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UNIVERSIDAD POLITECNICA DE MADRID

FACULTAD DE INFORMATICA

TESIS DOCTORAL

CONTRIBUCION AL ESTUDIO CRıTICO DE LA

INFERENCIA BORROSA Y DE SUS APLICACIONES

Autor: Eloy Renedo Gutierrez

Director: Enrique Trillas Ruiz

Madrid, Abril 2007

FACULTAD DE INFORMATICA

Departamento de Inteligencia Artificial

CONTRIBUCION AL ESTUDIO CRıTICO DE LA

INFERENCIA BORROSA Y DE SUS APLICACIONES


Licenciado en Ciencias Fısicas


Emeritus Researcher at ECSC

PRESENTADA PARA LA OBTENCION GRADO DE

DOCTOR EN INFORMATICA

EN LA UNIVERSIDAD POLITECNICA DE MADRID

CAMPUS DE MONTEGANCEDO S/N

28660 BOADILLA DEL MONTE, MADRID

ESPANA, 2007

UNIVERSIDAD POLITECNICA DE MADRID

DEPARTAMENTO DE INTELIGENCIA ARTIFICIAL

Tıtulo: Contribucion al estudio crıtico de la inferencia borrosa y

de sus aplicaciones



TRIBUNAL

Presidente:

Secretario:

Vocal 1:

Vocal 2:

Vocal 3:

Acuerdan otorgar la calificacion de:

Madrid a de de 2007

A Marian,

mi amor, mi complice y todo.

Indice general

Resumen IX

Abstract XI

Agradecimientos XIII

Introduccion 1

Publicaciones 7

1. Conceptos basicos y propiedades 11

1.1. Conjuntos parcialmente ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.1. Preorden y orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.2. Retıculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2. Negacion y complemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.1. Negacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.2. Complemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3. Estructuras algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3.1. Introduccion de algebras reticulares . . . . . . . . . . . . 25

1.4. Funciones en [0, 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.4.1. Involucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.4.2. Automorfismo de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.4.3. Funcion de Negacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.4.4. Tipos de negacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.4.5. Punto fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.5. Funciones en [0, 1]× [0, 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.5.1. T-normas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.5.2. T-conormas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

v

2. Predicados y teorıas de conjuntos borrosos 41

2.1. Predicados, subconjuntos y funciones . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.1.1. Los predicados binarios son subconjuntos . . . . . . . . . 43

2.1.2. El algebra de las partes de X : P(X) . . . . . . . . . . . 45

2.1.3. El conjunto de funciones {0, 1}X . . . . . . . . . . . . . . 47

2.1.4. Los conjuntos borrosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.1.5. Los predicados organizan el universo del discurso . . . . 50

2.2. La calificacion de los predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.2.1. ‘x es P , es τ ’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.2.2. Tres casos importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.3. Las teorıas de conjuntos borrosos . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.3.1. Teorıas minimales de conjuntos borrosos . . . . . . . . . 58

2.3.2. Teorıas funcionalmente expresables . . . . . . . . . . . . 61

2.3.3. Negacion en teorıas de conjuntos borrosos . . . . . . . . 63

2.3.4. Teorıas estandar de conjuntos borrosos . . . . . . . . . . 66

2.3.5. Teorıas Pexider . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3. Teorıas de conjuntos borrosos y leyes algebraicas 69

3.1. Leyes. ¿Que leyes? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.1.1. Leyes booleanas basicas y derivadas . . . . . . . . . . . . 75

3.2. Teorıas estandar y leyes algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.2.1. Leyes booleanas basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.2.2. Leyes booleanas derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.2.3. Orto-retıculos y teorıas estandar . . . . . . . . . . . . . . 84

3.2.4. Retıculos ortomodulares y teorıas estandar . . . . . . . . 85

3.3. Teorıas no estandar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.3.1. Teorıas con operadores no continuos . . . . . . . . . . . . 89

3.3.2. Teorıas con operadores no funcionales . . . . . . . . . . . 90

3.3.3. La teorıa (Fnc(X),∧T ,∨S,¬N) . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.3.4. Leyes opcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.3.5. El orto-retıculo (Fnc(X),∧mın,∨max,¬N) . . . . . . . . . 100

3.3.6. Algebras de Boole finitas en Fnc(X) . . . . . . . . . . . . 102

3.4. Booleanidad de las teorıas de conjuntos borrosos . . . . . . . . . 105

4. Razonamiento condicional 109

4.1. El condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.1.1. Funciones de implicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.2. El condicional en la logica algebraica . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.2.1. La flecha clasica en algebras de Boole . . . . . . . . . . . 117

vi

4.2.2. La flecha clasica en algebras no booleanas . . . . . . . . 118

4.2.3. De una controversia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.2.4. Las leyes a = a · b+ a · b′ y (a · b′)′ = b+ a′ · b′ . . . . . . 122

4.2.5. Algebra de De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.2.6. Retıculo ortomodular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.2.7. La ley (a · b′)′ = b+ a′ · b′ en orto-retıculos . . . . . . . . 125

4.2.8. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.3. Condicionalidad de operadores de implicacion borrosos . . . . . 127

4.3.1. MP y MT condicionalidad de las implicaciones borrosas . 128

4.3.2. S-implicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.3.3. Q-implicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.3.4. ML-implicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.4. Contrasimetrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.4.1. N-Contrasimetrıa en operadores de implicacion borrosos 133

4.5. D-implicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

4.5.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

4.5.2. mp, mt y mpt condicionalidad de las D-implicaciones . . 141

4.5.3. Contrasimetrıa de las D-Implicaciones . . . . . . . . . . 143

5. Razonamiento disyuntivo 145

5.1. La disyuncion en el lenguaje, usos del ‘o’ . . . . . . . . . . . . . 147

5.1.1. Algunos usos del o en lenguaje comun . . . . . . . . . . 147

5.1.2. Ejemplos linguısticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

5.1.3. O inclusivo: Disyuncion y disyuncion debil . . . . . . . . 150

5.1.4. Relacion producida por un operador . . . . . . . . . . . 150

5.1.5. Modelos coherentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5.2. Diferencia simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5.2.1. Diferencia simetrica clasica (booleana) . . . . . . . . . . 156

5.2.2. Diferencia simetrica en retıculos . . . . . . . . . . . . . . 157

5.2.3. Diferencia simetrica en retıculos ortomodulares . . . . . 159

5.2.4. La diferencia simetrica en algebras de De Morgan . . . . 161

5.2.5. La propiedad asociativa de la diferencia simetrica . . . . 165

5.2.6. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

5.3. Diferencia simetrica en conjuntos borrosos . . . . . . . . . . . . 168

5.3.1. Funcion de diferencia simetrica . . . . . . . . . . . . . . 168

5.3.2. Modelo S(T1(a,N1(b)), T2(N2(a), b)) . . . . . . . . . . . . 168

5.3.3. Modelo T1(S(a, b), N(T2(a, b))) . . . . . . . . . . . . . . . 169

5.3.4. Modelo T (S1(a, b), S2(N1(a), N2(b))) . . . . . . . . . . . . 170

5.3.5. Modelo T1(S1(a, b), S2(N1(a), T2(a,N2(b)))) . . . . . . . . 171

vii

viii

5.4. Modo disyuntivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

5.4.1. Modo disyuntivo en retıculos . . . . . . . . . . . . . . . . 174

5.5. Modo disyuntivo en conjuntos borrosos . . . . . . . . . . . . . . 175

5.5.1. O inclusiva (t-conormas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

5.5.2. O exclusiva (diferencia simetrica) . . . . . . . . . . . . . 177

6. Conclusion 181

6.1. Aportaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

6.2. El significado es un tema abierto. Una reflexion . . . . . . . . . 183

6.3. Temas abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

Bibliography 190

Resumen

El trabajo descrito en esta memoria se enmarca en el campo general de la

logica borrosa. En nuestro caso se concreta en el de las relaciones (similitudes

y diferencias) entre la estructura y propiedades de las teorıas de conjuntos

borrosos y las algebras reticulares.

Con este objetivo, se aborda en primer lugar (Cap. 1) una descripcion

de principios, propiedades y funciones de los conjuntos ordenados en general,

retıculos -el [0, 1] en particular-. Ademas (Cap. 2) se exponen las bases concep-

tuales de los conjuntos borrosos y las teorıas de conjuntos borrosos, tambien de

cara al uso que se hace de ellos en el texto. La inclusion de los temas de ambos

capıtulos, pretende fijar el marco de trabajo en el que se asienta el resto.

A continuacion (Cap. 3) se estudia la interrelacion conceptual entre deter-

minadas leyes reticulares, con las leyes y propiedades de teorıas de conjuntos

borrosos estandar, Pexider, funcionales y no funcionales. Este metodo permite

descubrir nuevas propiedades en diferentes estructuras y deja abiertos campos

por explorar, como la idea de booleanidad (gradual) de las teorıas borrosas.

En la misma lınea metodologica, el siguiente capıtulo estudia tipos de ra-

zonamiento basados en el condicional, tales como el Modus Ponens, Modus

Tollens, Dilema Constructivo, etc. en retıculos y teorıas de conjuntos borrosos.

El estudio muestra algunas leyes que tienen un comportamiento restrictivo y

fuerzan algebras de Boole. En el caso de las teorıa borrosas, donde el razona-

miento condicional ha sido ampliamente usado, se introduce una nueva familia

de implicaciones borrosas basada en un condicional ortomodular, la flecha de

Dishkant.

Por ultimo, el capıtulo 5 trata sobre otro modo de razonamiento, el dis-

yuntivo, tema que esta mucho menos tratado en la literatura. Este modo lleva

de forma natural al estudio de la disyuncion, que abordamos desde la perspec-

tiva de la disyuncion inclusiva y la exclusiva -diferencia simetrica-. Tanto en

estructuras algebraicas como teorıas de conjuntos borrosos se profundiza en el

ix

x

estudio de la diferencia simetrica. Sobre este operador se hace especial enfasis

ya que tiene gran importancia en los modelos linguısticos de la disyuncion y

es un operador muy poco estudiado. La memoria se completa con un breve

recorrido por los hallazgos originales mas destacables, algunas reflexiones y un

repertorio de problemas abiertos.

Abstract

This work belongs to the general field of Fuzzy Logic. In our case it isfocused on the relations (similarities and differences) between the structureand properties of Fuzzy Set Theories and Lattices.

With this aim in mind, a description of principles, properties and functionsof ordered sets, lattices -[0, 1] in particular- is broached in the first chapter. Inthe second chapter the conceptual basis of fuzzy sets and fuzzy sets theoriesare settled in order to be used later on.

Next, in the third chapter the conceptual interrelation between some latticelaws and standard fuzzy sets theories laws or properties are studied, further-more their interrelation with Pexider fuzzy sets theories and functional ornonfunctional theories are also studied. This way of working allow us to dis-cover new properties in many different structures, and opens up the study ofthe degree of “booleanity” of fuzzy set theories.

Following up this way of working, the fourth chapter studies the classicalways of conditional reasoning, such as Modus Ponens, Modus Tollens, Cons-tructive Dilemma... in lattices and Fuzzy Theories. This study shows that somelaws have a restrictive behavior and force a specific boolean structures. Theconditional reasoning is well known and many families of fuzzy implicationsare available. A new family of fuzzy implications, based on a classical ortho-modular model, the Dishkant arrow, is introduced.

Finally, in the fifth chapter we deal with a different way of reasoning, thedisjunctive mode, which has received less attention. This mode of reasoningrequires the previous study of the disjunction, in its both facets, the inclusiveand the exclusive disjunction (or symmetric difference). Then we have studiedin depth the symmetric difference in algebraic structures and in fuzzy setstheories. This operator has a great relevance due to their use as a model of thelinguistic disjunctions and has been infrequently studied.

The work ends with a short review of the main contributions, some reflec-tions and some open problems.

xi

Agradecimientos

A Enric, hombre de palabra, el paciente Enric, del que no se si es mas

amigo que maestro o viceversa (el sı lo sabe). Inspirador, motor, correa de

transmision y condicion necesaria de este trabajo.

A Sergio, que este ano cumplira 32, como mi hija, y que, aparte de algunos

cientos de buenas ideas y un par de magnıficas herramientas, me ha regalado

su amistad y sus amistades.

A Claudi, sin cuyo ‘Functional equations service, 24 hours open’ a esta tesis

le faltarıa pata y media.

Especial gratitud a Ana Pradera y sus observaciones y ayudas, a Alejandro

Sobrino y su colaboracion, a veces un poco melancolica, al padrinazgo de Jose

Angel Olivas que esta en el origen de todo.

A otros tantos que ‘empujaron’ con entusiasmo, Carlos, Pili, Maru, Emilio,

Eloina, Veronica, Jose, Carmen... (perdon por los olvidos).

Y a quienes tienen mi vida en deposito, Ana y Elena (el orden es alfabetico,

naturalmente) que por fin dormiran a gusto.

Y a Benedetti, gracias por el verso.

xiii

Introduccion

La logica es una ciencia formal que tiene por objeto suministrar modelos, es

decir dotarse de leyes capaces de representar ordenadamente los mecanismos

que conlleva la actividad de hacer razonamientos, en particular el tipo de razo-

namiento que se articula sobre elementos de lenguaje, es decir, el razonamiento

linguıstico. Bien entendido que el termino linguıstico no hace referencia al posi-

ble estudio del o de los lenguajes -asunto que compete a otras disciplinas- sino

a la idea comun de que un universo de conocimiento se expresa mediante un

conjunto de enunciados linguısticos que representan conceptos, relaciones, le-

yes etc. que constituyen dicho universo. Ası, el razonamiento se entiende como

aquella actividad que partiendo de enunciados validos permitirıa hallar nuevos

enunciados validos (nuevos elementos de conocimiento).

Desde sus orıgenes, la logica o mas bien los logicos, tienen como aspiracion

objetivar los razonamientos, disponer de un procedimiento de validacion de los

mismos fuera de la subjetividad del argumentador ¿que otra cosa es si no el

esfuerzo inventor de sistemas formales irrefutablemente coherentes, completos

y decidibles?, de, por ası decirlo, sacarlo del cerebro humano y encomendarlo

a un dispositivo exterior no sujeto a errores. ¿Por que no, si fuere posible, a

una maquina de razonar?

“Leibniz acaricio toda su vida la esperanza de descubrir una clase de ma-

tematicas generalizadas por medio de la cual el pensar podrıa ser reemplazado

por el calculo. ((Si tuvieramos esto -dice Leibniz- serıamos capaces de razonar

en metafısica y en moral casi del mismo modo que en geometrıa y en analisis.

En caso de controversias, los filosofos no tendrıan necesidad de mas disputas

que las que entre dos peritos en contabilidad. Pues bastarıa que cogieran los

lapices, que se sentaran al lado de sus pizarras y que se dijeran el uno al otro

(con un amigo como testigo, si querıan): Calculemos))”[73]. Al mismo Leibniz

1

2

se debe una calculadora inteligente que fue uno de los primeros automatas de

la historia; pero sobre todo la informatica le debe la genial idea de utilizar el

sistema binario como metodo de calculo.

La historia de la busqueda de estas maquinas es de sobra conocida, y aun-

que solo en tiempos recientes se dispone de tecnologıa adecuada para la cons-

truccion de verdaderos automatas -la primera maquina de diferencias disenada

por Babage es de 1819- no invalida este hecho, creemos, la idea de que este

proposito subyace en la mente de los cientıficos de la logica. La logica es y ha

sido de algun modo una ciencia ’chez l’ingenieur’. El avance en la construccion

de maquinas de computacion sofisticadas y potentes (mas aun en el previsible

y no lejano tiempo en que aparezcan maquinas de computacion notablemente

diferentes...) muestra que la ciencia de la logica encuentra buen acomodo entre

los ingenieros de la computacion. La logica, sobre todo la booleana, es una de

las bases de la computacion (y de los computadores). A su vez y nutrida de

esa potente herramienta, tambien la logica ha fructificado de tal modo que en

la actualidad es difıcil pensar en la una sin la otra.

El razonamiento linguıstico es un razonamiento semantico, es decir, un

razonamiento que se articula sobre el significado de los terminos que intervie-

nen en el mismo. Porque solo desde el comun entendimiento de los significados

puede haber comunicacion, sin la cual el conocimiento pierde su funcionalidad.

Aunque las estructuras formales de razonamiento se formulan con enunciados

abstractos, las conclusiones solo tienen sentido cuando se traducen en enun-

ciados semanticamente validos, esto es, expresan objetos reales del universo de

conocimiento. Por ejemplo, las frases siguientes “Dado (supuesto) que todos

los hombres son mortales y dado que Socrates es hombre, entonces Socrates

es mortal” y “Dado que solo las aves que no vuelan practican la autocrıtica y

dado que las gallinas no vuelan, entonces las gallinas practican la autocrıtica”,

representan dos ejemplos de razonamiento impecable desde el punto de vista

formal, sin embargo el segundo no nos dice nada.

Razonar requiere comprender las expresiones que se manejan, es decir, estas

deben tener significado. Por eso, una herramienta destinada a formalizar el

razonamiento debe poder representar este significado. ¿Que entendemos por

significado?

La respuesta mas ajustada a nuestra idea la encontramos en la definicion

3

de L. Wittgenstein [102]:

((El significado de una palabra es su uso en el lenguaje))

Esta definicion contiene los elementos esenciales del modo en que nos apro-

ximamos al lenguaje: el significado de las palabras se extrae de la practica

de las mismas insertas en contextos determinados. Volveremos sobre esta no-

cion empırica del significado de forma recurrente en esta memoria, cuando,

por ejemplo, se hable de los predicados y los conectivos, de su definicion y

formalizacion.

La necesidad de experimentacion con el significado de las palabras no es el

resultado de una reflexion ‘a priori’ sino que surge de la dificultad objetiva de

capturarlo con modelos teoricos -logicos, en nuestro caso- por complejos que

estos sean. Hay muchas cualidades de las palabras que hacen que su uso varıe

notablemente de unos casos a otros, ası diremos que una palabra, en un texto

o contexto determinado, es ambigua, incierta, vaga, imprecisa, indeterminada,

confusa, inexacta etc. o bien que es homonimo de, sinonimo de, antonimo de,

analoga a, parecida a, y ası sucesivamente. Ademas, estas caracterısticas se

pueden dar conjuntamente. Por ejemplo, decir que Jupiter es un planeta gran-

de, es impreciso, pero decir que Mercurio es un planeta grande, es impreciso

e inexacto. Como es bien sabido, de todas las caracterısticas apuntadas, es la

imprecision o vaguedad aquella que interesa especıficamente a logica borrosa

y es por esta razon que en este trabajo nos ceniremos basicamente a ella.

La busqueda de herramientas eficientes para operar con el lenguaje, llevo a

modelos que eluden la imprecision propia del lenguaje y se limitan al manejo

de lenguajes muy estructurados o, en un proceso de abstraccion, a representa-

ciones simbolicas de los lenguajes dotandose del mayor rigor formal. La logica

clasica es el caso ideal de dicha situacion.

Cuando, por el contrario, nos acercamos al lenguaje natural y se pretende

capturar su imprecision, la logica borrosa se ofrece como una herramienta

ventajosa y su formalizacion simbolica mediante conjuntos borrosos permite

aproximarse a dicha imprecision.

4

¿Una representacion para cada significado?

En el reverso de la simplicidad de la logica clasica se concluirıa que el ideal

es que cada elemento del universo de conocimiento -predicado, conectiva o frase

compleja, etc.- tuviera su exacta representacion o la representacion exacta de

su uso en el universo de conocimiento, es decir, cada significado particular

tuviera su representacion mediante los sımbolos adecuados. Esta pretension,

al menos actualmente, es inalcanzable por su extension y complejidad, pero

ademas, desde nuestro punto de vista tiene escaso interes ya que el lenguaje

es una construccion intelectual una de cuyas mayores virtudes es la economıa

de medios. Su exito como vehıculo de pensamiento y comunicacion proviene

en gran medida de dicha virtud.

Viene al caso un texto, ciertamente premonitorio, de Alfredo Deano [24]:

((Lejos de pensar que el lenguaje ordinario, por su complejidad, exige estudios

‘informales’, asistematicos, en los que la logica formal desempene a lo sumo

un papel de ideal de precision inalcanzable, los linguistas actuales creen que,

precisamente por su complejidad, el lenguaje ordinario demanda una logica

formal, una reconstruccion formal cada vez mas refinada, como la que permiten

las logicas no clasicas. Un ejemplo particularmente adecuado de este modo de

ver las cosas nos lo proporciona el linguista George Lakoff con su aplicacion

de las fuzzy logics al estudio de problemas de semantica del lenguaje natural.

.... Ahora bien: ¿lleva esto a Lakoff a la forma de desesperacion consistente en

decir que la logica formal debe dejar el lenguaje ordinario por imposible, por

no susceptible de formalizacion? En absoluto. Lo que Lakoff hace es buscar un

sistema logico en el que pueda llevarse a cabo esa formalizacion sin traicionar

esos rasgos del lenguaje ordinario. Y lo encuentra en una adaptacion de la

fuzzy set theory de Lotfi Zadeh, a base de la cual elabora una fuzzy logic, un

sistema logico capaz de analizar las relaciones de inferencia entre enunciados

borrosos.))

Si queremos emular el lenguaje parece apropiado que el modelo deberıa

acercarse a esta caracterıstica en lugar de la expresada al principio. La idea

es capturar la complejidad y la imprecision con herramientas no complejas,

eficientes y precisas. En forma de principio:

La logica borrosa pretende estudiar la imprecision con la maxima precision

posible.

5

En esta lınea de pensamiento, la idea motriz de esta memoria es simple.

La logica borrosa toma en sus orıgenes los esquemas de un sistema formal

logico: enunciados, predicados, conectivos, sintaxis, reglas de inferencia, de

demostracion etc. y construye su propio entramado en un camino que desde

la logica clasica pasa por la (o las) logica multivaluada hasta su enunciado

como una logica continuamente valuada. El recorrido de la logica clasica a

la borrosa se puede hacer deconstruyendo la estructura booleana de la logica

clasica en estructuras algebraicas sucesivamente mas debiles. Todo esto ¿con

que objetivo?, pues con el de trasladar los hallazgos de unas estructuras a

otras.

La conexion entre la logica algebraica y la logica borrosa viene establecida

de antiguo en teorıas de conjuntos borrosos como la teorıa original de Zadeh,

([0, 1]X ,mın max, 1− id), que es un algebra de Kleene, o en las leyes booleanas

que satisfacen diferentes teorıas de conjuntos borrosos. Nuestro objetivo es

encontrar teorıas que satisfagan leyes distintas y ası enriquecer las posibilidades

de representar relaciones y propiedades de los universos de conocimiento. En

un paso mas adelante, el objetivo es tambien encontrar teorıas que satisfagan

conjuntos de leyes que caractericen algebras determinadas y ası dotarse de la

estructura de las mismas y explorar terrenos asociados a ellas. Pensemos, por

ejemplo, en las algebras ortomodulares y su relacion con la logica cuantica o,

en las algebras de Boole y las distribuciones de probabilidad. Este proposito

encaja en la idea del estudio preciso enunciada mas arriba. En la medida que

seamos capaces de dotar a los conjuntos borrosos de leyes algebraicas estaremos

avanzando en ese terreno.

En el curso del desarrollo de este trabajo, se han encontrado propiedades

de teorıas borrosas que sugieren un enfoque distinto: encontrar nuevas rela-

ciones entre las estructuras algebraicas como consecuencia de trasladar dichas

propiedades, o de buscar soluciones por procedimientos analogos a los de la

logica borrosa. No se trata de ‘borrosificar’ las estructuras algebraicas, sino

que la busqueda de propiedades de las teorıas de conjuntos borrosos nos dan

la pista de nuevas relaciones y propiedades en las algebras. Parafraseando el

principio anterior, podrıamos decir que:

El estudio de la imprecision puede aportar nuevos puntos de vista al de la

logica precisa.

Publicaciones

Trabajos del autor publicados en el tiempo de realizacion de esta tesis y

relacionados con la misma.

Revistas nacionales e internacionales

On the law (a.b′)′ = b + a′b′ in De Morgan algebras and orthomodular

lattices.

E. Renedo, E. Trillas, C. Alsina. Soft Computing, 8: 71-73, 2003.

An overview on the construction of fuzzy set theories.

A. Pradera , E. Trillas , E. Renedo. New Maths and Natural Computation,

1 (3): 329-358, 2005.

A Note on the Symmetric Difference in Lattices.

E. Renedo, E. Trillas, C. Alsina. Mathware and Soft Computing, 12 (1):

75-81, 2005.

On contrasymmetry and MPT-conditionality in Fuzzy Logic.

E. Trillas, C. Alsina, E. Renedo, A. Pradera. Int. Jour. of Intelligent

Systems, 20 (3): 313-326, 2005.

A short note on lattices allowing disjunctive reasoning.

E. Trillas and E. Renedo and C. Alsina. Mathware and Soft Computing,

13 (2): 135-137, 2006.

On two Pexider functional equations arising in fuzzy logic.

C. Alsina, E. Trillas, E. Renedo. (en publicacion).

7

8

Conjuntos borrosos y logica algebraica.

E. Trillas, E. Renedo. Agora , 24 (2): 49-73, 2007.

A reflection on the use of And.

S. Guadarrama, E. Renedo. Int. Jour. of Applied Mathematics and Com-

puter Science (in press)

Round Numbers revisited. A new fuzzy approach.

E. Renedo, A. Sobrino. Fuzzy Sets and Systems (en publicacion).

Capıtulos de libros

Fuzzy Sets vs Language.

E. Trillas, E. Renedo, S. Guadarrama. Computational Intelligence: Theory

and Practice, Ed. B. Reusch, 353-366, Springer September 2006

On the construction of Fuzzy Set Theories.

A. Pradera, E. Trillas, S. Guadarrama, E. Renedo. Computing with Words-

Semantics, Ed. P.Wang and L. Zadeh, Springer forthcoming

Conferencias y congresos

On a new theory of fuzzy sets with just one self-contradiction.

E. Trillas, E. Renedo, S. Guadarrama. 10th IEEE International Confe-

rence on Fuzzy Systems, 658-661, 2001

Non-Contradiction and Excluded-Middle.

S. Guadarrama, E. Trillas, E. Renedo. XI Congreso Espanol sobre Tec-

nologıas y Logica Fuzzy (ESTYLF 2002). Proceedings of ESTYLF : 385-

389, 2002.

On three laws typical of booleanity.

E. Renedo, E. Trillas, C. Alsina. Proceedings NAFIPS-2004, Banf, Ca-

nada, 520-524, 2004.

9

Non-dual fuzzy sets theories: a didactic overview.

E. Trillas, A. Pradera, E. Renedo. Proceedings ESTYLF’04, Jaen. II:

29-49, 2004.

A reflection on the use of And.

S. Guadarrama, E. Renedo. Fourth Conference of the European Society

for Fuzzy Logic and Technology (EUSFLAT 2005). Proceedings of EUS-

FLAT : 571-575, 2005.

Studying Fuzzy Modus Ponens.

C. Alsina, S. Guadarrama, E. Renedo, E. Trillas. NAFIPS 06 JUN 3-6

2006. Proceedings of NAFIPS-06 : 1-4244-0363-4/06 IEEE 2006.

Classes of T-conditionals and fuzzy inference.

E. Trillas, S. Guadarrama, E. Renedo. NAFIPS 06 JUN 3-6 2006. Pro-

ceedings of NAFIPS-06 : 1-4244-0363-4/06 IEEE 2006.

On two classic laws with fuzzy sets.

C. Alsina, E. Trillas, E. Renedo. Proceedings ESTYLF’06, Ciudad Real,

2006.

Capıtulo 1

Conceptos basicos y propiedades

El contenido de esta memoria gira, principalmente, en torno a dos con-

ceptos, las teorıas de conjuntos borrosos y las algebras reticulares. Se dedica

este capıtulo a introducir los conceptos fundamentales de los conjuntos orde-

nados y retıculos, y sus propiedades, en especial aquellas que iran apareciendo

a lo largo del trabajo. En lo concerniente a este tema, el texto de referencia

es ‘Lattice Theory’ de G. Birkhoff [17]. Las pruebas de las propiedades estan

tomadas, en su mayorıa, de dicho texto.

11

12

1.1. Conjuntos parcialmente ordenados

1.1.1. Preorden y orden

Preorden. En un conjunto L se denomina preorden a una relacion binaria,

≤ ⊆ L× L, que verifica las propiedades

1) reflexiva: x ≤ x para todo x ∈ L, y

2) transitiva: si x ≤ y e y ≤ z entonces x ≤ z.

Un conjunto preordenado, es un conjunto L en que se ha definido un preorden.

Orden. Se denomina orden a un preorden que verifica la propiedad

3) antisimetrica: si x ≤ y e y ≤ x, entonces x e y son el mismo elemento.

Un conjunto con una tal relacion se denomina conjunto parcialmente ordenado.

Es de uso frecuente el termino poset(partial ordered set) para designar estos

conjuntos. La relacion se llama orden total cuando para todo x, y ∈ L se verifica

x ≤ y o y ≤ x.

Un conjunto totalmente ordenado se denomina asimismo cadena.

Lımites superior e inferior. Un elemento x del poset (L,≤) es un lımite

superior (resp. inferior) de un subconjunto Y ⊆ L si, para todo y ∈ Y , y ≤ x

(resp. x ≤ y).

Supremo e ınfimo. x1 es el supremo de Y , denotado por supY , si es el

menor limite superior de Y , i.e. para todo lımite superior x de Y , x ≥ x1.

x0 es el ınfimo de Y ,ınf Y , si es el mayor limite inferior de Y , i.e. para todo

lımite inferior x de Y , x ≤ x0.

Lema 1.1.1. El supremo y el ınfimo de un poset, si existen, son unicos.

Maximo y mınimo. y1 es el maximo de Y , maxY , si es el supremo de Y y

y1 ∈ Y . y0 es el mınimo de Y , mınY , si es el ınfimo de Y y y0 ∈ Y .

13

1.1.2. Retıculos

Definicion 1.1.1. (Birkhoff) Un Retıculo (Lattice (ing.), Verband (ale.))

es un conjunto parcialmente ordenado (L,≤) en el que para todo par de objetos

x, y ∈ L existen x ∧ y ∈ L y x ∨ y ∈ L tales que,

x ∧ y = sup{z ∈ L; z ≤ x, z ≤ y} (1.1.1)

x ∨ y = ınf{z ∈ L; z ≥ x, z ≥ y} (1.1.2)

Caracterizacion de x ∧ y y x ∨ y:

∀z : z ≤ x ∧ y si y solo si z ≤ x & z ≤ y (1.1.3)

∀z : x ∨ y ≤ z si y solo si x ≤ z & y ≤ z (1.1.4)

Propiedades de ∧ y ∨Conmutativa. x ∧ y = x ∧ y ; x ∨ y = y ∨ x.

Asociativa. x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z ; x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z.

Idempotencia. x ∧ x = x ; x ∨ x = x.

Absorcion. x ∧ (x ∨ y) = x; x ∨ (x ∧ y) = x

Todas se derivan inmediatamente de la definicion.

Semiretıculo superior e inferior. Un poset L es un semiretıculo supe-

rior (resp. inferior) si para todo x, y ∈ L existe x ∨ y (resp. x ∧ y) y pertenece

a L

Definicion 1.1.2. Un algebra reticular es un conjunto A dotado de dos

operaciones binarias, · y +, que verifican las leyes conmutativa, asociativa y

de absorcion, esto es, para todo a, b, c ∈ A,

4. I) a · b = b · a,

II) a+ b = b+ a

14

5. I a · (b · c) = (a · b) · c,II) a+ (b+ c) = (a+ b) + c

6. I) a · (a+ b) = a,

II) a+ (a · b) = a

Equivalencia entre Def. 1.1.1 y Def. 1.1.2

Las definiciones de retıculo y algebra reticular son equivalentes. En efecto,

i/ Def. 1.1.1 implica def. 1.1.2:

En el retıculo (L,≤) se definen dos operaciones binarias, · y +, de la si-

guiente manera: x·y = x∧y , y x+y = x∨y ; es inmediato probar que verifican

las propiedades 4), 5) y 6) y, por lo tanto (L, ·,+) es un algebra reticular.

ii/ Def. 1.1.2 implica def. 1.1.1:

En un algebra (A, ·,+) se define la relacion ≤ ⊂ A×A mediante cualquiera

de las dos expresiones equivalentes

x ≤ y si y solo si x · y = x , o

x ≤ y si y solo si x+ y = y

Esta equivalencia se obtiene facilmente a partir de la propiedad de absorcion,

en efecto, de x · y = x y 6.II se sigue de inmediato que x+ y = (x · y) + y = y.

De la definicion de ≤ se deriva de inmediato la idempotencia de · y +. En

efecto, de x ≤ x se sigue de inmediato x · x = x y x+ x = x.

En esta estructura algebraica se verifica la propiedad de regularidad:

Regularidad. Para todo x, y ∈ A se cumple x ·y ≤ x, x ·y ≤ y, x ≤ x+y

y y ≤ x+ y.

Demostracion. La definicion de la relacion ≤ aplicada a la propiedad 6.I lleva

a x ≤ x+ y; aplicada a 6.II lleva a x · y ≤ x.

La relacion ≤ verifica las propiedades:

i) Reflexiva. De la idempotencia x · x = x para todo x de L se sigue x ≤ x.

ii) Transitiva. Suponemos x ≤ y e y ≤ z, es decir, x · y = x e y · z = y, de

aquı x = x · (y · z) = (x · y) · z = x · z, (i.e. x ≤ z).

15

iii) Antisimetrica. Si x ≤ y e y ≤ x, es decir, x · y = x e y · x = y, y por lo

tanto x = y.

En consecuencia ≤ es un orden parcial.

Proposicion 1.1.2. Para todo x, y, z ∈ A, z ≤ x · y si y solo si z ≤ x y

z ≤ y

Demostracion.

i. La propiedad de regularidad aplicada a z ≤ x · y lleva a z ≤ x y

z ≤ y.

ii. De z ≤ x y z ≤ y sigue z · x = z y z · y = z, de donde z · x · y =

z · (x · y) = z, por tanto z ≤ x · y.

En consecuencia, de acuerdo con la def. 1.1.3, x ·y = x∧y y, analogamente,

x+ y = x ∨ y.

Por lo tanto, (A,≤, ·,+) es un retıculo.

Nota 1.1.1. En lo sucesivo prescindiremos de la notacion ∧ y ∨ en favor de · y+.

