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MEMORIAS DEL XVI CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 22 al 24 DE SEPTIEMBRE, 2010 MONTERREY, NUEVO LEÓN, MÉXICO

Derechos Reservados © 2010, SOMIM

CONVECCIÓN DE CALOR EN UN RECINTO CILÍNDRICO CON PAREDES

ONDULADAS

1Sánchez Cruz Fausto A.,

1Martínez Martínez Simón,

1Ramírez Hernández Hugo G.,

1González Marroquín

Joel, 2Riesco Ávila J. Manuel, 2

Gallegos Muñoz Armado 3Octavio Armas Vergel

1FIME Universidad Autónoma de Nuevo León

Pedro de Alba s/n, Apdo. Postal 076 Suc. F, C.P. 66450, San Nicolás de los Garza, N.L., México Teléfono (81) 1492 0373, Fax: (81) 1052 3321

2Departamento de Ingeniería Mecánica, Universidad de Guanajuato, Campus Irapuato-Salamanca. División de Ingenierías. Valle de Santiago, Km.3.5+1.8 Km. Comunidad de Palo Blanco, Salamanca, Guanajuato, México

Tel.: +52 (464) 647 9940 Fax: +52 (464) 647 2400

3Departamento de Mecánica Aplicada e Ingeniaría de Proyectos, Universidad de Castilla-La Mancha Avd. Camilo José Cela s/n. Apdo Postal 13071, Ciudad Real, España

Tel.: +34 926 29 53 00 Fax: +34-926-295361

[email protected], [email protected], [email protected], [email protected], [email protected], [email protected].

RESUMEN.

En este trabajo se presenta el estudio de la

convección natural dentro de un cilindro con la

pared vertical ondulada. La cavidad es

calentada por la pared inferior y enfriada por la

pared superior a temperaturas constantes T2 y

T1, respectivamente. La pared vertical tiene la

forma de una función senoidal y es adiabática.

Se usa una transformación analítica para

mapear la forma irregular del dominio a un

cuadrado. Mediante la solución computacional

de las ecuaciones de gobierno se evaluó el efecto

que tienen los diferentes parámetros

adimensionales de característicos del fenómeno

sobre los flujos de convección y la transferencia

de calor. En particular, se considedaron valores

para la relación de aspecto de la cavidad de 0.1,

0.3, 0.5; longitud de onda adimensional de 1/3,

1/5, 1/10; amplitud de onda adimensional de

0.05, 0.1, 0.3; números de Rayleigh entre 103 y

106 y número de Prandtl constante de 7. Los

resultados muestran que la pared ondulada

favorece la estratificación térmica, la formación

de celdas convectivas múltiples de baja

velocidad y la disminución en la transferencia de

calor.

ABSTRACT.

An axisymetric free convection flow within a vertical cylindrical enclosure with wavy side-wall was studied. The enclosure was heated from below and cooled from the top with constant

temperatures T2 and T1, respectively. The vertical wavy-wall is adiabatic and fits to a sinusoidal function An analytical coordinate transformation was applied to obtain a coordinate frame for computation in which the irregular domain fits into a square. Computational solutions for the governing equations were found to evaluate the way the main dimensionless parameters affect the convection flow and heat transfer. The study considered values for the cavity aspect ratio of 0.1, 0.3, 0.5, dimensionless wavelength of 1/3, 1/5, 1/10, dimensionless wave-amplitude of 0.05, 0.1, 0.3, Rayleigh numbers between 103 and 106, and constant Prandtl number of 7. Numerical results showed the wavy wall promotes thermal stratification, low velocity multiple cell patterns and low heat transfer. Nomenclatura.

T1 Temperatura de la pared superior.

T2 Temperatura de la pared inferior.

Tm Temperatura media.

Longitud de onda.

a Amplitud.

r Coordenada radial.

z Coordenada axial.

vr Velocidad radial

vz Velocidad axial

L Altura.

R Radio medio.

n Dirección normal.

t Dirección tangencial

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mailto:[email protected]






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Aceleración de la gravedad

k Conductividad térmica.

Relación de aspecto.

