Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance … · 2020-05-16 · ENSAE-CREST,...
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Contrôle stochastique et méthodes numériques enfinance mathématique
Romuald Elie
To cite this version:Romuald Elie. Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance mathématique. Mathéma-tiques [math]. ENSAE ParisTech, 2006. Français. tel-00122883
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Contrôle optimal stochastiqueet méthodes numériquesen finance mathématique
Romuald ELIE
ENSAE-CREST, CEREMADE
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.1/34
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Plan
Méthodes numériques probabilistes
Gestion de portefeuille et contrainte drawdown
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.2/34
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Plan
Méthodes numériques probabilistes
Calcul des Grecques par estimateurs à noyaux
Gestion de portefeuille et contrainte drawdown
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.2/34
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Plan
Méthodes numériques probabilistes
Calcul des Grecques par estimateurs à noyaux
Résolution d’EDSPR découplée avec sauts
Gestion de portefeuille et contrainte drawdown
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.2/34
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Plan
Méthodes numériques probabilistes
Calcul des Grecques par estimateurs à noyaux
Résolution d’EDSPR découplée avec sauts
Gestion de portefeuille et contrainte drawdown
Solution explicite en horizon infini
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.2/34
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Plan
Méthodes numériques probabilistes
Calcul des Grecques par estimateurs à noyaux
Résolution d’EDSPR découplée avec sauts
Gestion de portefeuille et contrainte drawdown
Solution explicite en horizon infini
Caractérisation par EDP en horizon fini
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.2/34
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Plan
Méthodes numériques probabilistes
Calcul des Grecques par estimateurs à noyaux
Résolution d’EDSPR découplée avec sauts
Gestion de portefeuille et contrainte drawdown
Solution explicite en horizon infini
Caractérisation par EDP en horizon fini
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.3/34
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Problème& Littérature
Zλ v. a. de densité f(λ, .) dépendant d’un paramètre λ ∈ Rd.
Option de payoff actualisé φ (Zλ0)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.4/34
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Problème& Littérature
Zλ v. a. de densité f(λ, .) dépendant d’un paramètre λ ∈ Rd.
Option de payoff actualisé φ (Zλ0)
Prix: P (λ0) := E [φ (Zλ0)]
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.4/34
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Problème& Littérature
Zλ v. a. de densité f(λ, .) dépendant d’un paramètre λ ∈ Rd.
Option de payoff actualisé φ (Zλ0)
Prix: P (λ0) := E [φ (Zλ0)] Sensibilité: β0 := ∇λE [φ (Zλ0)]
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.4/34
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Problème& Littérature
Zλ v. a. de densité f(λ, .) dépendant d’un paramètre λ ∈ Rd.
Option de payoff actualisé φ (Zλ0)
Prix: P (λ0) := E [φ (Zλ0)] Sensibilité: β0 := ∇λE [φ (Zλ0)]
Comment calculer β0 ?
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.4/34
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Problème& Littérature
Zλ v. a. de densité f(λ, .) dépendant d’un paramètre λ ∈ Rd.
Option de payoff actualisé φ (Zλ0)
Prix: P (λ0) := E [φ (Zλ0)] Sensibilité: β0 := ∇λE [φ (Zλ0)]
Comment calculer β0 ?
[LP94]Différences finies β0 ∼ 1ǫ
P (λ0 + ǫ) − P (λ0)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.4/34
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Problème& Littérature
Zλ v. a. de densité f(λ, .) dépendant d’un paramètre λ ∈ Rd.
Option de payoff actualisé φ (Zλ0)
Prix: P (λ0) := E [φ (Zλ0)] Sensibilité: β0 := ∇λE [φ (Zλ0)]
Comment calculer β0 ?
[LP94]Différences finies β0 ∼ 1ǫ
P (λ0 + ǫ) − P (λ0)
[BG96]Pathwise β0 = E[φ′(Zλ0)∇λZλ0 ]
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.4/34
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Problème& Littérature
Zλ v. a. de densité f(λ, .) dépendant d’un paramètre λ ∈ Rd.
Option de payoff actualisé φ (Zλ0)
Prix: P (λ0) := E [φ (Zλ0)] Sensibilité: β0 := ∇λE [φ (Zλ0)]
Comment calculer β0 ?
[LP94]Différences finies β0 ∼ 1ǫ
P (λ0 + ǫ) − P (λ0)
[BG96]Pathwise β0 = E[φ′(Zλ0)∇λZλ0 ]
[BGP6]Vraisemblance β0 = E
[
φ(Zλ0)∇λff (λ0, Zλ0)
]
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.4/34
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Problème& Littérature
Zλ v. a. de densité f(λ, .) dépendant d’un paramètre λ ∈ Rd.
Option de payoff actualisé φ (Zλ0)
Prix: P (λ0) := E [φ (Zλ0)] Sensibilité: β0 := ∇λE [φ (Zλ0)]
Comment calculer β0 ?
[LP94]Différences finies β0 ∼ 1ǫ
P (λ0 + ǫ) − P (λ0)
[BG96]Pathwise β0 = E[φ′(Zλ0)∇λZλ0 ]
[BGP6]Vraisemblance β0 = E
[
φ(Zλ0)∇λff (λ0, Zλ0)
]
Que faire si f est inconnue et φ irrégulière ?Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.4/34
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Problème& Littérature
Zλ v. a. de densité f(λ, .) dépendant d’un paramètre λ ∈ Rd.
Option de payoff actualisé φ (Zλ0)
Prix: P (λ0) := E [φ (Zλ0)] Sensibilité: β0 := ∇λE [φ (Zλ0)]
Comment calculer β0 ?
[LP94]Différences finies β0 ∼ 1ǫ
P (λ0 + ǫ) − P (λ0)
[BG96]Pathwise β0 = E[φ′(Zλ0)∇λZλ0 ]
[BGP6]Vraisemblance β0 = E
[
φ(Zλ0)∇λff (λ0, Zλ0)
]
[FLLLT99]Malliavin β0 = E [φ(Zλ0)π]
Que faire si f est inconnue et φ irrégulière ?Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.4/34
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Paramètre aléatoire
Prix Sensibilité β0
E [φ (Zλ0)] E
[
φ(Zλ0)∇λff (λ0, Zλ0)
]
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.5/34
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Paramètre aléatoire
Prix Sensibilité β0
E [φ (Zλ0)] E
[
φ(Zλ0)∇λff (λ0, Zλ0)
]
v.a. Λ de densité ℓ donnée et ZΛ tq ZΛ | Λ de densité f
E[
φ(ZΛ) | Λ = λ0]
E
[
φ(ZΛ)∇λff (Λ, ZΛ) | Λ = λ0
]
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.5/34
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Paramètre aléatoire
Prix Sensibilité β0
E [φ (Zλ0)] E
[
φ(Zλ0)∇λff (λ0, Zλ0)
]
v.a. Λ de densité ℓ donnée et ZΛ tq ZΛ | Λ de densité f
E[
φ(ZΛ) | Λ = λ0]
E
[
φ(ZΛ)∇λff (Λ, ZΛ) | Λ = λ0
]
Simulation de N réalisations i.i.d. de (Λ, ZΛ)
Estimation non paramétrique: Noyau K, fenêtre h
h−d
N ℓ(λ0)
∑Ni=1 φ(Zi)K
(
λ0−Λi
h
)
h−d
N ℓ(λ0)
∑Ni=1 φ(Zi)
∇λff (Λi, Zi)K
(
λ0−Λi
h
)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.5/34
