Copulas Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen.

Copulas

Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen

Inhalt• EinführungEinführung

– Korrelation – Mögliche Fehlschlüsse

• Das Copula - KonzeptDas Copula - Konzept

– Einleitung und Definition einer Copula

– Sklar‘s Theorem und Umkehrung

– Copulabasierte Zusammenhangsmaße

– Fréchet-Hoeffding Grenzen

– Unabhängigkeits- und Komonotonie-Copula

• Abstrakte CopulasAbstrakte Copulas

– Archimedische Copulas (Gumbel)

– Parametrische Copulas (Gauss)

• Konstruktion von CopulasKonstruktion von Copulas

– Inversionsmethode

– Lineare Konvexkombination

• SimulationSimulation

Korrelation – Mögliche Fehlschlüsse

• Modellierung der Abhängigkeitsstruktur gehört zu den grundlegendsten Fragen des Quantitativen Risk Managements (QRM)

• Mehrer Möglichkeiten Zusammenhang zwischen Zufallsvariablen zu beschreiben

• Der lineare Korrelationskoeffizient ist ein Standardwerkzeug für den Zusammenhang zweier Zufallsvariablen

• Bestimmt Grad der linearen Abhängigkeit mit Werten [0,1]• Nur globale Größe. Ermittlung ist von den Randverteilungen

abhängig (momentenbasiert)


• Bei nur paarweiser Korrelation können nicht zu kompensierende Fehler entstehen

• Die alleinige Angabe der Korrelation ist unzureichend• Aus Unkorreliertheit folgt nicht „unbedingt“ Unabhängigkeit• Normalverteilungsannahme für Einzelrisiken kann nicht

gerechtfertigt sein (z.B.Großschäden)• Bekannt ist: Unterschiedliche strukturelle Risiken mit gleicher

(Rand-) Verteilung können dieselbe Korrelation aufweisen


Simulation von jeweils 5037 Risiko-Paaren


• Die Risiken X, Y und Z wurden wie folgt aus Zufallszahlen U und V erzeugt, die über dem Intervall [0,1] stetig gleichverteilt und stochastisch unabhängig sind:

• Man zeigt: Aufgrund obiger Konstruktion sind die Risiken X, Y und Z dann jeweils auch über dem Intervall [0,1] stetig gleichverteilt, jedoch nicht mehr unabhängig sind. Für die Korrelationen erhält man den gleichen Wert:

• Erheblich strukturelle Unterschiede zwischen (X,Y) und (X,Z)!!Paare (X,Y) – Quadrat (fast) gefülltPaare (X,Z) – Besitzen keine Fläche


• Die gleichen Randverteilungen• Die gleiche lineare Korrelation• Jedoch: deutlich unterschiedlich!

(Bild aus „Eine Einführung in Copulas“ von Johanna Neshlehova)


• Beispiele zeigen Notwendigkeit einer präziseren Beschreibung von Abhängigkeiten auf

• Das Wissen der (1-dim) Randverteilungen und die Korrelationsmatrix reichen für die gemeinsame Verteilung der Komponenten des Zufallvektors nicht aus

• Mächtige Alternative: Das Copula - Konzept

Das Copula - Konzept

• Als vollständige Beschreibung der Abhängigkeiten• Aus reiner linearer Abhängigkeit wird beliebige Abhängigkeit (was

auch die stochastische Unabhängigkeit umfasst)• Grundliegende Idee:

Trennung der Randverteilungs- und Abhängigkeitsproblematik

• Der Copula allein soll die Beschreibung der Abhängigkeiten der Zufallsvariablen zukommen

• Die Zufallsvariablen werden selbst einzeln durch ihre eindimensionalen Randverteilung beschrieben

• Dadurch Anwendbarkeit zahlreicher bekannter Analyse- und Modellierungsmöglichkeiten bezüglich der Randverteilungen

Das Copula - Konzept

Einfache Definition einer Copula

Folgerungen:1. 1-dim Randverteilungen einer Copula sind Rechteckverteilungen

auf [0,1]2. Copula ist Null, falls ein = 0

Erinnerung: Die Beschreibung der Abhängigkeitsstruktur zweier Zufallszahlen erfolgt mittels der zugehörigen bivariaten Verteilungsfunktion

iu

Das Copula – KonzeptEinleitung und Definition

• Für den 2-dim Fall lässt sich ihr Verlauf auf dem Rand

Einheitsquadrates [0,1]² leicht illustrieren:

