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Enrique R. AznarDpto. de Álgebra

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COORDENADAS

¿Cómo ubicar rectas y planos?

1. Introducción 52. Goniometría plana 6

Ejemplo 1 6Definición 1 6Definición 2 6

3. Direcciones horizontales 73.1. Convenio Matemático 73.2. Referencia Magnética 73.3. Referencia Geográfica 83.4. Otras referencias 93.5. Azimut 9

Definición 3 10Ejemplo 2 11Ejemplo 3 11Ejemplo 4 11

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3.6. Rumbo 123.7. Demora 123.8. Convenio de rumbos 133.9. Azimut inverso. Contrarumbo 14

Definición 4 143.10. Dirección geológica o Strike 15

Definición 5 153.11. Conversiones 164. Ángulos verticales 17

Definición 6 175. Coordenadas rectangulares 18

Ejemplo 5 18Ejemplo 6 20Ejemplo 7 21Ejemplo 8 21

5.1. Cálculo del buzamiento/dirección 225.1.1. Método alternativo 23

Ejemplo 9 23Ejemplo 10 24

5.2. Determinación de un vector a partir de β/α 24Definición 7 25Teorema 1 26Ejemplo 11 26

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5.3. Rectas en 3D 26Definición 8 27Lema 1 27Ejemplo 12 27

5.4. Determinación β/α de una recta 28Definición 9 28Ejemplo 13 29Ejemplo 14 29Ejemplo 15 30

5.5. Planos en 3D 30Definición 10 30Ejemplo 16 31Definición 11 32Ejemplo 17 33

5.6. Buzamiento/Dirección de un plano 33Definición 12 33Ejemplo 18 33Lema 2 34Definición 13 34Teorema 2 35Definición 14 35Definición 15 35Ejemplo 19 35

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Ejemplo 20 366. Ejercicios. 38

Ejercicio 1 38Ejercicio 2 38Ejercicio 3 38Ejercicio 4 39Ejercicio 5 39Ejercicio 6 39Ejercicio 7 39Ejercicio 8 39Ejercicio 9 39Ejercicio 10 39Ejercicio 11 40Ejercicio 12 40

7. Test de repaso. 40

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1. INTRODUCCIÓN

El espacio que nos rodea se puede modelar como un espacio de 3 dimen-siones. Se reconoce así desde el s. XVII, aunque sus orígenes se pierden enla antigüedad y su formalización, como el conjunto R3, es del s.XIX.

Así para describir el tamaño de un objeto en nuestro mundo necesitamos 3números reales positivos (ancho, alto, profundo). Para posicionarlo, necesi-tamos otros1 3, previamente elegido un origen y 3 direcciones de referencia.

Un punto sobre la superficie de la tierra, la vertical hacia el espacio (Cenit),la dirección al polo Norte (Geográfico, Magnético o Cartográfico) y la di-rección hacia la derecha (Este) mirando al norte, es un sist. de ref. local2.

El centro de la tierra y las direcciones hacia el polo norte3, hacia el puntovernal4 y la perpendicular a ambas es un sist. de ref. geocéntrico.

El centro del sol, la dirección de su polo norte (PNS), la dirección del puntovernal y la perpendicular a ambas es un sist. de ref. heliocéntrico5.

1Pueden ser números positivos o negativos.2Sus coordenadas se llaman horizontales cuando no importa la distancia al origen.3Decimos polo norte terrestre, PNT, o celeste, PNC.4Se llaman ecuatoriales y horarias cuando no importa la distancia al origen. Si en vez

del punto vernal, se elige la dirección a Greenwich, se llaman coordenadas geográficas.5Sus coordenadas se llaman eclípticas cuando no importa la distancia al origen.

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2. GONIOMETRÍA PLANA

Un ángulo plano tiene 3 características. Su origen. Su medida positiva. Y susentido a derechas o izquierdas, desde la dirección de referencia, su signo.

Elegido el origen O y la línea de referencia, p.ej, ON u OX, para medir unángulo sólo necesitamos su vector OB de dirección desde el origen.

N

X

B

O

60◦

30◦

Un vector OB da lugar a distintos ángulos y medidas al cambiar la referenciay el sentido. Todas son equivalentes y miden la misma dirección de OB.

Ejemplo 1. En el dibujo, vemos que el vector OB da lugar, al menos, a dosmedidas distintas, α= 60◦, θ = 30◦, cuya relación es α+θ = 90◦.Definición 1. Dos medidas de una dirección se consideran equivalentes sise diferencian en el convenio de medida. En el dibujo, α= 60◦ ' θ = 30◦.Definición 2. Dos medidas se consideran iguales si se diferencian en múlti-plos de 360◦ (tienen las mismas razones). Por ej., α= 60◦ = 420◦ =−300◦.

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3. DIRECCIONES HORIZONTALES

Para medir direcciones, lo que se hace es elegir un convenio y por tanto unángulo medible. Se miden ángulos horizontales y verticales. Los horizon-tales se miden en un plano perpendicular a la vertical, horizonte del lugar,y son una de las medidas más comunes en topografía, geología, etc.

Hay 3 tipos de convenios para medir ángulos horizontales, según su líneade referencia y su sentido de rotación. El primero es el único que mide aizquierdas como sentido positivo. Los otros 2 convenios comparten el sen-tido a derechas como sentido positivo y reflejan la práctica tradicional6.

3.1. Convenio Matemático. 7 Los ángulos se miden desde el lado positivo deleje de abscisas X (Este) y en sentido levógiro, antihorario o progrado. Estoquiere decir que los ángulos son positivos cuando se miden a izquierdas.

Así, la dirección OB del dibujo habría que medirla como el ángulo, θ = 30◦.Una medida del mismo ángulo es, θ = 30−360 =−330◦.

3.2. Referencia Magnética. Nuestro planeta está rodeado por un campo mag-nético. Se cree que se origina en las corrientes de la región ígnea de la Tierra,a consecuencia del movimiento de partículas cargadas eléctricamente.

6Aunque, en navegación aérea y naval a veces se miden rumbos con distintos sentidos.7Este convenio se usa para el cálculo en todas calculadoras y ordenadores.

