Cópulas arquimedianas -...

Cópulas arquimedianas

Cristian Libardo Diaz SánchezTrabajo de Grado

Director:Luis Alejandro Másmela C.

Proyecto Curricular de MatemáticasFacultad de Ciencias y Educación

Universidad Distrital Francisco José de CaldasBogotá D.C.

2016

Vo. Bo. Luis Alejandro Másmela C.Director

Universidad Distrital Francisco José De Caldas

Vo. Bo Fernando VillarragaEvaluador

Universidad Distrital Francisco José De Caldas

A mi familiaPor su apoyo incondicional

A Laura CaballeroPor su confianza y cariño

Agradecimientos

Las universidades publicas son un verdadero motor de cambio social, ya que permitenacceder a una educación profesional, crítica y de calidad, de esta forma se incide po-sitivamente en el entorno cercano de cada uno de los estudiantes y de sus familias, anivel social, económico y conceptual. Por lo anterior, quiero agradecer a la UniversidadDistrital Francisco José de Caldas, por propiciar espacios que promueven el desarrolloacadémico, personal y profesional.

En el contexto anterior también agradezco a todos aquellos docentes que de diversasmaneras han aportado a la construcción de profesionales íntegros, ya que han permiti-do desarrollar habilidades personales y académicas cruciales en la vida laboral y social.También porque en muchas ocasiones los docentes fueron un punto de apoyo ante lasdificultades de las cuales han surgido relaciones de amistad, ellos transmitieron valores alo largo de estos años y estos nos acompañaran el resto de nuestras vidas.

Por otro lado, agradezco a todas aquellas personas que incidieron positivamente en laformación profesional y personal, amigos que sin ninguna duda marcaron nuestro pasopor la universidad.

Por ultimo y no menos importante, agradezco de corazón a mi familia por los esfuerzosrealizados a lo largo de estos años para brindar continuidad a mis estudios. Adicional-mente agradezco a Laura Caballero por su apoyo incondicional, una persona de la queaprendo constantemente y quien alimenta mis ganas de ser cada día una mejor personapara la sociedad.

Índice general

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII

1. Preliminares 3Vector aleatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Función de distribución conjunta acumulativa . . . . . . . . . . . . . . . 4Función de distribución marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Variables aleatorias conjuntamente continuas . . . . . . . . . . . . . . . . 6Vectores aleatorios independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Grupos y Semi grupos abelianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. Cópulas 9Cópulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Teorema de Sklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Cópulas y variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Familia de cópulas Ali-Mikhail-Haq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3. Cópulas arquimedianas 19Pseudo-inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Función generador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Cópula Arquimediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25El semi grupo abeliano (I, C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Propiedad arquimediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Anexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Bibliografía 37

Introducción

El objetivo principal consiste en interpretar y desarrollar lo propuesto por Nelsen en el ca-pítulo referente a cópulas arquimedianas en su libro An Introduction to Copulas, segundaedición del año 2006. Este libro fue la guía principal durante el trabajo desarrollado porel semillero de investigación IPREA de la Universidad Distrital Francisco José de Caldasen Bogotá sobre teoría de cópulas, adicionalmente es uno de los referentes internacionalesmás importantes en la actualidad sobre este tema.

Ahora, si una estructura matemática satisface una versión análoga del Axioma de Arquí-medes recibe el adjetivo de arquimediano, por lo tanto, uno de los propósitos del siguienteescrito es verificar que las cópulas arquimedianas cumplen una versión de este axioma yadicionalmente, que verifica la estructura de semi grupo abeliano.

Cabe agregar que una característica interesante de las cópulas arquimedianas es la posibi-lidad de ser construidas a partir de una función generador que más adelante se denotarápor ϕ, sin embargo dicha función generador requiere cumplir una serie de condicionespara que el resultado final cumpla la definición de cópulas, estas condiciones sobre ϕserán considerados como uno de los resultados más importantes de este trabajo.

Sobre la base de lo anterior, la familia de cópulas Ali-Mikhail-Haq ofrece una excelentemanera de introducir las funciones generador ya que permiten relacionar la función dedistribución conjunta y sus marginales bajo una transformación dada, idea que será fun-damental en el desarrollo de teoría de cópulas arquimedianas.

Por otro lado, el software R permitirá ejecutar un algoritmo propuesto por Nelsen, conel cual se tendrá una representación gráfica de parejas ordenadas cuya función de distri-bución conjunta será una cópula arquimediana.

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Capítulo 1

Preliminares

Se denota con R la recta real (−∞,∞) y se utiliza a R para representar a la rectareal extendida [−∞,∞]. Por otro lado se denota con B la σ-álgebra de Borel sobre R queBlanco [2] define como la más pequeña σ-álgebra sobre R que contiene todos los intervalosde la forma (−∞, a].

Definición 1.1 (Variable Aleatoria). Sea (Φ, J, P ) un espacio de probabilidad. Unavariable aleatoria (real) es una función X : Φ −→ R tal que:

Para todo A ∈ B, X−1(A) ∈ J o de forma equivalente X : Φ −→ R es una variablealeatoria si y solo si X−1((−∞, a]) ∈ J para todo a ∈ R.Se utilizan letras mayúsculas por ejemplo X, Y para denotar las variables aleatorias,y letras minúsculas como x, y para representar sus valores. Adicionalmente sea X unavariable aleatoria definida sobre el espacio de probabilidad (Φ, J, P ), entonces

X ∈ B := φ ∈ Φ : X(φ) ∈ B, B ∈ B.La definición 1.1 es vista desde una perspectiva probabilística, sin embargo Nelsen [7] su-giere dar un tratamiento estadístico a está definición para abordar el estudio de cópulas,luego cita dos definiciones para tener claridad al respecto.

La primera de Walt (1947), “una variable X es llamada una variable aleatoria si paratodo valor dado c, se le puede atribuir al evento que X tome un valor menor de c unaprobabilidad definida.” y la segunda de Gnedenko (1962), “una variable aleatoria es unacantidad variable cuyos valores dependen del azar en un experimento y de la existenciade una función de distribución.”

Ahora es necesario extender el concepto de variable aleatoria de una función X : Φ −→ R,a una función X : Φ −→ Rn lo que se conoce como un vector aleatorio, y será un conceptoclave del trabajo que se desarrollará en los siguientes capítulos.

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4 CAPÍTULO 1. PRELIMINARES

Definición 1.2 (Vector aleatorio). Sean X1, X2, · · · , Xn variables aleatorias definidassobre el mismo espacio de probabilidad (Φ, J, P ). A la función X : Φ −→ Rn definida por

X(φ) := (X1(φ), X2(φ), · · · , Xn(φ))

Se llama un vector aleatorio n-dimensional, en adelante por comodidad simplemente vec-tor aleatorio.

Definición 1.3 (Distribución de un vector aleatorio). Sea X un vector aleatorion-dimensional. La medida de probabilidad definida por

PX(B) := P (X ∈ B), B en Bn.

es llamada distribución del vector aleatorio X.

Definición 1.4 (Función de masa de probabilidad conjunta).Sea X = (X1, X2, · · · , Xn) un vector aleatorio n-dimensional. Si las variables aleatoriasXi, con i = 1, · · · , n, son todas discretas, se dice que el vector aleatorio X es discreto. Eneste caso, la función de masa de probabilidad conjunta de X, también llamada funciónde distribución conjunta de las variables aleatorias X1, X2, · · · , Xn, es definida por:

px(x) :=

P (X = x) si x pertenece a la imagen de X

0 en cualquier otro caso.

Nota: Sea X1 y X2 variables aleatorias discretas. Entonces:

P (X1 = x) = P

((X1 = x) ∩

⋃y

(X2 = y)

)

= P

(⋂y

(X1 = x,X2 = y)

)

=∑y

P (X1 = x,X2 = y) .

Definición 1.5 (Función de distribución conjunta acumulativa).Sea X = (X1, X2, · · · , Xn) un vector aleatorio n-dimensional. La función definida por

F (x1, x2, · · ·xn) = P (X1 ≤ x1, X2 ≤ x2, · · · , Xn ≤ xn)

Para todo (X1, X2, · · · , Xn) ∈ Rn es llamada función de distribución acumulativa con-junta de las variables aleatorias X1, X2 · · · , Xn, o simplemente función de de distribucióndel vector aleatorio n-dimensional X.