Das Copula – KonzeptSklar‘s Theorem

• Der folgende Satz ermöglicht die Aufteilung einer mehrdimensionalen Verteilung in ihre Randverteilung und eine zugehörige Copula:


• Sklar‘s Theorem gewährleistet nur die Existenz einer Copula (Die Wahl der Copula bleibt ein Modellrisiko)

• Beispiel und Produktcopula• Bedeutung:

In der Darstellung einer gemeinsamen Verteilungsfunktion mit Hilfe einer Copula werden somit die Informationen über den Zusammenhang der Zufallszahlen vollständig separiert von den Informationen über die univariaten Randverteilungsfunktionen.

• Die Copula ist ein Funktional der Randverteilungsfunktionen, und beschreibt die fehlenden mehrdimensionalen Abhängigkeitsstrukturen der zugrunde liegenden Zufallsvariablen


• Zur Vereinfachung: Betrachtung in zwei Dimensionen


• Dreht man die Pfeile um


• In der Copula sind nur Informationen über die Art der Abhängigkeit von X und Y enthalten, aber keinerlei Informationen über Ihre Randverteilungen

• Die Randverteilungsfunktionen enthalten keinerlei Information über die Art der Abhängigkeit

• Mittels der Copula kann man eine gewünschte Abhängigkeitsstruktur wählen und diese mit beliebigen, gewünschten Randverteilungen kombinieren.

• Daraus erhält man eine gemeinsame Verteilung von X und Y , welche die gewünschte Abhängigkeitsstruktur und die gewünschte Randverteilungen aufweist.

Das Copula – KonzeptUmkehrung von Sklar‘s Theorem

• Vorab – Definition: Pseudo-Inverse einer Verteilungsfunktion

F stetig und streng monoton steigend → Pseudoinverse gewöhnliche Inverse der Verteilungsfunktion

Erinnerung: Sei Z auf [0;1] gleichverteilt und f die Pseudo-Inverse einer Verteilungsfunktion F.

Setzt man X = f ( Z ), dann hat X die Verteilungsfunktion F.

Das Copula – KonzeptUmkehrung von Sklar‘s Theorem

Umkehrung von Sklar‘s Theorem

Wichtiges Resultat:

Es ist also möglich, die Abhängigkeitsstruktur getrennt von den Randverteilungen zu betrachten .

Auf den folgenden Folien besitzen die beiden Verteilungsfunktionen verschiedene Randverteilungen, haben aber die gleiche Abhängigkeitsstruktur (Copula ist identisch)

Verteilungsfunktion A-B

Verteilungsfunktion C-D

Das Copula – KonzeptDichte

• Die Dichte einer Copula ist durch ihre partiellen Ableitungen gegeben:

• Im Gegensatz zur Copula kann ihre Dichte Werte weit über eins annehmen

• Da die Dichte einer Copula teils nicht existiert bzw. anzugeben ist, ist darunter im folgenden die „diskrete Dichte“ zu verstehen, welche numerisch aus der Copula approximiert werden kann.

• Die Nicht-Existienz der Dichte ist für die numerische Betrachtung der Copula nicht schlimm, die diese auf einem endlichen feinen Gitter auch immer nur zu endlichen Werten des Anstiegs führt. Die Existenz einer diskreten Dichte ist somit eingängig.

Das Copula – KonzeptDichte

• Die Dichte wird zur Simulation nicht benötigt, allerdings zur heuristischen „Vorhersage“: Hohe Werte der Dichte gehen mit Punkthäufungen der Simulation in diesen Bereichen überein, da die Dichte der Copula, als mehrdimensionale Verteilungsfunktion betrachtet, Wahrscheinlichkeitsmasse auf dem n-dim. Einheitswürfel [0,1]ª (a=dim n) verteilt.

• Interpretiert man die Copula als Funktion zur Modellierung von stochastischen Abhängigkeiten, so würde ihre Dichte entsprechend „Abhängigkeitsmasse“ verteilen.