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El campo magnético de la Tierra hace que el planeta se comporte como ungran imán cuyo polo sur se encuentra al Norte del planeta. Así, el polonorte de una aguja imantada (brújula) señala hacia ese punto de la Tierra,brindando una línea más o menos estable.

Los Polos Magnéticos se definen como el punto en la superficie de la Tierradonde las líneas del campo magnético son perpendiculares a la superficie.

La línea está determinada por el punto de observación (estación) y el PoloNorte Magnético8 (NM). El sentido es a derechas, dextrógiro, horario oretrógrado. La dirección OB, del dibujo, habría que medirla como el ángulode α= 60◦. Una medida del mismo ángulo es, α= 60−360 =−300◦.

El campo magnético de la Tierra está sujeto a variaciones seculares, a lolargo de las eras geológicas, anuales, e incluso diarias. También, se produceninversiones magnéticas que consisten en cambio diametral de la posición delos polos magnéticos. En la actualidad no se usa en medidas de precisión.

3.3. Referencia Geográfica. Los Polos Geográficos de la Tierra se definen comolos puntos en su superficie que se cortan con el eje de rotación del planeta.El Norte Geográfico, verdadero o franco (NG) es más usado. No presentavariaciones como los polos magnéticos, el inconveniente es que debe estable-cerse con levantamientos de precisión, o ser medido con GPS. El sentido es

8La mayoría de brújulas señalan el Polo Norte Magnético, que actualmente se ubica sobreterritorio canadiense, cerca de 1 800 km al Sur del Polo Norte Geográfico.

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a derechas, dextrógiro, horario o retrógrado. Igual que antes, la direcciónOB del dibujo habría que medirla como el ángulo, α= 60◦.

A veces, se miden direcciones sobre un mapa. La línea de referencia la marcael Norte cartográfico (NC) y el sentido es a derechas9.

3.4. Otras referencias. A veces, se opta por escoger un punto o una línea máso menos estable cerca o en el interior de la zona de trabajo como referen-cia arbitraria. Puede ser la arista de una edificación, un detalle geológico.Cualquiera que pueda ser fácilmente reconocible y utilizable.

Cuando se usa una referencia arbitraria debe anotarse en los registros decampo, junto con su descripción y su sentido dextrógiro o levógiro.

3.5. Azimut. Como hay 3 nortes, el magnético que se mide con brújula, el geo-gráfico con medidas astronómicas o GPS y el cartográfico, sobre un mapa. Seusa uno de los 3, adoptando el sentido dextrógiro como positivo y midiendolos ángulos en grados sexagesimales de 0◦ a 360◦.

El ángulo que se obtiene se llama azimut o acimut10. Aunque cambie elnorte, siempre se mide sobre un plano horizontal.

9La numeración de los cuadrantes es diferente según el convenio. Así, es mejor, notarlosgeográficamente como NE, NW, SW y SE.

10Palabra que proviene del árabe clásico, assumut (dirección o cenit), plural de samt.

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Así, se proyecta sobre él una dirección tridimensional y se obtiene un vectordesde el punto de observación o del mapa (origen), que tiene el Norte (N)arriba, el Este (E) a la derecha, el Sur (S) abajo y el Oeste (W) a la izquierda.

El sentido positivo es el horario. O sea, N-E-S-W. Además, la dirección Este,desde el origen, siempre es el eje X matemático. Así, podemos transformarángulos matemáticos θ en azimutes α, y recíprocamente. La fórmula vista

en la sección anterior es α+θ = 90◦ , válida para cualesquiera valores.

Definición 3. Si se mide desde el NG, se llama Acimut verdadero (Azv) oreal. Desde el NM se llama Acimut magnético (Azm o Azc11). Si se calculasobre un mapa, a partir del NC, se llama Acimut cartográfico.

Con cualquier norte, las direcciones principales son:

Dirección Norte Nornoreste Noreste EstenoresteAzimut 0◦ 22.5◦ 45◦ 77.5◦

Dirección Este Estesureste Sureste SursuresteAzimut 90◦ 112.5◦ 135◦ 157.5◦

Dirección Sur Sursuroeste Suroeste OestesuresteAzimut 180◦ 202.5◦ 225◦ 247.5◦

Dirección Oeste Oestenoroeste Noroeste NornoroesteAzimut 270◦ 292.5◦ 315◦ 337.5◦

11En inglés, compass = brújula.

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Ejemplo 2. Si en un mapa, se conoce que la cuadrícula es de 1 km, y tenemos

dos puntos O y B, marcados

NB

O

α

como en el dibujo. Suazimut cartográfico vale, Azc = arctan(5/3) ' 59.04◦.

Ejemplo 3. Si en el pie del mapa, se da la convergencia de cuadrícula,ω = −0◦26′53" = −1613", podemos calcular su azimut verdadero que vale,Azv = Azc +w = 59.04∗60∗60−1613 = 210931" ' 58.59◦.

Análogamente, si se conoce por las indicaciones del mapa que la declinaciónmagnética es, δ = 1◦31.2′ W = 91.2′ W. Entonces, podemos calcular su az-imut magnético, Azm = Azc +δ= 59.04∗60+91.2 = 3655.2′ ' 60.92◦.

Ejemplo 4. Si se calculan los 3 ángulos matemáticos, se obtieneθc = 90−59.04 = 30.96◦, θv = 90−58.59 = 31.41◦, θm = 90−60.92 = 29.08◦

Los azimutes se suelen denotar indicando los puntos N y E.Así, los 3 calculados son Azc=N59.04◦E, Azv=N58.59◦E, Azm=N60.92◦E

En astronomía, se usa el Azv. O sea, el ángulo o longitud de arco medidosobre el horizonte que forman el Norte Geográfico (NG) y la proyecciónvertical del astro sobre el horizonte del observador situado en alguna latitud.

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Se mide en grados desde el NG en el sentido de las agujas del reloj, o seaNorte-Este-Sur-Oeste. Por proyección vertical, entendemos el corte con elhorizonte que tiene el círculo máximo que pasa por el cenit y el astro.

Es una de las dos coordenadas horizontales, siendo la otra la altura en gra-dos sobre el horizonte. La altura y el acimut son coordenadas que dependende la posición del observador12. Dichas coordenadas son locales.