Otras propiedades reticulares

Monotonıa. Si y ≤ z, x · y ≤ x · z y x+ y ≤ x+ z

Demostracion. y = y · z (consistencia); x · y = (x · x) · y = (x · x) · (y · z), por

tanto (consistencia) x · y ≤ x · z. Analogamente para la segunda desigualdad.

Leyes subdistributivas. a·(b+c) ≥ (a·b)+(a·c) ; a+(b·c) ≤ (a+b)·(a+c)

Demostracion. De a ≥ a y b+ c ≥ b se obtiene a · (b+ c) ≥ a · b, de a ≥ a y

b+ c ≥ c, a · (b+ c) ≥ a · c y de ambos resultados se llega a la primera de las

leyes. Cambiando ≥ por ≤ se obtiene la segunda.

16

Ley submodular. x ≤ z implica x+ (y · z) ≤ (x+ y) · z.

Demostracion. x ≤ x + y y x ≤ z; por tanto x ≤ (x + y) · z. Por otro lado,

y · z ≤ y ≤ x+ y y y · z ≤ z; por tanto y · z ≤ (x+ y) · z. De todo ello se sigue

que x+ (y · z) ≤ (x+ y) · z.

Retıculo completo. Un retıculo L es completo si todo subconjunto Y ⊂ L

tiene supremo e ınfimo en L.

Subretıculo. Un subretıculo es un subconjunto Y ⊆ L tal que si x, y ∈ Y ,

x · y ∈ Y y x+ y ∈ Y .

Retıculo acotado En un retıculo L se denominan cero (0) y uno (1), si

existen, al mınL y al maxL, respectivamente. Se denomina acotado un retıculo

con 0 y 1. Todo retıculo finito es acotado.

En un retıculo acotado se cumple:

x · 0 = 0 ; x+ 0 = x

x · 1 = x ; x+ 1 = 1

Retıculo distributivo Una terna x, y, z ∈ L es distributiva si las seis pro-

posiciones siguientes son verdaderas:

(x+ y) · z = (x · y) + (y · z)

(y + z) · x = (y · x) + (z · x)

(z + x) · y = (z · y) + (x · y)

(x · y) + z = (x+ y) · (y + z)

(y · z) + x = (y + x) · (z + x)

(z · x) + y = (z + y) · (x+ y)

Un Retıculo es distributivo si y solo si toda terna x, y, z ∈ L es distributiva.

Las cadenas son retıculos distributivos.

17

Teorema 1.1.3. En un retıculo distributivo si c · x = c · y, c + x = c + y,

entonces x = y.

Demostracion. x = x · (c+x) = x · (c+ y) = (x · c) + (x · y) = (c · y) + (x · y) =

(c+ x) · y = (c+ y) · y = y

1.2. Negacion y complemento

La negacion junto con el complemento forman parte del capıtulo de con-

ceptos preliminares en un trabajo donde no hay aportaciones originales sobre

ellos. Son conceptos fundamentales en la teorıa de conjuntos borrosos, y como

tal aparecen con gran frecuencia en los capıtulos que siguen. Los que juegan

un papel preponderante, la negacion fuerte en teorıas de conjuntos borrosos y

el ortocomplemento en orto-retıculos, estan perfectamente definidos en la lite-

ratura ‘ad hoc’, pero en nuestro interes por desplazarnos a traves de diversos

tipos de estructuras, encontramos conceptos mas debiles tales como negacion

debil, ortocomplemento (a secas), cuya definicion no siempre se encuentra ex-

puesta con suficiente claridad. Por ello, dedicaremos los apartados siguientes

a introducir ambos conceptos en el marco de los conjuntos ordenados y las

algebras reticulares.

La caracterizacion y propiedades de la negacion y el complemento en teorıas

borrosas las dejaremos para el capıtulo correspondiente a dicho tema.

Utilizaremos una metodologıa similar en la introduccion de la negacion y

del complemento (tambien mas adelante para las algebras reticulares), comen-

zando por una definicion general para ir definiendo estructuras mas rıgidas a

medida que se incorporan nuevas leyes.

1.2.1. Negacion

La negacion es la representacion de la palabra o conectiva linguıstica (ad-

verbio) no cuando se usa para negar un predicado en la forma ‘Luis no es alto’.

Hay otros usos linguısticos del no, por ejemplo, el sustantivo en la frase ‘Dar

un no por respuesta’, o una especie de prefijo como en ‘El no cumplimiento

de las leyes’, que, de momento, no consideramos. Tampoco es materia de este

18

trabajo entrar en alguna de la numerosas discusiones logico-filosoficas en torno

a la negacion.

En nuestro uso, las frases o enunciados ‘negativos’ forman una clase de

enunciados calificados que resultan de ‘negar’ otros enunciados. Este asuncion

implica que consideramos que los enunciados negativos se construyen a partir

de los afirmativos, o que estos son previos a aquellos.

Empezaremos por introducir un marco conceptual mınimo en el que situar

una definicion lo mas amplia de la negacion.

Definicion 1.2.1. Se denomina sistema reversible transitivo (ver [90]) a una

terna (X,�,¬), tal que:

X en un conjunto no vacıo.

� ⊂ X ×X, es una relacion transitiva en X.

¬ es una operacion unaria en X que es reversible para la relacion �, o

� −reversible, es decir, para todo x, y de X,

si x � y, entonces ¬y � ¬x.

Ejemplo 1.2.1. Un conjunto preordenado (L,≤,¬), donde ¬ sea≤ −reversible

es un sistema reversible transitivo.

Negacion debil en preordenes

Definicion 1.2.2. Sea (L,≤) un conjunto preordenado. En dicho conjunto se

considera una aplicacion θ : L→ L que es ≤ −reversible, es decir, (L,≤, θ) es

un sistema reversible transitivo. θ se denomina

negacion debil intuicionista, si para todo a ∈ L verifica a ≤ θ(θ(a)),

negacion debil dual intuicionista, si para todo a ∈ L es θ(θ(a)) ≤ a.

Proposicion 1.2.1. En un conjunto preordenado acotado (L,≤, 0, 1) una ne-

gacion intuicionista, θ, verifica θ(0) = 1; una negacion dual intuicionista, ϑ,

verifica ϑ(1) = 0.

19

En efecto, supongase θ(0) = x 6= 1, para cualesquiera y ∈ L, es 0 ≤ y y por

tanto θ(y) ≤ θ(0) = x, basta tomar un y > x para que la condicion y ≤ θ(θ(y))

no se cumpla.

Un razonamiento analogo prueba ϑ(1) = 0 en el caso dual intuicionista.

Negacion fuerte en preordenes

Definicion 1.2.3. Una aplicacion θ es una negacion fuerte en un preorden L,

si es a la vez negacion intuicionista y dual intuicionista. Es decir, una aplicacion

θ es una negacion fuerte si verifica:

Si a ≤ b, entonces θ(b) ≤ θ(a)

a ≤ θ(θ(a)) y θ(θ(a)) ≤ a.

En un conjunto preordenado acotado (L,≤, 0, 1), una negacion fuerte veri-

fica asimismo,

θ(0) = 1, θ(1) = 0

Ejemplo 1.2.2. En un espacio topologico sobre el conjunto X, la relacion

� ⊂ P(X) × P(X) definida por: para cada A,B ∈ P(X), A � B si y solo si

Ao ⊆ Bo, donde Ao es el interior de A, es un preorden [22].

Denotando por Ac el complemento conjuntista de A en X, la aplicacion

θ(A) : P(X)→ P(X) definida por θ(A) = (Ao)c es una negacion fuerte.

Nota 1.2.1. Antes de continuar con la prueba recordamos algunas propiedades

de los espacios topologicos:

P1. Para todo A, B de P(X) tal que A ⊆ B, es Ao ⊆ Bo.

P2. Para todo A de P(X), (Ao)o = Ao.

P3. Para todo A de P(X), (Ac)o ⊆ (Ao)c.

1. θ(A) es reversible para �.

En efecto, sea A � B. De Ao ⊆ Bo sigue (Bo)c ⊆ (Ao)c. De aquı, por P1,

((Bo)c)o ⊆ ((Ao)c)o, esto es, (θ(B))o ⊆ (θ(A))o, luego θ(B) � θ(A).

20

2. A � θ(θ(A)).

(θ(A))c = ((Ao)c)c = Ao. De aquı,Ao(P2)= (Ao)o = (θ(A))c)o

(P3)

⊆ (θ(A))o)c =

θ(θ(A)), de donde, por P1, Ao ⊆ (θ(θ(A)))o, es decir, A � θ(θ(A)).

3. θ(θ(A)) � A.

Hay que probar que (θ(θ(A)))o ⊆ Ao.

Sea x ∈ ((((Ao)c)o)c)o, es decir, x ∈ (((Ao)c)o)c [∗] y x /∈ Fr(((Ao)c)o)c.De [∗] sigue que x /∈ ((((Ao)c)o)c)c = ((Ao)c)o. Resulta por tanto que x

no esta ni en un conjunto abierto ni en la frontera de su complemento

(cerrado), es decir, no esta en la adherencia de dicho conjunto, esto es

x /∈ (Ao)c luego x ∈ Ao.

Para concluir el ejemplo veremos que � es un preorden estricto ya que, en

general, θ(θ(A)) 6= A. Consideremos el caso particular X = [0, 1], y en el un

subconjunto A=[0.1 0.2]∪{0.3}, con estos datos se obtiene θ(θ(A)) =[0.1, 0.2],

subconjunto que, obviamente, difiere del A.

Negacion en retıculos

Sea (L,≤) un retıculo. Consideremos en dicho conjunto una aplicacion

n : L→ L que es reversible para el orden parcial ≤, es decir, para todo a, b de

L, si a ≤ b, entonces n(b) ≤ n(a).

Los conceptos de negacion intuicionista, dual intuicionista y negacion fuerte

de los conjuntos preordenados se trasladan inmediatamente a los retıculos de

modo que,

Definicion 1.2.4. Una tal aplicacion n en un retıculo es una

negacion debil intuicionista, si verifica que a ≤ n(n(a)), para todo

a de L,

negacion debil dual intuicionista, si verifica n(n(a)) ≤ a, y

negacion fuerte, si es a la vez intuicionista y dual intuicionista.

21

Proposicion 1.2.2. La negacion fuerte en un retıculo es involutiva, es decir,

n(n(a)) = a para todo a de L

Demostracion. La propiedad antisimetrica del orden parcial de L lo prueba de

inmediato.

Proposicion 1.2.3. En un retıculo acotado (L,≤, 0, 1) se verifica:

Si n es una negacion debil intuicionista, n(0) = 1.

Si n es una negacion debil dual intuicionista, n(1) = 0.

Si n es una negacion fuerte, n(0) = 1 y n(1) = 0.

Demostracion. Inmediata a partir de las proposiciones 1.2.1 y 1.2.2.

1.2.2. Complemento

A diferencia de la negacion que es un concepto linguıstico, el termino ‘com-

plemento’ pertenece a la teorıa de conjuntos. En un algebra de clases, o en un

conjunto universal, el complemento de una clase o subconjunto A, es la clase

o subconjunto que contiene todos los elementos que no pertenecen a A. Con

el simbolismo habitual, si A ⊂ X, Ac ⊂ X es el complemento de A si y solo si

A ∩ Ac = ∅ y A ∪ Ac = X.

El concepto de complemento y el de negacion colapsan en la logica clasica

booleana.

Complemento reticular

El concepto de complemento reticular es una generalizacion a los retıculos

de la definicion de complemento en el algebra de partes de un conjunto X.

En un retıculo acotado, (L, ·,+, 0, 1), a′ ∈ L es el complemento de a si y

solo si, a · a′ = 0 y a+ a′ = 1.

Propiedades del complemento

Obviamente, 0′ = 1 y 1′ = 0.

Un retıculo es complementado si todo x de L tiene complemento.

22

Un retıculo es unıvocamente complementado si cada elemento tiene un

y solo un complemento.

Se denomina intervalo cerrado [a, b] de L al subconjunto {x ∈ L; a ≤ x ≤b}. Dado un x de [a, b], se dice que y es el complemento relativo de x en [a, b]

si x · y = a y x+ y = b.

Un retıculo L es relativamente complementado si y solo si todos sus

intervalos cerrados verifican la propiedad siguiente: Para todo x del intervalo

cerrado [a, b], se encuentra un y que es el complemento relativo de x en [a, b].

Ortocomplementacion

Una ortocomplementacion [74] en un retıculo acotado (L, ·,+, 0, 1) es una

aplicacion C : L→ L que verifica:

1. C(a+ b) = C(a) · C(b).

2. a · C(a) = 0

3. a ≤ C(C(a)).

Ejemplo 1.2.3. Todo retıculo acotado admite la siguiente ortocomplementa-

cion (llamada trivial):

a 6= 0, C(a) = 0 ; C(0) = 1

Ejemplo 1.2.4. El retıculo pentagonal de la figura

1

0

c

a

b

admite la siguiente ortocomplementacion: C(0) = 1, C(1) = 0, C(a) = C(b) =

c y C(c) = a.

23

Ejemplo 1.2.5. La aplicacion C en el retıculo de la figura, definida por:

C(0) = 1, C(1) = 0, C(a) = b, C(b) = a, C(c) = 0, es un ortocomplemen-

to.

a b

1

0

c

Propiedades

C1. Si a ≤ b, C(b) ≤ C(a).

De esta propiedad y la 3. se deduce de inmediato que un ortocomplemento

es una negacion debil intuicionista.

C2. C(a.b) ≥ C(a) + C(b)

C3. Si b ≤ C(a), a.b = 0

C4. C(a) = C(C(C(a)))

C5. C(1) = 0

La prueba de estas propiedades puede verse en [74].

Complemento y ortocomplemento son conceptos dispares, es decir, un com-

plemento puede ser ortocomplemento o no y viceversa. Por ejemplo, la orto-

complementacion trivial no es un complemento ya que a + C(a) = a es, en

general, distinto de 1. Por el contrario, en el retıculo pentagonal, el comple-

mento definido por C(0) = 1, C(1) = 0, C(a) = C(b) = c y C(c) = b, no es un

ortocomplemento ya que a � C(C(a)) = b. Por ultimo, el ortocomplemento

del ejemplo 1.2.4 es a su vez un complemento.

24

1.3. Estructuras algebraicas

Entre los materiales de trabajo que se utilizan en esta memoria tienen

un cometido esencial algunos tipos de estructuras algebraicas reticulares: los

retıculos ortocomplementados, una subclase de los mismos, los retıculos orto-

modulares, las algebras de De Morgan, las algebras de Kleene y la subclase

comun a todos ellos, las algebras de Boole [17][15] [48] [100]. Estas estructuras

se construyen a partir de un conjunto ordenado en el que se definen operacio-

nes que verifican determinadas propiedades o mas bien a las que se exige que

cumplan determinadas propiedades. Se entiende que una estructura es tanto

mas rıgida cuanto mayor es el numero de leyes que verifica. Ası, de las estruc-

turas mencionadas, las algebras de Boole son las mas rıgidas. A medida que se

prescinde de leyes se obtienen estructuras mas flexibles.

Sin embargo, las estructuras algebraicas tambien se definen de forma axioma-

tica mediante conjuntos de postulados, es decir, hay vıas diferentes para carac-

terizarlas. Naturalmente, hay equivalencia formal entre los diversos caminos,

y en muchas de los apartados de esta memoria se hace uso de esta diversidad.

Un buen ejemplo de esta variedad de formas de caracterizacion lo ofrecen las

algebras de Boole.

Existen numerosas axiomaticas para definir las Algebras de Boole1. Citemos

las de Huntington ([48], [49], [50]), Sheffer [77], Bernstein [16] y Stone ([78],

[79]).

Huntington, basandose en los precedentes de Boole, Peirce, Schroder y Whi-

tehead, entre otros, establecio varios conjuntos de postulados para caracterizar

de forma abstracta las algebras de Boole. Huntington propuso 7 diferentes con-

juntos de postulados. El mas conocido de ellos es el ‘Fourth Set of Postulates’:

K es una clase (conjunto) de elementos a, b, . . . provista de una operacion

binaria + (adicion logica) y una unaria ′ (negacion logica)

Postulado 4.1. Si a y b estan en la clase K, entonces a+ b esta en la clase

K.

Postulado 4.2. Si a esta en la clase K, entonces a′ esta en la clase K.

1La expresion Boolean algebras es utilizada por primera vez por Sheffer en 1913 [77] enlugar de Algebra of logic de uso comun hasta entonces.

25

Postulado 4.3. a+ b = b+ a.

Postulado 4.4. (a+ b) + c = a+ (b+ c).

Postulado 4.5. a+ a = a.

Postulado 4.6. (a′ + b′)′ + (a′ + b)′ = a.

Con la ayuda de la definicion usual de ·, es decir, a · b = (a′ + b′)′, el ultimo

postulado se expresa en la forma:

Postulado 4.7. a · b+ a′ · b′ = a.

conocido como relacion o Ley de conmutacion (compatibility relation, Harde-

gree) y tambien Ley de Von Neumann [18]. En esta forma de presentar las

algebras de Boole la relacion de orden aparece como propiedad derivada, defi-

nida a partir de la operacion + al modo reticular, es decir, a+ b = b si y solo si

a ≤ b. En otros conjuntos de postulados como, por ejemplo, ‘The Second Set

of Postulates’ de Huntington, la relacion de orden es axiomatica apareciendo

la operacion binaria como un propiedad derivada. Sea cual sea el metodo por

el que se llega a una estructura booleana que cumple, entre otras, las leyes

siguientes:

Leyes de De Morgan o de Dualidad: a+ b = (a′ · b′)′ ; a · b = (a′ + b′)′

No contradiccion: a · a′ = 0

Tercero excluido: a+ a′ = 1

Distributividad): (a+ b) · c = a · c+ b · c ; (a · b) + c = (a+ c) · (b+ c)

Involucion: a′′ = a

Reversibilidad: si a ≤ b, b′ ≤ a′

1.3.1. Introduccion de algebras reticulares

El grafico de la figura 1.3.1 representa la relacion entre los conjuntos de

propiedades de las diversas estructuras, desde la que tiene menos propiedades,

la mas debil, hasta la mas estricta, el algebra de Boole. En el cuadro no estan

26

Poset

DIL 16

A. de Boole

A. de

Kleene A. de

De Morgan

R. Ortomodular Orto-retículo

Retículo con

negación Retículo complementado

Figura 1.1: Estructuras algebraicas reticulares

representadas todas las estructuras reticulares posibles, solo aquellas que son

utilizadas en este texto.

Las estructuras mas debiles, poset, y retıculo estan descritas en los apar-

tados 1.1.1 y 1.1.2.

Retıculo con negacion

Es un retıculo (L,≤, 0, 1; ·,+, ′) en el que se define la operacion unaria ′ es

una negacion tal cual las definidas en 1.2.1. La negacion puede ser fuerte, en

cuyo caso hablaremos expresamente de retıculos con negacion fuerte.

Retıculo complementado

L es un retıculo con un complemento ′ existente para todo a de L, es decir,

′ es una operacion unaria en L tal que a′ es el complemento de a, segun se ha

27

definido en 1.2.2.

Orto-retıculo

Empecemos por recordar que un orto-retıculo o retıculo ortocomplementa-

do no es, en general, un retıculo con un ortocomplemento sino que responde a

la definicion siguiente,

Definicion 1.3.1. Un retıculo L con una ortocomplementacion C es orto-

complementado, u orto-retıculo, para dicha C si todo elemento de L es a

su vez ortocomplemento de algun otro, es decir, C(L) = L.

Un orto-retıculo verifica las propiedades siguientes:

C es un complemento, ya que a+ C(a) = 1 para todo a de L.

C es involutiva, es decir, C(C(a)) = a para todo a de L

Se cumple la segunda ley de dualidad, C(a · b) = C(a) + C(b).

Una definicion alternativa de orto-retıculo:

Definicion 1.3.2. Un retıculo con negacion fuerte es un orto-retıculo, cuan-

do ′ verifica las leyes de No Contradiccion y Tercero Excluido.

En los diversos textos ([15], [17],[58], [51]) que tratan estructuras reticula-

res es habitual encontrar una definicion axiomatica de los orto-retıculos. En

algunos casos los autores utilizan conjuntos de postulados diferentes, aunque,

naturalmente todas las definiciones son equivalentes, de modo que hay leyes

que en un caso figuran como axiomas y en otro como propiedades y viceversa.

Caracterizacion de Hardegree [47]. Dado un retıculo complementado L,

una ortocomplementacion en L es una funcion o : L → L que verifica para

todo a, b ∈ L:

(1) o(a) es el complemento de a

(2) o(o(a)) = a

(3) Si a ≤ b, entonces o(b) ≤ o(a).

28

Un retıculo ortocomplementado es un retıculo complementado con una or-

tocomplementacion, (obviamente, Hardegree hace un mas estricto del termino

ortocomplementacion).

Caracterizacion de Birkhoff [17]. Un orto-retıculo es en retıculo acotado

con una operacion unaria ′ que satisface:

(I) a · a′ = 0, a+ a′ = 1, para todo a.

II) (a · b)′ = a′ + b′, (a+ b)′ = a′ · b′.

III) (a′)′ = a

Caracterizacion de Beran [15]. Por orto-retıculo se entiende un algebra

L = (L, ·,+, ′, 0, 1) que satisface los postulados siguientes:

(i) El algebra (L, ·,+) es un retıculo;

(ii) La operacion unaria ′ : L→ L es tal que las relaciones s·s′ = 0, s+s′ = 1,

se cumplen para todo s de L;

(iii) Si s ≤ t, entonces t′ ≤ s′;

(iv) (s′)′ = s para todo s ∈ L.

De la comparacion entre las dos ultimas se advierte que las propiedades

(II) y (iii) son intercambiables para la definicion de orto-retıculo. Se puede ver

una prueba en el texto de L. Beran citado.

Retıculo ortomodular

Los retıculos ortomodulares forman una subclase de los orto-retıculos.

Un retıculo ortomodular es un orto-retıculo L que satisface la llamada ley

ortomodular: para todo a, b de L, si a ≤ b, b = a + a′ · b, o su equivalente

a = b · (a+ b′).

29

Algebras de De Morgan

Las algebras de De Morgan son retıculos con negacion fuerte, que satisfacen

ademas, las leyes de dualidad o leyes de De Morgan y las leyes distributivas.

(Ap. 1.3).

Algebras de Kleene

La algebras de Kleene son una subfamilia de las algebras de De Morgan

que satisfacen la denominada ley de Kleene: para todo a, b de L, a · a′ ≤ b+ b′.

Por ultimo, todas las estructuras descritas colapsan en algebras de Boole

cuando se anaden las leyes necesarias. Por ejemplo, un orto-retıculo que ademas

sea distributivo, o un algebra de De Morgan que cumpla la No Contradiccion

(o el Tercero Excluido) son algebras de Boole.

30

1.4. Funciones en [0, 1]

1.4.1. Involucion

Una funcion i : X → X es involutiva en un x de X si i(i(x)) = x. Si la

propiedad se hace extensiva a todo x de X (en notacion funcional i ◦ i = id)

se dice que la funcion es una involucion.

Las involuciones verifican las propiedades siguientes

i) i = i−1; es inmediato de de definicion i◦ i = id, por tanto las involuciones

son biyecciones cuya representacion es una curva simetrica respecto del

eje y = x,

ii) son monotonas estrictas, segun se deduce de la propiedad anterior, ya

que de lo contrario i−1 no serıa una funcion.

Ejemplos

Ejemplo de funciones involutivas en el conjunto X = [0, 1].

1) i(x) = x

2) i(x) = 1− x

3) i(x) = |√1− x2|

4) i(x) = 1− |√2x− x2|

5) i(x) =

1− 2x si x ≤ 13,

1− x2

si x > 13

Segun los valores frontera podemos clasificar las involuciones en dos tipos,

Tipo I.) i(0) = 0, y i(1) = 1; la unica funcion que pertenece a este tipo es

i = id

Tipo II.) i(0) = 1, y i(1) = 0.

Las involuciones de tipo I son estrictamente crecientes y las de tipo II son

estrictamente decrecientes.

31

1.4.2. Automorfismo de orden

Definicion 1.4.1. Un automorfismo de orden (orden preserving automorp-

hism, order-automorphism) es una funcion ϕ : [0, 1]→ [0, 1] continua y estric-

tamente creciente, con valores frontera ϕ(0) = 0, ϕ(1) = 1.

En consecuencia, ϕ es biyectiva, por lo tanto existe ϕ−1, continua y creciente

estricta tal que ϕ−1(ϕ(x)) = x o, en notacion funcional, ϕ ◦ ϕ−1 = id.

Un automorfismo es un isomorfismo de un conjunto en el mismo, es por

tanto conservativo para alguna operacion; el orden no es una operacion sino una

relacion clasica binaria entre los elementos de un conjunto, pero una relacion

tiene siempre asociado un operador o funcion caracterısticos de la misma, de

manera que, en realidad, una relacion y su funcion caracterıstica no son sino

dos maneras de representar el mismo concepto.

De un modo formal: χ≤ : [0, 1] × [0, 1] → {0, 1} es la funcion (u operador)

caracterıstica de una relacion de orden ≤ en [0, 1] quiere decir que para todo

par a, b ∈ [0, 1],

χ≤(a, b) =

{1 if a ≤ b,

0 if a � b

de la monotonıa estricta de ϕ se deduce de inmediato que

ϕ(χ≤(a, b)) = χ≤(ϕ(a), ϕ(b))

consecuentemente, ϕ es un automorfismo para el operador χ≤ en [0, 1].

Ejemplo 1.4.1. Algunos ejemplos de automorfismo.

ϕ(a) = aλ, λ > 0

ϕ(a) =λ.a

λ+ 1− a, λ > 0

ϕ(a) =2a

a+ 1ϕ(a) = 1− (1− a)λ, λ > 0

ϕ(a) =λa − 1

λ− 1, λ > 0, λ 6= 1

ϕ(a) =a

λ+ (1− λ)a, λ > 0

ϕ(a) =ln(1 + λaα)

ln(1 + λ), λ > −1, α > 0

32

1.4.3. Funcion de Negacion

Las funciones de negacion en [0, 1], introducidas y caracterizadas desde

diferentes puntos de vista, son un tema tratado abundantemente en la litera-

tura de conjuntos borrosos. Adoptamos en este trabajo el modelo basado en

automorfismos de orden ([80], [29]). Comencemos por la definicion siguiente.

Definicion 1.4.2. Una funcion numerica N : [0, 1] → [0, 1] es un operador o

funcion de negacion si verifica:

(N.1.1) N(0) = 1, N(1) = 0

(N.1.2) Es decreciente. N(y) ≤ N(x), si x ≤ y.

Ejemplo 1.4.2. La funcion

Na(x) =

{1 if x < a,

0 if x ≥ a

para cualquier a ∈ (0, 1) es un operador de negacion.

1.4.4. Tipos de negacion

Negacion debil

N es una una funcion de negacion debil cuando para todo x ∈ [0, 1] verifica

N(N(x)) ≤ x

Ejemplo 1.4.3. La negacion dual intuicionista [](Yager),

N(x) =

{1 if x < 1,

0 if x = 1

es una negacion debil.

Negacion ordinaria

N es una funcion de negacion ordinaria si N(N(x)) ≥ x para todo x ∈ [0, 1]

33

Ejemplo 1.4.4. La negacion intuicionista,

N(x) =

{1 if x = 0,

0 if x > 0

es una funcion de negacion ordinaria [](Yager).

Negacion estricta

Una funcion de negacion es estricta cuando verifica

(N 2.3.1) N es continua.

(N 2.3.2) Es decreciente estricta, esto es, N(y) < N(x) si x < y, para todo x, y ∈[0, 1].

De ambas propiedades se sigue que una negacion estricta es una biyeccion

y por lo tanto existe la funcion inversa N−1 : [0, 1] → [0, 1] que verifica

N ◦N−1 = id

Ejemplo 1.4.5. La funcion

N(x) =

{1− 2x if x ≤ 0,41−x

3if x > 0,4

es una negacion estricta.

Caracterizacion de las negaciones estrictas (Fodor, [34])

Teorema 1.4.1. N es una negacion estricta si y solo si existe un par de

automorfismos de orden ϕ y ψ tales que

N(x) = ϕ−1(1− ψ(x)) , x ∈ [0, 1]

Negacion fuerte

Una funcion de negacion se llama fuerte cuando es involutiva, i.e.N(N(x)) =

x para todo x de [0, 1] o, en notacion funcional, N ◦ N = id. Las negaciones

fuertes son involuciones de tipo II.

Las funciones de negacion fuertes no son otras que las negaciones fuertes

definidas en 1.2.4 particularizadas al retıculo [0, 1].

34

Propiedades de las negaciones fuertes

i) N es una biyeccion en [0, 1]. En efecto, sea y = N(x), de la propiedad

involutiva sigue N(y) = N(N(x)) = x, luego N = N−1 y por lo tanto N

es biyectiva.

ii) N es continua en [0, 1]. Consecuencia inmediata de la propiedad anterior.

iii) N es decreciente estricta. Es inmediato a partir de la propiedad i) y la

N.1.1 del ap. 1.4.3.

Caracterizacion de las negaciones fuertes (Trillas, [80])

Teorema 1.4.2. N es una negacion fuerte si y solo si existe un automorfismo

de orden ϕ tal que

N(x) = ϕ−1(1− ϕ(x)) x ∈ [0, 1]

Se denota por Nϕ la negacion fuerte generada por el automorfismo ϕ. Por

ejemplo, si ϕ = id, Nϕ es la negacion estandar 1− id.

Esta representacion no es unica. Tomemos como ejemplo dos automorfismos

diferentes, id y un ϕ 6= id. Supongamos Nid = Nϕ, 1− x = ϕ−1(1− ϕ(x)), de

donde ϕ(x) + ϕ(1− x) = 1, es decir, la negacion 1− id tiene como generador

cualquier cualquier automorfismo de orden cuya grafica tenga simetrıa central

respecto al punto (12, 1

2).

1.4.5. Punto fijo

Para toda funcion de negacion continua existe un valor, y solo uno, xn ∈(0, 1) en que se cumple que N(xn) = xn, este valor recibe el nombre de punto

fijo de la negacion N . Este valor es la ordenada del punto de corte de N con

la recta y = x.

Cuando N es una negacion fuerte el teorema 1.4.2 permite caracterizar el

punto fijo de N a partir de un automorfismo ϕ del modo siguiente:

Sea n ∈ (0, 1) el punto fijo de una funcion de negacion fuerte Nϕ. Por lo

tanto, n = ϕ−1(1− ϕ(n)), de donde ϕ(n) =1

2y

n = ϕ−1

(1

2

)

35

1.5. Funciones en [0, 1]× [0, 1]

Las t-normas y t-conormas fueron introducidas en los espacios metricos

probabilısticos ([57],[75]). Dedicaremos el apartado siguiente a recordar las

definiciones y terminologıa basicas de estas funciones.

1.5.1. T-normas

Una t-norma es una funcion T : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] que, para todo

a, b, c ∈ [0, 1], satisface:

T (a, b) = T (b, a) (1.5.1a)

T (a, 0) = 0, T (a, 1) = a (1.5.1b)

T (a, b) ≤ T (a, c) si b ≤ c (1.5.1c)

T (a, T (b, c)) = T (T (a, b), c)). (1.5.1d)

La monotonıa en la segunda variable (1.5.1c) junto con la conmutatividad

(1.5.1a) equivale a la monotonıa en ambas variables:

T (a1, b1) ≤ T (a2, b2) si a1 ≤ a2, b1 ≤ b2 (1.5.2)

Existen cuatro t-normas basicas denominadas mınimo -Min-, producto -Prod-,

Lukasiewicz -W - y producto drastico -Z-, definidas por

Min(a, b) = mın(a, b)

Prod(a, b) = a.b

W (a, b) = max(0, a+ b− 1)

Z(a, b) =

{0 si (a, b) ∈ [0, 1[×[0, 1[

mın(a, b) si a = 1 o b = 1

La t-norma Min es la mayor de las t-normas y Z la menor. Las cuatro t-normas

se ordenan del modo siguiente:

Z ≤ W ≤ Prod ≤ Min

36

1.5.2. T-conormas

Una t-conorma es una funcion S : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] que, para todo

a, b, c ∈ [0, 1], satisface:

S(a, b) = S(b, a) (1.5.3a)

S(a, 0) = a, S(a, 1) = 1 (1.5.3b)

S(a, b) ≤ S(a, c) si b ≤ c (1.5.3c)

S(a, S(b, c)) = S(S(a, b), c)). (1.5.3d)

La monotonıa en la segunda variable (1.5.3c) junto con la conmutatividad

(1.5.3a) equivale a la monotonıa en ambas variables:

S(a1, b1) ≤ S(a2, b2) si a1 ≤ a2, b1 ≤ b2 (1.5.4)

Las cuatro t-conormas basicas son las denominadas maximo -Max-, dual del

producto -Prod∗-, suma acotada o dual de Lukasiewicz -W ∗-, definidas por

Max(a, b) = max(a, b)

Prod∗(a, b) = a+ b− a.bW ∗(a, b) = mın(1, a+ b)

Z∗(x, y) =

{1, si (a, b) ∈]0, 1]×]0, 1]

max(a, b) si a = 0 o b = 0

La t-conorma Max es la menor de las t-conormas y Z∗ la mayor. Las cuatro

t-conormas se ordenan del modo siguiente:

Max ≤ Prod∗ ≤ W ∗ ≤ Z∗

Propiedades

Se exponen, a continuacion, las propiedades mas importantes de las t-

normas y t-conormas, en especial aquellas a las que se hace referencia en lo

sucesivo.

Un estudio completo y detallado de las propiedades de las t-normas y las

t-conormas puede encontrase, por ejemplo, en [53], [52], [?].

37

La grafica de una t-norma o una t-conorma es una superficie en el cubo

[0, 1]× [0, 1]× [0, 1].

Un elemento a ∈ [0, 1] es un elemento idempotente de T si T (a, a) = a.

Una t-norma T es idempotente cuando todo a de [0, 1] es un elemento

idempotente (Id. para t-conorma). Min y Max son las unicas idempoten-

tes.

Un elemento a ∈]0, 1[ es un divisor de cero de T si existe algun b ∈]0, 1[

tal que T (a, b) = 0. W y Z tienen divisores de cero.

Un elemento a ∈]0, 1[ es un divisor de uno de S si existe algun b ∈]0, 1[

tal que S(a, b) = 1. W ∗ y Z∗ tienen divisores de cero.