• Da die Copula eine mehrdim. Verteilungsfunktion ist, ist ihre (diskrete) Dichte schwach positiv. Somit ist diese nach unten durch Null beschränkt. Ws sind also nur noch Wertebereichsüberschreitungen im positiven Bereich zu untersuchen

Das Copula – Konzept

• Die linke Seite wird als die Fréchet-Hoeffding Untergrenze bezeichnet, ist eine Copula nur für d=2 und d = 2 entspricht der perfekten negativen Abhängigkeit oder Kontramonotonie

• Die rechte Seite wird als die Fréchet-Hoeffding Obergrenze bezeichnet, Ist eine Copula in jeder Dimension d ≥ 2 und entspricht der perfekten positiven Abhängigkeit oder Komonotonie

(später mehr dazu)

Das Copula – Konzept Copulabasierte Zusammenhangsmaße

• Der lineare Korrelationskoeffzient ist ein Zusammenhangsmaß (globales Maß)

• Um die durch die Copula beschriebenen Abhängigkeiten zu charakterisieren, werde Abhängigkeitsmaße definiert.

• Im Gegensatz zur linearen Korrelation sind diese translationsinvariant (invariant unter streng monoton wachsenden Funktionen):


• Viele auf Copulas basierende Zusammenhangsmaße beruhen auf der Konkordanz und Diskordanz

• Allgemein bedeutet Konkordanz, dass große Werte der Zufallsvariablen X tendenziell mit großen Werten von Y auftreten

• Dementsprechend ist Diskordanz der Zusammenhang kleiner Werte mit kleinen Werten

• Die bekanntesten Maße sind Kendalls Tau (τ) und Spearmans Rho (ρ).


• Spearman‘s Rangkorrelationskoeffiezient ρ:

• Kendall‘s Rangkorrelationskoeffizient :

• Sie lassen sich als Funktionen der Copula von X und Y darstellen und hängen somit nicht von ihren Randverteilungen ab.

• Jedes dieser Maße kann, bei gegebenen Randverteilungen, Werte im Intervall [-1,1] annehmen.

• Die Extremwerte -1 und 1 ergeben als Copula der Zufallsvariablen die zweidimensionale FH-Ober- bzw. Untergrenze.


• Der Korrelationskoeffizient von Bravais-Pearson lässt sich nicht als Funktion der Copula C schreiben:

• Er hängt über die Varianzen auch von den Randverteilungen ab:

• Aber auch bei Kendall und Spearman bedingt der Wert 0 nicht die Unabhängigkeit der jeweiligen Zufallsvariablen

• Ein Maß, das dies tut: Schweizer und Wolffs Unabhängigkeitsmaß σ


• Ein Wesentliches Maß, was maßgeblich in der Finanzmathematik benutzt wird:

Asymptotische obere bzw. untere Randabhängigkeiten

(lower and upper tail dependence)

• Sie bemessen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass sich im Grenzfall die beiden Zufallsvariablen gleich entwickeln

(Untersuchung der Abhängigkeiten zwischen großen Werten)

• Wie wird nun die Abhängigkeit im oberen Verteilungsende einer Verteilung quantifiziert?


(Bild aus „Eine Einführung in Copulas“ von Johanna Neshlehova)


Obere Randabhängigkeit:Seien X und Y zwei stetige Zufallsvariablen mit zugehöriger Copula C, so dass

existiert. Dann heißen X und Y

Untere Randabhängigkeit:Seien X und Y zwei stetige Zufallsvariablen mit zugehöriger Copula C, so dass

existiert. Dann heißen X und Y


• X und Y sind demnach asymptotisch abhängig im oberen Rand, wenn „große“ Realisierungen von X tendenziell gleichzeitig mit „großen“ Realisierungen von Y auftreten.

• Dabei würden dann in einer Punktewolke von Realisierungen zweier Zufallsvariablen tendenziell Punkte in der rechten oberen Ecke eines entsprechenden Streuungsdiagrammes finden sein

• In der Abbildung (10.000 simulierte Realisierungen eines Zufallsvektors (X,Y)) kann die Spitzförmigkeit der Punktwolke nach oben rechts als Hinweis gedeutet werden, das X und Y asymptotisch abhängig im oberen Rand sind:


Obere Randabhängigkeit

Das Copula – Konzept Fréchet-Hoeffding Grenzen

• Wie zuvor beschrieben liegt die Copula in den Fréchet-Hoeffding Grenzen:


– Man erkennt deutlich die Rechteck-Randverteilung der beiden Copulas

– Auch der übrige Verlauf am Rand des Einheitswürfels zeigt sich deutlich

– Die Zufallsvariablen X und Y sind

• total negativ abhängigtotal negativ abhängig genau dann, wenn

CX,Y (u1, u2) = max{u1+u2-1,0} = W (u1, u2)