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Nota 1: Al igual que en el caso unidimensional, tenemos que la distribución del vectoraleatorio X está completamente determinada por su función de distribución.

Nota 2: Sea X1 y X2 variables aleatorias con función de distribución acumulativa con-junta F. Entonces:

FX1(x) = P (X1 ≤ x)

= P

((X1 = x) ∩

⋃y

(X2 = y)

)

= P

(⋂y

(X1 = x,X2 = y)

)

= lımy→∞

P (X1 ≤ x,X2 ≤ y)

= lımy→∞

F (x, y)

del mismo modo tenemos que FX2(y) = lımx→∞ F (x, y).

El siguiente teorema pretende generalizar la Nota 2 mencionada anteriormente y a su vezintroducir el concepto de función de distribución marginal, o función marginal, conceptoclave en desarrollo de los siguientes capítulos.

Teorema 1.1 (Función de distribución marginal). Sea X = (X1, X2, · · · , Xn) unvector aleatorio n-dimensional con función de distribución acumulada conjunta F . Paracada j = 1, 2, · · · , n la función de distribución acumulada de la variable aleatoria Xj

viene dada por

FXj = lımx1→∞

· · · lımxj−1→∞

, lımxj+1→∞

· · · lımxn→∞

F (x1, · · · , xn)

la función de distribución FXj se llama función de distribución acumulativa marginal dela variable aleatoria Xj.

Algunas propiedades de la función de distribución conjunta se presentaran a continuaciónpara el caso bidimensional, para el caso general se puede recurrir a Blanco [2].

Teorema 1.2 (Propiedades función de distribución conjunta bidimensional).Sea X = (X, Y ) un vector aleatorio bidimensional. La función de distribución acumuladaconjunta F de las variables aleatorias X, Y tiene las siguientes propiedades:

1. 4baF := F (b1, b2) + F (a1, a2)− F (a1, b2)− F (b1, a2),

Donde a = (a1, a2), b = (b1, b2) ∈ R2 con a1 ≤ b1 y a2 ≤ b2.


2.lımx→x0

F (x, y) = F (x0, y). (1.1)

lımy→y0

F (x, y) = F (x, y0). (1.2)

3.lım

x→−∞F (x, y) = 0; y lım

y→−∞F (x, y) = 0.

4.lım

(x,y)→(∞,∞)F (x, y) = 1.

La prueba de este Teorema puede ser encontrada en Blanco [2] Pág. 200.

Teorema 1.3 (Variables aleatorias conjuntamente continuas).Sean X1, X2, · · · , Xn, n variables aleatorias de valor real definidas sobre el mismo espaciode probabilidad. Se dice que las variables aleatorias son conjuntamente continuas, si existeuna función integrable

f : Rn −→ [0,+∞]

tal que para cada conjunto de Borel B de Bn:

P ((X1, X2, · · · , Xn) ∈ B) =

∫B

· · ·∫B

f(x1, x2, · · · , xn) dx1 dx2 · · · dxn.

La función f es llamada función de densidad de probabilidad conjunta de las variablesaleatorias X1, X2, · · · , Xn.

Nota: de la definición anterior se tiene, en particular:

1.∫Rn· · ·∫Rnf(x1, x2, · · · , xn) dx1 dx2 · · · dxn = 1

2. P (X1 ≤ x1, X2 ≤ x2, · · · , Xn ≤ xn) =

∫ xn

−∞· · ·∫ x2

−∞

∫ x1

−∞f(t1, t2, · · · , tn) dt1 dt2 · · · dtn

La observación anterior muestra que si se conoce la función de densidad de probabilidadconjunta f de las variables aleatorias X1, X2, · · ·Xn, también se conoce la función dedistribución conjunta F . Esto plantea la pregunta: ¿También se mantiene el inverso? Esdecir, ¿es posible, partiendo de la función de distribución conjunta F , encontrar la funciónde densidad de probabilidad conjunta f? La respuesta se da en el siguiente teorema:

Teorema 1.4 (Función de densidad bidimensional). Sea X y Y variables aleatoriascontinuas que tienen una función de distribución conjunta F . Entonces, la función dedensidad de probabilidad conjunta f es:

f(x, y) =∂2F (x, y)

∂x∂y=∂2F (x, y)

∂y∂x

para todos los puntos (x, y) donde f(x, y) es continua.

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Teorema 1.5 (Función de densidad marginal). Si X1, · · · , Xn son variables aleato-rias de valor real n-dimensional con función de densidad de probabilidad (fdp) f entonces:

fXj(x) =

∫ −∞∞· · ·∫ −∞∞

f(x1, · · · , xj−1, x, xj+1, · · · , xn)dx, · · · , dxj−1dxj+1 · · · dxn.

Es la función de densidad de la variable aleatoria Xj para j = 1, 2, ..., n.

Definición 1.6 (Independencia de variables aleatorias). Sean X, Y dos variablesaleatorias reales definidas sobre el mismo espacio de probabilidad, si para cualquier parde conjuntos de Borel A y B de R tenemos:

P (X ∈ A, Y ∈ B) = P (X ∈ A)P (Y ∈ B)

Entonces X y Y son independientes.

Nota: (Vectores aleatorios independientes) La definición anterior puede ser gene-ralizada a vectores aleatorios como sigue: dos n-dimensional vectores aleatorios X y Ydefinidos sobre el mismo espacio de probabilidad, se dicen independientes, si para cual-quier A y B subconjuntos Borel de Rn se satisface:

P (X ∈ A,Y ∈ B) = P (X ∈ A)P (Y ∈ B)

Asúmase que X y Y son variables aleatorias independientes. Entonces se deduce de ladefinición anterior que:

F (x, y) = P (X ≤ x, Y ≤ y) = P (X ≤ x)P (Y ≤ y) ∀x, y ∈ R

esto es:

F (x, y) = FX(x)FY (y) ∀x, y ∈ R (1.3)

Por el contrario, si se cumple la condición 1.3, entonces las variables aleatorias son inde-pendientes.

Supongamos ahora que X e Y son variables aleatorias discretas independientes. Entonces

P (X = x, Y = y) = P (X = x)P (Y = y) (1.4)

Para todo x en la imagen de X y todo y en la imagen de Y . Inversamente, si se cumple lacondición 1.4, entonces, las variables aleatorias son independientes. Si X e Y son variablesaleatorias independientes con función de densidad conjunta f(x, y), entonces:

P (x < X ≤ x+ dx, y < Y ≤ y + dy) = P (x < X ≤ x+ dx)P (y < Y ≤ y + dy).

esto es:


f(x, y) = fX(x)fY (y) ∀x, y ∈ R (1.5)

Por el contrario, si se satisface la condición 1.5, entonces las variables aleatorias son inde-pendientes. En conclusión, tenemos que las variables aleatorias X e Y son independientessi y sólo si su función de densidad conjunta f(x, y) se puede factorizar como el productode sus funciones de densidad marginal fX(x) y fY (y).

Siguiendo con la construcción teórica, se presenta la definición de función de distribuciónacumulada para la variable aleatoria X, que se nota por medio de letras mayúsculas,por ejemplo, FX donde el subíndice hace referencia a la variable aleatoria escogida. Unavariable aleatoria X es continua si su función de distribución es continua.

Grupos y Semi grupos abelianos

Este apartado hace referencia a los grupos y semi grupos, teoría que hace parte delálgebra abstracta la cual es una de las áreas importantes de las matemáticas, sin embargono se limita a ella, también puede encontrarse por ejemplo en el estudio de estructurasmoleculares en química. Para propósitos de este documento se verá en el Capítulo 3 queel par (I, C) es un semi grupo abeliano para lo cual se tienen las siguientes definiciones.

