CONTROLADOR PROPORCIONAL, INTEGRAL E DERIVATIVO … · •Chute Derivativo (Derivative Kick)...
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CONTROLADOR PROPORCIONAL, INTEGRAL E DERIVATIVO (PID)
AÇÕES DE CONTROLE
• O controlador PID é um controlador composto
por três ações de controle
• Ação proporcional: 𝑢 𝑡 = 𝑘 𝑒 𝑡
• Ação integral: 𝑢 𝑡 = 𝑘 0
𝑡𝑒 𝑡 𝑑𝑡
• Ação derivativa: 𝑢 𝑡 = 𝑘𝑑𝑒 𝑡
𝑑𝑡
AÇÃO PROPORCIONAL
• A ação proporcional segue a lógica de que quanto
maior o erro do sistema, maior deve ser a atuação necessária para minimizar esse erro.
• Em geral, aumentar a ação proporcional diminui o erro em estado estacionário, mas não o elimina.
• Um ganho proporcional alto pode levar à saturação do sinal de controle
AÇÃO INTEGRAL
• A ação integral parte do princípio de que se o erro
não está diminuindo, a ação de controle deve
aumentar.
• Dessa forma, a saída de controle é proporciona ao
erro acumulado.
• Pode gerar problemas quando o erro acumulado se
torna muito grande.
AÇÃO DERIVATIVA
• A ação derivativa é proporcional à velocidade com
que o erro varia. A ação é muito alta quando existe uma variação brusca do erro (degrau) e nula quando o erro é constante.
• Quando o ganho é negativo e pequeno, pode ser utilizado para “frear” a ação de controle.
• É muito sensível ao ruído, muitas vezes sendo melhor não usar em sinais ruidosos.
EQUAÇÃO DO CONTROLADOR PID
Equação Diferencial
𝑢 𝑡 = 𝑘𝑝 𝑒 𝑡 + 𝑘𝑖 න
0
𝑡
𝑒 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑘𝑑𝑑𝑒 𝑡
𝑑𝑡
Função de Transferência:
𝑈 𝑠
𝐸 𝑠= 𝑘𝑝 + 𝑘𝑖
1
𝑆+ 𝑘𝑑 𝑠
CONTROLADORES BASEADOS NO PID
• Removendo ações do controlador PID, temos
outros controladores:
• Controlador P (Proporcional)
• Controlador PD (Proporcional e Derivativo)
• Controlador PI (Proporcional e Integral)
CONTROLADOR P
• Não consegue estabilizar processos de ordem
elevada.
• Valores de ganho elevado diminuem o erro de
estado estacionário, mas isso só é aconselhável em sistemas estáveis em MA.
• São utilizados quando um erro constante pode ser tolerado,
CONTROLADOR PD
• A parcela derivativa funciona como uma predição
do erro (o erro vai aumentar ou diminuir)
• Normalmente se utiliza a derivada da leitura do
sensor e não do erro.
• É utilizado, normalmente, para controlar objetos
que se movem, como barcos e foguetes.
CONTROLADOR PI
• A ação integral leva a eliminação do erro em estado
estacionário, porém torna o sistema menos estável.
• É muito usado na indústria, principalmente quando
a velocidade da resposta não é um problema e
quando existe muita perturbação ou atraso de
tempo.
CONTROLADOR PID
• O controlador PID tem todas as características dos
demais:
• Ação rápida à mudança (D)
• Erro em estado estacionário nulo (I)
• Eliminação de oscilações (P)
CARACTERÍSTICA DOS PARÂMETROS DO CONTROLADOR PID
ParâmetroTempo de
SubidaOvershoot
Tempo de
AcomodaçãoErro em E. E. Estabilidade
Aumentar 𝑘𝑝 Diminui Aumenta Muda Pouco Diminui Piora
Aumentar 𝑘𝑖 Diminui Aumenta Aumenta Diminui Muito Piora
Aumentar 𝑘𝑑 Diminui Pouco Diminui Pouco Diminui Pouco Não AfetaSe 𝑘𝑑 é pequeno
melhora
PROBLEMAS COMUNS DO CONTROLADOR PID
• Implementado de maneira trivial, o controlador
PID apresenta alguns problemas, como por
exemplo:
• Chute Derivativo (Derivative Kick)
• Wind-up
• Não Causalidade
CHUTE DERIVATIVO
• Mudanças de set-point são muito comuns em
processos industriais e, em geral, essas mudanças são feitas como funções degrau.
• Essas mudanças bruscas geram ações derivativas muito altas (chute derivativo).
• Dessa forma, é comum utilizar apenas a derivada da leitura do sensor na parte derivativa.
WIND-UP
• O termo integral realiza uma acumulação do erro,
mas muitas vezes esse erro acumulado pode ser
tornar muito grande.
