C o n t r i b u t i o n ~ un p r o b l ~ m e de M. M. P i c o n e .

Mdmoire de J. L. L~ONS (~ ~ancy) .

R6sum~i, - P a r une mdthode fonctionnelle dgveloppde ail leurs (of. la bibliographic), on apporte darts cet article une contribution ~ un probl~me posd p a r M. M. P~CONE. On montre que, sur des ouverts dont la fronti~re est suf f lsamment rdguli~re, le probl~me de M. M. P~CONE (et m~me u n type p lus gdndral de probl~mes a u x timites) admet une solution unique, les conditions a u x l imites dtant prises • en moyenne ~ (of. N ° 6 pour les ddfinitions prdcises).

1. In troduct ion . M. M. PmO~E a pos~ (~) le problbme suivant. On se place dans R", n ~ 3 (en fair, n - - 3 dans les applications) et on

donne deux ouverts Q~ et Q~, d ' in te rsee t ion vide. On suppose que P-, est barnd; soit ~Q~ sa fronti~re. On suppose que Q.~ est le compldmentaire d ' u n compact (donc Q~ est de fronti~re ~2~ born6e, et !~ est de mesure infiuie). On suppose que ~2~ et ~ ont en c o m m u n une vari6t6 E de dimension n - - 1, une lois cont inf lment diff~rentiable par moreeaux. On d~signe par S~ (resp. S~) ce qui reste de ~ (resp. ~2~) lorsqu' on enl~ve Y. : S~ - - ~Q~ - - Z, S~ - - ~2~ - - Z.

On pose (1,1) Q -" Q 4 0 Q~.

Soit ma in tenan t h~ et k~ (resp. h~ et k~) tes eonstantes de LAM]~ de Qt (resp. ~)(~). On eherche deux champs de veeteurs U ~, U ~, d6finis respective- ment dans ~ et ~ , '~ valeurs dans C"; on 6crira

t u~(~) = (v',(~), ..., u,(~)).

Les champs /)~ et U ~ (~) doivent ~tre solutions des 6quations su ivan tes :

0,2) h, hU ~ + (h~ + k~)grad, div. U ~ + f~ - ' -0, duns ~ , ,

(1,3) h~hU ~ + (h~ + k.~) grad. div. U ~ + f~ -~ 0, duns ~ ,

h 4taut le Laplaeien, et f~ et f~ 5tant deux champs de vecteurs dorm,s (les champs de forces ext~rieures). En outre, doivent ~t~e v~rifi~es les conditions

0) Cf. PICONE [14]. (2) Of. LOVE [12], ~EDONE [~4], BERGMANN SCI-IIFFER [1]. ~ICIII~IN 1131. ~3) Champs de ddplaeement.

Annal'i di Matematica 26

~ 2 J. L. LmNs: Contribut ion ~ un problc~me de M. M. P~cone

a u x l imites su ivantes :

(1,4) U ~ --- U ~ sur E,

(1,5) t~(U ~)-t- t.z(U ~) = 0 sur E, off t,(U ~)-'- champ des pressions sur ~ , t~(U ~) - - champ des pressions sur ~ ;

en outre on dolt avoir

(1,6) t~(U ~) - - c h a m p de vecteurs donn~ sur S. ,

(1,7) t.~(U ~ ) - - c h a m p de vecteurs donn~ sur S~,

(1,8) U'~-- - champ nul i~ I' infini.

M. ~ . P:CONE a d~montr~ (par util isation de P~cONE [15]) l 'unici t~ de la solution de ce probl~me, et pose le problbme de savoir si la solution existe.

Ce probl~me sera r~solu dans un certain sens (~) au :No 7.

Voici le plan de cet article. Le N ° 2 donne les d~finitions indispensables, et introduit l 'espace V qui

joue un r01e fondamental . Le :N ° 3 r~sout le probl~me de DIRIC~[LET pour les op~rateurs diff~ren.

tiels de la th~orie de l '~lasticit~ (ce qui est en outre utile pour le N ° 5). Le :No 4 rappel le l 'essentiel sur les ouverts de SOBOLEFF (el. LIONS [10],

[9], DENY LIons [2]). Le N ° 5 introduit une notion nouvel le : eelle, d ' ouve r t de FRIEDRICHS.

Ce 17 ° util ise le travail fondamental de F~IEDRIC]~S [4!, [5]. A 17aide des r~sultats ainsi ~tablis, il n 'es t pas difficile en util isant la

m~thode donn~e dans LIoNs [8] (el. aussi SCEwAaTZ [18]), de r~soudre, pour des op~rateurs diff~rentiels tr~s g~n~raux (contenant tous ceux que l'on ren- contre en ~lasticit~), les probl~mes aux limites du type PICONE. C'est ce q u i est fair au :No 6.

Le N ° 7 donne l ' exemple correspond ant au probl~me initial. I1 est visible que la m~thode employee ici permet de r~soudre de tr~s

nombreux autres probl~mes aux limites de la th~orie de l'(ilastieit~. Mais, pour ne pas alourdir outre mesure l 'expos~, on s 'es t seulement attach~ essentiel lement au probl~me de M. PICONE.

2. Notations, Espace V. Soit ~ un ouvert quelconque de R", n ~ 3. On d~signe par ~(Q) l 'espaee

dee fonctions ind~finiment diff~rentiables sur ~, ~ support compact dans g, vaIeurs complexes, muni de la topologie habituelle de SCHWARTZ

(cf. SCHWARTZ [17]); on d~signe par ~'(~) l ' espace dual de ~)(~2), espace des

(4) I1 faut en effe¢ prdc iser darts quel sens on ento.nd que les condi t ions aux ]imites

soient vdrifides.

J. L. L~oNs: Co~t, tribution it, ~t~* problSme de M. M. Picone 203

distr ibutions sur ~2. Toutes les ddrivations sont eMectudes au sens des distribu- tions sur ~.

On d~signe par Lv(Q) l ' espace des (classes de) fonctions de puissance p -~me sommable sur !~; si f~ LP(Q), on pose

{If[lLr,(n) : ( (If(x)l'd~c) ~/" , p > l . fl

Espace BL(Q). On d~signe par BL(~2), espaee de BEPeO LEVI sur fl (of. DENY LIons [2])

l ' espace des distr ibutions T telles que

On pose

~T/~x~ E L~(Q) pour tout i - - 1, ..., n.