Definición 1.7 (Grupo). Un conjunto G con una operación binaria ∗ en él definida sedice que es un grupo si cumple las siguientes propiedades:

1. La operación binaria ∗ es cerrada en G.

2. La operación binaria ∗ es asociativa, esto es, g1 ∗ (g2 ∗ g3) = (g1 ∗ g2) ∗ g3 para todog1, g2, g3 ∈ G.

3. Existe un elemento neutro e ∈ G talque e ∗ g = g ∗ e = g para todo g ∈ G.

4. Para todo elemento g ∈ G existe un elemento g′ ∈ G, denominado inverso de g talque g ∗ g′ = g′ ∗ g = e.

Definición 1.8 (Semi grupo). Un conjunto G con una operación binaria ∗ en él definidase dice que es un semi grupo si cumple las siguientes propiedades:

1. La operación binaria ∗ es cerrada en G.

2. La operación binaria ∗ es asociativa, esto es, g1 ∗ (g2 ∗ g3) = (g1 ∗ g2) ∗ g3 para todog1, g2, g3 ∈ G.

Si (G, ∗) es un grupo y la operación binaria ∗ posee la propiedad de que g1 ∗ g2 = g2 = g1para todo g1, g2 ∈ G, que se llama propiedad conmutativa, se dice que (G, ∗) es un grupoconmutativo o abeliano (el nombre de “abeliano” se debe al matemático noruego NielsH. Abel (1802-1829) que contribuyó de manera decisiva a la unificación de la teoría degrupos).

Capítulo 2

Cópulas

En este Capítulo se introduce el concepto de cópula, cuyo nombre fue acuñado por prime-ra vez por Abe Sklar en 1959, adicionalmente se conocerá el concepto de cotas Fréchet-Hoeffding y se hará una referencia a la familia de copulas Ali-Mikhail-Haq como preám-bulo al Capítulo 3 donde se abordará en concepto de cópula arquimediana.

Se utilizará I2 para representar el cuadrado unitario que es el producto de I× I cuandoI = [0, 1], por otro lado se nota a H como una función real bidimensional donde unsubconjunto de R2 y un subconjunto de R son dominio y codominio respectivamente.

Definición 2.1 (H-Volumen). Sean S1 y S2 subconjuntos no vacíos de R, y sea Huna función real bidimensional tal que DomH = S1 × S2. Sea B = [x1, x2] × [y1, y2] unrectángulo de tal manera que todos los vértices están en el DomH. Entonces el H-volumende B está dado por:

VH(B) = H(x2, y2)−H(x2, y1)−H(x1, y2) +H(x1, y1). (2.1)

Un error frecuente es olvidar que el dominio de H contiene los vértices de B, pero nonecesariamente los puntos que “unen” dichos vértices. Como referencia para comprenderel concepto de H-volumen se presenta la gráfica 2.1.

Por otro lado la definición de función no decreciente para una función g : R→ R puede serextendida a R2 como dominio de g con el concepto de función 2-creciente, cuya definiciónes la siguiente.

Definición 2.2 (2-creciente). Una función real bidimensional H es 2-creciente si VH(B) ≥0 para todos los rectángulos B cuyos vértices estén en el DomH.

Algunos autores se refieren a las funciones 2-crecientes como cuasi-monótonas y al H-volumen como la H-medida de B.

9

10 CAPÍTULO 2. CÓPULAS

Figura 2.1: H-volumen

Después de reflexionar un poco sobre la definición de 2-creciente, Nelsen [7] propone comoejercicio desarrollar las demostraciones de los contraejemplos que permiten ver que noexiste implicación alguna entre las afirmaciones H es 2-creciente y H es no decrecienteen cada argumento, las cuales se desarrollan a continuación.

Contraejemplo 2.1. Sea H una función definida sobre I2 por H(x, y) = max(x, y),lo que significa que H es no decreciente en cada uno de sus componentes, sin em-bargo VH(I) = max(1, 1) − max(0, 1) − max(1, 0) + max(0, 0) = −1 lo que indicaque H no es 2-creciente.

Contraejemplo 2.2. Sea H una función definida sobre I2 por H(x, y) = (2x −1)(2y − 1). Como se resaltó en la definición 2.2 se deben tener en cuenta todos losrectángulos B cuyos vértices estén en el DomH, entonces:

VH(B) = (2x2 − 1)(2y2 − 1)− (2x2 − 1)(2y1 − 1)

− (2x1 − 1)(2y2 − 1) + (2x1 − 1)(2y1 − 1)

= 4x2y2 − 4x1y2 − 4x2y1 + 4x1y1

= 4[x2y2 − x1y2 − x2y1 + x1y1]

= 4[(x2 − x1)(y2 − y1)] ≥ 0.

La última ecuación se cumple ya que x1 ≤ x2 y y1 ≤ y2, entonces para cualquiervalor en I, H es 2-creciente, sin embargo es una función decreciente de x para caday ∈ (0, 1/2), y es una función decreciente de y para cada x ∈ (0, 1/2) ya que si:

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x1 ≤ x2

(2x1 − 1) ≤ (2x2 − 1)

(2x1 − 1)(2y − 1) ≥ (2x2 − 1)(2y − 1)

y como (2y − 1) < 0 para y ∈ (0, 1/2), se obtiene el resultado deseado, de manerasimilar para y con x ∈ (0, 1/2).

Se abordará la definición de función anclada y se introduce el concepto de marginales,mediante los lemas descritos a continuación, los cuales son claves para la definición decópula y permitirán comprender sus principales características .

Lema 2.1. Sean S1 y S2 subconjuntos no vacíos de R, y H una función 2-creciente condominio S1×S2. Sean x1, x2 en S1 con x1 ≤ x2, y sean y1, y2 en S2 con y1 ≤ y2. entoncesla función

t→ H(t, y2)−H(t, y1)

es no decreciente sobre S1 y la función

t→ H(x2, t)−H(x1, t)

es no decreciente sobre S2.

Demostración. Se define f(t) := H(t, y2) − H(t, y1) y g(t) := H(x2, t) − H(x1, t), comox1 ≤ x2 y y1 ≤ y2, y partiendo de que H es 2-creciente, es decir VH(B) ≥ 0, se tiene que:

VH(B) = H(x2, y2)−H(x2, y1)−H(x1, y2) +H(x1, y1) ≥ 0 (2.2)

de la ecuación anterior se tiene,

H(x2, y2)−H(x2, y1)−H(x1, y2) +H(x1, y1) ≥ 0

−H(x2, y2) +H(x2, y1) +H(x1, y2)−H(x1, y1) ≤ 0

H(x1, y2)−H(x1, y1) ≤ H(x2, y2)−H(x2, y1)

f(x1) ≤ f(x2)

con lo cual f(t) es no decreciente; Partiendo de nuevo de la ecuación (2.2) se tiene,

H(x2, y2)−H(x2, y1)−H(x1, y2) +H(x1, y1) ≥ 0

H(x2, y2)−H(x1, y2) ≥ H(x2, y1)−H(x1, y1)

H(x2, y1)−H(x1, y1) ≤ H(x2, y2)−H(x1, y2)

g(y1) ≤ g(y2),

entonces g(t) es no decreciente.


Ahora supóngase que S1 tiene un elemento mínimo a1 y que S2 tiene un elemento mínimoa2. Se dice que la función H de S1×S2 en R es anclada si H(x, a2) = 0 = H(a1, y) paratodo (x, y) en S1 × S2.

Anteriormente se mostró que no existía implicación alguna entre las afirmaciones H es2-creciente y H es no decreciente en cada argumento sin embargo si se adiciona a lahipótesis que la función H es anclada se puede obtener el siguiente resultado.

Lema 2.2. Sea S1 y S2 subconjuntos no vacíos de R, y sea H una función 2-crecienteanclada con dominio S1 × S2 entonces H es no decreciente en cada argumento.

Demostración. Sea a1, a2 los elementos mínimos de S1, S2 respectivamente y x1 = a1,y1 = a2 en el Lema 2.1.

t→ H(t, y2)−H(t, y1),

t→ H(t, y2)−H(t, a2),

como H es anclada, se tiene que H(t, a2) = 0

t→ H(t, y2),

por Lema 2.1 esa función es no decreciente en S1, lo que implica que H(t1, y2) ≤ H(t2, y2),para t1 ≤ t2 en S1, y como H(t, y2) es un argumento de H para y2 fijo, se tiene el resultadodeseado. De manera similar para t→ H(x2, t)−H(x1, t).