Longitud de onda adimensional.

Amplitud adimensional.

Viscosidad cinemática.

Temperatura adimensional.

P Presión.

Función de corriente.

Coeficiente de expansión térmica.

Difusividad térmica.

Coordenada axial transformada.

Coordenada radial transformada.

qw Transferencia de calor total.

Nup Número de Nusselt promedio.

hp Coeficiente de transferencia de calor

promedio.

Coeficientes definidos en Apéndice A.

b-t Coeficientes definidos en Apéndice A.

Ra Número de Rayleigh.

Pr Número de Prandtl.

INTRODUCCIÓN.

La transferencia de calor por convección en cavidades recibe considerable atención debido a su relevancia en fenómenos que ocurren en muchas aplicaciones ingenieriles como en los sistemas de enfriamiento de equipo electrónico, en los procesos de solidificación, el diseño de edificios, colectores solares y cámaras de enfriamiento, por nombrar algunas. Por otra parte, la transferencia de calor y masa en cavidades ocurre de forma natural en diversos campos de la ciencia como la geofísica y la metalurgia. Muchas cavidades en la realidad tienen formas irregulares y el movimiento del fluido y la transferencia de calor muestran comportamientos complicados, sin embargo, típicamente las geometrías de las cavidades más estudiadas son formas regulares como las formas hexaédricas, cilíndricas y esféricas. La rugosidad y la ondulación de las paredes son parámetros que pocas veces se consideran cuando se estudian los fenómenos de transporte en cavidades. Debido a que el esfuerzo cortante y el flujo de calor en las paredes definen la hidrodinámica y la transferencia de calor en la cavidad, la presencia de ondulaciones en las paredes y las características de éstas, en términos de la amplitud y la longitud de onda, se vuelven importantes para modelar condiciones más realistas. En años recientes los estudios acerca de la convección natural externa en la cercanía de una pared ondulada ha sido investigada para

analizar el efecto de los parámetros de ondulación sobre la transferencia de calor y en la dinámica del flujo. Ashjaee et al. [1] estudiaron la transferencia de calor por convección natural desde una pared ondulada a temperatura constante y calcularon el coeficiente de transferencia de calor local usando un interferómetro Mach-Zehner. Las mediciones experimentales se llevaron a cabo para una relación amplitud-longitud de onda de 0.05, 0.1 y 0.2, y para números de Rayleigh entre 2.9x105 y 5.8x105. Se compararon los resultados numéricos obtenidos mediante un código en volúmenes finitos con los resultados experimentales, encontrándose una buena concordancia. Los resultados revelaron que el coeficiente de transferencia de calor promedio decrece conforme la relación amplitud-longitud de onda aumenta. Los datos experimentales se ajustaron a una sola correlación con la cual se obtienen los números de Nusselt locales a lo largo de la superficie ondulada como función de la relación de la amplitud-longitud de onda y el número de Rayleigh. La convección térmica debido a una superficie más compleja puede obtenerse cuando se combinan dos funciones senoidales, una onda fundamental y un primer armónico, para describir la superficie. Molla et al. [2] hacen una transformación de coordenadas en las ecuaciones de capa límite mapeando la pared ondulada a un dominio computacional regular para evaluar la pared. Los resultados muestran que el armónico adicional altera el movimiento del fluido y la distribución de temperatura cerca de la pared vertical con superficie ondulada. Al resolver las ecuaciones de la capa límite para un flujo no confinado y calcular el flujo de calor a lo largo de superficies onduladas se ha encontrado que para una combinación específica de amplitud y longitud de onda aparece un punto de separación de la corriente que restringe la solución. Adicionalmente, se encontró que las longitudes de onda del número de Nusselt local y de la variación de la temperatura de la superficie son iguales a aquella que correspondiente a la ondulación de la superficie. Adicionalmente, la longitud de onda del número de Nusselt promedio es igual a la mitad de aquella que corresponde a la ondulación de la superficie. Frecuentemente, las superficies onduladas están también involucradas en fenómenos de transferencia de masa. Los efectos combinados de las fuerzas de flotación debidas a gradientes térmicos y de concentración desde una pared vertical con ondulación han sido analizados para flujos no confinados, enfocándose en la

