Control de Calidad i Corte

7/29/2019 Control de Calidad i Corte

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CONTROL ESTADSTICO DE PROCESOS

Universidad del magdalena

Material educativo I

1

1. Un proceso productivo consume solo el 75% del ancho de banda de lasespecificaciones y cada hora se producen 500 unidades.

a) Cuntos productos no conformes por hora arroja el proceso cuando su mediaesta a una desviacin estndar del valor nominal?

b) Qu tan alejada puede estar la media del proceso respecto al valor nominalpara que al cabo de una hora se hayan producido 25 unidades defectuosas?

c) Si el Cp del proceso se redujera en un 25%, Cul es la mxima probabilidad deencontrar a lo sumo dos productos no conformes durante la produccin de lasprximas dos horas?

Solucin 1 (segn Vicente Carot Alonso, control estadstico, Pg 457)

Grafica del problema: proceso con media separada a una desviacin estndar

del valor nominal.

a) Sabemos que: m i n

Pero Donde Por otra parte el ancho de banda es:

Por todo lo anterior:


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2

Como es de nuestro conocimiento y adems se ilustra en la grafica: Por tanto, si observamos la situacin segn se plantea en este ejemplo(vergrafica):

Por otra parte y de forma parecida:

Entonces:

m i n min

min

Ahora veamos cual es la probabilidad de que ocurra un producto noconforme:

Calculando las probabilidades individualmente

La otra probabilidad es:


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3

Esto es:

Sumando las 2 probabilidades calculadas se obtiene:

Si se producen 500 productos/hora la cantidad de producto no conformeen una hora es:

Se puede esperar que este proceso arroje 1 producto no conforme por horade produccin.

Este problema se puede abordar de otra manera:

Solucin 2:

Sabemos que:

min Pero si se mira desde el LIE Ahora el ancho de banda es:

Para el limite inferior se tiene la siguiente situacin:


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4

Al reemplazar

Entonces:

Entonces para el lmite ms cercano (superior) a la media del proceso setiene:

Al reemplazar a Entonces:

m i n min

min

De aqu en adelante se procede de la misma forma que con el mtodoanterior.

b) Para que ocurran 25 unidades defectuosas se debe cumplir que.

Reemplazamos a

Se obtiene el valor Z de una tabla o de Excel.Reemplazamos a Z


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5

Tomamos el valor crtico que es cuando se cumple la igualdad

Adems: Igualamos (1) y (2).

La media del proceso debe estar alejada del valor nominal para quese produzcan 25 productos no conformes en una hora.

c) Si se reduce el Cp en un 25%

Para el lmite inferior se tiene la siguiente situacin:

Al reemplazar

Entonces:

Entonces para el lmite ms cercano (superior) a la media del proceso setiene:

Al reemplazar a Entonces:

m i n

min

minLas probabilidades relacionadas son las siguientes:


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6

La otra probabilidad es:

Esto es:

Sumando las 2 probabilidades calculadas se obtiene:

Ahora observemos que lo que se pide se puede analizar como experimentode Bernoulli donde nuestro xito es que ocurra un producto no conforme.

Sea X=numero de productos no conformes en los siguientes 1000 ensayos

Se puede aproximar a una distribucin normal mediante la siguienteformula

Luego,


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2. Cosmetic Cohenes una prestigiosa empresa lder en cosmticos. Cohen s es unlabial y es el producto ms importante de la empresa. El proceso de corte de Cohens se ajusta a una distribucin normal y se conoce que el .2328% de loslabiales tienen una longitud que excede los 105mm, mientras el 30.8537% excedelos 103mm. Las especificaciones con las que deben cumplir la longitud de loslabiales son 100.510.5mm. Durante la produccin, una vez cortado el labial y encaso de que su longitud exceda el lmite superior, esta se podra reducir para quecumpla con las especificaciones.

