveloppable.

Pour quune surface rgle soit dveloppable, le plan tangent doit tre le mme en tous les pointsdune gnratrice. Les surfaces dveloppables sont rgles : ce sont les cnes, cylindres et lieux destangentes une courbe gauche.

Si, en un point dune surface, les deux courbures principales sont gales (1/rmax = 1/rmin), cepoint est dit sphrique ou ombilical.

Enn, sur une surface, on peut trouver trois types de lignes remarquables. Les lignes de courbure,enveloppes des directions principales ( 1.2.3), les lignes asymptotiques, lignes de courbure normale1/rn nulle (certaines surfaces en sont dpourvues, la sphre par exemple) et les lignes godsiques,

DESCRIPTION 7

lignes de plus courte distance entre deux points (lhlice, sur un cylindre, par exemple). Si une surfaceest pourvue de lignes droites, ces dernires sont la fois des asymptotiques et des godsiques.

1.2.5 Thorme de Meusnier et formule dEuler

Soit une ligne quelconque trace sur une surface . Au point A (g. 1.7), on trace la tangente tet la normale principale N ; sur N se trouve le rayon de courbure de en A (Frenet, 1.7.6). EnA toujours, on lve la normale n ; le plan P form de n et t coupe selon la ligne de courburenormale 1/rn (section normale). Si est langle entre n et N, le thorme de Meusnier (1776)

= rn cos (1.6)

exprime les proprits suivantes :

le rayon de courbure dune courbe quelconque trace sur une surface est la projection, sur lanormale principale, de celui de la section normale correspondante ;

toutes les courbes traces sur une surface, ayant une tangente commune en un point, corres-pond la mme courbure normale 1/rn en ce point.

Ce thorme, dmontr plus loin ( 1.7.7), rappelle, en particulier, que les courbures principales1/rmin et 1/rmax ne sont pas ncessairement les courbures des lignes de courbure, mais bien lescourbures des sections normales. Ainsi, sur une sphre de rayon a, un parallle de rayon b est une lignede courbure principale (g. 1.8). Sa courbure vaut 1/b et sa courbure normale 1/a, avec (Meusnier)

b = a cos (1.7)

ou, en utilisant la colatitude ,

b = a sin (1.8)

n

N

a

a

b

j

m

sphre

parallle

b

t

N

A

n

P

m

r

S

n

r

n

l

Fig. 1.7 Courbure et courbure normale(Meusnier).

Fig. 1.8 Thorme de Meusnierdans la sphre.

8 COQUES

Dans le plan tangent T au point A dune surface , orientons le plan P dune section normalequelconque par langle compt partir de la direction principale associe rmax (g. 1.9). Laformule dEuler (1760) donne, en fonction de , la courbure 1/rn de la section normale par

1rn

() =1

rmaxcos2 +

1rmin

sin2 (1.9)

o les trois rayons de courbure sont mesurs au point A.

n

r (g)

min

r

max

r

n

A

P

S

n

T

g

directionde rmax

directionde rmin

Fig. 1.9 Courbure dune section normale quelconque de en A.

1.3 Etat membranaire et tat exionnel

Ltat de contrainte, par lequel llment structural rsiste aux actions extrieures, est caractrispar des eorts intrieurs dnis au niveau de la surface moyenne. La trace de cette surface dans unesection droite sappelle la ligne moyenne. Les eorts intrieurs sont dcrits par unit de longueur deligne moyenne dans les sections droites.

Ltat membranaire sassocie aux eorts intrieurs de type force agissant dans la surface moyenne, savoir les eorts normaux et les eorts tangentiels. Ltat exionnel regroupe les eorts intrieurs decaractre exionnel, soit les moments de exion, les moments de torsion et les eorts tranchants.

Selon le mode de travail, on peut distinguer quatre types dlments structuraux :

llment de paroi est dni par la gomtrie plane de sa surface moyenne (plan moyen) et parson paisseur ; sollicit par des charges agissant dans son plan moyen, il y rsiste par un tatmembranaire (g. 1.10a) ; les eorts normaux et tangentiels rsultent dailleurs de ltat plan decontrainte (TGC vol. 3, 5.6.1) ;

llment de plaque est dni par la gomtrie plane de sa surface moyenne (plan ou feuilletmoyen) ; il rsiste aux charges agissant normalement son plan moyen par un tat exionnel(g. 1.10b ; TGC vol. 4) ;

DESCRIPTION 9

llment de plaque-membrane est la superposition des deux cas prcdents et runit donc ltatmembranaire de paroi et ltat exionnel de plaque (g. 1.10c) ; bien que plan, il se comporte demanire spatiale, pouvant tre soumis des charges quelconques, tant parallles que perpendi-culaires son plan moyen ; il constitue la base des structures plisses ;

enn, llment structural de coque est, par nature, courbe et spatial ; il utilise les deux tatsdeorts intrieurs, membranaire et exionnel, pour sopposer aux actions arbitraires pouvantle solliciter (g. 1.10d) ; exceptionnellement, grce sa courbure, une coque peut ne rsister auxcharges que par ltat membranaire ( 3.2.4 ; structure gonable, textile, peau, etc.).

(d) Coque : cinq efforts intrieurspar section droite.aaaaaii

Z

X

Y

(b) Etat flexionnel de plaque.

yx

efforts tranchants V et Vyxxy

moments de torsion M = Myx

moments de flexion M et Mz

x

y

y

V

x

V

yx

M

xy

M

M

x

M

y

(c) Plaque-membrane : superposition destats membranaire et flexionnel.i

Z

X

Y

(a) Etat membranaire de paroi.

xyxy

yxxy

efforts tangentiels N = N(N = t t )

yyxx

yx

efforts normaux N et N(N = t s ; N = t s )

xy

N

yx

N

x

N

y

N

y

z

x

Fig. 1.10 Eorts intrieurs.

Remarques

Ltat de contrainte dune coque est tudi rigoureusement au chapitre 2 ; il sagit ici dune pr-sentation intuitive.

Llment structural plaque-membrane est aussi appel lment plan de coque.

10 COQUES

La prsence de raidisseurs peut modier considrablement le mode de travail dun lment struc-tural ; par exemple, les sommiers ajouts sous une plaque (dalle nervure) transforment le comporte-ment de plaque en celui dune structure plisse (g. 1.11).

(b)(a)

Fig. 1.11 Eet des raidisseurs :(a) plaque et plaque nervure (avec raidisseurs centrs) : tat exionnel seul ;

(b) structure plisse (plaque avec raidisseurs excentrs) : tats membranaire et exionnel.