3.6. Rumbo. En las cartas de navegación aéreas, se usa el Azm y se le llamarumbo. Aunque, hay una pequeña diferencia de notación en su uso.

Para la conversión rumbo/acimut, es necesario conocer la declinación mag-nética, Dm o δ. El Acimut es el rumbo más la declinación magnética Az =Rm + δ. Tomando la declinación magnética al Este positiva y al W negativa.

3.7. Demora. La toma de ángulos horizontales en el vocabulario marinero se de-nomina marcación. En los buques, se mide también el Azm o Azc, llamadoDemora de aguja (Da)13. Y se calcula el Azv o Demora verdadera (Dv).

La Dv es la Da corregida con la corrección total (Ct), Dv=Da+Ct. Como lascartas náuticas usan la proyección Mercator, su NC = NG. Su convergenciade cuadrícula es cero y sólo hay que tener en cuenta la declinación magnéticapara poder trazarla en la carta náutica.

12Un astro es visto bajo diferentes coordenadas, en puntos diferentes de la Tierra.13Ángulo medido desde el NM, en sentido horario, hasta un objeto, faro, astro, etc.

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Así, la corrección total, Ct, es la suma de la declinación magnética Dm oδ, diferencia entre los nortes geográfico y magnético, y el desvío de aguja,desvío producido por las masas metálicas y aparatos del barco.

3.8. Convenio de rumbos. En el uso práctico, el rumbo de una línea es el ángulohorizontal agudo (<90°) que forma con un meridiano de referencia14.

Así, tenemos una línea Línea Norte-Sur centrada en el punto O (estación), yuna cruz que señala los cuatro puntos cardinales.

N

S

EW

A

B

C

D

30◦45◦

60◦ 30◦

Los 4 rumbos del dibujo, se escriben N30◦E, S30◦E, N45◦W y S60◦W. Comose observa, los rumbos se miden desde el Norte (línea ON) o desde el Sur(línea OS), en el sentido horario si el rumbo se encuentra sobre el cuadranteNE o SW. O antihorario. si corresponde al cuadrante NW o SE.

14Línea Norte-Sur que puede estar definida por uno de los 3 nortes. Suele ser el NM.

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La conversión rumbo/azimut se hace mirando el dibujo. En el primer cua-drante la notación es la misma. Pero cambia en los otros tres. Así, para lasdirecciones anteriores se tiene la equivalencia Az-Rm :

N150◦E ' S30◦E, N240◦E ' S60◦W y N315◦E ' N45◦W.

N

S

EW

A

B

C

D

30◦

150◦240◦

315◦

N

S

EW

A

B

C

D

30◦45◦

60◦ 30◦

3.9. Azimut inverso. Contrarumbo. La notación abreviada de rumbo, sirvetambién para calcular fácilmente contradirecciones

Definición 4. Dada una dirección OA, llamamos dirección opuesta o con-tradirección a la del vector AO. Donde ahora, A es el origen.

Análogamente, cuando se trata del rumbo del mismo segmento, pero obser-vado desde el extremo opuesto se habla de rumbo inverso o contra-rumbo.Cuando se trata con azimutes se dice azimut inverso (se suma o resta 180◦).

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Convertir rumbos a sus contra-rumbos es muy sencillo, lo único que hay quehacer es cambiar la letras que indica el cuadrante por su contraria, es decir Npor S (o viceversa) y E por W (o viceversa)15. Así, se tiene

Dirección OA OB OD OCRumbo N30◦E S30◦E S60◦W N45◦WCotradirección AO BO DO COContrarumbo S30◦W N30◦W N60◦E E45◦E

3.10. Dirección geológica o Strike. Un convenio usado en Geología, para denotardirecciones planas es una mezcla entre azimut y rumbo.

Definición 5. Dada una dirección OA, llamamos strike o dirección al án-gulo entre 0° y 180° que forma con un meridiano de referencia16.

Se mide a derechas en los cuadrantes NE y SE y a izquierdas en NW y SW.Así, no puede haber una dirección geológica mayor de 180◦. De nuevo, seespecifica el sentido con las letras de los puntos cardinales. P. ej., N120◦W.

Así, para las 4 direcciones anteriores se tiene la equivalencia Az-Strike:

15Ya que los ángulos son iguales, por ser opuestos por el vértice.16Línea Norte-Sur que puede estar definida por uno de los 3 nortes. Suele ser el NM.

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N

S

EW

A

B

C

D

30◦

150◦240◦

315◦

N

S

EW

A

B

C

D

30◦

150◦

45◦

120◦

N30◦E, N150◦E, N240◦E ' N120◦W y N315◦E ' N45◦W.

3.11. Conversiones. A veces, por el método de cálculo, obtenemos una direcciónen formato no convencional. Por ej., γ = S120◦W. Es necesario, entonces,saber transformar la dirección a los formatos tradicionales

N

S

EW

A θ = 150◦

γ= 120◦

N

S

EW

A60◦

Az = 300◦

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4. ÁNGULOS VERTICALES

Para medir ángulos verticales el convenio natural es medir el ángulo de ladirección dada con un plano horizontal. No puede haber ángulos mayores de90°, pero según la disciplina cambia en signo del ángulo. Así, en Geología,dada una dirección OA, donde O es el punto de observación y A el observado.

Definición 6. Se llama ángulo de buzamiento (β), al que forma con la hori-zontal si la dirección es descendente. O ese valor negativo, si es ascendente.

En Astronomía, donde A suele ser un astro por encima del horizonte. Sellama altura (h), al valor positivo del ángulo que forma con la horizontal siA está por encima del horizonte y negativo al contrario. O sea,

Cenit

NadirA

Bβ=−30◦

β= 30◦

Cenit

Nadir

A

B

h = 45◦

h =−45◦

Para el cálculo de ángulos entre dos vectores, u = OA, v = O’A’, usaremos el

producto escalar con al fórmula u • v = ‖u‖‖v‖cos(uv))

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5. COORDENADAS RECTANGULARES

Para hallar los azimutes de cualquier dirección en un mapa, necesitamoshallar las tres coordenadas de los puntos que definen la dirección OA. Así,se halla el vector restando las coordenadas de ambos puntos. Se tiene unvector con origen O, y un sistema de referencia local centrado en O.

