Control Automatico

UCSM - FCIFF – PPIE Control Automático I

80

QUINTO CAPÍTULO

ESLABONES TÍPICOS

5.1 ESLABON FUNDAMENTAL

Se denomina eslabón fundamental o típico a los componentes característicos de una función de

transferencia presentada de manera normalizada, para ello la función de transferencia deberá

haber sido factorizada y los términos independientes de cada factor puestos a uno, por lo tanto

de manera general presentará la siguiente forma:

∏

∏

∏ ∏

Donde podemos distinguir los siguientes eslabones

K: constante

: derivador de primer orden

: derivador de segundo orden

(p<0) = : derivador ideal de orden p

(p>0): integrador ideal de orden p

1/( : integrador de primer orden

1/( : integrador de segundo orden

Es necesario indicar que toda función de transferencia puede descomponerse a partir de estos

eslabones típicos, reconocer los mismos facilita el comprender el comportamiento del sistema

como una combinación o superposición de los comportamientos individuales. Vamos ahora a

analizar las características de cada uno de los eslabones típicos a partir de un conjunto de

criterios o métodos.

5.2 CARACTERIZACIÓN DEL COMPORTAMIENTO

a) Aporte cero-polar

La función de transferencia de un sistema "G(s)",según se ha visto, es la razón (división) de las

transformadas de Laplace de la respuesta y la entrada del modelo matemático que representa al

sistema. El modelo debe:

ser lineal (o estar linealizado),

estar en la forma "entrada / salida" y

estado inicial cero

En estas condiciones, la función de transferencia es una razón de polinomios Q(s)/P(s), donde el

denominador es común a todos los términos que pudiese tener la función de transferencia.

Los ceros del sistema son las raíces del polinomio Q(s) o numerador de la FT, es decir son los

valores de s que hacen que G(s) tome valor cero. Asimismo los polos del sistema, son las raíces

del polinomio P(s) o denominador de la FT, es decir son los valores de s que hacen que G(s) sea

indefinida, veremos más adelante que los polos definen el comportamiento global del sistema,

así como su estabilidad.

b) Respuesta temporal

http://www.ing.uchile.cl/~iq57a/1_5diagblocmodel/diags_bloc.htm


81

Se denomina respuesta temporal de un sistema a la salida del mismo en función de la entrada, la

característica dinámica de un sistema físico, hace que esta respuesta normalmente se modele a

partir de una ecuación diferencial.

Matemáticamente, sea G(s) la función de transferencia de un sistema, u(t) la entrada o estímulo

(U(s)=L{u(t)}), la salida y(t) de la misma se calcula de la siguiente manera:

Y(s) = G(s) U(s) con U(s)=L{u(t)}

y(t) = L-1

(Y(s)) = L-1

(G(s) U(s))

siendo L el operador transformada de Laplace y L-1

el operador transformada inversa de

Laplace respectivamente.

c) Respuesta transitoria

Es la respuesta temporal cuando la entrada es el escalón unitario (que se usa como entrada

patrón para comparar las diferentes respuestas), definido como:

0 0( )

1 0

tu t

t

Figura 5.1 Escalón unitario

d) Diagrama Polar

Representación de la función de transferencia senoidal, G(jω) , en coordenadas polares, para

variaciones de ωentre 0 e ∞. Lugar de los vectores: G( jω) ∠G( jω)

Figura 5.2 Diagrama polar

Al diagrama polar también se le conoce como Diagrama de Nyquist.

e) Diagrama de Bode o Característica logarítmica de Amplitud-Fase (CLAF)

Un diagrama de Bode consta de dos gráficas, una para la amplitud de salida y otra para el

desfase de salida. Se los denominará respectivamente diagrama de ganancias y diagrama de

fases. Los dos diagramas representan las frecuencias de forma logarítmica en el eje de abscisas

empleando rad/s.

El diagrama de ganancias representa en el eje de ordenadas la amplitud de la señal de salida

transformados a decibelios.


82

20log ( )G j

El diagrama de fases representa en el eje de ordenadas el desfase de la señal de salida en grados.

Fas(G(wj))

En el eje logarítmico de frecuencias se denomina década a cualquier intervalo que va desde una

determinada frecuencia hasta otra diez veces mayor.

5.3 ESLABÓN CONSTANTE, PROPORCIONAL O GANANCIA K (K)

u(t) y(t)

U(s) Y(s)

Figura 5.3 Eslabón constante

Un componente tiene un comportamiento proporcional si amplifica o reduce la señal de entrada

proporcionalmente, es decir, la salida es igual a la entrada multiplicada por un factor o ganancia

K.

a) Aporte cero polar

No tiene raíces, pues los polinomios del denominador y numerador son de orden cero.

b) Respuesta Temporal

y(t)=K.u(t)

b) Respuesta Transitoria

Es típico analizar la respuesta cuando se aplica en la entrada un escalón unitario, que es una

señal que pasa bruscamente de 0 a 1. Como la respuesta es igual a K por la entrada, resulta un

valor constante K como respuesta.