• unabhängigunabhängig genau dann, wenn

CX,Y (u1, u2) = u1∙ u2= ∏ (u1, u2)

• total positiv abhängigtotal positiv abhängig genau dann, wenn

CX,Y (u1, u2) = min{u1, u2} = M (u1, u2)


• Die untere FH-Copula W und obere FH-Copula M, welche perfekte positive Abhängigkeit modeliert, sind im oberen Verteilungsende asymptotisch unabhängig

• Simuliert man die untere und obere FH-Schranke (dim=2, 10.000 Punkte), so erkennt man die perfekte negative bzw. positive lineare Abhängigkeit


• Zur besseren Übersicht über den Verlauf einer 2-Copula wählt man als Darstellung ein Konturendiagramm:

Konturendiagramm der unteren Frechet-Hoeffding-Grenze W² Konturendiagramm der oberen Frechet-Hoeffding-Grenze W²


• Aus den nun beschrieben Grenzen und Stetigkeitsbedingungen folgt konkret für den Graphen einer 2-Copula C:

Der Graph bildet eine stetige Fläche im Einheitswürfel und wird begrenzt durch das schiefe Viereck mit den Ecken (0,0,0) (0,1,0) (1,0,0) und (1,1,1) (Ecken liegen nicht ein einer Ebene). Darüber hinaus verläuft der Graph innerhalb der beiden Graphen der FH-Grenzen

Das Copula – Konzept Fréchet-Hoeffding Grenzen und Unabhängigkeitscopula

• Die Unabhängigkeitscopula (Independence-Copula):

Der Name rührt daher, dass C = Π genau dann gilt ,wenn X und Y stochastisch unabhängig sind. Sie ist definiert als Produkt ihrer Argumente und ist asymptotisch unabhängig.

• Im Fall der Unabhängigkeit lässt sich die Verteilung der Summe von Zufallsvariablen durch die Faltung ihrer (unabhängigen) Verteilungen theoretisch berechnen (praktisch aber Problem).


• Die folgende Abb. zeigt 2.500 gemäß der Unabhängigkeits-Copula simulierte Punkte (dim=2). Diese lassen erwartungsgemäß keine Punkthäufungen, also eventuelle Abhängigkeiten erkennen:


Darstellung der drei Copulas m, Π und M


Differenz der FH-Schranken für dim=2

Da jede Copula zwischen den FH-Schranken liegt, können zwei verschieden Copulas keinen größeren Abstand als (n-1) / n , n≥2 und nєΝ, haben.

(Abschätzung der Wertdifferenz zwischen zwei Copulas an derselben Stelle)

n

n 1

n

n 1

Das Copula – Konzept Archimedische Copulas

• Mit einer geeigneten univariaten Funktion, genannt Generator (-Funktion), werden Copulas erzeugt

• Vorteile:

- Die Klasse geeigneter Generatorfunktionen ist beliebig groß

- Dadurch haben Archimedische Copulas teilweise sehr unterschiedliche Abhängigkeitsstrukturen

- Bei der Untersuchung der Eigenschaften einer Copula kann man sich auf die entsprechenden Untersuchungen der Generatorfunktion beschränken (Starke Vereinfachung der Berechnung!)


Verlauf einer geeigneten Generatorfunktion φ und der Verlauf der dazugehörigen Pseudoinversen (Nelsen,Roger B.: An Introduction to Copulas. Springer-Verlag, 1999)


• Ist für die Generatorfunktion φ der Archimedischen Copula φ(0) = ∞, dann heißt φ ein strikter Generator. Eine strikte Generatorfunktion und ihre Inverse haben dementsprechend folgenden Verlauf:

Verlauf einer geeigneten strikten Generatorfunktion φ und der Verlauf der dazugehörigen Inversen φˉ¹

(Nelsen,Roger B.: An Introduction to Copulas. Springer-Verlag, 1999)


Die Generatorfunktion erzeugt eine bivariate Archimedische Copula durch

Am Beispiel der Erzeugung der Produktcopula wird die Methode deutlich:


• Ist die Generatorfunktion zusätzlich von einem Parameter abhängig, so erzeugt sie eine einparametrische Copula-Familie. Jede dieser Familien repräsentiert eine bestimmte Abhängigkeitsstruktur (z.B. die asymptotische Abhängigkeit im oberen Rand)

• Auf die Erweiterung des Konzeptes auf höhere Dimensionen möchte ich nicht eingehen(siehe Nelsen,Roger B.: An Introduction to Copulas. Springer-Verlag, 1999)

Das Copula – Konzept Archimedische Copulas – Gumbel-Copula

• Die Gumbel-Copula gehört zur Familie der archimedischen Copulas und besitzt für jede Dimension n lediglich den Parameter λ.