Por definición, la dirección del norte (NC) es la del vector OY = (0,1,0). ElEste, la del vector OX= (1,0,0). Mientras que la del cenit es OZ= (0,0,1).

x = E ste

y = Nor te

z =Ceni t

OA

El vector OA es de 3 dimensiones. Pero como la diferencia de alturas de dospuntos cercanos en un mapa es pequeña, Las dos coordenadas x, y, que secalculan usando la cuadrícula del mapa, son mucho mayores que la terceracoordenada, que es la diferencia de cotas y sale un vector casi horizontal.

Ejemplo 5. Para hallar la dirección OA entre Cerro Longo y el pico deSan Pedro, y el sist. de ref. local. Usamos un trozo del mapa, 1:50 000Torrelaguna del IGN. La retícula UTM, para esta escala, es de 1 km.

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Tomamos las coordenadas del punto origen (Cerro Longo), O = (0,0,0).Medimos horizontalmente sobre el mapa la diferencia de coordenadas entrelos puntos y obtenemos 0.7 km, que es la 1ª coordenada del punto A. Tam-bién, medimos verticalmente la diferencia, 2.7 km, que es la 2ª coordenadade A. Finalmente, restando las cotas de ambos, obtenemos la 3ª coordenada

1425−1044 = 381 m= 0.381 km

Luego, las coordenadas rectangulares de A en km, son (.7,2.7, .381). Quecoinciden con las del vector de direcciónv= OA = A - O = (.7,2.7, .381)− (0,0,0) = (.7,2.7, .381)

Ejemplo 6. Para hallar el Azc de la dirección entre Cerro Longo y el picode San Pedro. Usamos la dirección norte cartográfico del mapa de Torre-laguna, que por el sist. de ref. local, es la del vector n = OY = (0,1,0).También, la proyección horizontal de nuestra dirección OA, que es el vectorcon las 2 primeras coordenadas iguales y cero la tercera. w = (.7,2.7,0)

Podemos resolver un triángulo rectángulo para hallar el Azimut cartográfico

Azc = Ar cTan

(.7

2.7

)= 14.5345◦

También podemos usar la fórmula del producto escalar:2.7 = n•w = ‖n‖‖w‖cos(Azc) =

p.72 +2.72 +02 cos(Azc) = 2.78927cos(Azc)

Azc = Ar cCos

(2.7

2.78927

)= 14.5345◦

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Ejemplo 7. Para hallar el Azv de la dirección entre Cerro Longo y el picode San Pedro. Usamos la convergencia de cuadrícula del pie del mapa deTorrelavega, ω=−0◦26′53" =−1613". O sea, el NG está al Este. Así,Azv = Azc +ω= 14.5345∗60∗60−1613 = 50711.2" ' 14.1◦.

Análogamente, si se conoce por las indicaciones del mapa que la declinaciónmagnética es, δ= 1◦31.2′ W = 91.2′ W. Entonces, podemos calcular su azi-mut magnético, Azm = Azc +δ= 14.5345∗60+91.2 = 963.27′ ' 16.06◦.

Ejemplo 8. Si se calculan los 3 ángulos matemáticos, se obtieneθc = 90−14.54 = 75.46◦, θv = 90−14.1 = 75.9◦, θm = 90−16.06 = 73.94◦y el ángulo matemático más grande corresponde al NG o verdadero.

Buzamiento es el ángulo βO A formado entre el vector tridimensional v =(.7,2.7, .381) y su proyección horizontal w = (.7,2.7,0). Lo podemos calcularde 2 formas. O bien, resolviendo un triángulo rectángulo

Azc = Ar cTan

(.381p

.72 +2.72

)= 7.778◦

O bien, por la fórmula del producto escalar, despejando el coseno7.78 = v •w =

p.72 +2.72 + .3812

p.72 +2.72 cos(β) = 7.85cos(β)

Ar cCos

(7.78

7.85

)' 7.778◦ =⇒βO A =−7.778◦17

17Lo tomamos negativo porque A está por encima del O. Buza hacia arriba.

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5.1. Cálculo del buzamiento/dirección. Resumiendo lo que hemos hecho en losejemplos anteriores, suponemos que tenemos las coordenadas rectangularesde dos puntos, O = (o1,o2,o3) y A = (a1, a2, a3). Entonces,

Para el cálculo del Azimut y/o Strike, se siguen los siguientes pasos :

1) Calculamos las coordenadas del vector de dirección v = OA = A - O =(v1, v2, v3) y las de su proyección horizontal, w = (v1, v2,0).

2) Tomamos la dirección norte, n =OY= (0,1,0) y calculamos n •w .

3) Azimut: Usamos ese producto escalar, para despejar el ángulo horizontal

α= AzO A = Ar cCos

(n •w

‖n‖ ·‖w‖)

4) Si 0 ≤ v1, entonces Azimut = Strike = NαE es la dirección geológica.En caso contrario, v1 < 0, el Strike = NαW y el Azimut = N(360−α)◦E18.

5) Con el vector v y su proyección w , calculamos su producto escalar v •w .

6) Buzamiento: Usamos ese producto escalar, para despejar el ángulo verti-cal

β= Ar cCos

(v •w

‖v‖ ·‖w‖)

7) Convenio geológico Si la tercera coordenada de v = OA es negativa, v3 <0. Entonces, βO A =β es el buzamiento. En caso contrario, es βO A =−β.

18Se puede tomar tanto el Azimut como el Strike, como la dirección de v = OA.

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5.1.1. Método alternativo. También se puede calcular el azimut resolviendo untriángulo rectángulo, de forma que se obtiene una fórmula que sustituye alos pasos 2), 3) y 4) cuando el vector cae en el primer cuadrante.

α= Ar cTan

(v1

v2

)Para el cálculo del buzamiento, en lugar del producto escalar, también sepuede resolver otro triángulo rectángulo, de forma que se obtiene la fórmula

β=−Ar cTan

v3√v2

1 + v22

que sustituye los pasos 5), 6) y 7).