Una t-norma es monotona estricta, cuando es estrictamente creciente en

cada variable de (0, 1] × (0, 1], es decir para todo a, b, c ∈ (0, 1] tal que

b < c, se cumple cumple que

T (a, b) < T (a, c), y T (b, a) < T (c, a).

Igual para t-conormas. Min, Max, Prod y Prod∗son estrictas.

Una t-norma/t-conorma se llama arquimediana si para todo a, b ∈ (0, 1),

T (a, b) < mın(a, b)/ S(a, b) > max(a, b). Prod,Prod∗,W , W ∗, Z y Z∗ son

arquimedianas.

El orden de [0, 1] induce un orden parcial en el conjunto de t-normas,

segun esto, T1 es menor o igual que T2 (T1 ≤ T2) si T1(a, b) ≤ T2(a, b)

para todo a, b ∈ [0, 1]. Id para t-conormas. La dualidad cambia el orden

de las T a las S de modo que si T1 ≤ T2 sus duales respectivas verifican

S2 ≤ S1.

Familias de t-normas, t-conormas

Dados un automorfismo de orden ϕ y una t-norma T , la funcion Tϕ definida

por

Tϕ = ϕ−1 ◦ T ◦ (ϕ× ϕ)

es una t-norma; ademas, T es continua si y solo si Tϕ es continua.

38

Analogamente, dada una t-conorma S, la funcion Sϕ definida por

Sϕ = ϕ−1 ◦ S ◦ (ϕ× ϕ)

es una t-conorma; ademas, S es continua si y solo si Sϕ es continua.

Dada una t-norma T , se denomina ‘familia de t-normas de T ’, F(T ), al

conjunto {Tϕ;ϕ es un automorfismo de orden cualesquiera} . A las tres t-

normas continuas basicas corresponden las familias F(Min), F(Prod) y F(W ).

La familia F(Min) esta compuesta unicamente por la t-norma Min, las otras

dos por tantas como diferentes automorfismos ϕ. Es decir,

F(Min) = {Min}

F(Prod) = {T ;T = ϕ−1 ◦ Prod ◦ (ϕ× ϕ)}

F(W ) = {T ;T = ϕ−1 ◦W ◦ (ϕ× ϕ)}

Naturalmente, existen las tres familias de t-conormas duales F(Max), F(Prod∗)

y F(W ∗). Es decir,

F(Max) = {Max}

F(Prod∗) = {S;S = ϕ−1 ◦ Prod∗ ◦ (ϕ× ϕ)}

F(W ∗) = {S;S = ϕ−1 ◦W ∗ ◦ (ϕ× ϕ)}

Continuidad

En la definicion y en las propiedades mostradas no se ha exigido a las

t-normas y t-conormas que sean continuas, aunque como se ha senalado an-

teriormente es importante que las funciones usadas en las aplicaciones tengan

esta propiedad.

Las t-normas y t-conormas continuas han sido usadas ampliamente en los

conjuntos borrosos como modelo para la interseccion y union (ver p.ej. [12]) y

aun siguen siendo objeto de estudio ([53], [3]).

Definicion 1.5.1. [3]. Sea {Ji} = {[ai, bi]} una familia finita o infinita nume-

rable y disjunta de subintervalos cerrados no degenerados del intervalo unidad.

A cada subintervalo Ji se asocia una t-norma Ti y una t-conorma Si.

39

La suma ordinal de la coleccion de las Ti en {Ji} es una una funcion

T : [0, 1]2 → [0, 1] dada por

T (x, y) =

ai + (bi − ai)Ti(x− aibi − ai ,

y − aibi − ai

), si (x, y) ∈ [ai, bi]

2

Min(x, y), en otro caso

La suma ordinal de la coleccion de las Si en {Ji} es una una funcion

S : [0, 1]2 → [0, 1] dada por

S(x, y) =

ai + (bi − ai)Si(x− aibi − ai ,

y − aibi − ai

), si (x, y) ∈ [ai, bi]

2

Max(x, y), en otro caso

Aunque no existe una representacion universal para las t-normas y t-conormas,

si lo hay en cambio para las continuas, como muestra el teorema siguiente

Teorema 1.5.1. [52]. Una funcion T : [0, 1]2 → [0, 1] es una t-norma continua

si y solo si T es una suma ordinal de t-normas Arquimedianas continuas.

Analogamente, Una funcion S : [0, 1]2 → [0, 1] es una t-conorma continua si y

solo si S es una suma ordinal de t-conormas Arquimedianas continuas.

Capıtulo 2

Predicados y teorıas de

conjuntos borrosos

La teorıa de conjuntos borrosos (Theory of Fuzzy Sets) fue iniciada por L.A.

Zadeh en 1965 [105] sobre el conjunto [0, 1]X con las operaciones mın,max, 1−id, como una generalizacion de la teorıa de conjuntos de Cantor y Dedekind,

que en la literatura de sobre conjuntos borrosos se denomina habitualmente

teorıa de conjuntos clasicos. Al contrario de lo que sucede en la teorıa clasica,

en los conjuntos borrosos hay diversos modelos para las operaciones basicas

de conjuncion, disyuncion y negacion. En realidad, el ambito de aplicacion de

los conjuntos borrosos es el de la representacion de informacion expresada me-

diante terminos linguısticos imprecisos y, por tanto, debe considerar los usos

que, en cada caso, corresponden tanto a los predicados como a los conectivos;

por eso no hay propiamente una teorıa de conjuntos borrosos sino muchas ; ello

hace que se este mas cerca de una ciencia experimental que de una puramente

formal. En buena medida, su parte teorica se dedica al estudio de los modelos

matematicos con los que, en primer lugar, representar conocimiento impreciso

y, en segundo, hacer inferencias con el mismo que simulen lo mejor posible los

razonamientos humanos de modo que puedan automatizarse mediante ordena-

dores.

Denominamos Teorıa de Conjuntos Borrosos a toda tupla ([0, 1]X , ·,+, ′)para cada una de las posibles combinaciones de los operadores ·,+ y ′ ([62],

[54], [29], [82], [66], [67], [97]).

41

42

La teorıa clasica (naıve) de conjuntos es una ciencia formal; se refiere a

la forma de los conceptos precisos que en ella se consideran. Su aplicabilidad

a la representacion de informacion expresada por medio de terminos precisos

queda garantizada por el axioma de especificacion por el que cada propiedad

binaria en un conjunto especifica un subconjunto unico con los objetos que la

verifican.

El axioma de especificacion en el ambito de los conjuntos borrosos es mas

complicado porque la definicion del predicado es de naturaleza imprecisa y por

lo tanto el conjunto P∼

(ver Sec. 2.1.5 y siguientes) no tiene fronteras precisas

definidas. Una vez representados los predicados imprecisos hay que representar

los conectivos que estan en juego y, a partir de ahı, seleccionar una teorıa que se

adapte a sus requerimientos; ademas, el caracter numerico de tal representacion

hace que todo sea a la vez materia de grado y de diseno.

La teorıa de conjuntos borrosos aparece ıntimamente ligada a la logica boo-

leana merced a la isomorfıa entre las algebras de Boole atomicas y los conjuntos

de partes de un conjunto y de estos con la subteorıa ({0, 1}X ,mın,max, 1− id)

de los conjuntos precisos.

En este capıtulo repasaremos los predicados, subconjuntos y funciones que

los representan en el caso preciso e impreciso.

43

2.1. Predicados, subconjuntos y funciones

Los conceptos basicos de la teorıa de conjuntos que se exponen a continua-

cion son sobradamente conocidos y abundan excelentes y completos tratados

sobre ello. Su presencia se justifica por ser la plataforma que sirve de base al

desarrollo de los conjuntos borrosos en la idea de que estos son una generali-

zacion de aquellos.

Nota. La denominacion conjunto (o subconjunto) sin adjetivos indica los

conjuntos (o subconjuntos) clasicos.

2.1.1. Los predicados binarios son subconjuntos

Consideremos un conjunto universal X o Universo del Discurso1. , cuyos

elementos tienen (o no) una determinada propiedad, i.e. una propiedad binaria,

designada por un predicado (binario) P , de modo que:

Un x de X tiene la propiedad P , significa que el enunciado ‘x es P ’ es

verdadero.

Un x no tiene la propiedad P , significa que el enunciado ‘x es P ’ es falso.

Lo que tambien admite ser representado por el conjunto

P = {x ∈ X; “x es P” es verdadero } = {x ∈ X;x tiene la propiedad P}La existencia y unicidad de este subconjunto es una hipotesis de la teorıa

de conjuntos conocida como Axioma de Especificacion de Zermelo-Fraenkel

1

“Se traduce por ‘universo del discurso’ la expresion Universe of Discourse introducida porAugustus de Morgan en 1847 (Formal Logic; or the Calculus of Inference, Necessary andProbable) y conocida sobre todo a partir del uso que hizo de ella George Boole en 1854.De Morgan escribio lo siguiente: ((Si recordamos que en muchas proposiciones, acaso en lamayor parte de las proposiciones, el pensamiento alcanza menos que a lo que llamamoscomunmente el universo entero, descubrimos que el entero alcance de un tema a debatir es,para los propositos del debate, lo que he llamado un universo, es decir, un orbe de ideas quese expresa o entiende como si contuviera todo el asunto en discusion.))”[59]

Tambien llamado clase universal o clase de referencia. Se trata de la clase mas amplia alformar parte de ella todas las clases de los individuos que se hayan tomado de referencia. Eluniverso del discurso es la cota maxima de referentes de un campo dado. Por ejemplo, enun estudio sobre algun aspecto de la literatura griega, el universo del discurso es el de todasla obras literarias escritas en griego.

44

(tambien llamado axioma de subconjuntos o axioma de comprension) que pos-

tula que dado un conjunto X y una propiedad definida en el lenguaje por

un predicado P (x) ≡ ‘x es P ’, tal vez con mas variables, existe el conjunto

= {x ∈ X;P (x)} de los elementos de P que cumplen dicha propiedad [46]. Una

propiedad binaria P en un conjunto X especifica uno y solo un subconjunto

P ⊂ X que contiene precisamente aquellos elementos de X que verifican P . Es

obvio que el subconjunto {x ∈ X; “x es P” es falso } es P c, el complemento

de P .

Si P y Q son dos predicados nıtidos, el conjunto:

P ∩ Q = {x ∈ X; “x es P” es verdadero y “x es Q” es verdadero}

es el especificado por la propiedad ‘P y Q’, por tanto,

P yQ = P ∩ Q

Analogamente, P oQ = P ∪ Q, y noP = P c.

¿Se puede afirmar el contrario, esto es, que dado un subconjunto A ⊂ X

existira siempre un predicado que lo especifique? Hay, cuanto menos, una res-

puesta afirmativa, la que representa el predicado ‘x esta en el subconjunto A’,

es decir, la propiedad definida por µA(x) = 1 para todo x ∈ X. Si denominamos

A a dicha propiedad (predicado), es claro que A = A. Claro que este conjunto

tiene una definicion puramente formal y en la practica encontraremos que no

para todos los subconjuntos de un universo hay un predicado ‘observable’ que

lo especifique.

El axioma de especificacion dice que un predicado P da lugar al subconjunto

P , pero no que dado un subconjunto cualquiera A ⊂ X exista un y solo un P

tal que A = P .

Por ejemplo, en el conjunto de los polıgonos regulares, la propiedad ‘te-

ner cuatro lados’ define unicamente el subconjunto de los cuadrados. Por el

contrario, dado el subconjunto de los cuadrados podemos encontrar diferentes

predicados que lo especifican: ‘el polıgono regular x tiene cuatro angulos’, ‘el

polıgono regular x tiene angulos de 90’, ‘el polıgono regular x tiene sus lados

perpendiculares dos a dos’.

Es decir, los predicados binarios no son otra cosa que subconjun-

tos

45

2.1.2. El algebra de las partes de X : P(X)

El conjunto P(X) de los subconjuntos de un conjunto X no vacıo, o partes

de X, es cerrado para las operaciones binarias de interseccion (∩) y union (∪)

ası como para la operacion unaria de complementacion (c). El conjunto P(X)

se conoce como conjunto potencia (power set) por el hecho de que P(X) tiene

2n elementos, siendo n el cardinal de X.

Las operaciones mencionadas

A ∩B = {x ∈ X; x ∈ A y x ∈ B}

A ∪B = {x ∈ X; x ∈ A o x ∈ B}Ac = {x ∈ X; x /∈ A}

dotan a P(X) de una estructura de algebra de Boole atomica con mınimo ∅ y

maximo X.

Recıprocamente, el teorema de representacion de las algebras de Boole

atomicas establece que toda algebra de Boole atomica es isomorfa con un sub-

conjunto del conjunto potencia de sus atomos, P(X); si el algebra es completa,

es isomorfa con P(X) ([74], [17] (Th. V.18)). Sabemos que todo algebra de

Boole finita es atomica y por tanto verifica el teorema anterior. En palabras

de Marshall H. Stone:

“Every finite Boolean algebra can be represented as a whole power

set - the power set of its set of atoms; each element of the Boolean

algebra corresponds to the set of atoms below it (the join of which

is the element). This power set representation can be constructed

more generally for any complete atomic Boolean algebra.” [78]

El orden parcial de dicho algebra de Boole es

A ⊂ B sii A ∩B = A o sii A ∪B = B

es decir, A ⊂ B si y solo si sucede que todo a ∈ A es a la vez a ∈ B.

La relacion ⊂ se conoce como relacion de inclusion entre subconjuntos. Esta

relacion cumple las propiedades A ⊂ A (reflexiva), A ⊂ B y B ⊂ C , entonces

A ⊂ C (transitiva) y si A ⊂ B y B ⊂ A, entonces A = B (antisimetrica), lo

que ratifica la afirmacion de que ⊂ es una relacion de orden.

46

Obviamente,

P(X) = {A; A ⊂ X}

y la expresion A ∈ P(X) equivale a A ⊂ X. El conjunto vacıo ∅ es esencial

para el cierre de P(X) con la operacion ∩, ya que en ocasiones sucede que no

existe un a ∈ X tal que a ∈ A y a ∈ B, es decir, A ∩B = ∅.Es inmediato tambien que Xc = ∅ y que ∅c = X. Dos conjuntos A,B son

disjuntos si A ∩ B = ∅. En lo que respecta a la union ∪, es A ∪ B = ∅ si y

solo si A = B = ∅, y para la interseccion, A ∩B = X si y solo si A = B = X;

ademas A ∩ ∅ = ∅, A ∩X = A, A ∪ ∅ = A, and A ∪X = X.

Propiedades booleanas en P(X)

La tabla 2.1 resume las leyes mas importantes de las Algebras de Boole

relativas a ∩,∪ y c, validas para cualesquiera subconjuntos A,B,C ∈ P(X)

B1. Idempotencia A ∩ A = AA ∪ A = A

B2. Elemento Neutro A ∩X = A A ∪ ∅ = AElemento Absorbente A ∩ ∅ = ∅ A ∪X = X

B3. Conmutativa A ∩B = B ∩ AA ∪B = B ∪ A

B4. Asociativa A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ CA ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C

B5. Distributiva A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)

B6. Absorcion A ∩ (A ∪B) = AA ∪ (A ∩B) = A

B7. No contradiccion A ∩ Ac = ∅Tercero excluido A ∪ Ac = X

B8. Involucion (Ac)c = AB9. De Morgan (A ∩B)c = Ac ∪Bc

(leyes de dualidad ) (A ∪B)c = Ac ∩Bc

Tabla 2.1: Propiedades booleanas de (P(X),∩,∪,c )

Muchas otras propiedades se pueden obtener a partir de de las expuestas,

por ejemplo, A = A ∩ (A ∪ B), que se demuestra: a) A ∩ (A ∪ B) ⊂ A; b)

47

de A ⊂ A ∪ B sigue A ∩ A ⊂ A ∩ (A ∪ B), y ya que A ∩ A = A, sigue que

A ⊂ A ∩ (A ∪B); c) por lo tanto A = A ∩ (A ∪B).

Sucede asimismo que A = A∪(A∩B). Se demuestra sin mas que considerar

la expresion anterior en la forma Ac = Ac ∩ (Ac ∪ Bc), entonces (Ac)c = A =

(Ac ∩ (Ac ∪Bc))c = (Ac)c ∪ (Ac ∪Bc)c = A ∪ (A ∩B)

2.1.3. El conjunto de funciones {0, 1}X

Se denota por {0, 1}X el conjunto de las funciones f : X → {0, 1}.Dicho conjunto se dota de las operaciones binarias mın y max y la unaria

1− id de modo que para cualesquiera f y g de {0, 1}X , las funciones mın(f, g),

max(f, g) y 1− f se definen mediante las expresiones funcionales siguientes

[mın(f, g)](x) = mın(f(x), g(x))

[max(f, g)](x) = max(f(x), g(x))

[(1− f)](x) = 1− f(x),

para todo x ∈ X.

El conjunto {0, 1}X con las operaciones max,mın, 1 − id tiene estructura

de algebra de Boole atomica cuyos mınimo y maximo son las funciones cons-

tantemente igual a 0, f0, y constantemente igual a 1, f1, respectivamente.

Dado un subconjunto cualesquiera A ∈ P(X) se denomina funcion carac-

terıstica de A (membership function) a la funcion µA ∈ {0, 1}X a definida

por

µA(x) =

{1 if x ∈ A0 if x ∈ Ac

Teorema 2.1.1. La funcion caracterıstica µ verifica las propiedades siguien-

tes:

µA∩B = mın(µA, µB)

µA∪B = max(µA, µB)

µAc = 1− µA

48

Demostracion. µA∩B(x) = 1 si y solo si x ∈ A ∩ B que equivale a µA(x) =

µB(x) = 1, o [mın(µA, µB)](x) = 1. Por lo tanto, µA∩B(x) = [mın(µA, µB)](x).

Analogamente, µA∪B(x) = 1 si y solo si x ∈ A ∪ B,es decir, si y solo si

bien x ∈ A bien x ∈ B, o lo que es igual, µA(x) = 1 o µB(x) = 1, de donde

max(µA(x), µB(x)) = 1. Ası, µA∪B(x) = [max(µA, µB)](x).

Es inmediato que (1− µA)(x) = 1 si y solo si x /∈ A, es decir 1− µA = µA′ .

De le expuesto, es inmediato probar que:

1. Para todo subconjunto A de X existe una unica funcion caracterıstica

µA de {0, 1}X .

2. Dado una f ∈ {0, 1}X cualesquiera, existe un conjunto A = {x ∈ X;

f(x) = 1} tal que, precisamente, f = µA. Este conjunto es unico; en

efecto, µA = µB si y solo si A = B, para todo A,B de P(X)

En consecuencia, la estructuras (P(X),∩,∪,c ) y ({0, 1}X ,mın,max, 1− id)

son isomorfas. Esto es, desde el punto de vista del algebra no hay diferencia

entre A ⊂ X y µA ∈ {0, 1}X .

Ası, por ejemplo, decir que x ∈ A equivale a decir que µA(x) = 1, o bien,

que en el algebra de Boole ({0, 1}X ,mın,max, 1− id),

f0 = µ∅,

f1 = µX

fx0 = µ{x0}

Si escribimos max(f, g) = f ∨ g, mın(f, g) = f ∧ g, y 1 − f = f ′, la

totalidad de las leyes de (P(X),∩,∪,′ ) se pueden trasladar a ({0, 1}X ,∧,∨,′ ).Por ejemplo,

A = (A ∩ B) ∪ (a ∩ b′), se convierte en f = (f ∧ g) ∨ (f ∧ g′) para

cualesquiera f, g de {0, 1}X .

A = (A ∪B) ∩ A, en f = (f ∨ g) ∧ f , para cualesquiera f, g de {0, 1}X .

49

A ⊂ B sii A ∩ B = A, da f ≤ g sii mın(f, g) = f . Es decir, f(x) =

(f ∧ g)(x) = mın((f(x), g(x))) para todo x ∈ X, lo que sucede si y

solo si f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ X. En consecuencia, el orden parcial

del algebra de Boole ({0, 1}X ,∧,∨,′ ) viene dado por la relacion f ≤ g,

definida cuando f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ X.

En conclusion: los subconjuntos no son otra cosa que funciones .

2.1.4. Los conjuntos borrosos

Como se ha senalado previamente, los conjuntos borrosos son una gene-

ralizacion de los subconjuntos y sus leyes (ver apartado 2.1 y siguientes), en

el sentido de asociar a cada elemento de X un valor del intervalo continuo

[0, 1] en lugar de un elemento del conjunto {0, 1}. Aunque en puridad deberıa

hablarse de subconjuntos borrosos ya que se trata de una generalizacion de los

subconjuntos de X, seguiremos usando el mas habitual nombre de conjuntos

borrosos entendiendo un unico significado para ambos conceptos.

El uso de una propiedad imprecisa en los objetos un universo X se repre-

senta por un conjunto borroso. Esta es una diferencia cualitativa esencial entre

los predicados precisos y los borrosos, en aquellos el subconjunto y la funcion

carcterıstica representan el predicado, mientras que en los borrosos, el conjun-

to representa un uso determinado del mismo; este conjunto borroso viene

determinado por el axioma de especificacion cuyo enunciado es de la forma:

dado un uso determinado de una propiedad imprecisa en un conjunto X, existe

el conjunto borroso P∼

de los elementos de X que verifican en un cierto grado

dicha propiedad,

P∼

= {xr ∈ X; ‘x es P ’ en grado r ∈ [0, 1]}es decir, El uso de un predicado borroso no es otra cosa que subcon-

junto borroso.

Esto significa que la funcion caracterıstica de los conjuntos se transforma

en la funcion de pertenencia de los conjuntos borrosos. Si P∼

es un conjunto

borroso en X, su funcion de pertenencia es µP∼: X → [0, 1], donde, ahora, para

cada x de X, µP∼(x) = r es el grado en que x pertenece a P

∼. Al conjunto de

todos los conjuntos borrosos asociados al universo X lo denotamos por F(X),

50

o [0, 1]X , por analogıa con la representacion clasica {0, 1}X . En conclusion, los

conjuntos borrosos no son otra cosa que funciones (de [0, 1]X)

2.1.5. Los predicados organizan el universo del discurso

El tıtulo de esta seccion expresa una de las ideas vertebrales de la logica

linguıstica. Por organizar entendemos clasificar y, segun y como, ordenar los

objetos de un universo del discurso

La expresion ‘x es P ’, cuando P describe una propiedad nıtidamente re-

conocible de los objetos de un universo X, permite clasificarlos en dos clases

o conjuntos: la de aquellos que tienen dicha propiedad y los que no la tienen;

enunciar ‘x es P ’ es equivalente a x esta en en conjunto de los objetos que

tienen la propiedad P o, contrariamente, ‘x no es P ’ equivale a que x esta en

el conjunto de los que no tienen dicha propiedad. Es decir, permite pasar del

ser al estar. Simbolicamente, de ‘x es P ‘} se pasa a x esta en P∼

, es decir, x ∈ P∼

o, recıprocamente, de ‘x no es P ‘} se pasa a x no esta en P∼

, es decir, x ∈ P c

∼,

o bien, recordando la funcion caracterıstica de P∼

µP∼(x) =

1 if x ∈ P∼

0 if x /∈ P∼

se puede decir tambien ‘x es P ’ si y solo si µP∼(x) = 1, y ‘x no es P ’ si y solo

si µP∼(x) = 0

Supongamos ahora que asociamos a cada uno de estos dos conjuntos un

elemento de un nuevo conjunto caracterizado porque sus elementos estan or-

denados. El recorrido de la funcion caracterıstica µP∼es el conjunto ordenado

{0, 1}. Podemos extender este orden2 a los objetos del universo X de modo

que ‘x es menor o igual que y’ si y solo si µP∼(x) ≤ µP∼

(y); a las propiedades

ser o estar ahora se anade la relacion ser menor o igual P que.

Tendremos de esta manera un criterio para organizar, en el sentido expre-

sado arriba, los objetos de un universo, lo que, mediante herramientas logicas

apropiadas, nos permitira empezar a construir podemos construir inferencias

y mas adelante argumentos y razonamientos. Un ejemplo de este metodo es

2Conviene senalar que a este proposito basta un preorden.

51

el conjunto (ordenado) de valores de verdad en una teorıa semantica de una

logica polivalente.

Los ejemplos de orden referidos no representan la unica forma en que un

predicado puede ordenar el universo de referencia. El predicado pequeno en

[0, 1] ordena los objetos de forma creciente en todo el intervalo con el orden ‘x

es mas pequeno que y’ definido por x ≤ y. Consideremos ahora el predicado

[85] cerca de 0.5 que ordena el intervalo [0, 1] de forma creciente de 0 a 0.5 y

decreciente de 0.5 a 1. Ya que el orden parcial definido en este caso es x 4 y si

y solo si 0 ≤ x ≤ y ≤ 0,5 o 0,5 ≤ y ≤ x ≤ 1 (consideramos que si x e y estan

a distinto lado de 0.5 seran no comparables).

Desde este punto de vista ¿Que es entonces la imprecision? ¿Cuando de un

predicado se dice que es impreciso? En contraste con los predicados precisos

podrıamos contestar diciendo que un predicado impreciso es aquel que no nos

permite organizar el universo y por tanto no permite configurar razonamientos.

Sin embargo, en la practica las personas y algunas maquinas son capaces de

tomar decisiones (a las que se llega previo razonamiento) de manera eficaz

apoyandose por razonamientos edificados sobre conocimientos imprecisos o

inciertos.

¿Que pasa con los predicados imprecisos? En este caso los objetos poseen

la propiedad P en un cierto grado r lo que se enuncia como ‘x es P en grado

r’ y, por analogıa con la caso nıtido, su equivalente ‘x pertenece en grado r al

conjunto P∼

, simbolicamente, x ∈r P∼La funcion caracterıstica debera ser de tal forma que ‘x es P en grado r’

si y solo si µP∼(x) = r. Faltarıa por determinar cual es el rango de variabilidad

de r, es decir, cuales son los posibles grados de pertenencia. En la literatura

se encuentran tipos diversos: cadenas linguısticas como {alto,mediano, bajo},cadenas numericas discretas como {0, 1/2, 1}, continuas [a, b], conjuntos par-

cialmente ordenados, retıculos, algebras de Boole, etc.

Por ultimo, una vez que el recorrido de la funcion es un conjunto ordenado,

dicho orden se extiende al universo X de modo que cabe expresar ‘x es menos

o igual P que y si y solo si r ≤ s, con r = µP∼(x) y s = µP∼

(y).

En consecuencia, y en contra del pronostico enunciado mas arriba, se pue-

de afirmar que tambien los predicados imprecisos organizan el universo del

discurso. Es decir, con una herramienta logica adecuada se pueden construir

52

razonamientos.

2.2. La calificacion de los predicados

Volvamos de nuevo al enunciado ‘x es P ’ o su version imprecisa explıcita,

‘el grado en el que ‘x es P ’. En general, el enunciado se interpreta como un

valor en un cierto conjunto, [0, 1] en nuestro caso. Pero, en sentido estricto,

desprovisto de otra calificacion linguıstica, ‘x es P ’ no es un un enunciado en el

que ni se afirme o se niegue algo sino un aserto. Ciertamente, tanto en lenguaje

comun como en un discurso tecnico, la calificacion linguıstica del enunciado

se sobrentiende por el contexto. Mientras que decir especıficamente que ‘x es

P es verdadero’ (o falso) pertenece al mundo de las ciencias formales, en un

contexto menos formal podrıan omitirse sin alterar el significado.

En muchas situaciones reales, ‘x es P ’ puede ser creıble, posible, probable,

etc., o bien x por sı mismo puede admitir alguna de esas calificaciones. Por

ejemplo, ‘Es creıble que Luis es rico’, ‘es probable que llueva manana’, ‘es posi-

ble que el ano proximo visite Alemania’, etc. Frecuentemente las calificaciones

se escogen entre {verdadero, mas verdadero que falso, mas falso que verdade-

ro, falso }, aunque en general, aceptar que algo se puede calificar solo como

verdadero o falso representa un reduccionismo excesivo.

En cada contexto y situacion, por ‘x es P ’ un interlocutor entiende “x es

P ’ es τ ’, donde τ es una calificacion linguıstica de un conjunto T de califi-

caciones implıcitas propias del contexto. En general, ‘el grado en que ...’ se

obtendra mediante una representacion adecuada (funcion de pertenencia) del

uso del predicado en su conjunto de referencia. La representacion formal de “x

es P ’ es τ ’ se compone, por tanto, de dos sucesivas: la primera correspondiente

a la representacion del uso de P en su conjunto de referencia X, y la segunda

del uso de τ en el suyo de los {‘x es P ′}; el significado o uso de ‘x es P , es τ ’

es la combinacion de los usos de P y τ [19]

Veamos algunos ejemplos.

Sea el caso que X = N = {1, 2, . . . , n, . . .} y el predicado P =‘par ’. Los

matematicos utilizan P en el sentido:

‘n es par’ es verdadero si y solo si n = 2k, k ∈ N

53

por lo tanto, P = {2, 4, 6 . . . , 2k, .}.Tomemos el caso P =‘pequeno’ en X = [0, 1]. Ahora no hay un unico uso

de P en X. Por ejemplo:

a) ‘x es pequeno’ es verdad si y solo si x ≤ 0,3. En este caso, P = [0, 0,3]

corresponde a la propiedad binaria ‘ser menor o igual a 0.3’. Este uso de

P es rıgido (preciso o binario)

b) pequeno en [0, 1] viene dado por las reglas

· Si x ≤ 0,3, ‘x es pequeno’ es verdadero.

· Si x ≥ 0,7, ‘x es pequeno’ es falso

· Si 0,3 ≤ x ≤ 0,7 el grado en que ‘x es pequeno’ es el numero 0,7−x0,4

El uso de P es flexible (gradual o impreciso)

c) ‘pequeno’ en [0, 1] viene dado por las reglas

· Si x ≤ 0,2, ‘x es pequeno’ es verdadero.

· Si x ≥ 0,7, ‘x es pequeno’ es falso

· Si 0,2 ≤ x ≤ 0,7 el grado en que ‘x es pequeno’ es el numero 0,7−x0,5

El uso de P es flexible (gradual o impreciso) y diferente del utilizado en

b)

2.2.1. ‘x es P , es τ ’

X es un universo del discurso y x es un objeto cualesquiera del mismo.

P es una coleccion de predicados, P , que denominan propiedades de los

objetos de X.

L es un conjunto adecuado para la representacion del uso de P en X me-

diante una funcion de pertenencia µP : X → L.

EP es una coleccion de enunciados de la forma ‘x es P ’.

T es un conjunto de calificaciones, τ , y L∗ es un conjunto adecuado para

representar cada τ mediante una funcion µτ : L→ L∗.

54

En este supuesto aceptaremos que el uso de la expresion ‘x es P , es τ ’ se

representa mediante una funcion µ(P,τ) : X → L∗ definida por

µ(P,τ)(x) = µτ (µP (x))

2.2.2. Tres casos importantes

Caso 1. ‘x es p’ (sin calificar)

Corresponde al caso en que µτ se define como ‘identico a sı mismo’ en L,

i.e. L∗ = L y µτ = idL; se identifica ‘x es p’ con ‘x es p., y

µ(P,τ)(x) = µτ (µP (x)) = µP (x)

representa el uso de P en X. Un ejemplo de este caso es el uso del predicado

P =pequeno en X = L = L∗ = [0, 1] dado por

µP (x) =

1 if x ≤ 0,3

0 if x ≥ 0,70,7−x

0,4if 0,3 < x < 0,7

Caso 2. ‘x es τ ′

El caso paralelo al anterior, ahora es P=‘identico a si mismo’ en X. L = X

y µP = idX . Identificando ‘x es τ ’ con ‘x es P , es τ ’, se obtiene el resultado:

µP,τ (x) = µτ (x)

Por ejemplo, X = B es un algebra de Boole, τ=probable, el uso de τ en B

puede, al modo matematico usual, venir dado por una probabilidad µτ = p :

B → [0, 1]. Por lo que

µP,τ (x) = p(x) ∈ [0, 1]

Esto es: el grado en que ‘x es probable’= p(x) ∈ [0, 1], para alguna proba-

bilidad p en B

55

Caso 3. L = L∗Si L = L∗, entonces µτ ∈ LL y

µP,τ (x) = µτ (µP (x))

Por ejemplo, tomemos el enunciado ‘x es pequeno, es muy verdadero’, es

decir, P=pequeno y τ=muy verdadero. P se representa con el modelo usado

en el caso 1, y el de τ viene dado por µτ ∈ [0, 1][0,1], µτ (x) = x2, con lo que

tenemos

grado en que ‘x es pequeno,es muy verdadero’ = µP,τ (x) =

1 if x ≤ 0,3

0 if x ≥ 0,7

(0,7−x0,4

)2 if 0,3 < x < 0,7

Por ultimo veremos algunos ejemplos relativos a las logicas clasica, L-

valuada y multivaluada.

Clasica

El caso clasico corresponde con los conjuntos T = {verdadero, falso} y

L∗ = {α, ω} un algebra de Boole de 2 objetos (α < ω, α′ = ω) con las funciones

µverdadero(x) = ω y µfalso(x) = α para todo x de X. De aquı:

Si ‘x es P , es verdadero’, µ(P,τ)(x) = µverdadero(µP (x)) = ω

Si ‘x es P , es falso’, µ(P,τ)(x) = µfalso(µP (x)) = α

L-valuada

Consideremos el caso en que T esta constituido por cuatro calificadores,

T = {verdadero, mas verdadero que falso, mas falso que verdadero, falso}.L es un algebra de Boole de 4 objetos, L = {0, τ1, τ2, 1} cuyo esquema grafico

es

‘x es P , es verdadero’, µ(P,τ)(x) = µverdadero(µP (x)) = 1

‘x es P , es falso’, µ(P,τ)(x) = µfalso(µP (x)) = 0

‘x es P , es mas verdadero que falso’, µ(P,τ)(x) = µτ1(µP (x)) = τ1

56

τ1 τ2

1

0

‘x es P , es mas falso que verdadero’, µ(P,τ)(x) = µτ2(µP (x)) = τ2

(Notese que en este caso las representaciones de mas verdadero que falso (τ1)

y es mas falso que verdadero (τ2) no son comparables.)