• Essa problema faz com que a parte integral
continue atuando mesmo quando o erro seja zero,
visto que o erro acumulado não “descarregou”.
WIND-UP
• O wind-up torna o sistema oscilatório e, muitas
vezes, instável.
• Existem diversas técnicas de anti wind-up, como
limitar o erro acumulado ou apenas “ligar” a parte
integral quando o valor absoluto do erro é
pequeno.
NÃO CAUSALIDADE
• Um controlador PID possui mais zeros que polos,
de forma que não pode ser implementado.
• Uma forma de resolver esse problema é adicionar
um polo à parte derivativa. Se esse polo estiver
distante dos demais polos, sua influência no sistema
é pequena.
NÃO CAUSALIDADE
• Esse polo pode ser utilizado como um filtro para
diminuir o ruído, melhorando a ação derivativa,
numa técnica chamada de “filtro derivativo”. Nesse
caso, a ação derivativa é substituída por:
𝑘𝑑 𝑠
𝑘𝑑𝑁
𝑠 + 1
Com 𝑁 entre 3 e 20 (tipicamente utiliza-se 10)
VARIAÇÕES
• É muito comum que no lugar de 𝑘𝑝 , 𝑘𝑖 e 𝑘𝑑 sejam
utilizados os parâmetros 𝑘𝑝 , 𝑇𝑖 e 𝑇𝑑 onde:
𝑘𝑝 = 𝑘𝑝
𝑘𝑖 =𝑘𝑝
𝑇𝑖
𝑘𝑑 = 𝑘𝑝 𝑇𝑑
SINTONIA DE PID
• Características desejáveis do controlador:
• Resposta rápida
• Rejeição a perturbações
• Insensível a erros de modelagem e erros de medição
• Evitar ação de controle excessiva
• Controla em uma ampla faixa de pontos de operação
SINTONIA DE PID
• Existem diversas formas de realizar a sintonia de
um controlador PID:
• Tentativa e erro
• Métodos de Tabela (Ziegler-Nichols)
• Síntese Direta
• Otimização
MÉTODO DE ZIEGLER NICHOLS DE MF
1. Fazer 𝑘𝑖 = 0 e 𝑘𝑑 = 0
2. Aumentar o valor de 𝑘𝑝 até a resposta ficar
oscilatória com amplitude estável. O valor de 𝑘𝑝que torna o sistema oscilatório é chamado 𝑘𝑢 (é a
margem de ganho do sistema).
3. Com o sistema oscilatório, mede-se o período de
oscilação 𝑇𝑢
4. Jogar os valores de 𝑘𝑢 e 𝑇𝑢 em uma tabela e obter
os parâmetros do controlador.
MÉTODO DE ZIEGLER NICHOLS DE MF
Tabela – Método de Ziegler Nichols
Controlador 𝒌𝒑 𝒌𝒊 𝒌𝒅
P 0,5 𝑘𝑢 - -
PI 0,45𝑘𝑢 𝑇𝑢/1,2 -
PD 0,8𝑘𝑢 - 𝑇𝑢/8
PID 0,6𝑘𝑢 𝑇𝑢/2 𝑇𝑢/8
PID (algum overshoot) 0,33𝑘𝑢 𝑇𝑢/2 𝑇𝑢/3
PID (nenhum overshoot) 0,2𝑘𝑢 𝑇𝑢/2 𝑇𝑢/3
SINTONIA - 𝜆
• Considerando que existe um bom modelo do
processo a ser controlado
• Considerando uma FT de MF na forma:
𝐺𝑀𝐹 𝑠 =1
𝜆𝑠 + 1
• Define-se um parâmetro 𝜆 tal que 𝜆 > 3𝜏 e 𝜆 ≫ 𝜃
SINTONIA - 𝜆
Modelo 𝑲𝒑 𝑻𝒊 𝑻𝒅
𝑘
𝜏𝑠 + 1
𝜏
𝑘𝜆𝜏 -
𝑘
(𝜏1𝑠 + 1)(𝜏2𝑠 + 1)
𝜏1 + 𝜏2𝑘𝜆
(𝜏1 + 𝜏2)𝜏1𝜏2
(𝜏1 + 𝜏2)
𝑘
𝜏2𝑠2 + 2𝜁𝜏 𝑠 + 1
2𝜁𝜏
𝑘𝜆2𝜁𝜏
𝜏
2𝜁
𝑘
𝑠(𝜏𝑠 + 1)
1
𝑘𝜆- 𝜏
OTIMIZAÇÃO
• Utilização de um método de otimização (como
algoritmos genéticos) para encontrar parâmetros
adequados para o controlador PID
• Depende de um bom modelo, que explique bem a
dinâmica da planta.