Si se supone además que S1 tiene un elemento máximo b1 y S2 tiene un elemento máximob2 entonces se dice que una función H de S1 × S2 en R tiene marginales, y que lasmarginales de H son funciones F y G dadas por:

DomF = S1 y F (x) = H(x, b2) para todo x en S1.

DomG = S2 y G(y) = H(b1, y) para todo y en S2.

La importancia del siguiente lema es que posteriormente se utilizará para mostrar queuna cópula es uniformemente continua sobre su dominio.

Lema 2.3. Sea S1 y S2 subconjuntos no vacíos de R, y sea H una función 2-crecienteanclada, con marginales, cuyo dominio es S1×S2. Sean (x1, y1) y (x2, y2) cualquier puntoen S1 × S2. Entonces

|H(x2, y2)−H(x1, y1)| ≤ |F (x2)− F (x1)|+ |G(y2)−G(y1)| .

Cópulas

A partir de la función de distribución conjunta se pueden obtener las funciones marginales,sin embargo, partir de las funciones marginales para obtener la función de distribuciónconjunta no siempre es posible. Teniendo en cuenta lo anterior a mediados del siglo XX,Sklar logro mostrar que evaluando las funciones marginales en una función, que llamócópula, se obtiene la función de distribución conjunta. Dadas las definiciones y lemasanteriores el propósito de está sección será definir el concepto de cópula e introducir suspropiedades fundamentales.

Definición 2.3 (Cópula). Una cópula bidimensional o simplemente cópula, es una fun-ción C de I2 a I con las siguientes propiedades:

1. Para todo u, v en I,C(u, 0) = 0 = C(0, v). (2.3)

C(u, 1) = u y C(1, v) = v. (2.4)

2. Para todo u1, u2, v1, v2 en I tal que u1 ≤ u2 y v1 ≤ v2,

C(u2, v2)− C(u2, v1)− C(u1, v2) + C(u1, v1) ≥ 0. (2.5)

La primera condición hace referencia a que C es anclada y tiene marginales, para estecaso 0 y 1 son el elemento mínimo y máximo respectivamente, por último la segundacondición dice que C debe ser 2-creciente.

El siguiente Lema introduce la cópula producto, la cual es asociada a la independenciaentre las variables aleatorias X, Y . Como punto de partida para introducir el conceptode cópula arquimediana en el Capítulo 3 también se usará la independencia. La gráficade la cópula producto puede observarse en la figura 2.1.

Lema 2.4. ∏ (u, v) = uv es una cópula. A ∏ se le conoce como cópula producto.

∏(u, v) = uv.

Demostración. Sea ∏ (u, v) = uv y u, v ∈ I, se quiere comprobar

(i) Para ∏(u, 0) = u · 0 = 0 y para ∏(0, v) = 0 · v = 0, por lo tanto ∏ es anclada.

(ii) Ahora ∏(u, 1) = u · 1 = u y ∏(1, v) = 1 · v = v, luego ∏ tiene marginales.

(iii) Por último, supóngase que u1 ≤ u2 y v1 ≤ v2∏(u2, v2)−

∏(u1, v2)−

∏(u2, v1) +

∏(u1, v1)

= u2v2 − u1v2 − u2v1 + u1v1

= (u2 − u1)(v2 − v1)≥ 0.


Por lo tanto V∏(B) ≥ 0 y ∏ es cópula.

Teorema 2.1. Sean X y Y variables aleatorias continuas. Entonces X y Y son indepen-dientes si y solo si C(x, y) =

∏.

Una resultado bastante interesante es el hecho que toda cópula está acotada por las cotasFréchet-Hoeffding, estas se conocen también como la cota inferior Fréchet-Hoeffding ycota superior Fréchet-Hoeffding, los lemas a continuación pretenden introducir dichosconceptos.

Lema 2.5. W (u, v) = max(u + v − 1, 0) es una cópula. A W se le conoce como la cotainferior Fréchet-Hoeffding.

Lema 2.6. M(u, v) = mın(u, v) es una cópula. A M se le conoce como la cota superiorFréchet-Hoeffding.

A continuación se muestran las gráficas de la cópula mínimo y máximo respectivamente.

Figura 2.2: Cópulas W y M

Como se mencionó anteriormente las cotas superior e inferior Fréchet-Hoeffding acotana C donde C representa una cópula, el propósito del siguiente teorema es mostrar estehecho.

Teorema 2.2 (Cotas de Fréchet-Hoeffding). Sea C una cópula, entonces para cada(u, v) en DomC se tiene

max(u+ v − 1, 0) ≤ C(u, v) ≤ mın(u, v), (2.6)

la prueba de este Teorema puede verse en Nelsen [7] Pág. 11. Entonces para toda cópulaC y todo (u, v) en I2,

W (u, v) ≤ C(u, v) ≤M(u, v) (2.7)

DondeM es la cota Fréchet-Hoeffding superior y W es la cota Fréchet-Hoeffding inferior.

15

Teorema 2.3 (Uniformemente continua). Sea C una cópula. Entonces para todo(u1, u2), (v1, v2) en DomC,

|C(u2, v2)− C(u1, v1)| ≤ |u2 − u1|+ |v2 − v1| (2.8)

Así C es uniformemente continua sobre este dominio.

Hasta este momento, se tiene que las cópulas tienen cota inferior y cota superior, queson uniformemente continuas y que la cópula ∏ es asociada a la independencia de lasvariables aleatorias X y Y , ahora se definirá el concepto de secciones de una cópula, lascuales permitirán discriminar si una cópula es o no arquimediana, lo cual será parte deltema tratado en el Capítulo 3.

Definición 2.4 (Sección diagonal). Sea C una cópula, y sea a cualquier número en I.La sección horizontal de C en a es la función de I en I dada por t 7→ C(t, a); la secciónvertical de C en a es la función de I en I dada por t 7→ C(a, t); y la sección diagonal deC es la función δC de I en I definida por δC(t) = C(t, t).

Corolario 2.1. La sección horizontal, vertical, y diagonal de una cópula C son no de-crecientes, y uniformemente continuas sobre I.

El corolario anterior es consecuencia inmediata del Lema 2.2 y el Teorema 2.3.

Teorema de Sklar

La importancia fundamental del Teorema de Sklar es que relaciona las funciones mar-ginales, la función de distribución conjunta y las copulas, esta idea la resalta Del Río[4] cuando menciona “...el Teorema de Sklar asegura no solamente que las cópulas sonfunciones de distribución conjuntas, sino que el recíproco también es cierto: las funcionesde distribución conjuntas se pueden reescribir en términos de las marginales”. De igualmanera lo hace Chavarro [3] cuando dice “...establece la relación que existe entre las dis-tribuciones multivariadas y sus marginales univariadas a través de una cópula”

Teorema 2.4 (Teorema de Sklar). Sea H una función de distribución conjunta conmarginales F y G. Entonces existe una copula C talque para todo x, y en R

H(x, y) = C(F (x), G(y)), (2.9)

si F y G son continuas, entonces C es única, en otro caso, está determinada unívocamentesobre Ran(F ) × Ran(G). Inversamente, si C es una cópula y F y G son funciones dedistribución, entonces la función H definida por la ecuación precedente, es una funciónde distribución conjunta con marginales F y G.


Cópulas y variables aleatorias

Una variable aleatoria es continua si su función de distribución es continua. Cuandose habla de dos o más variables aleatorias, se adopta la misma convención: dos o másvariables aleatorias son las componentes de una cantidad (un vector) cuyos valores sondescritos por una función de distribución conjunta. Como consecuencia, siempre se asumeque la colección de variables aleatorias en discusión puede definirse en un espacio deprobabilidad común. Ahora ya se puede replantear el teorema de Sklar en términos devariables aleatorias y sus funciones de distribución

Teorema 2.5. Sean X y Y variables aleatorias con funciones de distribución F y G,respectivamente, y función de distribución conjunta H. Entonces existe una cópula C talque se cumple

H(x, y) = C(F (x), G(y)). (2.10)

Si F y G son continuas, C es única. En otro caso, C esta determinada unívocamentesobre RanF ×RanG.