Multivaluada

Se engloban en este tipo los casos en que T es una cadena finita (con 3

o mas objetos), infinita numerable o no numerable

1. T es una cadena finita isomorfa con algun subconjunto de [0, 1]. Por

ejemplo, T = { verdadero, mas verdadero que falso, indeterminado, mas

falso que verdadero, falso} y L∗ = L = {1, 34, 1

2, 1

4, 0}, lo que levva a:

‘x es P , es verdadero’, µ(P,τ)(x) = µverd.(µP (x)) = 1

‘x es P , es falso’, µ(P,τ)(x) = µfalso(µP (x)) = 0

‘x es P , es mas verdadero que falso’, µ(P,τ)(x) = µ+ver−fal(µP (x))

= 34

‘x es P , es indeterminado’, µ(P,τ)(x) = µinde.(µP (x)) = 12

‘x es P , es mas falso que verdadero’, µ(P,τ)(x) = µ+fal−ver(µP (x))

= 14

(Notese que, ahora, L∗ no es un algebra de Boole sino una cadena de 5

elementos.)

2. Una cadena infinita numerable corresponde al caso en que T y L∗ son

conjuntos isomorfos a N y una biyeccion µτ : T → L∗.

57

3. Por ultimo, el caso (y este es mas importante para este estudio) en que

L = L∗ es el intervalo (continuo) [0, 1]. En este caso

µP,τ (x) = µτ (µP (x)) = grado en que “x es P ’ es τ ’

Variable linguıstica de verdad

En esta linea, Zadeh [104] propone utilizar como conjunto de calificadores

variables linguısticas de verdad donde los terminos verdadero, muy verdadero,

completamente verdadero, falso etc. son conjuntos borrosos. Este modelo se

aproxima mejor a la imprecision propia del razonamiento humano.

2.3. Las teorıas de conjuntos borrosos

El concepto de teorıa de conjuntos borrosos se origina de modo analogo

a como se origina la de conjunto borroso a partir de la nocion de conjunto,

es decir, como extension de la teorıa de conjuntos. Las teorıas de conjuntos

borrosos se construyen a partir de la ampliacion [0, 1]X de {0, 1}X , una vez

[0, 1]X esta parcialmente ordenado por la relacion

µ ≤ σ ⇔ µ(x) ≤ σ(x)

para todo x ∈ X, y µ, σ ∈ [0, 1]X .

Esta relacion generaliza la de inclusion entre conjuntos clasicos al ser A ⊂ B

si y solo si µA ≤ µB, y da la correspondiente igualdad (que tambien contiene

como caso particular la igualdad clasica):

µ = σ ⇔ µ ≤ σ & σ ≤ µ ⇔ µ(x) = σ(x)

para todo x ∈ X. Sobre la terna ([0, 1]X ,≤,=) se construyen las teorıas de

conjuntos borrosos.

Designando por µr a las funciones de [0, 1]X constantemente iguales a r ∈[0, 1], resulta que para todo µ ∈ [0, 1]X es µ0 ≤ µ ≤ µ1, con µ0 = µ∅ y µ1 = µX .

Ademas µr ≤ µs ⇔ r ≤ s.

Aunque se llame conjunto borroso a cada µ ∈ [0, 1]X , hasta que no se

identifique un predicado P en X tal que µ = µP , la funcion µ no deja de ser

58

propiamente un puro concepto matematico, una funcion µ : X → [0, 1]. Ası,

por ejemplo, con los predicados Pr, ‘x es Pr’ si y solo si µPr(x) = r para todo

x ∈ X, las funciones µr pasan a ser las µPr que definen los conjuntos borrosos

Pr∼

; notese que en el caso clasico los unicos conjuntos constantes son ∅ y X.

¿Como definir una teorıa de conjuntos borrosos a partir de ([0, 1]X ,≤,=)?

Se hace con tres operaciones:

· : [0, 1]X × [0, 1]X → [0, 1]X , + : [0, 1]X × [0, 1]X → [0, 1]X , ′ : [0, 1]X → [0, 1]X

llamadas, respectivamente, interseccion, union y complemento. Es decir, la

descripcion de una teorıa borrosa debe venir dada por la tupla

([0, 1]X ,≤,=; ·,+, ′).

El conjunto [0, 1]X es una generalizacion de {0, 1}X , pero entre la teorıa

clasica y las borrosas hay diferencias importantes. En el primer caso, el alge-

bra de Boole bivaluada que la soporta implica una unica definicion para las

tres operaciones, mientras que en el segundo sabemos que hay numerosas for-

mas de describirlas, ya que el uso de los terminos y, o, no es variable con las

aplicaciones y el contexto. A la hora de decidir cuales entre ellas son las mas

apropiadas en cada caso una unica condicion debe respetarse: cuando las ope-

raciones elegidas se apliquen a conjuntos nıtidos, deben coincidir con las de la

teorıa clasica. Lo que, formalmente, se expresa del modo siguiente:

Para todo µ, σ ∈ {0, 1}X ,

cpc1) µ · σ = mın ◦(µ× σ)

cpc2) µ+ σ = max ◦(µ× σ)

cpc3) µ′ = 1− µcpc4) µ′0 = µ1

cpc5) µ′1 = µ0

2.3.1. Teorıas minimales de conjuntos borrosos

Una teorıa de conjuntos borrosos no esta obligada en sentido estricto a res-

petar otras condiciones que las derivadas de la conservacion de las propiedades

59

clasicas, pero esta es una condicion muy debil. En el uso de los conjuntos bo-

rrosos [0, 1]X introducimos un conjunto mınimo de propiedades relacionadas

con la extension del orden y las propiedades de monotonıa en el retıculo [0, 1].

Este conjunto minimal, se ampliara para servir las necesidades que surjan

de representar los predicados en X [67]. He aquı un tal conjunto minimal de

leyes:

Definicion 2.3.1. Una Teorıa Minimal de conjuntos borrosos es una teorıa

de conjuntos borrosos ([0, 1]X ,≤,=; ·,+, ′), que verifica las propiedades

1. Conserva las propiedades clasicas cpc1 a cpc5 del apartado anterior para

todo µ, σ ∈ {0, 1}X .

2. Para todo µ ∈ [0, 1]X

a) µ · µ1 = µ1 · µ = µ

b) µ+ µ0 = µ0 + µ = µ

3. (monotonıa) Si µ ≤ σ, entonces para cualquier ρ ∈ [0, 1]X

a) µ · ρ ≤ σ · ρb) ρ · µ ≤ ρ · σc) µ+ ρ ≤ σ + ρ

d) ρ+ µ ≤ ρ+ σ

4. Si para algun x ∈ X, es µ(x) ≤ σ(x), entonces σ′(x) ≤ µ′(x). En parti-

cular, µ ≤ σ implica σ′ ≤ µ′

Corolario 2.3.1. De las propiedades enunciadas se deducen de inmediato las

propiedades siguientes:

4. (regularidad) µ · σ ≤ µ, µ · σ ≤ σ ; µ ≤ µ+ σ, σ ≤ µ+ σ. En efecto,

de µ ≤ µ1, 1.a) y 2.a) se sigue µ · σ ≤ µ · µ1 = µ, y

de µ0 ≤ σ, 1.b) y 3.d) se sigue µ = µ+ µ0 ≤ µ+ σ

5. · ≤ mın ≤ max ≤ +. Sigue de inmediato de la propiedad anterior.

60

Las leyes No Contradiccion (AL), Tercero Excluido(AL)3 y Ley de Klee-

ne que se exponen a continuacion, son de caracter general para las teorıas

minimales.

Ley de No Contradiccion (Ancient Logic): µ · µ′ ≤ (µ · µ′)′

Demostracion. De la propiedad 4. µ ·µ′ ≤ µ y por la propiedad 3. µ′ ≤ (µ ·µ′)′.Tambien por 4. µ · µ′ ≤ µ′, luego µ.µ′ ≤ (µ · µ′)′

Ley de Tercero Excluido (Ancient Logic): (µ+ µ′)′ ≤ ((µ+ µ′)′)′

Demostracion. De la propiedad 4. y 3.

µ′ ≤ µ+ µ′ lleva a (µ+ µ′)′ ≤ (µ′)′ y µ ≤ µ+ µ′ lleva a (µ′)′ ≤ ((µ+ µ′)′)′.

Luego, (µ+ µ′)′ ≤ ((µ+ µ′)′)′

Ley de Kleene: µ.µ′ ≤ σ + σ′

Demostracion. Para un x cualesquiera de X, sucede que, o bien es µ(x) ≤σ(x) o viceversa ([0, 1] es una cadena), por tanto por la leyes de monotonıa y

regularidad,

i) si µ(x) ≤ σ(x) entonces µ(x) · µ′(x) ≤ σ(x) ≤ σ(x) + σ′(x)

ii) si σ(x) ≤ µ(x), entonces µ′(x) ≤ σ′(x) y µ(x) · µ′(x) ≤ σ′(x) ≤ σ(x) +

σ′(x)

Nota 2.3.1. En esta demostracion los sımbolos‘·,+’ representan una intersec-

cion y union en [0, 1] diferentes, obviamente, del uso comun que se hace en el

resto de este apartado que son interseccion y union en [0, 1]X .

A este conjunto minimal puede agregarse opcionalmente alguna de las si-

guientes leyes:

3AL es abreviatura de Ancient Logic. Es una forma debil de las leyes de No Contradicciony Tercero Excluido de la logica Clasica. En el artıculo [90] se trata en profundidad su papelen teorıas muy debiles.

61

Asociativas: µ · (σ · ρ) = (µ · σ) · ρ; µ+ (σ + ρ) = (µ+ σ) + ρ

Conmutativas: µ · σ = σ · µ; µ+ σ = σ + µ

Distributivas: µ+ (σ · ρ) = (µ+ σ) · (µ+ ρ); µ · (σ + ρ) = µ · σ + µ · ρ

Involucion: (µ′)′ = µ

Idempotencia: µ · µ = µ; µ+ µ = µ

No contradiccion: µ · µ′ = µ0

Tercero Excluido: µ+ µ′ = µ1

Dualidad o De Morgan: (µ+ σ)′ = µ′ · σ′; (µ · σ)′ = µ′ + σ′

Von Neumann: µ = µ · σ + µ · σ′

etc., obteniendose otro tipos de teorıas de conjuntos borrosos mas estrictas.

Por ejemplo, con · = mın,+ = max, ′ = 1 − id se obtiene la teorıa

([0, 1]X ,mın max, 1 − id) que, ademas de las leyes minimales, verifica las aso-

ciativas, conmutativas, distributivas, involucion e idempotencia, y no verifica

las tres ultimas.

2.3.2. Teorıas funcionalmente expresables

Las operaciones ·,+, ′ son funcionalmente expresables cuando existen unas

funciones numericas punto a punto definidas sobre el intervalo unidad

F : [0, 1]× [0, 1]→ [0, 1]

G : [0, 1]× [0, 1]→ [0, 1]

N : [0, 1]→ [0, 1],

tales que

µ · σ = F ◦ (µ× σ)

µ+ σ = G ◦ (µ× σ)

µ′ = N ◦ µ

62

Nota 2.3.2. Salvo que especifique o sea necesario en razon de la claridad expo-

sitiva, se usaran las letras a, b, c . . . para las variables de [0, 1] y las x, y, z . . .

para las de X. Ası escribiremos, por ejemplo, µ(x), σ(y), F (a, b), T (a, 1), N(b),

etc.

La teorıa de conjuntos borroso de Zadeh corresponde al caso particular en

que F es la funcion F (a, b) = mın(a, b), G es G(a, b) = max(a, b), y N es la

funcion N(a) = 1− a.

Las operaciones expresables funcionalmente tienen la ventaja de que sus

propiedades se derivan directamente de las funciones de base F,G,N , y el es-

tudio de sus propiedades se reduce al estudio de las mismas en dichas funciones

base. Ası, por ejemplo, el estudio de la conmutatividad de la interseccion · en

[0, 1]X se reduce al de la conmutatividad de F (a, b) para todo a, b ∈ [0, 1].

En consecuencia, y de acuerdo con el conjunto minimal de leyes descrito,

F,G y N deben verificar,

F (a, 0) = F (0, a) = 0, F (a, 1) = F (1, a) = a para todo a ∈ [0, 1]

G(a, 0) = G(0, a) = a,G(a, 1) = G(1, a) = 1 para todo a ∈ [0, 1]

Si a ≤ b, F (c, a) ≤ F (c, b), F (a, c) ≤ F (b, c) para todo c ∈ [0, 1]

Si a ≤ b, G(a, c) ≤ G(b, c), G(c, a) ≤ G(c, b) para todo c ∈ [0, 1]

Si a ≤ b, N(b) ≤ N(a)

N(0) = 1, N(1) = 0.

En cuanto a las propiedades opcionales, dependeran de que las funciones

F,G,N verifiquen las correspondientes ecuaciones funcionales:

F (a, (F (b, c)) = F (F (a, b), c), G(a, (G(b, c)) = G(G(a, b), c)

F (a, b) = F (b, a), G(a, b) = G(b, a)

F (a,G(b, c)) = G(F (a, b), F (a, c)), G(a, F (b, c)) = F (G(a, b), G(a, c))

N(N(a)) = a

F (a, a) = a,G(a, a) = a

63

F (a,N(a)) = 0, G(a,N(a)) = 1

a = G(F (a, b), F (a,N(b)))

Se conocen como teorıas funcionalmente expresables, o teorıas separables,

las teorıas cuyas operaciones son funcionalmente expresables.

2.3.3. Negacion en teorıas de conjuntos borrosos

Consideramos el conjunto F(X) = ([0, 1]X ,≤) de las funciones borrosas en

X con el orden usual punto a punto. Una negacion es una operacion unaria

′ : F(X)→ F(X), que cumple las propiedades:

1) µ′0 = µ1

2) µ′1 = µ0

3) Si µ ≤ σ, σ′ ≤ µ′

La negacion ′ puede ser funcionalmente expresable en cuyo caso se puede

definir mediante una funcion de negacion N (sec. 1.4.3), de modo que

µ′(x) = N(µ(x)) para todo x ∈ Xo, en notacion funcional,

µ′ = N ◦ µComo se desprende de inmediato de las propiedades (N.1.1) y (N.1.2), la

funcion ası definida hereda las propiedades de N ,

1) µ′0(x) = N(µ0(x)) = µ1(x), µ′1(x) = N(µ1(x)) = µ0(x), para todo x ∈ X

2) Si µ ≤ σ, σ′ ≤ µ′

Segun el tipo de funcion de negacion escogida, ′ sera a su vez una negacion

debil, ordinaria, estricta, o fuerte.

Para el caso que nos ocupa de las teorıas estandar, ′ es una negacion fuerte

y por tanto N es asimismo fuerte. La extension del teorema de caracterizacion

64

1.4.2 a los conjuntos borrosos permite afirmar que el operador ′ es una negacion

fuerte en F(X) si y solo si existe un automorfismo ϕ tal que

µ′ = Nϕ ◦ µ

donde Nϕ = ϕ−1 ◦ (1− ϕ)

La continuidad de Nϕ, y por tanto de ′, garantiza la existencia de una

funcion punto fijo µn que verifique µ′n = µn, es decir, µ′n(x) = µn(x) para todo

x de X, lo que equivale a ϕ−1(1−ϕ(µn(x))) = µn(x) y de aquı se concluye que

µn(x) = ϕ−1(12): la funcion que vale constantemente el valor del punto fijo de

Nϕ.

Pero no todo operador ′ es funcionalmente expresable. Lowen proporciona

una forma general de complemento borroso [55] que no depende de la funcion µ

sino del punto donde esta aplicada. Sea L = [0, 1] y � el orden real del intervalo

unidad, el ‘fuzzy complement’ de Lowen se define por Ac(x) = Nx(A(x)) para

todo x ∈ X, donde {Nx : [0, 1] → [0, 1];x ∈ X} es una familia de negaciones

fuertes.

Ovchinnikov [64] prueba que toda involucion en F(X) tiene la forma general

µ′ = N(µ(s(x))), donde N es una funcion de negacion fuerte y s una simetrıa

en X.

Un ejemplo que sigue es el caso particular donde Nϕ es Nid y s es la simetrıa

s(x) = 1− x en [0, 1].

Ejemplo 2.3.1. µ′(x) = 1 − µ(1 − x) es una involucion, es orden-reversible

en F(X), y verifica µ′0 = µ1 y µ′1 = µ0, pero no conserva el caso clasico. En

efecto,

[(µ′)′](x) = 1− µ′(1− x) = 1− (1− µ(1− [1− x])) = µ(x).

Sea µ ≤ σ, µ′(x) = 1− µ(1− x) ≥ (1− σ(1− x) = σ′(x)

µ′0(x) = 1− µ0(1− x) = 1− 0 = 1 = µ1(x), para todo x, y viceversa.

Tomemos el subconjunto clasico µ ∈ {0, 1}[0,1]

µ(x) =

{1 if x ≤ 0,2,

0 if x > 0,2

65

con x = 0,9 tendremos, µ(0,9) = 0, µ′(0,9) = 1−µ(1−0,9) = 1−µ(0, 1) = 1−1 = 0, mientras que, denominando µc al complemento clasico , es µc(0,9) = 1.

Lo que prueba que no se conserva el caso clasico.

Supongamos ahora que µ y σ son las funciones

µ = µr , constantemente igual a r ∈ (0, 1]

σ(x) =

{r if x = x0,

0 if x 6= x0

tambien, que existe una funcion F : [0, 1]→ [0, 1] tal que para todo µ de F(X),

µ′(x) = F (µ(x)). Tomando un x0 distinto de 0.5 tendremos,

F (µ(x0)) = F (r) = µ′(x0) = 1− µ(1− x0) = 1− r

F (σ(x0)) = F (r) = σ′(x0) = 1− µ(1− x0) = 1− 0 = 1,

en consecuencia F no es una funcion, es decir µ′ no es funcionalmente expre-

sable.

N-dualidad

Entre las funciones de negacion fuertes y las t-normas y t-conormas se

establece la relacion siguiente:

Dados T , S y N , respectivamente t-norma, t-conorma y negacion fuerte se

establecen las relaciones:

La funcion T ∗ : [0, 1]2 → [0, 1] dada por T ∗(a, b) = N(T (N(x), N(y)))

para todo a, b ∈ [0, 1], es una t-conorma, se dice que es la t-conorma

N-dual de T .

La funcion S∗ : [0, 1]2 → [0, 1], dada por S∗(a, b) = N(S(N(a), N(b)))

para todo a, b ∈ [0, 1], es una t-norma, se dice que es la t-norma N-dual

de S.

La terna (T, S,N) recibe el nombre de terna de De Morgan si para todo

a, b ∈ [0, 1], T (a, b) = N(S(N(a), N(b))) (la naturaleza involutiva de N

lo hace equivalente a S(a, b) = N(T (N(a), N(b)))).

66

2.3.4. Teorıas estandar de conjuntos borrosos

Se denomina teorıa estandar de conjuntos borrosos a una teorıa de con-

juntos borrosos, ([0, 1]X , ·,+, ′), funcionalmente expresable en la que · es una

t-norma continua T , + es una t-conorma continua S y N es una funcion de

negacion fuerte, tales que

µ · σ = T ◦ (µ× σ)

µ+ σ = S ◦ (µ× σ)

µ′ = N ◦ µ

Existen muchas y diversas funciones T, S y N adecuadas para expresar los

operadores en las teorıas borrosas. Es muchas ocasiones se representan estas

por una tupla ([0, 1]X , T, S,N) que, aunque no es simbolicamente rigurosa -

T,S y N no son operadores en [0, 1]X sino en [0, 1][0,1]-, es una sıntesis de

([0, 1]X , ·,+, ′) mas ([0, 1][0,1], T, S,N).

2.3.5. Teorıas Pexider

Las teorıas de conjuntos borrosos han sido y son objeto de multitud de

estudios, tanto en sus aspectos teoricos como en sus aplicaciones practicas.

En especial es en estas ultimas donde cada caso presenta unas caracterısticas

determinadas que al ser observadas desde la optica de los conjuntos borrosos

necesitan diferentes tipos de conectivos. Las teorıas que se utilizan en cada

caso vienen determinadas por el tipo de operadores conectivos requeridos. Por

ejemplo, en un caso donde el uso de la conjuncion sea claramente idempotente

las teorıas deberan tener como operador de conjuncion la t-norma mın, o si se

debe verificar el principio de Tercero Excluido se requerira un t-conorma de la

familia W ∗.

Por lo que a este estudio se refiere, nuestro interes se centra en las teorıas

de conjuntos borrosos como trasunto o extension de la logica algebraica y el

modo en que sus propiedades basicas y teoremas (leyes logicas) se verifican al

ser expresados mediante los conectivos (separables o no) y las correspondientes

igualdades borrosas.

Cuando una ley de la logica algebraica se traslada a una igualdad borrosa,

puede que la solucion pase por necesitar conectivos diferentes. Por ejemplo,

67

cuando se estudia la trasposicion borrosa de la ley booleana a · (a′+ b) = a · b,es decir, T (a, S(a, b)) = T (a, b), se encuentra que no existe ninguna terna

T, S,N que la verifique. Sin embargo la igualdad

W (a,W ∗(1− a, b)) = mın(a, b)

se cumple para todo a, b de [0, 1]. Es decir se conserva el caracter de ley en

el caso en que se asocie una t-norma distinta, W y Min, a cada una de las

conjunciones, W ∗ a la disyuncion y 1-id a la negacion.

Vemos, por lo tanto, que hay igualdades borrosas cuyas validez depende de

que contengas mas de un tipo de conjuncion diferente(o disyuncion o negacion),

es decir, son validas en teorıas estandar de conjuntos borrosos que, en el caso

mas general, adoptan la forma,

([0, 1]X ;T1, . . . , Tp; S1, . . . , Sq; N1, . . . , Nr)

siendo el numero de conectivos la unica diferencia con las teorıas estudiadas

hasta ahora. Estas teorıas multiples reciben el nombre de Pexider (nombre que

proveniente de las ecuaciones funcionales Pexider [1])

En lo sucesivo, y aunque en sentido estricto toda teorıa es una teorıa Pexi-

der, reservamos esta denominacion para aquellas teorıas que tengan dos o mas

de al menos un tipo de conectivo, dejando la denominacion ‘estandar’ para las

que tienen una sola terna T, S,N . Entre estas ultimas se hace mencion aparte

de las teorıas duales, que son aquellas que tienen la forma ([0, 1]X , Tϕ, Sϕ, Nϕ),

siendo Tϕ y Sϕ, Nϕ duales o, lo que es igual, (Tϕ, Sϕ, Nϕ) es una terna de De

Morgan.

Capıtulo 3

Teorıas de conjuntos borrosos y

leyes algebraicas

Este capıtulo presenta un conjunto de resultados sobre algebras reticulares

y teorıas de conjuntos borrosos obtenidos aplicando la metodologıa que hemos

apuntado anteriormente: el estudio de teorıas de conjuntos borrosos en lo que

tienen coincidente con los diversos tipos de algebra reticular, como busqueda

de respuestas a preguntas del tipo ¿cuantas, con que restricciones y en que con-

diciones las teorıas de conjuntos borrosos cumplen las leyes que caracterizan

diferentes estructuras reticulares? Partiendo de esta idea, en este capıtulo se

presenta un conjunto de teoremas que ponen de manifiesto las interrelaciones

que se establecen entre la teorıas algebraicas, booleanas o no, y las borrosas.

Baste como argumento para justificar esta orientacion metodologica el hecho

historico de que la teorıa de conjuntos borrosos, ([0, 1]X ,mın,max, 1− id), des-

crita en el trabajo que da origen a esta materia [105] es un retıculo distributivo

con negacion fuerte, es decir, un algebra de De Morgan y que no se habıan estu-

diado anteriormente los “parecidos estructurales” con otros tipos de retıculos

si exceptuamos los residuados. Esto ultimos han sido suficientemente relacio-

nados con los conjuntos borrosos (vease p. ej. [44], [33], [45], [23]) [76] y, por

esta razon, no se consideran en este trabajo.

En el primer apartado se introducen dos de los instrumentos metodologicos

principales usados en nuestro trabajo. Las ecuaciones funcionales con funcio-

nes que representan conectivos logicos como variables y las teorıas Pexider,

69

70

que son una generalizacion de las teorıas estandar, por cuanto amplıan con-

siderablemente el conjunto de soluciones de las ecuaciones funcionales que se

plantean a lo largo de esta memoria y el de aquellas que no toman todas las

funciones de [0, 1]X .

En seccion central se exponen algunos casos de teorıas de conjuntos bo-

rrosos que se encuentran en las que determinadas propiedades se constituyen

en leyes. Este proposito esta dirigido por un objetivo: encontrar modelos de

trabajo en areas de conocimiento impreciso en las que habrıamos constatado

la observancia de dichas leyes. En los modelos teoricos, como los propuestos

en este trabajo, estas leyes son, en general, postulados, teoremas, reglas de

inferencia etc. provenientes de estructuras logico-algebraicas.

En la seccion que viene a continuacion se avanza en la busqueda de so-

luciones cuando estas no se encuentran entre las teorıas estandar o Pexider

de la seccion anterior. El tipo de solucion propuesta se contiene en teorıas no

estandar como, por ejemplo, teorıas no continuas (teo. 3.2.10 y ap. 3.3.1) o

teorıas no funcionalmente expresables (ap. 3.3.3).

Este ultimo ejemplo proporciona tambien un resultado ciertamente intere-

sante, hemos encontrado una teorıa no finita de conjuntos borrosos con estruc-

tura de orto-retıculo, estructura que no es posible entre las teorıas estandar

con un conjunto no finito de funciones borrosas. Ademas, esto abre la puerta

a ulteriores preguntas en esta linea: ¿Hay teorıas con estructura ortomodular,

booleana, etc?.

71

3.1. Leyes. ¿Que leyes?

En una estructura algebraica, sea un grupo, un retıculo, un retıculo orto-

complementado (orto-retıculo) u ortomodular, una teorıa de conjuntos borro-

sos, etc. una ley es una propiedad o forma constante, es decir una igualdad o

desigualdad que se mantiene constante entre dos expresiones que involucran

operaciones basicas de la estructura y cuyas variables pueden tomar todos los

valores posibles del universo, es decir, aquello tantas veces repetido de “.. para

todo x, y ... de X”.

Por ejemplo, son leyes

la propiedad asociativa en un grupo,

la propiedad conmutativa en un retıculo,

la no-contradiccion en un orto-retıculo,

la dualidad en un algebra de De Morgan,

la inversion del orden por la negacion en una teorıa estandar de conjuntos

borrosos.

La caracterizacion de las propiedades en cuanto leyes conforma las diversas

categorıas de estructuras y subestructuras. Hay propiedades que no son leyes

salvo para algun tipo de estructuras dentro de otras mas generales. Ası, por

ejemplo,

Los grupos que tienen como ley la propiedad conmutativa forman la

subestructura de los grupos abelianos.

En los orto-retıculos, la existencia del complemento relativo es ley solo

en los retıculos ortomodulares.

En las algebras de De Morgan la propiedad de Kleene es una ley en

aquellas denominadas (por este motivo) algebras de Kleene.

En la teorıas estandar de conjuntos borrosos, la idempotencia es una ley

solo en las de tipo min-max.

72

La estructuras se definen por medio de un conjunto de leyes: leyes basicas

o, como es usual decir, una determinada estructura se caracteriza mediante un

determinado conjunto de leyes basicas. Esta caracterizacion debe identificar

una estructura de manera precisa, es decir de forma ‘si y solo si’. Todas las

demas leyes propias de una estructura se conocen como leyes derivadas.

Las estructuras algebraicas se definen de modo axiomatico. Lo que deno-

minamos leyes basicas no es otra cosa que aquellas leyes que figuran entre el

conjunto de postulados de dicha definicion.

Sucede tambien que esa caracterizacion, en general, no es unica y por tanto

en cada caso habra que distinguir entre leyes basicas y derivadas, siendo ası que

una determinada ley puede ser de distinto tipo en segun que definicion se

utilice.

Por ejemplo, en la definicion de Birkhoff para los orto-retıculos (ver ap. ??)

la ley de dualidad es una ley basica y la ley de involucion de la negacion a′′ = a

es una ley derivada, mientras que en la definicion de Beran sucede justamente

lo contrario.

En el caso de una teorıa estandar de conjuntos borrosos con la ley basica

(µ · σ)′ = µ′ + σ′, la ley (µ + σ)′ = µ′ · σ′ es una ley derivada, ya que de

(µ′ ·σ′)′ = µ′′+σ′′ = µ+σ sigue (µ′ ·σ′)′′ = (µ+σ)′ y, por tanto, µ′ ·σ′ = (µ+σ)′.

Pero igualmente podrıa tomarse (µ+σ)′ = µ′ ·σ′ como basica y (µ·σ)′ = µ′+σ′

como derivada.

En el caso de un algebra de Boole definida como un orto-retıculo distri-

butivo, la ley de von Neumann a = a · b + a · b′ es derivada ya que sigue de

a = a · 1 = a · (b+ b′) = a · b+ a · b′. Sin embargo, esta ley es basica en una de

las axiomaticas de Huntington (ver ap. ??) que tambien define las algebras de

Boole.

La logica borrosa es una ciencia en proceso de formacion, y no esta acabada

en parte porque los fenomenos de la imprecision (mayormente linguısticos) no

son aun suficientemente conocidos; para esta tarea se necesita mas experimen-

tacion en el lenguaje ya que el objetivo para la logica borrosa es conocer su

uso vigente. Por ejemplo, todas las teorıas estandar suponen que los conecti-

vos “y”, “o” son conmutativos lo que no es aplicable a todos los ambitos del

lenguaje, no solo en lo que respecta al ambito de la imprecision sino incluso

en frases precisas como el conocido ejemplo: ‘le juzgaron y le ejecutaron’ es

73

netamente distinta de ‘le ejecutaron y le juzgaron’.

Desde el comienzo de la teorıa de conjuntos borrosos, los investigadores

se han limitado a adoptar leyes provenientes de la logica clasica -algebra de

Boole-, la cual no es sino un modelo de un tipo de razonamiento preciso que,

en la practica, cabe representar mediante la teorıa de conjuntos (clasicos).

Este estado de cosas tiene pleno sentido en la consideracion de los conjuntos

borrosos como extension de los clasicos, y garantiza el denominado principio

de conservacion clasico (PCC) [67], pero no ası en una vision de los conjuntos

clasicos como una degeneracion o caso lımite de los borrosos.

Con la excepcion del caso de la llamada implicacion cuantica o flecha de

Sasaki, µ → σ = µ′ + µ · σ, no se habıan considerado propiedades provenien-

tes del ambito de la logica cuantica, de los retıculos ortomodulares y de los

orto-retıculos, que tambien son modelos de un tipo de razonamiento (con los

enunciados cuanticos) que no pueden modelizarse con algebras de Boole, ya

que fallan las leyes distributiva y de von Neumann.

Refiriendonos a las algebras de De Morgan, la ley de Kleene solo habıa sido

utilizada para el caso en que “y” se representa por min, “o” por max y “no”

por 1 − id. Ninguna otra propiedad de las algebras de De Morgan, tanto si

autoriza o deniega, habıa sido considerada hasta trabajos recientes del autor.

Aunque lentamente, va progresando la busqueda y aporte de propiedades

extraıdas del mundo de la imprecision. En unos casos solo es la busqueda de

semanticas adecuadas a teorıas de conjuntos borrosos ya conocidas, es decir,

casos practicos que ‘encajen’ en algun modelo matematico. Por ejemplo, el

caso del metodo de Balthazar relativo a la evaluacion de discapacidades su-

perpuestas [9], que cabe modelizar con una teorıa estandar no-dual. En algun

otro caso, la busqueda se dirige hacia propiedades que no pueden expresarse

mas que mezclando conectivos diferentes, de donde surge la idea de las teorıas

‘Pexider’ de conjuntos borrosos, como son, por ejemplo, las que se derivan del

las propiedades borrosas

T (a, JT (a, b)) = mın(a, b)

si JT es una implicacion T -residuada, y

W (1− a,W ∗(a, b)) = mın(1− a, b),

74

que ponen de relieve que las propiedades booleanas

a · (a→ b) = a · (a′ + b) ; a′ · (a+ b) = a′ b

pueden extenderse al caso borroso como

µ ·1 (µ→ σ) = µ ·2 σ ; µ′ ·1 (µ+ σ) = µ′ ·2 σ

con la presencia de los dos conectivos “y”

·1 = T, o ·1 = W, ·2 = mın

.

La presente memoria considera, casi exclusivamente, leyes provenientes,

ademas de las algebras de Boole y de De Morgan, de los orto-retıculos en

general y de los retıculos ortomodulares en particular. Pero no solo en el sentido

que lleva de las estructuras algebraicas hasta las teorıas de conjuntos borrosos

sino tambien a la inversa; es el caso, por ejemplo, del resultado sugerido por

una propiedad de los conjuntos borrosos que muestra que la validez del Modus

Ponens con el condicional clasico, a→ b = a′ + b, en los orto-retıculos solo es

posible si estos son algebras de Boole.

Otro ejemplo, en el primer sentido, proviene de que en los orto-retıculos las

expresiones a · b = 0 y a ≤ b′ no son equivalentes, al contrario de lo que sucede

en las algebras de Boole, lo que en su momento llevo a una redefinicion de los

principios de no-contradiccion y tercero excluido y al estudio de su verificacion

en una amplia clase de teorıas de conjuntos borrosos [90].

De forma muy general, ninguna teorıa de conjuntos borrosos (entre las

conocidas actualmente) puede ser un orto-retıculo. Sin embargo hay teorıas

no expresables funcionalmente que lo son; una de ellas se presenta en esta

memoria. Esta teorıa, aunque no contiene todas las funciones [0, 1]X , abre la

puerta a la pregunta de si existen teorıas que se aproximen mas a las algebras

de Boole en la clase de los orto-retıculos, si existen teorıas que sean retıculos

ortomodulares, la citada arriba no lo es.

Es bien conocido que hay teorıas que son algebras de De Morgan-Kleene:

son las (mın,max, N), todas ellas isomorficas a la (mın,max, 1− id): Sin em-

bargo, se desconoce si hay teorıas que sean un tipo de algebra de De Morgan

diferente de la de Kleene.

75

3.1.1. Leyes booleanas basicas y derivadas

Existen unicamente 16 formulas booleanas de dos variables no equivalen-

tes, correspondientes a las 16 combinaciones de los coeficientes booleanos del

polinomio general α · x · y + β · x · y′ + γ · x′ · y + δ · x′ · y′. Cualquier formula

distinta es necesariamente equivalente a alguna de ellas.