1.4 Coques

Une coque est dnie par la gomtrie courbe de sa surface moyenne et par son paisseur en toutpoint de cette surface. En outre, pour lingnieur, il convient de caractriser les matriaux constituantla coque, les conditions dappui et les actions.

On sintresse ici la surface moyenne. En particulier, on discute les nombreuses formes gom-triques possibles de cette surface. Le choix, important, de la bonne forme est en premier lieu gouvernpar la fonction que la coque doit remplir.

(a) (b) (c)

Fig. 1.12 Surfaces de rvolution : (a) rservoir sphrique (double courbure K > 0) ;(b) rservoir cylindrique (simple courbureK = 0) ;

(c) tour de refroidissement (hyperbolode, double courbureK < 0).

DESCRIPTION 11

1.4.1 Surfaces gomtriques

La gomtrie des surfaces ore un grand ventail de formes simples. Parmi les surfaces simplecourbure, le cne et surtout le cylindre sont trs utiliss (rservoirs, silos, chteaux deau, rcipientssous pression, conduites forces, fuses, etc.). Les surfaces de rvolution, obtenues par rotation dunecourbe plane, lemridien, autour dun axe situ dans le plan de la courbe, sont galement dun emploitrs frquent (g. 1.12).

Les surfaces rgles rsultent du dplacement dune droite, la gnratrice, selon une certaine loi( 1.2.4) ; on peut ainsi engendrer des surfaces diverses simple ou double courbure, dont la plusconnue est le parabolode hyperbolique (g. 1.13).

a

a

b

(a) (b) (c)

a

Fig. 1.13 Surfaces rgles : (a) conode (K = 0) ; (b) hyperbolode une nappe (K < 0) ;(c) parabolode hyperbolique (K < 0).

Lintrt de lutilisation des surfaces rgles est essentiellement technique. Si la coque est en bton,le corage est ralis au moyen de planches rectilignes troites disposes selon les gnratrices ; enbois, elle peut tre forme dun rseau de planches croises cloues.

Les surfaces cylindriques, ouvertes ou fermes, sont obtenues en dplaant une droite, la gn-ratrice, paralllement elle-mme sur une courbe plane, la directrice. La vote autoportante, parexemple, est dusage courant comme couverture ; elle est supporte par des diaphragmes (tympans,entretoises, raidisseurs) situs au niveau des appuis (g. 1.14).

Les surfaces de translation rsultent du dplacement dune courbe plane, la gnratrice, sur uneautre, la directrice (g. 1.15).

Les surfaces gomtriques, prsentes brivement ici, ont lavantage de pouvoir tre dcrites ana-lytiquement. Elles ne sont toutefois pas lunique ni ncessairement le meilleur choix pour la surfacemoyenne dune coque. Ces formes simples risquent de ne pas sadapter des exigences particulires,par exemple certaines charges, aux conditions gomtriques ou statiques au contour (conditionsaux limites), la rsistance au voilement, etc.

12 COQUES

diaphragmegnratrice

directrice (b)

directrice gnratrice

L

(a)

Fig. 1.14 Surfaces cylindriques ouvertes (K = 0) dites votes autoportantes :(a) sheds (votes simple porte L) ; (b) abri (vote continue).

directrice

gnratrice

Fig. 1.15 Surface de translation (K > 0) utilise comme couverture.

1.4.2 Surfaces exprimentales

Dautres surfaces intressantes et souvent trs fonctionnelles peuvent sobtenir par des techniquesexprimentales. La plupart dentre elles recourent des matires souples (sans rsistance exionnelle)adaptant leur forme la charge applique, en sorte que la rsistance rsulte essentiellement dun tatmembranaire.

Un lm deau savonneuse tendu sur les bords matrialiss (l de fer, lastique, etc.) du modlerduit de la coque (g. 1.16a), par exemple, permet, selon les conditions aux bords, une libert deformes sans limite ; la surface correspondante est daire minimale ( 1.2.4). Une technique voisineconsiste mettre en tension, entre leurs supports, des membranes, lets ou tissus souples (g. 1.16b).La surface en goutte, remarquable, est obtenue par remplissage dune enveloppe souple dont la formesadapte la quantit de matire contenue (silos de stockage ; g. 1.17). On parle, dans ces divers cas,de structures tendues.

DESCRIPTION 13

(a) (b)

Fig. 1.16 Maquettes pour ltude des formes (pavillon de lAllemagne, Expo 1967, Montral) :(a) bulle de savon ; (b) tissu.

(Source : IL8 Netze in Natur und Technik, K. Bach Red., Mit. des IL, Univ. Stuttgart, 1975.)

Fig. 1.17 Projet de silos en enveloppe souple. (Source : F. Otto, Zugbeanspruchte Konstruktionen,Band 1, Ullstein Verlag, Frankfurt/M - Berlin, 1962.)

(a) (b)

Fig. 1.18 Coques de forme pneumatique :(a) maquette dune membrane en caoutchouc sous pression dair ;

(b) ralisation de coques base rectangulaire 18 m 24 m.(Source : H. Isler, ingnieur ETHZ, Berthoud.)

14 COQUES

Une membrane lastique tendue sur un cadre rigide et soumise une pression uniforme conduitgalement des formes trs varies selon la gomtrie de la base (g. 1.18a). Gone et en vraie gran-deur, elle peut servir de corage une coque en bton (dmes ; g. 1.18b). Soumise une pressionhydrostatique, la membrane peut donner la forme idale pour un barrage vote.

Les membranes, lets ou tissus souples, suspendus entre les appuis, enduits dune matire liquide(pltre, polyester, etc.) durcissant une fois la position dquilibre ralise, puis retourns (g. 1.19),fournissent les meilleures formes possibles pour rsister au poids propre par compression membra-naire (couvertures en bton sous charge de gravit, dterminante pour le dimensionnement).

Fig. 1.19 Modles de coque appuye sur quatre points, obtenus dun tissu tremp dans du polyester,solidi et retourn. (Source : H. Isler, ingnieur ETHZ, Berthoud.)

Convaincu de lecacit de la mthode des toiles pesantes rigidies inverses, dont il est lini-tiateur (1955), lingnieur suisse H. Isler lutilise intensivement et avoisine la perfection technique etesthtique dans la ralisation des couvertures les plus diverses. Sa dmarche exprimentale propre,prise comme un jeu cratif et propice de nouvelles ides de conception, lui permet de trouver desformes de coques indites et de proportions idales. La richesse des formes, la lgret et la beaut deses coques, tmoignent de la valeur de sa dmarche (g. 1.20).