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Estimateurs
Prix Sensibilité β0
h−d
N ℓ(λ0)
∑Ni=1 φ(Zi)K
(
λ0−Λi
h
)
h−d
N ℓ(λ0)
∑Ni=1 φ(Zi)
∇λff (Λi, Zi)K
(
λ0−Λi
h
)
Trois estimateurs non paramétriques
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.6/34
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Estimateurs
Prix Sensibilité β0
h−d
N ℓ(λ0)
∑Ni=1 φ(Zi)K
(
λ0−Λi
h
)
h−d
N ℓ(λ0)
∑Ni=1 φ(Zi)
∇λff (Λi, Zi)K
(
λ0−Λi
h
)
Trois estimateurs non paramétriques
On estime ∇λff à l’aide d’un estimateur à noyau de f
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.6/34
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Estimateurs
Prix Sensibilité β0
h−d
N ℓ(λ0)
∑Ni=1 φ(Zi)K
(
λ0−Λi
h
)
h−d
N ℓ(λ0)
∑Ni=1 φ(Zi)
∇λff (Λi, Zi)K
(
λ0−Λi
h
)
Trois estimateurs non paramétriques
On estime ∇λff à l’aide d’un estimateur à noyau de f
On laisse N → ∞ à h fixe → E
[
φ(Z)∇λff (Λ, Z)K
(
λ0−Λh
)]
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.6/34
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Estimateurs
Prix Sensibilité β0
h−d
N ℓ(λ0)
∑Ni=1 φ(Zi)K
(
λ0−Λi
h
)
h−d
N ℓ(λ0)
∑Ni=1 φ(Zi)
∇λff (Λi, Zi)K
(
λ0−Λi
h
)
Trois estimateurs non paramétriques
On estime ∇λff à l’aide d’un estimateur à noyau de f
On laisse N → ∞ à h fixe → E
[
φ(Z)∇λff (Λ, Z)K
(
λ0−Λh
)]
Par une intégration par parties, ce terme est la limite de
βN :=h−d−1
ℓ(λ0)N
N∑
i=1
φ(Zi)
(
∇K
(
λ0 − Λi
h
)
− hK
(
λ0 − Λi
h
) ∇ℓ
ℓ(Λi)
)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.6/34
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Estimateurs
Prix Sensibilité β0
h−d
N ℓ(λ0)
∑Ni=1 φ(Zi)K
(
λ0−Λi
h
)
h−d
N ℓ(λ0)
∑Ni=1 φ(Zi)
∇λff (Λi, Zi)K
(
λ0−Λi
h
)
Trois estimateurs non paramétriques
On estime ∇λff à l’aide d’un estimateur à noyau de f
On laisse N → ∞ à h fixe → E
[
φ(Z)∇λff (Λ, Z)K
(
λ0−Λh
)]
Par une intégration par parties, ce terme est la limite de
βN :=h−d−1
ℓ(λ0)N
N∑
i=1
φ(Zi)
(
∇K
(
λ0 − Λi
h
)
− hK
(
λ0 − Λi
h
) ∇ℓ
ℓ(Λi)
)
On dérive l’estimateur du prix par rapport à λ0
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.6/34
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Convergence
βN :=h−d−1
ℓ(λ0)N
N∑
i=1
φ(Zi)
(
∇K
(
λ0 − Λi
h
)
− hK
(
λ0 − Λi
h
) ∇ℓ
ℓ(Λi)
)
Hypothèse: Régularité de ℓ et f et Nhd+2 → 0
Biais ∼ Chp
Variance ∼ Σ1
Nhd+2
√Nhd+2
(
βN − β0)
loi−→N→∞
N (0,Σ)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.7/34
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Convergence
βN :=h−d−1
ℓ(λ0)N
N∑
i=1
φ(Zi)
(
∇K
(
λ0 − Λi
h
)
− hK
(
λ0 − Λi
h
) ∇ℓ
ℓ(Λi)
)
Hypothèse: Régularité de ℓ et f et Nhd+2 → 0
Biais ∼ Chp
Variance ∼ Σ1
Nhd+2
√Nhd+2
(
βN − β0)
loi−→N→∞
N (0,Σ)
• ⇒ Vitesse en Np
d+2p+2Equilibre N et h ⇒ h∗ ∼ CN− 1
d+2p+2
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.7/34
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Convergence
βN :=h−d−1
ℓ(λ0)N
N∑
i=1
φ(Zi)
(
∇K
(
λ0 − Λi
h
)
− hK
(
λ0 − Λi
h
) ∇ℓ
ℓ(Λi)
)
Hypothèse: Régularité de ℓ et f et Nhd+2 → 0
Biais ∼ Chp
Variance ∼ Σ1
Nhd+2
√Nhd+2
(
βN − β0)
loi−→N→∞
N (0,Σ)
• ⇒ Vitesse en Np
d+2p+2Equilibre N et h ⇒ h∗ ∼ CN− 1
d+2p+2
• ⇒ Vitesse en Np
2p+2Densité ℓ de largeur h
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.7/34
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Convergence
βN :=h−d−1
ℓ(λ0)N
N∑
i=1
φ(Zi)
(
∇K
(
λ0 − Λi
h
)
− hK
(
λ0 − Λi
h
) ∇ℓ
ℓ(Λi)
)
Hypothèse: Régularité de ℓ et f et Nhd+2 → 0
Biais ∼ Chp
Variance ∼ Σ1
Nhd+2
√Nhd+2
(
βN − β0)
loi−→N→∞
N (0,Σ)
• ⇒ Vitesse en Np
d+2p+2Equilibre N et h ⇒ h∗ ∼ CN− 1
d+2p+2
• ⇒ Vitesse en Np
2p+2Densité ℓ de largeur h
• ⇒ Vitesse en N2
5Différences finies pour φ irrégulier
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.7/34
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Convergence
βN :=h−d−1
ℓ(λ0)N
N∑
i=1
φ(Zi)
(
∇K
(
λ0 − Λi
h
)
− hK
(
λ0 − Λi
h
) ∇ℓ
ℓ(Λi)
)
Hypothèse: Régularité de ℓ et f et Nhd+2 → 0
Biais ∼ Chp
Variance ∼ Σ1
Nhd+2
√Nhd+2
(
βN − β0)
loi−→N→∞
N (0,Σ)
• ⇒ Vitesse en Np
d+2p+2Equilibre N et h ⇒ h∗ ∼ CN− 1
d+2p+2
• ⇒ Vitesse en Np
2p+2Densité ℓ de largeur h
• ⇒ Vitesse en N2
5Différences finies pour φ irrégulier
⇒ Plus rapide dès que p > 4
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.7/34
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Call Digital Asiatique, N=1 Million
0,0277 0,0282 0,0287 0,0292 0,0297
K2 K4 K6 Malliavin FD "True value"
Distribution des estimateursContrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.8/34
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Call Digital Européen, N=1 Milliard
0,016525 0,016529 0,016533 0,016537 0,016541
K6 FD True value
Distribution des estimateursContrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.9/34
![Page 33: Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance … · 2020-05-16 · ENSAE-CREST, CEREMADE Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042620/5f3c543bb7a3993cd06c0e7c/html5/thumbnails/33.jpg)
Plan
Méthodes numériques probabilistes
Calcul des Grecques par estimateurs à noyaux
Résolution d’EDSPR découplée avec sauts
Gestion de portefeuille et contrainte drawdown
Solution explicite en horizon infini
Caractérisation par EDP en horizon fini
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.10/34
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Problème et littérature
Xt = x +∫ t
0µ(s, Xs)ds +
∫ t
0σ(s, Xs)dWs +
∫ t
0
∫
Eβ(s, Xs−, e)µ(de, ds) ,
Yt = g(X1) +∫ 1
th(s, Xs, Ys, Zs, Γs) ds −
∫ 1
tZs dWs−
∫ 1
t
∫
EUs(e)µ(de, ds)
avec Γs :=∫
E Us(e)γ(e)λ(de)
Hypothèses
W MB et µ mes. de Poisson indépendante compensée par
ν(de, dt) = λ(de)dt , avec λ(E) < ∞
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.11/34
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Problème et littérature
Xt = x +∫ t
0µ(s, Xs)ds +
∫ t
0σ(s, Xs)dWs +
∫ t
0
∫
Eβ(s, Xs−, e)µ(de, ds) ,
Yt = g(X1) +∫ 1
th(s, Xs, Ys, Zs, Γs) ds −
∫ 1
tZs dWs−
∫ 1
t
∫
EUs(e)µ(de, ds)
avec Γs :=∫
E Us(e)γ(e)λ(de)
Hypothèses
W MB et µ mes. de Poisson indépendante compensée par
ν(de, dt) = λ(de)dt , avec λ(E) < ∞Tous les coefficients sont Lipschitz et γ est bornée
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.11/34
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Problème et littérature
Xt = x +∫ t
0µ(s, Xs)ds +
∫ t
0σ(s, Xs)dWs +
∫ t
0
∫
Eβ(s, Xs−, e)µ(de, ds) ,
Yt = g(X1) +∫ 1
th(s, Xs, Ys, Zs, Γs) ds −
∫ 1
tZs dWs−
∫ 1
t
∫
EUs(e)µ(de, ds)
avec Γs :=∫
E Us(e)γ(e)λ(de)
Hypothèses
W MB et µ mes. de Poisson indépendante compensée par
ν(de, dt) = λ(de)dt , avec λ(E) < ∞Tous les coefficients sont Lipschitz et γ est bornée
Littérature
Existence, unicité et lien avec EID [TL94] [BBP97]
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.11/34
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Problème et littérature