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distribución y evolución del esfuerzo cortante en

la superficie además de la transferencia de calor

y el gradiente de concentración en la superficie

[3]. Amplios rangos de los parámetros de

gobierno ha sido considerado como el número de

Schmidt en el rango de 7 a 1500, la amplitud de

la onda desde 0 a 0.4 y el parámetro de la

flotación en el rango de 0 a 1. La pared ondulada

causa un decremento en la transferencia de calor,

el gradiente de concentración y el esfuerzo

cortante. El efecto del ángulo de inclinación ha

sido estudiado para la convección térmica en

régimen laminar debido a una pared ondulada

con temperatura constante en una cavidad

cuadrada por Dalal and Kumar Das [4]. Para el

caso de una cavidad diferencialmente calentada y

con una pared ondulada, el número de Nusselt es

menor que el que corresponde a una cavidad

cuadrada con paredes planas [5]. La turbulencia

mejora la transferencia de calor por convección

en la pared ondulada, comparado con la cavidad

cuadrada con altos números de Rayleigh, y

contrario a lo que sucede con el flujo laminar, la

presencia de la pared ondulada incrementa el

número de Nusselt local [6]. Otros análisis

consideraron los fenómenos de transporte en el

movimiento de fluidos en estado permanente con

absorción de soluto en un canal con paredes

onduladas [7] y el efecto de la variación de la

viscosidad y de la conductividad térmica en la

magnetohidrodinámica, el coeficiente de fricción

local y los números de Nusselt y Sherwood [8].

Frecuentemente, en procesos naturales suceden

fenómenos de transporte cerca de paredes

onduladas a través de medios porosos en fluidos

confinados y no confinados. Existen estudios que

han concluido que la estratificación térmica y de

masa disminuye los números de Nusselt y

Sherwood en fenómenos de transporte

simultáneo de calor y masa debidos a la

convección natural a lo largo de una pared con

superficie ondulada en el interior de una cavidad

llena de un medio poroso saturado [9]. En ese

estudio en particular se analizaron los efectos de

Soret y Dufour en un medio poroso semi infinito

saturado con un fluido newtoniano. Las

soluciones numéricas también han sido utilizadas

para estudiar la convección natural dentro de una

cavidad inclinada y con una de sus paredes

ondulada llena de un medio poroso saturado [10].

Se ha encontrado que la dinámica del flujo y los

patrones de las distribuciones de temperatura son

altamente dependientes de la superficie ondulada

cuando el ángulo de inclinación es menor a 45°,

especialmente para altos números de Rayleigh.

Rostami [11] estudió la transferencia de calor y

el movimiento del fluido en estado transitorio

bidimensional en una cavidad calentada

lateralmente por una pared ondulada, mientras

las paredes horizontales son planas y adiabáticas.

Dalal y Kumar [12] estudiaron la convección

natural dentro de una cavidad bidimensional con

una pared vertical ondulada. La pared se calentó

a una temperatura que varía espacialmente

mientras las otras tres paredes se mantienen a

temperatura constante. Se calcularon los números

de Nusselt local y promedio tanto para el

régimen dominado por la conducción como para

el dominado por la convección.

Las cavidades cilíndricas son también de interés

práctico, sin embargo el efecto de la pared

ondulada no ha sido considerada en ese caso

particular. En este estudio se analiza el

movimiento del flujo axisimétrico que ocurre

dentro de una cavidad cilíndrica con la pared

vertical adiabática y ondulada. Se estudia el caso

de una cavidad calentada por la pared inferior,

enfriada por la superior y la pared ondulada es

adiabática.

DESARROLLO

Planteamiento del problema

Figura 1. Modelo físico, coordenadas y condiciones de

frontera.