Dans tous ces procds exprimentaux de recherche de formes, cependant, le relev topogra-phique du modle, qui doit tre trs prcis, est une opration dlicate mener. Il est possible de sysoustraire en simulant les expriences par un calcul sur ordinateur.

De plus, la surface moyenne obtenue chappe toute reprsentation analytique et, par suite, toute mthode classique de rsolution analytique qui pourrait en dpendre. Seules les mthodesnumriques (lments nis ; chap. 11) ou exprimentales (essais sur modle) permettent dtudier lescoques de forme quelconque.

DESCRIPTION 15

Fig. 1.20 Coques en bton ralises par Heinz Isler : (a) coque sur quatre appuis, 35 m 35 m,paisseur 9 10 cm (piscine de Brugg, 1981) ; (b) coque sur sept appuis, base irrgulire57,5 m 34,5 m, paisseur 10 cm (Sicli S.A., Genve, 1969) ; (c) coque sur cinq appuis

dirents niveaux, 28 m 42 m (thtre en plein air, Grtzingen bei Stuttgart, 1977) ; (d) coques base rectangulaire 18,4 m 48 m accoles (halle de tennis, Marin-La Thne vers Neuchtel,1983) ;

(e) coque sur cinq appuis, exemple de forme non suspendue mais dite coule (centre horticole,Florlites Clause, Paris, 1975). (Source : H. Isler, ingnieur ETHZ, Berthoud.)

16 COQUES

1.5 Structures plisses

Les structures plisses sont constitues dun assemblage dlments structuraux plans, de typeplaque-membrane, ralisant une structure portante stable. La jonction de deux lments plans formeune arte selon laquelle la liaison est presque toujours rigide, pour des raisons techniques videntes.

La surface moyenne dune structure plisse est une sorte de surface polydrique facettes mul-tiples. La plus simple est une surface prismatique facettes rectangulaires, la coque prismatique, trscourante en pratique ; elle est forme dune srie de panneaux rectangulaires, gnralement allongs,supports transversalement par des diaphragmes au droit des appuis (g. 1.21).

plaque-m

embran

e

artesdiaphragmedextrmit

largeur

b

porte transversale

longueur

L

porte lon

gitudinale

plaque-m

embran

e

Fig. 1.21 Coque prismatique ouverte.

La coupe transversale dune coque prismatique est une section droite parois minces, ouverteou ferme (g. 1.22) ; toute structure engendre par le dplacement dune telle section le long dunedroite est ainsi une coque prismatique (toiture, platelage, plancher, pont, poutre, etc.). La prsencedentretoises intermdiaires, pour garantir la conservation de la forme de la section droite, permetsouvent de calculer les plus allonges de ces coques comme de simples poutres.

67 mm

353,5 mm

(a) (b)Fig. 1.22 Coupes transversales de coques prismatiques : (a) pont-caisson en bton arm ;(b) platelage en aluminium du pont suspendu de Montmerle, France (source : R. Paubel,

Le pont suspendu de Montmerle, Revue de lAluminium, juillet-aot 1974).

DESCRIPTION 17

De faon plus gnrale, lutilisation de panneaux plans bords non parallles permet de rali-ser des structures portantes les plus diverses (couvertures, btiments, murs de soutnement, ponts-caissons biais, cules de ponts, silos, etc. ; g. 1.23).

(c)(b)

(a)

Fig. 1.23 Structures plisses : (a) toiture circulaire (esquisse) ; (b) cule de pont (esquisse) ;(c) glise St-Pierre et St-Paul, Droixhe, Lige (vues extrieure et intrieure ; photos F. Frey).

1.6 Autres structures

Il est videmment possible denvisager dautres constructions formes dlments structuraux parois minces, qui sortent du cadre trait jusquici.

Dautres types de structures plisses, par exemple, sont composs dlments surface moyennecourbe et relis par des artes curvilignes, ou dun mlange de panneaux courbes et plans. Ce genrede structures est trs frquent en pratique (coupoles diverses, ponts courbes, trmies des silos, vannes,barrages votes multiples, etc. ; g. 1.24).

Des structures composes, formes dun assemblage de coques et de plaques-membranes, sontgalement trs rpandues ; les structures les plus diverses et les plus complexes rsultent des exigencesmodernes de la technique (fondation des tours de tlvision, btiment des racteurs nuclaires, plate-forme ptrolire, carcasse des vhicules sur rail, fuselage des avions, coque des navires ; g. 1.24).

18 COQUES

Fig. 1.24 Structures parois minces diverses : (a) projet de march couvert Moscou (esquisse) ;(b) pont-caisson courbe, Barboleusaz, Suisse (discrtisation) ; (c) coupole polygonale rgulire,Markthalle, Ble, 1929 (source : J. Joedicke, Les Structures en Voiles et Coques, Editions Vincent,Fral et Cie, Paris, 1962) ; (d) fondation de la tour de tlvision de Stuttgart (source : F. Leonhardt,

Der Stuttgarter Fernsehturm, Beton- und Stahlbetonbau, 51 (1956) 4/5) ;(e) plate-forme oshore norvgienne condeep (esquisse).

DESCRIPTION 19

1.7 Analyse des surfaces

1.7.1 Introduction

Cette section rappelle, brivement, quelques relations importantes de la thorie des surfaces,exprimes selon les lignes de courbure principale. On consultera les ouvrages spcialiss (voir parexemple la bibliographie) pour une vue dtaille, des dmonstrations compltes et une prsentationrigoureuse.

On choisit la reprsentation paramtrique vectorielle ( 1.2.1)

x = x(, ) (1.10)

pour dcrire une surface dans lespace. Les paramtres et sont les coordonnes curvilignes sur ; les lignes = cste et = cste sont les lignes de coordonnes sur .

On adopte les lignes de courbure (principale) comme lignes de coordonnes : elles forment unrseau orthogonal sur la surface ( 1.2.2 et 1.2.3).

1.7.2 Vecteurs units attachs la surface

Les vecteurs

x, =x

x, =

x

(1.11)

sont tangents aux lignes de coordonnes et la surface. (Par commodit, on utilise occasionnellementla notation (), pour dsigner la drive.) Les vecteurs units tangents a et b sont (g. 1.25)

a =x,x, =

x,A

b =x,x, =

x,B

(1.12)

o A et B sont les longueurs des vecteurs x, et x, (par exemple A2 = x, x,).

b

a

A

O

x( ,b)

n

b

a

b

b+db

a+da

a

S

ds

a

ds

b

ds

a

Fig. 1.25 Surface et sa base orthonorme (a, b, n).