Xt = x +∫ t
0µ(s, Xs)ds +
∫ t
0σ(s, Xs)dWs +
∫ t
0
∫
Eβ(s, Xs−, e)µ(de, ds) ,
Yt = g(X1) +∫ 1
th(s, Xs, Ys, Zs, Γs) ds −
∫ 1
tZs dWs−
∫ 1
t
∫
EUs(e)µ(de, ds)
avec Γs :=∫
E Us(e)γ(e)λ(de)
Hypothèses
W MB et µ mes. de Poisson indépendante compensée par
ν(de, dt) = λ(de)dt , avec λ(E) < ∞Tous les coefficients sont Lipschitz et γ est bornée
Littérature
Existence, unicité et lien avec EID [TL94] [BBP97]
Résolution numérique sans sauts [Z01] [BT04] [GLW05]
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.11/34
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Algorithme
Xt = x +∫ t
0µ(s, Xs)ds +
∫ t
0σ(s, Xs)dWs +
∫ t
0
∫
Eβ(s, Xs−, e)µ(de, ds) ,
Yt = g(X1) +∫ 1
th(s, Xs, Ys, Zs, Γs) ds −
∫ 1
tZs dWs−
∫ 1
t
∫
EUs(e)µ(de, ds)
avec Γs :=∫
E Us(e)γ(e)λ(de)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.12/34
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Algorithme
Xt = x +∫ t
0µ(s, Xs)ds +
∫ t
0σ(s, Xs)dWs +
∫ t
0
∫
Eβ(s, Xs−, e)µ(de, ds) ,
Yt = g(X1) +∫ 1
th(s, Xs, Ys, Zs, Γs) ds −
∫ 1
tZs dWs−
∫ 1
t
∫
EUs(e)µ(de, ds)
avec Γs :=∫
E Us(e)γ(e)λ(de)
Approximation Progressive Xπ de X
Xπti+1 := Xπ
ti +1nµ(ti,X
πti)+σ(ti,X
πti)∆Wti +
∫
E β(ti,Xπti , e)µ(de, (ti, ti+1])
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.12/34
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Algorithme
Xt = x +∫ t
0µ(s, Xs)ds +
∫ t
0σ(s, Xs)dWs +
∫ t
0
∫
Eβ(s, Xs−, e)µ(de, ds) ,
Yt = g(X1) +∫ 1
th(s, Xs, Ys, Zs, Γs) ds −
∫ 1
tZs dWs−
∫ 1
t
∫
EUs(e)µ(de, ds)
avec Γs :=∫
E Us(e)γ(e)λ(de)
Approximation Progressive Xπ de X
Xπti+1 := Xπ
ti +1nµ(ti,X
πti)+σ(ti,X
πti)∆Wti +
∫
E β(ti,Xπti , e)µ(de, (ti, ti+1])
Approximation Rétrograde (Y π, Zπ, Γπ) de (Y,Z,Γ)
Y π1 := g(Xπ
1 ) et
Zπti := n E
[
Y πti+1
∆Wti | Fti
]
Γπti := n E
[
Y πti+1
∫
E γ(e)µ(de, (ti, ti+1]) | Fti
]
Y πti := E
[
Y πti+1
| Fti
]
+ 1n h
(
ti,Xπti , Y
πti , Zπ
ti , Γπti
)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.12/34
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Algorithme: de Y πti+1
à Y πti
Yti= Yti+1
+∫ ti+1
ti
h (r, Xr, Yr, Zr, Γr) dr −∫ ti+1
ti
ZrdWr −∫ ti+1
ti
∫
EUr(e)µ(de, dr)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.13/34
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Algorithme: de Y πti+1
à Y πti
Yti= Yti+1
+∫ ti+1
ti
h (r, Xr, Yr, Zr, Γr) dr −∫ ti+1
ti
ZrdWr −∫ ti+1
ti
∫
EUr(e)µ(de, dr)
Générateur constant, (Zπ, Uπ) donné par représentation de Y πti+1
Y πti
= Y πti+1
+ 1
nh
(
ti, Xπti
, Y πti
, Zπti, Γπ
ti
)
−∫ ti+1
ti
Zπr dWr −
∫ ti+1
ti
∫
EUπ
r (e) µ(de, dr)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.13/34
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Algorithme: de Y πti+1
à Y πti
Yti= Yti+1
+∫ ti+1
ti
h (r, Xr, Yr, Zr, Γr) dr −∫ ti+1
ti
ZrdWr −∫ ti+1
ti
∫
EUr(e)µ(de, dr)
Générateur constant, (Zπ, Uπ) donné par représentation de Y πti+1
Y πti
= Y πti+1
+ 1
nh
(
ti, Xπti
, Y πti
, Zπti, Γπ
ti
)
−∫ ti+1
ti
Zπr dWr −
∫ ti+1
ti
∫
EUπ
r (e) µ(de, dr)
Approximation dans L2(Ω × [ti, ti+1]) de Zπ et Γπ =∫
EUπ(e)γ(e)λ(de)
par des v.a. Fti-mesurables
Zπti
:= n E
[
∫ ti+1
ti
Zπr dr | Fti
]
= n E
[
Y πti+1
∆Wti| Fti
]
Γπti
:= n E
[
∫ ti+1
ti
Γπs ds | Fti
]
= n E
[
Y πti+1
∫
Eγ(e)µ(de, (ti, ti+1]) | Fti
]
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.13/34
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Algorithme: de Y πti+1
à Y πti
Yti= Yti+1
+∫ ti+1
ti
h (r, Xr, Yr, Zr, Γr) dr −∫ ti+1
ti
ZrdWr −∫ ti+1
ti
∫
EUr(e)µ(de, dr)
Générateur constant, (Zπ, Uπ) donné par représentation de Y πti+1
Y πti
= Y πti+1
+ 1
nh
(
ti, Xπti
, Y πti
, Zπti, Γπ
ti
)
−∫ ti+1
ti
Zπr dWr −
∫ ti+1
ti
∫
EUπ
r (e) µ(de, dr)
Approximation dans L2(Ω × [ti, ti+1]) de Zπ et Γπ =∫
EUπ(e)γ(e)λ(de)
par des v.a. Fti-mesurables
Zπti
:= n E
[
∫ ti+1
ti
Zπr dr | Fti
]
= n E
[
Y πti+1
∆Wti| Fti
]
Γπti
:= n E
[
∫ ti+1
ti
Γπs ds | Fti
]
= n E
[
Y πti+1
∫
Eγ(e)µ(de, (ti, ti+1]) | Fti
]
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.13/34
![Page 45: Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance … · 2020-05-16 · ENSAE-CREST, CEREMADE Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042620/5f3c543bb7a3993cd06c0e7c/html5/thumbnails/45.jpg)
Algorithme: de Y πti+1
à Y πti
Yti= Yti+1
+∫ ti+1
ti
h (r, Xr, Yr, Zr, Γr) dr −∫ ti+1
ti
ZrdWr −∫ ti+1
ti
∫
EUr(e)µ(de, dr)
Générateur constant, (Zπ, Uπ) donné par représentation de Y πti+1
Y πti
= Y πti+1
+ 1
nh
(
ti, Xπti
, Y πti
, Zπti, Γπ
ti
)
−∫ ti+1
ti
Zπr dWr −
∫ ti+1
ti
∫
EUπ
r (e) µ(de, dr)
Approximation dans L2(Ω × [ti, ti+1]) de Zπ et Γπ =∫
EUπ(e)γ(e)λ(de)
par des v.a. Fti-mesurables
Zπti
:= n E
[
∫ ti+1
ti
Zπr dr | Fti
]
= n E
[
Y πti+1
∆Wti| Fti
]
Γπti
:= n E
[
∫ ti+1
ti
Γπs ds | Fti
]
= n E
[
Y πti+1
∫
Eγ(e)µ(de, (ti, ti+1]) | Fti
]
Conditionnant la première expression
Y πti
= E
[
Y πti+1
| Fti
]
+ 1
nh
(
ti, Xπti, Y π
ti, Zπ
ti, Γπ
ti
)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.13/34
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Algorithme
Xt = x +∫ t
0µ(s, Xs)ds +
∫ t
0σ(s, Xs)dWs +
∫ t
0
∫
Eβ(s, Xs−, e)µ(de, ds) ,
Yt = g(X1) +∫ 1
th(s, Xs, Ys, Zs, Γs) ds −
∫ 1
tZs dWs−
∫ 1
t
∫
EUs(e)µ(de, ds)
Approximation Progressive Xπ de X
Approximation Rétrograde (Y π, Zπ, Γπ) de (Y,Z,Γ)
Y π1 := g(Xπ
1 ) et
Zπti := n E
[
Y πti+1
∆Wti | Fti
]
Γπti := n E
[
Y πti+1
∫
E γ(e)µ(de, (ti, ti+1]) | Fti
]
Y πti := E
[
Y πti+1
| Fti
]
+ 1n h
(
ti,Xπti , Y
πti , Zπ
ti , Γπti
)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.14/34
![Page 47: Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance … · 2020-05-16 · ENSAE-CREST, CEREMADE Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042620/5f3c543bb7a3993cd06c0e7c/html5/thumbnails/47.jpg)
Algorithme
Xt = x +∫ t
0µ(s, Xs)ds +
∫ t
0σ(s, Xs)dWs +
∫ t
0
∫
Eβ(s, Xs−, e)µ(de, ds) ,
Yt = g(X1) +∫ 1
th(s, Xs, Ys, Zs, Γs) ds −
∫ 1
tZs dWs−
∫ 1
t
∫
EUs(e)µ(de, ds)
Approximation Progressive Xπ de X
Approximation Rétrograde (Y π, Zπ, Γπ) de (Y,Z,Γ)
Y π1 := g(Xπ
1 ) et
Zπti := n E
[
Y πti+1
∆Wti | Fti
]
Γπti := n E
[
Y πti+1
∫
E γ(e)µ(de, (ti, ti+1]) | Fti
]
Y πti := E
[
Y πti+1
| Fti
]
+ 1n h
(
ti,Xπti , Y
πti , Zπ
ti , Γπti
)
Quelle est l’erreur d’approximation ?
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.14/34
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Algorithme
Xt = x +∫ t
0µ(s, Xs)ds +
∫ t
0σ(s, Xs)dWs +
∫ t
0
∫
Eβ(s, Xs−, e)µ(de, ds) ,
Yt = g(X1) +∫ 1
th(s, Xs, Ys, Zs, Γs) ds −
∫ 1
tZs dWs−
∫ 1
t
∫
EUs(e)µ(de, ds)
Approximation Progressive Xπ de X
Approximation Rétrograde (Y π, Zπ, Γπ) de (Y,Z,Γ)
Y π1 := g(Xπ
1 ) et
Zπti := n E
[
Y πti+1
∆Wti | Fti
]
Γπti := n E
[
Y πti+1
∫
E γ(e)µ(de, (ti, ti+1]) | Fti
]
Y πti := E
[
Y πti+1
| Fti
]
+ 1n h
(
ti,Xπti , Y
πti , Zπ
ti , Γπti
)
Quelle est l’erreur d’approximation ?