La produccin de cada labial genera un costo de $2 dlares y cada unidad se vende

en $20 dlares. Si es necesario recortar un labial se incurre en un costo de $0.5dlares en una operacin que tiene una efectividad del 80%, pero aplicable unanica vez en cada labial. Cada unidad no conforme pasa a ser parte de la materiaprima de otros productos, pero se incurre en un costo de $1.5 dlares.

Suponga que mensualmente los costos y gastos fijos son de $15 000 dlares.

a) Realice un estudio detallado del proceso de corte del Cohen s donde semuestre: Porcentaje de productos no conformes. Capacidad del proceso y capacidad real del proceso, adems sus

interpretaciones. Tipo de proceso y recomendaciones.

b) Calcule el costo de produccin promedio de un labial conforme y el punto deequilibrio de Cohen s.c) Determine el mnimo Cp que permitir que estando el proceso de corte

centrado, el producto tenga un punto de equilibrio por debajo de 839 unidades.

d) Se sospecha que la media de la longitud de los labiales ha cambiado debido aldesgaste de una pieza de la herramienta de corte, por tal motivo se tomaron 25labiales al azar y se encontr que la media en la longitud fue de 97.648mm. Sepuede concluir que existe evidencia que indique que la media ha cambiado?

e) Se toman 4 muestras, cada una de 25 labiales escogidos al azar. Cul es laprobabilidad de que en al menos dos muestras la media en la longitud de loslabiales exceda los 102mm?

Solucin:


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8

Adems

Igualamos (1) y (2)

De (1)

a) min

min

min


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Conclusin: El proceso no es capaz, se estn produciendo productos noconformes por ambos limites pero en mayor proporcin por el lmiteinferior, el proceso es tipo 4, es necesario hacer una anlisis completo yredisear el proceso para que pueda cumplir con las especificaciones.

b)

c) Si el proceso est centrado entonces:

Entonces el costo es:

El precio de venta promedio es:


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Y por tanto

3. Happy Time es una tienda de regalos y alguno de sus clientes han presentadoquejas por fallas en los globos inflables, pues no soportan la presin del aire dellenado y estallan antes de estar totalmente inflados.

Carita Feliz es el gerente de Happy Timey ha llamado a su proveedor de globospara que rinda cuentas por las fallas que presenta su producto. El proveedorentrega la siguiente informacin relacionada con el proceso de produccin de losglobos: proceso bajo control estadstico, diseado y monitoreado con tamaos de

muestra 6. Presenta una media de 200mm en el radio mximo que tomaran losglobos una vez inflados y un rango promedio de 20.272mm. Segn el proveedor,las especificaciones de calidad con las que deben cumplir el radio mximo de losglobos son 180mm y 210mm a una presin de 100 psi.

Con la informacin anterior ayude a Carita Feliz a resolver los siguientesinterrogantes y cuestionamientos.

a) Cul es el ndice de capacidad del proceso? Puede cumplir con lasespecificaciones?

b) Cul es la capacidad real del proceso? Qu tipo de proceso es?c) De no cumplir con las especificaciones, Cul es el porcentaje de globos no

conformes? Se puede reducir este valor? Cmo y cul seria la mejora?


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d) Cul es el porcentaje de productos no conformes que se producen por encimadel limite superior cuando por debajo del limite inferior se esta produciendoun 2%?

e)

Cul es el rango de valores en los que puede mover la media del proceso defabricacin de los globos para que se produzcan al menos el 88% de globosconformes a las especificaciones?

f) Cul es el mnimo Cp que permitir que el proceso estando centrado,produzca a lo sumo un 2% de globos no conformes?

g) Se toman 10 globos al azar, Cul es la probabilidad de que no mas de la mitadde ellos fallen por no soportar la presin de 100 psi?

4. Un proceso produce solo un 85% de productos c n zgh 1||onformes.Determine su Cp si se conoce que el porcentaje de productos no conformes por un

lado es el doble del porcentaje que hay por el otro.

Solucin:

para el lmite superior supongamos que por aca se arroja una proporcin P deproductos no conformes, entonces:

Entonces:

Se obtiene Z de la tabla

Para el lmite inferior supongamos que por aca se arroja una proporcin 2P de no

conformidades.