20 COQUES

Le vecteur unit n normal la surface est issu du produit vectoriel

n = a b = 1AB

(x, x,) (1.13)

Les vecteurs units a, b et n forment un repre attach la surface ; ils sont fonctions des para-mtres et ; leurs drives par rapport ces derniers sont donnes par les relations matricielles(sans dmonstration)

abn

=

0 1B

A

A

r1B

A

0 0

Ar

0 0

abn

abn

=

01A

B

0

1A

B

0

B

r

0 Br

0

abn

(1.14)

Les matrices liant les vecteurs units leurs drives sont antisymtriques (proprit gnralepour toute base orthonorme). Dans ces matrices, r et r sont les rayons de courbure principaux( 1.2.2) ; ces rayons sont positifs si la normale unit n pointe vers le centre de courbure.

La dernire ligne de chacune des relations (1.14) montre que laccroissement du vecteur n na decomposante que dans la section normale associe, cest--dire que ce vecteur reste dans le plan dessections normales le long des arcs lmentaires tracs sur les lignes de courbure. Cette proprit nalieu que sur ces lignes ( 1.2.3) et traduit le thorme de Rodrigues.

1.7.3 Premire forme fondamentale

La direntielledx = x, d+ x, d (1.15)

permet de calculer le carr de la longueur de llment de ligne sur la surface

ds2 = dxdx = (x, x,) d2 + (x, x,) d2

Cette relation, crite sous la forme

I = ds2 = A2 d2 +B2 d2 (1.16)

reprsente la premire forme fondamentale de la surface. Cette forme illustre la mesure de la distancesur . Les coecients A et B sont les paramtres de Lam (longueur de x, et x,). Il ny a pas determe en x, x, vu lorthogonalit des lignes de coordonnes.

Si llment de ligne se situe sur une ligne de coordonne ( ou ), on a

ds = Ad ds = B d (1.17)

et les paramtres de Lam donnent laccroissement de la longueur darc associ laccroissement dela coordonne. Llment daire sur est

dA = ds ds = AB dd (1.18)

DESCRIPTION 21

1.7.4 Deuxime forme fondamentale

Lintersection du plan P dune section normale avec la surface est une courbe plane (g. 1.26).Au point A de cette courbe dabscisse curviligne s, on construit le vecteur tangent T et le vecteurnormal N au sens de Frenet ( 1.7.6). On a N n o n est la normale unit et, par Frenet,

T =dx

ds

dT

ds=N

(1.19)

avec 1/ 1/rn, o 1/ est la courbure de en A et 1/rn la courbure normale.

A

N n

n

s

P

r r

T

n

Fig. 1.26 Plan P de la section normale, avec le rayon de courbure rn de la courbe .

La drive, par rapport labscisse curviligne s de , du produit scalaire TN = 0 scrit

T dNds

+N dTds

= 0

do, avec lensemble des relations prcdentes,

1rn

=dxdnds2

=II

I(1.20)

LexpressionII = dxdn = Ld2 +N d2 (1.21)

est la seconde forme fondamentale de la surface. En lcrivant II = (1/rn) ds2, on observe quelletraduit la forme de la surface via la courbure. Ses paramtres valent

L = x n

N = x n

(1.22)

et, avec (1.12) et (1.14), ils deviennent

L =A2

rN =

B2

r(1.23)

22 COQUES

1.7.5 Equations de Codazzi et Gauss

Les paramtres A, B, L et N ou, mieux, A, B, r et r , intervenant dans les deux formes fon-damentales dune surface, ne sont pas indpendants, mais lis par trois quations. Ces quationspeuvent tre considres comme des conditions de compatibilit gomtrique entre ces paramtres,garantissant lexistence et lunicit de la surface.

Pour les trouver, on examine les identits existant entre les secondes drives mixtes des vecteursde base. On a dabord

2n

=

2n

do, avec (1.14),

(A

r

)a A

r

a

=

(B

r

)b B

r

b

puis, encore avec (1.14),[1r

A

(A

r

)]a =

[1r

B

(B

r

)]b

et, comme a et b sont perpendiculaires, on aboutit aux deux quations de Codazzi

(A

r

)=

1r

A

(B

r

)=

1r

B

(1.24)

Ensuite, considrant les identits

2a

=

2a

2b

=

2b

et les traitant comme ci-dessus, on trouve une seule galit nouvelle, lquation de Gauss

ABrr

=

(1A

B

)+

(1B

A

)(1.25)

dans laquelle apparat la courbure de GaussK (1.4).

1.7.6 Formules de Frenet

On peut dcrire une courbe dans lespace semblablement une surface, par la reprsentationvectorielle un paramtre

x = x(s) (1.26)

o s est labscisse curviligne le long de la courbe.

En tout point A de cette courbe, on construit le repre de Frenet (T,N,B) par les vecteurs units

T =dx

dsN =

dT

dsB = TN (1.27)

ports par la tangente t, la normale principale N et la binormale b (g. 1.27). Le rayon de courbure est positif car N est toujours dirig vers le centre de courbure. Les plans construits sur les vecteursunits sont le plan osculateur (t,N), le plan normal (N, b) et le plan rectiant (t, b).

DESCRIPTION 23

ds

t

A

x(s)

B

dq

T

N

b

N

O

dj

r

t

s

r

plan rectifiant

plan normal

plan osculateur

Fig. 1.27 Repre de Frenet.

Les formules de Frenet lient les vecteurs units leurs drives

d

ds

TNB

=

01

0

1

01

0 1

0

TNB

(1.28)

Le rapport 1/ est la torsion de la courbe et est le rayon de torsion. Entre les normales principaleset les binormales leves aux extrmits dun arc ds de la courbe apparaissent les angles d et d(g. 1.27) ; la courbure et la torsion sont ds lors donnes par

1=d

ds

1=d

ds(1.29)

1.7.7 Courbure et torsion godsiques

Repre de Darboux

Au point A dune courbe quelconque trace sur une surface (g. 1.28), on construit le reprede Darboux (t, g,n) o t est port par la tangente la courbe, g est normal t dans le plan tangentT en A, et n est normal . Ce repre dire de celui de Frenet dun angle autour de la tangentecommune (t T). On a donc, dsignant langle entre le vecteur g et la normale principale lacourbe ,

TNB

=

1 0 00 cos sin0 sin cos

tgn

(1.30)

24 COQUES

A

S

T

s

l

t

g

B

plan normal

t

n

N

w

Fig. 1.28 Repre de Darboux (t, g, n).(Les quatre vecteurs g, n, N et B sont situs dans le plan normal.)