Statistique / DiscrétisationContrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.14/34
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Convergence
Erreur d’approximation
Errn :=(
supti E[
|Yti − Y πti |2
]
+∑n
i=1
∫ ti+1
ti|Zs − Zπ
ti |2ds + |Γs − Γπti |2ds
)1
2
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.15/34
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Convergence
Erreur d’approximation
Errn :=(
supti E[
|Yti − Y πti |2
]
+∑n
i=1
∫ ti+1
ti|Zs − Zπ
ti |2ds + |Γs − Γπti |2ds
)1
2
Représentation et régularité
Yt s’écrit y(t,Xt) avec y lipschitz
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.15/34
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Convergence
Erreur d’approximation
Errn :=(
supti E[
|Yti − Y πti |2
]
+∑n
i=1
∫ ti+1
ti|Zs − Zπ
ti |2ds + |Γs − Γπti |2ds
)1
2
Représentation et régularité
Yt s’écrit y(t,Xt) avec y lipschitz
U partie saut de Y ⇒Ut(e) = y(t,Xt− + β(t,Xt−, e)) − y(t,Xt−)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.15/34
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Convergence
Erreur d’approximation
Errn :=(
supti E[
|Yti − Y πti |2
]
+∑n
i=1
∫ ti+1
ti|Zs − Zπ
ti |2ds + |Γs − Γπti |2ds
)1
2
Représentation et régularité
Yt s’écrit y(t,Xt) avec y lipschitz
U partie saut de Y ⇒Ut(e) = y(t,Xt− + β(t,Xt−, e)) − y(t,Xt−)
Z, dérivée de Malliavin de Y , solution d’une EDSR linéaire
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.15/34
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Convergence
Erreur d’approximation
Errn :=(
supti E[
|Yti − Y πti |2
]
+∑n
i=1
∫ ti+1
ti|Zs − Zπ
ti |2ds + |Γs − Γπti |2ds
)1
2
Représentation et régularité
Yt s’écrit y(t,Xt) avec y lipschitz
U partie saut de Y ⇒Ut(e) = y(t,Xt− + β(t,Xt−, e)) − y(t,Xt−)
Z, dérivée de Malliavin de Y , solution d’une EDSR linéaire
Vitesse
Coefficients Lipschitz ⇒ Errn ≤ Cεn−1/2+ε ∀ε > 0
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.15/34
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Convergence
Erreur d’approximation
Errn :=(
supti E[
|Yti − Y πti |2
]
+∑n
i=1
∫ ti+1
ti|Zs − Zπ
ti |2ds + |Γs − Γπti |2ds
)1
2
Représentation et régularité
Yt s’écrit y(t,Xt) avec y lipschitz
U partie saut de Y ⇒Ut(e) = y(t,Xt− + β(t,Xt−, e)) − y(t,Xt−)
Z, dérivée de Malliavin de Y , solution d’une EDSR linéaire
Vitesse
Coefficients Lipschitz ⇒ Errn ≤ Cεn−1/2+ε ∀ε > 0
∇X inversible ou coefficients C1b ⇒ Errn ≤ Cn−1/2
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.15/34
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Put avec risque de défaut du vendeur
• Temps de défaut τ ∼ E(c)
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8
True U1 (c = 0,1) Estimated U1 (c = 0,1)True U1 (c = 0,5) Estimated U1 (c = 0,5)
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8
True U1 (c = 0,1) Estimated U1 (c = 0,1)True U1 (c = 0,5) Estimated U1 (c = 0,5)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.16/34
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Put avec risque de défaut du vendeur
• Temps de défaut τ ∼ E(c)τ > T g1(XT ) = [5 − XT ]+
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8
True U1 (c = 0,1) Estimated U1 (c = 0,1)True U1 (c = 0,5) Estimated U1 (c = 0,5)
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8
True U1 (c = 0,1) Estimated U1 (c = 0,1)True U1 (c = 0,5) Estimated U1 (c = 0,5)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.16/34
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Put avec risque de défaut du vendeur
• Temps de défaut τ ∼ E(c)τ > T g1(XT ) = [5 − XT ]+
τ < T g0(XT ) = g1(XT ) ∧ 0.5
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8
True U1 (c = 0,1) Estimated U1 (c = 0,1)True U1 (c = 0,5) Estimated U1 (c = 0,5)
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8
True U1 (c = 0,1) Estimated U1 (c = 0,1)True U1 (c = 0,5) Estimated U1 (c = 0,5)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.16/34
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Put avec risque de défaut du vendeur
• Temps de défaut τ ∼ E(c)τ > T g1(XT ) = [5 − XT ]+
τ < T g0(XT ) = g1(XT ) ∧ 0.5• Prix:u0(t, x) := E [g0(XT ) /Xt = x]
u1(0, x) := E
[
g1(XT )e−cT +∫ T0 u0(s,Xs)ce
−csds /X0 = x]
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8
True U1 (c = 0,1) Estimated U1 (c = 0,1)True U1 (c = 0,5) Estimated U1 (c = 0,5)
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8
True U1 (c = 0,1) Estimated U1 (c = 0,1)True U1 (c = 0,5) Estimated U1 (c = 0,5)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.16/34
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Put avec risque de défaut du vendeur
• Temps de défaut τ ∼ E(c)τ > T g1(XT ) = [5 − XT ]+
τ < T g0(XT ) = g1(XT ) ∧ 0.5• Prix:u0(t, x) := E [g0(XT ) /Xt = x]
u1(0, x) := E
[
g1(XT )e−cT +∫ T0 u0(s,Xs)ce
−csds /X0 = x]
• EDP:
Lu0 = 0 , u0(T, ·) = g0
Lu1 + c(u0 − u1) = 0 , u1(T, ·) = g1
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8
True U1 (c = 0,1) Estimated U1 (c = 0,1)True U1 (c = 0,5) Estimated U1 (c = 0,5)
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8
True U1 (c = 0,1) Estimated U1 (c = 0,1)True U1 (c = 0,5) Estimated U1 (c = 0,5)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.16/34
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Put avec risque de défaut du vendeur
• Temps de défaut τ ∼ E(c)τ > T g1(XT ) = [5 − XT ]+
τ < T g0(XT ) = g1(XT ) ∧ 0.5• Prix:u0(t, x) := E [g0(XT ) /Xt = x]
u1(0, x) := E
[
g1(XT )e−cT +∫ T0 u0(s,Xs)ce
−csds /X0 = x]
• EDP:
Lu0 = 0 , u0(T, ·) = g0
Lu1 + c(u0 − u1) = 0 , u1(T, ·) = g1
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8
True U1 (c = 0,1) Estimated U1 (c = 0,1)True U1 (c = 0,5) Estimated U1 (c = 0,5)
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8
True U1 (c = 0,1) Estimated U1 (c = 0,1)True U1 (c = 0,5) Estimated U1 (c = 0,5)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.16/34
![Page 61: Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance … · 2020-05-16 · ENSAE-CREST, CEREMADE Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042620/5f3c543bb7a3993cd06c0e7c/html5/thumbnails/61.jpg)
Plan
Méthodes numériques probabilistes
Calcul des Grecques par estimateurs à noyaux
Résolution d’EDSPR découplée avec sauts
Gestion de portefeuille et contrainte drawdown
Solution explicite en horizon infini
Caractérisation par EDP en horizon fini
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.17/34
![Page 62: Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance … · 2020-05-16 · ENSAE-CREST, CEREMADE Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042620/5f3c543bb7a3993cd06c0e7c/html5/thumbnails/62.jpg)
Problème
Un gestionnaire de fond dispose d’un capital initial x et peut
investir θ dans un actif risqué: dSt = σSt(dWt + λdt)
consommer C: verser des dividendes aux investisseurs
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.18/34
![Page 63: Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance … · 2020-05-16 · ENSAE-CREST, CEREMADE Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042620/5f3c543bb7a3993cd06c0e7c/html5/thumbnails/63.jpg)
Problème
Un gestionnaire de fond dispose d’un capital initial x et peut
investir θ dans un actif risqué: dSt = σSt(dWt + λdt)
consommer C: verser des dividendes aux investisseurs
Richesse: Xx,C,θt = x −
∫ t0 Crdr +
∫ t0 σθr (dWr + λdr)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.18/34
![Page 64: Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance … · 2020-05-16 · ENSAE-CREST, CEREMADE Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042620/5f3c543bb7a3993cd06c0e7c/html5/thumbnails/64.jpg)
Problème
Un gestionnaire de fond dispose d’un capital initial x et peut
investir θ dans un actif risqué: dSt = σSt(dWt + λdt)
consommer C: verser des dividendes aux investisseurs
Richesse: Xx,C,θt = x −
∫ t0 Crdr +
∫ t0 σθr (dWr + λdr)
Pour rassurer ses investisseurs, il s’impose une
Contrainte drawdown : Xx,C,θt ≥ α
(
Xx,C,θ)∗
t
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.18/34
![Page 65: Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance … · 2020-05-16 · ENSAE-CREST, CEREMADE Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042620/5f3c543bb7a3993cd06c0e7c/html5/thumbnails/65.jpg)
Problème
Un gestionnaire de fond dispose d’un capital initial x et peut
investir θ dans un actif risqué: dSt = σSt(dWt + λdt)
consommer C: verser des dividendes aux investisseurs
Richesse: Xx,C,θt = x −
∫ t0 Crdr +
∫ t0 σθr (dWr + λdr)
Pour rassurer ses investisseurs, il s’impose une
Contrainte drawdown : Xx,C,θt ≥ α
(
Xx,C,θ)∗
t
Quelle est la stratégie (C, θ) optimale ?
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.18/34
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Littérature
Richesse: Xx,C,θt = x −
∫ t0 Crdr +
∫ t0 σθr (dWr + λdr)
Contrainte drawdown : Xx,C,θt ≥ α
(
Xx,C,θ)∗
t
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.19/34
![Page 67: Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance … · 2020-05-16 · ENSAE-CREST, CEREMADE Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042620/5f3c543bb7a3993cd06c0e7c/html5/thumbnails/67.jpg)
Littérature
Richesse: Xx,C,θt = x −
∫ t0 Crdr +
∫ t0 σθr (dWr + λdr)
Contrainte drawdown : Xx,C,θt ≥ α
(
Xx,C,θ)∗
t
Taux de croissance à long terme [GZ93] [CK95]
u(x) = supθ∈AD
lim supt→∞
1
tlog E
[(
Xx,C,θt
)p]