Ejemplo 9. Para el vector v = (1,2,−3), su proyección w = (1,2,0) cae en elprimer cuadrante, calculando los productos escalares, se obtienen

Azimut=α= Ar cCos

(n •w

‖n‖ ·‖w‖)= Ar cCos

(2p

12 +22

)= 26.5651◦

Buzamiento=β= Ar cCos

(v •w

‖v‖ ·‖w‖)= Ar cCos

(5p

5p

14

)= 53.3008◦

Con el método alternativo, se obtiene lo mismo

α= Ar cTan

(1

2

)= 26.5651◦, β=−Ar cTan

( −3p12 +22

)= 53.3008◦

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5.2. Determinación de un vector a partir de β/α. Como hemos visto en elapartado anterior, un vector v determina un buzamiento/strike, β/α. Elrecíproco es cierto, la semirecta del vector v se determina por β/α.

Como el coseno de dos vectores es independiente de múltiplos escalares19, yel cálculo tanto de α como de β depende de un signo de una coordenada. Sededuce que cualquier múltiplo positivo λ · v (con 0 < λ ∈ R) tiene el mismobuzamiento buzamiento/strike (β/α)20 que v.

Definición 7. Al conjunto {λ · v : λ ∈R+} se le llama la semirecta de v.Al conjunto opuesto, {λ · v : λ ∈R−}, se le llama la semirecta opuesta de v.

Dado un vector v = (v1, v2, v3), si lo multiplicamos por λ = 1√v2

1+v22

que es

un escalar positivo, obtenemos otro vector λv = (λv1,λv2,λv3) que satisface

(λv1)2+(λv2)2 =λ2(v21+v2

2) = v21+v2

2

v21+v2

2= 1 y tiene el mismo buzamiento/strike.

Supongamos ahora, dos vectores v = (v1, v2, v3), u = (u1,u2,u3) con el mismobuzamiento/strike, β/α, y que u2

1 +u22 = 1 = v2

1 + v22 . Así, sus proyecciones

horizontales, w = (v1, v2,0), w ′ = (u1,u2,0) tienen norma 1 y por tanto

Ar cCos(v2) = Ar cCos

(n •w

‖n‖ ·‖w‖)=α= Ar cCos

(n •w ′

‖n‖ ·‖w ′‖)= Ar cCos(u2)

19En el cociente, aparece arriba un vector y abajo su norma. Además, cos(θ) = cos(−θ).20En cambio, el vector opuesto -v, o cualquier múltiplo negativo suyo, cambia el signo

del buzamiento (−β) y cambia el azimut α por α+180◦.

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O sea, se tiene la igualdad v2 = cos(α) = u2, de donde v1 = ±sin(α) = u1.Como además, v1 y u1 tienen el mismo signo (por tener el mismo α).Se deducen las igualdades u1 = sin(α) = v1,u2 = cos(α) = v2 y se tiene que

v = (sin(α),cos(α), v3), u = (sin(α),cos(α),u3)

w = (sin(α),cos(α),0) = w ′ =⇒ v •w = 1 = u •w ′

Como además, ambos vectores tienen el mismo buzamiento β

Ar cCos

(1

‖v‖)= Ar cCos

(v •w

‖v‖ ·‖w‖)=β= Ar cCos

(u •w ′

‖u‖ ·‖w ′‖)= Ar cCos

(1

‖u‖)

se tiene que 1‖v‖ = cos(β) = 1

‖u‖ =⇒ ‖v‖ = 1cos(β) = ‖u‖. Ahora, como

1

cos(β)= ‖v‖ =

√sin(α)2 +cos(α)2 + v2

3 =√

1+ v23 =⇒

v23 = 1

cos2(β)−1 = 1−cos2(β)

cos(β)= sin2(β)

cos2(β)= tan2(β) =⇒ v3 =± tan(β)

Análogamente, se tiene que u3 =± tan(β). Finalmente, como v3 y u3 tienenel mismo signo (por tener el mismo β) y el convenio del signo del buzamientoes el contrario del matemático, hemos demostrado el

Teorema 1. [ del vector β/α] El vector v = u = (sin(α),cos(α),− tan(β))

es único en la semirecta β/α, con la condición u21 +u2

2 = 1 = v21 + v2

2 .

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Ejemplo 10. Para la dirección entre Cerro Longo y el pico de San Pedro,v =O A = (.7,2.7, .381) habíamos calculado su Azimut cartográfico,α=N14.54◦E (coincide con su strike), y su buzamiento β=−7.778◦.

Así, (sin(α),cos(α),− tan(β)) = (sin(14.54◦),cos(14.54◦),− tan(−7.778◦)) == (0.250963,0.967997,0.136595) coincide con el vector normalizado en lasemirecta definida por v , ya que si tomamos λ =

p.72 +2.72 = 2.78927 y

multiplicamos 1λ

v = (0.250962,0.967997,0.136595)

5.3. Rectas en 3D. Si se conocen las coordenadas de dos puntos O y A, se puededar la ecuación de la recta que se apoya en ambos. Así, se dice que

Definición 8. v = O A = A −O es un vector director de la recta. La rectadefinida por ambos, es el conjunto de puntos rO A = {X =O +λ · v : λ ∈R}

Si O A = A −O = (a1 −o1, a2 −o2, a3 −o3), un punto arbitrario de la recta esX = (x1, x2, x3) = (o1,o2,o3)+λ · (a1 −o1, a2 −o2, a3 −o3)

De donde se obtienen las llamadas ecuaciones paramétricas de la recta

x1 = o1 +λ(a1 −o1)x2 = o2 +λ(a2 −o2)x3 = o3 +λ(a3 −o3)

Despejando λ e igualando, se obtienen las ec. continuas

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x1−o1a1−o1

= x2−o2a2−o2

= x3−o3a3−o3

Y escribiendo por separado dos de estas igualdades se obtiene la misma rectacomo intersección de dos planos. O sea, sus ecuaciones cartesianas.

Si se restan dos puntos cualesquiera de la recta, obtenemos un múltiplo de vX −X ′ =O +λ · v − (O +λ′ · v) = (λ−λ′) · v Así,

Lema 1. Cualquier múltiplo de v es un vector director de la recta. Los múlti-plos positivos definen una dirección y los negativos la dirección opuesta.