Entonces

Sumando (1) y (2)


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Ahora

5. Wonkaes una chocolatera. La calibracin del peso de las barras de chocolate se havuelto un dolor de cabeza para la empresa. Las especificaciones en el peso mnimoy mximo de las barras son 11.2g y 15.8g respectivamente. Actualmente seproducen 11.5069% y 3.0974% de barras de chocolate que no cumplen con lasespecificaciones en el peso; el primer porcentaje supera al valor mximo permitidoy el segundo porcentaje est por debajo del mnimo valor permitido.

Se va a adquirir una nueva maquinaria que incrementara el Cp actual en un 60% ytendr un costo de $500 millones.

Wonkaopera en dos turnos diarios de 4 horas cada uno, 20 das al mes y su tasa deproduccin es 600 barras de chocolate por hora. La produccin de cada unidad lecuesta $400 y toda unidad no conforme se devuelve a la cadena productiva, peroantes se penaliza con un costo igual al 40% del precio de venta de cadachocolatina.

a) Cul es el precio de venta que permitir que la nueva maquina se pague asmisma en 5 aos?b) Determine el Cp que debera tener el proceso una vez centrado, para que el

costo promedio de producir una unidad conforme sea de $420 y a su vez losingresos por venta sean maximizados. Tenga en cuenta que Wonka vende cadaunidad en $500 y tiene actualmente una demanda de 700 mil chocolatinas,pero por cada peso que se disminuya en el precio de venta la demandaaumentara en mil unidades.

6.En que porcentaje se debe aumentar el Cp de un proceso para que variabilidadse reduzca en un porcentaje 1-?Solucin:La variabilidad est representada por sigma, por tanto, la reduccin de laLa condicin inicial es:

variabilidad es: ) Ademas, Al reemplazar el nuevo sigma


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Completando cuadrados

7. Un proceso de manufactura tiene un tolerancia de 60 y solo es consumida el 80%

de sta. La media del proceso es 214 y est 1.75 desviaciones estndares porencima del valor nominal.

a) Cul es el porcentaje actual de productos no conformes?b) Qu valores en la media del proceso permitirn que se produzcan al menos el

95% de productos conformes?c) Qu valor mnimo del Cp permitir que el proceso estando centrado produzca

al menos el 95% de productos conformes?

Solucin:

a)


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, entonces al reemplazar y despejar

Si esta a 1,75 desviaciones por encima del valor nominal, es obvio que se encuentra mascercana al LSE o sea que es ms probables que ocurran no conformidades por encima delLSE que por debajo del LIE.

De la grafica se puede inferir que:

Ahora bien:

m i n Al reemplazar:

m i n

min

Vemos que las no conformidades ocurrirn por el LSE como se sospechabaen un principio:

Remplazando valores:

b) Si el proceso esta movido a la derecha del valor nominal se analizaran los

valores de que satisfacen esta condicin inicial y que generan unaproporcin de conformidades mayor al 95%.

Sabemos que: PC+PNC=1 si PC=0,95, entonces PNC=0,05


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Despejando Reemplazando los valores correspondientes

Sabemos que el valor nominal es:

Como:

Al reemplazar el LSE

Si el proceso esta movido a la izquierda del valor nominal se analizaran losvalores de que satisfacen esta condicin inicial y que generan unaproporcin de conformidades mayor al 95%.Sabemos que: PC+PNC=1 si PC=0,95, entonces PNC=0,05

Despejando Sabemos que el valor nominal es:

Como:


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Al reemplazar el LSE

Por tanto, para obtener al menos un 95% de productos conformes, se debemantener en el siguiente intervalo.

c) Como el proceso est centrado, se debe suponer que las probabilidades dedefectos por el LSE son iguales a las probabilidades de no conformidades delLIE.Sabemos que: Digamos que por cada lmite de especificacin se arroja una proporcin P deno conformidades, como se desea un 95% de conformidades, entonces se debeplantear lo siguiente:

Para el LSE

Para el LIE

Igualando


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Luego

8. Cul es el Cp de un proceso que produce un 10% de productos no conformes, sipor fuera de uno de los lmites de especificacin hay un 6% ms de productos noconformes que por el otro?