• Zudem lassen sich mit ihr nur positive Abhängigkeiten modellieren. Eine spezielle Simulation ist für dim = 2 effektiv möglich, darüber hinaus jedoch nicht.

• Sie eignet sich zur Modellierung von simultanen oberen Extremwerten, da sie im oberen Verteilungsende asymptotisch abhängig ist

• Für λ=1 wird sie zur Unabhängigkeitscopula (asympt. unabhg.), für λ=∞ wird sie zur oberen Frechet-Hoeffding-Copula.


Die Abbildung zeigt die DichteDichte der Gumbel-Copula (λ = 2) an den hohen Werten der Dichte in der Nähe des Punktes (1,1) lässt aich deutlich die asymptotischeAbhängigkeit am oberenVerteilungsende erkennen

Dichte der Gumbel-Copula (λ = 2) sbgeschnitten für Werte über 4


Abb. zeigt 1.500 simulierte Punktpaare, die

gemäß der Gumbel Copula mit λ=2 verteilt sind:

-Charakt. Gruppierung entlang der Diagonalen

-deutliche Punkthäufung in der Nähe des Punktes

(1,1) (Effekt der oberen asympt. Abhängigkeit)

-Trotz asymptotischer Unabhängigkeit der Gumbel-

Copula am unteren Verteilungsende bei (0,0)

ebenfalls leichte Punkthäufung auszumachen.

(erklärt durch die Modellierung perfekter positiver

Abhängigkeit im Grenzfall λ=∞)

-Hohe Werte der Copula-Dichte gehen allgemein

mit Punkthäufungen bei der Simulation an den

entsprechenden Stellen überein.

Das Copula – Konzept Parametrische Copulas – Gauss-Copula

• Diese Copulas hängen von einem d-dimensionalen Parameter ab


• Die Korrlationsmatrix stellt die Parameter-Matrix der Normal-Copula dar, welche die Modellierung von pos. wie neg. Abhängigkeiten erlauben.

• Eignet sich nicht zur Beschreibung von simultanen Extremwerten, da weder am oberen noch unteren Verteilungsende asymptotisch abhängig, ausgn.:

• Sonderfälle ρ= 1 für alle i ≠ j , ergibt sich die obere FH-Schranke. Für dim=2 und ρ= -1 ergibt sich die untere FH-Schranke. Für ρ=0 ergibt sich die Unabhängigkeitscopula.

• Die Parameter der Normal-Copula ρ sind durch ein Rangabhängigkeitsmaß zu bestimmen. (z.B. Spearmansche Rangkorrelationskoeffizient)

• D.h. um Parameter zu bestimmen, erst Randverteilungen der gemeinsamen Verteilung bestimmen.


Im zweidimensionalen Fall hat man mit Parameter ρ die Gestalt

Und eine Dichtefunktion der Gestalt


Darstellung der Dichte der Gaussschen Copula und der Copula selbst für ρ=0.5


Bild zeigt 1.500 simulierte Punktpaare, die gemäß der Normal-Copula verteilt sind, ρ=0,5.


Beispiel: Gegeben ist ein Sample einer bivariaten Normalverteilung mit 500 Samplepunkten

Welche der folgenden beiden Gauß‘schen Copulas gehört zu obiger Normalverteilung?


• Die dargestellte Normalverteilung entspricht der Copula 2:

Copula 1 entspricht einer stark negativen Korrelation, Copula 2 einer eher schwach (positiven) Korrelation. Die Normalverteilung hat eine leicht positive Korrelation (auf jedenfall keine stark negative). Somit kommt Copula 1 nicht in Frage.