Si s dsigne la coordonne curviligne le long de la courbe , la drive des vecteurs units durepre de Darboux est donne par

d

ds

tgn

=

01rg

1rn

1rg

01tg

1rn

1tg

0

tgn

(1.31)

Dans la matrice antisymtrique de (1.31), 1/rn est la courbure normale ( 1.2.2), tandis que 1/rgest la courbure godsique et 1/tg la torsion godsique.

Sachant quedT

ds=N

=dt

ds

on obtient, avec (1.30) pour N et (1.31) pour dt/ds,

cos

g +sin

n =1rgg +

1rn

n

do, par identication,1rn

=sin

1rg

=cos

(1.32)

o la premire galit est le thorme de Meusnier ( 1.2.5, quation (1.6) avec cos = sin). Cesformules montrent que, dans le plan normal (contenant g, n, N et B ; g. 1.29), les trois centres decourbure (C, Cn et Cg) sont aligns.

La courbure godsique sinterprte comme la courbure de la projection de la ligne dans le plantangent T.

DESCRIPTION 25

min

A

g

t

B

N

w

r

A

n

C

g

C

r

C

n

l

g

r

n

r

g

n

N

b

directionde r

max

directionde r

Fig. 1.29 Les trois rayons decourbure.

Fig. 1.30 Vue dans le plan tangent.

Semblablement on peut calculer

1tg

=d

ds+

1

(1.33)

et, si dsigne (comme la gure 1.9) langle entre la direction principale de rmax et la tangente lacourbe (g. 1.30), on a

1tg

=(

1rmax

1rmin

)sin cos (1.34)

et toutes les courbes de admettant t comme tangente en A ont, en ce point, la mme torsiongodsique 1/tg (mme proprit que la courbure normale 1/rn, 1.2.5).

Cas particulier

Si la courbe quelconque est une ligne de courbure ou , le repre (a,b,n) est (t, g,n) sur ( 1.7.2) et (g, t,n) sur . Sachant que

s=

1A

s=

1B

on obtient, par identication des formules (1.14) et (1.31),

1rg

= 1AB

A

1rg

=1AB

B

(1.35)

Dautre part, avec (1.34), puisque = 0,

1tg

= 01tg

= 0 (1.36)

26 COQUES

1.7.8 Lignes remarquables sur une surface

Les lignes de courbure, enveloppes des directions principales de courbure, formant deux famillesorthogonales, ont dj t dnies ( 1.2.3). Sur ces lignes, la torsion godsique 1/tg est nulle.

Les lignes asymptotiques sont les lignes de courbure normale 1/rn nulle ( 1.2.4). En tout pointdune telle ligne, le plan osculateur (T,N) est tangent la surface. Les ventuelles droites dunesurface sont des lignes asymptotiques. Certaines surfaces nont pas de telles lignes.

Les lignes godsiques sont les lignes de courbure godsique 1/rg nulle. En tout point dune telleligne, le plan osculateur est normal la surface et la normale principale concide avec la normale lasurface (N n). Entre deux points dune surface, larc le plus court est celui de godsique ( 1.2.4).Les ventuelles droites dune surface sont des godsiques particulires.

1.7.9 Application Surface de rvolution

Une surface de rvolution est engendre par la rotation dune courbe plane, le mridien, autourdune droite situe dans son plan, laxe de rvolution (axe Z, g. 1.31 ; 1.4.1). Chaque point dumridien dcrit un cercle, le parallle.

q

j

j

b

a

n

Z

s

Y

X

C

C

A

q

r

j

r

q

s

j

j

mridien

parallle

C

q

r

r

q

Fig. 1.31 Gomtrie dune surface de rvolution.

On repre un point A par deux coordonnes, langle situant le plan mridien par rapport laxe X (ou au plan de X et Z) et langle donnant linclinaison de la tangente au mridien surlhorizontale.

DESCRIPTION 27

Mridiens et parallles sont les lignes de courbure. On prend la coordonne sur les m-ridiens et la coordonne sur les parallles. Les rayons de courbure principaux sont r et r(centres de courbure C et, sur laxe de rvolution, C). Le rayon r du parallle est aussi son rayonde courbure (centre C).

On a (abscisse curviligne)

ds = r d ds = r d (1.37)

et les paramtres de Lam valent, avec (1.17),

A = r B = r (1.38)

Le thorme de Meusnier donne (vident sur la gure)

r = r sin (1.39)

Les quations de Codazzi (1.24)

(A

r

)=

1r

A

(B

r

)=

1r

B

fournissent, pour la premire, une identit (A/ = 0) et, pour la seconde ( seule variable ind-pendante),

dr

d= r cos (1.40)

ce qui se contrle aisment gomtriquement (g. 1.32).

Enn, avec (1.40), on vrie que lquation de Gauss (1.25) est satisfaite.

j

Z

r

dr

r

dj

j

j

ds = r dj

j

C

j

Fig. 1.32 Gomtrie de la relation (1.40) : dr = ds cos = r d cos.

28 COQUES

Les courbures de Frenet, normales et godsiques, valent

pour le mridien

1

=1r

=d

ds

1rn

=1

=1r

1rg

= 0 (1.41)

pour le parallle (cf. g. 1.29)

1

=1r

1rn

=1r

=sinr

1rg

=cosr

(1.42)

Les torsions sont nulles (lignes de courbure planes). Avec 1/rg = 0, le mridien est une god-sique.

2 Thorie des coques minces

2.1 Introduction

Ce chapitre a pour but dexpliquer de quelle manire on peut tablir les quations ncessaires la rsolution du problme de coque. On se limite la thorie la plus simple, due Love. Les qua-tions sont exprimes en utilisant les lignes de courbure comme lignes de coordonnes. Certaines nesont pas dmontres en dtail, bien que les informations donnes permettent de le faire sans di-cult majeure ; de plus, on trouvera, dans les ouvrages cits en bibliographie, tous les renseignementssouhaitables.

Il semble en eet prfrable, lors de ltablissement de ces quations, de souligner les aspectsstructuraux, protables lingnieur, plutt que de sattarder sur des dmonstrations mathmatiquescertainement utiles, mais quelque peu fastidieuses. En consquence, dans les chapitres qui traitent desujets particuliers (grandes classes de coques ; chap. 4 8), les quations sont, en gnral, nouveautablies de faon complte et dtaille, ce qui permet de mettre en vidence les proprits du castudi. Elles ne sont donc pas simplement dduites des quations gnrales de ce chapitre. Une telledduction, en eet, tend masquer les caractristiques physiques du problme ; elle est propose titre dexercice, un exercice trivial par ailleurs.