(2,1)

La quantit~ tl T II~ est une semi norme sur BL(•). Les distr ibutions de BL(~) sont localement duns ~ ~gales (presque partout) i~ des fonctions de puissance q-~me sommable, q 6rant donn~ par

(2,2) 1/q = i /2 - - 1/n, s i n ~ 3.

Ce r6sultat est g~n~ralement faux globalement (cf. N ° 4).

Espace BL(~2)". De fa~on g6n6rale, si E est an espace vectoriel topologique, on d6signe

par E '~ le produit topologique de n espaces 6gaux h E. Tout ~ldment T de BL(~2)" est donc de la forme

On pose encore

T : (T,, T.~,..., T,), T~ E BL(Q).

II T I]~ = ~ II Tk IP,--D(T) (dirichletien de T). k = t

Pour u quelconque duns BL(~)", on introduit avec FRIEDRICI-IS [4] les nota. tions suivantes

(2,3) skz(u) = (1/2) u~ - - ~ uz ,

(2,4) 8 (u ) = II k ~ / = 1

(on ~crira So(u) s' il y a ambiguit6).

204 J . L. LIONS: Contrib~dion, d u,,~ probldme de, M. M. Pi, co~e

Pour u, v dans BL(~)" , on pose

$$

(2,5) S(u, v ) = ~ (s~(u), S~(V))L~(~). k, I=i

Alors

On a ~videmment

S(u, u ) = S ( u ) .

(2,6) S(u) ~ II u li~.

E s p a c e o ~ , ~(~). Toujours sur l 'ouver t ~, on coasid~re maintenant l 'espace des (classes

de) fonctions u, telles que

u E Lq(Q), ~-X-~ u E L"(~) pour tout i (~).

Pour u quelconque dens ~,~(~), on pose

(2,7) I] u li~q,~o ) --1I u l[Lq(~) + I! u II,"

~ Q i Q On dfifinit ainsi une norme sur ~q.z(), et pour eette norme ~q,2( ) est u n espace de Bal~ach. En effet il est eomplet (s).

Q Les 616ments de ~q,~( ) peuvent gtre << prolong~s )> sur la frontifire de ~, lorsque eelle ei est asse~ r~guli~re. De fa¢on pr6eise, on a l e thfiorbme suivant (ef. D E ~ L m ~ s [2] ou SO~OL~YS [22], [23]):

T~]~Oa~E 2.1. - S i v~ est une vari~td bornde ~ n - 1 dime~,sions, une fois con t in~ment dif~drentiable p a r morceaux, cons t i tuant une part ie de ta f ron t i&e de ~, i l existe une appl icat ion lindaire cont inue et une seule, u ~ ~(u), de ~q,~(!~) darts L"(v~) (espaee des foncti0ns de earr~ sommable sur Z, pour la mesure superficielle), telle que z(u) coincide (au sens de L~(E)) avec les valeurs de u sur ~, lorsque u est cont inue d a n s ~ U ~ (~).

1 (~) Les 616ments de Sq, 2(t~) sent done des dldments particuliers (en g6ndral) de BL(~).

(6) E n effet~ si uk est une suite de CAucI:IY dens $1 2(~} pour la no rme (2,7) alors u k q,

est une suite de CAUCttY darts Lq(fft), done ~ - - ~ u dana Lq(~). l~nsuite, ~ u , ~ est, pour

tout i, une suite de CAUC~IY dans L~(~), done, ~ u k --* v~. dens L~(~). Mais comme u k ~ u

dells Lq(e), ~ u k ~ ~ i dans ~'(fi), done v t = ~ . u, done u ~ Sq, ~1~), d' off le rdsultat.

17~ L 'appl iee t ien ~ est dans L~(~,) et noa s~r. Pour des prgcisions sur eette applieation~ of. LxoNs [111

J. L. LmNs: C(mtribution ~t v~ problSmc de M. M. P~cone 205

E s p a c e 1 . ~ , ~(~) .

Tout u de o~ ¢oq,~(l~)" est de la forme

u - - ( u ~ , . . . , u,).

On pose

(2,8/ II u I1~;,,(o),, = , ~ [l ~, I1~;,~o).

Espace V. On suppose maintenant :que ~ est du type (1,1). Tout 61~ment u de BL(~) ~

(resp. de 8~,~(fl)') d~finit par restriction it ~2~ et "~ fl~, un champ de vecteurs ~ s u r ~ , et ~ s u r ~ e , a v e c

u ~ ~ BL(~2,)"

On dcrira

(2,9)

(resp. 8~, ~(fl,)'),

U - - (U ~, U~).

i - - l , 2.

U 2 R~ciproquement, tout couple u ' , avec u ~ E BL(~t,)" (resp. E ~,~(i~i) '') d~finit par (2,9) un ~l~ment u de BL(•)" (resp. de ~,2(Q)'~).

Fixons les notations des composantes de ui:

u' - i i u',).

Notations analogues pour les composantes de u:. On pose :

(2,10) ~(u ~) - - ( ~ u ~ , . . , ~u~), ~l~ment de L'~(Z) ".

On d~finit ainsi une application lin~aire continue u ~ a(u t) de t~q,2(~l~) duns L~(Y~) ''. MOme chose pour a(u~), ~l(iment de L~(Z) ".

On ddfinit alors l'espace V comme sous espave vevtoriel de ~,,(~:~)', formd des u tels que (2,1t) a(u ~) = ~(u').

On d~finit ainsi un sous espace veetoriel feting de ~q,2( ) • L' espace V e s t muni de la topologie induite par ~,2(~) • est un espace de BAI,~Acli, pour la norme (2,8). Pour u ~ V, on (icrira cette norme ][ u l[g.

Le point essentiel de cet article, du point de vue des d6monstrations, eonsiste it d6montrer que, sur l'espace V, on a une in6galit6 de type inverse de (2,6) (8).

(s) Sous certaines hylaoth~ses sur ~l et ~lu..