Solucion:

En este caso se debe plantear que:

Para el lmite superior supongamos que este es el que est arrojando mayor cantidad dePNC.

Para el LIE

Igualando Luego


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9. El Campen es un famoso y reconocido veneno en la lucha contra insectos y

roedores. En sus principios no era mas que un simple matarratas, pero en laactualidad su uso se extiende hasta algunos insectos no deseados en el ambientedomestico.

El porcentaje de arsnico presente en el producto condiciona la calidad yefectividad de ste. El producto con un contenido entre 16% y 24% de arsnicos sela da la calificacin C y es el ms comn en el mercado contra roedores; Lacalificacin B se le da al producto con contenido entre 24% y 28% de arsnico ydebido a su alta concentracin es utilizado para evitar el crecimiento bacteriano yla proliferacin de mosquitos en lugares hmedos; La calificacin A se le otorga al

producto cuyo contenido de arsnico oscila entre 10% y 16% y es usado en lalucha contra cucarachas, las cuales detectan con facilidad las altas concentracionesde arsnico, pero son presa fcil a las bajas concentraciones.

El producto con porcentaje de arsnico por debajo del 10% debe ser enriquecidobajo un proceso cuya efectividad es del 70% y tiene un costo de $5000 porkilogramo procesado. Por otro lado, es un muy costoso para le empresa tener unproducto con un porcentaje de arsnico por encima del 28%, por lo que debe sersometido a un empobrecimiento y menguar la alta riqueza de arsnico presente enl; este proceso es efectivo en un 80% y tiene un costo de $ 3000 por kilogramo de

sustancia. Los residuos de los dos procesos anteriores son tratados para suaprovechamiento y las sustancias recuperadas pasan a ser nuevas materias primasde otros productos, es este proceso se carga un costo de $1000 por kilogramo.

El proceso productivo de El Campen es un poco complejo, en este es creada unamezcla altamente viscosa que no alcanza la total homogeneidad. Despus delproceso de deshidratacin se forma una masa solida llamada sustancia base. Por laforma como es divida esta masa para su procesamiento y en base a estudiosrealizados con anterioridad, se conoce que el porcentaje de arsnico se halladistribuido ajustndose a una distribucin normal con media de 20% de arsnico yuna desviacin estndar del 5%. Diariamente son procesados 100Kg de sustancia

base en lo que se genera un costo de $.. La clasificacin en sus diferentescalidades y otros procesos realizados a la sustancia base generan otros $..El Campenen calidades A, B y C es distribuido en diferentes presentaciones: lacalidad C se distribuye al menudeo en sobres de pastillas de 20g y su precio deventa es $1000; mientras que las calidades A y B se distribuyen en grandesalmacenes en envases plsticos de 250g del producto en polvo. La calidad A tieneun precio de venta de $ 30.000 y la B de $ 27.500.

a) Cual es el ndice de capacidad del proceso?b) Cul es el costo promedio de produccin de 1 Kg de sustancia apta paracomercializar?


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c) Cul es la utilidad bruta esperada por cada Kg de sustancia comercializada?d) Centrar el proceso productivo favorece a una mejora para ste? Por qu?e) Se estudian dos propuestas que buscan mejorar desde el punto de vista

econmico la situacin actual del proceso productivo del producto.

Incrementar en un 2% el porcentaje promedio de arsnico en lasustancia base.

Disminuir en un 2% el porcentaje promedio de arsnico en la sustanciabase.

Se tomaran como criterios de decisin:

Costo promedio de produccin de sustancia comercializable. Utilidad bruta promedio de sustancia comercializable.