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.19/34
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Littérature
Richesse: Xx,C,θt = x −
∫ t0 Crdr +
∫ t0 σθr (dWr + λdr)
Contrainte drawdown : Xx,C,θt ≥ α
(
Xx,C,θ)∗
t
Taux de croissance à long terme [GZ93] [CK95]
u(x) = supθ∈AD
lim supt→∞
1
tlog E
[(
Xx,C,θt
)p]
⇒ Investissement θt = π(
Xx,C,θt − α
(
Xx,C,θ)∗
t
)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.19/34
![Page 69: Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance … · 2020-05-16 · ENSAE-CREST, CEREMADE Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042620/5f3c543bb7a3993cd06c0e7c/html5/thumbnails/69.jpg)
Littérature
Richesse: Xx,C,θt = x −
∫ t0 Crdr +
∫ t0 σθr (dWr + λdr)
Contrainte drawdown : Xx,C,θt ≥ α
(
Xx,C,θ)∗
t
Taux de croissance à long terme [GZ93] [CK95]
u(x) = supθ∈AD
lim supt→∞
1
tlog E
[(
Xx,C,θt
)p]
⇒ Investissement θt = π(
Xx,C,θt − α
(
Xx,C,θ)∗
t
)
Utilité puissance intertemporelle [R06]
u(x) = sup(C,θ)∈AD
E
[∫ ∞
0e−βt Ct
pdt
]
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.19/34
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Modélisation
Richesse: Xx,C,θt = x −
∫ t0 Crdr +
∫ t0 σθr (dWr + λdr)
Contrainte drawdown : Xx,C,θt ≥ α
(
Xx,C,θ)∗
t
Utilité générale intertemporelle
u(x) := sup(C,θ)∈AD
E
[∫ ∞
0e−βt U(Ct)dt
]
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.20/34
![Page 71: Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance … · 2020-05-16 · ENSAE-CREST, CEREMADE Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042620/5f3c543bb7a3993cd06c0e7c/html5/thumbnails/71.jpg)
Modélisation
Richesse: Xx,C,θt = x −
∫ t0 Crdr +
∫ t0 σθr (dWr + λdr)
Contrainte drawdown : Xx,C,θt ≥ α
(
Xx,C,θ)∗
t
Utilité générale intertemporelle
u(x) := sup(C,θ)∈AD
E
[∫ ∞
0e−βt U(Ct)dt
]
AD contient l’ensemble des stratégies de la forme
[θt, Ct] = [πt, ct](
Xx,C,θt − α
(
Xx,C,θ)∗
t
)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.20/34
![Page 72: Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance … · 2020-05-16 · ENSAE-CREST, CEREMADE Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042620/5f3c543bb7a3993cd06c0e7c/html5/thumbnails/72.jpg)
Modélisation
Richesse: Xx,C,θt = x −
∫ t0 Crdr +
∫ t0 σθr (dWr + λdr)
Contrainte drawdown : Xx,C,θt ≥ α
(
Xx,C,θ)∗
t
Utilité générale intertemporelle
u(x) := sup(C,θ)∈AD
E
[∫ ∞
0e−βt U(Ct)dt
]
AD contient l’ensemble des stratégies de la forme
[θt, Ct] = [πt, ct](
Xx,C,θt − α
(
Xx,C,θ)∗
t
)
Clef: Mt :=[
Xx,C,θt − α
(
Xx,C,θ)∗
] [
(
Xx,C,θ)∗
]α/(1−α)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.20/34
![Page 73: Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance … · 2020-05-16 · ENSAE-CREST, CEREMADE Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042620/5f3c543bb7a3993cd06c0e7c/html5/thumbnails/73.jpg)
Modélisation
Richesse: Xx,C,θt = x −
∫ t0 Crdr +
∫ t0 σθr (dWr + λdr)
Contrainte drawdown : Xx,C,θt ≥ α Zx,z,C,θ
t
avec Zx,z,C,θt := z ∨
(
Xx,C,θt
)∗
Utilité générale intertemporelle
u(x, z) := sup(C,θ)∈AD
E
[∫ ∞
0e−βt U(Ct)dt
]
AD contient l’ensemble des stratégies de la forme
[θt, Ct] = [πt, ct](
Xx,C,θt − αZx,z,C,θ
t
)
Clef: Mt :=[
Xx,C,θt − αZx,z,C,θ
t
] [
Zx,z,C,θt
]α/(1−α)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.21/34
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Propriétés
Hypothèses: U est C2, croissante, concave, satisfait Inada et
p := lim supx→∞
xU ′(x)
U(x)<
γ
(1 − α)(1 + γ)< 1 , avec γ :=
2β
λ2
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.22/34
![Page 75: Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance … · 2020-05-16 · ENSAE-CREST, CEREMADE Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042620/5f3c543bb7a3993cd06c0e7c/html5/thumbnails/75.jpg)
Propriétés
Hypothèses: U est C2, croissante, concave, satisfait Inada et
p := lim supx→∞
xU ′(x)
U(x)<
γ
(1 − α)(1 + γ)< 1 , avec γ :=
2β
λ2
Propriétés de la fonction valeur
u(., z) est concave et croissante
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.22/34
![Page 76: Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance … · 2020-05-16 · ENSAE-CREST, CEREMADE Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042620/5f3c543bb7a3993cd06c0e7c/html5/thumbnails/76.jpg)
Propriétés
Hypothèses: U est C2, croissante, concave, satisfait Inada et
p := lim supx→∞
xU ′(x)
U(x)<
γ
(1 − α)(1 + γ)< 1 , avec γ :=
2β
λ2
Propriétés de la fonction valeur
u(., z) est concave et croissante u(x, .) est décroissante
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.22/34
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Propriétés
Hypothèses: U est C2, croissante, concave, satisfait Inada et
p := lim supx→∞
xU ′(x)
U(x)<
γ
(1 − α)(1 + γ)< 1 , avec γ :=
2β
λ2
Propriétés de la fonction valeur
u(., z) est concave et croissante u(x, .) est décroissante
u(x, z) ≤ u0(x, z)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.22/34
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Propriétés
Hypothèses: U est C2, croissante, concave, satisfait Inada et
p := lim supx→∞
xU ′(x)
U(x)<
γ
(1 − α)(1 + γ)< 1 , avec γ :=
2β
λ2
Propriétés de la fonction valeur
u(., z) est concave et croissante u(x, .) est décroissante
u(x, z) ≤ u0(x, z)≤ K(1 + xp)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.22/34
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Propriétés
Hypothèses: U est C2, croissante, concave, satisfait Inada et
p := lim supx→∞
xU ′(x)
U(x)<
γ
(1 − α)(1 + γ)< 1 , avec γ :=
2β
λ2
Propriétés de la fonction valeur
u(., z) est concave et croissante u(x, .) est décroissante
u(x, z) ≤ u0(x, z)≤ K(1 + xp) u(αz, z) = 0
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.22/34
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Propriétés
Hypothèses: U est C2, croissante, concave, satisfait Inada et
p := lim supx→∞
xU ′(x)
U(x)<
γ
(1 − α)(1 + γ)< 1 , avec γ :=
2β
λ2
Propriétés de la fonction valeur
u(., z) est concave et croissante u(x, .) est décroissante
u(x, z) ≤ u0(x, z)≤ K(1 + xp) u(αz, z) = 0 uz(z, z) = 0
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.22/34
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Propriétés
Hypothèses: U est C2, croissante, concave, satisfait Inada et
p := lim supx→∞
xU ′(x)
U(x)<
γ
(1 − α)(1 + γ)< 1 , avec γ :=
2β
λ2
Propriétés de la fonction valeur
u(., z) est concave et croissante u(x, .) est décroissante
u(x, z) ≤ u0(x, z)≤ K(1 + xp) u(αz, z) = 0 uz(z, z) = 0
Programmation Dynamique
βu− supC≥0,θ∈R
[
U (C) + (θσλ − C)ux +θ2σ2
2uxx
]
= 0 , αz < x < z
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.22/34
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Propriétés
Hypothèses: U est C2, croissante, concave, satisfait Inada et
p := lim supx→∞
xU ′(x)
U(x)<
γ
(1 − α)(1 + γ)< 1 , avec γ :=
2β
λ2
Propriétés de la fonction valeur
u(., z) est concave et croissante u(x, .) est décroissante
u(x, z) ≤ u0(x, z)≤ K(1 + xp) u(αz, z) = 0 uz(z, z) = 0
Programmation Dynamique
βu− supC≥0,θ∈R
[
U (C) + (θσλ − C)ux +θ2σ2
2uxx
]
= 0 , αz < x < z
C∗ = −V ′(ux)
θ∗ = −λux/σuxx
⇒ βu−V (ux)+λ2
2
u2x
uxx= 0 , αz < x < z
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.22/34
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Dualité v(y, z) := supx≥0[u(x, z) − xy]
EDP primale
αz < x < z
βu − V (ux) +λ2
2
u2x
uxx= 0
uz(z, z) = 0
u(αz, z) = 0
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.23/34
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Dualité v(y, z) := supx≥0[u(x, z) − xy]
EDP primale
αz < x < z
βu − V (ux) +λ2
2
u2x
uxx= 0
uz(z, z) = 0
u(αz, z) = 0
EDP Duale
ϕ(z) < y < ϕα(z)
ϕ(z) := ux(z, z) et ϕα(z) := ux(αz, z)
βv − βyvy −λ2
2y2vyy = V (y)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.23/34
![Page 85: Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance … · 2020-05-16 · ENSAE-CREST, CEREMADE Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042620/5f3c543bb7a3993cd06c0e7c/html5/thumbnails/85.jpg)
Dualité v(y, z) := supx≥0[u(x, z) − xy]
EDP primale
αz < x < z
βu − V (ux) +λ2
2
u2x
uxx= 0
uz(z, z) = 0
u(αz, z) = 0
EDP Duale
ϕ(z) < y < ϕα(z)
ϕ(z) := ux(z, z) et ϕα(z) := ux(αz, z)
βv − βyvy −λ2
2y2vyy = V (y)
vz(ϕ(z), z) = 0
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.23/34
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Dualité v(y, z) := supx≥0[u(x, z) − xy]
EDP primale
αz < x < z
βu − V (ux) +λ2
2
u2x
uxx= 0
uz(z, z) = 0
u(αz, z) = 0
EDP Duale
ϕ(z) < y < ϕα(z)
ϕ(z) := ux(z, z) et ϕα(z) := ux(αz, z)
βv − βyvy −λ2
2y2vyy = V (y)
vz(ϕ(z), z) = 0
v(ϕα(z), z) = −αzϕα(z)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.23/34
![Page 87: Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance … · 2020-05-16 · ENSAE-CREST, CEREMADE Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042620/5f3c543bb7a3993cd06c0e7c/html5/thumbnails/87.jpg)
Dualité v(y, z) := supx≥0[u(x, z) − xy]
EDP primale
αz < x < z
βu − V (ux) +λ2
2
u2x
uxx= 0
uz(z, z) = 0
u(αz, z) = 0
EDP Duale
ϕ(z) < y < ϕα(z)
ϕ(z) := ux(z, z) et ϕα(z) := ux(αz, z)
βv − βyvy −λ2
2y2vyy = V (y)
vz(ϕ(z), z) = 0
v(ϕα(z), z) = −αzϕα(z)
ϕα = ∞ mène à vz comme fonction de ϕ
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.23/34
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Dualité v(y, z) := supx≥0[u(x, z) − xy]
EDP primale
αz < x < z
βu − V (ux) +λ2
2
u2x
uxx= 0
uz(z, z) = 0
u(αz, z) = 0
EDP Duale
ϕ(z) < y < ϕα(z)
ϕ(z) := ux(z, z) et ϕα(z) := ux(αz, z)