Das Copula – Konzept Konstruktion von Copulas - Inversionsmethode

• In praktischen Anwendung werden größtenteils nur endlich viele Copulas zum Einsatz kommen

• Auch diese lassen sich auf geeignete Weise zu einer neuen Copula kombinieren

• Die durch den Satz von Sklar verwendete Methode eine 2-dim. Copula zu konstruieren heißt Inversionsmethode: gemeinsame bivariate Verteilungsfunktion H gegeben – daraus Randverteilungsfunktionen F und G nach

berechnen und entsprechende Inversen bestimmen. Copula C erhält man durch:

• Es gibt noch weitaus mehr Möglichkeiten…

Das Copula – Konzept Konstruktion von Copulas – Konvex-Kombination

Konvex-Kombination von Copulas:

Beispiel: Konvex-Kombination von 3 Copulas

Es sollen m=3 Copulas konvex kombiniert werden. Z.B.

1. Untere FH-Schranke

2. .

3. Gumbel-Copula mit Parameter λ=3

4. Sowie

Das Copula – Konzept Konstruktion von Copulas – Konvex-Kombination

Links Konvexkombination, rechts Überlagerung von Einzelsimulationen

Der rechte Teil der Abb. ist eine Überlagerung von• 3.000 · α¹ = 500 Punkten der Copula C¹ in grün,• 3.000 · α² = 1.000 Punkten der Copula C² in blau und• 3.000 · α³ = 3.000 Punkten der Copula C³ in rot.

Das Copula – Konzept Konstruktion von Copulas – Produkt-Kombination

• Das die Überlagerung der einzelnen Simulationen „dasselbe“ Bild ergibt wie bei der Konvex-Kombination, ist nicht trivial. Erst die Interpretation von C als Verteilungsfunktion eines zweistufigen Zufallsexperiments gründet dies.

• Mithilfe der Produkt-Kombination lassen sich aus bekannten Copulas leicht neue konstruieren, jedoch lassen sich die auf bestimme Copulas beschränkten Simulations-Algorithmen nicht ohne weiteres verwenden

• Eine zerlegte Simulation von Produkt-Copulas erlaubt die Verwendung von Copula spezifischen Algorithmen. Dies stellt für gewöhnlich einen deutlichen Geschwindigkeitsvorteil gegenüber einem universellen Algorithmus dar. Zudem könne die einzelnen Teilsimulationen, also die Simulationen der „Faktor-Copulas“, unabhängig voneinander auf verschiedenen Computern parallel durchgeführt werden

Das Copula – Konzept Simulation

• Da der Copula-Ansatz die Randverteilungen und ihre Abhängigkeiten trennt, ergeben sich somit zwei „Simulations-Aufgaben“

– die der Copula und die der Randverteilung –

• Während die Simulation der Copula im allgemeinen insbesondere aufgrund ihrer Mehrdimensionalität nicht trivial ist, lassen sich die eindimensionalen Randverteilungen praktisch leicht simulieren

• Diese Simulation als auch der Algorithmus dafür benötigen für mehrdim. Verteilungsfunktionen Rechteck-verteilte Zufallszahlen

• Grenzen werden hierbei durch die rechenintensive Auswertung der bedingten Randverteilungen verursacht

Das Copula – Konzept Ein Beispiel aus der Physik

• Rekonstruktionsproblem der statistischen Thermodynamik:

Bestimmung von höherdimensionaler Darstellung atomarer Verteilungsfunktionen ausgehend von niederdimensionalen Daten.

Die zu den höheratomaren Verteilungsfunktionen gehörenden radialen Paarverteilungsfunktionen sind sehr gut zugänglich. Durch das mathematische Konzept der Copulas gibt es Möglichkeiten, die höheratomare Verteilungsfunktion aus ihren radialen Paarverteilungsfunktionen zu rekonstruieren

Das Copula – Konzept Zusammenfassung

Schlussbetrachtung:

• Durch die Copulas erhält man ein vielfältiges und äußerst flexibles Werkzeug zur Modellierung von Abhängigkeiten

• Sie beseitigen die bekannten Nachteile lineare Risikomaße, indem sie multivariate Verteilungen in univariate Randverteilungen und die Abhängigkeitsstruktur zerlegen.

• Desweiteren können viele Probleme verschiedenster Disziplinen komfortabler betrachtet bzw. gelöst werden, wie z.B. Rekonstruktionsprobleme in der statistischen Thermodynamik.

Noch Fragen???

Danke für ihre Aufmerksamkeit!

Copulas Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen.

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