Figura 5.4 Respuesta transitoria del eslabón constante

c) Diagrama Polar

G(ωj)=K luego ReG(ωj)=K ImG(ωj)=0

Figura 5.5 Diagrama polar del eslabón constante

K


83

e) Diagrama de Bode

Una ganancia se limita a amplificar o a atenuar la entrada sin introducir retrasos o adelantos en

la señal de salida. Por tanto, es de esperar que el diagrama de Bode de una ganancia sea nulo en

fases y no nulo en amplitud.

( )G s K s j

20log ( ) 20log

( ) ( ) 0o

G j K

G j K G j

Al aplicar a su entrada una señal senoidal devuelve otra señal idéntica (excepto en amplitud),

independientemente de la frecuencia, por lo que el diagrama del módulo es una recta horizontal.

La ganancia (cociente entre amplitud de salida y entrada) coincide con el factor K y el módulo,

constante, es igual al logaritmo de K multiplicado por 20. No produce desfase por lo que el

diagrama de fase es una recta horizontal que coincide en 0 grados.

Si K es menor que la unidad, la ganancia atenúa y se obtiene un nivel de decibelios negativo. Si

K es mayor que la unidad, la ganancia amplifica y se obtiene un nivel de decibelios positivo.

Por tanto, en el tramo del diagrama de Bode que los decibelios sean positivos, quiere decir que

la señal de entrada se amplifica, mientras que en los tramos de decibelios negativos, la señal de

entrada se atenúa.

Figura 5.6 CLAF del eslabón constante

5.4 ESLABÓN DERIVADOR IDEAL DE ORDEN p (sp)

u(t) y(t)

U(s) Y(s)

Figura 5.7 Eslabón derivador ideal

Son componentes derivativos aquellos que solo reaccionan a los cambios que experimenta la

señal de entrada pero transmiten una señal nula cuando la entrada se mantiene constante.


Solo el numerador tiene p raíces nulas, por lo tanto existen p ceros en el origen

sP


84

Figura 5.8 Aporte cero-polar del derivador ideal


.pY s s U s

Aplicando transformada inversa de Laplace L-1

a ambos lados de la ecuación, asumiendo

condiciones iniciales nulas:

c) Respuesta Transitoria

Si la entrada es un escalón unitario, su variación es muy brusca en el instante del cambio de 0 a

1 y la respuesta es muy intensa, pero seguidamente la entrada se mantiene constante, por lo que

la respuesta se anula. Por esta razón, el símbolo es una recta vertical, que indica un gran

aumento en el primer instante y un paso a cero un instante después.

Figura 5.9 Respuesta transitoria del eslabón derivador ideal

d) Diagrama Polar

G(ωj)=(wj)p luego dependiendo del valor de p se tiene

p=1 ReG(ωj)=0 ImG(ωj)=w

p=2 ReG(ωj)=-w2 ImG(ωj)=0

p=3 ReG(ωj)=0 ImG(ωj)=-w3….

haciendo variar w de 0 a ∞, se tiene una función que va de 0 al ∞ y se desarrolla sobre uno de

los ejes, rotando +90o cada vez que p aumenta

Figura 5.10 Diagrama polar del eslabón derivador ideal

e) Diagrama de Bode

Un derivador tiene por salida la derivada p-ésima de la función de entrada. Para un orden p=1

20log ( ) 20log( ) ( ) 90

( ) 90

s j o

o

G jG s s G j j

G j


85

El diagrama de Bode de ganancias es una recta con pendiente 20 dB/década. La recta pasa por 0

dB en la frecuencia de 1 rad/s. El diagrama de Bode de fases es constante en 90º.

Figura 5.11 CLAF del eslabón derivador ideal

Cuando p es mayor que 1

20log| |=20.p.logω

A bajas frecuencias, las variaciones de la entrada son lentas y la respuesta de poca intensidad,

pero a frecuencias altas ocurre lo contrario, por lo que se deduce que la amplitud de la

oscilación de salida aumenta con la frecuencia, lo mismo ocurrirá con la ganancia (cociente de

amplitudes) y el módulo, que, como se ve en la figura, crece a razón de 20 decibelios por

década. Se entiende como década el incremento de una unidad en la escala del logaritmo de la

frecuencia, nótese que en una década, la frecuencia se multiplica por 10. En la figura se ha

marcado un punto que corresponde a un módulo de 40 dB, con 2 décadas. En cuanto a la fase,

la salida (Y) se adelanta 90º respecto de la entrada (U).

5.5 ESLABÓN INTEGRAL IDEAL DE ORDEN p (1/sp)

u(t) y(t)

U(s) Y(s)

Figura 5.12 Eslabón integrador ideal

Los componentes que acumulan la señal de entrada son elementos integradores.