Familia de cópulas Ali-Mikhail-Haq

La familia de cópulas Ali-Mikhail-Haq hace parte de la teoría desarrollada para cópulasde supervivencia, las cuales están ligadas principalmente a aplicaciones concernientes aconocer las probabilidades de vida, por ejemplo en artículos electrónicos; sin embargotambién puede encontrarse en diversas áreas como en salud, actuaria, administración deriesgo, entre otras. A continuación se expone una breve introducción ya que será unaforma de presentar el concepto de cópula arquimediana en el Capítulo 3.

Sean X y Y variables aleatorias continuas con función de distribución conjunta H yfunciones de distribución marginales F y G respectivamente, donde X y Y denotantiempos de vida. Por ejemplo para la variable X, la probabilidad de supervivencia

P [X > x]/P [X ≤ x]

es la probabilidad de sobrevivir más allá del tiempo x sobre la probabilidad de fallar antesdel tiempo x, es decir,

F (x)/F (x) = (1− F (x))/F (x)

También se puede definir la probabilidad de supervivencia en forma bivariada como

P [X > x ó Y > y]/P [X ≤ x, Y ≤ y]

ó

1−H(x, y)

H(x, y)(2.11)

17

Ejemplo 2.1. [7] Supóngase que las variables aleatorias X y Y se distribuyen Gumbel,esto es para todo x, y ∈ R,

H(x, y) = (1 + e−x + e−y)−1.

Si se remplaza en la razón 2.11, se tiene

1−H(x, y)

H(x, y)=

(1− (1 + e−x + e−y)−1)

(1 + e−x + e−y)−1)= e−x + e−y (2.12)

Las probabilidades de supervivencia para X, Y con marginales F (x) = (1 + e−x)−1 yG(y) = (1 + e−y)−1 es

(1− F (x))/F (x) = (1− (1 + e−x)−1)/(1 + e−x)−1 = e−x,

(1−G(y))/G(y) = (1− (1 + e−y)−1)/(1 + e−y)−1 = e−y,

entonces la ecuación 2.12, con F,G,H 6= 0, se puede escribir como

1−H(x, y)

H(x, y)=

1− F (x)

F (x)+

1−G(y)

G(y)(2.13)

Ejemplo 2.2. [7] Supóngase que X y Y son variables aleatorias independientes confunción de distribución conjunta H y marginales F y G respectivamente, se tiene entoncesque H(x, y) = F (x)G(y). Y si además

F (x) = (1 + [(1− F (x))/F (x)])−1,

G(y) = (1 + [(1−G(y))/G(y)])−1

yH(x, y) = (1 + [(1−H(x, y))/H(x, y)])−1,

reemplazando F,G y H en H(x, y) = F (x)G(y) se tiene[1 +

1−H(x, y)

H(x, y)

]−1=

[1 +

1− F (x)

F (x)

]−1 [1 +

1−G(y)

G(y)

]−1,

después de realizar algunas operaciones algebraicas se puede llegar al siguiente resultado,el cual va a permitir identificar las familias Ali-Mikhail-Haq

1−H(x, y)

H(x, y)=

1− F (x)

F (x)+

1−G(y)

G(y)+

1− F (x)

F (x)· 1−G(y)

G(y)(2.14)

Note que las ecuaciones 2.13 y 2.14 son similares. En 1978, Ali, Mikhail y Haq propusieronbuscar distribuciones de dos variables que para alguna constante θ cumplieran la siguienterelación

1−H(X, Y )

H(X, Y )=

1− F (X)

F (X)+

1−G(Y )

G(Y )+ (1− θ)1− F (X)

F (X)· 1−G(Y )

G(Y )(2.15)


Si θ = 1 se obtiene la ecuación 2.13 y si se hace θ = 0 se obtiene la ecuación 2.14.En general las cópulas que cumplen esta condición hacen parte de la familia de cópulasAli-Mikhail-Haq.

Capítulo 3

Cópulas arquimedianas

En este capítulo se introduce el concepto de pseudo-inversa. Además, se incluye tambiénel concepto de función generador, este tipo de funciones, permite, de manera general,construir cópulas bajo cierto tipo de condiciones.

Luego se introducirá el concepto de familia de cópulas arquimedianas y se determinará silas copulas Fréchet-Hoeffding superior e inferior, junto con la cópula producto pertenecena dicha familia.

Por otro lado se verá la razón por la cual se considera al par (I, C), un semi grupo abé-liano ordenado, donde I es el intervalo unitario y C representa una cópula vista comooperación binaria. Se mostrará además el motivo por el cual las cópulas reciben el adje-tivo “Arquimediano” derivado de una interpretación de la propiedad arquimediana paralos números reales.

El principal interés será convertir una función H como el producto de sus marginales Fy G haciendo uso de alguna transformación, por ejemplo para los miembros de la familiaAli-Mikhail-Haq que satisfacen la relación

1−H(x, y)

H(x, y)=

1− F (x)

F (x)+

1−G(y)

G(y)+ (1− θ)1− F (x)

F (x)· 1−G(y)

G(y),

al multiplicarla por (1− θ) se obtiene,

(1− θ)1−H(x, y)

H(x, y)= (1− θ)1− F (x)

F (x)+ (1− θ)1−G(y)

G(y)+ (1− θ)21− F (x)

F (x)· 1−G(y)

G(y),

sumando 1 a ambos lados, y factorizando, se tiene

1 + (1− θ)1−H(x, y)

H(x, y)=

[1 + (1− θ)1− F (x)

F (x)

] [1 + (1− θ)1−G(y)

G(y)

]

19

20 CAPÍTULO 3. CÓPULAS ARQUIMEDIANAS

En este caso la transformación λ(t) = 1 + (1− θ)(1− t)/t conduce a que

λ(H(x, y)) = λ(F (x))λ(G(y)).

Si además se establece que ϕ(t) = − lnλ(t), se tiene que

ϕ(H(x, y)) = − lnλ(H(x, y))

= − ln[λ(F (x))λ(G(y))]

= −[lnλ(F (x)) + lnλ(G(y))]

= − lnλ(F (x))− lnλ(G(y))

= ϕ(F (x)) + ϕ(G(y)),

lo que concluyeϕ(H(x, y)) = ϕ(F (x)) + ϕ(G(y)),

por Teorema de Skar la ecuación anterior se puede escribir como:

ϕ(C(u, v)) = ϕ(u) + ϕ(v). (3.1)

Los siguientes ejemplos tienen como propósito ilustrar lo hecho anteriormente y a su vezmostrar que no es necesario utilizar la transformación λ para poder escribir C como lasuma de las funciones marginales u y v.

Ejemplo 3.1. La cópula Cθ(u, v) = (u−1θ + v−

1θ − 1)−θ satisface la ecuación 3.1 con

ϕ(t) = t−1θ − 1, veamos.

ϕ(Cθ(u, v)) = ϕ[(u−1θ + v−

1θ − 1)−θ]

= ((u−1θ + v−

1θ − 1)−θ)−

1θ − 1

= u−1θ + v−

1θ − 1− 1

= (u−1θ − 1) + (v−

1θ − 1)

= ϕ(u) + ϕ(v)

Ejemplo 3.2. La cópula Cθ(u, v) = exp(−[(− lnu)θ + (− ln v)θ]1θ ) satisface la ecuación

3.1 con ϕ(t) = (− ln t)θ, con lo cual se tiene.

ϕ(Cθ(u, v)) = ϕ[exp(−[(− lnu)θ + (− ln v)θ]1θ )]

= [− ln[exp(−[(− lnu)θ + (− ln v)θ]1θ )]]θ

= [[(− lnu)θ + (− ln v)θ]1θ ]θ

= (− lnu)θ + (− ln v)θ

= ϕ(u) + ϕ(v).

21

El principal interés recae sobre el tipo de transformaciones ϕ que se pueden usar para laconstrucción de cópulas. Entonces partiendo de la ecuación 3.1 y resolviendo para C(u, v)se tiene que

C(u, v) = ϕ[−1](ϕ(u) + ϕ(v)), (3.2)

siempre y cuando se use una definición apropiada de “inversa” ϕ[−1].

