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4.° SBAI - Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente, São Paulo, SP, 08-10 de Setembro de 1999 CONTROLE INTELIGENTE ROBUSTO BASEADO NO CEREBELLAR MODEL ARTICULATION CONTROLLER Celso P. Bottura UNICAMP - Departamento de Máquinas, Componentes e Sistemas Inteligentes C.P. 6101 - 13081-970 - Campinas, SP, Brasil Marcelo C. M. Teixeira UNESP - Departamento de Engenharia Elétrica Av. Brasil, 56 - Ilha Solteira, SP 15385-000, Brasil Maurício J. Bordou UNICAMP -Departarnento de Máquinas, Componentes e Sistemas Inteligentes C.P. 6101 - 13081-970 - Campinas, SP, Brasil Resumo . O controle de sistemas dinâmicos desconhecidos é resolvido com robustez garantida li' incertezas nos parâmetros do processo controlado por meio de identificação on line usando o CMAC e tendo como premissa o acesso completo ao estado da planta. A inteligência do controlador proposto é.evidenciada pelo regime de estabilidade robusta conseguida sem prévio conhecimento sobre o modelo da pl anta além de sua ordem e estrutura. limitações de acuidade, como por exemplo, na reprodução de tabelas de produto de duas variáveis[l] . Assim, um sistema de controle baseado no CMAC deve tolerar as imperfeições presentes nas aproximações que esta rede neural fornece. Este trabalho propõe a fusão da metodologia de aproximação de funções com o CMAC no projeto inteligente de um controlador com estrutura variável. 2 SISTEMAS COM ESTRUTURA VARIÁVEL A superfície S divide o espaço de estado em duas regiões e a cada uma delas uma estrutura, não necessariamente estável, do sistema em malha fechada está associada[8]. Seja o sistema linear invariante no tempo na forma canônica controlável com entrada escalar definido na eq(2) Palavras Chaves : CMAC, sistemas variáveis em estrutura, ·modo deslizante, controle inteligente. Abstract: Using a CMAC based on line identification scheme, the probIem of robust control of dynamical systems subject to parameter disturbances is treated supposing complete access to plant state variables. Controller intelligence is evidenced by the fact of stable steady state behaviour achievement, without knowledge about the pIant model other than its order and structure. Keywords : CMAC, variable structure systems, sliding mode, intelligent control. Tomemos uma superfície no R 11 dada pela eq(l) s ={ x E R 11 I s(x) = O }. (1) ·1 INTRODUÇÃO O crescente interesse em sistemas de controle de estrutura variável com modo deslizante é devido ' principalmente à sua propriedade de quasi invariância com respeito a perturbações nos parâmetros da planta e à simplicidade da lei de controle tipo relé[2]. O procedimento de projeto de um controlador variável em estrutura que leve o.estado de um sistema dinâmico ao deslizamento, de forma geral, necessita do conhecimento das matrizes A e b do modelo linear[8] e, alterações nos par âmetros da planta durante a fase de controle; modificam a característica dinâmica de malha fechada. Portanto, uma abordagem inteligente para o projeto de um controlador de modo .deslizante é tratada neste trabalho. O CMAC é uma rede neural de simples implementação em software e/ou hardware mas, em geral, resultados em reprodução de funções contínuas estão restritos a 83 x = Ax + bu (2) x E R\ u E R. Supõe-se que o estado está disponibilizado mas que a matriz A não é conhecida. Logo, podemos escrever: (3) X II _ l = XII XII = a ll l Xl + a ll Zx2 + ... ali 11 XII + U

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4.° SBAI - Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente, São Paulo, SP, 08-10 de Setembro de 1999

CONTROLE INTELIGENTE ROBUSTO BASEADO NO CEREBELLAR MODELARTICULATION CONTROLLER

Celso P. BotturaUNICAMP - Departamento de Máquinas, Componentes e Sistemas Inteligentes

C.P. 6101 - 13081-970 - Campinas, SP, BrasilMarcelo C. M. Teixeira

UNESP - Departamento de Engenharia ElétricaAv. Brasil, 56 - Ilha Solteira, SP 15385-000, Brasil

Maurício J. BordouUNICAMP -Departarnento de Máquinas, Componentes e Sistemas Inteligentes

C.P. 6101 - 13081-970 - Campinas, SP, Brasil

Resumo. O controle de sistemas dinâmicosdesconhecidos é resolvido com robustez garantida li 'incertezas nos parâmetros do processo controlado pormeio de identificação on line usando o CMAC e tendocomo premissa o acesso completo ao estado da planta. Ainteligência do controlador proposto é.evidenciada peloregime de estabilidade robusta conseguida sem prévioconhecimento sobre o modelo da planta além de suaordem e estrutura.

limitações de acuidade, como por exemplo, na reproduçãode tabelas de produto de duas variáveis[l] . Assim, umsistema de controle baseado no CMAC deve tolerar asimperfeições presentes nas aproximações que esta redeneural fornece. Este trabalho propõe a fusão dametodologia de aproximação de funções com o CMAC noprojeto inteligente de um controlador com estruturavariável.