Solo el denominador tiene p raíces nulas, por lo tanto existen p polos en el origen

1/sP

1

90o

pp


86

Figura 5.13 Aporte cero-polar del integrador ideal


Y(s) =

.U(s)




( )

p

py t u t dt


Si la entrada es un escalón unitario, el valor acumulado en un tiempo "t" será igual al área del

rectángulo mostrado en la figura y como la entrada se mantiene constante (igual a 1), el área

será igual a "t". Cuanto mayor sea el tiempo "t", mayor será el valor acumulado y por esa razón

se simboliza con una recta ascendente. El valor acumulado con otro tipo de entradas también

será igual al área bajo la gráfica de la señal de entrada, pero ya no será un rectángulo. El

concepto matemático de un valor acumulado desde un instante 0 hasta un instante "t" es la

integral entre los instantes 0 y "t".

Figura 5.14 Respuesta transitoria del eslabón integrador ideal

d) Diagrama Polar

G(ωj)=1/(wj)p luego dependiendo del valor de p se tiene

p=1 ReG(ωj)=0 ImG(ωj)=(-1/w)

p=2 ReG(ωj)=-1/w2 ImG(ωj)=0

p=3 ReG(ωj)=0 ImG(ωj)=1/w3….

haciendo variar w de 0 a ∞, se tiene una función que va del ∞ a 0 y se desarrolla sobre uno de

los ejes, rotando -90o cada vez que p aumenta

Figura 5.15 Diagrama polar del eslabón integrador ideal


87

e) Diagrama de Bode

Un integrador tiene por salida la integral p-ésima de la función de entrada. Para un orden p=1

( )G s s s j 20log ( ) 20log

( )( ) 90o

G jG j j

G j

El diagrama de Bode de ganancias es una recta con pendiente 20 dB/década. La recta pasa por 0

dB en la frecuencia de 1 rad/s. El diagrama de Bode de fases es constante en 90º.

Figura 5.16 CLAF del eslabón integrador ideal

Cuando p es mayor que 1

20log| |=-20p logω

1

90o

pp

A bajas frecuencias, la respuesta pasa por valores grandes, porque se acumula señal de entrada

durante más tiempo. Al aumentar la frecuencia, el tiempo en que se acumula señal, en cada

semiciclo, es menor y por ello también disminuye la amplitud de la salida. Así pues, al aumentar

la frecuencia disminuye el módulo, y lo hace a razón de 20 decibelios por década como se ve en

la figura. En cuanto a la fase, existe un retraso de 90º respecto de la entrada.

5.6 ESLABÓN DERIVADOR DE PRIMER ORDEN (Ts±1)

u(t) y(t)

U(s) Y(s)

Figura 5.17 Eslabón derivador de primer orden

Son componentes derivativos que reaccionan a los cambios que experimenta la señal de entrada

y a la propia señal de entrada. T recibe el nombre de constante de tiempo y su inversa de

frecuencia crítica ωc


Ts±1


88

El numerador tiene una raíz en s=-1/T=-ωc por lo que se tiene un cero

Figura 5.18 Aporte cero-polar del derivador de primer orden





( )

du t

y t T u tdt


Si la entrada es un escalón unitario, su variación es muy brusca en el instante del cambio de 0 a

1 y la respuesta es muy intensa, pero seguidamente la entrada se mantiene constante, por lo que

sólo se reproduce la entrada a la salida.

1( )

1 ( ) 1d t

y t T t T t tdt

Figura 5.19 Respuesta transitoria del eslabón derivador de primer orden

d) Diagrama Polar

G(ωj)=Twj+1 se tiene ReG(ωj)=1 ImG(ωj)=Tw

haciendo variar w de 0 a ∞, se tiene una recta paralela al eje imaginario en s=-1 que vá de 0 al ∞

√


89

Figura 5.20 Diagrama polar del eslabón derivador de primer orden

f) Diagrama de Bode

→

√

La ganancia a bajas frecuencias comienzan en 0 dB, en cambio, para altas frecuencias la

ganancia se comporta como un derivador; una recta de pendiente 20 dB/década, que pasa por 0

dB en la frecuencia igual a la inversa de la constante de tiempo.

| | √ {

√

En fase, para bajas frecuencias toma valores próximos a 0º y para altas frecuencias

aproximadamente 90º.

= {

http://www.monografias.com/trabajos2/mercambiario/mercambiario.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/nuevmicro/nuevmicro.shtml


90

Figura 5.21 CLAF del eslabón derivador de primer orden

Cuando la raíz de este tipo de factor es positiva en lugar de negativa como se ha representado,

no cambia el diagrama del módulo pero sí el de fase, causando un retraso máximo de 90º en

lugar de un adelanto.

5.7 ESLABÓN INTEGRADOR DE PRIMER ORDEN 1/(Ts±1)

u(t) y(t)

U(s) Y(s)

Figura 5.22 Eslabón integrador de primer orden

Es el comportamiento de los componentes que, aunque siguen a la señal de entrada, reaccionan

con cierta lentitud, suavizando los cambios bruscos. Si las variaciones son lentas, la salida se

aproxima bastante a la entrada, en caso contrario, la salida se distancia.