βv − βyvy −λ2
2y2vyy = V (y)
vz(ϕ(z), z) = 0
v(ϕα(z), z) = −αzϕα(z)
ϕα = ∞ mène à vz comme fonction de ϕ
On déduit vy en fonction de ϕ
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.23/34
![Page 89: Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance … · 2020-05-16 · ENSAE-CREST, CEREMADE Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042620/5f3c543bb7a3993cd06c0e7c/html5/thumbnails/89.jpg)
Dualité v(y, z) := supx≥0[u(x, z) − xy]
EDP primale
αz < x < z
βu − V (ux) +λ2
2
u2x
uxx= 0
uz(z, z) = 0
u(αz, z) = 0
EDP Duale
ϕ(z) < y < ϕα(z)
ϕ(z) := ux(z, z) et ϕα(z) := ux(αz, z)
βv − βyvy −λ2
2y2vyy = V (y)
vz(ϕ(z), z) = 0
v(ϕα(z), z) = −αzϕα(z)
ϕα = ∞ mène à vz comme fonction de ϕ
On déduit vy en fonction de ϕ
ϕ déterminée implicitement par vy(ϕ(z), z) = −z
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.23/34
![Page 90: Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance … · 2020-05-16 · ENSAE-CREST, CEREMADE Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042620/5f3c543bb7a3993cd06c0e7c/html5/thumbnails/90.jpg)
Dualité v(y, z) := supx≥0[u(x, z) − xy]
EDP primale
αz < x < z
βu − V (ux) +λ2
2
u2x
uxx= 0
uz(z, z) = 0
u(αz, z) = 0
EDP Duale
ϕ(z) < y < ϕα(z)
ϕ(z) := ux(z, z) et ϕα(z) := ux(αz, z)
βv − βyvy −λ2
2y2vyy = V (y)
vz(ϕ(z), z) = 0
v(ϕα(z), z) = −αzϕα(z)
ϕα = ∞ mène à vz comme fonction de ϕ
On déduit vy en fonction de ϕ
ϕ déterminée implicitement par vy(ϕ(z), z) = −z
u déterminée implicitement si γ < (1 − α)(1 + γ)Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.23/34
![Page 91: Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance … · 2020-05-16 · ENSAE-CREST, CEREMADE Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042620/5f3c543bb7a3993cd06c0e7c/html5/thumbnails/91.jpg)
Vérification
Hypothèses: U est C2, croissante, concave, satisfait Inada et
p := lim supx→∞
xU ′(x)
U(x)<
γ
(1 − α)(1 + γ)< 1 , avec γ :=
2β
λ2
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.24/34
![Page 92: Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance … · 2020-05-16 · ENSAE-CREST, CEREMADE Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042620/5f3c543bb7a3993cd06c0e7c/html5/thumbnails/92.jpg)
Vérification
Hypothèses: U est C2, croissante, concave, satisfait Inada et
p := lim supx→∞
xU ′(x)
U(x)<
γ
(1 − α)(1 + γ)< 1 , avec γ :=
2β
λ2
Théorème de vérification
u ∈ C0(
Dα
)
∩ C2,1 (Dα) avec Dα := (x, z) : αz < x < z
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.24/34
![Page 93: Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance … · 2020-05-16 · ENSAE-CREST, CEREMADE Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042620/5f3c543bb7a3993cd06c0e7c/html5/thumbnails/93.jpg)
Vérification
Hypothèses: U est C2, croissante, concave, satisfait Inada et
p := lim supx→∞
xU ′(x)
U(x)<
γ
(1 − α)(1 + γ)< 1 , avec γ :=
2β
λ2
Théorème de vérification
u ∈ C0(
Dα
)
∩ C2,1 (Dα) avec Dα := (x, z) : αz < x < z
u est solution de l’EDP primale
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.24/34
![Page 94: Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance … · 2020-05-16 · ENSAE-CREST, CEREMADE Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042620/5f3c543bb7a3993cd06c0e7c/html5/thumbnails/94.jpg)
Vérification
Hypothèses: U est C2, croissante, concave, satisfait Inada et
p := lim supx→∞
xU ′(x)
U(x)<
γ
(1 − α)(1 + γ)< 1 , avec γ :=
2β
λ2
Théorème de vérification
u ∈ C0(
Dα
)
∩ C2,1 (Dα) avec Dα := (x, z) : αz < x < z
u est solution de l’EDP primale
Sol. unique à l’EDS de la richesse pour la stratégie optimale
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.24/34
![Page 95: Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance … · 2020-05-16 · ENSAE-CREST, CEREMADE Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042620/5f3c543bb7a3993cd06c0e7c/html5/thumbnails/95.jpg)
Vérification
Hypothèses: U est C2, croissante, concave, satisfait Inada et
p := lim supx→∞
xU ′(x)
U(x)<
γ
(1 − α)(1 + γ)< 1 , avec γ :=
2β
λ2
Théorème de vérification
u ∈ C0(
Dα
)
∩ C2,1 (Dα) avec Dα := (x, z) : αz < x < z
u est solution de l’EDP primale
Sol. unique à l’EDS de la richesse pour la stratégie optimale
u(x, z) ≤ K(
1 + zαp(x − αz)(1−α)p)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.24/34
![Page 96: Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance … · 2020-05-16 · ENSAE-CREST, CEREMADE Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042620/5f3c543bb7a3993cd06c0e7c/html5/thumbnails/96.jpg)
Vérification
Hypothèses: U est C2, croissante, concave, satisfait Inada et
p := lim supx→∞
xU ′(x)
U(x)<
γ
(1 − α)(1 + γ)< 1 , avec γ :=
2β
λ2
Théorème de vérification
u ∈ C0(
Dα
)
∩ C2,1 (Dα) avec Dα := (x, z) : αz < x < z
u est solution de l’EDP primale
Sol. unique à l’EDS de la richesse pour la stratégie optimale
u(x, z) ≤ K(
1 + zαp(x − αz)(1−α)p)
Martingale d’Azema-Yor, contrainte non-linéaire ? [EM06]
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.24/34
![Page 97: Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance … · 2020-05-16 · ENSAE-CREST, CEREMADE Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042620/5f3c543bb7a3993cd06c0e7c/html5/thumbnails/97.jpg)
Stratégie optimale
U(x) = xp + xq
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
x
Consom
mation
0
1
2
3
4
5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
x
Investissemen
t
Stratégie optimale en fonction de x pour différents α.
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.25/34
![Page 98: Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance … · 2020-05-16 · ENSAE-CREST, CEREMADE Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042620/5f3c543bb7a3993cd06c0e7c/html5/thumbnails/98.jpg)
Plan
Méthodes numériques probabilistes
Calcul des Grecques par estimateurs à noyaux
Résolution d’EDSPR découplée avec sauts
Gestion de portefeuille et contrainte drawdown
Solution explicite en horizon infini
Caractérisation par EDP en horizon fini
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.26/34
![Page 99: Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance … · 2020-05-16 · ENSAE-CREST, CEREMADE Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042620/5f3c543bb7a3993cd06c0e7c/html5/thumbnails/99.jpg)
Drawdown en horizon fini
Richesse: Xx,C,θt = x −
∫ t0 Crdr +
∫ t0 σθr (dWr + λdr)
Contrainte drawdown : Xx,C,θt ≥ α
(
Xx,C,θ)∗
t
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.27/34
![Page 100: Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance … · 2020-05-16 · ENSAE-CREST, CEREMADE Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042620/5f3c543bb7a3993cd06c0e7c/html5/thumbnails/100.jpg)
Drawdown en horizon fini
Richesse: Xx,C,θt = x −
∫ t0 Crdr +
∫ t0 σθr (dWr + λdr)
Contrainte drawdown : Xx,C,θt ≥ α
(
Xx,C,θ)∗
t
Maximisation avec un horizon fixé T
u(x) := sup(C,θ)∈AD
E
[∫ T
0e−βs U(Cs)ds
]
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.27/34
![Page 101: Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance … · 2020-05-16 · ENSAE-CREST, CEREMADE Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042620/5f3c543bb7a3993cd06c0e7c/html5/thumbnails/101.jpg)
Drawdown en horizon fini
Richesse: Xx,C,θt = x −
∫ t0 Crdr +
∫ t0 σθr (dWr + λdr)
Contrainte drawdown : Xx,C,θt ≥ α Zx,z,C,θ
t
avec Zx,z,C,θt := z ∨
(
Xx,C,θt
)∗
Maximisation avec un horizon fixé T
u(x, z) := sup(C,θ)∈AD
E
[∫ T
0e−βs U(Cs)ds
]
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.27/34
![Page 102: Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance … · 2020-05-16 · ENSAE-CREST, CEREMADE Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042620/5f3c543bb7a3993cd06c0e7c/html5/thumbnails/102.jpg)
Drawdown en horizon fini
Richesse: Xx,C,θt = x −
∫ t0 Crdr +
∫ t0 σθr (dWr + λdr)
Contrainte drawdown : Xx,C,θt ≥ α Zx,z,C,θ
t
avec Zx,z,C,θt := z ∨
(
Xx,C,θt
)∗
Maximisation avec un horizon fixé T
u(x, z) := sup(C,θ)∈AD
E
[∫ T
0e−βs U(Cs)ds
]
Dépendance temporelle de la fonction valeur
u(t, x, z) := sup(C,θ)∈AD
E
[∫ T
te−βs U(Cs)ds
]
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.27/34
![Page 103: Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance … · 2020-05-16 · ENSAE-CREST, CEREMADE Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042620/5f3c543bb7a3993cd06c0e7c/html5/thumbnails/103.jpg)
Domaine et propriétés
z
x
x = αz
x = z
b
0
Oα
Domaine de définition Oα de u se décompose enOα := [0, T ) × (x, z) : 0 < αz < x < z ,
B0 := [0, T ] × (0, 0) ,
Bα := [0, T ] × (αz, z) : z > 0 ,
B1 := [0, T ) × (z, z) : z > 0 ,
BT := T × (x, z) : 0 < αz ≤ x ≤ z .
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.28/34
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Domaine et propriétés
z
x
x = αz
x = z
b
0
Oα
Domaine de définition Oα de u se décompose enOα := [0, T ) × (x, z) : 0 < αz < x < z ,
B0 := [0, T ] × (0, 0) ,
Bα := [0, T ] × (αz, z) : z > 0 ,
B1 := [0, T ) × (z, z) : z > 0 ,
BT := T × (x, z) : 0 < αz ≤ x ≤ z .
Propriétés de la fonction valeur
u(t ց, x ր, z ց)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.28/34
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Domaine et propriétés
z
x
x = αz
x = z
b
0
Oα
Domaine de définition Oα de u se décompose enOα := [0, T ) × (x, z) : 0 < αz < x < z ,
B0 := [0, T ] × (0, 0) ,
Bα := [0, T ] × (αz, z) : z > 0 ,
B1 := [0, T ) × (z, z) : z > 0 ,
BT := T × (x, z) : 0 < αz ≤ x ≤ z .