206 J. L. L~o~'s: Co~trib,u, tio,~ ~t, u,n, probl~,me de M. )1I. Pi, eone

Notons ma in t enan t le LEMME 2.1. - S i u est duns V et vdrifie S(u) -= O, alors u----O. D . ~ O ~ S ~ R A T m ~ . - Soit u dans Y avec S(u)--~--O. Donc s ~ ( u ) ~ 0 pour

tout k et l, ee qui en t ra ine (?): ~x~x------ s u ~ - - O, pour tout i, j , k.

Comme l~ et ~ sont connexes, on doit donc avoir

t ~ c ~ q- v~ dans ~2~, ~,~, ~ ---- cons tantes i

u~($) ~ ~ d ~ d-- d~ duns ~ . , da~, d~ -" constantes .

En outre, les condi t ions 8~(u)---O entva inent

Comme l ' on doit avoir f ] u~(x)]qdx,

Pa r consequent u~ est nu l dans ~ donc ~(u~)--'~(u~), donc ~ ( u ' ) - ' O . P a r les n varidtds l indaires de d imens ion n

Comme ces varidtds l indaires ne sont pas confondues (saul si c~ --- ca - - 0), et que Z e s t de d imens ion n - - 1 , on a ndcdssa i rement cai ~ c a - - 0 , et donc u est nuL c. q. f. d.

on a n~cessa i rement da~ "-- da -- O.

, et done ~(u ~)-- O. Or u e s t dans V, consequent , ~ dolt Otre contenu dans

1 d' ~quat ions

Ck -- '0 .

3. Le probi~me de D i r i ch l e t en thdor ie de l '~ las t ic i tg . Soit ~ un ouver t quelconque de R '~, n ~ 3. On d~signe par ~)q,~(~) l'adh~-

°I (, % rence de ~)(~2) dans ~q,2(Q) Sur ~)(Q), les normes I[ u II, et ]] u l]Lq ~- I] u Ill , sont ~quivalentes (ce point r~sulte d ' u n l emme de SOBOLEFF: cf. SOBO- L ~ : ~ [22], [23], SCHWARTZ [17], DE~Y LIO:~S.[2]). I l en r~isulte dv idemment que sur l ' e space ..~q,2t ) , les normes !] u ]] et ]i u IIg~,2(o)-, sont ~quivalentes.

~o tons m a i n t e n a u t le L E ~ E 3.1. - Pour tout u duns ~,~(~2)', on a :

(3,~) 11 u ll~ ~ 28(u).

D~:~J[OXS~RATIO~. - Pu i sque u est duns ~)~, 2(-Q)', il existe une suite ~p~ de vecteurs de ~)(~)". tels que ~p~ ~ u dans ~q,2(~)'. Pa r consequent

S(u) ---- lira. S(~a), li u il~ = lim./i ~a li,,

et il suff i t de mont re r (3,1) avee u----~ E ~(~2) '~.

(9) En effet 2 ~ x ~ u/~ = 0~' sl~Iu) + ~X~. ski(u) -- ~ s,.j(u), 1 (~0) La condition n6cessaire et suffisante pour que ~)(~} ne soit pas dense dans 6q. e(~)

est que le eompl6mentaire de ~2 ne soit pas de capacitei nulle (cf. DENt LIONS [2]}.

J . L. LioNs: Contribtttlon ~ un problbme de M. M. Picone 207

Or si ~0 ~ ~)(~)',

d 'of i le rdsul tat .

des intdgrations par parties immddiates

S(~o) = 1/2 II v li~ -~- 1/2 [] div. ~ I]~,(,)

mont ren t que

Application au probl~me de Dirichlet. On donne sur B L ( g ) " X BL(~) ' , une forme sesqui l inda i re (~)

(3,2) u, v ~ ((u, v))

cont inue , donc te l le que

l ((u, v))I ~ v tl u lh II v fit, c --- eonstante .

L e fo rme ((u, v)) ddfini t un opdra t eu r h de la fa¢on s u i v a n t e : si u est oh1 .Q.,, f ixd dans BL(~t)', la fo rme semi l indaire v--.((u, v)) est con t inue su r .,~q,~( ) ,

donc de la forme (3,3) ((u, v)) ----- ( hu , v)

Au r ~)q,2(~) dtant e space dual de ~)q,~(Q) et le c roche t duns (3,3) dds ignant la dual i td ent re ~)q,~(~)" et ~ , ~ ( ~ ) ' .

On ddfini t ainsi un opdra teur A, app l ica t ion l indaire con t inue de BL(~)" dans ~)q, ~(~)n.

On ddcompose ((u, v)) en pavfie he rmi t i enne et a n t i - h e r m i t i e n n e : ((u, v))---((u, v))~-+-i((u, v))~, avec

((u, v)), - - 1/2 (((u, v)) + (iv,

((u, v))~ - - 1/2i(((u, v ) ) - ((v, u))).

EXEMPLE 3.1. - Avec la no ta t ion (2,5), posons, avec n - -" 3,

((u, v)) ~ 2hS(u, v) + k(div, u, div. V)L~, h ~ 0, 3k -4- 2h ~ 0. (3,4)

L ' o p d r a t e u r A est alors

(3,5) A --~ - - hA - - (h -~- k) grad. div.

Cas pa r t i cu l i e r : 2h - - 1, k - - 0 ;

(3,6) A - - A --- - - A -- grad. div.

D]~FI~;iTION 3.1. - L ' opd ra t eu r A ddfini par ((u, v)) sera dit D-elliptique (~3) s ' i l exis te une eons tan te a ~ 0 tel le que pour tout u dans ~)~,~(Q)', on a i r

(3,7) ((u, u)), ~ aS(u).

(ii) C 'est ~ dire que ( (~ , v))~X((u, v)) alors que ((u,).v)) =~ ( (u , v)). (~) L a condition ndeessaire et suffisante pour qu 'une distribution T soit duns ~ , ,(~t)

est qu' elle soit de la forme 0 T : f ÷ ~ 5 , f~L7'(~), 1/q-t-1/q'...~l, f¢sLs(~).

(is) D rappelle ~ Diriehlet ~.

208 J . L . Lm~s: Co'ntributio~* ~. an probl~me de M. M. Picone

L'op~ra teur h d~fini par (3,5) est D-el l ipf ique (~'). On a alors le T~I]~O~]~ 3.1. - S i l 'ol~draleur A est D-ellil~tique, i l dgf ini t u n isomor.

p h i s m e de ~)~,2(Q)" sur @q,~(o) . D ~ o ~ s ~ ] ~ I o ~ (~). - Soit T donn~e dans ~)~,~(~)'. On cherche u dans

6)~, ~(~)" solut ion de (3,8) h u - - T.