Una ley booleana no es otra cosa que una ecuacion valida. Esto es, ambos

miembros son equivalentes a polinomios con los mismos coeficientes. Por ejem-

plo, la ley del tercero excluido es tal porque a+a′ ≡ α·x·y+β·x·y′+γ·x′·y+δ·x′·y′ cuando (α, β, γ, δ) = (1, 1, 1, 1) y tambien 1 = 1·x·y+1·x·y′+1·x′·y+1·x′·y′.La distincion entre leyes basicas y derivadas es un tanto artificiosa, no obstante

seguiremos utilizando el termino basicas para las leyes que figuran en la tabla

2.1.

Sabemos que ninguna teorıa borrosa estandar ni Pexider puede ser algebra

de Boole, aun mas, ninguna teorıa minimal tiene estructura de algebra de Boole

ni siquiera puede tener estructura de orto-retıculo, en efecto, la unica teorıa

estandar que cumple la ley de idempotencia de · y + es ([0, 1]X ,Max,Min, N)

y no cumple la ley de No Contradiccion ni Tercero Excluido, en otras palabras,

N no es un complemento reticular (ver [28])

Nota 3.1.1. El argumento sigue siendo valido para el caso mas general de las

teorıas minimales de conjuntos borrosos.

Sin embargo, para toda ley booleana basica existen teorıas estandar en las

que dicha ley se verifica; es el caso de las ley NC en la forma µ · µ′ = µ0 y TE

en la forma µ + µ′ = µ1, ya que sabemos que ambas leyes se cumplen en la

teorıa ([0, 1]X ,W,W ∗, Nid)

Todo esto nos lleva a plantear las siguientes preguntas:

Dada una ley booleana, ¿es posible encontrar al menos una teorıa en

donde se cumpla?

¿Es posible encontrar todas las teorıas que la cumplen?

Desde un punto de vista metodologico la segunda pregunta se divide a su

vez en dos: ¿cuales de ellas estandar? o ¿cuales Pexider?. Todas la leyes se

estudian a partir de las soluciones de las correspondientes ecuaciones funcio-

nales.

76

Las teorıas estandar o Pexider no son las unicas soluciones de las ecuaciones

funcionales que se tratan, como se vera mas adelante hay soluciones no estandar

no carentes de interes.

La continuidad de T , S y N no es una propiedad esencial pero sı muy im-

portante de cara a las aplicaciones, donde las funciones µ suelen ser continuas,

con la casi unica excepcion de las que estan en {0, 1}X . Con tal exigencia no

apareceran mas discontinuidades de las aportadas por las propias funciones µ,

ya que si µ, σ son continuas tambien lo son µ · σ, µ+ σ y µ′.

Al trabajar con t-normas continuas, t-conormas continuas y negaciones

fuertes, las soluciones de las ecuaciones funcionales que se planteen para ga-

rantizar mas leyes deberan ser siempre continuas, a excepcion de los casos en

que esto se pretenda especialmente.

Una herramienta imprescindible: las ecuaciones funcionales

El trabajo en el entorno de la logica borrosa se realiza (y esta memoria es

un muestra de ello) con las teorıas de conjuntos borrosos como herramienta

central. Los objetos del universo de conocimiento se configuran como expre-

siones representables por conjuntos borrosos y las relaciones entre ellos como

leyes validas de la teorıa.

En el estudio de la logica borrosa y sus aplicaciones disponemos de familias

de teorıas de conjuntos borrosos bien conocidas con las que se construyen

modelos (ejemplos) y aplicaciones mas bien teoricos. Pero, el problema real de

las aplicaciones de la logica borrosa se plantea habitualmente desde el angulo

contrario. A saber, la exploracion del universo de discurso nos informa de leyes

para las que no se conocen a priori teorıas que las cumplan y se hace entonces

necesario encontrar tales teorıas.

Las ecuaciones funcionales nos proporcionan la herramienta adecuada en

este tipo de problemas. Veamos un ejemplo.

Supongamos que estudiamos un caso en el que los objetos del mundo se

relacionan de modo que se cumple la ley de von Neumann, µ = µ·σ+µ·σ′, valga

decir que ninguna de las familias de teorıas de conjuntos borrosos conocidas

(hasta el momento) verifica esta ‘booleanısima’ ley.

La propuesta metodologica lleva a estudiar las soluciones (continuas) de la

77

ecuacion funcional a = G(F (a, b), F (a,N(b))), que, entre otras, nos da:

F (a, b) = a.b

G(a, b) = mın(1, a+ b)

N(a) = 1− apara todo a, b de [0, 1]

3.2. Teorıas estandar y leyes algebraicas

3.2.1. Leyes booleanas basicas

Leyes generales

Naturalmente, el conjunto minimal de leyes descrito en la seccion 2.3 se

verifica para cualesquiera teorıa ([0, 1]X , T, S,N). En efecto,

Conmutativa : T (a, b) = T (b, a);S(a, b) = S(b, a)

Identidad : T (a, 0) = 0, T (a, 1) = a;S(a, 0) = a, S(a, 1) = 1

Monotonıa : T (a1, b1) ≤ T (a2, b2), S(a1, b1) ≤ S(a2, b2) si a1 ≤ a2, b1 ≤ b2

Asociativa : T (a, T (b, c)) = T (T (a, b), c));S(a, S(b, c)) = S(S(a, b), c))

Inversion : N(0) = 1;N(1) = 0; N(a) ≤ N(b) si b ≤ a

Involutiva : N(N(a)) = a.

Idempotencia: µ · µ = µ; µ+ µ = µ

Las ecuaciones T (a, a) = a y S(a, a) = a tienen solucion unica: T = Min y

S = Max, para todo a ∈ [0, 1].

Absorcion: µ · (µ+ σ) = µ; µ+ (µ · σ) = µ

T (a, S(a, b)) = a se cumple para todo a, b ∈ [0, 1] si y solo si T = Min.

S(a, T (a, b)) = b se cumple para todo a, b ∈ [0, 1] si y solo si S = Max.

78

Corolario 3.2.1. Una teorıa estandar de conjuntos borrosos ([0, 1]X , T, S,N)

cumple las dos leyes de absorcion si y solo si T = Min and S = Max.

La prueba de estos resultados puede verse en [29].

Distributiva

T es distributiva con respecto a S, i.e., T (a, S(b, c)) = S(T (a, b), T (a, c))

se cumple para todo a, b, c ∈ [0, 1] si y solo si S = Max.

S es distributiva con respecto a T , i.e., S(a, T (b, c)) = T (S(a, b), S(a, c)) se

cumple para todo a, b, c ∈ [0, 1] si y solo si T = Min.

Como corolario se obtiene el resultado:

Corolario 3.2.2. Una teorıa estandar ([0, 1]X , T, S,N) cumple las dos leyes

distributivas si y solo si T = Min and S = Max.

La prueba se puede encontrar, por ejemplo, en [53].

No contradiccion y Tercero Excluido: µ · µ′ = µ0; µ+ µ′ = µ1

Un prueba para este caso se puede encontrar, por ejemplo, en [86].

T (a,N(a)) = 0 se cumple para todo a ∈ [0, 1], si y solo si existe un auto-

morfismo ϕ : [0, 1]→ [0, 1] tal que T = Wϕ y N ≤ Nϕ.

S(a,N(a)) = 1 se cumple para todo a ∈ [0, 1], si y solo si existe un auto-

morfismo ϕ : [0, 1]→ [0, 1] tal que S = W ∗ϕ and N ≥ Nϕ.

Corolario 3.2.3. Una teorıa estandar ([0, 1]X , T, S,N), cumple las leyes de

No Contradiccion y Tercero Excluido si y solo si existen dos automorfismos

ϕ1, ϕ2 : [0, 1]→ [0, 1] tales que:

T = Wϕ1 , S = W ∗ϕ2, y Nϕ2 ≤ N ≤ Nϕ1

Notese que estas teorıas no son necesariamente duales, salvo que ϕ1 = ϕ2.

De Morgan

Teniendo en cuenta la propiedad de dualidad (ver 2.3.3) es inmediato que

una teorıa estandar, ([0, 1]X , T, S,N), cumple las leyes de De Morgan si y solo

si (T, S,N) es una terna de De Morgan.

79

En la tabla 3.1 se muestra un resumen de las propiedades basicas booleanas

y su cumplimiento en relacion con las teorıas estandar.

T S N

B2. IdentidadT (a, 1) = a, T (a, 0) = 0 todas - -S(a, 0) = a, S(a, 1) = 1 - todas -

B3. ConmutativaT (a, b) = T (b, a) todas - -S(a, b) = S(b, a) - todas -

B4. AsociativaT (a, T (b, c)) = T (T (a, b), c) todas - -S(a, S(b, c)) = S(S(a, b), c) - todas -

B8. InvolutivaN(N(a)) = a - - todas

B1. IdempotenciaT (a, a) = a Min - -S(a, a) = a - Max -

B5. DistributivaT (a, S(b, c)) = S(T (a, b), T (a, c)) todas Max -S(a, T (b, c)) = T (S(a, b), S(a, c)) Min todas -

B6. AbsorcionT (a, S(a, b)) = a Min todas -S(a, T (a, b)) = a todas Max -

B7. No Contradiccion & Tercero excluidoT (a,N(a)) = 0 Wϕ - N ≤ Nϕ

S(a,N(a)) = 1 - W ∗ϕ N ≥ Nϕ

B9.Leyes de De MorganN(T (a, b)) = S(N(a), N(b)) T = N ◦ S ◦N ×NN(S(a, b)) = T (N(a), N(b)) T = N ◦ S ◦N ×N

Tabla 3.1: Cumplimiento de las propiedades booleanas basicas en TeorıasEstandar de Conjuntos Borrosos

80

3.2.2. Leyes booleanas derivadas

Las leyes NC(AL): µ · µ′ ≤ (µ · µ′)′, y TE(AL): (µ+ µ′)′ ≤ ((µ+ µ′)′)′

Como se ha visto en la seccion 2.3.1 estas leyes se cumplen en las teorıas

minimales, en consecuencia son validas para cualquier teorıa estandar.

Ley de Kleene: µ.µ′ ≤ σ + σ′

Vale el mismo argumento del apartado anterior.

A continuacion se estudian un grupo de leyes booleanas, cuya eleccion

responde a que tienen algun papel notable en las estructuras de las que proviene

su conocimiento. Obviamente, un estudio de este tipo no puede ni pretende

agotar este tema. En la medida en que ello sea posible las soluciones que se

ofrecen son, en primer lugar, las que corresponden a teorıas estandar y despues

las que corresponden a las Pexider.

Ley de von Neumann: µ · σ + µ · σ′ = µ

La ley de von Neumann1, como se ha senalado anteriormente (ver Sec.1.3),

juega un papel importante en la caracterizacion de las algebras de Boole. Un

estudio detallado de la ecuacion funcional S(T1(a, b), T2(a,N(b))) = a (ver [2])

nos da como soluciones principales las teorıas siguientes:

1.- Teorıas estandar

La ecuacion funcional S(T (a, b), T (a,N(b))) = a se cumple para todo a, b ∈[0, 1] si existe un automorfismo ϕ : [0, 1]→ [0, 1] tal que

T = Prodϕ, S = W ∗ϕ, y N = Nϕ

Esta es la unica familia estandar de soluciones. y es condicion necesaria y

suficiente.

2.- Teorıas Pexider

Existe un conjunto infinito de soluciones Pexider, citaremos las mas repre-

sentativas.

1La ley de von Neumann se conoce tambien como ‘ley de reparto perfecto’ o ‘ley deconmutacion’.

81

2.1.- La ecuacion funcional S(T1(a, b), T2(a,N(b))) = a se cumple para todo

a, b ∈ [0, 1] si existe un automorfismo ϕ : [0, 1]→ [0, 1] tal que

T1 = Min, T2 = Wϕ, S = W ∗ϕ, y N = Nϕ

2.2.-La ecuacion funcional S(T1(a, b), T2(a,N(b))) = a se cumple para todo

a, b ∈ [0, 1] si existe un automorfismo ϕ : [0, 1]→ [0, 1] tal que

T1 = Wϕ, T2 = Min, S = W ∗ϕ, y N = Nϕ

Ley (x · y′)′ = y + x′ · y′ (Igualdad de Elkan)

En el capıtulo 4 (ve Sec. ??) se expone una propiedad de esta ley consecuen-

cia de su equivalencia con la ley de von Neumann en el sentido de caracterizar

la booleanidad en estructuras algebraicas como los orto-retıculo y las algebras

de De Morgan.

Veamos las soluciones en este caso,

1.- Teorıas estandar

Lema 3.2.4. La ecuacion funcional N(T (a,N(b))) = S(b, T (N(a), N(b))) se

verifica para todo a, b ∈ [0, 1] en cualquiera de las teorıas estandar ([0, 1]X ,Prodϕ,

W ∗ϕ, Nϕ)

Demostracion. Primer miembro:

Nϕ(Prodϕ(a,Nϕ(b))) =

ϕ−1(1− ϕ(ϕ−1(ϕ(a).ϕ(Nϕ(b))))) =

ϕ−1(1− ϕ(a)).(1− ϕ(b)))) = ϕ−1(1− ϕ(a) + ϕ(a).ϕ(b))).

Segundo miembro:

W ∗ϕ(b,Prodϕ(Nϕ(a), Nϕ(b))) =

ϕ−1(mın(1, ϕ(b) + (1− ϕ(a)).(1− ϕ(b)))) =

ϕ−1(mın(1, 1− ϕ(a) + ϕ(a).ϕ(b))) = ϕ−1(1− ϕ(a) + ϕ(a).ϕ(b))).

82

Lema 3.2.5. Una condicion necesaria para que se verifique N(T (a,N(b))) =

S(b, T (N(a), N(b))) en cualquier a, b ∈ [0, 1] es S = W ∗ϕ, N = Nϕ y T = Prodϕ.

Demostracion. Con la sustitucion a = 0 la ecuacion funcional queda 1 =

S(b,N(b)), por tanto S es una t-conorma de la familia de Lukasiewicz F(W ∗)

y N ≥ Nϕ.

En la ecuacion N(T (a,N(b))) = W ∗ϕ(b, T (N(a), N(b))) tomemos N = Nϕ

y a = b = n ∈ (0, 1), con n = ϕ−1(1

2), el punto fijo de la negacion Nϕ, lo que

nos lleva a

W ∗ϕ(n, T (n, n)) = Nϕ(T (n, n)),

mın(1, ϕ(n) + ϕ(T (n, n))) = 1− ϕ(T (n, n)),

ϕ(T (n, n)) =1− ϕ(n)

2,

T (n, n) = ϕ−1

(1

4

)= ϕ−1

(1

2.1

2

)= ϕ−1(ϕ(n).ϕ(n)),

T = Prodϕ.

Supongamos que N > Nϕ. En la ecuacion restringida N(Prodϕ(a,N(b))) =

W ∗ϕ(b,Prodϕ(N(a), N(b))), particularizamos con los valores b = nϕ = ϕ−1(1

2) ∈

(0, 1), el punto fijo de la negacion Nϕ, y

N(a) = ϕ−1

(0,5

ϕ(N(nϕ))

)< ϕ−1

(0,5

ϕ(Nϕ(nϕ))

)= 1,

i.e. a, b ∈ (0, 1).

Con estos valores el segundo miembro de la ecuacion funcional es igual a 1,

y por lo tanto, el primero debe satisfacer Prodϕ(a,N(b)) = 0, cosa imposible

con a, b ∈ (0, 1).

En consecuencia N ≯ Nϕy por tanto N = Nϕ. Lo que concluye la demos-

tracion del lema.

Teorema 3.2.6. Las unicas soluciones de la ecuacion funcional N(T (a,N(b))) =

S(b, T (N(a), N(b))) para todo a, b ∈ [0, 1] son las teorıas estandar compuestas

por las ternas (Prodϕ,W∗ϕ, Nϕ), siendo ϕ un automorfismo de orden cuales-

quiera en el intervalo [0, 1].

83

Demostracion. Se sigue de inmediato de los lemas 3.2.4 y 3.2.5.

Nota. Este teorema se prueba en el artıculo [88], pero esta nueva demos-

tracion se incorpora por ser mas sencilla.

Todas las leyes, basicas y derivadas, mostradas hasta aquı tienen su con-

trapartida en teorıas estandar, es decir, se encuentra para todas ellas una o

mas teorıa que verifican la correspondiente ecuacion funcional. Como se vera a

continuacion, esto no sucede siempre, hay leyes que solo son representables con

teorıas Pexider.

Las dos leyes booleanas que nos ocupan a continuacion tienen su origen en

dos de los conjuntos de postulados de Huntington [49], concretamente son los

postulados 4.6 y 5.5, ambos se caracterizan por contener solo los conectivos

disyuncion y negacion.

Postulado 4.6: (a′ + b′)′ + (a′ + b)′ = a

La correspondiente ecuacion funcional a resolver es

S1(N1(S2(N2(a), N3(b))), N4(S3(N5(a), b))) = a

La solucion de esta ecuacion pasa necesariamente por S1 = W ∗ϕ. En efecto,

suponiendo N = N1 = N2 = N3 = N4 = N5 y reemplazando a = 1 se llega a

S1(N(b), b)) = 1, que, como es conocido, implica S1 = W ∗ϕ. Como consecuencia

se puede ver que no existe ninguna teorıa estandar que sea solucion de la

ecuacion; por ejemplo, la ecuacion W ∗(N(W ∗(N(a), N(b))), N(W ∗((a), b))) =

a con N = Nid, a = 0,5 y b = 0,5 nos da la respuesta 1 = 0,5. Por tanto las

soluciones, de haberlas, estaran entre las teorıas Pexider.

La solucion general de esta ecuacion se muestra en [11].

A modo de ejemplo, he aquı algunas de las teorıas Pexider que se encuentran

entre las soluciones :

1. Nϕ = N1 = N2 = N3 = N4 = N5 , S1 = S3 = W ∗ϕ S2 = Max.

2. Nϕ = N1 = N2 = N3 = N4 = N5 , S1 = W ∗ϕ S2 = S3 = Prodϕ.

3. Nϕ = N1 = N2 = N3 = N4 = N5 , S1 = S2 = W ∗ϕ S3 = Max.

84

Postulado 5.5: a+ (b+ c)′ = [(b′ + a)′ + (c′ + a)′]′

En este caso procede resolver la ecuacion funcional

S1(a,N1(S2(b, c))) = N2(S3(N3(S4(N4(b), a)), N5(S5(N6(c), a)))), (3.2.2)

Teorema 3.2.7. La ecuacion funcional (3.2.2) se verifica para todo a, b de

[0, 1] si y solo si

(i) N6 = N4 = N1,

(ii) N5 = N3 = N2,

(iii) S4 = S5 = S1,

(iv) S3 = S2 = Max,

donde N1, N2 son negaciones fuertes cualesquiera y S1 es un t-conorma cua-

lesquiera.

Demostracion. Ver artıculo citado [11].

3.2.3. Orto-retıculos y teorıas estandar

Sabemos que ninguna teorıa funcional tiene estructura de orto-retıculo, el

estudio de las propiedades de dicha estructura y su cumplimiento en las teorıas

de conjuntos borrosos lo pone de manifiesto, como se ha visto en un apartado

precedente. Sin embargo, desde un punto de vista formal, es interesante pro-

ceder partiendo no de las propiedades de la estructura algebraica sino de un

conjunto axiomatico de la misma y verificar si existe o no alguna teorıa que lo

satisfaga. Como ejemplo ensayaremos con el siguiente conjunto de postulados

para orto-retıculos tomado de [15],

Teorema 3.2.8. (cf. [14]) Las tres condiciones siguientes son necesarias

y suficientes para que un algebra con dos operaciones binarias ∧ y ∨ y una

operacion unaria ′ sea un orto-retıculo:

(b1) (a ∨ b) ∨ c = (c′ ∧ b′)′ ∨ a para todo a, b, c;

85

(b2) a = a ∧ (a ∨ b) para todo a, b;

(b3) a = a ∨ (b ∧ b′) para todo a, b.

Por tanto se deben estudiar las soluciones de las ecuaciones funcionales:

(ef1) S1(S2(a, b), c) = S3(N1(T (N2(c), N3(b))), a) para todo a, b, c de [0, 1];

(ef2) a = T (a, S(a, b)) para todo a, b de [0, 1];

(ef3) a = S(a, T (b,N(b))) para todo a, b de [0, 1].

Las soluciones de ef2 son las teorıas estandar del tipo ([0, 1]X ,Min, S,N)

con S y N cualesquiera. Para la ecuacion ef3 son del tipo ([0, 1]X ,Wϕ, S,N)

para cualquier automorfismo ϕ, cualquier t-conorma S y una negacionN ≤ Nϕ.

Es claro que ambos conjuntos de soluciones no tienen ninguna teorıa en comun,

lo que revalida la afirmacion del principio de este apartado.

Las ecuacion funcional ef1 posee soluciones entre las teorıas estandar: todas

las teorıas duales, es decir aquellas formadas por ternas de De Morgan. Ademas

son solucion las teorıas Pexider ([0, 1]X , T, S1, S2, S3, N1, N2, N3) en las que

S1 = S3 es una t-conorma cualesquiera, N1 = N2 = N3 = N una negacion

fuerte y S2 y T son N -dual.

3.2.4. Retıculos ortomodulares y teorıas estandar

En el mismo esquema de razonamiento del apartado anterior se podrıan

estudiar las teorıas de conjuntos borrosos en relacion con una axiomatica de

ortomodularidad, aunque es obvio que el resultado de los orto-retıculos lo hace

innecesario. Sin embargo, dicho estudio proporciona un resultado digno de

mencion.

En el texto citado de L. Beran se encuentra el siguiente conjunto de pos-

tulados para los retıculos ortomodulares:

Teorema 3.2.9. (cf. [15]) Un algebra A = (A,∧,∨, ′) determina un retıculo

ortomodular si y solo si las condiciones siguientes se verifican para todo a, b, c ∈A:

(om1) a = a ∨ (b ∧ b′);

86

(om2) (a ∨ b) ∨ c = (c′ ∧ b′)′ ∨ a;

(om3) a ∨ b = [(a ∨ b) ∧ (a ∨ c)] ∨ [(a ∨ b) ∧ a′]

Los postulados om1 y om2 coinciden con los postulados orto-reticulares

b3 y b1, respectivamente, que tienen como solucion comun por ejemplo las

teorıas estandar con las ternas (Wϕ,W∗ϕ, Nϕ) El estudio del postulado om3 se

desarrolla en en el siguiente apartado.[10]:

Postulado ortomodular om3

En esta seccion se pone de manifiesto que tanto la ley

µ+ σ = (µ+ σ) · (µ+ λ) + (µ+ σ) · µ′, (3.2.3)

como la ley

µ+1 σ = (µ+2 σ) ·1 (µ+3 λ) +4 (µ+5 σ) ·2 µ′ (3.2.4)

no se verifica para conjuntos borrosos µ, σ, λ de [0, 1]X . Este resultado proviene

del hecho de que la ecuacion funcional

S1(a, b) = S4(T1(S2(a, b), S3(a, c)), T2(S5(a, b), N(a)))

no tiene soluciones que esten formadas por S1, . . . , S5 t-conormas continuas,

T1, T2 t-normas continuas, y una negacion fuerte N , como se puntualiza en el

siguiente,

Teorema 3.2.10. Sean S1, S2, S3, S4, S5 operaciones binarias en [0, 1] no de-

crecientes en ambas variables, con 1 como elemento absorbente y 0 elemento

neutro. Asimismo, T1, T2 son dos operaciones binarias en [0, 1] no decrecien-

tes en ambas variables, con 0 como elemento absorbente y 1 elemento neutro.

N : [0, 1] → [0, 1] es una funcion tal que N(0) = 1 y N(1) = 0. Entonces, la

solucion general de

S1(a, b) = S2(T1(S3(a, b), S4(a, c)), T2(S5(a, b), N(a))) (3.2.5)

es:

(i) S2 = Max;

87

(ii) S1 = S5 ≥ S3;

(iii) N(x) = 1 for all x in [0, 1);

(iv) S4, T1, T2, arbitrarios.

Demostracion. -

N1) Si a = 1, la ecuacion (3.2.5) se verifica para todo b, c de [0, 1] con cuales-

quiera t-norma, t-conorma y negacion.

N2) La sustitucion a = 0 y c = 1 en (3.2.5) lleva a b = S2(b, b) y por lo tanto

S2 = Max, i.e. (i); la ecuacion se convierte en:

S1(a, b) = Max(T1(S3(a, b), S4(a, c)), T2(S5(a, b), N(a))) (3.2.6)

N3) Sustituyendo b = 1 y c = 0 en (3.2.6) se obtiene 1 = Max(a,N(a)) que

hace necesario N(a) = 1 para todo a ∈ [0, 1), i.e. (iii). La ecuacion (3.2.6)

se convierte en

S1(a, b) = Max(T1(S3(a, b), S4(a, c)), S5(a, b)) (3.2.7)

N4) Basandose en la igualdad (3.2.4) se construye la secuencia

S5(a, b) ≤ Max(T1(S3(a, b), a), S5(a, b)) = S1(a, b) ≤Max(Min(S3(a, b), a), S5(a, b)) = Max(a, S5(a, b)) = S5(a, b),

i.e. S1 = S5 , valor que sustituido en () y haciendo c = 1 produce como

resultado s1(a, b) ≥ S3(a, b) y por tanto se cumple (ii).

S1 Ahora se supone que (i), (ii), (iii) y (iv) se cumplen, entonces tendremos

que para a = 1 y a en [0, 1), recordando que S3 ≤ S1

S2(T1(S3(a, b), S4(a, c)), T2(S5(a, b), N(a))) =

Max(T1(S3(a, b), S4(a, c)), S1(a, b)) = S1(a, b)

88

Corolario 3.2.11. Si se requiere que la funcion N sea una negacion fuerte

entonces no existe una coleccion de t-conormas and t-normas que satisfaga

(3.2.5).

Nota. Esta negacion es una negacion debil del tipo dual intuicionista, que

no es involutiva.

Corolario 3.2.12. No existe una teorıa estandar ([0, 1]X , T, S,N) que verifi-

que la ecuacion (3.2.3).

Corolario 3.2.13. No existe una teorıa s Pexider ([0, 1]X , T1, T2, S1, S2, S3,

S4, S5, N) que verifique la ecuacion (3.2.4).

A la vista de este resultado cabe preguntar si con esta negacion se satisfacen

los postulados om1 y om2.

1. Postulado om1. Suponiendo b 6= 1 la ecuacion funcional correspondiente

queda a = S(a, T (b, 1)) = S(a, b) cuyo cumplimiento para cualquier a, b ∈ [0, 1]

implica la necesidad de b = 0. El valor b = 1 es valido en cualquier S, T .

2. Postulado om2. Supongamos b = 1 y c = 1, le ecuacion funcional se

reduce a a = S(a,N(T (0, 0))) = 1. Considerando el caso b 6= 0 o c 6= 0 se llega

a S(a, c) = 0 o S(a, b) =, respectivamente, que implica a = b = c = 0.

En conclusion, aun aceptando la negacion no continua, las dos leyes orto-

modulares no se verifican mas que en caso de subconjuntos nıtidos (clasicos).

A pesar de que muchas leyes de la logica clasica son validas en teorıas teorıas

Pexider, este resultado no es generalizable, tal es el caso de la ley estudiada en

esta apartado, que requiere una negacion no-continua, y por lo tanto no fuerte.

Ası, la pregunta planteada en el apartado 3.1.1 tiene una respuesta : No

todas las leyes booleanas tiene su correlato en una teorıa (Pexider o no)

No obstante, el objetivo de disponer de teorıas de conjuntos borrosos en

las que se cumpla cualesquiera ley clasica no tiene por que abandonarse; la

respuesta negativa se refiere en exclusiva a las teorıas estandar, sera pues ne-

cesario dirigir la mirada hacia tipos diferentes de teorıas borrosas, e.g. teorıas

con conectivos no continuos o no funcionalmente expresables.

89

3.3. Teorıas no estandar

3.3.1. Teorıas con operadores no continuos

En el apartado 3.1.1 se argumenta la importancia de las soluciones conti-

nuas en especial en las aplicaciones. Pero, si no ocurre esto, las soluciones no

continuas puede ser utiles, al menos en aspectos parciales del problema.

En muchos casos de los estudiados en este capıtulo, las ecuaciones propues-

tas tienen soluciones no continuas, es el caso, por ejemplo, con las leyes de

no contradiccion y tercero excluido y las t-norma y t-conorma drasticas (Ap.

2.3.4) Z y Z∗.

Z y Z∗ son funciones no continuas, Nid-duales y son, respectivamente,

menor que cualquier t-norma y mayor que cualquier t-conorma. En particular,

Z < Wϕ y Z∗ > W ∗ϕ, de lo que se deduce de manera inmediata que la terna de

De Morgan (Z,Z∗, Nid) verifica las leyes de no contradiccion y tercero excluido.

Del resultado para la leyes NC y TE mostrado en el apartado 3.2.1 se obtiene

inmediatamente la siguiente proposicion;

Proposicion 3.3.1. T1, T2 son t-normas, S1, S2 t-conormas y N2 una nega-

cion.

(a) Si T1 ≤ T2 y (T2, N2) verifica (NC), entonces (T1, N) verifica (NC) para

cualquier negacion N tal que N ≤ N2.

(b) Si S1 ≥ S2 y (S2, N2) verifica (EM), entonces (S1, N) verifica (EM) para

cualquier negacion N tal que N ≥ N2.

En conclusion, las ternas referidas no son las unicas en cumplir las leyes

NC y TE, tambien aquellas formadas por operadores no continuos duales,

(Z,Z∗, Nid), y no duales como, por ejemplo, (Z,W ∗, Nid) y (W,Z∗, Nid).

Un ejemplo de soluciones tipo Pexider no continuas en el caso de la ley de

von Neumann se expone en [2].

El ejemplo de ecuacion funcional correspondiente al postulado OM3 (ver

Ap. 3.2.4) ilustra un caso de teorıa con negacion no continua.

90

3.3.2. Teorıas con operadores no funcionales

El objetivo de esta seccion es mostrar que, como se sugiere al final del

apartado 3.2.4, es posible encontrar teorıas de conjuntos borrosos diferentes de

las estandar que verifican propiedades que las dotan de estructura que aquellas

no alcanzan a tener.

La teorıa que se presenta a continuacion surge de la necesidad de trabajar

con teorıas que no contengan otro subconjunto borroso autocontradictorio (ver

Cap.??) distinto de µ0, que como se sabe es el unico elemento autocontradic-

torio de los subconjuntos clasicos. Estas teorıas se pueden construir de formas

diversas, en este caso por el procedimiento de eliminar del conjunto F(X) to-

dos los que o bien ellos o sus negados son autocontradictorios, y dotando a

este este conjunto de conectivos adecuados que permitan definir una teorıa de

conjuntos borrosos.

3.3.3. La teorıa (Fnc(X),∧T ,∨S,¬N)

Definicion 3.3.1. Fnc(X) ⊂ F(X), es el conjunto de todos los subconjuntos

(funciones) borrosos µ de X en [0, 1] que, o bien ellos o sus negados son no

autocontradictorios respecto de la negacion fuerte N , con la excepcion de µ0

y µ1. Esto es,

Fnc(X) = {µ ∈ [0, 1]X ; ∃x1, x2 ∈ X, µ(x1) > n, µ(x2) < n} ∪ {µ0, µ1}.

Propiedades

1. Todos los conjuntos crisp de F(X) pertenecen a Fnc(X)

2. Fnc(X) es un conjunto ordenado parcialmente (poset) con el orden ≤heredado del orden ≤ de F(X), i.e. µ ≤ σ en Fnc(X) si y solo si µ ≤ σ

en F(X).

Operaciones en Fnc(X)

Definicion 3.3.2. Sea (T, S,N) una terna cualquiera formada por una t-

norma continua T , una t-conorma continua S y una negacion fuerte N .

91

Los operadores

¬N : Fnc(X)→ Fnc(X),

∧T : Fnc(X)×Fnc(X)→ Fnc(X),

∨S : Fnc(X)×Fnc(X)→ Fnc(X),

se definen del modo siguiente:

¬Nµ = N ◦ µ

µ ∧T σ=

µ0, si supx∈X

(T (µ(x), σ(x))) ≤ n

T ◦ (µ× σ), en otro caso

µ ∨S σ=

µ1, si ınfx∈X

(S(µ(x), σ(x))) ≥ n

S ◦ (µ× σ), en otro caso

Proposicion 3.3.2. Los operadores ∧T , ∨S y ¬N estan bien definidos en el

conjunto Fnc(X).

Nota 3.3.1. Notacion: En el resto de esta seccion, ∧T , ∨S y ¬N figuraran como

∧, ∨ y ¬, salvo que se concreten para algun subındice en particular. Asimis-

mo los sımbolos sup e ınf se entenderan como supx∈X

e ınfx∈X

salvo indicacion en

contrario.

Demostracion. Dados µ, σ ∈ Fnc(X) y una t-norma continua T , tenemos:

i) Si sup(T (µ(x), σ(x))) ≤ n, entonces µ ∧ σ = µ0 ∈ Fnc(X)

ii) Si sup(T (µ(x), σ(x))) > n, existe un x0 ∈ X tal que (µ ∧ σ)(x0) =

T (µ(x0), σ(x0)) > n; ademas, como µ ∈ Fnc(X) existe un x1 ∈ X tal que

µ(x1) < n. Por tanto (µ∧σ)(x1) = T (µ(x1), σ(x1)) < n. En consecuencia,

µ ∧ σ ∈ Fnc(X).

Un razonamiento analogo nos lleva a que µ ∨ σ ∈ Fnc(X).

Finalmente, a partir de la definicion 3.3.2 se prueba sencillamente que si

µ ∈ Fnc(X), entonces tambien ¬µ = N ◦ µ ∈ Fnc(X).

92

Propiedades (conjunto minimal)

Proposicion 3.3.3. Los operadores ∧, ∨ y ¬ satisfacen el conjunto minimal

de leyes de las teorıas de conjuntos borrosos 2.3.1.

Demostracion. µ, σ y φ son funciones cualesquiera de Fnc(X).

1. Si µ, σ ∈ {0, 1}X entonces, sup(µ(x)) = (σ(x)) = 1 y ınf(µ(x)) =

ınf(σ(x)) = 0, por lo tanto, ∧ ≡ T , ∨ ≡ S y ≡ N y en consecuen-

cia ∧,∨ y ¬ colapsan en las conectivas clasicas.

2. Elemento neutro. µ1∧µ = µ∧µ1 = µ, µ0∨µ = µ∨µ0 = µ, para todo

µ ∈ Fnc(X)

sup{T (µ(x), µ1)} = sup{µ(x)} > n ⇒ µ ∧ µ1 = T (µ(x), µ1) = µ

ınf{S(µ(x), µ0)} = ınf{µ(x)} < n ⇒ µ ∨ µ0 = S(µ(x), µ0) = µ

La conmutatividad de T y S completa la prueba.