El denominador tiene una raíz en s=-1/T=-ωc por lo que se tiene un polo

Figura 5.23 Aporte cero-polar del integrador de primer orden


1/(Ts±1)


91

1

Y s U s1Ts

( ) ( ) ( )TsY s Y s U s

1 1( ) ( ) ( )Y s U s Y s

Ts Ts




y(t)=

∫ -

∫


1

Y s U s1Ts

con 1

( )U ss

por tablas

/( ) 1 1 ctt Ty t e e

Figura 5.24 Respuesta transitoria del eslabón integrador de primer orden

Si la entrada es un escalón unitario, la respuesta crece con suavidad, sin alcanzar nunca el valor

1, pero en la práctica se alcanza los dos tercios en un tiempo igual a la constante de tiempo T

(en segundos), que es igual a la inversa de la frecuencia de cruce. En un tiempo 3T se llega al

95% y en 5T al 99%.

c) Diagrama Polar

1( )

1G j

T j

se obtiene

2 2

1Re ( ) ( ) Im ( ) ( )

1 1

TG j G j

T T

haciendo variar de 0 a ∞, se tiene una semicircunferencia en el cuarto cuadrante que va

desde (1,0j) en ω=0 hasta el origen (0,0j) en ω

Figura 5.25 Diagrama polar del eslabón integrador de primer orden


92

2

1 1( ) arctan( )

1 1G j T

T j T

0 1 0

1 145

2

0 0

o

o

o

T

d) Diagrama de Bode

Evaluando el módulo y la fase de 1

( )1

G jT j

se obtiene

2

0 0

120log ( ) 20log 1 20log 2 3

20log( )

dB

G j T dBT

T

En la ecuación se observa cómo la ganancia a bajas frecuencias es aproximadamente 0 dB. Para

altas frecuencias la ganancia se parece a un integrador, una recta de pendiente -20 dB/década,

que pasa por 0 dB en la frecuencia igual a la inversa de la constante de tiempo ( c 1/ T ).

Asimismo

0 0

1( ) arctan( ) 45

90

o

o

o

G j TT

En la ecuación se observa cómo la fase para bajas frecuencias es aproximadamente 0º y para

altas frecuencias -90º, pasando por -45o en la frecuencia crítica.

Figura 5.26 CLAF del eslabón integrador de primer orden

5.8 ESLABÓN INTEGRADOR DE SEGUNDO ORDEN 2 21/ 2 1T s Ts

u(t) y(t)

U(s) Y(s)

http://www.monografias.com/trabajos901/evolucion-historica-concepciones-tiempo/evolucion-historica-concepciones-tiempo.shtml


93

Figura 5.27 Eslabón integrador de segundo orden

Tienen este comportamiento los componentes con capacidad para almacenar energía y

devolverla con retraso.

La respuesta es similar a la de un integrador de primer orden pero con oscilaciones

amortiguadas hasta que alcanza el equilibrio. La amplitud de las oscilaciones es tanto mayor

cuanto menor sea su capacidad para consumir energía, es decir, cuanto menor sea su relación de

amortiguamiento ξ. T recibe el nombre de constante de tiempo y su inversa, de frecuencia

natural ωn, asimismo ξ recibe el nombre de coeficiente de amortiguación y se caracteriza por

0<ξ<1 , ya que el eslabón determina raíces complejas.


El denominador tiene un par de raíces complejo conjugadas en

21n ns j

Figura 5.28 Aporte cero-polar del integrador de segundo orden

b) Respuesta Temporal 2

2 2 2 2

1( ) ( ) ( )

2 1 2

n

n n

Y s U s U sT s Ts s s

2

2

1 2( ) ( ) ( ) ( )

n n

U s s Y s sY s Y s



condiciones iniciales nulas: 2

2 2

1 ( ) 2 ( )( ) ( )

n n

d y t dy tu t y t

dt dt

y(t) = ∬ ∬ ∫


2

2 2 2 2

1( ) ( ) ( )

2 1 2

n

n n

Y s U s U sT s Ts s s

con

1( )U s

s

2

2 2 2 2

1( )

( 2 1) ( 2 )

n

n n

Y ss T s Ts s s s

Por tablas de integración:


94

22 1

2

1( ) 1 1

1

ntnny t e sen t tg

Figura 5.29 Respuesta transitoria del eslabón integrador de segundo orden

dependiendo del valor de la relación de amortiguamiento ξ, la oscilación puede llegar casi a

desaparecer (entre 0.8 y 1), si ξ<0.8 la oscilación amortiguada se aprecia con claridad y el

eslabón se llama subamortiguado, si ξ es cero la oscilación se mantiene indefinidamente, en

cuyo caso se llama oscilatorio o sin amortiguación, si ξ=1 se denomina críticamente

amortiguado. Valores negativos de ξ hacen que la oscilación aumente en lugar de disminuir.

d) Diagrama Polar

2 2

1( )

2 1G j

T T j

se tiene

2 2

22 2 2

1Re ( )

1 (2 )