Si v est quelconque dans 6)~,~(~)", (3,8) donne

(3,9) (( u, v )) - - ( T, v ).

ROciproquement, si u est dans ~q,~(~) et vOrifie (3,9) pour tout v ~)q,~(~)', on a (3,8). Tout revient donc "~ r~soudre (3,9). Mais l ' espace ~.~(~)" est un espace de H I h ~ R ~ pour la norme II u II~ ; grace au lemme 3.1 e'est ~galement un espaee de H ~ B ~ pour la norme VS(u), et par d~finition de la D-ellip- ricing, ((u v))~ dOfinit sur ~,~(~)~ une s t ructure h i lber t ienne de norme corres. pondante ~quivalente "~ VS(u).

Soit alors T fix~ dans '~ " i~q,~([~) ; la forme semi lin~aire v ~ (T , v) est cont inue ~.ur ~ , ~ ( ~ ) ' , ' d o n c de la forme

(3,10) ( T, v } = ((Jr , v)), , J T ~ , , ( ~ ) ' ,

ce qui d~finit J op~rateur lin~aire cont inu de ~,~(~)'* dans ~q.~(~) . Pour u fix~ dans ~)q, ~(~) , la forme v ~ ((u, v)).~ est cont inue sur ~ , ~(~)",

done (3,11) ((u, v))~ - - ((Hu, v)),, H u ~ 6)~,~(~)',

ee qui d~finit H, appl ica t ion lin~aire cont inue de ~ . : ~ ) " dans lui morn% et opdrateur hermi l i en pour la s t ructure ((u, v))~

Avec (3,10) et (3,11) l '~qaat ion (3,9) ~quivaut '~

(3,12) (1 + i H ) u ~- JT ,

.~quation qui admet une solution unique, puisque H est hermit ien, &off le th~or~me.

(i4) C' est 6v ident si k ~ 0. Si k est "~ 0. soit k t = m k . Alors

l [° h E I " ]l - + 2 h E ~¢Pi 2 M ]div.,~ I '~ ( ( ~ , ~ , ) , = ( ( ~ . @ = 2 h S ( ~ ) : - k ' a i , ~ . ~ " = = r ,~ , '+~ '~ .~ '' ~ . L ~ - ,L~"

h ~¢Pi -4- 0¢~.i ]2 j ~ i L 2 ((~, ~)) > - ~ + .. ~ - ~ ~_~ ~x.-~. ~ L~ II ~,~; '

~i 2h + 3k = ~ ~ 0. d' off le r~sultat. {i~') Ce th6or(~me est un cas par t ien l ie r de LIon's [2], chap. I, § 1., une fois que l ' o n a

not6 le L e m m e 3.1. On donne ici sa ddmonstrat ion pour ]a commodit6 du lectern-.

J. L. LmNS: Cor~t,ribution ~ ,ter~ problOme de M. M. Picone 209

Ce th~orbme sera ut i l is~ dans la sui te avee h - - A , donn6 p a r (3,6). L e th~or~me 3.1 r~sout les p rob l~mes de D~R~C~LE~ r e l a t i v e m e n t a u x

op~ra teu r s de lu th~or ie de 1' ~tasticit~ (~).

4. Rappe ls su r les ouve r t s de Soboleff. Soit fl un ouve r t connexe de R' , n ~ 3. On a rappel l~ que route distri-

bu t i on T de BL(Q) est localement dans Lq, q donn6 pa r (2,2). Si l 'on c h e r e h e des cas off ceci soit vra i g loba lemen t sur fl, on est con-

du i t (of D~,NY LIoNs [2]) "k poser les d~f ini t ions s u i v a n t e s : Premier cas: fl est de m e s u r e f inie.

On dit que fl est un ouve r t de SOBOLEFF si tou t ~l~ment T de BL(~) est

duns Lq(Q). Deuxi~me cas: Q est de me su re inf in ie .

On d i t que fl est un ouver t de SO]~OLEFF, si p o u r tout T dans BL(12), il ex i s t e une cons tan te c(T) te l le que

T + c(T) E Lq(fl).

On a donn~ dans DElaY LIo:~s des c r i tb res p o u r q u ' u n ouver t soit u~ ouve r t de SO]~OLEFF. En abr~g~, on peu t d i re que tou t ouver t de fronli~re borndee assez rdguli~re est un ouver t de SOBOL:EF~.

Mont rons m a i n t e n a n t le LEMME 4.1. - On donne ~ comme au ~o 1, et on suppose que fl~ el fl~

sont deuce ouverts de Soboleff. Alors l'espace V e s t complet pour la norme ]1 u II, ( e ' e s t donc an espace de H~LB]~I~).

D~ZZ~ONSWRA~ON. - ]gotons d ' a b o r d que I[ u [[, est b ien une no rme sur V: en effet , ][ u ][~----0 en t r a ine u = 0 (eeci est un eas p a r t i c u l i e r du l emme 2.1).

Soi t m a i n t e n a n t une sui te u ~ de CAUCK¥ da,ns V p o u r ![ u [I. Comme fl~ est un ouve r t de SOBOLEF]~ de me~ure inf inie , il ex i s te une cons tan te S(fl~)

te l le que I

pou r tout f ~ , ~ ( f l ~ ) (el. DElay LIOZqS [2]). I1 en r~su | te que si ua, ' z e s t la

r e s t r i c t i on de u ~ ~ ~ , on a

(4,1) u ~,~ u ~ dans ~ ~"

(~6) Le prcbl~me de DtR1CIH.ET correslaondant ~ la forme [(u, v)) est le s u i v a n t : t rouver U dans BL(~)n~ solut ion de AU~---F~ F gtant donn6 dans ~ '~ ffi~', avec les condit ions aux l~mites: h - - U z ~)q, 242)n, h dtant donnd dans B]L(~)n. Cette condit ion signlfie, que U prend

en raoyenne ~ sur la frcnt i~re des va leurs donndes dgales ~ celles de h (cf. DENY LI0~S [2] oft l ' o n t rouverh d ' au t r e s indicat ions bibliographiques).