Definición 3.1 (pseudo-inversa). Sea ϕ una función continua estrictamente decrecien-te definida de I a [0,∞] tal que ϕ(1) = 0. La pseudo-inversa de ϕ es la función ϕ[−1] conDom(ϕ[−1]) = [0,∞] y Ran(ϕ[−1]) = I dada por

ϕ[−1](t) =

ϕ−1(t) , 0 ≤ t < ϕ(0)

0 , ϕ(0) ≤ t ≤ ∞(3.3)

Note que ϕ[−1] es continua y no creciente sobre [0,∞], y estrictamente decreciente sobre[0, ϕ(0)]. Además, ϕ[−1](ϕ(u)) = u sobre I, y

ϕ(ϕ[−1](t)) =

t , 0 ≤ t < ϕ(0)

ϕ(0) , ϕ(0) ≤ t ≤ ∞

= mın(t, ϕ(0)).

Finalmente, si ϕ(0) =∞, entonces ϕ[−1] = ϕ−1.

Sin embargo no existe garantía que C(u, v) sea una cópula en la ecuación 3.2, por lotanto la teoría que sigue, pretende mostrar las condiciones bajo las cuales ϕ a partir dela ecuación 3.2 genera una cópula.

Lema 3.1. Sea ϕ una función continua estrictamente decreciente de I a [0,∞] tal queϕ(1) = 0, y sea ϕ[−1] la pseudo-inversa de ϕ definida por 3.1. Sea C una función de I2 aI dada por

C(u, v) = ϕ[−1](ϕ(u) + ϕ(v)) (3.4)

entonces C(u, v) es anclada y satisface C(u, 1) = u y C(1, v) = v.

Demostración.C(u, 0) = ϕ[−1](ϕ(u) + ϕ(0)) = 0,

por un argumento similar se tiene que C(0, v) = 0

C(u, 1) = ϕ[−1](ϕ(u) + ϕ(1)) = ϕ[−1](ϕ(u)) = u,

de igual manera se concluye que C(1, v) = v.


Se tiene que la función C(u, v) tiene marginales y es anclada, pero para cumplir con ladefinición de cópula se tendrá que demostrar que C(u, v) es 2-creciente, para lo cual elTeorema 3.3 impone condiciones suficientes y necesarias sobre ϕ para que esto suceda,este resultado es considerado como uno de los más importantes hasta este momento ypara demostrarlo es necesario introducir el Lema 3.2 y el Teorema 3.2. Finalmente elCorolario 3.1 reúne los resultados obtenidos.

Lema 3.2. Sea ϕ una función continua estrictamente decreciente de I a [0,∞] tal queϕ(1) = 0, y sea ϕ[−1] la pseudo-inversa de ϕ definida por la ecuación 3.3. Sea C unafunción de I2 a I dada por C(u, v) = ϕ[−1](ϕ(u)+ϕ(v)). Entonces C(u, v) es 2−crecientesi y solo si para todo v en I,

C(u2, v)− C(u1, v) ≤ u2 − u1 (3.5)Siempre que u1 ≤ u2.

Demostración. Si C(u, v) es 2-creciente y B = [u1, u2]× [v, 1] se tiene que VC(B) es

VC([u1, u2]× [v, 1]) = C(u2, 1)− C(u1, 1)− C(u2, v) + C(u1, v) ≥ 0

= C(u2, v)− C(u1, v) < u2 − u1.

Por otro lado se asume que C(u, v) cumple la ecuación 3.5 y se toma v1, v2 en I tal quev1 ≤ v2. Nótese que C(0, v2) = 0 ≤ v1 ≤ v2 = C(1, v2). Como C es continua (ya queϕ y ϕ[−1] lo son) existe un t en I tal que C(t, v2) = v1, lo cual se puede escribir comoϕ(v2) + ϕ(t) = ϕ(v1), entonces

C(u2, v1)− C(u1, v1) = ϕ[−1](ϕ(u2) + ϕ(v1))− ϕ[−1](ϕ(u1) + ϕ(v1))

= ϕ[−1](ϕ(u2) + ϕ(v2) + ϕ(t))− ϕ[−1](ϕ(u1) + ϕ(v2) + ϕ(t))

= ϕ[−1]([ϕ(u2) + ϕ(v2)] + ϕ(t))− ϕ[−1]([ϕ(u1) + ϕ(v2)] + ϕ(t))

= ϕ[−1]([ϕ[ϕ[−1][ϕ(u2) + ϕ(v2)]] + ϕ(t))−

ϕ[−1]([ϕ[ϕ[−1][ϕ(u1) + ϕ(v2)]] + ϕ(t))

= C(C(u2, v2), t)− C(C(u1, v2), t)

≤ C(u2, v2)− C(u1, v2),

de lo cual se deduce que C es 2− creciente.Definición 3.2 (Función convexa). Sea B un intervalo no vacío ni reducido a un puntoy f : B→ R una función. Se dice que f es convexa si para a, b ∈ B con a < b se verificala siguiente condición:

f((1− l)a+ lb) ≤ (1− l)f(a) + lf(b)

Para todo l ∈ I.

23

Figura 3.1: Función convexa

Definición 3.3 (Función midconvexa). Sea B un intervalo no vacío ni reducido a unpunto y f : B→ R una función. Se dice que f es midconvexa si para a, b ∈ B con a < bse verifica la siguiente condición:

f

(a+ b

2

)≤ f(a) + f(b)

2

Así, si una función es convexa también debe ser midconvexa, esto se hace tomando l = 12

en la definición 3.2.

Teorema 3.1. Sea B un intervalo no vacío ni reducido a un punto y f : B → R unafunción midconvexa, entonces

1. f(a1+a2+···+an

2

)≤ f(a1)+f(a2)+···+f(an)

2, para n ∈ N, a1, a2, ..., an ∈ B

2. f((1− l)a+ lb) ≤ (1− l)f(a) + lf(b), para l ∈ Q, a, b ∈ B

La demostración puede ser consultada en Kuczma [6]. Si una función es midconvexa ycontinua entonces es convexa, lo cual se vera en el siguiente teorema.

Teorema 3.2. Sea B un intervalo no vacío ni reducido a un punto y f : I → R unafunción midconvexa y continua. Entonces f es convexa.

Demostración. Romero [9] Sean x, y ∈ B y sea λ ∈ [0, 1]. Sea λn una sucesión de númerosracionales pertenecientes al intervalo cerrado [0, 1] que converge a λ es decir

lımn→∞

λn = λ.


Entonces por Teorema 3.1, se tiene que

f((1− λn)a+ λnb) ≤ (1− λn)f(a) + λnf(b),

utilizando este hecho y dado que f es continua se obtiene

f((1− λ)a+ λb) = f(

lımn→∞

(1− λ)a+ λb)

= lımn→∞

f ((1− λ)a+ λb)

≤ lımn→∞

((1− λn)f(a) + λnf(b))

= ((1− λ)f(a) + λf(b)) .

Es decir

f((1− λ)a+ λb) ≤ (1− λ)f(a) + λf(b),

para todo a, b ∈ B y λ ∈ [0, 1].

En este punto se puede exponer y probar el resultado más importante hasta el momento,en él se darán las condiciones necesarias y suficientes para que la función generada por ϕsea una cópula.