Propriétés de la fonction valeur
u(t ց, x ր, z ց) 0 ≤ u(t, x, z) ≤ K(1 + xp)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.28/34
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Domaine et propriétés
z
x
x = αz
x = z
b
0
Oα
Domaine de définition Oα de u se décompose enOα := [0, T ) × (x, z) : 0 < αz < x < z ,
B0 := [0, T ] × (0, 0) ,
Bα := [0, T ] × (αz, z) : z > 0 ,
B1 := [0, T ) × (z, z) : z > 0 ,
BT := T × (x, z) : 0 < αz ≤ x ≤ z .
Propriétés de la fonction valeur
u(t ց, x ր, z ց) 0 ≤ u(t, x, z) ≤ K(1 + xp)
u = 0 sur BT ∪ B0 ∪ Bα
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.28/34
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Domaine et propriétés
z
x
x = αz
x = z
b
0
Oα
Domaine de définition Oα de u se décompose enOα := [0, T ) × (x, z) : 0 < αz < x < z ,
B0 := [0, T ] × (0, 0) ,
Bα := [0, T ] × (αz, z) : z > 0 ,
B1 := [0, T ) × (z, z) : z > 0 ,
BT := T × (x, z) : 0 < αz ≤ x ≤ z .
Propriétés de la fonction valeur
u(t ց, x ր, z ց) 0 ≤ u(t, x, z) ≤ K(1 + xp)
u = 0 sur BT ∪ B0 ∪ Bα uz = 0 sur B1
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.28/34
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Domaine et propriétés
z
x
x = αz
x = z
b
0
Oα
Domaine de définition Oα de u se décompose enOα := [0, T ) × (x, z) : 0 < αz < x < z ,
B0 := [0, T ] × (0, 0) ,
Bα := [0, T ] × (αz, z) : z > 0 ,
B1 := [0, T ) × (z, z) : z > 0 ,
BT := T × (x, z) : 0 < αz ≤ x ≤ z .
Propriétés de la fonction valeur
u(t ց, x ր, z ց) 0 ≤ u(t, x, z) ≤ K(1 + xp)
u = 0 sur BT ∪ B0 ∪ Bα uz = 0 sur B1
h 7→ u[y + h−→e ] est concave sur R+ avec −→e := (0, 1, 1)
−→e
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.28/34
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Domaine et propriétés
z
x
x = αz
x = z
b
0
Oα
Domaine de définition Oα de u se décompose enOα := [0, T ) × (x, z) : 0 < αz < x < z ,
B0 := [0, T ] × (0, 0) ,
Bα := [0, T ] × (αz, z) : z > 0 ,
B1 := [0, T ) × (z, z) : z > 0 ,
BT := T × (x, z) : 0 < αz ≤ x ≤ z .
Propriétés de la fonction valeur
u(t ց, x ր, z ց) 0 ≤ u(t, x, z) ≤ K(1 + xp)
u = 0 sur BT ∪ B0 ∪ Bα uz = 0 sur B1
h 7→ u[y + h−→e ] est concave sur R+ avec −→e := (0, 1, 1)
−→e
⇒ u est C0 à droite dans la direction −→e sur Oα ∪ BT ∪ B1
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.28/34
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Domaine et propriétés
z
x
x = αz
x = z
b
0
Oα
Domaine de définition Oα de u se décompose enOα := [0, T ) × (x, z) : 0 < αz < x < z ,
B0 := [0, T ] × (0, 0) ,
Bα := [0, T ] × (αz, z) : z > 0 ,
B1 := [0, T ) × (z, z) : z > 0 ,
BT := T × (x, z) : 0 < αz ≤ x ≤ z .
Propriétés de la fonction valeur
u(t ց, x ր, z ց) 0 ≤ u(t, x, z) ≤ K(1 + xp)
u = 0 sur BT ∪ B0 ∪ Bα uz = 0 sur B1
h 7→ u[y + h−→e ] est concave sur R+ avec −→e := (0, 1, 1)
−→e
⇒ u est C0 à droite dans la direction −→e sur Oα ∪ BT ∪ B1
0 ≤ u(t, x, z) ≤ u∞(x, z) ⇒ vrai sur OαContrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.28/34
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Solution de viscosité
z
x
x = αz
x = z
b
0
Oα
Lϕ := ϕt − βϕ + V (ϕx) − λ2
2ϕ2
x
ϕxx
(E)
−Lϕ = 0 sur Oα
−ϕz = 0 sur B1
ϕ = 0 sur BT ∪ B0
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.29/34
![Page 112: Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance … · 2020-05-16 · ENSAE-CREST, CEREMADE Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042620/5f3c543bb7a3993cd06c0e7c/html5/thumbnails/112.jpg)
Solution de viscosité
z
x
x = αz
x = z
b
0
Oα
Lϕ := ϕt − βϕ + V (ϕx) − λ2
2ϕ2
x
ϕxx
(E)
−Lϕ = 0 sur Oα
−ϕz = 0 sur B1
ϕ = 0 sur BT ∪ B0
u est solution de viscosité contrainte de (E)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.29/34
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Solution de viscosité
z
x
x = αz
x = z
b
0
Oα
Lϕ := ϕt − βϕ + V (ϕx) − λ2
2ϕ2
x
ϕxx
(E)
−Lϕ = 0 sur Oα
−ϕz = 0 sur B1
ϕ = 0 sur BT ∪ B0
u est solution de viscosité contrainte de (E), i.e.
sur-
solu
tion • u∗ ≥ 0 sur BT ∪ B0 ,
• ∀ y0 ∈ Oα , ϕ ∈ C1,2,1(Oα) tq 0 = (u∗ − ϕ)(y0) = infOα(u∗ − ϕ), on a
−Lϕ(y0) ≥ 0 si y0 ∈ Oα et −ϕz(y0) ≥ 0 si y0 ∈ B1 .
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.29/34
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Solution de viscosité
z
x
x = αz
x = z
b
0
Oα
Lϕ := ϕt − βϕ + V (ϕx) − λ2
2ϕ2
x
ϕxx
(E)
−Lϕ = 0 sur Oα
−ϕz = 0 sur B1
ϕ = 0 sur BT ∪ B0
u est solution de viscosité contrainte de (E), i.e.
sur-
solu
tion • u∗ ≥ 0 sur BT ∪ B0 ,
• ∀ y0 ∈ Oα , ϕ ∈ C1,2,1(Oα) tq 0 = (u∗ − ϕ)(y0) = infOα(u∗ − ϕ), on a
−Lϕ(y0) ≥ 0 si y0 ∈ Oα et −ϕz(y0) ≥ 0 si y0 ∈ B1 .
sous
-sol
utio
n • u∗ ≤ 0 sur BT ∪ B0 ,
• ∀ y0 ∈ Oα , ϕ ∈ C1,2,1(Oα) tq 0 = (u∗ − ϕ)(y0) = supOα(u∗ − ϕ), on a
−Lϕ(y0) ≤ 0 si y0 ∈ Oα ∪ Bα et min−Lϕ,−ϕz(y0) ≤ 0 si y0 ∈ B1
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.29/34
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Unicité de la solution
z
x
x = αz
x = z
b
0
Oα
Lϕ := ϕt − βϕ + V (ϕx) − λ2
2ϕ2
x
ϕxx
(E)
−Lϕ = 0 sur Oα
−ϕz = 0 sur B1
ϕ = 0 sur BT ∪ B0
Théorème de comparaison
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.30/34
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Unicité de la solution
z
x
x = αz
x = z
b
0
Oα
Lϕ := ϕt − βϕ + V (ϕx) − λ2
2ϕ2
x
ϕxx
(E)
−Lϕ = 0 sur Oα
−ϕz = 0 sur B1
ϕ = 0 sur BT ∪ B0
Théorème de comparaison [Z94]
Soient w sous-solution s.c.s. et v sur-solution s.c.i. de (E) tq
([w]+ + [v]−)(t, x, z) ≤ K(1 + xp) sur Oα
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.30/34
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Unicité de la solution
z
x
x = αz
x = z
b
0
Oα
Lϕ := ϕt − βϕ + V (ϕx) − λ2
2ϕ2
x
ϕxx
(E)
−Lϕ = 0 sur Oα
−ϕz = 0 sur B1
ϕ = 0 sur BT ∪ B0
Théorème de comparaison [Z94]
Soient w sous-solution s.c.s. et v sur-solution s.c.i. de (E) tq
([w]+ + [v]−)(t, x, z) ≤ K(1 + xp) sur Oα
−→e
v est C0 à droite dans la direction −→e sur Oα ∪ B1 ∪ Bα
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.30/34
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Unicité de la solution
z
x
x = αz
x = z
b
0
Oα
Lϕ := ϕt − βϕ + V (ϕx) − λ2
2ϕ2
x
ϕxx
(E)
−Lϕ = 0 sur Oα
−ϕz = 0 sur B1
ϕ = 0 sur BT ∪ B0
Théorème de comparaison [Z94]
Soient w sous-solution s.c.s. et v sur-solution s.c.i. de (E) tq
([w]+ + [v]−)(t, x, z) ≤ K(1 + xp) sur Oα
−→e
v est C0 à droite dans la direction −→e sur Oα ∪ B1 ∪ Bα
w ≤ v sur B0 ∪ BT
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.30/34
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Unicité de la solution
z
x
x = αz
x = z
b
0
Oα
Lϕ := ϕt − βϕ + V (ϕx) − λ2
2ϕ2
x
ϕxx
(E)
−Lϕ = 0 sur Oα
−ϕz = 0 sur B1
ϕ = 0 sur BT ∪ B0
Théorème de comparaison [Z94]
Soient w sous-solution s.c.s. et v sur-solution s.c.i. de (E) tq
([w]+ + [v]−)(t, x, z) ≤ K(1 + xp) sur Oα
−→e
v est C0 à droite dans la direction −→e sur Oα ∪ B1 ∪ Bα
w ≤ v sur B0 ∪ BTAlors w ≤ v sur Oα.