Note ajontde ~ la correction des dpreuves : cf. 6galement E. ~AGENES [12bis], oil l ' o n trouvera. ~galement d ' au t r e s indications bibiiographiques.

Annali eli Materaatica 27

210 J. L. L m ~ s : Contribution ( tun probl~me de M. M. Picone

Comme ~ est un ouver t de SOBOLEFF, il exis te une sui te de vecteurs cons tants c ~ tels que (4,2) u ~,l + c ~ --* v duns 8~,2(~2~)",

ua, ~ ~tant la res t r ic t ion de u ~ k ~ (el. tou jours DE~Y Lm~s) . Mais u ~ est duns V, done ~(u ~,~) ~-~(u~,~). Or, il r4sul te de (4,1), que ~(ua, ~) ~ ¢;(u') dans L~(~.) ~. Done ~(u~, ~) con-

verge duns L'-'(~)'. l~Iais de (4,2) r(isulte que ~(u ~,~) + c'~' converge duns le mSme espace, done

les vee teurs c ~ convergent , et par eons4quent u o , ~ u ~ duns 8~,2(~,)'*, done u ~---~u duns V. e. q. f. d.

5. Ouverts de Friedrichs. Application. So i t • a n ouver t connexe que lconque de R". P o u r tout u dans BL(~) ' ,

on pose, avec FRIEDRICHS [5]:

(5,2) R(u)-~ E llrkz(U),IL.,(O) (on ~crira Ro(u) s'il y a ambiguitY) (,7). k, l=l

Si K est un ensemble compact con tenu dans ~, on pose

(5,3) R (u) - - I1 k,

D]~I~I~[o~¢ 5.L - Un ouvert connexe Q, born~ ou non, sera dit ouver t de FI~IEDRICHS. s ' i l existe un ensemble compact K contenu duns Q, et une cons taute c > 0, telle que, pour tout u duns BL(~Q)', solut ion de

(5,4) A u - - O , A donn4 par (3,6),

on air : (5,5) R(u) c(RK(u) + S(u)).

FI~EDRIC~S a donn4 duns [4], [5], des eri t~res s imples pour q u ' u n ouver t ~2 v~rifie (5.5). En effet, ~2 4rant borne, d~signons par t~ l ' en semble des points x 6 ~, ~ d is tance > ~ de la f ront i~re de ~2. Alors, sous eer ta ines hypo. theses de r4gular i t4 de la f ront i~re de ~2, hypotheses pr~eis~es duns F ~ E - DRICHS [5], FRIEDRICHS montre duns [4], in~galit~ (4.04), p. 447, que

(5,6) R(u) + S(u) +

On en d4dui t aussi tot (5,5), avec K ' - - ~ . Pour le cas d 'ouver ts ~ non born~s de compl~menta i re compact , de fron.

ti~re assez r4guli~re, on d~montre par une modi f ica t ion faci le de la m~thode de FR~EDRICl~S, que (5,5) a lieu.

(~7) E ' v l d e m m e n t l es d 6 f i n i t i o n s d e s rkz(u } e t d e R(u) ~ant v a l a b l o s i n d 4 p e n d u m m e n t de

l ' h y p o t h ~ s e • ~ c o n n e x e ~.

J . L. LioNs: Contribution ~ u~ probl~me de M. M. Picone 211

On peu t ma in t enan t ddmont re r le THI~OR~ME. - On suppose que Q est donnd comme au N ° 1, t~ - - ~ t.) f~2 ;

on suppose que les ouverts ~2~ et ~ , sont des ouverts de Sobolel7 et de Friedriehs. Dans ces conditions, it existe une constante C ~ O, telle que, pour tout u E V, 0 ~ ~ i t

(5,7) li u tl~ ~ c 8(u) (%

D]~MONSTRATIO~. - 1) Soit u q u e l c o n q u e dans V. D 'apr~s le th~or/~me 3.1, il exis te un ~l~ment w et un seul de ~)q,2(Q)" tel que

(5,8) A w - - A u .

Si l' on pose : u - w----, v, on voit que

(5,9) Av = O.

lgais eomme w e s t dans @q,~(~) , on d(fduit de (5,9) que (Av, w } - - S ( v , w), done S(v, w ) ~ O, et par consequen t

(5,10) S(u) "-- S(v) + S(w).

igais on a vu (Lemme 3.1) que

]] rv ]i~ ~ 2S(w), pu i sque w e s t dans ~ , 2 ( ~ ) ' .

P a r consequent , tout revient, grace k (5,10), ~ dgmontrer (5,7) pour u ~ V, solution de A u ~ O.

2) D4signons done par V~ 1' e space des u ~ V tels que A u - - O . Consi- d~rons l ' e n s e m b l e E des u dans VA tels que

(5,11) l] u H, = 1.

I1 fau t mon t r e r que, pou r u ~ E, on a

(5,12) S(u) ~ a ~ O, (a - - 1/C).

Rai sonnons pa r l' absurde . Si (5.12) n ' a pas lieu, il exis te une su i te u a do champs de vec teu r s de E, tels que

(5,13)

Mats on vu (Lemme 4.1) que tl u tl~. On peu t done ex t r a i r e de

(5.14) u~ --~

I1 en r~sul te que u~--* u dans Lq(Q)"

S ( u ~ ) . -- O.

V est un e space de I~ILBERT pour la norme u a une su i te u~ tel le que

u dans V faible.

fa ib le (~ his), done que s ~ u ~ ) ~ sk~u)

(i8) Cette indgalit~ est une indgalitd du type KOKN. Cf. FRIEDRICHS [~:]. (iS his) E n consid~rant u~ - - u, on est ramona "~ eeei : si u~ est une suite de V telle que,

pour tout v de V, on ait (u~, v)t ~ 0, alors u~ ~ 0 dans Lq(9.)n faible. P o u r cela, soit f donn6 darts Lq'(~) n fixd queleonque. Si on ddsigne par N(V) l ' e space des u ~ V tels que

212 J . L. L~ONS: Co~tribut'io'~ ~ ,~cr~ probl~me de M. M. P icone

dans ~'(.o), pour tout k ct 1. )[ais par (5,13), s ~ ( u ~ ) ~ 0 dans L~(~) fort. Done sk,(u) = 0 pour tout k, l, done, par le Lemme 2.1, u - 0. Done

(5,15) uf ~ ~ 0 dans V faible.