Ignorando los costos de implementacin de las propuestas, para cada criteriotome una decisin.

f) Una maquinaria nueva aumentara la capacidad del proceso actual en un 25%,pero su alquiler mensual seria de $.. Vale la pena alquilar la maquinanueva? Suponga que se labora 20 das al mes.Solucion:

a)

m i n

m i n min

b)Costos C. de produccion y clasificacion C. de aumentar el C.de disminuir el porcentaje C. de reaprovechamiento de sustancias


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Costoskg

kg C $

kg C $

kg

(C C) $kgCalculemos Cy C.

C z C z z

Por otro lado

C z LE C z LE

C z

Al reemplazar los valores se obtiene

Costoskg kg $kg $kg ( ) $kg

700000+113,5+0,3+8,33=70295

10.Usted es el gerente de produccin de la prestigiosa empresa de licores Lacra. Laestimacin de la media y variabilidad del volumen de llenado de las botellas de

750ml se realiza mensualmente en base a la toma de mil muestras, cada una de


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tamao 4, durante diez das. Las especificaciones en el volumen de llenado de estasbotellas admite un error mximo de 10ml.

Durante los primeros 8 das se han tomado 750 muestras y los resultados fueronuna media de 744ml con un rango promedio de 8.236ml. Usted aunque aun tienetiempo para terminar el muestreo decide no completarlo para ahorrarse esedinero y en su remplazo simular la toma de los muestras restantes para luegopresentar su informe donde mostrar que la media en el volumen de llenadocumple con el valor nominal y que la variabilidad del proceso es 3 ml.

Informacin del departamento de costos muestra que el llenado de cada envase lecuesta a la empresa $1000 y los errores en ste son solucionados de maneramanual por operarios especializados y se carga un costo por unidad de $200.

Durante el muestreo se puede volver a calibrar la maquina si la media en elvolumen de llenado no es el valor nominal; pero dicho procedimiento necesita deuna cantidad de tiempo significativo, durante el cual se perdera mucho dinero alparar la cadena productiva, as de ser necesaria la calibracin se hara una nicavez y segn el departamento de costos esto costara alrededor de $..Lacra produce mensualmente 2500 cajas de 12 botellas cada una y se desea sabersi su manera de actuar fue o no fue acertada, por lo que es necesario dar respuestaa los siguientes interrogantes.

a) Cul debe ser la media y el rango promedio de los datos simulados quepermiten presentar los resultados del informe?

b) Qu se puede concluir y esperar del proceso de llenado a la luz de lainformacin presentada por usted?

c) Cul es la situacin real del proceso?d) A pesar de que usted minti en la presentacin de los resultados, lo hizo en

busca de un beneficio econmico para la empresa?e) Determine el mximo costo de la calibracin por debajo del cual su manera de

actuar es totalmente deshonrosa para con la empresa.

11.Demuestre que:a) b) c) para todo proceso centrado.Solucion:

a) Sabemos que:


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Por tanto,

b) Sabemos que:

c) Si el proceso est centrado entonces.

Para el LSE

O lo que es lo mismo

Para el LIE


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1.a) 0.675b) 2.355c) 0.4936

2.a) ;%PNC=8.1166%;

Cp=0.5833; Cpk=0.5555;Tipo 4.

b) .$. . c) Cp(min)=0.655d) .e) 0.01285

3.a) 0.625; Nob) 0.41666; Tipo 4

c) 11.1859%; SI; 5.10667% Unavez centrado.

d) 4.4919%e) .. f) 0.7754g) 0.9997247

4. Cp=0.48755. .

a) P=$535.64b) Cp=0.722

6. .7.

a) 2.275%b) .. c) Cp(min)=0.65332

8. Cp=0.601669.

a) Cp=0.6


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b) $.c) $.d) Si,

e) Ninguna 2%f) Si10.

a) b) Cp=1.111; %PNC=0.0853%;

Tipo 2 y Centrado.c) Cp=0.8333;

%PNC=15.866%; Tipo 3 ydescentrado.

d) Sie) $877440

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