2.2 Thorie de Love

Dans le domaine des coques, la premire thorie recevable a t formule par Love en 1888. Elleest construite sur le mme modle que la thorie des plaques de Kirchho, savoir exprimer lesquations en se rfrant la surface moyenne tout en tirant parti, laide dhypothses raisonnables,de la minceur de la structure.

La courbure de la coque pose toutefois des problmes nouveaux et dlicats, par rapport au cas dela plaque. Suite de nombreuses recherches et controverses, la validit de la thorie simple de Lovena nalement t conrme que beaucoup plus tard par Koiter (1960).

30 COQUES

On verra ci-aprs que la thorie de Love nest, en ralit, quapproximative. Elle nglige des termesdont lordre de grandeur peut tre considr comme petit. Il sensuit que certaines quations nesont quimparfaitement satisfaites. Tant quil y a cohrence dans lordre de grandeur des termesngligs, la thorie est acceptable. Cest le cas de la thorie de Love, souvent appele, pour cetteraison, premire approximation cohrente de la thorie des coques.

Le degr de prcision de la thorie de Love est de quelques pour cent pour quasiment tous les casde coque. (Font exception quelques formes particulires, caractre plus acadmique que pratique,o la prcision peut tre moindre, de lordre de 5 10 %.) Pour lingnieur, la thorie de Love estdonc entirement satisfaisante.

2.3 Elment de coque

Sur la surface moyenne de la coque, on choisit les lignes de courbure comme lignes de coordon-nes et , vu leurs proprits remarquables ( 1.2.3). On appelle z la coordonne mesure selon lanormale n la surface moyenne (t/2 z t/2).

Dans la coque dpaisseur t, on dcoupe un lment par deux paires de sections droites innimentvoisines, contenues dans les sections normales associes aux lignes de courbure (g. 2.1).

Au niveau z = 0 de la surface moyenne, les longueurs des cts curvilignes de llment sont dset ds ; les courbures principales 1/rmax et 1/rmin sont dsignes par 1/r et 1/r. Au niveau z, unesurface parallle la surface moyenne coupe les faces de llment selon des arcs de longueur ds etds . Par similitude des secteurs circulaires situs dans les plans (r, ds) et (r , ds), on a

ds =(1 z

r

)ds ds

=

(1 z

r

)ds (2.1)

z

a

b

t/2

t/2

ds

b

ds

a

r

b

r

a

z

surface moyenne

n

ds

a

ds

b

Fig. 2.1 Elment de coque dans les lignes de courbure (vue arrire).

THORIE DES COQUESMINCES 31

2.4 Hypothses

2.4.1 Hypothses de linarisation

On se place dans le cadre usuel de lanalyse linaire des structures, acceptant

lhypothse de linarisation gomtrique, et

lhypothse de linarisation matrielle.

La premire admet que dplacements et dformations restent petits, en sorte que les quationscinmatiques soient linaires (TGC vol. 1, 4.2.2 et vol. 3, 3.4.1). Pratiquement, les dilatations et,surtout, les rotations doivent rester petites. On sait que cette hypothse ne peut tre maintenue si lontudie les phnomnes dinstabilit.

La seconde admet que le matriau obit la loi de Hooke (TGC vol. 2, 2.7.2 et vol. 3, 4.1.2).Ici, par simplicit, on fait lhypothse complmentaire suivante :

la coque est constitue dun seul matriau isotrope homogne.

2.4.2 Hypothses des structures minces

Love a gnralis aux coques les hypothses classiques propres aux poutres de Bernoulli et auxplaques de Kirchho. Elles peuvent sexprimer de la manire suivante :

les normales la surface moyenne de la coque non dforme restent des normales la surfacemoyenne de la coque dforme et elles ne changent pas de longueur ;

la contrainte normale transversale est ngligeable.

La premire hypothse est purement cinmatique et sappelle parfois loi de conservation des nor-males. Il en rsulte dabord que les glissements sont nuls dans tous les plans normaux la surfacemoyenne

z = 0 z = 0 (2.2)

et ensuite que la dilatation perpendiculaire la surface moyenne est nulle

z = 0 (2.3)

La seconde hypothse, statique, permet dignorer les eets qui se manifestent travers lpaisseuret scrit

z = 0 (2.4)

Remarques

La premire hypothse est utilise pour construire les quations cinmatiques, non les quationsstatiques. En statique, les eorts tranchants associs aux glissements (2.2) sont ncessaires pourexprimer lquilibre. Par consquent, on doit comprendre que, pour formuler la cinmatique, lesdformations z, z et z peuvent tre ngliges.

Les hypothses ci-dessus sont dautant mieux satisfaites que la minceur de la coque est eective ;elles rduisent ltat de contrainte dans la coque un tat de contrainte plan, paralllement au plantangent la surface moyenne.

32 COQUES

Dans le cadre des hypothses avances dans ce chapitre, on peut montrer que la composante za un ordre de grandeur ngligeable. De mme, admettre z = 0 cre une erreur comparable, doncngligeable, tout en simpliant lexpression de la cinmatique.

2.4.3 Hypothse de faible paisseur

On fait encore lhypothse suivante :

lpaisseur t de la coque est petite vis--vis du rayon de courbure minimal rmin de la surfacemoyenne, soit

t

rmin

1 (2.5)

Cette hypothse est essentielle en thorie de Love, car elle conduit une simplication formidabledes quations et xe lordre de grandeur des termes ngligeables, soit O(t/rmin). Il en rsulte, dans(2.1),

z

r

1 z

r

1 (2.6)

dods = ds ds = ds (2.7)

ce qui signie que les faces de llment de coque peuvent tre admises rectangulaires (g. 2.1).

En liaison avec (2.3), on dduit aussi quon peut faire agir toutes les charges au niveau de la surfacemoyenne.

En pratique, pour que la thorie qui suit soit valable, il est ncessaire de respecter, en tout pointdune coque, lordre de grandeur

t

rmin r), an de tendre les bres z

+ (g. 2.10a). La variation positive de courbure cinmatique estdicte par les dplacements et est oppose la prcdente (g. 2.10b).

THORIE DES COQUESMINCES 45

(a)

r

a

W

r

a

z

W

M

a

+

(b)

r

a

W

r

a

W

n

a

n

a

u

M

a

+

+ + + +

Fig. 2.10 Variation positive : (a) de la courbure statique ; (b) de la courbure cinmatique.