Considere la convección térmica dentro de una

cavidad cilíndrica como la que se muestra en la

figura 1a. Las paredes superior e inferior se

mantienen a temperatura constante T1 y T2,

respectivamente, mientras la pared ondulada

vertical se encuentra aislada térmicamente. El

cilindro tiene una altura L y un radio promedio R,

la pared ondulada tiene la forma de una función

sinusoidal con una longitud de onda λ y una

amplitud a, ver figura 1b. La cavidad está llena

de un fluido newtoniano y se suponen

propiedades constantes, excepto la densidad en el

término del peso que se calcula mediante la

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aproximación de Boussinesq. La gravedad actúa

paralelamente al eje del cilindro.

Formulación matemática.

El problema se analizó como un flujo

axisimétrico usando coordenadas cilíndricas. La

dirección axial z* es el eje de simetría y la pared

ondulada vertical se localiza en

r*=R+a·cos(2πz*/λ). Las ecuaciones que

gobiernan el problema en estado permanente son

la continuidad, las ecuaciones de conservación

de cantidad de movimiento y la ecuación de la

energía que respectivamente son:

(1)

(2)

2 ∗ ∗2+ − (3)

(4)

Las ecuaciones están sujetas a las siguientes

condiciones de frontera:

(5)

(6)

(7)

(8)

donde * indica que son variables dimensionales,

r* y z* son las coordenadas radial y axial, y

son las componentes radial y axial de la

velocidad, respectivamente, ρ es la densidad, P

es la presión modificada que toma en cuenta los

efectos hidrostáticos, μ es la viscosidad, g es la

aceleración de la gravedad, β es el coeficiente de

expansión volumétrica, α es la difusividad

térmica, Tm=(T1+T2)/2 es la temperatura media,

y son las componentes de la velocidad en

la dirección normal y tangencial a la pared

ondulada, i.e. y donde y

son los vectores unitarios en la dirección normal

y tangencial a la superficie ondulada,

respectivamente.

Se realizó un análisis de escala que permitió

establecer las siguientes variables

adimensionales como las más adecuadas para

este análisis:

(9)

donde es la relación de aspecto, es la

longitud de onda adimensional, y es la

temperatura adimensional.

Derivando de forma cruzada las ecuaciones de la

cantidad de movimiento y restándolas entre sí se

eliminó la dependencia explícita en la presión.

Adicionalmente, el problema se resolvió en

términos de la función de corriente adimensional

, definida de la siguiente

manera:

(10)

(11)

La ecuación para el movimiento del fluido es:

(12)

Por su parte, la ecuación de la energía en forma

adimensional queda como sigue:

(13)

donde los coeficientes a s están definidos en

el Apéndice A.

Se realizó una transformación de coordenadas

analítica para ajustar el dominio irregular

definido por las paredes en un cuadrado con lado

unitario. Las nuevas variables independientes y

dependientes fueron introducidas analíticamente

al transformar la representación matemática de

las ecuaciones de conservación antes de

discretizarlas. La transformación adecuada para

las coordenadas es:

(14)

(15)

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donde es la amplitud adimensional.

Una vez que la transformación de coordenadas se

aplicó, las ecuaciones de conservación para las

nuevas coordenadas quedan como:

(16)

(17)

Sujetas a las siguientes condiciones de frontera:

(18)

(19)

(20)

(21)

donde, los coeficientes b a t, A y B se encuentran

definidos en el Apéndice A. En este análisis los

efectos de los números de Rayleigh y Prandtl

quedan incluidos en los coeficientes mostrados

en el Apéndice y están definidos como

y , respectivamente.

Las ecuaciones (16) y (17) se discretizaron

mediante diferencias finitas. El dominio de

forma cuadrada resultante fue mallado con

100x100 nodos. Las ecuaciones algebraicas se

resolvieron numéricamente usando el algoritmo

de inversión de matriz tipo LU. Dado que la

ecuación de la energía y la cantidad de

movimiento están acopladas, se implementó un

esquema iterativo para resolver el sistema.

La transferencia de calor total a través de las

paredes horizontales es:

(22)

Si es el coeficiente de transferencia de calor

por convección promedio en las paredes

horizontales, entonces el número de Nusselt

promedio, , se calcula como:

(22)

RESULTADOS

Figura 2. Isotermas y función de corriente para la cavidad

calentada desde abajo y .

a) , , b) ,

, c) , , d) ,

.