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.30/34
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Unicité de la solution
z
x
x = αz
x = z
b
0
Oα
Lϕ := ϕt − βϕ + V (ϕx) − λ2
2ϕ2
x
ϕxx
(E)
−Lϕ = 0 sur Oα
−ϕz = 0 sur B1
ϕ = 0 sur BT ∪ B0
Théorème de comparaison [Z94]
Soient w sous-solution s.c.s. et v sur-solution s.c.i. de (E) tq
([w]+ + [v]−)(t, x, z) ≤ K(1 + xp) sur Oα
−→e
v est C0 à droite dans la direction −→e sur Oα ∪ B1 ∪ Bα
w ≤ v sur B0 ∪ BTAlors w ≤ v sur Oα.
⇒ u caractérisée comme unique solution de viscosité
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.30/34
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Unicité de la solution
z
x
x = αz
x = z
b
0
Oα
Lϕ := ϕt − βϕ + V (ϕx) − λ2
2ϕ2
x
ϕxx
(E)
−Lϕ = 0 sur Oα
−ϕz = 0 sur B1
ϕ = 0 sur BT ∪ B0
Théorème de comparaison [Z94]
Soient w sous-solution s.c.s. et v sur-solution s.c.i. de (E) tq
([w]+ + [v]−)(t, x, z) ≤ K(1 + xp) sur Oα
−→e
v est C0 à droite dans la direction −→e sur Oα ∪ B1 ∪ Bα
w ≤ v sur B0 ∪ BTAlors w ≤ v sur Oα.
⇒ u caractérisée comme unique solution de viscosité
⇒ Approximation numérique [BS91] [BDR94]Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.30/34
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Fonction valeur u(x, 1)
00,20,40,60,81
1,21,41,61,82
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
x
Fonc
tion
Vale
ur
T=0,1 T=0,2 T=0,4 T=0,8 T=1 T=3 T=inf
Fonction valeur u(x, 1) en fonct. de x pour différents horizons T
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.31/34
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Merci !
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.32/34
![Page 124: Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance … · 2020-05-16 · ENSAE-CREST, CEREMADE Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042620/5f3c543bb7a3993cd06c0e7c/html5/thumbnails/124.jpg)
Merci !
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.32/34
![Page 125: Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance … · 2020-05-16 · ENSAE-CREST, CEREMADE Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042620/5f3c543bb7a3993cd06c0e7c/html5/thumbnails/125.jpg)
Merci !
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.32/34
![Page 126: Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance … · 2020-05-16 · ENSAE-CREST, CEREMADE Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042620/5f3c543bb7a3993cd06c0e7c/html5/thumbnails/126.jpg)
Merci !
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.32/34
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Merci !
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.32/34
![Page 128: Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance … · 2020-05-16 · ENSAE-CREST, CEREMADE Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042620/5f3c543bb7a3993cd06c0e7c/html5/thumbnails/128.jpg)
Merci !
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.32/34
![Page 129: Contrôle stochastique et méthodes numériques en finance … · 2020-05-16 · ENSAE-CREST, CEREMADE Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042620/5f3c543bb7a3993cd06c0e7c/html5/thumbnails/129.jpg)
Stratégie optimale
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
x
Consom
mation
T=0,1 T=0,2 T=0,4 T=0,8 T=1 T=3 T=inf
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
xInvestissemen
tT=0,1 T=0,2 T=0,4 T=0,8 T=1 T=3 T=inf
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
x
Investissemen
t
T=0,1 T=0,2 T=0,4 T=0,8 T=1 T=3 T=inf
Stratégie optimale en fonction de x pour différents horizons T .
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.33/34
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Système couplé d’EDP
y0t + µ0y0
x + 12 [σ0]2y0
xx + h0(·, y0, σ0y0x) = 0 , y0(1, ·) = g0
y1t + µ1y1
x + 12 [σ1]2y1
xx + h1(·, y1, σ1y1x) = 0 , y1(1, ·) = g1
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.34/34
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Système couplé d’EDP
y0t + µ0y0
x + 12 [σ0]2y0
xx + h0(·, (y0, y1), σ0y0x) = 0 , y0(1, ·) = g0
y1t + µ1y1
x + 12 [σ1]2y1
xx + h1(·, (y0, y1), σ1y1x) = 0 , y1(1, ·) = g1
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.34/34
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Système couplé d’EDP
y0t + µ0y0
x + 12 [σ0]2y0
xx + h0(·, (y0, y1), σ0y0x) = 0 , y0(1, ·) = g0
y1t + µ1y1
x + 12 [σ1]2y1
xx + h1(·, (y0, y1), σ1y1x) = 0 , y1(1, ·) = g1
• λ > 0, µ mes. de Poisson sur E = 1 avec λ : A 7→ λ. card(A).
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.34/34
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Système couplé d’EDP
y0t + µ0y0
x + 12 [σ0]2y0
xx + h0(·, (y0, y1), σ0y0x) = 0 , y0(1, ·) = g0
y1t + µ1y1
x + 12 [σ1]2y1
xx + h1(·, (y0, y1), σ1y1x) = 0 , y1(1, ·) = g1
• λ > 0, µ mes. de Poisson sur E = 1 avec λ : A 7→ λ. card(A).
• Posons h0 : (t, x, y, z, u) 7→ h0(t, x, (y, y + u), z) − λu
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.34/34
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Système couplé d’EDP
y0t + µ0y0
x + 12 [σ0]2y0
xx + h0(·, (y0, y1), σ0y0x) = 0 , y0(1, ·) = g0
y1t + µ1y1
x + 12 [σ1]2y1
xx + h1(·, (y0, y1), σ1y1x) = 0 , y1(1, ·) = g1
• λ > 0, µ mes. de Poisson sur E = 1 avec λ : A 7→ λ. card(A).
• Posons h0 : (t, x, y, z, u) 7→ h0(t, x, (y, y + u), z) − λu
et h1 : (t, x, y, z, u) 7→ h1(t, x, (y + u, y), z) − λu
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.34/34
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Système couplé d’EDP
y0t + µ0y0
x + 12 [σ0]2y0
xx + h0(·, (y0, y1), σ0y0x) = 0 , y0(1, ·) = g0
y1t + µ1y1
x + 12 [σ1]2y1
xx + h1(·, (y0, y1), σ1y1x) = 0 , y1(1, ·) = g1
• λ > 0, µ mes. de Poisson sur E = 1 avec λ : A 7→ λ. card(A).
• Posons h0 : (t, x, y, z, u) 7→ h0(t, x, (y, y + u), z) − λu
et h1 : (t, x, y, z, u) 7→ h1(t, x, (y + u, y), z) − λu
EDSPR
Jt =∫ t
0
∫
Ee µ(de, ds) [mod 2]
Xt=∫ t
0µJr (r, Xr)dr +
∫ t
0σJr (r, Xr)dWr ,
Yt = gJT (XT )+∫ T
thJr (r, Xr, Yr, Zr, Ur(1))dr−
∫ T
tZrdWr −
∫ T
t
∫
EUr(e)µ(de, dr)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.34/34
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Système couplé d’EDP
y0t + µ0y0
x + 12 [σ0]2y0
xx + h0(·, (y0, y1), σ0y0x) = 0 , y0(1, ·) = g0
y1t + µ1y1
x + 12 [σ1]2y1
xx + h1(·, (y0, y1), σ1y1x) = 0 , y1(1, ·) = g1
• λ > 0, µ mes. de Poisson sur E = 1 avec λ : A 7→ λ. card(A).
• Posons h0 : (t, x, y, z, u) 7→ h0(t, x, (y, y + u), z) − λu
et h1 : (t, x, y, z, u) 7→ h1(t, x, (y + u, y), z) − λu
EDSPR
Jt =∫ t
0
∫
Ee µ(de, ds) [mod 2]
Xt=∫ t
0µJr (r, Xr)dr +
∫ t
0σJr (r, Xr)dWr ,
Yt = gJT (XT )+∫ T
thJr (r, Xr, Yr, Zr, Ur(1))dr−
∫ T
tZrdWr −
∫ T
t
∫
EUr(e)µ(de, dr)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.34/34
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Système couplé d’EDP
y0t + µ0y0
x + 12 [σ0]2y0
xx + h0(·, (y0, y1), σ0y0x) = 0 , y0(1, ·) = g0
y1t + µ1y1
x + 12 [σ1]2y1
xx + h1(·, (y0, y1), σ1y1x) = 0 , y1(1, ·) = g1
• λ > 0, µ mes. de Poisson sur E = 1 avec λ : A 7→ λ. card(A).
• Posons h0 : (t, x, y, z, u) 7→ h0(t, x, (y, y + u), z) − λu
et h1 : (t, x, y, z, u) 7→ h1(t, x, (y + u, y), z) − λu
EDSPR
Jt =∫ t
0
∫
Ee µ(de, ds) [mod 2]
Xt=∫ t
0µJr (r, Xr)dr +
∫ t
0σJr (r, Xr)dWr ,
Yt = gJT (XT )+∫ T
thJr (r, Xr, Yr, Zr, Ur(1))dr−
∫ T
tZrdWr −
∫ T
t
∫
EUr(e)µ(de, dr)
Contrôle optimal stochastique et méthodes numériques en finance mathématique – p.34/34
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Système couplé d’EDP
y0t + µ0y0
x + 12 [σ0]2y0
xx + h0(·, (y0, y1), σ0y0x) = 0 , y0(1, ·) = g0
y1t + µ1y1
x + 12 [σ1]2y1
xx + h1(·, (y0, y1), σ1y1x) = 0 , y1(1, ·) = g1
• λ > 0, µ mes. de Poisson sur E = 1 avec λ : A 7→ λ. card(A).
• Posons h0 : (t, x, y, z, u) 7→ h0(t, x, (y, y + u), z) − λu
et h1 : (t, x, y, z, u) 7→ h1(t, x, (y + u, y), z) − λu
EDSPR
Jt =∫ t
0
∫
Ee µ(de, ds) [mod 2]
Xt=∫ t
0µJr (r, Xr)dr +
∫ t
0σJr (r, Xr)dWr ,
Yt = gJT (XT )+∫ T
thJr (r, Xr, Yr, Zr, Ur(1))dr−
∫ T
tZrdWr −
∫ T
t
∫
EUr(e)µ(de, dr)
⇒ Yt = yJt(t,Xt)
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