2.9 Bilan des inconnues et quations

Grce aux hypothses choisies, ltude dune coque a t ramene au niveau de sa surface moyen-ne. Les dveloppements prcdents font apparatre dix-sept inconnues

trois dplacements (u, v, w),

six dformations (, , , c ou , c ou , c ou ),

huit eorts intrieurs (N, N, N ,M,M ,M, V, V),

relies entre elles par dix-sept quations

six quations cinmatiques (2.26),

cinq quations statiques (2.42) (2.46),

six quations constitutives (2.51),

dont lensemble forme un systme direntiel dordre 8. Il est ais dliminer les dformations etles eorts intrieurs pour constater quil subsiste un systme de trois quations direntielles auxdrives partielles couples, dordre 2 pour u et v, et dordre 4 pourw (formulation en dplacements).Les conditions aux limites, quatre en chaque point du bord, sont examines la section 2.10.

Les quations ont t tablies dans des axes particuliers, les lignes de courbure de la surfacemoyenne. Plus gnralement, on peut les formuler en coordonnes curvilignes quelconques, grceau calcul tensoriel. Lappareil mathmatique est alors fort complexe, mais doit tre utilis si londsire discuter la thorie rigoureusement. Cette dmarche, qui prsente peu dintrt pratique pourlingnieur, sort du cadre du prsent ouvrage.

Il existe heureusement beaucoup de cas o la thorie gnrale peut tre simplie tout en conser-vant un degr de prcision tout fait satisfaisant. Lun des buts de cet ouvrage est de prsenterquelques cas de ce genre, utiles et frquents en pratique. Ils permettent dacqurir une connaissancetant physique que thorique du comportement des coques, indispensable au concepteur et occultepar la thorie gnrale prcdente. Cest pourquoi, pour la plupart de ces cas, les quations sonttablies nouveau, compltement et indpendamment des quations gnrales.

46 COQUES

2.10 Conditions aux limites

2.10.1 Eorts de bord quivalents

Dans les coques de Love existe la mme particularit que dans les plaques de Kirchho : le mo-ment de torsion au bord doit tre remplac par un eet statique quivalent. Cet eet touche deuxeorts intrieurs quon appelle eorts de bord quivalents.

Admettons que le bord se situe le long dune ligne de courbure ( = cste). La gure 2.11montre ce bord, vu depuis a, o les moments de torsion sont remplacs par des couples quivalents.Au point A, les deux forces quivalentes ont une action selon b sur N et selon n sur V. Les eortsquivalents de bord sont donc

N = N Mr

V = V +1B

M

(2.54)

Enn, dans un angle, il peut aussi exister une raction concentre, comme dans les plaques. Alangle des lignes de coordonnes et , elle vaut(M +M).

n

b

M + ds

ab

Mab

sb

b

M

ab

M ds

ab b

ds

b

2dj = ds /r

b b

b

r

b

dj

V

a

N

ab

A

B C

M + ds

ab

Mab

sb

b

ds

b

M

ab

r

b

Fig. 2.11 Contributions du moment de torsionM leort tangentiel N et leort tranchant Vsur un bord = cste ; les couples quivalents ont BA et AC comme bras de levier (BA = ds = B d).

2.10.2 Conditions sur les bords

En chaque point dun bord, par exemple = cste, on peut exprimer quatre conditions aux limites.Elles portent sur

les eorts intrieursN , N

, V

, M (2.55)

les dplacementsu , v , w , (2.56)

THORIE DES COQUESMINCES 47

Eorts et dplacements sont associs et, dans un tandem, seule lune des grandeurs peut treimpose. Classiquement, la grandeur est impose nulle (par exemple u = 0), mais on peut aussiimposer des dplacements dappui ou des eorts de bord non nuls (par exemple N =

N, w = w ,

etc.).

Les conditions aux limites usuelles portent sur les grandeurs suivantes :

bord libreN , N

, V

, M

rouleau (sur un plan normal a)

u , v , V , M ou u , N , V

, M

selon la condition impose dans la direction ;

articulationu , v , w , M

encastrementu , v , w ,

Les conditions aux limites jouent, en thorie des coques, un rle primordial. Elles sont associesaux quations gnrales des coques, et cet ensemble forme un problme aux limites dicile rsoudre.Certaines solutions peuvent toutefois tre obtenues pour des conditions aux limites particulires. Ily a alors souvent contradiction entre les conditions aux limites propres aux solutions analytiques etcelles pratiquement ralisables sur louvrage construit. On sera souvent confront ce problme parla suite.

3 Thories particulires

3.1 Introduction

Les quations gnrales de la thorie exionnelle des coques de forme quelconque ont t tabliesau chapitre 2 dans les coordonnes curvilignes orthogonales des lignes de courbure. Il peut tre in-tressant dexprimer ces quations diremment, an de sadapter certaines formes gomtriquesparticulires de coques. Dun autre ct, les ingnieurs ont aussi cherch simplier les quationspour pouvoir les rsoudre et obtenir dutiles renseignements sur la rponse des coques, mme si par-fois ces simplications ne constituent plus quune approximation de la ralit.

Dans le cadre de cet ouvrage, on se limite aux seules notions qui prsentent quelque intrt. Parmiles thories qui suivent, certaines ne sont pas exprimes dans les lignes de courbure et les quationsne peuvent pas tre simplement dduites de celles du chapitre 2 ; toutefois, la dmonstration de cesquations napportant rien de nouveau, elle nest, le plus souvent, pas donne.

3.2 Thorie membranaire

3.2.1 Hypothses et quations

Dans certains cas de coques, les eorts intrieurs exionnels sont nuls, ou si petits, quils peuventtre ngligs. On est donc amen poser, ventuellement sous forme dhypothse,

M =M =M =M = V = V = 0 (3.1)

ce qui conduit ce quon appelle la thorie membranaire, car la coque ne rsiste plus aux chargesextrieures que par le seul jeu des trois eorts intrieurs membranaires N, N et N = N.Lorsque (3.1) ne peut tre accept, on parle, par opposition, de thorie exionnelle.

La thorie membranaire peut tre tenue pour une simplication extrme de la thorie exionnelle.Elle sen dduit directement et sexprime dans les lignes de courbure.

50 COQUES

En introduisant (3.1) dans les quations dquilibre en translation (2.42) (2.44), on obtient (avecN = N)

(BN) +

(AN) B

N +

A

N +ABp = 0 (3.2)

(BN) +

(AN) +

B

N A

N +ABp = 0 (3.3)

Nr

+Nr

+ pz = 0 (3.4)

alors que les quations dquilibre en rotation (2.45) (2.47) sont identiquement satisfaites.