TG j

T T

2

2 2 2

2Im ( )

1 (2 )

TG j

T T

haciendo variar ω de 0 a ∞, se tiene una circunferencia que se desarrolla entre el cuarto

cuadrante (ω<1/T=ωn) y el tercer cuadrante (ω>1/T=ωn), que vá desde (1,0j) en ω=0 hasta el

origen (0,0j) en ω , la intersección con el eje corresponde a ω=1/T=ωn

2

1( )

2 1n n

G j

j j

0

0 1 0

0 180

o

o

Figura 5.30 Diagrama polar del eslabón integrador de segundo orden

2

1 1( )

22 1

n n

n n

n n

G jj

j j

1( ) ( ) 90

2

o

n nG j G j

e) Diagrama de Bode


95

2 2

2 2 2 2( )

2 2

n n

n n n ns j

G ss s j

2

2 2 2 2

0 0

20log ( ) 20log40( ) (2 )

n

n nn

dB

G jdB

En la ecuación se observa cómo la ganancia para bajas frecuencias es aproximadamente 0 dB y

para altas frecuencias es una recta de pendiente –40 dB/década que pasa por 0 dB en la

frecuencia igual a la frecuencia natural. Asimismo

1

2 2

0 02

( ) 90

180

o

onn

n o

G j tg

En la ecuación se observa cómo la fase para bajas frecuencias es aproximadamente 0º y para

altas frecuencias –180º.

Figura 5.31 CLAF del eslabón integrador de segundo orden

En un rango de frecuencias próximo a la frecuencia natural, el diagrama de Bode se comporta

de forma distinta en función del amortiguamiento. En la figura anterior se observa cómo aparece

un máximo en el diagrama de ganancias. Se va a emplear la expresión del módulo para

determinar la magnitud de dicho máximo y a qué frecuencia se produce.


96

2 2 2 2 2 2

2

0( ) (2 ) 4 1 2 0

1 2n n n

r n

d

d

La solución ωr, se llama frecuencia de resonancia, si se sustituye el valor de la frecuencia de

resonancia en la expresión de la ganancia, se obtiene la magnitud del máximo, que se denomina

pico de resonancia.

2

120log

2 1rM

Figura 5.32 CLAF en función del coeficiente de amortiguación

5.9 ESLABÓN DERIVADOR DE SEGUNDO ORDEN

u(t) y(t)

U(s) Y(s)

Figura 5.33 Eslabón integrador de segundo orden

Son componentes derivativos que reaccionan a la velocidad de cambio, los cambios que

experimenta la señal de entrada y a la propia señal de entrada. T recibe el nombre de constante

de tiempo y su inversa de frecuencia natural ωn, asimismo ξ recibe el nombre de coeficiente de

amortiguación y se caracteriza por 0<ξ<1 , ya que el eslabón determina raíces complejas.


El numerador tiene un par de ceros complejo conjugados en 21n ns j

Figura 5.34 Aporte cero-polar del integrador de segundo orden

𝑇 𝑠 𝜉𝑇𝑠


97


2 2 2

2

1 2( ) ( 2 1) ( ) 1 ( )

n n

Y s T s Ts U s s s U s

2

2

1 2( ) ( ) ( ) ( )

n n

Y s s U s sU s U s

Cuyo diagrama de bloques se muestra

Figura 5.35 Diagrama de bloques de un derivador de segundo orden



condiciones iniciales nulas: 2

2 2

1 ( ) 2 ( )( ) ( )

n n

d u t du ty t u t

dt dt

c) Respuesta Transitoria 2

2 2

1 1( ) 2 1( )( ) 1( )

n n

d t d ty t t

dt dt

Figura 5.36 Diagrama polar del eslabón integrador de segundo orden

d) Diagrama Polar 2 2( ) 2 1G j T T j

se tiene 2 2Re ( ) 1G j T Im ( ) 2G j T

haciendo variar ω de 0 a ∞, se tiene una función que se desarrolla en el primer cuadrante

(ω<1/T) y en el segundo cuadrante (ω>1/T), que va desde (1,0j) en ω=0 hasta el en ω

2

( ) 2 1n n

G j j j

0

0 1 0

180

o

o


98

Figura 5.37 Diagrama polar del eslabón derivador de segundo orden

e) Diagrama de Bode 2 2 2 2

2 2

2 2( ) n n n n

n ns j

s s jG s

2 2 2 2

2

0 0( ) (2 )

20log ( ) 20log40

n n

n

n

dB

G jdB

1

2 2

0 02

( ) 90

180

o

onn

n o

G j tg

El desarrollo matemático es análogo al del integrador de segundo orden, por lo que no se va a

repetir. En el caso del cero doble también existe el fenómeno de la resonancia, sólo que se

manifiesta en forma de mínimo en lugar de un máximo en el diagrama de ganancias.