I1 en rdsulte que, en part iculier

u~ ~ 0 dans !ig'(fl)".

l'~ais u~ est dans VA, done est solution de l 'dquat ion elliptique (au sens de PETROWSKY [16], SCRWA~Z [17], JO]4N [7]) Au~ == 0. I1 en rdsulte d 'apr6s un thdorbme de SCRWARTZ [17], T. I[, p. 137, que

(5.16) u~ ~ 0 dans (o~

Soit K~ et K 2 les compacts intervenant dans la ddfinition d 'ouver t s de Fa[EDRICHS, K~ C ~ , , K~ C ~2.~. Soit u~ ,'~, u ~,e les restrict ions de u~ fi, ~ et ~ . II r(~sulte de (5,16) que u~, ~ et u~ .e tendent vers 0 un i fo rmdmen t respeet ivement sur K, et sur K . . Done

(5,17) RK~(u~ ,~) --* O, RK:(U~, ~) ~ O.

Mais on a l e s indgalitds

R~(u~,~) ~ c~(R,~(u~, ~) + 8~(u~, ~))

R~.(u~, ~) ~ ~(RK~(u~, ~) + 8~(u~,~)).

Il rdsulte alors de (5.13) et (5,17) que

R(u~) -~ O,

et comme [ fu i l~=R(u) - l -S (u ) , on voit que Ilu~[[i ~ 0, ce qui est absurde puisque i! u~ II~--1. Le thdor~me est ddmontrd.

COROLLA~RE 5.1. - S o u s les hypotheses d u thdor~me 5.1, l'espace V e s t u n espace de Hilbert pour la norme VS(u).

6. Les problbmes aux i imites du type Pieone. On donne ~2 comme au N ° 1 et dans le thdor~me 5.1. Comme au N ° 3

on donne sur BL(Q) '~ ~< BL(Q) ~ une forme sesquil indaire continue u, v ~ ( ( u , v)).

Au~Lq'(~p ~, et que --An, v ) - ~ ( u , v h pour tout v z V~ on mont re , eomme d a n s LIONS [10], que A est un i somorph i sme de N(V) su r Lq'i~]p ~. I I en rdsu l te q u ' i l ex is te u 0 dans N(V), avec hu o ~ f.

On en dddu i t : (u o, u ~ ) , = ( f , u~) (le c roche t d d s i g n a n t la dua l i td e n t r e Lq'(o) n e t L'/(~)~), et comme u 0 ~ V, on vo i t que ( u~, f ) ~ 0, d ' ei~ le rdsul ta t .

(~9) $(~2) est | ' e s p a c e des fonct ions inde~finiment d i f fd ren t i ab ie s sur fi, '~ suppo r t quel- conque. ~ v a l e u r s complexes , m u n i de la topologie de la c o n v e r g e n c e u n i f o r m e su r tout compact des fonct ions et de chacune de leurs d6rivPos.

J. L. L~oNs: Co~trib~etio~, 4 ~¢.n problSme de M. M. Picone 213

EXEI~PLE 6.1. - Sur B L ( ~ ) " X BL(~,)" on donne la forme

j , k , l , m . ,

off u ~, v ~ ~ B L ( ~ ) " , et off les ct~,~ sont des fonetions mesurables, born6es, 'h valeurs r6elles ou complexes.

La forme (6.1) eontient, si ~ - - ~ , la forme (3,4) h titre de cas particulier. On donne de m~me sa t B L ( ~ ) n X BL(~.z)', la forme

z f j , k, l, ~ t . ]

0.2

les ~2 6tant des fonctions mesurables, born6es, /~ valeurs r~elles ou com- jk lm plexes, sur ~ . On prend alors

(6,3) ((',,,, v)) - - ((u' , v'))~l + ((uL v~))~, u - - (u ' , u"), v - - iv ' , v~),

ce qui d6finit une forme sesquilin6aire continue sur B L ( Q ) n X BL(Q)". Un cas par t icul ier important est eelui correspondant h (3,4), soit

(6,4) t ((u ~, v'))~ - - 2h,S(u ~, v ~) + k,(div, u', div. v ~)

((u ~, v"))o~ - - 2h~S(u ~, v ~) + k2(div, u ~, div. v~),

h~ el k, 6rant les eonstantes de LAM]~ de Q~, i - - 1 , 2. EXEMPI~E 6.2. - Soit~R~ un op6rateur lin6aire continu de L~(Z) " dans lui

m~me, i --- 1, 2. Posons :

(6,5)

et

(((u ~, v')))% - - ((u% v~))~, ÷ (R,~(u~), a(v'))~(z),~

(6,6) (flu, v))) - - (((u', v')))~l ÷ (((u ~, v~))),~.

On d6finit ainsi une nouvelle f-orme sesquilin~aire continue sur B L ( ~ ) " X X BL(gt)' .

On a vu que toute forme ((u, v)) d6finit un op6rateur lin6aire continu A de BL(~)" dans ~)~,2(~2)", d6fini par

(6,7)

Dans le cas de l 'exemple 6.1, cet op6rateur h e s t donn6, pour u - - (u t, u ~) E E BL(~))', par

(6,8) A u "-- (A~u ~, A~u'-),

a v e c

(6,9) A~u i - - ((A~ui)~, ..., (Aiui),,),

214 J. L. LmNs: Cont~qbution ~ ,un, problOme de M. M. Picone

et

(6,10) (A,u'), ~ rol s ' / u ' ~ - - - ~ ~ ~ , t~ ik l m JF.t. 2;

(en supposant , ce qui est vdrifi~ duns la prat ique, que c~kz~ ~ c~,,z). Formules analogues pour A2u ~.

Dans le cas par t icul ier (6,4), on a

(6,11) h~u ~ --- - - h~A - - (h, -t- k,) grad. div.

(6,12) Add ---- - - h.zh - - (h. -~- k~) grad. div.

D u n s le cas de l 'e~emple 6.2, l 'op6rateur A est le m~me que darts l 'exem- ple 6.1, car, pour ?~ E ~(Qi) ' , a(~0 *) - - 0 .

DE~'INITIOZ¢ 6 . 1 . - La forme ((u, v)) est dire V-eUipt ique (.~0) s ' i l existe une constante a . ~ 0, telle que pour tout u 'dans IT, on air

(6,13) ((u, u))~ ~ aS(u).