La figura 2 muestra la temperatura adimensional

y la función de corriente para flujos con números

de Rayleigh entre y . La temperatura

adimensional corresponde a la

temperatura promedio . Cuando el número de

Rayleigh es del orden 103, la función de corriente

muestra múltiples celdas convectivas cerca de la

pared ondulada. Adicionalmente, la cavidad

muestra estratificación térmica y la velocidad de

las celdas convectivas es muy baja. Cuando el

número de Rayleigh es del orden 104, el flujo de

convección se intensifica, según los valores de la

función de corriente que se incrementan un orden

de magnitud aproximadamente, sin embargo, la

velocidad es todavía relativamente baja y la

estratificación térmica permanece. Cuando el

número de Rayleigh es del orden 105, el flujo

presenta dos celdas convectivas, la celda inferior

rota a favor de las manecillas del reloj. En esta

ocasión el flujo remueve la estratificación

térmica incrementando el gradiente de

temperatura cerca de las paredes superior e

inferior. Para un número de Rayleigh de el

flujo muestra dos celdas convectivas, la celda

superior se mueve con una velocidad mayor que

la celda inferior, como lo muestran las líneas de

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corriente mostradas en la figura 2d. Por su parte,

la distribución de temperatura para

presenta un intenso gradiente de temperatura

cerca de las paredes superior e inferior.

La longitud de onda adimensional de la pared

ondulada modifica considerablemente el flujo del

fluido y la transferencia de calor convectiva,

particularmente para altos números de Rayleigh.

La figura 3 muestra que existe estratificación

térmica en el centro de la cavidad y múltiples

celdas convectivas cerca de la pared ondulada

cuando la longitud de onda adimensional es

pequeña. Por otro lado, existen dos celdas

convectivas que no permiten la estratificación

térmica cuando la longitud de onda adimensional

es grande. El efecto de en la velocidad del

fluido puede ser estimado mediante el

incremento en la diferencia entre de los valores

de la función de corriente entre líneas

adyacentes, , correspondiente a cada figura.

La transferencia de calor a través de la cavidad

es también altamente dependiente de la longitud

de onda adimensional para altos números de

Rayleigh. La Figura 4 muestra el número de

Nusselt promedio en la superficie calentada en

función del número de Rayleigh para

, relación de aspecto y

amplitud adimensional de . Para números

de Rayleigh menores a 104 la transferencia de

calor principalmente se produce por el

mecanismo de la conducción y el número de

Nusselt promedio es 1.74. Cuando Ra es mayor

que 104 el número de Nusselt promedio

incrementa con , y cuando Ra es del orden 105

la transferencia de calor cambia

considerablemente, como lo muestra la figura 4.

La amplitud adimensional también define las

características de las celdas convectivas y la

distribución de temperatura, como se puede ver

en la figura 5. Una amplitud de onda grande

causa múltiples celdas convectivas de baja

velocidad en toda la cavidad. La aparición de

celdas múltiples en la cavidad, como se ha

comentado anteriormente, está relacionada con la

estratificación térmica. Por otra parte, cuando la

amplitud de onda es pequeña existen dos celdas

convectivas de gran tamaño y no existe

estratificación térmica. Cuando la amplitud de

onda aumenta el número de Nusselt promedio

disminuye por que la estratificación térmica se

hace presente y el movimiento del fluido es muy

lento, ver figura 5a. Para una amplitud de onda

pequeña la transferencia de calor incrementa

debido al transporte convectivo ocasionado por

dos celdas convectivas, como lo muestra la

figura 5b. Incluso para números de Rayleigh

pequeños el efecto de la amplitud de onda en el

número de Nusselt promedio es notable, como lo

demuestra la figura 6. El efecto de la amplitud de

onda en la transferencia de calor se vuelve más

importante conforme el número de Rayleigh

aumenta debido a que la convección de calor

domina y geometría de la pared define la forma y

velocidad de las celdas convectivas.


calentada desde abajo, .

a) b)

Figura 4. Número de Nusselt promedio para la cavidad

calentada desde abajo, para diferentes valores de . Para

.