Ejemplo 11. Para los puntos del mapa anteriores, Cerro Longo O = (0,0,0),pico de San Pedro A = (.7,2.7, .381), un vector director es OA = (.7,2.7, .381).La recta pasa por el origen de coordenadas local y sus ecuaciones son

x = 0.7λy = 2.7λz = 0.381λ

, x0.7 = y

2.7 = z0.3813 ,

2.7x −0.7y = 00.3813x −0.7z = 0

}

respectivamente, paramétricas, continuas y cartesianas21. Además, comovector director de esta recta sirve cualquier múltiplo de v = (.7,2.7, .381).

Sin embargo, v = (.7,2.7, .381)22 tiene β=−7.778◦/α=N14.54◦E.Mientras que −v = (−.7,−2.7,−.381) tiene −β= 7.778◦/α=N194.54◦E.

21Donde hemos escrito sus coordenadas x, y, z como es costumbre.22O cualquier múltiplo positivo suyo.

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5.4. Determinación β/α de una recta. Como una recta tiene dos direccionesopuestas, en 3D y salvo que sea horizontal, una de ellas será descendente.

Conociendo un punto de apoyo, cualquiera de las dos determina un vectorβ/α y con el punto se escriben sus ecuaciones. Pero su dirección descendentetendrá un buzamiento, 0 <β, y un azimut NαE. Así, llamamos

Definición 9. Dirección de la recta, al β/α de su dirección descendente.

De esta forma, salen únicos y positivos los ángulos. No es necesario escribirningún símbolo de puntos geográficos ni tampoco el símbolo de grados23.

Ejemplo 12. Para la recta del mapa que pasa por Cerro Longo y el picode San Pedro, su dirección la hemos calculado en el ejemplo anterior y es7.778/194.54. O redondeando los decimales de grado, 08/195.

Si una recta en 3D, es horizontal su buzamiento es β= 0◦.Entonces, de sus 2 direcciones se elige la que tiene azimut más chico. Por ej.

Ejemplo 13. La recta definida por la intersecciónx − y = 0

z = 0

}tiene por

ec. paramétricasx = λ

y = λ

z = 0

, un vector de dirección es u = (1,1,0) y su

23Por convenio, a veces también, se redondea a los enteros más cercanos.

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opuesto es v = (−1,−1,0). Ambos, son horizontales y tienen normap

2.

Como la dirección del norte es n = (0,1,0) y los productos escalares sonu •n = 1, v •n =−1. Los ángulos que forman con el norte, son24

αu = Ar cCos

(1p2

)= 45◦, αv = Ar cCos

(− 1p

2

)= 225◦

Por el convenio anterior, la dirección de la recta horizontal es 00/045.

Ejemplo 14. Para determinar la recta que tiene de dirección 30/225, primerose escribe su vector β/α, v = (sin(225◦),cos(225◦),− tan(30◦)) =

= (−p

2

2,−

p2

2,−

p3

3) ' (−0,71,−0.71,−0,58)

Como no nos dicen ningún punto de apoyo, suponemos el origen O = (0,0,0).Así respectivamente, sus ec. parámetricas, continuas y cartesianas son

x = −0.71λy = −0.71λz = −0.58λ

, x0.71 = y

0.71 = z0.58 ,

x − y = 00.58x +0.71z = 0

}

Las ec. paramétricas no son únicas, ya que como vector podemos tomarcualquier múltiplo escalar de v. Las llamadas implícitas o cartesianas tam-poco, porque dependen de como hagamos la eliminación de λ.

24Ya que u está en el 1º cuadrante y v en el 3º.

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5.5. Planos en 3D. Si se conocen las coordenadas de 3 puntos O, A y B en elespacio, se puede dar la ecuación del plano que se apoya en ellos. Para eso,lo que hacemos es hallar dos vectores del plano, restando coordenadas

u =O A = A−O = (a1 −o1, a2 −o2, a3 −o3) = (u1,u2,u3)

v =OB = B −O = (b1 −o1,b2 −o2,b3 −o3) = (v1, v2, v3)

Así, se dice que

Definición 10. u, v son vectores del plano. El plano definido por ellos, esel conjunto de puntos π= {X =O +λ ·u +µ · v : λ,µ ∈R}

Un punto del plano es X = (x1, x2, x3) = (o1,o2,o3)+λ·(u1,u2,u3)+µ·(v1, v2, v3)

De donde se obtienen las llamadas ecuaciones paramétricas del plano

x1 = o1 +λu1 +µv1

x2 = o2 +λu2 +µv2

x3 = o3 +λu3 +µv3

Eliminando λ y µ, se obtiene la ecuación cartesiana o implícita del plano

a1x1 +a2x2 +a3x3 +a4 = 0

El vector (a1, a2, a3) se llama un vector director del plano y se obtienecalculando el llamado producto vectorial de u, v . O bien, eliminando λ, µ.

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Ejemplo 15. Dados los puntos, O = (0,0,0), A = (1,1,1), B = (1,0,1), losvectores son, u =O A = (1,1,1), v =OB = (1,0,1). Las ec. paramétricas son

x = 0+λ+µ=λ+µy = 0+λ=λz = 0+λ+µ=λ+µ

de dondex = y +µz = y +µ

}se elimina µ restando y

se obtiene la ec. cartesiana del plano x − z = 0.Sus coeficientes nos dan un vector director del plano, que es (1,0,−1).Observamos que es perpendicular al u y al v , ya que sus productos escalares

(1,1,1)• (1,0,−1) = 1−1 = 0, (1,0,1)• (1,0,−1) = 1−1 = 0

En realidad, un vector director del plano es perpendicular a todos los delplano. Los vectores u, v son del plano pero no son únicos, ya que

Definición 11. Un vector w se dice que pertenece o es un vector del plano,si existen dos puntos X, X’ del plano tal que w = X ′−X 25.

Ahora, si tenemos 2 puntos del plano X = (x, y, z) y X’ = (x ′, y ′, z ′), verifi-

carán su ecuación. O sea,ax +by + cz +d = 0

ax ′+by ′+ cz ′+d = 0

}, y restando miembro a

miembro a(x − x ′)+b(y − y ′)+ c(z − z ′) = 0, sale cero el producto escalar,(a,b,c) • (x − x ′, y − y ′, z − z ′) = 0, del vector director del plano y un vectorarbitrario, w = X −X ′, del plano. Por tanto, son perpendiculares.