Par exemple, duns le eas de l ' exemple 6.1, posons

= ( % , +

et supposons que pour tout syst~me de hombres complexes bia on ait

(6,15) v d¢k~(~)bjkbz~ ~ ~ E lbik i.z, ~ > O, /, k, l, m

presque par tout duns ~ . Supposons q u ' u n e in6galit~ de m(~me type air l ieu sur ~ . Alors il est

~vident que la forme (6,3) est V-elliptique. Pra t iquement , e~,,~----c~,,,/~, et done ~,~--%i]~(c]~,,,) (~z ~---partie r6elte de z). La relat ion (6,15) es$ v6rifi~e duns la pra t ique (el. p a r ' e x e m p l e )J[IC~L~ [13], p. 177).

Dans le cas de l ' exemple 6.2, et sous les m~mes hypotheses que pr~e~- demment , la forme (6,6) sera V-ell ipt ique si les /~ sont posi t i f s on de norme assez petite.

Espace ~f. On d6signe par ~ 1' espace des u E BL:f l )" , tels que

(6,16) h u E Lq'(Q) '', 1/q + 1/q' - - 1.

Espace 1V. On ddsigne par N l 'espace des champs de vecteurs u tel que

(6,17) u E V, Au ~ Lq'(O)',

(~0) U n e fo rme V - e | l i p t i q u e est en p a r t i e u l i e r D - e l l i p t i q u e , mais la r d c i p r o q u e es t i ncxac te .

J. L. LIONS: Contribution ~ u'~ probl~me de M. M. Pico~e 215

et que (6,18) (Au, v ) = ( ( u , v ) ) pour tout vE V,

off le crochet d~signe la dualit~ entre Lq'(~) ~ et Lq(Q)'. L'espace /g est muni de la norme

(6,19) ]! u [IN --I i u Hv + II ,Au [!Lq,(o)~

qui en fair an espace de BAICAc~. Ceci pos~, on a l e T m ~ O R ~ 6.1. - On donne Q - - ~ U Q~, comme au T ° l, les ouverts Qi

et ~2: dtant des ouverts de Soboleff et de Friedrichs. On suppose que la forme ((u, v)) est V-elliptique. Dans ces conditions A est un isomorphisme de 2¢ sur Lq'(Q)".

D]~MONSTRATION. 1) Soit f donn~ dans Lq'(~)". On cherche u duns N solution de

(6,20) Au = f.

Si v est quelconque dans V, (6,20) entraine

(6,21) ((u, v)) = (f, v)

le crochet d~signant la dnalit~ entre Lq'(Q.) '~ et Lq(Q)'. Rdciproquement, soit u un dldment de V, v~rifiant (6,21). h lors (6,21)a

en par t icnl ier lieu pour tout v = ~ E ~(~)'*, et donc, par d~finition de A, on a (6,20) duns l ' espace ~'(Q)'. Done u v~rifie (6,17). Si mantenant v e s t quel- conque dans V, on a

(Au, v)----~ (f, v) , et ceci vaut ((u, v)) par (6,21),

done (6,18) a lieu. Done tout revient (~ rdsoudre (6,21). 2) On a vu (Corollaire 5.1) que V e s t un espace de ttILBER~ pour la

norme VS-(u). Par ailleurs comme ((u, v)) est V-elliptique, ((u, v))~ ddfinit sur V une structure hilbertienne de norme correspondante gquivalente (~ ¥ S(u).

Consid~rons maintenant la forme semi lin~aire v ~ (f, v) sur V; elle est continue, done de la forme

(6,22) ( f, v ) ----- ((gf, v)),, g f E V,

ce qui d~finit J op~rateur lin~aire eontinu de Lq~(~)" duns V. Soit u fix~ duns V; la forme semi lin~aire v ~ ((u, v))~ est continue,

done de la forme (6,23) ((u, v))~ - - ((Hu, v)), , Hu 6 V,

ee qui d~finit H, op6rateur lin~aire continu de V dans V, hermitien pour la s t ructure ((u, v)) t.

Comme ((u, v ) )=((u , v))~ +i ( (u , v))., on voit que (6,21) ~quivaut ~ la r~solution duns V de (6,25) (1 + iH)u = Jf.

216 J. L. Lto~s: Con l,ribution & w*e probl~me de M. M. Pico,~e

Comme H est hermitien, cette ~quation admet une solution unique

(6,25) u - - (1 + i H ) - ~ J f = Gf. Le th~or~me eu r~sulte.

L'op~rateur G d~fini par (6.25) est l'opdrateur de Green de la forme ((u, v ). C'est un op~rateur lin~aire continu de Lq'(~)" duns _h r. D' apr~s le ~hdor~me des noyaum de Schwartz (el. SCHWARTZ [19], [20], [21], et C~ROTHENDIEOK [6]), l top~rateur G d~finit une famille de distributions G,j, i, i - - 1 , . . . , n G~j E ~)'(~2, X ~v); on ~crira les distributions avec les notations de fonetions : G~(x, y): la formule (6,25) peut alors s'(fcrire

h " (6,26) udm) = ~ i Go(x, y)f~(y)dy, i - " 1, ..., n.

]=1 !

La matrice I Go(~v, Y)!I s 'appel le la ¢ fonetion >~ de Green de la forme ((u, v)). On peut dtudier la r~gularit(f (au sens de SC~tWARmz) des distributions Gi~ par la raP.rhode donn~e duns LIons [8].

Probl~me aux limites du type Picone. On appellera probl~me aux limites du type PICONE le probl~me suivant: Trouver U darts ,'g, solution de

(6.27) A U = F, F doun(~ d~ns Lq'!Q)',

avec les conditions aux limites (2~)

(6,28) h - - U E N,

off h est donn~ dans ~. On a ~videmment le COROLbXlRE 6.1. - Sous les hypotheses du Thdor~me 6.1, le probl~me aux

limites du type Picone, admet une solution unique, donnde par

(6,29) U = h -- G(Ah - - AU).

~[l res~e maintenant g interpreter la condition (6,28), ce que l'on va faire au :N ° suivant, sur l ' exemple correspondant au probl~_me initial.