La cinmatique, purement membranaire, est donne par les quations (2.11) et (2.20)

=1A

u

+

v

AB

A

wr

=u

AB

B

+

1B

v

wr

(3.5)

=A

B

( uA

)+B

A

( vB

)(3.6)

Quant la loi constitutive, elle se limite, dans (2.51) et avec C = Et/(1 2),

N = C( + ) N = C( + )

N = C1 2

= Gt(3.7)

Il y a neuf quations pour les neuf inconnues N, N, N, , , , u, v et w.

Si ncessaire, la rotation des normales peut toujours tre calcule aprs coup par (2.13)

=u

r+

1A

w

=

v

r+

1B

w

(3.8)

et on utilise aussi, frquemment, linverse de la loi constitutive (3.7)

=1Et

(N N) = 1Et

(N N)

=1Gt

N

(3.9)

3.2.2 Discussion des quations

Dans les quations dquilibre (3.2) (3.4), le nombre des inconnues est gal au nombre desquations : les quations dquilibre permettent de trouver elles seules sauf cas particulier( 3.2.3) les eorts intrieurs membranaires. On aboutit donc une simplication remarquable :la thorie membranaire peut avoir un caractre isostatique.

THORIES PARTICULIRES 51

Une fois la statique connue, les dplacements sobtiennent en introduisant (3.9) dans (3.5) et (3.6)

1A

u

+

v

AB

A

wr

=1Et

(N N)

u

AB

B

+

1B

v

wr

=1Et

(N N)

A

B

( uA

)+B

A

( vB

)=

1Gt

N

(3.10)

Les deux systmes direntiels (3.2)-(3.4) et (3.10) sont du second ordre, de sorte que, globale-ment, la thorie membranaire est du quatrime ordre.

3.2.3 Conditions aux limites

Si lon applique (3.1) au cas gnral ( 2.10.2), les conditions aux limites membranaires, le longdun bord = cste par exemple, peuvent porter sur

les eorts intrieurs

N , N (3.11)

les dplacements

u , v (3.12)

Les dplacements w et ne peuvent tre utiliss puisquils sassocient des eorts intrieursexionnels inexistants en thorie membranaire.

Il y a donc deux conditions aux limites en tout point dun bord en thorie membranaire, ce quiest en accord avec lordre 4 du problme direntiel. Cependant, les conditions aux limites ne peuventtre toutes statiques : la moiti dentre elles au moins doit tre cinmatique. Sil y a autant de condi-tions statiques que cinmatiques, ltat membranaire est isostatique. Ds quil y a plus de conditionscinmatiques que statiques, ltat membranaire devient hyperstatique. Ces proprits sont dues lastructure particulire des quations direntielles de la thorie membranaire.

Remarque

La ncessit des conditions cinmatiques ressort clairement de lillustration suivante. Formonsun cylindre avec une feuille de papier, en la roulant sur elle-mme, puis en collant les deux bords.Sans appui aucun, la feuille de papier nayant aucune rigidit exionnelle (thorie membranaire),cette coque est totalement dformable (mcanisme). Pour pouvoir la faire travailler en membrane,il faut lappuyer convenablement. Ainsi, les conditions aux limites cinmatiques sont indispensablespour crer la forme de la coque, rigidier cette dernire, puis assurer le maintien de cette forme souslaction des charges.

52 COQUES

3.2.4 Applicabilit de la thorie membranaire

Une coque a, en gnral, une paisseur de paroi faible ; elle nest donc pas rellement adaptepour rsister par exion et il serait prfrable de la faire travailler en tat membranaire. Cest par unchoix judicieux de sa forme, grce la courbure, quune coque peut rsister aux actions par les seulseorts membranaires.

La thorie membranaire donne une solution approximative intressante pour les coques de go-mtrie trs rgulire, de chargement rparti et de conditions dappui de typemembranaire. Les coquesde rvolution font souvent partie de cette catgorie. Les coques comportement exclusivement mem-branaire sont rares (ballon sphrique sous pression uniforme par exemple).

Pour juger de la valeur de la thorie membranaire, il sut dtudier les conditions aux limites :le plus souvent, les conditions relles, cinmatiques ou statiques, ne sont pas respectes. Il faut doncrevenir la thorie exionnelle pour avoir une solution valable.

Lexamen de cette dernire montre que, parfois, il ne nat des eorts exionnels quau voisinageimmdiat des discontinuits ; ds quon sen carte, ces eorts samortissent trs rapidement et dispa-raissent au point quil ne reste que les eorts membranaires, quasiment identiques ceux fournis parla thorie membranaire. Cest le cas par exemple pour les coques symtrie de rvolution (gomtrieet chargement), pour lesquelles une technique de calcul simplie consiste superposer la solu-tion membranaire les eets exionnels locaux ncessaires assurer la compatibilit cinmatique. Ceseets sappellent eets (exionnels) de bord (parce quils sassocient, en fait, aux conditions aux limi-tes). Il existe des mthodes approches simples pour dterminer la solution exionnelle corrective. Lasolution obtenue moyennant cette superposition est dun degr de prcision tout fait satisfaisanten pratique (chap. 5).

Prenons par exemple le cas dune coque hmisphrique articule sur son grand cercle et soumise une pression uniforme (g. 3.1a). Ltat membranaire est une compression uniforme qui dformela coque en une sphre lgrement plus petite (g. 3.1b). Cependant, les appuis empchent ce dpla-cement et la coque est chie sa base (raction horizontale rpartieH). On vrie que cette exionreste trs localise (elle ne stend gure au-del de larc s = 2

at) et ne perturbe presque pas le reste

de la sollicitation membranaire (g. 3.1c).

W

s

H

N = N = pa/2 = cstea b

W

s

H

(c)

W

W

(b)

a

p

(a)

t

Fig. 3.1 Eet de bord dans une coque de rvolution : (a) vue en coupe (donne) ;(b) dforme membranaire ; (c) dforme relle (s : zone des eets exionnels de bord).

De tels eets de bord apparaissent au niveau des appuis (g. 3.1, 3.2 et 3.4), des jonctions decoques (g. 3.2 et 3.4), des raidisseurs (g. 3.3), des changements dpaisseur (g. 3.4), des chargesconcentres (g. 1.12), etc.

THORIES PARTICULIRES 53

: effet de bord

Fig. 3.2 Jonction dunesphre sur un cylindre.

Fig. 3.4 Rservoir cylindrique paisseur de paroi variable.

Fig. 3.3 Conduite forceraidie par des anneaux.

3.3 Thorie en coordonnes cartsiennes

Il est tentant dexprimer les quations des coques en coo