La relación de aspecto de la cavidad afecta de

manera importante el comportamiento de las

celdas convectivas como se muestra en la figura

7. Si la cavidad es alta, i.e. es pequeña, se

presentan múltiples celdas convectivas y existe

estratificación térmica en toda la cavidad. Si la

cavidad es ancha y de poca altura, se presentan

dos celdas convectivas y no existe estratificación

térmica, por el contrario, se presentan capas

límite térmicas en las paredes superior e inferior

de la cavidad, además, el movimiento del fluido

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cerca de la pared ondulada es despreciable. El

incremento de los valores de la función de

corriente y la diferencia entre líneas adyacentes

que se observa en la figura 7b, demuestra que

la velocidad es muy baja cuando se presenta el

patrón de celdas convectivas múltiples. Esta

última observación se puede comprobar en la

figura 8 donde el número de Nusselt promedio

permanece constante en el rango de

cuando , es decir, en todo este rango

el transporte por difusión de calor es dominante.

Conforme aumenta la transferencia de calor se

incrementa considerablemente, incluso para

números de Rayleigh del orden .



a) b) .


calentada desde abajo y diferentes valores de . Para

.

CONCLUSIONES

Se estudió la convección térmica dentro de una

cavidad cilíndrica axisimétrica con la pared

vertical ondulada. Se analizó en particular el caso

de la cavidad calentada desde abajo y enfriada

por arriba, mientras la pared ondulada es

adiabática. Mediante una transformación

analítica de las coordenadas se resolvió el

problema axisimétrico. Se encontraron diferentes

patrones convectivos que modifican la

transferencia de calor incluso para las

condiciones donde la conducción es dominante.

Cuando el número de Rayleigh es del orden 103

se presenta estratificación térmica con múltiples

celdas convectivas cerca de la pared ondulada.

Cuando el número de Rayleigh se incrementa la

estratificación térmica permanece mientras la

velocidad del fluido se intensifica. Si el número

de Rayleigh se incrementa aún más, entonces se

presentan dos celdas convectivas que producen

notables incrementos en el gradiente de

temperatura cerca de las paredes superior e

inferior. Cuando la longitud de onda

adimensional es pequeña, existe una fuerte

estratificación térmica en toda la cavidad y se

presentan múltiples celdas convectivas cerca de

la pared ondulada. Por otra parte si la longitud de

onda adimensional es grande, existen dos celdas

convectivas y la cavidad no se estratifica, lo que

se asemeja al comportamiento de la convección

de calor en una cavidad cilíndrica vertical. Se

encontró también que la amplitud de onda

restringe la convección de calor. Las cavidades

altas presentan estratificación térmica y baja

transferencia de calor, además, existe una notable

diferencia en la capacidad para transferir calor

entre las cavidades altas y bajas.



a) b) .

En general, se encontró que la pared ondulada

favorece la estratificación térmica y la formación

de celdas convectivas múltiples de baja

velocidad que no benefician la convección de

calor, lo que conduce a una baja transferencia de

calor en la cavidad.

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calentada desde abajo, para diferentes valores de . Para

Reconocimientos.

Los autores agradecen el apoyo económico dado

por CONACyT a través de los Proyectos 62054, 103334 y 85915, a PAICyT - UANL y a Redes

Temática PROMEP “Fuentes Renovables y Uso

Eficiente de la Energía”.

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correlation for free convection heat transfer

from vertical wavy surfaces” Heat and Mass

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pp 180--202.

ISBN: 978-607-95309-3-8




Apéndice A.

Los coeficientes de las ecuaciones 12 y 13 se

muestran en la tabla 1. Los coeficientes de las

ecuaciones 16 y 17 se encuentran en la tabla 2.

Los coeficientes de la ecuación 21 se encuentra

en la tabla 3.

Tabla I. Coeficientes de la ecuación 12 y 13.

Tabla II. Coeficientes de la ecuación 12 y 13

Tabla III. Coeficientes de la ecuación 12 y 13.

Nota: y

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