Figura 5.38 CLAF del eslabón integrador de segundo orden

5.10 CLAF DE OTROS ESLABONES

5.10.1 Retraso en el tiempo

Un retraso ni amplifica ni atenúa. La forma de la salida es exactamente igual a la de la entrada,

aunque la salida está retrasada T segundos respecto de la entrada. Dicho esto, es de esperar que

sea nulo el diagrama de ganancias y negativo el de fases.


99

20log ( ) 0( ) 1

( )

Ts T j

s j

G j dBG s e e T

G j Trad

Para una frecuencia en rad/s igual a la inversa del tiempo T de retraso, el diagrama de fases

toma un valor de –1 rad. Una década después –10 rad. Dos décadas después –100 rad. Así

sucesivamente. El diagrama de Bode muestra que la función de transferencia genera desfases

cada vez mayores con la frecuencia. El desfase es directamente proporcional a la frecuencia, por

tanto, la gráfica es una línea recta con la frecuencia en escala lineal y queda con forma

exponencial con la frecuencia en escala logarítmica.

Figura 5.39 CLAF del eslabón de retardo

El módulo de siempre es la unidad y el ángulo de fase varía linealmente con w. El diagrama

polar del retardo puro es un círculo de radio unitario. A frecuencias bajas, el retardo y el

factor de primer orden se comportan de forma similar (son tangentes entre sí en

ω=0), entonces podemos aproximar uno por el otro. El diagrama polar será:

Figura 5.40 Diagrama polar del eslabón de retardo

5.10.2 Integrador de primer orden con raíz real positiva

1 1( ) ( )

1 1

s jG s G jTs T j


100

2

0 0

120log ( ) 20log 1 ( ) 20log 2 3

20log( )

dB

G j T dBT

T

1

0 0

1( ) 45

90

o

o

o

G j tg TT

Su comportamiento en ganancias es igual que un polo con parte real negativa. Esto se debe a

que el cambio de signo no afecto al módulo del número complejo. Sin embargo, su

comportamiento en fase es igual que un cero simple.

Figura 5.40 Diagrama polar del eslabón integrador de primer orden con raíz positiva

5.10.3 Derivador de primer orden con raíz positiva

( ) 1 ( ) 1s jG s Ts G j T j

2

0 0

120log ( ) 20log 1 ( ) 20log 2 3

20log( )

dB

G j T dBT

T

1

0 0

1( ) 45

90

o

o

o

G j tg TT

Su comportamiento en ganancias es exactamente igual que un cero con parte real negativa,

mientras que su comportamiento en fase es igual que un polo simple.


101

Figura 5.41 Diagrama polar del eslabón con polo real positivo

Ejemplo 1:

Identificar los eslabones típicos del sistema definido por:

Ecuación característica: 5 4 3 22 5 3 (6 ) (8 2 ) 10 0s s s K s K s K

Solución:

Despejando la función de transferencia del sistema

1 ( ) ( ) 0G s H s

5 4 3 2 22 5 3 6 8 ( 2 10) 0s s s s s K s s

Luego: 2

5 4 3 2

( 2 10)1 0

2 5 3 6 8

K s s

s s s s s

2

5 4 3 2

( 2 10)( )

2 5 3 6 8

K s sG s

s s s s s

2

2

1.25 (0.1 0.2 1)( )

(0.4 1)(0.84 1)(0.74 0.87 1)

K s sG s

s s s s s

Luego de la normalización definimos los eslabones típicos

Constante K 1.25K

Derivador de segundo orden 2 2 2 1T s Ts 0.32, 0.32T

Integrador ideal de primer orden 1

s

Integrador de primer orden 1

1Ts

0.4T

Integrador de primer orden 1

1Ts

0.84T


102

Integrador de segundo orden

2 2

1

2 1T s Ts

0.86, 0.51T

Ejemplo 2:


4 3 2

4 3 2

3( )

8 6 7

s s se s

s s s s

Solución:

Despejando la función de transferencia del sistema

1( )

1 ( ) ( )e s

G s H s

3 2

4 3 2 4 3 2

3 24 3 2 3 2

4 3 2

7 3 7

3 3( )7 3 7( 3 ) (7 3 7 )

13

s s s

s s s s s se ss s ss s s s s s

s s s

Luego: 3 2

4 3 2

7 3 7( )

3

s s sG s

s s s

2

2

7( 0.43 1)( )

( 3)

s sG s

s s s

2

2

2.33( 0.43 1)( )

(0.33 0.33 1)

s sG s

s s s


Constante K 2.33

Derivador de segundo orden 2 2 2 1T s Ts 1, 0.215T

Integrador ideal de primer orden 1

s


2 2

1

2 1T s Ts

0.57, 0.3T

Ejemplo 3:


3 2

4 3 2

3 2 6

2 3 2 3 10

s s sFT

s s s s

Solución: 2

2 2

1.5 ( 0.67 2)

( 3.22 2.65)( 1.72 1.88)

s s sFT

s s s s

2

2 2

0.6 (0.5 0.34 1)