Teorema 3.3. Sea ϕ una función continua estrictamente decreciente de I a [0,∞] talque ϕ(1) = 0, y sea ϕ[−1] la seudo-inversa definida por la ecuación 3.3 entonces la funciónC de I2 a I dada por la ecuación 3.4 es una cópula si y solo si ϕ es convexa

Demostración. [7] Se ha mostrado que C es anclada y tiene marginales como consecuenciadel Lema 3.1. Ahora se necesita probar que la ecuación 3.5 se cumple si y solo si ϕ esconvexa (Note que ϕ es convexa si y solo si ϕ[−1] es convexa) por ello se demostrará queϕ[−1] es convexa. Obsérvese además que la ecuación 3.5 es equivalente a

u1 + ϕ[−1](ϕ(u2) + ϕ(v)) ≤ u2 + ϕ[−1](ϕ(u1) + ϕ(v))

Para u1 ≤ u2, entonces si a = ϕ(u1), b = ϕ(u2), c = ϕ(v), entonces la ecuación 3.5 esequivalente a

ϕ[−1](a) + ϕ[−1](b+ c) ≤ ϕ[−1](b) + ϕ[−1](a+ c) (3.6)

donde a ≥ b y c ≥ 0 debido a que ϕ es decreciente y que el rango de ϕ es positivo. Sise escoge cualquier s, t en [0,∞] talque 0 ≤ s < t. El conjunto a = (s + t)/2, b = s, yc = (t− s)/2 en la ecuación 3.6, se tiene

ϕ[−1](s+ t

2

)+ ϕ[−1]

(s+

t− s2

)≤ ϕ[−1](s) + ϕ[−1]

(s+ t

2+t− s

2

)

25

ϕ[−1](s

2+t

2

)≤ ϕ[−1](s) + ϕ[−1](t)

2

ϕ[−1] ((1− l)s+ lt) ≤ (1− l)ϕ[−1](s) + lϕ[−1](t)

Con l = 1/2, como ϕ[−1] es mid-convexa, y como ϕ[−1] es continua se sigue que ϕ[−1] esconvexa.

Ahora se asume que ϕ[−1] es convexa, se fija a, b y c en I tal que a ≥ b y c ≥ 0 y se defineγ = (a− b)/(a− b+ c). Luego a = (1−γ)b+γ(a+ c) y b+ c = γb+ (1−γ)(a+ c) y por lotanto, reemplazando en la ecuación 3.6 y ya que ϕ es convexa se obtienen las siguientesdesigualdades.

ϕ[−1](a) ≤ (1− γ)ϕ[−1](b) + γϕ[−1](a+ c)

ϕ[−1](b+ c) ≤ γϕ[−1](b) + (1− γ)ϕ[−1](a+ c)

Sumando las ecuaciones anteriores,

ϕ[−1](a) + ϕ[−1](b+ c) ≤ ϕ[−1](b) + ϕ[−1](a+ c)

Lo que completa la prueba.

Corolario 3.1. Sea ϕ una función convexa, continua, estrictamente decreciente de I a[0,∞] tal que ϕ(1) = 0, y sea ϕ[−1] la pseudo-inversa de ϕ definida por la ecuación 3.3.Sea C una función de I2 a I dada por C(u, v) = ϕ[−1](ϕ(u) + ϕ(v)). Entonces C(u, v) esuna cópula.

Demostración. Se deduce de los lemas precedentes.

Las cópulas de la forma C(u, v) = ϕ[−1](ϕ(u) + ϕ(v)) son llamadas cópulas arquime-dianas. La función ϕ es llamada generador de la cópula. Si ϕ(0) =∞, se dice que ϕ esun generador estricto. En este caso, ϕ[−1] = ϕ−1 y C(u, v) = ϕ−1(ϕ(u) +ϕ(v)) es llamadauna cópula arquimediana estricta. Más precisamente la función ϕ es un generador aditivode C.

En los siguientes dos lemas se verá como∏

y W son cópulas arquimedianas, sin embargola primera es estricta y la segunda no. Luego se enunciara un lema en el cual se presentaun discriminante sencillo pero útil para determinar cuando una cópula es arquimedianay se aplicara para mostrar que W no pertenece a dicha familia.

Lema 3.3.∏

es una cópula arquimediana estricta.

Demostración. Sea ϕ(t) = − ln t para t en [0, 1]. Como ϕ(0) = ∞, ϕ es estricta, asíϕ[−1](t) = ϕ−1(t) = exp(−t), y genera C vía ecuación 3.4

C(u, v) = ϕ[−1](ϕ(u) + ϕ(v))

= exp(−[(− lnu) + (− ln v)])

= exp(lnuv)

= u · v=

∏(u, v)


Así∏

es una cópula arquimediana estricta.

Lema 3.4. W es una cópula arquimediana (no estricta).

Demostración. Sea ϕ(t) = 1−t para t en [0, 1], luego para t ∈ [0, 1] se tiene que ϕ[−1](t) =1− t, y ϕ[−1](t) = 0 para t > 1; es decir ϕ[−1](t) = max(1− t, 0). Usando la ecuación 3.4

C(u, v) = ϕ[−1](ϕ(u) + ϕ(v))

= 1− (1− u+ 1− v)

= u+ v − 1

= max(u+ v − 1, 0) = W (u, v)

Así W es también arquimediana pero no es estricta debido a que ϕ(0) 6=∞.

Saber si una cópula dada es arquimediana no parece una tarea sencilla sin embargo el si-guiente lema brinda un determinante para cumplir con este objetivo, y es una herramientaútil en este contexto.

Lema 3.5. Si C es una cópula arquimediana entonces para u ∈ (0, 1), δC(u) < u.

Demostración. Dado que ϕ es estrictamente decreciente en I se tiene

0 < u < 1ϕ(1) < ϕ(u) < ϕ(0)

ϕ(u) + ϕ(1) < ϕ(u) + ϕ(u) < ϕ(u) + ϕ(0)

aplicando la pseudo-inversa y debido a que esta es estrictamente decreciente en [0, ϕ(0)]se tiene

ϕ[−1](ϕ(u) + ϕ(0)) ≤ ϕ[−1](2ϕ(u)) < ϕ[−1](ϕ(u) + ϕ(1))

dado que C es una cópula arquimediana y aplicando la definición de diagonal se tiene

C(u, 0) ≤ C(u, u) < C(u, 1)0 ≤ δC(u) < u.

Lo que termina la demostración.

Lema 3.6. M no es una cópula arquimediana.

Demostración. M = mın(u, v) entonces δM(u) = mın(u, u) = u 6< u, entonces por elcontra recíproco de lema 3.5 se tiene que la cópula M no es arquimediana.

27

El semi grupo abeliano (I, C)

Una cópula arquimediana actua como una operación binaria cerrada sobre el intervaloI, ya que si se toman dos elementos de I, como u y v y se aplica la operación binariaC(u, v) dicho resultado es de nuevo un elemento de I, por tanto el par (I, C) es cerrado.Por otro lado la posibilidad de escribir una cópula como la inversa de la suma de lastransformaciones de las marginales F y G deriva en las siguientes propiedades.

Teorema 3.4. Sea C una cópula arquimediana con generador ϕ, entonces:

1. C es simétrica; es decir, C(u, v) = C(v, u) para todo u, v en I.

2. C es asociativa, es decir, C(C(u, v), w) = C(u,C(v, w)) para todo u, v, w en I.

3. Si c > 0 es una constante, entonces cϕ también es un generador de C.

Demostración. Si C una cópula arquimediana con generador ϕ, entonces:

1. C(u, v) = ϕ[−1](ϕ(u) + ϕ(v)) = ϕ[−1](ϕ(v) + ϕ(u)) = C(v, u) para todo u, v en I.

2. C es asociativa, para todo u, v, w en I se tiene

C(C(u, v), w) = C(ϕ[−1](ϕ(u) + ϕ(v)), w)

= ϕ[−1](ϕ(ϕ[−1][ϕ(u) + ϕ(v)] + ϕ(w))

= ϕ[−1](ϕ(u) + ϕ(v) + ϕ(w))

= ϕ[−1](ϕ(u) + ϕ(ϕ[−1][ϕ(v) + ϕ(w)]))

= C(u, ϕ[−1](ϕ(v) + ϕ(w))

= C(u,C(u,w))

3. Si c > 0 es una constante, entonces cϕ es también es una función continua, estric-tamente decreciente de I a [0,∞] tal que cϕ(1) = c · 0 = 0, con pseudo-inversa ϕ[−1]

dada por la ecuación 3.3 y como ϕ cumple que

ϕ((1− l)a+ lb) ≤ (1− l)ϕ(a) + lϕ(b)

cϕ((1− l)a+ lb) ≤ c[(1− l)ϕ(a) + lϕ(b)]

cϕ((1− l)a+ lb) ≤ (1− l)(cϕ(a)) + l(cϕ(b))

lo que indica que cϕ es convexa y en virtud del corolario 3.1 cϕ es un generador deC.


Como consecuencia del Teorema 3.3, si se tuviera el interés de construir una cópula ar-quimediana solo se necesitaría encontrar una función que sirva como generador, esto es,funciones continuas convexas y decrecientes ϕ de I a [0,∞] con ϕ(1) = 0. El conjunto dedichas funciones se denotará con la letra Ω.