2 SISTEMAS COM ESTRUTURA VARIÁVEL

A superfície S divide o espaço de estado em duas regiõese a cada uma delas uma estrutura, não necessariamenteestável, do sistema em malha fechada está associada[8].Seja o sistema linear invariante no tempo na forma

canônica controlável com entrada escalar definido naeq(2)

Palavras Chaves: CMAC, sistemas variáveis emestrutura, ·modo deslizante, controle inteligente.

Abstract: Usin g a CMAC based on line identificationscheme, the probIem of robust control of dynamicalsystems subject to parameter disturbances is treatedsupposing complete access to plant state variables.Controller intelligence is evidenced by the fact of stablesteady state behaviour achievement, without knowledgeabout the pIant model other than its order and structure.

Keywords: CMAC , variable structure systems, slidingmode, intelligent control.

Tomemos uma superfície no R 11 dada pela eq(l)

s = { x E R11 I s(x) = O }. (1)

·1 INTRODUÇÃO

O crescente interesse em sistemas de controle deestrutura variável com modo deslizante é devido 'principalmente à sua propriedade de quasi invariância comrespeito a perturbações nos parâmetros da planta e àsimplicidade da lei de controle tipo relé[2]. Oprocedimento de projeto de um controlador variável emestrutura que leve o .estado de um sistema dinâmico aodeslizamento, de forma geral, necessita do conhecimentodas matrizes A e b do modelo linear[8] e, alterações nospar âmetros da planta dur ante a fase de controle;modificam a característica dinâmica de malha fechada.Portanto, uma abordagem inteligente para o projeto de umcontrolador de modo .deslizante é tratada neste trabalho.O CMAC é uma rede neural de simples implementação

em software e/ou hardware mas, em geral, resultados emreprodução de funções contínuas estão restritos a

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x = Ax + bu(2)

x E R \ u E R.

Supõe-se que o estado es tá disponibilizado mas que amatriz A não é conhecida. Logo, podemos escrever:

(3)XII _ l = XII

XII = a ll l Xl + all Zx2 + ... ali 11XII + U

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sendo que a"i são constantes reais desconhecidas, Seja alei de controle descontínua [8]:

U "(x, t) e U -(x, t) são funções contínuas com respeitoaxeat.O procedimento para estabilização desse sistema pode serdividido em duas etapas [8] :. levar o estado, inicialmente igual a xo' para umasuperfície S do espaço de estados chamada superficiede descontinuidade:

u = {u+(X,t), s(x) > Ou -(x,t), s(x) < O

S = {x E ]R" I s = gx = O }

(4)

(5)

entre as características que o tornam atraente paraaplicações on tine estão a capacidade de reproduzirfunções não lineares mu1tivariáveis arbitrárias, ageneralização decorrente da interpolação entre dado sarmazenados localmente em sua memória e a extremarapidez de seu processo de treinamento[1] [3][4] [5][6] [7] [9].A saída do CMAC é dada pela soma de uma quantidade

fixa, p, de pesos num conjunto com um total de Npesos. A escolha dos pesos que serão somados é feita porfunções de quantização aplicadas ao conjunto limitado,X, de entradas e cada função de quantização define umpeso que está associado ao intervalo da partição feita em Xque contém o vetor de entrada do CMAC. No total, sãop quantizações feitas em X sendo que existe entre elasum deslocamento de uma p - ésima parte de cadaintervalo em cada eixo coordenado. Na Fig 1, o conjunto X c R2

é particionado por p = 2 funções de quantização. Aprimeira associa um peso a cada intervalo do conjunto

sendo que g é um vetor do ]R" escolhido de forma asatisfazer condições desejadas para o comportamentodinâmico do sistema durante a etapa seguinte.. manter - o estado do sistema numa vizinhança dasuperfície S onde ocorre um rápido processo decomutação entre duas estruturas do sistema devido àdescontinuidade da lei de controle (4), conhecido comodeslizamento, e o estado atinge a origem após entrar emmodo deslizante .O estado do sistema permanecerá em modo deslizante

numavizinhança do subespaço S se existir umafunção E (s , x, t)que satisfaça as seguintes condições[8]:

E(s,x,t) > O

st»,«, t) < Ol'Vs I s * O, 'Vx, 'VI

(6)

B

D

A

cE(O,x,t) =0.

Uma vez que o estado atinja a superfície dedescontinuidade S. e continue sobre ela, supostamentecom uma freqüência de comutação tão grande quanto seqirirn.adiúimicatamreillilX2xhmd:spllânelra; a l' a"2' a,,]e passa a depender somente de g =1gl g2 g" .Portanto, se o deslizamento ocorre e os parâmetros dosistema não violam as condições de existência queasseguram o deslizamento, a -função de transferência dosistema em malha fechada independe dos parâmetros daplanta.O deslizamento do estado do sistema (3) na vizinhançado subespaço S existe se. [8]:

Fig 1 Estrutura do CMAC com duas entradas.