25Como hay infinitos puntos, hay infinitos vectores del plano.

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Se deduce que todo vector w = (w1, w2, w3) = X − X ′ de un plano satisface

la ecuación aw1 +bw2 + cw3 = 0 que es la misma ecuación cartesiana (delos puntos) del plano, ax+by+cz+d = 0, pero sin el término independiente.

Resumiendo, un plano tiene infinitos puntos e infinitos vectores, que sondiferencia de dos puntos. También, tiene un vector director26 que es perpen-dicular a todos los vectores del plano.

Ejemplo 16. El plano definido por la ec. x+2y−z+3 = 0, tiene como vectordirector al (1,2,−1) (o cualquier múltiplo suyo, p.ej. (2,4,−2)). La ec. desus vectores, x +2y − z = 0, da todos los perpendiculares al vector director.

5.6. Buzamiento/Dirección de un plano. Entre todos los infinitos vectores deun plano, hay algunos especiales. Así, un vector, v = (v1, v2, v3)

Definición 12. Se dice que es un vector de buzamiento27 si v3 < 0.Y se dice que es un vector de nivel del plano si v3 = 0.

Ejemplo 17. Para el plano anterior, x + 2y − z + 3 = 0, un vector de niveldebe satisfacer z = 0. Además de la ec. de sus vectores x + 2y − z = 0.Sustituyendo,

x +2y = 0 =⇒ x =−2y

Para el valor, y = 1, se obtiene x =−2. Y un vector de nivel es el (−2,1,0).26No es único, porque sirve también cualquier múltiplo escalar suyo.27El nombre viene de buzar, inclinar o sumergir. Indica hacia el interior de la tierra.

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Lo que hemos calculado no es casual. Si ax +by +cz +d = 0 es la ec. de unplano, la de su vectores es ax +by + cz = 0. Si hacemos la intersección conz = 0, se tiene ax +by = 0. De donde sale el vector de nivel (−b, a,0).

Cualquier otro vector de nivel, tiene que ser solución de ax +by = 0. Portanto, y =−ax

b y eligiendo x =−λb, sale y =λa. O sea,

Lema 2. Todo vector de nivel del plano ax +by + cz +d = 0 es de la forma(−λb,λa,0) =λ(−b, a,0), un múltiplo escalar de (−b, a,0).

En consecuencia, un plano tiene dos direcciones de nivel28, la del vector(−b, a,0) y la de su opuesto (b,−a,0). Y sus rectas de nivel son paralelas.

Estas direcciones sirven además para distinguir un vector de buzamiento

Definición 13. Un vector v = (v1, v2, v3) del plano es de de buzamientoreal, si además de v3 < 0, es perpendicular a las direcciones de nivel.

O sea, un vector de buzamiento real tiene que satisfacer la ec. de los vectoresdel plano, av1 +bv2 + cv3 = 0 y además u • (−b, a,0) = −v1b + v2a = 0, dedonde v1b = v2a. Luego, si v2 =λb, se tiene v1 =λa. Y sustituyendo

λa2 +λb2 + cv3 = 0 =⇒ cv3 =−λa2 −λb2

Si tomamos λ=µc obtenemosv = (v1, v2, v3) = (µca,µcb,−µa2 −µb2) =µ(ca,cb,−a2 −b2)

28Por 7, una recta define dos direcciones opuestas, separadas por 180◦.

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Ahora, si queremos que su tercera coordenada, v3 = −µ(a2 +b2), sea nega-tiva, debe ser 0 <µ ∈R. Así, para un plano arbitrario, ax +by + cz +d = 0,

Teorema 2. El vector de buzamiento real, es único salvo múltiplos positivos.

Definición 14. Al ángulo de buzamiento de v = (ca,cb,−a2 −b2) se lellama buzamiento real del plano. Al resto, buzamientos aparentes.

También, el buzamiento real de ax +by + cz +d = 0, nos permite definir

Definición 15. [Convenio de la mano derecha]La dirección del plano es el azimut de uno de los dos vectores (−b, a,0) y(b,−a,0). El que sea menor (en 90◦) que el de buzamiento real.

Ejemplo 18. Para el plano anterior, x + 2y − z + 3 = 0, un vector de nivelera (−2,1,0) y el otro su opuesto (2,−1,0). Su vector de buzamiento real esv = (ca,cb,−a2 −b2) = (−1,−2,−12 −22) = (−1,−2,−5).

Como su proyección horizontal es w = (−1,−2,0). Su buzamiento se calcula

β= Ar cCos

(v •w

‖v‖ ·‖w‖)= Ar cCos

(5p

30 ·p5

)= Ar cCos(0,408248) ' 65.9◦

Dibujando los dos vectores de nivel y el w en un plano horizontal (XY), se veque el está 90◦ antes que el w, es el u = (2,−1,0). Por tanto, éste es el vectorde dirección del plano y su azimut será el del plano.

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Como la dirección norte es n = (0,1,0). Su azimut se calcula

α= Ar cCos

(n •u

‖n‖ ·‖u‖)= Ar cCos

(−1p5

)= Ar cCos(−0,44721) ' 116.6◦

Y la dirección del plano es N116.6◦E ' N117◦E. Como el buzamiento realera 65.9◦ ' 66◦, se puede describir el plano con esos dos números 66/117.

N

S

EW

(2,−1)

(−2,1)

(−1,−2)

α= 117◦

Si nos dan un plano de la forma β/α, donde β es el buzamiento real delplano y α es el azimut o dirección del mismo. Se puede escribir el vector dedirección del plano u = (sin(α),cos(α),0) y el de buzamiento real

v = (sin(α+90),cos(α+90),− tan(β))

Con estos dos vectores del plano y suponiendo que pasa por un punto O =(o1,o2,o3), se escriben las ec. paramétricas X = (x1, x2, x3) = (o1,o2,o3)+λ ·(u1,u2,u3)+µ · (v1, v2, v3) y después eliminando los parámetros λ, µ se sacala ec. cartesiana.

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Ejemplo 19. En un mapa geológico, es frecuente indicar algunos planos conuna notación β/α gráfica. Se dibuja una pequeña línea de nivel del plano

con su azimut correcto29.