3. Elemento absorbente. µ∧µ0 = µ0∧µ = µ, µ∨µ1 = µ1∨µ = µ1, para

todo µ ∈ Fnc(X)

sup{T (µ(x), µ0)} = sup{µ0} < n ⇒ µ ∧ µ0 = T (µ(x), µ0) = µ0

ınf{S(µ(x), µ1)} = ınf{µ1} > n ⇒ µ ∨ µ1 = S(µ(x), µ1) = µ1

Tambien aquı la conmutatividad de T y S concluye la prueba.

4. Monotonıa. Si µ ≤ σ, entonces

Mon. conj. izq.: µ ∧ ϕ ≤ σ ∧ ϕ,

Mon. conj. der.: ϕ ∧ µ ≤ ϕ ∧ σ,Mon. disy. izq.: µ ∨ ϕ ≤ σ ∨ ϕ,,Mon. disy. der.: ϕ ∨ µ ≤ ϕ ∨ σ,

para todo ϕ ∈ Fnc(X)

Conjuncion der.:

93

T es monotona, luego si µ ≤ σ, entonces T (µ, ϕ) ≤ T (σ, ϕ); por lo tanto,

Sup{T (µ, ϕ)} ≤ Sup{T (σ, ϕ)}.

Dos casos posibles:

a) Sup{T (µ, ϕ)} ≤ n. Entonces, µ ∧ ϕ = µ0 ≤ σ ∧ ϕ

b) n < Sup{T (µ, ϕ)} ≤ Sup{T (σ, ϕ)}.Entonces, µ ∧ ϕ = T (µ, ϕ) ≤ T (σ, ϕ) = σ ∧ ϕ

5. Reversibilidad de la negacion. Si para algun x ∈ X, es µ(x) ≤ σ(x),

entonces ¬σ(x) ≤ ¬µ(x).

En particular, µ ≤ σ implica ¬σ ≤ ¬µ.

La prueba es inmediata ya que ¬ es por definicion una negacion fuerte

en Fnc(X).

En consecuencia, (Fnc(X),∧,∨,¬) es una teorıa minimal de conjuntos bo-

rrosos.

Antes de continuar con el resto de las propiedades, es importante senalar

que los operadores ∧ y ∨ descritos no son funcionalmente expresables,

como se muestra en la siguiente

Proposicion 3.3.4. Los operadores ∧ y ∨ no son funcionalmente expresables,

esto es, no existen unas funciones F : [0, 1]×[0, 1]→ [0, 1] y G : [0, 1]×[0, 1]→[0, 1] tales que para todo µ, σ ∈ Fnc(X),

(µ ∧ σ)(x) = F (µ(x), σ(x)), (µ ∨ σ)(x) = G(µ(x), σ(x)).

Veamos un ejemplo (contra) que prueba la proposicion.

Sean µa, σa, µb, σb las funciones de Fnc(X) para el caso particular de

X = [0, 1], definidas por (Fig. ):

94

µa(x) =

1 si 0 ≤ x ≤ 0,50,7− x

0,2si 0,5 < x ≤ 0,7

0 si 0,7 < x ≤ 1

σa(x) =

0 si 0 ≤ x ≤ 0,2x− 0,2

1,2si 0,2 < x ≤ 1

µb(x) = µ1(x)

σb(x) =

0 si 0 ≤ x ≤ 0,35

3x− 0,5 si 0,3 < x ≤ 0,9

1 si 0,9 < x ≤ 1

µµµµ

0 1

n

1

µ µa

σa

µµµµ

0 1

n

1

µ µb

σb

Figura 3.1: figura

Tomamos T = Min, es decir ∧ = ∧mın y ¬ = Nid cuyo punto fijo es n = 0,5;

con estos valores tenemos,

sup(mın(µa(x), σa(x))) = 0,4 < n,

por lo tanto

F (µa(x), σa(x)) = (µa ∧mın σa)(x) = µ0(x). (3.3.1)

sup(mın(µb(x), σb(x))) = 1,

95

por lo tanto

F (µb(x), σb(x)) = (µb ∧mın σb)(x) = mın(µb(x), σb(x)) = σb(x)). (3.3.2)

Haciendo x = 0,4 se obtienen los valores µa(0,4) = µb(0,4) = 1 y σa(0,4) =

σb(0,4) =1

6, que sustituidos en (3.3.1) y (3.3.2) conducen al resultado

F

(1,

1

6

)= (µa ∧mın σa)(0, 4) = µ0(0,4) = 0.

F

(1,

1

6

)= (µb ∧mın σb)(0,4) == σb(0,4)) =

1

6.

En consecuencia, F no es una funcion.

Un ejemplo analogo probarıa que tampoco G es una funcion.

3.3.4. Leyes opcionales

Como en cualquier otro tipo de teorıa borrosa veremos que en (Fnc(X),∧,∨,¬)

hay leyes que se cumplen, que se cumplen con restricciones y que no se cumplen

en absoluto. Empecemos por el primer tipo.

Leyes validas para toda terna (T, S,N)

6. Asociativa. (µ ∧ σ) ∧ φ = µ ∧ (σ ∧ φ); (µ ∨ σ) ∨ φ = µ ∨ (σ ∨ φ) para

todo µ, σ, φ de Fnc(X).

a) Supongamos que sup(T (µ(x), σ(x))) > n y sup(T (σ(x), φ(x))) > n,

de aquı

(µ ∧ σ) = T (µ(x), σ(x)) (3.3.3)

(σ ∧ φ) = T (σ(x), φ(x)) (3.3.4)

La propiedad asociativa de T ratifica

sup(T (T (µ(x), σ(x)), φ(x))) = sup(T (µ(x), T (σ(x), φ(x))))

(3.3.5)

a1) Si ahora es (3.3.5) > n, entonces, de (3.3.3) y (3.3.4) se sigue :

(µ ∧ σ) ∧ φ = T (µ, σ) ∧ φ = T (T (µ, σ), φ)) = T (µ, T (σ, φ)) =

µ ∧ T (σ, φ) = µ ∧ (σ ∧ φ).

96

a2) Por el contrario, si (3.3.5) ≤ n, (µ ∧ σ)∧ φ = µ0 = µ ∧ (σ ∧ φ).

b) Supongamos ahora que sup(T (µ(x), σ(x))) ≤ n, i.e. µ ∧ σ = µ0 =

(µ ∧ σ) ∧ φ.

b1) En caso que sea sup(T (σ(x), φ(x))) ≤ n, tendremos µ∧(σ∧φ) =

µ ∧ µ0 = µ0

b2) Si, por el contrario, sup(T (σ(x), φ(x))) > n, entonces σ ∧ φ =

T (σ(x), φ(x)), y por lo tanto:

sup(T (µ(x), T (σ(x), φ(x)))) = sup(T (T (µ(x), σ(x)), φ(x))))

≤ sup(T (µ(x), σ(x))) ≤ n, luego µ∧(σ∧φ) = µ∧T (σ(x), φ(x)) =

µ0

La prueba de la ley asociativa para ∨ es analoga.

7. No contradiccion y Tercero excluido. µ∧¬µ = µ0, µ∨¬µ = µ1. De

la monotonıa de T y S mas la definicion de n, punto fijo de N , resulta

sup(T (µ(x), N(µ(x)))) ≤ sup(Min(µ(x), N(µ(x))) ≤ n

ınf(S(µ(x), N(µ(x)))) ≥ ınf(Max(µ(x), N(µ(x)))) ≥ n.

De donde,

µ ∧ ¬µ = µ0, y µ ∨ ¬µ = µ1.

Esta propiedad confirma la hipotesis constructiva de que la teorıa de

conjuntos borrosos (Fnc(X),∧,∨,¬) no contiene otro elemento autocon-

tradictorio mas que µ0 y satisface las leyes NC y TE para toda

terna T, S,N .

Leyes subordinadas a T , S y N

En este apartado se estudian leyes cuyo cumplimiento depende de las T ,

N , y S usadas en la definicion de los conectivos.

8. Idempotencia. µ ∧ µ = µ, µ ∨ µ = µ.

Proposicion 3.3.5. Las leyes de idempotencia para ∧ y ∨, se verifican

si y solo si T = Min y S = Max

97

Demostracion. .

1. Supongamos T = mın, entonces

sup(T (µ(x), µ(x))) = sup(mın(µ(x), µ(x))) = sup(µ(x)) > n ya que

µ ∈ Fnc(X), luego (µ ∧ µ)(x) = T (µ(x), µ(x)) = mın(µ(x), µ(x)) =

µ(x).

2. Sea ahora T 6= mın.

Si sup(T (µ(x), µ(x))) ≤ n, µ ∧ µ = µ0.

Si sup(T (µ(x), µ(x))) > n, (µ ∧ µ)(x) = T (µ(x), µ(x)) < µ(x), ya

que T es Arquimediana.

La demostracion para la operacion ∨ es del todo semejante.

9. Leyes de dualidad (De Morgan). ¬(µ ∧ σ) = ¬µ ∨ ¬σ; ¬(µ ∨ σ) =

¬µ ∧ ¬σProposicion 3.3.6. Una condicion suficiente para que las leyes de De

Morgan se verifiquen en (Fnc(X),∧,∨,¬) es que T y S sean N-dual.

Demostracion. Supongamos que T y S son N -dual.

Caso 1a. Sea sup(T (µ(x), σ(x))) > n. Esto quiere decir que existe algun

x1 ∈ X tal que T (µ(x1), σ(x1)) > n, por tanto, aplicando la dualidad,

T (µ(x1), σ(x1)) = N(S(N(µ(x1), N(σ(x1))))) > n,

S(N(µ(x1)), N(σ(x1))) < n,

ınf(S(N(µ(x)), N(σ(x)))) < n, (3.3.6)

(¬(µ ∧ σ))(x) = N(T (µ(x), σ(x)) = N [N(S(N(µ(x), N(σ(x)))))] =

S(N(µ(x), N(σ(x))) = (t. en cuenta (3.3.6)) = (¬µ ∨ ¬σ)(x)

Caso 1b. Es ahora sup(T (µ(x), σ(x))) ≤ n (esto es, µ∧σ = µ0). Razonan-

do como en el caso 1a. se llega a T (µ(x), σ(x)) = N(S(N(µ(x)), N(σ(x))) ≤n, luego (S(N(µ(x)), N(σ(x))) > n, y por lo tanto

¬µ ∨ ¬σ = µ1 = ¬µ0 = ¬(µ ∧ σ).

La segunda ley se prueba de modo analogo.

98

10. Absorcion. Abs-1: (µ ∧ σ) ∨ σ = σ; Abs-2: (µ ∨ σ) ∧ σ = σ.

Proposicion 3.3.7. La ley Abs-1 se verifica si y solo si ∨ = ∨max. La

Abs-2. se verifica si y solo si ∧ = ∧mın.

Demostracion. Abs-1.

Suf.) Supongamos S = max.

Suf.1) Supongamos µ ∧ σ = µ0. La propiedad 2. de elemento neutro

(ap. 3.3.3) lleva de inmediato a (µ ∧ σ) ∨ σ = σ.

Suf.2) (µ∧σ)(x) = T (µ(x), σ(x)), de aquı, ınf(max(T (µ(x), σ(x)), σ(x))) =

ınf(σ(x)) < n. Por lo tanto, (µ∧σ)∨σ = max(T (µ(x), σ(x)), σ(x)) =

σ(x).

Nec.) Tomemos el caso particular µ = µ1 y una σ ∈ Fnc(X) diferente de

µ0 y µ1. Ası, de (µ1 ∧ σ) ∨ σ = σ ∨ σ = σ y la definicion de ∨ se

llega a (σ ∨ σ)(x) = S(σ(x), σ(x)) = σ(x) que implica S = max

La demostracion de Abs-2. es del todo analoga.

Leyes derivadas no validas

Por ultimo, dado el interes de las leyes se presentan a continuacion leyes

derivadas booleanas que no se cumplen en ninguna teorıa....

11. Distributiva. Dis-1: (µ∧σ)∨φ = (µ∨φ)∧ (σ∨φ); Dis-2: (µ∨σ)∧φ =

(µ ∧ φ) ∨ (σ ∧ φ)

Ninguna de las leyes distributivas se verifican en las teorıas (Fnc(X),∧,∨,¬).

Veamos un ejemplo que prueba el aserto.

Considerense las funciones µ, σ, ϕ en Fnc([0, 1]) de la figura 3.2

µ∧σ = µ0, ya que µ y σ se cortan en (0.5, 0.4) y por tanto sup(T (µ(x), σ(x)) ≤0.4; de donde (µ ∧ σ) ∨ φ = φ.

El corte de µ y φ se encuentra por encima de 0.5 y por tanto µ∨φ = µ1.

Por otro lado en el punto x0 = 0 es σ(x0) = 0, y S(σ(x0), φ(x0)) =

S(0, 0,25) = 0,25 para cualquier t-conorma S, luego (σ∨φ)(x) = S(σ(x), φ(x)).

99

µ(x) =

{0,9− x si x ≤ 0,90 si x > 0,9

σ(x) =

{0 si x ≤ 0,1x− 0,1 si x > 0,1

ϕ(x) =

{x+ 0,25 si x ≤ 0,50,75 si x > 0,5,

µµµµ

0 1

n

1

µµ

σ

φ

Figura 3.2: Prop. Distributiva en Fnc([0, 1])

De ambos valores se llega a ((µ ∨ φ) ∧ (σ ∨ φ))(x) = (σ ∨ φ))(x) =

S(σ(x), φ(x)) que en general es distinto de φ(x).

Es analogo probar que la ley Dis-2 tampoco es valida.

12. Reparto perfecto o ley de von Neumann. µ = (µ ∧ σ) ∨ (µ ∧ ¬σ)

La ley del reparto perfecto no se satisface para ninguna terna (T, S,N).

Mostremos un ejemplo. Dadas µ, σ ∈ Fnc([0, 1]) de la figura 3.3,

Calculo.

µ ∧ σ = µ0;

(µ ∧ ¬σ)(x) = T (µ(x), N(σ(x))).

Por tanto, ((µ ∧ σ) ∨ (µ ∧ ¬σ))(x) = (µ ∧ ¬σ))(x) = T (µ(x), N(σ(x)),

que en general es distinto de µ(x).

100

µ(x) =

0 si 0 ≤ x ≤ 0,2(x− 0,2)/0,6 si 0,2 < x ≤ 0,8

1 if 0,8 < x ≤ 1

σ(x) =

{ −2x+ 1 si 0 ≤ x ≤ 0,40,2 si 0,4 < x ≤ 1

µµµµ

0 1

n

1

µ

µ

σ

Figura 3.3: text.

3.3.5. El orto-retıculo (Fnc(X),∧mın,∨max,¬N)

Lema 3.3.8. La teorıa (Fnc(X),∧mın,∨max,¬N) hereda el orden parcial punto

a punto del retıculo (F(X),≤; mın,max, N)

Demostracion. Dados µ, σ de Fnc(X),

µ ≤ σ si y solo si µ ∧mın σ = µ y µ ∨max σ = σ

En efecto, si µ ≤ σ

sup(mın(µ(x), σ(x)) = sup(µ(x)) > n

ınf(max(µ(x), σ(x)) = ınf(σ(x)) < n,

luego

(µ ∧mın σ)(x) = mın(µ(x), σ(x)) = µ(x)

(µ ∨max σ)(x) = max(µ(x), σ(x)) = σ(x).

101

Por el contrario, si µ y σ son tales que para todo x de X, µ ∧mın σ = µ

o µ ∨max σ = σ, entonces

mın(µ(x), σ(x)) = µ(x), luego µ(x) ≤ σ(x) o

max(µ(x), σ(x)) = σ(x), luego µ(x) ≤ σ(x).

Corolario 3.3.9. Es inmediato probar que para todo µ de Fnc(X) se verifica

que µ0 ≤ µ y µ ≤ µ1.

Lema 3.3.10. (Fnc(X),∧mın,∨max,¬N) tiene estructura de retıculo.

Demostracion. El lema 3.3.8, mas el corolario 3.3.9, junto con las propiedades

asociativa, conmutativa e idempotente de ∧mın,∨max

Lema 3.3.11. La negacion ¬N es un ortocomplemento.

Demostracion. ¬N es un negacion fuerte que ademas verifica las leyes de No

Contradiccion y Tercio Excluido.

Teorema 3.3.12. La teorıa de conjuntos borrosos (Fnc(X),∧mın,∨max,¬N)

tiene estructura de retıculo ortocomplementado

Demostracion. Es consecuencia de los lemas anteriores.

Este resultado confirma la afirmacion expresada al final del ap. 3.2.4 so-

bre la conveniencia de explorar teorıas no estandar a la busqueda de nuevas

propiedades para las teorıas de conjuntos borrosos.

Bien es cierto que, una vez mas, hay que pagar un precio por las nuevas

propiedades adquiridas: la teorıa en cuestion no es distributiva luego no es un

algebra de De Morgan, como se podrıa esperar de una teorıa con mın,max.

A la vista de este resultado, una pregunta surge de forma inmediata: ¿Tie-

ne (Fnc(X),∧mın,∨max,¬N) estructura de retıculo ortomodular? La respuesta,

como se desprende del ejemplo que se expone a continuacion, es negativa.

102

Ejemplo 3.3.1. Sean µ, σ ∈ Fnc([0, 1]) las funciones :

µ(x) =

{0 si 0 ≤ x ≤ 0,25

x− 0, 25 si 0,25 < x ≤ 1

σ(x) = x

que verifican µ ≤ σ. Un calculo similar al realizado en los ejemplos precedentes

concluye que la ley ortomodular tiene la expresion

µ(x) = (σ ∧ (¬σ ∨ µ))(x) = mın(σ(x),max(N(σ(x)), µ(x)))

particularizando en x = 0,2 se obtiene los valores 0 y 0.2, respectivamente, en

cada miembro de la igualdad.

3.3.6. Algebras de Boole finitas en Fnc(X)

¿Es posible encontrar, o disenar, algebras de Boole entre las teorıas de

conjuntos borrosos?, bien entendido, que contengan conjuntos borrosos pro-

piamente dichos, es decir, tales que µ /∈ {0, 1}X . Ya sabemos que no es posible

en las estandar (ni Pexider). En lo que respecta a la teorıas no funcionales

(Fnc(X),∧T ,∨S,¬N) hemos visto que la estructura mas rıgida que encontra-

mos es el orto-retıculo (Fnc(X),∧mın,∨max,¬N), y de momento no sabemos

que sucede con otras teorıas no funcionalmente expresables. Pero, si restringi-

mos la busqueda a sub-teorıas finitas sı que encontramos estructuras booleanas

en Fnc(X) que contienen conjuntos borrosos distintos de los de {0, 1}X . Vea-

mos dos ejemplos.

Ejemplo 3.3.2. Un ejemplo trivial. µ es un conjunto borroso cualesquiera de

Fnc(X) distinto de µ0 y µ1.

La teorıa finita B2 = ({µ0, µ, µ′, µ1},∧mın,∨max,¬N) es un algebra de Boole

de dos atomos µ y µ′, como se puede comprobar de forma inmediata.

Ejemplo 3.3.3. Se muestra un algebra de Boole finita de tres atomos B3 =

({µ0, a, b, c, a′, b′, c′, µ1},∧mın,∨max, 1 − id) cuya descripcion mostramos en la

figura 3.5.

103

1

0

a’ b’ c’

a b c

Figura 3.4: Algebra de Boole de tres atomos en (Fnc(X),∧mın,∨max,¬N)

Obviamente a, b, c y sus negaciones pertenecen a Fnc(X), y es inmediato

comprobar que las operaciones ∧mın,∨max son cerradas en el conjunto y que se

verifica cualquiera de las propiedades booleanas.

Estas dos ejemplos, en especial el segundo, muestran que es posible explo-

rar subconjuntos de [0, 1]X en los que, con operadores adecuados, se pueden

encontrar estructuras algebraicas reticulares de muchos tipos. Por ejemplo, la

amalgama ([15],[51]) de las dos algebras de Boole de los ejemplos produce de

104

inmediato un retıculo ortomodular.

1

0

a’ b’

d’

a b c

d

c’

Figura 3.5: Retıculo ortomodular amalgama de B3 y B2(Fnc(X),∧mın,∨max,¬N)

105

3.4. Booleanidad de las teorıas de conjuntos

borrosos

En las secciones precedentes se ha visto que las leyes booleanas basicas y un

conjunto notable de leyes derivadas tienen cabida como tales leyes en teorıas de

conjuntos borrosos en sentido amplio, es decir, estandar, Pexider, no continuas

e incluso no funcionales. Un punto importante por conocer es si dada una ley

cualesquiera puede encontrase una teorıa borrosa en la que siga siendo ley; los

resultados obtenidos sugieren que esto es ası, pero falta probarse.

La relacion de las leyes boolanas con las teorıas borrosas se puede estudiar

desde una perspectiva distinta: en lugar de considerar si una ley es verificada

por tal o cual teorıa se tratarıa de averiguar cuales y cuantas leyes verifica

una determinada teorıa. Esta es a priori una cuestion que no tiene respuesta

precisa, ya que las leyes booleanas reinterpretadas desde el punto de vista

borroso forman un conjunto ilimitado, o al menos muy numeroso, de leyes

distintas.

De todos modos el conocimiento que hasta aquı tenemos de las leyes y su

relacion con las teorıas borrosas nos permite hacer algunas preguntas:

Dadas dos dos teorıas de conjuntos borrosos distintas, a la vista de las leyes

que en ellas se verifiquen, ¿es una mas o menos booleana que la otra?. Esta

pregunta requiere una previa, ¿se puede definir una ‘medida de booleanidad’ de

las teorıas borrosas?, o al menos ¿un ‘grado de booleanidad’ de las teorıas?. Las

algebras de Boole son estructuras algebraicas que tienen una definicion precisa,

‘booleana’ se puede decir, y, por tanto representan estructuras de booleanidad

maxima.

Una primera aproximacion a dicha medida consiste en coger un determina-

do conjunto de leyes, basicas y/o derivadas y comparar diversa teorıas segun

el numero de dichas leyes que se verifiquen en cada una de ellas.

Empecemos por considerar las nueve teorıas estandar obtenidas al combinar

las t-normas Min,Prod,W con las t-conormas Max,Prod∗,W ∗ y una negacion

fuerte N , a las que anadimos la teorıa no funcional (Fnc(X),∧mın,∨max,¬N) y

en ellas el cumplimiento de unicamente las llamadas leyes basicas, con la ex-

cepcion de aquellas como la asociativa y conmutativa que son de cumplimiento

general. La tabla 3.2 resume el resultado obtenido en esta evaluacion.

106

T Min Min Min Prod Prod Prod W W W FncS Max Prod* W* Max Prod* W* Max Prod* W* min-max

Idemp + 1 1 1 1Idemp . 1 1 1 1

NC 1 1 1 1EM 1 1 1 1

Abs 1 1 1 1 1Abs 2 1 1 1 1Dist 1 1 1 1Dist 2 1 1 1

Duality 1 1 1 1Σ/9 .78 .33 .45 .33 .11 .11 .45 .11 .33 .78

Orden 1 3 2 3 4 4 2 4 3 1

Tabla 3.2: Cumplimiento de leyes basicas

Segun el criterio apuntado, las teorıas mas booleanas son la estandar (Min,Max)

y la (Fnc(X), ∧mın,∨max,¬N), seguidas ex aequo por (Min,W ∗) y (W,Max).

Una primera crıtica a hacer al metodo expuesto, es que no parece logico

dar el mismo peso ‘booleano’ a todas las leyes. Piensese, por ejemplo, en las

leyes de dualidad y No Contradiccion, las primeras son validas para los orto-

retıculos y las algebras de De Morgan , mientras que la segunda lo es solo para

los orto-retıculos. Es decir, la ley de No Contradiccion es mas restrictiva que

la de dualidad, por tanto serıa ‘mas booleana’. Algo similar se podrıa decir de

la ley distributiva y la dualidad, la primera se verifica solo en la algebras de

De Morgan. Por ultimo, dado que la ley distributiva y la de No Contradiccion

fuerzan booleanidad a los orto-retıculos y las algebras de De Morgan, respec-

tivamente, podrıamos asignarle un valor de booleanidad equivalente. Por otro

lado, las leyes reticulares como la idempotencia o la ley de absorcion tiene un

peso booleano menor. Veamos un ejemplo concreto.

De acuerdo con este criterio damos maximo valor (1) a No contradiccion y

distributiva, el menor (0.5) a la idempotencia y absorcion, y un valor intermedio

(0.75) a la dualidad. Con estos nuevos valores la tabla 3.2 se transforma en,

107

T Min Min Min Prod Prod Prod W W W FncS Max Prod* W* Max Prod* W* Max Prod* W* min-max

Idemp + .5 .5 .5 .5Idemp . .5 .5 .5 .5

NC 1 1 1 1EM 1 1 1 1

Abs 1 .5 .5 .5 .5Abs 2 .5 .5 .5 .5Dist 1 1 1 1Dist 2 1 1 1

Duality .75 .75 .75 .75Σ/9 .53 .22 .33 .22 .08 .11 .33 .22 .30 .53

Orden 1 4 2 4 6 5 2 4 3 1

Tabla 3.3: Cumplimiento de leyes basicas ponderadas

El resultado muestra que el orden de las teorıas se mantiene invariable pero

la segunda evaluacion tiene un grano mas fino y discrimina mejor.

Otro posible metodo de evaluacion consiste en anadir mas leyes, en el ejem-

plo siguiente (tabla 3.4 lo hacemos en dos pasos, primero se incorporan tres

de las leyes derivadas que hemos estudiado en este capıtulo: la ley de von

Neumann, la igualdad de Elkan y el postulado 5.5 de Huntington, todas ellas

caracterısticas de las algebras de Boole.

En el paso siguiente se hace la misma operacion con un nuevo grupo de

leyes booleanas, aquellas que caracterizan los retıculos ortomodulares y los

orto-retıculos como la ley del complemento relativo y los postulados b1, b2, b3

(teoremas 3.2.8 y 3.2.9). La tabla muestra el resultado obtenido con el anadido

de estas nuevas leyes.

En este caso el orden no se mantiene y la unica caracterıstica que se conserva

es que entre las teorıas estandar, la (min, max) tiene en todos los casos el grado

maximo, la (W, max) esta en segundo lugar y las (Prod, Prod*) y (W, Prod*)

tienen el menor grado.

La ıdea de encontrar un modo de asignar un grado de booleanidad a las

teorıas de conjuntos borrosos surge por analogıa con las medidas de borrosidad

de un conjunto borroso [56]. En el estudio de las propiedades de una teorıa

borrosa, conocer en que medida es mas o menos rıgida o flexible nos aportarıa

informacion sobre el mundo que representa.

108

T Min Min Min Prod Prod Prod W W WS Max Prod* W* Max Prod* W* Max Prod* W*

Idemp + 1 1 1Idemp . 1 1 1

NC 1 1 1EM 1 1 1

Abs 1 1 1 1Abs 2 1 1 1Dist 1 1 1 1Dist 2 1 1 1

Duality 1 1 1

Σ/9 .78 .33 .45 .33 .11 .11 .45 .11 .33Orden 1 3 2 3 4 4 2 4 3

von Neumann 1Elkan 1

Post 5.5 1 1 1

Σ1/12 .66 .25 .33 .33 .08 .25 .42 .08 25Orden 1 4 3 3 5 4 2 5 4

Comp. Rel. 1Post b1 1 1 1Post b2 1 1 1Post b3 1 1 1

Σ2/16 .66 .25 .31 .25 .12 .19 .37 .12 .37Orden 1 4 3 4 6 5 2 6 2

Tabla 3.4: Cumplimiento de leyes basicas y derivadas

Aunque, por el momento, avanzar en este tema no entra entre los objetivos

de este trabajo, lo traemos como un ejemplo de un camino en la direccion de

progresar en el conocimiento de las teorıas de conjuntos borrosos y como un

ejemplo de propiedades que estarıan por incorporar y definir.

Capıtulo 4

Razonamiento condicional

El Modus Ponens es la regla de inferencia logica por antonomasia. En

muchos de los sistemas formales axiomaticos, como los de Kleene, Lukasiewicz

o Russell-Whitehead, es la unica regla de inferencia que se postula. Construida

alrededor del llamado enunciado condicional o, simplemente, condicional (en

cualquiera de sus formas, linguıstico, logico, algebraico, borroso, etc.)

El capıtulo comienza por una ‘aclaracion’ sobre el significado y uso de

los terminos ‘condicional’ e ‘implicacion’ que aparecen en la literatura como

sinonimos o alternativas de forma entremezclada. Este asunto, en opinion del

que esto escribe, genera un cierto grado de confusion que se ha resuelto en el

sentido que nos ha parecido es mas adecuado. Ası, denominamos enunciado

condicional a una relacion entre dos objetos del tipo ‘si... entonces’. Cuan-

do este enunciado o su expresion formal (material o no), en una estructura

logico-algebraica determinada verifica la regla de inferencia del Modus Ponens

diremos que se comporta como un operador de condicional, o simplemente, que

es un condicional en dicha estructura. Por el contrario, la implicacion es una

aplicacion binaria definida en un conjunto que cumple determinadas propieda-

des y cuya expresion formal puede coincidir o no con la de un condicional.

El capıtulo continua con el estudio en diferentes estructuras algebraicas

del comportamiento condicional de algunas funciones: las flecha Clasica,la de

Sasaki y la de Dishkant. La verificacion del Modus Ponens y la igualdad en-

tre algunas de las funciones mencionadas son leyes muy robustas que fuerzan

estructuras booleanas. En primera parte del capıtulo se muestra un conjunto

109

110

de resultados en forma de nuevos teoremas de caracterizacion de algebras de

Boole.

De ellos interesa destacar los teoremas 4.2.8 y 4.2.21; en ellos se utiliza

una ley booleana infrecuente en la literatura: (a · b′)′ = b + a′ · b′. Dicha ley

aparece en un artıculo que suscito hace algunos anos una fuerte controversia

en el ‘mundo fuzzy’. La investigacion de las propiedades de esta ley entre las

teorıas de conjuntos borrosos condujo a un resultado curioso: las soluciones

de la ecuacion funcional correspondiente son exactamente las mismas que las

de la ecuacion de la ley de von Neumann, que como sabemos es fuertemente

booleana. Este resultado indujo el estudio de esta ley entre retıculos no boo-

leanos, encontrandose que asimismo es fuertemente booleana, es decir fuerza

estructura booleana en ellos a semejanza de la ley de von Neumann.

A fin de completar metodologicamente el tema de el razonamiento con-

dicional, la segunda parte del capıtulo esta dedicada a los condicionales en

logica borrosa. Este tema ha sido tratado ampliamente por muchos autores y,

obviamente, no es esta memoria el lugar adecuado para repetirlo. Unicamente

se desarrollan dos aspectos sobre los que se aportan teoremas originales, son

la contrasimetrıa y su condicionalidad borrosa y un nuevo tipo de condicional

borroso derivado de la flecha de Dishkant que denominamos D-implicacion.

Se proponen caracterizaciones de la condicionalidad Modus Ponens y Modus

Tollens de dichos condicionales.

111

4.1. El condicional

Los instrumentos de produccion de nuevos objetos de conocimiento en los

sistemas logicos son, en general, las reglas de inferencia, de las que la mas

universal es el Modus Ponendo Ponens (Modus Ponens o MP), construido a

partir de un esquema general de conocimiento de tipo causal representado por

expresiones cuyo patron es del tipo ‘Si p, entonces q’ que conocemos como

enunciado condicional, o simplemente, condicional. El condicional linguıstico

no es otra cosa que una relacion entre dos terminos con la que expresamos

algun tipo de conexion conceptual entre ellos, en general una relacion de cau-

salidad.

El conocido esquema del MP se expresa por si p entonces q, y (tenemos) p,

entonces (se concluye) q, que en su forma clasica se representa por el esquema

Si p, entonces q

p

q

O bien, utilizando los sımbolos & para la conjuncion, ⇒ para la relacion

condicional, y ` para la inferencia logica, el esquema anterior adopta la forma

p ∧ (p⇒ q) ` q.

Todo lo dicho para la regla de inferencia MP en relacion con los condicio-

nales, es repetible, con las oportunas modificaciones para la regla denominada

Modus Tollendo Tollens, o Modus Tollens (MT), que, como es sabido, se ex-

presa por ‘Si p entonces q, y (tenemos) no p, entonces (se concluye) no q’.

Usando el sımbolo ∼ para la negacion el Modus Tollens adopta la forma

∼ p & (p⇒ q) `∼ q.

Los dos reglas, el MP y el MT, representan dos formas de direccionar el

razonamiento. Con el Modus Ponens se hace el llamado razonamiento hacia

delante, ya que de el antecedente y el condicional se infiere el consecuente. Por

el contrario la inferencia basada en el Modus Tollens conduce al razonamiento

hacia atras, ahora del consecuente (de su negacion) se llega al antecedente (su

negacion).

112

En los sistemas de razonamiento, el condicional aparece en otros tipos de

regla de inferencia, por ejemplo, el dilema constructivo: ‘Si p entonces r y si q

entonces r y (tenemos) p o q, entonces (se concluye) r’, con el sımbolo | para

la disyuncion, tiene la forma

(p⇒ r) & (q ⇒ r) & (p | q) ` rLa relacion condicional dentro del calculo del sistema logico requiere para

su uso traducirse en una expresion operativa. Esta expresion puede ser una

formula construida a partir de los conectivos logicos, en cuyo caso hablaremos

de “forma material” o “condicional material”(aquı la palabra material se em-

plea en el sentido de que la expresion se construye mediante conectivos logicos),

o mediante un operador de otro tipo en cuyo caso hablaremos genericamente

de operador de condicional.

En cualquiera de ambos casos el operador de condicional se simboliza con

→, y se define del modo siguiente,

Definicion 4.1.1. Un operador de condicional, material o no, en un conjunto

(L,∧,¬), es una aplicacion→: L×L −→ L, tal que p→ q verifica la regla del

Modus Ponens en la forma

p ∧ (p→ q) |= q

donde ∧ es un operador de conjuncion y |= un operador de consecuencia logica.