Por el Teorema 3.4 se tiene que la operación C es conmutativa y asociativa es decir, elpar (I, C) es un semi grupo abéliano.

Propiedad arquimediana

Si se piensa en un número real b lo suficientemente grande y a su vez se elige un númeroreal positivo a suficientemente pequeño entonces será posible encontrar un número enteron tal que na > b, esta propiedad se conoce como la propiedad arquimediana de losnúmeros reales, la que formalmente esDefinición 3.4. Si a > 0 y si b es un número real arbitrario, existe un entero positivo ntal que na > b.La propiedad anterior también se conoce como Axioma de Arquímedes y puede encon-trarse en muchas estructuras matemáticas, Ling [8] introduce una versión análoga para elsemi grupo abeliano (I, C) de la propiedad arquimediana de los números reales en el con-texto de las cópulas, lo que origina el adjetivo “arquimediano”, para estudiar esta versiónanáloga es necesario definir a unC la cual se conoce como la C-potencia de u.Definición 3.5. unC = C(u, un−1C ) y u1c = u.

Lema 3.7. La C-potencia de u cumple que

unC = ϕ[−1](nϕ(u))

Demostración. La prueba de este lema se hace por inducción sobre n, primero se pruebapara n = 2 entonces

u2C = C(u, u1C) = C(u, u) = ϕ[−1](ϕ(u) + ϕ(u)) = ϕ[−1](2ϕ(u)).

Supóngase cierto para n

unC = C(u, un−1C ) = ϕ[−1](nϕ(u)).

Ahora se demuestra para n+ 1

un+1C = C(u, unC)

= C(u, ϕ[−1](nϕ(u)))

= ϕ[−1](ϕ(u) + ϕ[ϕ[−1](nϕ(u))]

= ϕ[−1](ϕ(u) + nϕ(u))

= ϕ[−1]((n+ 1)ϕ(u)).

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Así la n-esima C-potencia de u es ϕ[−1](nϕ(u)).

La C-potencia de u puede ser definida para cualquier u en I, además la propiedad ar-quimediana para cópulas dice que para cualquier dos números u, v en (0, 1), existe unnúmero entero positivo n tal que unC < v. Lo cual se formaliza en el siguiente teorema.

Teorema 3.5. Sea C una cópula arquimediana generada por ϕ en Ω. Entonces paracualquier u, v en I, existe un entero positivo n talque unC < v.

Demostración. Sean u, v cualquier par de elementos de I. Como ϕ(u) y ϕ(v) son númerosreales positivos, aplicando la propiedad arquimediana para números reales, se tiene queexiste un número entero n tal que

nϕ(u) > ϕ(v),

aplicando ϕ[−1] a ambos lados y dado que es una función decreciente, se tiene que

v = ϕ[−1](ϕ(v)) > ϕ[−1](nϕ(u)) = unC ,

es decirunC < v.

La convexidad de ϕ no es requerida en esta demostración, además si v > 0 y dado que ϕes estrictamente decreciente en I implica que ϕ(0) > ϕ(v), entonces por la definición depseudo-inversa, se tiene que ϕ[−1](ϕ(v)) 6= 0, lo que completa la demostración.

Para concluir este capítulo se introducen una definición y un teorema de los cuales sededuce el algoritmo que nos permitirá generar pares de la forma (u, v) cuya función dedistribución conjunta es una cópula arquimediana.

Definición 3.6. Sean U, V variables aleatorias que se distribuyen uniforme (0, 1) cuyafunción de distribución conjunta es una cópula arquimediana C generada por ϕ en Ω.Entonces la función

KC(t) = t− ϕ(t)

ϕ′(t)

es la función de distribución de la variable aleatoria C(U, V ).

Teorema 3.6. Sean U, V variables aleatorias que se distribuyen uniforme (0, 1) cuyafunción de distribución conjunta es una cópula arquimediana C generada por ϕ en Ω. Lafunción de distribución conjunta H(s, t) de las variables aleatorias

S =ϕ(U)

ϕ(U) + ϕ(V )

T = C(U, V )

esta dada por

H(s, t) = s ·KC(t)

= s ·[t− ϕ(t)

ϕ′(t)

]


para todo (s, t) ∈ I2. Por lo tanto S y T son independientes, y S esta uniformementedistribuido sobre (0, 1).

La demostración de este teorema puede ser encontrada en [7] pág. 130. Ahora desarro-llando los pasos del algoritmo sugerido en [7] pág. 134 se tiene

1. Generar las variables aleatorias S y T que se distribuyen uniformes (0, 1) y cuyoselementos se representan con s y t respectivamente.

2. Definir un generador aditivo ϕ, para este código se tomara ϕ(t) = (1− t)θ

3. Hallar la pseudo-inversa ϕ[−1](t), que es igual a 1− t 1θ para este caso.

4. Hallar la derivada de ϕ, para este código será ϕ′(t) = θ(1− t)θ−1

5. Construir

KC(t) = t− ϕ(t)

ϕ′(t)= t− (1− t)θ

θ(1− t)θ−1= t− 1− t

θ

6. Ahora hallar la inversa de la función KC(t) que se notara con w es decir

w = K−1C (t) =tθ + 1

θ + 1

7. Hacer u = ϕ[−1](sϕ(w)) es decir

u = 1− θ√sϕ(w) = 1− θ

√s

(1− tθ + 1

θ + 1

)θ= 1− θ

√s ·(

1− tθ + 1

θ + 1

)

8. Ahora hacer v = ϕ[−1]((1− s)ϕ(w)) es decir

v = 1− θ√

(1− s)ϕ(w) = 1− θ

√(1− s)

(1− tθ + 1

θ + 1

)θ= 1− θ

√(1− s)·

(1− tθ + 1

θ + 1

)

9. Finalmente (u, v) son los pares deseados.

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Figura 3.2: Gráficas de los puntos obtenidos variando el parámetro θ = a


La cópula generada por ϕ(t) = (1− t)θ es:

C(u, v) = ϕ[−1](ϕ(u) + ϕ(v))

= 1− θ√ϕ(u) + ϕ(v)

= 1− θ√

(1− u)θ + (1− v)θ]

= 1−[(1− u)θ + (1− v)θ

] 1θ

= max(

1−[(1− u)θ + (1− v)θ

] 1θ , 0)

A continuación se verán las gráficas de C(u, v) variando el parámetro θ, en orden deizquierda a derecha se tienen θ = 1,1, θ = 2, θ = 8, θ = 50

Figura 3.3: Gráficas de la cópula obtenida variando el parámetro θ = a

33

Al variar el ángulo de las gráficas sin modificar el parámetro θ, es decir en orden deizquierda a derecha θ = 1,1, θ = 2, θ = 8, θ = 50 se obtiene

Figura 3.4: Gráficas de la cópula obtenida variando el parámetro θ = a

Conclusiones1. El par (I, C) posee una estructura matemática de semi grupo abeliano, lo que

implica que los elementos que pertenecen a I junto con la operación C, cumplen laspropiedades de cerradura, asociatividad y conmutatividad.

2. Para que la ecuación C(u, v) = ϕ[−1](ϕ(u) + ϕ(v)) genere una cópula, es necesarioque la función ϕ sea convexa, continua y estrictamente decreciente de I a [0,∞] yque además se cumpla que ϕ(1) = 0. Donde ϕ[−1] es la pseudo-inversa de ϕ.

3. Se tiene que dada C una cópula arquimediana generada por ϕ en Ω y cualquier u, ven I, existe un entero positivo n talque unC < v, lo cual es una versión análoga delaxioma de Arquímedes para el semi grupo abeliano (I, C).

ANEXOS 35

AnexosCódigo en R

Bibliografía

[1] Alsina C, Frank MJ, Schweizer B. Associative Functions on Intervals: A Primerof Triangular Norms, World Scientific, Hackensack, 2005.

[2] Blanco Castañeda, Liliana, Introduction to Probability and Stochastic Processeswith Applications, Primera edición, John Wiley & Sons, Inc. New Jersey, EstadosUnidos, 2012.

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