(0.38 1.22 1)(0.53 0.91 1)

s s sFT

s s s s



103

Constante K 0.6

Derivador ideal de primer orden s

Derivador de segundo orden 2 2 2 1T s Ts 0.71, 0.24T


2 2

1

2 1T s Ts

0.62, 0.99T


2 2

1

2 1T s Ts

0.73, 0.62T

Ejemplos 4:

Obtener la gráfica polar de

1( )

0.2 1G s

s

Solución:

Como primer paso se cambia a variable compleja s j

1 1( )

0.2 1 1 0.2G j

j j

El siguiente paso es separar el valor real y el imaginario (solo para facilitar el cálculo). Para esto

se multiplica y divide por el complejo conjugado del denominador de ( )G j

2

1 1 0.2 1 0.2( )

1 0.2 1 0.2 1 0.04

j jG j

j j

2

1Re ( )

1 0.04G j

, 2

0.2Im ( )

1 0.04G j

Re(+), Im(-) la gráfica está en el (IV) cuadrante (no hay intersecciones con los ejes)

Punto de partida: Si 0 entonces:

2 2

1 0.2(0)( 0) Re ( 0) Im ( 0) 1

1 0.04(0) 1 0.04(0)G j G j G j j

Punto de llegada: Si entonces:

2 2

1 0.2( )( ) Re ( ) Im ( ) 0 0

1 0.04( ) 1 0.04( )G j G j G j j j

Ejemplo 5:

Hallar la distribución cero-polar de


104

1( )

0.1 1G s

s

Solución:

El sistema aporta un polo en s=-10, luego la distribución será:

Ejemplo 6:

Para las siguientes FT indicar los eslabones típicos que la conforman (indicar los parámetros de

cada eslabón)

a) 4 3 2

8 12

2 13 18 20 25

sFT

s s s s

b)

2

4 2

4 2 4

12 10 20

s sFT

s s s

c)

2

3 2

4

9 10 20

sFT

s s s

d) 4 3 2

6 9

2 2 8 12 15

sFT

s s s s

e)

2

4 2

2 5 5

18 10 30

s sFT

s s s

f)

2

3 2

2

10 15 20

sFT

s s s

Solución:

a) Normalizando la función de transferencia, podemos identificar los eslabones

4 3 2 2 2

8 12 4(s+1.5) 0.48(0.7s+1)

2 13 18 20 25 (s+5)(s+1.56)(s -0.06s+1.6) (0.2s+1)(0.64s+1)(0.63s -0.038s+1)

sFT

s s s s

o Constante K=0.48

o Derivador 1er O: Ts+1; T=0.7

o Integrador 1er O: 1/(Ts+1); T=0.2


o Integrador 2do O: 1/(T2s

2-2ζTs+1); T=0.79; ζ=0.024

b) Normalizando la función de transferencia, podemos identificar los eslabones


105

2 2 2

4 2 2 2 2 2

4 2 4 4(s -0.5s+1) 0.2(s -0.5s+1)

12 10 20 (s +1.05s+1.8)(s -1.05s+11.3) (0.56s +0.58s+1)(0.09s -0.09s+1)

s sFT

s s s

o Constante K=0.2

o Derivador 2do O: T2s

2-2ζTs+1); T=1; ζ=0.25


2+2ζTs+1); T=0.75; ζ=0.39


2-2ζTs+1); T=0.3; ζ=0.15

c) Normalizando la función de transferencia, podemos identificar los eslabones

2 2 2

3 2 2 2

4 4 0.2

9 10 20 (s+8.1)(s +0.93s+2.48) (0.12s+1)(0.4s +0.375s+1)

s s sFT

s s s

o Constante K=0.2

o Derivador ideal 2do O: s2



2+2ζTs+1); T=0.63; ζ=0.3

d) Normalizando la función de transferencia, podemos identificar los eslabones

4 3 2 2 2

2 2

6 9 3( 1.5)

2 2 8 12 15 (s +1.96s+1.88)(s -0.96s+3.99)

0.6(0.67 1)

(0.53s +1.04s+1)(0.25s -0.24s+1)

s sFT

s s s s

s

o Constante K=0.6

o Derivador 1er O: Ts+1; T=0.67


2+2ζTs+1); T=0.73; ζ=0.71


2-2ζTs+1); T=0.5; ζ=0.24

e) Normalizando la función de transferencia, podemos identificar los eslabones

2 2

4 2 2 2

2

2 2

2 5 5 2( 2.5 2.5)

18 10 30 ( 0.67 1.8)( 0.67 16.65)

0.17(0.4 1)

(0.56 0.37 1)(0.06 0.04 1)

s s s sFT

s s s s s s s

s s

s s s s

o Constante K=0.17

o Derivador 2do O: T2s

2-2ζTs+1; T=0.63; ζ=0.79


2+2ζTs+1); T=0.75; ζ=0.25


2-2ζTs+1); T=0.24; ζ=0.082

f) Normalizando la función de transferencia, podemos identificar los eslabones

2 2 2

3 2 2 2

2 2 0.1

10 15 20 ( 8.5)( 1.49 2.35) (0.12 1)(0.43 0.63 1)

s s sFT

s s s s s s s s s


106

o Constante K=0.1

o Derivador ideal 2do O: s2



2+2ζTs+1); T=0.66; ζ=0.48

Ejemplo 7:

Identificar los eslabones típicos en la siguiente distribución de ceros y polos (indicar los

parámetros de cada eslabón

Solución: hallamos la función de transferencia

2 2

2 2

s(s +10s+61) 1.9s(0.02s +0.2s+1)

(s+2)(s +16) (0.5s+1)(0.063s +1)FT

Los eslabones serán

o Derivador ideal 1er O: s

o Derivador 2do O: (T2s

2+2ζTs+1); T=0.14; ζ=0.707



2+1); T=0.25; ζ=0

Ejemplo 8:

Identificar los eslabones típicos en la siguiente distribución de ceros y polos (indicar los

parámetros de cada eslabón

Solución: hallamos la función de transferencia


107

2 2

2 2

s(s +16) 0.066s(0.0625s +1)

(s+2)(s-2)(s +10s+61) (0.5s+1)(0.5s-1)(0.016s +0.16s+1)FT

Los eslabones serán

o Derivador ideal 1er O: s

o Derivador 2do O: (T2s

2+1); T=0.25; ζ=0


o Integrador 1er O: 1/(Ts-1); T=0.5


2+2ζTs+1);

T=0.13; ζ=0.63

Ejemplo 9:

Determinar lo indicado para cada eslabón

a) 0.5s+1 (diagrama polar)

b) 1/(0.252 1s ) (CLAF)

c) 1/(0.12s-1) (respuesta transitoria)

d) 0.15s-1 (diagrama polar)

e) 21/ (3.5 1.5 1)s s ) (CLAF)

f) 1/(0.25s+1) (respuesta transitoria)

g) 0.5s+1 (diagrama polar)

h) (20.25 0.3 1s s ) (CLAF)

i) 1/(0.25s2+0.5s+1) (respuesta transitoria)

Solución

a) 0.5s+1 (diagrama polar)

( ) 0.5 1

Re 1( ); Im 0.5 ( )

FT s j j

Icuadrante

b) 1/(0.252 1s ) (CLAF)

2

2 2

1

2

1( )

0.25 1

20log (1 0.25 )

0 20

180 21 0.25

FT s j

FT

FT tg

Tabulando las funciones

w /FT/dB FasFT

0.1

0.2

0.4

0.7

1

2

4

7

10

-12.02

-11.95

-11.69

-10.91

-9.54

295.

-21.58

-33.06

-39.65

0

0

0

0

0

0

-180

-180

-180


108

c) 1/(0.12s-1) (respuesta transitoria)

8.33

1( )

(0.12 1)

( ) 1 t

C ss s

c t e

d) 0.15s-1 (diagrama polar)

( ) 0.15 1

Re 1( ); Im 0.15 ( )

FT s j j

IIcuadrante

e) 21/ (3.5 1.5 1)s s ) (CLAF)

2

2 2 2

1

2

1

2

1( )

3.5 1.5 1

20log (1 3.5 ) ( 1.5 )

1.50.53

1 3.5

1.5180 0.53

1 3.5

FT s jj

FT

tg

FT

tg


20

40

70

100

-51.95

-64.06

-73.8

-80.0

-180

-180

-180

-180

w /FT/dB FasFT

0.1

0.2

0.4

0.7

1

0.21

0.81

2.57

-2.08

-9.29

8.84

19.2

53.7

124.3

149.0


109

f) 1/(0.25s+1) (respuesta transitoria)

4

1( )

(0.25 1)

( ) 1 t

C ss s

c t e

g) 0.5s+1 (diagrama polar)

( ) 0.5 1

Re 1( ); Im 0.5 ( )

FT s j j

Icuadrante

h) (20.25 0.3 1s s ) (CLAF)

2

2 2 2

1

2

1

2

( ) 0.25 0.3 1

20log (1 0.25 ) ( 0.3 )

0.34

1 0.25

0.3180 4

1 0.25

FT s j j

FT

tg

FT

tg


2

4

7

10

20

40

70

100

-22.5

-34.86

-44.66

-50.86

-62.92

-74.96

-84.68

-90.88

167.0

173.7

176.5

177.5

178.8

179.4

179.6

179.7

w /FT/dB FasFT

0.1

0.2

0.4

-0.0178

-0.0714

-0.2872

-1.7227

-3.4682

-7.1250


110

i) 1/(0.25s2+0.5s+1) (respuesta transitoria)

2

1( )

(0.25 0.5 1)

( ) 1 1.15 (1.73 1.05)t

C ss s s

c t e sen t

0.7

1

2

4

7

10

20

40

70

100

-0.8932

-1.8542

-4.4370

10.1870

21.1718

27.6716

39.9286

52.0234

61.7569

67.9560

-13.4587

-21.8014

-90.0000

-158.1986

-169.4265

-172.8750

-176.5318

-178.2773

-179.0171

-179.3122

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