29O sea, hay que sacar el azimut del plano midiendo el ángulo con el norte del mapa.

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El buzamiento real del plano se escribe con su número cerca de una pequeñaperpendicular en la dirección del buzamiento.

En este ejemplo, el azimut medido en el dibujo vale N45◦W = N315◦E. Comoel buzamiento es de 30◦SW. Todos los planos son 30/315. Para hallar lasecuaciones de un plano de este tipo, calculamos el vector de dirección delplano u = (sin(315◦),cos(315◦),0) = (

p2

2 ,−p

22 ,0) = (0.7,−0.7,0) y el de buza-

miento real

v = (sin(315+90),cos(315+90),− tan(30◦)) = (0.7,0.7,−0.58)

Suponiendo que el plano se apoya en el origen, sus ec. paramétricas sonx = 0.7λ+0.7µy =−0.7λ+0.7µz =−0.58µ

de dondex + y = 1.4µz =−0.58µ

}y dividiendo ambas ec. y

multiplicando en cruz, se obtiene 0.58x +0.58z = −1.4z y finalmente la ec.cartesiana 0.58x +0.58z +1.4z = 0 da la dirección de todos los planos.

Si se necesita calcular alguna intersección concreta entre varios planos oplano/recta, hay que usar las coordenadas de un punto de apoyo.

6. EJERCICIOS.

Ejercicio 1. ¿Cuáles son los ángulos matemáticos que definen los siguientesrumbos N31E, N32W, N304E, S25W y S56E ? ¿y sus azimutes y/o strikes?.

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Ejercicio 2. Dos puntos de un mapa, C de cota 150 y B (-400), pertenecientea una linea de nivel que indica 400 metros bajo el nivel del mar, distan en elmapa 0.8 km. Calcula la distancia real y el buzamiento de AB.

Ejercicio 3. En un mapa de escala 1:10 000, se localizan dos puntos, el A1(100) y el A2 (200) tales que el A2 está 1 cm al este y 2 cm al sur del A1.Calcula las coordenadas rectangulares (3D) de A2 respecto a A1.

Ejercicio 4. En un mapa 1:10 000, se localizan A1 (100) y A2 (200), con A21 cm al E y 2 cm al S del A1. ¿ Cuál es el azimut de A1A2 y de A2A1?

Ejercicio 5. En un mapa 1:10 000, se localizan A1 (100) y A3 (300), con A33.4 cm al E y 5.6 cm al N del A1. ¿ Cuál es el azimut de A1A3 y de A3A1?

Ejercicio 6. Con los puntos de los ejercicios 3 y 5, calcula el azimut directoe inverso de la dirección A2A3.

Ejercicio 7. Por un punto de un mapa, el C de cota 500, pasa una recta dedirección 30/225. Determina un punto de dicha recta a cota 250 metros.

Ejercicio 8. En un mapa 1:10 000, se localizan dos puntos, el C (500) y elB(400) que se encuentra a 2.5 cm a la derecha y 3.1 cm hacia abajo del C.Determina unas ec. de la recta AB. ¿Cuál es la β/α de esa recta?.

Ejercicio 9. En un mapa 1:10 000, se localizan C (1300) y otro punto B delque no se conoce la cota pero que buza 35◦ al NE y se encuentra a 3 cm a laderecha y 2.1 cm hacia arriba del C. Halla la cota del punto B.

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Ejercicio 10. Con los datos del ejercicio anterior, halla las ecuaciones ydirección de la recta CB.

Ejercicio 11. Con los puntos de los ejercicios 3 y 5, halla las ecuaciones delplano que pasa por A1, A2 y A3.

Ejercicio 12. Con los puntos de los ejercicios 3 y 5, calcula la β/α del planoque pasa por A1, A2 y A3.

7. TEST DE REPASO.

Para comenzar el cuestionario pulsa el botón de inicio.Cuando termines pulsa el botón de finalizar.Para marcar una respuesta coloca el ratón en la letra correspondiente y pulsael botón de la izquierda (del ratón).

1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es la correcta?.(a) Un vector puede tener muchas direcciones.(b) Dos medidas angulares siempre son equivalentes en algún convenio.(c) Un vector puede tener muchas medidas angulares.(d) Una dirección determina dos vectores.

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2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) Un ángulo siempre se mide a izquierdas.(b) Un ángulo siempre se mide a derechas.(c) Un ángulo matemático se mide a derechas .(d) Un ángulo matemático se mide a izquierdas.

3. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) Hay un sólo norte y un azimut.(b) Hay 3 nortes y un único azimut.(c) Hay 3 nortes y 3 azimutes.(d) El azimut siempre se mide respecto al norte cartográfico.

4. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) Un rumbo siempre coincide con un azimut.(b) Un rumbo siempre coincide con un strike.(c) Un rumbo nunca coincide con un azimut.(d) Un rumbo puede coincidir con un strike.

5. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) Una recta determina dos direcciones opuestas y una única β/α.(b) Una recta tiene dos β/α y una única dirección.

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(c) Una recta determina un vector salvo múltiplos positivos.(d) Una recta tiene dos β/α.

6. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) Un vector, una semirecta y una dirección son equivalentes.(b) Una semirecta determina un vector salvo múltiplos positivos.(c) Una recta equivale a un β/α.(d) Una semirecta equivale a un β/α.

7. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) Una recta tiene una única ec. cartesiana.(b) Una recta tiene ec. paramátricas, continuas y cartesianas únicas.(c) Una recta tiene tres o cuatro ecuaciones y una única β/α.(d) Una recta tiene muchas ecuaciones.

8. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) Un plano tiene una única ec. cartesiana.(b) Un plano tiene dos ec. cartesianas.(c) Un plano tiene ec. paramétricas y cartesiana.(d) Un plano tiene ec. paramétricas únicas.

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9. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) Un plano tiene dos β/α.(b) Un plano tiene sólo dos vectores directores.(c) Un plano se define con sólo dos vectores directores.(d) Un plano se define con 1 punto y dos vectores directores.

10. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) Un plano tiene un único buzamiento.(b) Un plano se define con un buzamiento y un azimut.(c) Un plano se define con un único buzamiento real.(d) Un plano se define con un único azimut.

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