Es importante senalar que el condicional linguıstico es un enunciado o aser-

to. La expresion ‘si p, entonces q’ representa la relacion entre los terminos con

independencia de que lo afirmemos (en el sentido de ser verdadero). Como es

usual en las algebras, la afirmacion de verdadero para un enunciado no es sino

asignarle el valor del maximo -‘1’- del algebra. Por tanto, la igualdad p→ q = 1

quiere decir que es verdadero que si p, entonces q. En el mismo sentido, el Mo-

dus Ponens no equivale a afirmar la verdad de q, tal afirmacion se obtendrıa

del esquema:

p⇒ q es verdadero

p es verdadero

q es verdadero ,

lo que por otra parte exige que que el operador conjuncion verifique la propie-

dad 1 ∧ 1 = 1

113

Condicional en logica algebraica

Cuando de la logica algebraica se trate, las reglas del Modus Ponens y

Modus Tollens se expresan, respectivamente, por las desigualdades

a ∧ (a→ b) ≤ b.

¬b ∧ (a→ b) ≤ ¬a.En la logica booleana disponemos de distintas formulas con conectivos para

representar un condicional.

Algunos ejemplos tıpicos:

El condicional clasico o flecha clasica, a →C b = a′ + b. Identifica “si a,

entonces b” con el enunciado ‘no a o b’ ;

El condicional conjuntivo, a →T b = a · b. Identifica “si a, entonces b”

con el enunciado ‘a y b’ ;

Es facil probar que verifican el Modus Ponens.

Sin embargo, estas expresiones condicionales en un algebra de Boole no lo

son en cualquier otras estructuras algebraicas.

En el retıculo ortomodular ‘linterna china’ (Fig. 4.1) se observa que a ·(a′+b) = a · 1 = a � b, por lo tanto (a′+ b) no es un condicional en dicho retıculo. 1 a a’ b b’ 0

Figura 4.1: Retıculo ortomodular ‘Linterna china’

En los retıculos ortomodulares el operador de Sasaki (o flecha de Sasaki),

a→S b = a′+ (a · b) que corresponde a un enunciado de la forma ‘no a o a y b’

114

es condicional. La prueba es inmediata: De a · b ≤ a para todo a, b mas la ley

ortomodular sigue a · (a′ + a · b) = a · b ≤ b. La flecha de Sasaki coincide con

el material cuando se verifica la ley distributiva, es decir, cuando el retıculo

ortomodular es un algebra de Boole.

Tambien (a→ b) = a · b es un condicional en todos los retıculos.

Como hemos dicho, el condicional no se circunscribe al tipo denominado

material, es decir, hay condicionales que no se expresan mediante una formula

con conectivos; por ejemplo, en un algebra de Boole, la expresion

a→ b =

{1, si a ≤ b

b, en otro caso

es un condicional ya que verifica el Modus Ponens, pero obviamente no es

condicional material.

Volviendo sobre el enunciado ‘es verdad que si a, entonces b’, formalmente:

a → b = 1. Sabemos que esta condicion de igualdad, en el algebra de Boole,

establece una relacion entre a y b que dependera de la interpretacion que demos

a →.

Para el operador material ¬a+ b la relacion es ≤, esto es,

a→ b = 1 = a′ + b si y solo si a ≤ b,

en efecto, si a ≤ b, entonces a′ ≥ b′ y a′ + b ≥ b′ + b = 1. A la inversa, si

a′+ b = 1, entonces (a′+ b) · a = a, lo que lleva a a · b = a es decir, a ≤ b. Esta

propiedad se enuncia diciendo que el condicional a′ + b ordena las algebras de

Boole.

En cambio, el operador conjuncion, mas restrictivo que el material, nos

lleva a la relacion a→ b = 1 = a · b si y solo si a = b = 1.

La relacion depende, no solo del operador, sino tambien del universo en

que nos situamos. En el caso de los retıculos ortomodulares el operador a′ + b

no es un condicional, como muestra el ejemplo siguiente. Supongamos que en

el retıculo (ortomodular) R3, a es el plano x − z = 0 y b es el plano z = 0,

por lo tanto, a′ es la recta {x = 0; y + z = 0} y b′ es el eje z; es facil ver que

a′ + b = 1 y sin embargo a � b.

En cambio, en dichos retıculos el operador de Sasaki hace un papel seme-

jante al que hace el operador material en el algebra de Boole:

a→ b = a′ + (a · b) = 1 si y solo si a ≤ b,

115

en efecto, si a ≤ b, a ·b = a y a′+(a ·b) = 1; recıprocamente, sea a′+(a ·b) = 1,

la ley ortomodular aplicada a a · b ≤ a nos da a · b = a · (a′ + a · b) = a, luego

a ≤ b, es decir, la flecha de Sasaki ordena los retıculos ortomodulares.

Hemos dicho anteriormente que para obtener consecuencias del tipo ‘q es

verdadero’ se necesita partir de un condicional verdadero, p → q = 1. En

realidad desde un punto de vista practico lo que importa es que esta frase

dice que en caso de ser llevado a la practica el suceso p, el suceso q hara acto

de presencia necesariamente; valga un ejemplo, cuando digo ‘si llueve cojo el

paraguas’. Lo relevante del asunto es si cojo el paraguas o no. El discurso

completo sera: ‘es verdad que si llueve cojo el paraguas y como resulta que

compruebo que esta lloviendo, hete aquı que cojo el paraguas’(*).

Parece, por tanto, que el uso del condicional esta fuertemente ligado a esta

forma de obtener una consecuencia factual. Dicho en nuestra forma usual: El

uso de una expresion condicional cobra sentido cuando nos permite generar

consecuencias mediante reglas de inferencia, v.g. en la forma de Modus Ponens

descrita.

Reescribamos la frase (*) del modo siguiente: (‘llueve’= a, ‘cojo el paraguas’=

b),

(a ∧ (a→1 b))→2 b = 1

en donde →2 verifica la propiedad arriba expresada de p→2 q = 1 si y solo si

p ≤ q, entonces

a ∧ (a→1 b) ≤ b (4.1.1)

No es necesario por tanto que el condicional sea a→1 b = 1, sera suficiente

que verifique la expresion 4.1.1

Hasta este momento no se ha citado, salvo marginalmente, el concepto de

implicacion. Desde el punto de vista del razonamiento nos interesa el condi-

cional, puesto que es esta relacion la que interviene en las reglas de inferencia

segun acabamos de ver.

Ambos conceptos, condicional e implicacion, no son equivalentes. Por ejem-

plo, ya se ha visto que la flecha clasica a′ + b es un condicional en un algebra

de Boole y es ademas una implicacion, como se evidencia comprobando que

cumple las cinco propiedades enumeradas en el apartado que sigue (es esta

caracterıstica la que probablemente ha llevado a cierta confusion en los signifi-

cados); tambien en un retıculo ortomodular es una implicacion y, sin embargo,

116

sabemos que no es un condicional. Por el contrario, la formula a · b es un con-

dicional en cualquier estructura reticular y, en cambio, no es implicacion en

ningun caso ya que no verifica las propiedades susodichas. La implicacion es un

tipo de funcion caracterizada por determinadas propiedades. Entre ellas hay un

buen numero que son condicionales (en segun que estructura, naturalmente).

4.1.1. Funciones de implicacion

Se encuentran en la literatura formas diversas de introducir los operado-

res de implicacion multivaluados, algebraicos o borrosos, es decir, operadores

que extienden el concepto de implicacion booleana. Para nuestro proposito es

adecuada la caracterizacion siguiente [3]:

Definicion 4.1.2. L es un retıculo con negacion y acotado con 0 y 1. Se

denomina implicacion a una funcion i : L× L→ L que verifica el conjunto de

propiedades siguiente

(1) i(0, y) = 1, para todo y de L

(2) i(1, y) = y, para todo y de L

(3) i(x, i(y, z)) = i(y, i(x, z)), para todo x, y, z de L,

(4) i es creciente respecto de la segunda variable

(5) i es decreciente respecto de la primera variable

A la implicacion se le exige, en ocasiones, otras propiedades adicionales

interesantes, en algunos autores aparecen como caracterısticas las siguientes:

(6) i(x, 1) = 1, para todo y de L

(7) i(x, y) = 1, si y solo si x ≤ y

(8) i(x, 0) es una negacion fuerte

117

4.2. El condicional en la logica algebraica

4.2.1. La flecha clasica en algebras de Boole

La formula a′ + b juega un importante papel en la logica booleana: es

el mayor de los condicionales, es decir, es el mayor entre los z que verifican

a · z ≤ b. Esta cualidad se expresa formalmente en el siguiente teorema.

Teorema 4.2.1. El condicional material mas grande en un algebra de Boole

es a′ + b. Esto es,

a · z ≤ b si y solo si z ≤ a′ + b

Demostracion.

1) De a · z ≤ b sigue a′+ a · z ≤ a′+ b y de aquı a′+ z ≤ a′+ b y por tanto,

z ≤ a′ + z ≤ a′ + b.

2) De z ≤ a′ + b sigue a · z ≤ a · (a′ + b) = a · b ≤ b.

El teorema se puede leer tambien en el sentido que en un algebra de Boole

una formula cualesquiera z es condicional si y solo si es igual o menor que la

flecha clasica.

Segun este resultado, ¿Cuantos condicionales (de dos variables) diferentes

hay en las algebras de Boole? ¿Cuales de ellos son implicacion?

Recordando que la expresion a′ + b equivale al polinomio booleano de coe-

ficientes (1, 0, 1, 1) (ver sec. 3.1.1) y que las formulas booleanas esta ordenadas

parcialmente por la relacion: f1 ≤ f2 si y solo si la tupla que representa f2 con-

tiene al menos todos los coeficientes ‘1’ que la de f1, cualquiera de las formulas

equivalentes a los polinomios de coeficientes (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 1),

(1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0),(0, 0, 0, 1) son condicionales en un algebra de Boole. Por

ejemplo, las formulas b, a · b + a′ · b′, a′, a · b, a′ · b, a′ · b′ son, respectivamen-

te, representantes de las seis tuplas de coeficientes. La tabla 4.1 muestra el

cumplimiento de las propiedades de implicacion para los siete condicionales

booleanos. Segun se aprecia, solo la flecha clasica es propiamente una funcion

de implicacion.

118

1 2 3 4 5 6 7 8a′ + b • • • • • • • •b • • • • •

a · b+ a′ · b′ • • •a′ • • • •a · b • • •a′ · b • • •a′ · b′ • •

Tabla 4.1: Cumplimiento de leyes implicativas

4.2.2. La flecha clasica en algebras no booleanas

En la introduccion de este capıtulo se ha visto un ejemplo de retıculo or-

tomodular en el que (a′ + b) no es un condicional. Este ejemplo sugiere una

pregunta: ¿Hay otras estructuras, aparte de las algebras de Boole, en las que

a→ b = a′ + b es un condicional?

En las algebras de De Morgan la implicacion material a → b = a′ + b no

verifica la desigualdad del Modus Ponens: a.(a′ + b) ≤ b, para todo a, b en L.

Por ejemplo, en el algebra de De Morgan ([0, 1],mın,max, 1− id) con a = 0,5

y b = 0,3, es a.(a′ + b) = mın(a,max(1 − a, b)) = mın(0,5,max(0,5, 0,3)) =

0,5 � 0, 3.

En los retıculos ortomodulares se da una situacion analoga. En el retıculo

ortomodular ‘linterna china’ (Fig. 4.1) se ve, por ejemplo, que a · (a′ + b) =

a · 1 = a � b.

Por tanto, en ninguno de los dos casos a′ + b es condicional. Pero, ¿es

unicamente condicional en las algebras de Boole?. De nuevo, la respuesta es

afirmativa: en los teoremas que vienen a continuacion se prueba que la condi-

cionalidad de a′ + b, tanto en retıculos ortomodulares como en algebras de De

Morgan, fuerza la estructura de algebra de Boole[71].

La flecha clasica en algebras de De Morgan

Teorema 4.2.2. Un algebra de De Morgan es un algebra de Boole si y solo si

a.(a′ + b) ≤ b es una ley.

Demostracion.

119

1) Sea L un algebra de Boole, por tanto se verifica a ·(a′+b) = a ·a′+a ·b =

a · b ≤ b.

2) Sea L un algebra de De Morgan en la cual a.(a′ + b) ≤ b para todo a, b

de L. Con b = 0, la desigualdad resulta ser a · (a′ + 0) = a.a′ ≤ 0, es decir

a · a′ = 0 para todo a ∈ L, y por dualidad a+ a′ = 1.

En consecuencia, las algebras de Boole no son otra cosa que algebras de

De Morgan en las que la flecha clasica a → b = a′ + b es un condicional. Lo

que equivale a decir que no existen algebras de De Morgan propiamente dichas

donde se verifique a · (a′ + b) ≤ b para todo a, b de L.

La flecha clasica en orto-retıculos

Lema 4.2.3. En un orto-retıculo la ley a·(a′+b) ≤ b fuerza la ley ortomodular.

Demostracion. Tomemos dos elementos a, b de L tales que b ≤ a y por tanto

b = a·b. Como b ≤ a′+b se sigue b = a·b ≤ a·(a′+b).Por lo tanto a·(a′+b) = b.

Esto es, b ≤ a implica b = a · (a′ + b), la ley ortomodular.

Lema 4.2.4. En un retıculo ortomodular la ley a · (a′ + b) ≤ b fuerza la

estructura booleana.

Demostracion.

La propiedad subdistributiva x · (y+ z) ≥ x ·y+x · z es valida los retıculos.

Por lo tanto, para cualquier a, b de L se verifica que a·(a′+b) ≥ a·b+a·a′ = a·b.De la hipotesis sigue que a·(a′+b) ≤ a·b. Por tanto, a·(a′+b) = a·b = a·b+a·a′y la terna (a, a′, b) es distributiva (Sec. 1.1.2), y b conmuta con a. Por el lema

4.2.3 tambien a conmuta con b. En consecuencia para todo a, b se verifica

a = a · b+ a · b′ y el retıculo es un algebra de Boole.

De estos resultados se sigue la siguiente caracterizacion de las algebras de

Boole:

Teorema 4.2.5. Un orto-retıculo es un algebra de Boole si y solo si vale la

ley a · (a′ + b) ≤ b.

120

En resumen, no existen orto-retıculos propiamente dichos en los que el

condicional clasico verifique la desigualdad del Modus Ponens.

Nota. Esta caracterizacion se prueba desde presupuestos e hipotesis dife-

rentes en [58]

Admitido, por tanto, que la flecha clasica no es un condicional fuera de

las algebras de Boole (al menos en lo que a las estructuras algebraicas que se

tratan en este trabajo se refiere) cabe hacer nuevas preguntas: Los restantes

condicionales booleanos, ¿son condicionales en estructuras mas debiles?

Primeramente hemos de considerar que fuera de las algebras de Boole, el

criterio de la equivalencia basado en los polinomios booleanos ya no es valido.

Ası, por ejemplo, las formulas,

(b1) a′ + b

(b2) a′ + a · b

(b3) b+ a′ · b′

(b4) a · (a′ + b) + a′ · b+ a′ · b′

(b5) b′ · (a′ + b) + a · b+ a′ · b

(b6) a · b+ a′ · b+ a′ · b′

son equivalentes en un algebra de Boole (todas son equivalentes a a′ + b) pero

esto no sucede si se consideran en una estructura de retıculo ortomodular.

Sabemos que la formula (b1) -la flecha clasica- no es condicional en retıculos

ortomodulares, mientras que la (b2) -flecha de Sasaki- lo es. Asimismo,, la

formula (b3) -flecha de Dishkant- es condicional en ortomodulares, en efecto,

de b ≤ a+b la ley ortomodular nos da b = (a+b)·((a+b)′+b) = (a+b)·(a′·b′+b).Luego, a · (b+ a′ · b′) ≤ (a+ b) · (b+ a′ · b′) = b.

Los seis condicionales booleanos menores de a′ + b de la Sec. 4.2.1 son

menores que bien (b2), bien (b3), lo que concluye que los seis son condicionales

en retıculos ortomodulares.

Serıa factible seguir intentando resolver cuestiones como ¿Son condicionales

en orto-retıculos, en algebras de De Morgan?. A semejanza de la flecha clasica

en algebras de Boole ¿alguno de estos condicionales es maximal en alguna

121

estructura? etc, pero esto nos llevarıa a un terreno que se sale del ambito de esta

memoria. No obstante son preguntas de este tipo formuladas sobre diferentes

estructuras las que nos han llevado a muchos de los resultados que aquı se

exponen, por lo que no son ociosas y merecen -creemos- seguir investigando en

torno a ellas.

4.2.3. De una controversia

En [32] Charles Elkan propuso erroneamente la formula ¬(p∧¬q) = q∨(¬p∧¬q) con el objeto de probar su incompatibilidad con los conjuntos borrosos. En

un artıculo ([86]) publicado a raız de la controversia generada por el artıculo

de Elkan se prueba que la igualdad no es valida para cualquier µ, σ de [0, 1]X

cuando T y S son N -duales, en consecuencia la formula no es una ley para las

algebras de De Morgan T = mın, S = max.

El ejemplo siguiente muestra que tampoco es una ley para los retıculos

ortomodulares.

Ejemplo 4.2.1. Consideremos el retıculo ortomodular de los subespacios li-

neales de R3 y en el los elementos a = eje X, b = recta cualesquiera contenida

en el plano xy distinta de los eje X e Y . Los miembros de la igualdad toman

los siguientes valores:

(a · b′)′ = R3

b+ a′ · b′ = Plano determinado por la recta b y el eje Z.

Por supuesto, la expresion es una ley booleana, ya que en algebras de Boole

es valido b+ a′ · b′ = (b+ a′) · (b+ b′) = a′ + b = (a · b′)′.Una lectura atenta de la formula permite observar que el primer miembro es

la forma dual del condicional clasico a′+b = (a·b′)′ y el segundo miembro es un

condicional llamado flecha de Dishkant (ver Ap. 4.4), que es el contrasimetrico

de la flecha de Sasaki o condicional cuantico. En principio, el comportamiento

de la ley que se observa en las distintas estructuras se podrıa interpretar en

el sentido de que la equivalencia entre en el condicional material y un condi-

cional de tipo ortomodular no se permite en estructuras mas debiles que las

algebras de Boole, aunque esto de momento no es mas que una conjetura. Otro

argumento a favor de la conjetura se contiene en el apartado siguiente.

122

4.2.4. Las leyes a = a · b+ a · b′ y (a · b′)′ = b+ a′ · b′

El quinto conjunto de postulados de Huntington se puede interpretar en el

sentido de considerar que la ley de von Neumann, o ley de conmutacion o ley

de reparto perfecto, que de estas formas es conocida la expresion a = a·b+a·b′,representa una propiedad booleana ‘fuerte’, esto es, en una estructura reticular

con negacion fuerte, su verificacion condiciona la estructura booleana. Es una

ley que caracteriza las algebras de Boole.

Al tratar la ecuacion funcional S(T1(a, b), T2(a,N(b))) = a (Cap.3 § 3.2.2)

se ha visto que las soluciones continuas pertenecen la familia de teorıas estandar

de conjuntos borrosos dada por,

T1 = T2 = Prodϕ, S = W ∗ϕ, N = Nϕ.

Asimismo el teorema 3.2.6 muestra que las soluciones estandar para la

ecuacion funcional correspondiente a la igualdad (a · b′)′ = b+ a′ · b′, es decir,

N(T (a,N(b))) = S(b, T (N(a), N(b)))

pertenecen a la misma familia de teorıas (Prodϕ,W∗ϕ, Nϕ).

Esta coincidencia con las soluciones de la ecuacion de von Neumann nos

lleva a formular la conjetura anterior en los siguientes terminos:

En los retıculos no booleanos, ¿juega esta formula un papel analogo a la

ley de von Neumann?[70].

La respuesta es afirmativa. En efecto, probaremos a continuacion que tan-

to en los orto-retıculos como en las algebras de De Morgan esta ley fuerza

la estructura de algebra de Boole. Es decir, para ambas estructuras esta ley

caracteriza la booleanidad.

4.2.5. Algebra de De Morgan

Lema 4.2.6. (L, ·,+,′ ) es un algebra de De Morgan y a, b dos elementos cua-

lesquiera de L, (a · b′)′ = b+ a′ · b′ si y solo si b · b′ ≤ a.

Demostracion.

123

1) (a · b′)′ = b+ a′ · b′ es equivalente a a′ + b = b+ a′ · b′. Como a′ ≤ a′ + b,

es a′ ≤ b + a′ · b′ y por tanto, (b + a′ · b′)′ = b′ · (a + b) ≤ a. Como b ≤ a + b,

tambien es b · b′ ≤ (a+ b)b′. En consecuencia b · b′ ≤ a.

2) b · b′ ≤ a es equivalente a a′ ≤ b′ + b′′ = b + b′y de aquı, a′ + b ≤ b + b′,

que equivale a a′ + b ≤ (a′ + b) · (b + b′) = a′ · b + a′ · b′ + b · b + b · b′ =

(b + b · b′ + a′ · b) + a′ · b′ = b + a′ · b′ [*]. Por otro lado, de a′ · b′ ≤ a′ sigue

a′ + b ≥ b+ a′ · b′ [**]. De [*] y [**] concluye a′ + b = b+ a′ · b′.

Lema 4.2.7. SEA (L, ·,+,′ ) un algebra de De Morgan. Si (a · b′)′ = b+ a′ · b′se verifica para todo a, b de L, entonces L es un algebra de Boole.

Demostracion. . Segun el lema anterior, para todo a, b es b · b′ ≤ a. En parti-

cular, si a = 0, b · b′ = 0 para todo b de L, y de inmediato b + b′ = 1, lo que

convierte el algebra de De Morgan en un algebra de Boole

Teorema 4.2.8. Un algebra de De Morgan es un algebra de Boole si y solo si

(a · b′)′ = b+ a′ · b′ es una ley.

Demostracion. Es consecuencia inmediata del hecho de que un algebra de Boo-

le es un algebra de Morgan que verifica (a · b′)′ = b + a′ · b′ y del lema 4.2.7.

Nota 4.2.1. En las algebras de De Morgan propiamente dichas, como, por

ejemplo, ([0, 1],mın max, 1− id), (a · b′)′ = b+ a′ · b′ no es una ley.

4.2.6. Retıculo ortomodular

Los cuatro primeros lemas que se exponen a continuacion representan

conocidas propiedades de la relacion de conmutacion C, aCb si y solo si

a = a · b+ a · b′. Se explicitan en beneficio de la completitud ([15]).

Sea L un retıculo ortomodular.

Lema 4.2.9. Si a ≤ b, entonces aCb.

Demostracion. a ≤ b, luego a · b = a, por tanto a · b+a · b′ = a+a · b′ = a.

Lema 4.2.10. Si aCb, entonces aCb′.

124

Demostracion. a = a · b+ a · b′ = a · b′′ + a · b′ = a · b′ + a · (b′)′.

Lema 4.2.11. La relacion C es simetrica (si aCb, entonces bCa).

Demostracion. De a = a · b+ a · b′, por dualidad, sigue a′ = (a · b)′ · (a′ + b) y

de aquı, a′ · b = (a · b)′ · (a′ + b) · b = (a · b)′ · b, ya que b ≤ a′ + b.

Por otra parte, la ley ortomodular aplicada a a·b ≤ b lleva a b = a·b+(a·b)′·b.Por lo tanto b = a · b+ a′ · b = b · a+ b · a′.

Nota. Los lemas 4.2.9 y 4.2.10 no dependen de la ley ortomodular, es decir,

son generalizables a un retıculo con negacion fuerte.

Lema 4.2.12. Dados a, b, c de L, si uno de ellos conmuta con los otros dos,

todas las formas posibles de leyes distributivas con a, b y c, son validas.

Demostracion. Este lema no es otro que el teorema de Foulis-Holland. Por

ejemplo, si aCb y aCc, entonces a · (b + c) = a · b + a · c, b + a · c = (b + a) ·(b+ c), a+ b · c = (a+ b) · (a+ c), etc.

Corolario 4.2.13. De estos cuatro lemas se deduce que si aCb, entonces a, b, a′

y b′ conmutan indistintamente entre sı, y por tanto existe una subalgebra boo-

leana, cuyas operaciones coinciden con las del retıculo ortomodular total que

la contiene.

Lema 4.2.14. Si aCb, entonces (a · b′)′ = b+ a′ · b′.

Demostracion. Inmediata a partir del corolario anterior.

Lema 4.2.15. Si (a · b′)′ = b+ a′ · b′, entonces aCb.

Demostracion. .

1) Para la desigualdad a · b′ ≤ a, la ley ortomodular nos da a = a · b′ +a.(a · b′)′ = (por hipot.) a · b′ + a · (b+ a′ · b′).

2) De a′ · b′ ≤ a′ y el lema 4.2.9 sigue que a′ · b′ conmuta con a′, y por el

lema 4.2.10 es a′ · b′Ca′′, es decir, a′ · b′Ca. Analogamente, de a′ · b′ ≤ b′ sigue

que a′ · b′Cb. Por lo tanto, el lema 4.2.12 valida la distributividad de a′ · b′, a y

b . En particular a · (b+ a′ · b′) = a · b+ a · a′ · b′ = a · b+ 0 = a · b.

125

Como consecuencia de 1) y 2) resulta

a = a · b′ + a · b

Teorema 4.2.16. En un retıculo ortomodular, a = a · b + a · b′ si y solo si

(a · b′)′ = b+ a′ · b′.

Demostracion. Es consecuencia inmediata de los lemas 4.2.14 y 4.2.15.

Teorema 4.2.17. Un retıculo ortomodular con la ley (a · b′)′ = b+ a′ · b′ es un

algebra de Boole.

Demostracion. El teorema anterior y el ‘Fourth Set of Postulates’ de Hunting-

ton prueban de forma inmediata el teorema.

4.2.7. La ley (a · b′)′ = b+ a′ · b′ en orto-retıculos

En la seccion anterior hemos probado que unicamente las algebras de De

Morgan y los retıculos ortomodulares que verifican la ley (a · b′)′ = b + a′ · b′son algebras de Boole, es decir, en ambas situaciones dicha ley caracteriza

las algebras de Boole. Queda pendiente, no obstante, un punto de discusion.

Tambien en el caso de los orto-retıculos la ley de von Neumann caracteriza las

algebras de Boole. Cabe preguntarse si el razonamiento empleado en el caso de

la formula que nos ocupa se puede extender a los orto-retıculos. Mostraremos

a continuacion que la respuesta es de nuevo afirmativa.

Lema 4.2.18. En un orto-retıculo la igualdad (a ·b′)′ = b+a′ ·b′ es equivalente

a la a · b = b · (a+ b′).

Demostracion. Inmediato cambiado b por b′ y aplicando dualidad y la propie-

dad involutiva.

Lema 4.2.19. En un orto-retıculo, la ley (a · b′)′ = b + a′ · b′ implica la ley

ortomodular.

126

Demostracion. El lema 4.2.18 nos da que a · b = b · (a+ b′) para cualquier a, b

del orto-retıculo. En el caso en que sea a ≤ b se sigue a = b · (a+ b′), que es la

ley ortomodular.

Lema 4.2.20. Un orto-retıculo con la ley (a · b′)′ = b+ a′ · b′ es un algebra de

Boole.

Demostracion. Segun el lema 4.2.19, el retıculo es ortomodular. Por lo tanto,

el teorema 4.2.17 afirma que es un algebra de Boole.

Teorema 4.2.21. Un orto-retıculo es un algebra de Boole si y solo si vale la

ley (a · b′)′ = b+ a′ · b′.

Demostracion. La caracterizacion sigue del lema 4.2.20 y del simple calculo,

b+ a′ · b′ = (b+ a′) · (b+ b′) = a′ + b = (a · b′)′ en un algebra de Boole.

En resumen, no hay orto-retıculos propiamente dichos en los que (a · b′)′ =b+a′ ·b′ sea una ley. Es decir, dicha ley caracteriza las algebras de Boole dentro

de la clase de los orto-retıculos.

4.2.8. Resumen

A continuacion se enumera la lista de resultados en donde se dan nuevas

caracterizaciones de las algebras de Boole.

Las siguientes afirmaciones sobre el conjunto L son equivalentes, se

entiende que en todas ellas a, b son un par cualesquiera de objetos

de L:

1) L es un algebra de Boole.

2) L es un orto-retıculo y a′ + b = a′ + a · b es una ley en L.

3) L es un orto-retıculo y a′ + b = b+ a′ · b′ es una ley en L.

4) L es un orto-retıculo y a · (a′ + b) ≤ b es una ley en L.

5) L es un algebra de De Morgan y a′ + b = a′ + a.b es una ley

en L.

127

6) L es un algebra de De Morgan y a′ + b = b+ a′ · b′ es una ley

en L.

7) L es un algebra de De Morgan y a · (a′ + b) ≤ b es una ley en

L.

4.3. Condicionalidad de operadores de impli-

cacion borrosos

El criterio de condicionalidad se extiende naturalmente a los conjuntos

borrosos. Un condicional borroso vendra dado por una expresion (µ⇒ σ) que

verifica la inecuacion del Modus Ponens, µ ∧ (µ ⇒ σ) ≤ σ. Los condicionales

borrosos se relacionan con las implicaciones borrosas de manera similar a lo

que sucede en el caso de las algebras, los condicionales y las implicaciones

son entidades diferentes, se puede ser una cosa y no la otra y viceversa. No

obstante, y como en el caso antedicho, es entre las implicaciones borrosas de

donde se estudian las funciones condicionales.

Analogamente a lo que sucede con los operadores de conjuncion y dis-

yuncion, en este caso trataremos con operadores de implicacion borrosos →:

[0, 1]X × [0, 1]Y → [0, 1]X×Y funcionalmente expresables, esto es, aquellos que

se expresan por medio de funciones numericas J : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] de

acuerdo con la igualdad (µ→ σ)(x, y) = J(µ(x), σ(y)).

Estas funciones deben satisfacer las propiedades de la definicion general

de funcion de implicacion dadas en la definicion dela Sec. 4.1.1 El interes de

estas funciones se centra en el estudio de la la verificacion por parte de estas

funciones numericas de las meta-reglas del Modus Ponens y Modus Tollens. En

concreto, dada una de estas funciones J , el objetivo es determinar que t-normas

continuas T y que funciones de negacion fuerte N verifican alguna (o ambas) de

las desigualdades T (a, J(a, b)) ≤ b (Modus Ponens) y T (N(b), J(a, b)) ≤ N(a)

(Modus Tollens), para cualesquiera a, b en [0, 1].

Nota 4.3.1. En lo sucesivo se utiliza la notacion T -mp y TN -mt para designar

la condicionalidad T-Modus Ponens y TN-Modus Tollens de una funcion J ,

respectivamente.

128

Se describen en primer lugar las funciones J pertenecientes a las familias

mas habitualmente utilizadas en Logica Borrosa, esto es, R-implicaciones, S-

implicaciones, Q-implicaciones e implicaciones de Mamdani-Larsen [87] [91],

para a renglon seguido describir su comportamiento condicional.

1. Residuadas o R-implicaciones, JT (a, b) = sup{z ∈ [0, 1];T (a, z) ≤ b}.

2. Fuertes o S-implicaciones, J(a, b) = S(N(a), b).

3. Quantum o Q-implicaciones , J(a, b) = S(N(a), T (a, b)).

4. Mamdani-Larsen o ML-implicaciones, J(a, b) = T (ϕ(a), ψ(b)) donde ϕ

es un automorfismo de orden en [0, 1] y ψ : [0, 1]→ [0, 1] es una funcion

contractiva no nula (ψ(a) ≤ a para todo a).

De estas cuatro familias de implicaciones solo las residuadas y las fuertes

verifican los cinco axiomas de la definicion de implicacion, lo que es logico ya

que proceden de la implicacion material a′ + b; las quantum no verifican la

propiedad (4) y las de Mamdani-Larsen solo verifican la propiedad (4).

4.3.1. MP y MT condicionalidad de las implicaciones

borrosas

A continuacion se exponen los teoremas de caracterizacion de la del compor-

tamiento condicional con la regla del Modus Ponens, la del Modus Tollens y de

ambas simultaneamente para las cuatro familias, S, R, Q y ML de implicaciones

borrosas. La demostracion se remite al artıculo [91] citado anteriormente.

En esta seccion, salvo indicacion en contra, T, T1, T2 . . ., S, S1, S2 . . . yN,N1, . . .

representan t-normas continuas, t-conormas continuas y negaciones fuertes,

respectivamente. Asimismo, ϕ y ψ son automorfismos de orden en [0, 1]

R-implicaciones

Los valores de JT para las tres familias principales de t-normas continuas

son:

- JMin(a, b) =

{1, if a ≤ b

b, otherwise

129

- JProdϕ(a, b) =

{1, if a ≤ b

ϕ−1(ϕ(b)ϕ(a)

), otherwise= ϕ−1(JProd(ϕ(a), ϕ(b)))

- JWϕ(a, b) = W ∗ϕ(Y (a), b) = mın(1, ϕ−1(1−ϕ(a)+ϕ(b))) = ϕ−1JW (ϕ(a), ϕ(b))

El comportamiento Modus Ponens condicional (mp condicional, en ade-

lante) de la implicacion residuada JT respecto a la conjuncion T1, (T1-mp

condicional), tiene las caracterısticas siguientes:

a) T = mın.

JMin es T1-mp condicional para cualquier t-norma T1 y, en particular,

para T1 = Min.

b) T = Prodϕ

JProdϕ es T1-mp condicional si y solo si existe un automorfismo de orden

ϕ1 tal que al menos se cumple una de las condiciones siguientes:

b1) T1 = Wϕ1 y ϕ−1(ϕ(b)ϕ(a)

) ≤ W ∗ϕ1

(Nϕ1(a), b) para cualquier a, b ∈ [0, 1].

b2) T1 = Prodϕ1 y ϕ−1(ϕ(b)ϕ(a)

) ≤ ϕ−11 (ϕ1(b)

ϕ1(a)) para cualquier a, b ∈ [0, 1].

c) T = Wϕ.

JWϕ es T1-mp condicional si y solo si existe un automorfismo de orden

ϕ1 tal que T1 = Wϕ1 , Nϕ ≤ Nϕ1 y W ∗ϕ(a, b) ≤ W ∗

ϕ1(Nϕ1(Nϕ(a)), b) para

todo a, b ∈ [0, 1].