7. Exemple. Le probli~me de M. M. Picone. On prend la forme ((u, v)) donn~e, par

((u, v ) ) = ((u', v'))~ + ((u", v~))~,,

((u ~, v~))oi ~tant donn~ par (6,4).

L 'opdra teur A correspondant est donn6 par (6,11), (6,12).

(et) Ceei es t p o u r l ' i n s t a n t u n e d(ifinition. Cf. ~-o 7.

J. L. LtoNs: Contribution ~ un. probl~me de M. M. Picone 217

On a la formule d ' in t~gra t ion par part ies que voici (formule de BETTI; el. BERGMANN-ScHIFFER [I], ~IC]:ILIN [13]),

(7,1)

o~t:

f ( A ,u ~, v ~ ) - - ((u', v'))~, - - ] t,(u') . ;'do),

t,(u ~) = champ des pressions, t~(u~), v ~ d~isigne la fonction x ~ t~(u~)(x) • v~(x), x E 3 ~ , le point d~si.

gnant le prodni t sealaire, d~% d6signe l '~16ment superficiel de ~ t (~).

On a la formule analogue sur ~2~, ~ . La condi t ion n6cessaire et suffisante pour que u soit duns N est done que

(a) u soit duns V,

(b) f t,(u') . v~d(% Its(&') . v~d¢% 0 tout E V /-

+ pour

Mats (b) devant avoir lieu pour tout ,v E V, la condit ion (b) ~quivaut aux trois condit ions su ivantes :

(7,2) ['t,(u~) . vtds, - - O, ds, ---- ~lement superficiel de S~ , 81

(7,3) f t~(u ~) • v"ds~ - - O, ds2 = ~16ment superf iciel de S: ,

S~

(7,4) f (t,(u~). v ~ + t.~(u~), v~)do = O, d~ = ~l~ment superficiel de Z.

Mats ~(v')~a(v~), i. e. v t - - C sur ~,. Et ceei est la seule condit ion '~ la fronti~re '~ laquelle soient assnjet t ies les fonctions de V. On volt done que les condi t ions (a), (7,2), (7,3), (7,4) aquivalent aux condi t ions su ivantes :

(7,5) i u ' = u ~ sur ~, t,(u ~)+t~(u ~ ) = 0 sur ~,, ( tdu' ) = 0 sur S , , t.2(u ~ ) = 0 sur S~.

(~) Cette int6gration par parties est formetle, puisque l ' on ne fair aucune hypothbse de r6gularitd sat ~ t e~ ~fi~. Si l 'oll suppcse que i~l et ~2 sent des varidtds de dimension n - - 1 ind6finiment diff6rentiables, on l~eut prdciser eomme il est fait dans Ltol~s [11].

Annali eli Matematlca 28

218 J. L. LIONS: Contribu, tion ~ ut~ probl~m,e de M. M. Picone

Les condit ions a u x l imiles (7,5) donnent les condit ions ndcessaires et su f f i santes p o u r que u soit dans 17 ('~).

Interprgtat ion du probl~me aux. l imiles correspondant : prenons dans (6,28), un champ h ~ (h t, h "~) par t icu l ie r , tel que h ~ ----- h ~ sur E, t,(h ~) + t~(h ~') - - 0 sur Y~.

Les condi t ions (6,27) et (6,28) s ' 4c r iven t en d4 ta i l l an t : on cherche U ~ et U ~, so lu t ions de

(7,6) t h ~ A U ' + ( h ~ + k ~ ) g r a d , div. U ~ + F ~ - - 0 dans ~ ,

h./~U "~ + (h~ + k.,) grad div. U ~ + F ~ = 0 dans ~.~,

avec les condi t ions aux l imi tes

(7,7) U ~ ---- U ~ s u r ~ , t~(U ~) + t~(U ~) - - 0 s u r ~,,

(7,8) t~(U ~) = t,(h ~) donn~ sur S~,

(7,9) t~(U ~) - - t~(h ~) d o n n ~ s u r S ~ ,

et la condi t ion de d~croissance ~ l ' i n f i n i :

(7,10) U'-' 6 ~q, ~(n.2)'.

On voit done que, la condi t ion (1,8) ~tant remplac~e pa r (7,t0), ce pro- b lame est celui de M. M. PIco:s]~.

P a r consOquent, on a d~montr~ que sous la seule hypoth~se que les ouver t s Q~ et Q.2 soient des ouver t s de SOBOLEFF et de FRIEDRICHS (~4), le probl~me de M. M. Picone admet une solut ion et une seule.

(e3) Comme les hypoth6ses ¢ ~t ouver t de SOBOLEFF et de ~ I E D R I C H 8 )) n ' e n t r a i n e n t pas 1' exis tence d ' u n plan tangent en t o u s l e s points de bfi,', i~---1, 2, il n ' e s t pas question, dans le cas g4n4ral, de donner les condit ions (7,8) et (7,9) au t rement que sous la forme

• , h - - U S N , . (e4~ 2qous ignorons si les hypotheses , ~i ouver t de Sor.oLOFF et de FmEDRICHS " sont

ndcessaires. Voici toutefois un r4sultat dans ce sens (analogue h DENY LIONS, chap. I, prop. 10.1). Consid4rons sur ~ U ~2 la forme ((u, v))~--S(u, v ) ~ - & h ( u i, v ~)-~-Su2(u ~, v2). Soit A l 'opdra tenr correspondant . A l o r s : si A appl ique N s u r Lq'($2)n, i l existe une cons tan te c ~ 0 telle que p o u r tout u s V, on air

(*} i! u I Lq'(O)" <-- c YS(u).

D~;MONSTRATION. - D4signons par A l ' e n s e m b l e des u s V tels que S ( u ) ~ 1. Soit f s Lq'(fi) n que lconque ; i l exis te par hypoth~se un 416ment u 0 clans N tel que

(**) huo -~ f.

o . d~duit de (**) que S('.o. u ) = ( t , ,~), done i(r, '7'>I--< V~-(~)'¢~i , bor.~ ~o,'sque u $ A ; done A est fa ib lement bornd dans Lq'(~).) n, done born6, done li u [ILq~fl)~z ~ fi pollr tout u ~ A, d 'o~ (*).

J. L. Lm~s: Co~tribution ~ u'~ probl~me de M. M. Picone 219

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