{Aa, Ab, Ba, Bb } . O outro peso está associado a umdos intervalos { Cc, Cd, De, Dd }da segundaquantização.

A saída do CMAC é definida pela eq(8):

(8)

Id

aI

f = t Wii = 1

(7)u+(x,t) < -gAxu-(x,t) > -gAx

3 O CMAC

sendo que Wi são os pesos escolhidos pelas quantizaçõespara algum vetor x E X. -Definimos a regra para o treinamento do CMAC na

eq(9):

Desenvolvido por Albus na década de 70, o CMAC éuma rede neural inspirada no cerebelo de mamíferos que

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4 RESULTADOS E SIMULAÇÃO

r é o valor desejado para a saída f associada a um vetorde entrada x E X, w(k) são os pesos cuja soma produz fe p é uma constante positiva sendo que usualmentePE(O,I].

A proposta de um controlador robusto inteligente foiaplicada na estabilização de um pêndulo invertido. A Fig2 mostra um esquema do sistema físico . O CMAC usadopossui quatro entradas, referentes às componentes dovetor X que é o estado do modelo linearizado escrito naforma canônica controlável conforme a eq(3) . O conjuntode parâmetros usados para simulação é definido por:

y

(9)w(k + 1) =w(k) + â w(k)

â w(k) = (r - f(k))P

g = 9,8 NtkgM = .1,0 kgm = 0,1 kgI = 0,5 m

A lei de controle escolhida é dada por

U "(x, t) - f - kll xii,- f + kll xii,

(11)

Fig 2 Diagrama do pêndulo invertido a ser controlado.

do CMAC não está ajustada para aproximar o estado dasuperfície de descontinuidade e a magnitude de s = gxtende a aumentar. Ao final de algumas iterações detreinamento f aproxima-se de gAx, as condições deexistência passam a valer e a ocorrência do deslizamentodepende somente do estado ultrapassar a superfície dedescontinuidade pela primeira vez. Quando o estado atingea superfície de descontinuidade a saída do CMAC já ésuficientemente acurada e, acordo com as condições deexistência de modos deslizantes (7), para garantir odeslizamento a lei de controle (4) deve ser tal que:

f = t1= 1

(12)U + < - gAxu " > - gAx (14)

â w - u - f),P

(13)e, nesta aplicação,

U + < - gAx - kll xiiu - > - gAx + kll xii (15)

Como a saída do CMAC, f, deve reproduzir a quantidadegAx, se

.g é um vetor cujos elementos são coeficientes dopolinômio mônico D(i..) que possui raízes( - 5, - 6, -7); R é uma aproximação para i; k é umaconstante positiva e tem uma influência fundamental narobustez inerente ao modo deslizante. Supondo que oestado está distante da origem, a quantidade k II xiigarantirá a validade das condições de existência se f nãoestiver próximo o suficiente de r =gAx. Inicialmente,quando o estado está distante da origem, a saída

I f - gAxl < kll x]]

as condições para existência do deslizamento são

(16)

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32,521,5t (5)

0,5

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Fig 3 Gráfico d 8 Xl durante os primeiros 3s desimulação.

Fig 5 Gráfico de x3 durante os primeiros 3s desimulação.

2,5 321,51(5)

0,5

f\ . . . . . . . . . ; . . .

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1 ; . .; . .;

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0,02 I ..01/ ; ..::fV ·.··.· .4000 --:_.., o

Fig 4 Gráfico de x2 durante os primeiros , 3s desimulação.

Fig 6 Gráfico de x4 durante os primeiros 3s desimulação.

satisfeitas e a robustez é garantina. As Fig 3, Fig 4, Fig5, e Fig 6 mostram o desempenho do controladorproposto. Neste trabalho, p '" 4, cada partição divide oseixos coordenados em 30 intervalos e p = 0,90. OCMAC é treinado a cad a li = Zms e, durante esseperíodo segura-se o valor de f usado em (11) . A plantafoi simulada por 10s a partir do estado inicial

regime permanente em modo deslizante, uma situaçãoreconhecidamente estável e robu sta a incertezas nosparâmetros da planta.Corno proposta para estudos futuros pode-se mencionar

a análise heurística e/ou teórica do comportamento dosistema de controle na presença de variações nosparâmetros do processo durante a fa se de con trole.

Xo = [ - 0.0233 - 0.0061 - 0 .3389 0. 3963 fe valores de k no intervalo [ 5, 10] mostraram-sesatisfatórios.

5 CONCLUSÃO

Neste trabalho, uma metodologia de controle inteligenterobusto foi proposta. Con statou-se que a extrema rapidezdo processo de treinamento do CMAC possibilita aaquisição de conhecimento sobre a dinâmica da planta deforma on line, e com acuidade suficiente para atingir

REFERÊNCIAS

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[5] H. TolIe and E. Ersü . Neurocontrol. Springer-Verlag,New York, 1992.

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[7] M. Brown and C. Harris. Neurofuzzy adaptívemodelling and control. Prentice Hall , 1994

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