Por lo que respecta a la desigualdad del Modus Tollens las caracterısticas

del comportamiento (T1, N1)-mt condicional de la implicacion JT de son las

siguientes:

JT es (T1, N1)-mt condicional si y solo si existe un automorfismo de orden

ϕ1 tal que T1 = Wϕ1 , N1 ≤ Nϕ1 y se cumple una de las condiciones siguientes:

a) T = mın.

b) T = Prodϕ para algun ϕ y ϕ−1(ϕ(b)ϕ(a)

) ≤ W ∗ϕ1

(N1(a), Nϕ1(N1(b))) para

cualquier a, b ∈ [0, 1].

c) T = Wϕ para algun ϕ,Nϕ ≤ N1 yW ∗ϕ(a, b) ≤ W ∗

ϕ1(N1(Nϕ(a)), Nϕ1(N1(b)))

para cualquier a, b ∈ [0, 1]

130

4.3.2. S-implicaciones

Los resultados de la condicionalidad para las S-implicaciones J(a, b) =

S(N(a), b), son los siguientes:

• J es T1-mp condicional si y solo si existe un automorfismo ϕ tal que para

cada par a, b ∈ [0, 1]

T1 = Wϕ, N ≤ Y, S(a, b) ≤ W ∗ϕ(Y (N(a)), b)

• J es (T1, N1)-mt condicional si y solo si

T1 = Wϕ, N ≤ N1 ≤ Y, S(a, b) ≤ W ∗ϕ(N1(N(a)), Y (N1(b)))

.

4.3.3. Q-implicaciones

En el caso de las Q-implicaciones J(a, b) = S(N(a), T (a, b)), los resultados

correspondientes a MP y MT son:

• J es T1-mp condicional si y solo si existe un automorfismo ϕ tal que

T1 = Wϕ, N ≤ Nϕ y S(a, T (N(a), b)) ≤ W ∗ϕ(Nϕ(N(a)), b) para todo par

a, b ∈ [0, 1].

• J is a (T1, N1)-mt condicional si y solo si existe un automorfismo ϕ tal que

T1 = Wϕ, N ≤ N1 ≤ Nϕ y S(a, T (N(a), b)) ≤ W ∗ϕ(N1(N(a)), Nϕ(N1(b)))

para todo a, b ∈ [0, 1].

4.3.4. ML-implicaciones

Finalmente, en el caso de las implicaciones Mamdani-Larsen [?] [43], J(a, b) =

T (ϕ(a), ψ(b)) es T1-mp condicional para cualquier t-norma T1, y (T1, N1)-

mt condicional si y solo si existe un automorfismo de orden ρ y T1 = Wρ y

ψ ≤ Nρ ◦N1.

En la tabla 4.2 se resumen las condiciones en que las distintas funciones de

implicacion borrosas son mp o mt condicionales. En la tabla 4.3 se muestran

las condiciones de mpt condicionalidad.

131

MP-condicional para T1 MT-condicional para (T1, N1)

R-implicacion JTT = Min

siempre T1 = Wϕ1 , N1 ≤ Nϕ1

R-implicacion JTT = Prodϕ

T1 = Wϕ1 ,ϕ−1(ϕ(b)/ϕ(a)) ≤W ∗ϕ1

(Nϕ1(a), b)´o

T1 = Prodϕ1 ,ϕ−1(ϕ(b)/ϕ(a)) ≤ϕ1−1(ϕ1(b)/ϕ1(a))

T1 = Wϕ1 , N1 ≤ Nϕ1 ,ϕ−1(ϕ(b)/ϕ(a)) ≤

W ∗ϕ1(N1(a), Nϕ1(N1(b)))

R-implicacion JTT = Wϕ

T1 = Wϕ1 , Nϕ ≤ Nϕ1 ,W ∗ϕ(a, b) ≤

W ∗ϕ1(Nϕ1(Nϕ(a)), b).

T1 = Wϕ1 , Nϕ ≤ N1 ≤ Nϕ1 ,W ∗ϕ(a, b) ≤

W ∗ϕ1(N1(Nϕ(a)), Nϕ1(N1(b)))

S-implicacionS(N(a), b)

T1 = Wϕ, N ≤ Nϕ,S(a, b) ≤

W ∗ϕ(Nϕ(N(a)), b).

T1 = Wϕ, N ≤ N1 ≤ Nϕ,S(a, b) ≤

W ∗ϕ(N1(N(a)), Nϕ(N1(b))).

Q-implicacionS(N(a), T (a, b))

T1 = Wϕ, N ≤ Nϕ,S(a, T (N(a), b)) ≤W ∗ϕ(Nϕ(N(a)), b).

T1 = Wϕ, N ≤ N1 ≤ Nϕ,S(a, T (N(a), b)) ≤

W ∗ϕ(N1(N(a)), Nϕ(N1(b))).

ML-implicacionT (ϕ(a), ψ(b)) always T1 = Wρ, ψ ≤ Nρ ◦N1.

Tabla 4.2: MP y MT condicionalidad de implicaciones.

4.4. Contrasimetrıa

En general, a cada operador → se asocia su contrapositivo simetrico (en

adelante, contrasimetrico) →¬, definido por p→¬ q = ¬q → ¬p, y se dice que

→ es auto-contrasimetrico cuando →=→¬.El operador material es auto-contrasimetrico, esto es, p →M q = ¬q →M

¬p; en efecto, p →M q = ¬p ∨ q = ¬¬q ∨ ¬p = ¬q →M ¬p. El operador de

Sasaki, sin embargo, no lo es; por ejemplo, en el retıculo ortomodular de los

132

MPT-condicional para (T1, N1)

R-implicacion JTT = Min

T1 = Wϕ1 , N1 ≤ Nϕ1

R-implicacion JTT = Prodϕ

T1 = Wϕ1 , N1 ≤ Nϕ1 ,ϕ−1(ϕ(b)/ϕ(a)) ≤ Min(W ∗ϕ1

(Nϕ1(a), b),W ∗ϕ1(N1(a), Nϕ1(N1(b))))

R-implicacion JTT = Wϕ

T1 = Wϕ1 , Nϕ ≤ N1 ≤ Nϕ1 ,W ∗ϕ(a, b) ≤ Min(W ∗ϕ1

(Nϕ1(Nϕ(a)), b),W ∗ϕ1(N1(Nϕ(a)), Nϕ1(N1(b))))

S-implicacionS(N(a), b)

T1 = Wϕ, N ≤ N1 ≤ Nϕ,S(a, b) ≤ Min(W ∗ϕ(Nϕ(N(a)), b),W ∗ϕ(N1(N(a)), Nϕ(N1(b))))

Q-implicacionS(N(a), T (a, b))

T1 = Wϕ, N ≤ N1 ≤ Nϕ,S(a, T (N(a), b)) ≤ Min(W ∗ϕ(Nϕ(N(a)), b),W ∗ϕ(N1(N(a)), Nϕ(N1(b)))

ML-implicacionT (ϕ(a), ψ(b)) T1 = Wρ, ψ ≤ Nρ ◦N1.

Tabla 4.3: Caracterizacion de MPT-implicaciones

subespacios vectoriales de R3, tomamos como p el plano x− y + z = 0 (¬p es

la recta x = −y = z), y q la recta x = y = 0 que es el eje z, (¬q es el plano

z = 0), con estos valores, p ∧ q = {−→0 }, y ¬q ∧ ¬p = {−→0 }, por consiguiente,

p→S q = ¬p ∨ (p ∧ q) = ¬p

y

¬q →S ¬p = q ∨ (¬q ∧ ¬p) = q.

El contrasimetrico del operador de Sasaki, p →¬S q = ¬q →S ¬p = q ∨(¬q ∧¬p) = q ∨ (¬p∧¬q), se conoce como operador de Dishkant →D(ver [?]).

Este operador, analogamente al de Sasaki, tampoco es auto-contrasimetrico en

general.

Lo dicho en el parrafo anterior puede repetirse para el operador de Dishkant,

lo que es inmediato al recordar que p ≤ q ⇔ ¬q ≤ ¬p.

133

4.4.1. N-Contrasimetrıa en operadores de implicacion

borrosos

Apoyandose en la idea condicionalidad extendida a los conjuntos borrosos,

estudiaremos a continuacion el concepto de contrasimetrıa en los operadores

de implicacion borrosos pertenecientes a las cuatro familias consideradas en la

seccion precedente.

Definicion 4.4.1. Dada una funcion J : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1], se dice que

la funcion JN : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] es su N -contrasimetrica si JN(a, b) =

J(N(b), N(a)), para todo a, b de [0, 1] y una funcion de negacion fuerte N .

Definicion 4.4.2. J es N -auto-contrasimetrica cuando J = JN .

Ejemplo 4.4.1. Sea una S-implicacion J(a, b) = S(N(a), b). Para todo a, b

en [0, 1], J(N(b), N(a)) = S(N(N(b)), N(a)) = S(b,N(a)) = S(N(a), b) =

J(a, b), es decir, cualquier S-implicacion es N -auto-contrasimetrica.

Teorema 4.4.1. Dadas una t-norma continua T , una negacion fuerte N y

una implicacion J ,

i) JN verifica el T -Modus Ponens si y solo si J verifica el TN -Modus To-

llens.

ii) JN verifica el TN -Modus Tollens si y solo si J verifica el T -Modus Po-

nens.

Demostracion.

i) De la hipotesis MP se sigue T (N(a), JN(N(a), N(b))) ≤ N(b), i.e T (N(a), J(b, a)) ≤N(b).

De la hipotesis MT se sigue que T (N(N(b)), J(N(a), N(b))) ≤ N(N(a)),

i.e, T (b, JN(b, a)) ≤ a.

ii) Analogamente al caso i) de la condicion T (N(b), JN(N(a), N(b)) ≤ N(a),

para todo a, b en [0, 1], se sigue T (N(b), J(b, a)) ≤ b.

De T (N(b), J(N(b), N(a)) ≤ N(a) sigue T (N(b), JN(a, b)) ≤ N(a).

134

Corolario 4.4.2. Si J es N-auto-contrasimetrica y verifica el T -mp o el TN -

mt, tambien verifica, respectivamente, el TN -mt o el T -mp.

Es el caso, por ejemplo, de la flecha clasica en algebras de Boole, pero no

el caso de la flecha de Sasaki en los retıculos ortomodulares. En general, la

verificacion del Modus Ponenes y el Modus Tollens es equivalente solo para los

operadores auto-contrasimetricos J = JN .

Por el contrario, cuando el operador J no es auto-contrasimetrico, es decir,

J(a, b) 6= J(N(b), N(a)) para algun a, b de [0, 1], y en el supuesto de que la

funciones JN(a, b) = J(N(b), N(a)) tengan la misma tabla de verdad de la

implicacion clasica (ver nota 4.4.1), ¿En que condiciones se comportaran como

condicionales? Esta es la razon de la que se deriva el interes del estudio de la

contrasimetrıa de los operadores de implicacion. La seccion 4.3, el teorema 4.4.1

y el corolario 4.4.2 dan un marco de trabajo adecuado a tal fin. A continuacion

intentaremos dar algunas respuestas a esta pregunta.

Nota 4.4.1. Las S-implicaciones, R-implicaciones, Q-implicaciones y sus res-

pectivas contrasimetricas pueden verse como generalizaciones de la implicacion

material ya que cuando a, b ∈ {0, 1} la tabla de verdad correspondiente es

a \ b 0 1

0 1 1

1 0 1

y esta tabla coincide con la de p→M q, cuando p y q son verdadero (1) y/o

falso (0) unicamente.

S-implicaciones

Teorema 4.4.3. Dada una S-implicacion J = S(N(a), b), y su N1-contrasimetri-

ca JN1, J = JN1 si y solo si N = N1.

Demostracion. Si N = N1, JN1(a, b) = JN(a, b) = S(N(N(b)), N(a)) =

S(b,N(a)) = S(N(a), b) = J(a, b). Suponiendo que J = JN1 , de J(1, b) =

135

JN1(1, b) para todo b en [0, 1], se sigue que S(N(1), b) = S(0, b) = b =

S(N(N1(b)), N1(1)) = S(N(N1(b)), 0) = N(N1(b)) i.e. N ◦ N1 = id que es

tanto como decir N = N1.

Corolario 4.4.4. J(a, b) = S(N(a), b) es N-auto-contrasimetrica.

Demostracion. Inmediata, del teorema anterior.

R-implicaciones

Teorema 4.4.5. Consideremos la implicacion residuada dada por JT (a, b) =

sup{z ∈ [0, 1];T (a, z) ≤ b}, donde T es una t-norma continua. Entonces, la

igualdad

JT (a, b) = JNT (a, b) = JT (N(b), N(a)), (4.4.1)

se verifica para todo a, b en [0, 1] si y solo si existe un automorfismo ϕ tal que

T = Wϕ y N = Nϕ.

Demostracion. Si T = Wϕ y N = Nϕ, entonces (ver sec. 4.3.1)

JWϕ(Nϕ(b), Nϕ(a)) =

ϕ−1(JW (1− ϕ(b), 1− ϕ(a))) =

ϕ−1[Min(1, ϕ(b) + 1− ϕ(a))] =

ϕ−1(JW (ϕ(a), ϕ(b))) =

JWϕ(a, b).

Por otra parte, la sustitucion a = 1 en el primer miembro de (4.4.1) da

JT (1, b) = sup{z ∈ [0, 1];T (z, 1) ≤ b} = 1; en el segundo, JT (N(b), 0) =

sup{z ∈ [0, 1];T (N(b), z) ≤ 0}, por lo cual T (b,N(b)) ≤ 0 para todo b luego

T es una t-norma Arquimediana no estricta, i.e. T = Wϕ.

Por ultimo, si a > b y T = Wϕ se obtiene de (4.4.1) que ϕ−1(1 − ϕ(a) +

ϕ(b)) = ϕ−1(1− ϕ(N(b)) + ϕ(N(a))), i.e., ϕ(N(b)) + ϕ(b) = ϕ(a) + ϕ(N(a)).

Por tanto, tomando a = 1 se llega a ϕ(N(b)) + ϕ(b) = 1 de aquı N(b) =

ϕ−1(1− ϕ(b)) es decir, N = Nϕ.

136

Nota 4.4.2. Una prueba de este resultado, aunque por diferente camino, se

encuentra en [35]

En consecuencia, cuando T no pertenece a la familia F(W ), JT no es auto-

contrasimetrica para ninguna negacion fuerte N .

ML implicaciones

En el caso de las implicaciones Mamdani-Larsen, J(a, b) = T (ϕ(a), ψ(b)),

la implicacion N -contrasimetrica toma la forma JN(a, b) = J(N(b), N(a)) =

T (ϕ(N(b)), ψ(N(a))). Particularizando para a = 1, se obtiene J(1, b) = T (ϕ(1), ψ(b)) =

ψ(b) y JN(1, b) = T (ϕ(N(b)), ψ(0)) = 0 (recuerdese que ψ(0) ≤ 0 implica

ψ(0) = 0), por lo tanto J(1, b) = JN(1, b) para b > 0. En consecuencia, las

implicaciones Mamdani-Larsen’s nunca son N-auto-contrasimetricas.

Por ejemplo, en el supuesto que J(a, b) = a.b y N = 1 − id, a.b = (1 −a)(1−b) = 1−a−b+a.b si y solo si 1 = a+b, por lo tanto J(a, b) no es igual a

J(1−b, 1−a) en todos los a, b de [0, 1]. De manera similar, J(a, b) = Min(a, b),

J1−id(a, b) = Min(1− b, 1− a) y J(1, b) = b pero J1−id(1, b) = 0.

Q implicaciones

Las Q-implicaciones JQ(a, b) = S(N(a), T (a, b)) se derivan del operador de

Sasaki p→S q = ¬p ∨ (p ∧ q), con t-norma T continua, t-conorma S continua

y una funcion de negacion fuete N

La funcion N1-contrasimetrica of JQ es

JN1Q (a, b) = JQ(N1(b), N1(a)) = S((N ◦N1)(b), T (N1(b), N1(a))),

es interesante senalar que si N1 = N ,

JNQ (a, b) = S(b, T (N(a), N(b))),

cuyo segundo miembro coincide con el segundo de la igualdad

N(T (a,N(b))) = S(b, T (N(a), N(b))),

formula que nos retrotrae a la utilizada en la controversia de Elkan (ver [32],

[86] y [88]) y que solo se cumple para todo a, b de [0, 1] en el caso que T =

137

Prodϕ, S = W ∗ϕ, N = Nϕ. En esta situacion

JNQ (a, b) = W ∗ϕ(b, Prodϕ(Nϕa,Nϕb)) = ϕ−1(1−ϕ(a)+ϕ(a).ϕ(b)) = Prod∗ϕ(Nϕ(a), b),

esto es, JNQ no es otro que una S-implicacion con S = Prod∗ϕ, N = Nϕ.

Tanto si N = N1 como si N 6= N1, la tabla de verdad de JN1Q es la de la

implicacion material (nota 4.4.1) y, por lo tanto, las funciones JN1Q se pueden

considerar como implicaciones en logica borrosa.

Como en casos anteriores el operador JQ no siempre es N1-contrasimetrico.

Nunca lo es si S = Max o S = Prodϕ y lo es restrictivamente para S = Wϕ

como se justifica en los teoremas siguientes.

Lema 4.4.6. Una condicion necesaria de JQ = JN1Q es S = W ∗

ϕ y Nϕ ≤ N =

N1, para cualquier automorfismo ϕ.

Demostracion. Para b = 1 se obtiene JQ(a, 1) = S(N(a), T (a, 1)) = S(N(a), a) =

JN1Q (a, 1) = JQ(0, N1(a)) = S(1, T (0, N1(a))) = 1, por tanto la condicion se re-

duce a

W ∗ϕ(N(a), T (a, b)) = W ∗

ϕ(N(N1(b)), T (N1(a), N1(b)) (4.4.2)

en donde haciendo b = 1 de nuevo, se obtiene

W ∗ϕ(N(a), a) = W ∗

ϕ(1, 0) = 1 = Min(1, ϕ(N(a)) + ϕ(a) = 1, lo que equivale a

1 ≤ ϕ(a) + ϕ(N(a)), y N(a) ≥ ϕ−1(1− ϕ(a)) = Nϕ(a), es decir, Nϕ ≤ N .

Ademas, tomando a = 1 en la igualdad (4.4.2), mın(1, ϕ(b)) = mın(1, ϕ((N(N1(b))),

luego N ◦N1 = id, y N = N1.

Con estas condiciones, la igualdad (4.4.2) tomara la forma

W ∗ϕ(N(a), T (a, b)) = W ∗

ϕ(b, T (N(a), N(b)) (4.4.3)

Lema 4.4.7. Una condicion suficiente para que se verifique la igualdad (4.4.3)

es T = Tϕ y N = Nϕ.

Demostracion. Analizaremos los tres tipos de t-normas continuas por separa-

do.

1) T = Min y N ≥ Nϕ.

138

• a ≥ b.

W ∗ϕ(N(a),Min(a, b)) = W ∗

ϕ(N(a), b)

W ∗ϕ(b,Min(N(a), N(b)) = W ∗

ϕ(N(a), b)

• a ≤ b.

W ∗ϕ(N(a),Min(a, b)) = W ∗

ϕ(N(a), a) = 1, para todo N ≥ Nϕ

W ∗ϕ(b,Min(N(a), N(b)) = W ∗

ϕ(N(b), b) = 1, id.

2) T = Prodϕ y N = Nϕ.

Min(1, ϕ(N(a))+ϕ(Prodϕ(a, b))) = Min(1, ϕ(N(a))+ϕ(a).ϕ(b)) =(con

la condicion N = Nϕ) Min(1, 1− ϕ(a) + ϕ(a).ϕ(b)),

Min(1, ϕ(b)+ϕ(Prodϕ(N(a), N(b))) = Min(1, ϕ(b)+ϕ(N(a)).ϕ(N(b)) =

Min(1, 1− ϕ(a) + ϕ(a).ϕ(b))

3) T = Wϕ y N = Nϕ.

Min(1, ϕ(N(a))+ϕ(Wϕ(a, b))) = Min(1, ϕ(N(a))+Max(0, ϕ(a)+ϕ(b)−1) = Min(1,Max(1− ϕ(a), ϕ(b)),

Min(1, ϕ(b) + ϕ(Wϕ(N(a), N(b))) = Min(1, ϕ(b) +Max(0, ϕ(N(a)) +

ϕ(N(b)− 1) = Min(1,Max(ϕ(b), 1− ϕ(a)))

4.5. D-implicacion

En la introduccion de este capıtulo, al hablar de la contrasimetrıa de los

operadores condicionales en retıculos, se hace referencia al operador contra-

simetrico de la flecha de Sasaki, que se conoce como flecha de Dishkant [61].

La extension a teorıas de conjuntos borrosos de este operador da lugar a un

tipo diferente de implicacion borrosa que denominamos implicacion de Diskant

(D-implicacion)

Derivada de la flecha Dishkant : p →D q = q ∨ (¬p ∧ ¬q), este nue-

vo tipo de funciones de implicacion borrosas JD se define por JD(a, b) =

S(b, T (N(a), N(b))).

139

La tabla 4.5 muestra los distintos valores de JD para las combinaciones de

las t-normas y t-conormas basicas con la negacion N = 1− id.

Min Prod W

Max Max(b, 1−Max(a, b)) Max(b, 1− a− b+ ab) Max(b,Max(0, 1− a− b))

Prod* 1 + bMax(a, b)−Min(a, b) 1− a(1− b)2 Prod∗(b,Max(0, 1− a− b))

W* Min(1, 1− a+ b) 1− a+ ab Max(1− a, b)

Tabla 4.4: D-implicaciones

4.5.1. Propiedades

Se estudia a continuacion la forma, total o parcial, en que el operador de

Dishkant satisface las las propiedades de las funciones de implicacion (4.1.1).

Propiedades verificadas para toda T , S y N y todo a, b de [0, 1]

1) JD(a, 1) = 1

2) JD(a, 0) = N(a)

3) JD(1, b) = b

4) Si a1 ≤ a2, entonces JD(a1, b) ≥ JD(a2, b), decreciente en la primera

variable.

Propiedades verificadas parcialmente

5) JD(0, b) = 1 para todo b de [0, 1], si S = W ∗ϕ y N ≥ Nϕ.

6) JD(a, b) = 0 if and only if a = 1 and b = 0

7) La ley de intercambio, JD(a, JD(b, c)) = JD(b, JD(a, c)), se verifica

si (cond. necesaria) S = W ∗ϕ, N ≤ Nϕ.

140

Demostracion. 1), 2), 3), 4) y 5) son inmediatas.

6) Max(b, T (N(a), N(b)) ≤ S(b, T (N(a), N(b))) = 0, de donde b = 0 y

0 = T (N(a), N(0)) = N(a). El recıproco es obvio por 4).

7) With JD(a, b) = Max(b,Min(1 − a, 1 − b)) it is: JD(12, JD(1

4, 0)) = 3

46=

12

= JD(14, JD(1

2, 0)).

Tomando los valores a = c = 0, JD(a, JD(b, c)) = S(b,N(b)), y JD(b, JD(a, c)) =

1. Es decir, S(b,N(b)) = 1 para todo b en [0, 1] que, como es conocido, hace

necesario S = W ∗ϕ y N ≤ Nϕ.

Observese que una condicion suficiente se alcanza en el caso de S = W ∗ϕ, T =

Wϕ yN = Nϕ, ya que entonces JD(a, b) = Max(Nϕ(a), b) es una S-implicacion.

Nota 4.5.1. En general, las funciones JD no son no-decrecientes en la segunda

variable, i.e. si b1 ≤ b2 no siempre JD(a, b1) ≤ JD(a, b2) para cualquier a de

[0, 1]. Por ejemplo, con JD(a, b) = Max(b, 1−Max(a, b)),

0,15 < 0,2, pero JD(0,1, 0,15) = 0,85 > 0,8 = JD(0,1, 0,2)

0,25 < 0,75, y JD(0,5, 0,25) = 0,5 < 0,75 = JD(0,5, 0,75)

Lema 4.5.1. Una condicion necesaria para que JD sea una S-implicacion

J(a, b) = S1(N1(a), b) es S = W ∗ϕ y N = N1 ≥ Nϕ.

Demostracion. Si S(b, T (N(a), N(b))) = S1(N1(a), b), con b = 0, N(a) =

N1(a) para todo a de [0, 1]. Haciendo a = 0, se obtiene S(b, T (1, N(b))) =

S(b,N(b)) = S1(1, b) = 1, por lo tanto S = W ∗ϕ y W ∗

ϕ(b,N(b)) = 1 implican

ϕ−1(1− ϕ(b)) ≤ N(b) para todo b en [0, 1], es decir, Nϕ ≤ N .

Lema 4.5.2. Una condicion suficiente para que JD(a, b) = W ∗ϕ(b, T (N(a), N(b)))

sea una S-implicacion S1(N(a), b) con cualesquiera t-norma T del conjunto de

familias continuas {Min} ∪ F(Prod) ∪ F(W ) es N = Nϕ y T = Tϕ, con el

mismo automorfismo ϕ en ambas que el de S.

141

Demostracion. JD(a, b) = W ∗ϕ(b, T (Nϕ(a), Nϕ(b))) = ϕ−1(Min(1, ϕ(b)+ϕ(T (Nϕ(a),

Nϕ(b))))). Si Tϕ = ϕ−1◦T ◦(ϕ×ϕ), resulta JD(a, b) = ϕ−1(Min(1, ϕ(b)+T (1−ϕ(a), 1− ϕ(b)))). Por lo tanto:

1) Si T = Min, JD(a, b) = ϕ−1Min(1,Min(1−ϕ(a)+ϕ(b), 1)) = W ∗ϕ(Nϕ(a), b).

2) Si T = Prod, JD(a, b) = ϕ−1(Min(1, ϕ(b) + (1 − ϕ(a)).(1 − ϕ(b)))) =

ϕ−1(Min(1, 1−ϕ(a)+ϕ(a).ϕ(b))) = ϕ−1(1−ϕ(a)+ϕ(a).ϕ(b)) = Prod∗ϕ(Nϕ(a), b).

3) Si T = W , JD(a, b) = ϕ−1(Min(1, ϕ(b+Max(0, 1−ϕ(a)+1−ϕ(b)−1)) =

ϕ−1(Min(1,Max(ϕ(b), 1−ϕ(a))) = Max(ϕ−1(1−ϕ(a)), b) = Max(Nϕ(a), b).

4.5.2. mp, mt y mpt condicionalidad de las D-implicaciones

Se exponen a continuacion los teoremas de carcterizacion del comporta-

miento condicional de las D-implicaciones. Las ecuaciones funcionales corres-

pondientes al MP y al MT a resolver son:

T1(a, S(b, T (N(a), N(b)))) ≤ b (4.5.1)

T1(N1(b), S(b, T (N(a), N(b)))) ≤ N1(a) (4.5.2)

Teorema 4.5.3. JD es T1-mp condicional si y solo si existe un automorfismo

de orden ϕ tal que T1 = Wϕ, N ≤ Nϕ y S(b, T (N(a), N(b)) ≤ W ∗ϕ(Nϕ(a), b))

para cualesquiera a, b ∈ [0, 1].

Demostracion.

1) Con b = 0 la ecuacion 4.5.1 se reduce a T1(a,N(a)) ≤ 0, lo que implica

que, necesariamente, T1 = Wϕ y N ≤ Nϕ. Por tanto, la desigualdad del Modus

Ponens toma la forma Wϕ(a, S(b, T (N(a), N(b)))) ≤ b [*].

142

2). La desigualdad [∗] se verifica de inmediato para cualquier a ≤ b. En el

caso que sea a > b tenemos,

Wϕ(a, S(b, T (N(a), N(b)))) ≤ b

ϕ−1(max(0, ϕ(a) + ϕ(S(b, T (N(a), N(b))))− 1)) ≤ b

ϕ−1(ϕ(a) + ϕ(S(b, T (N(a), N(b)))− 1) ≤ b

ϕ(a) + ϕ(S(b, T (N(a), N(b)))− 1 ≤ ϕ(b)

ϕ(S(b, T (N(a), N(b)) ≤ 1− ϕ(a) + ϕ(b)

S(b, T (N(a), N(b)) ≤ ϕ−1(1− ϕ(a) + ϕ(b))

( con a > b) = W ∗ϕ(Nϕ(a), b)

Teorema 4.5.4. JD is (T1, N1)-mt condicional si y solo si existe un automor-

fismo de orden ϕ tal que T1 = Wϕ, N ≤ N1 ≤ Nϕ y S(b, T (N(a), N(b))) ≤W ∗ϕ(N1(a), Nϕ(N1(b))) para todo a, b ∈ [0, 1].

Demostracion.

1) Para a = 1, la desigualdad 4.5.2 se reduce a T1(N1(b), b) = 0, por tanto

T1 = Wϕ y N1 ≤ Nϕ. Tomando ahora b = 0 la inecuacion queda Wϕ(1, N(a) ≤N1(a) lo que lleva a N ≤ N1. En consecuencia, tendremos para la desigualdad

del Modus Tollens la expresion Wϕ(N1(b), S(b, T (N(a), N(b)))) ≤ N1(a)[∗∗]2) La inecuacion [∗∗] se verifica para cualesquiera a ≤ b. Para el caso a > b

tendremos,

Wϕ(N1(b), S(b, T (N(a), N(b)))) ≤ N1(a)

ϕ−1(max(0, ϕ(N1(b) + ϕ(S(b, T (N(a), N(b))))− 1 ≤ N1(a)

(max(0, ϕ(N1(b) + ϕ(S(b, T (N(a), N(b))))− 1 ≤ ϕ(N1(a))

S(b, T (N(a), N(b)) ≤ ϕ−1(ϕ(N1(a)) + 1− ϕ(N1(b)))

( con N1(a) < N1(b))

= W ∗ϕ(N1(a), Nϕ(N1(b))).

143

Corolario 4.5.5. Una condicion suficiente para que JD sea (T1, N1)-mpt con-

dicional es T1 = Wϕ y N ≤ N1 = Nϕ.

Demostracion. La prueba es inmediata a partir del resultado de los teoremas

4.5.3 y 4.5.4.

Nota 4.5.2. La condicionalidad de las D-implicaciones puede demostrarse a

partir de la de las Q-implicaciones aplicando el teorema 4.4.1.

MP-condicional para T1 MT-condicional para (T1, N1)

D-implicacionS(b, T (N(a), N(b)))

T1 = Wϕ, N ≤ Nϕ,S(b, T (N(a), N(b))) ≤W ∗ϕ(Nϕ(N(a)), b).

T1 = Wϕ, N ≤ N1 ≤ Nϕ,S(b, T (N(a), N(b))) ≤

W ∗ϕ(N1(N(a)), Nϕ(N1(b)))

Tabla 4.5: MP y MT condicionalidad de implicaciones.

MPT-condicional para (T1, N1)

D-implicacionS(b, T (N(a), N(b)))

T1 = Wϕ, N ≤ N1 ≤ Nϕ,S(b, T (N(a), N(b)))) ≤ Min(W ∗ϕ(Nϕ(N(a)), b),W ∗ϕ(N1(N(a)), Nϕ(N1(b)))

Tabla 4.6: MPT-condicionalidad de las D-implicaciones

4.5.3. Contrasimetrıa de las D-Implicaciones

Por ultimo estudiamos el comportamiento de las D-implicaciones en rela-

cion con la auto-contrasimetrıa.

Lema 4.5.6. La condicion necesaria para JD = JN1D es S = W ∗

ϕ y Nϕ ≤ N =

N1, para cualquier automorfismo ϕ.

Demostracion. Tomando b = 1 la igualdad pedida es JD(a, 1) = S(1, T (N(a), 0) =

1 = JN1D (a, 1) = JD(0, N1(a)) = S(N1(a), T (N(N1(a)), 1), lo que lleva a S =

W ∗ϕ y N ≥ Nϕ.

144

Sustituyendo en la igualdad tendremos,

W ∗ϕ(b, T (N(a), N(b)))) = W ∗

ϕ(N1(a), T (N(N1(a)), N(N1(b)))) (4.5.3)

Tomando en esta igualdad el valor a = 1 se obtiene b = N(N1(b)), por tanto

N ◦N1 = id, y N = N1.

Con estas condiciones la igualdad 4.5.3 se reduce a

W ∗ϕ(b, T (N(a), N(b)))) = W ∗

ϕ(N(a), T (a, b)) (4.5.4)

Lema 4.5.7. Una condicion suficiente para que se verifique la igualdad 4.5.4

es T = Tϕ y N = Nϕ.

Demostracion. Este lema es identico al 4.4.7 y por tanto su demostracion

tambien.

Capıtulo 5

Razonamiento disyuntivo

La Regla Composicional de Inferencia Borrosa es una generalizacion del

Modus Ponens a las teorıas de conjuntos borrosos, se utiliza por tanto en razo-

namientos de tipo condicional. Pero, hay otros tipos de razonamiento clasico

como el modo disyuntivo que, en general, viene dado por el esquema si a o b

y no a, entonces b, que creemos, tambien merecen ser estudiados en logica

borrosa.

La idea central de este capıtulo es motivar el estudio del esquema razo-

namiento disyuntivo, o modo disyuntivo, al menos en alguna de sus formas,

tanto en las estructuras algebraicas reticulares como en las teorıas de conjuntos

borrosos.

Comienza el capıtulo por una introduccion del elemento primordial de la

regla de inferencia disyuntiva: la disyuncion en sus dos formas, inclusiva y

exclusiva. A continuacion se expone un catalogo de usos linguısticos de la

disyuncion, con el objeto de mostrar que un modelo que se aproxime al lenguaje

deberıa contemplar variabilidad de grado entre el caracter inclusivo y exclusivo

de la disyuncion.

La seccion central se dedica al estudio de diferentes maneras de representar

un operador de disyuncion. En consonancia con nuestra metodologıa se parte

de la definicion booleana y sus propiedades de obligado cumplimiento en el res-

to de las estructuras estudiadas a fin de satisfacer el principio de conservacion

clasico.

145

146

En las algebras ortomodulares hay seis polinomios diferentes para represen-

tar la diferencia simetrica en el sentido de verificar las propiedades booleanas

de la misma. Tomando estos polinomios coma base, se estudian sus propie-

dades en diferentes estructuras algebraicas, y, como resultado, se obtiene un

conjunto de teoremas de caracterizacion de algunas de estas, que se resumen

en el apartado 5.2.6. Destacaremos el ultimo de dichos teoremas que caracte-

riza las algebras de Boole a partir de la propiedad asociativa de la diferencia

simetrica, por cuanto la asociatividad es una propiedad muy util a la hora de

extender una operacion binaria a un mayor numero de variables.

En la seccion 5.3 y siguientes se extienden los operadores + y ∆ a las

teorıas de conjuntos borrosos. En concreto, cuatro modelos de operadores de

diferencia simetrica ( Sec. 5.3.2, 5.3.3, 5.3.4 y 5.3.5). Las ecuaciones funcionales

correspondientes dan soluciones en teorıas estandar y Pexider.

En la ultima parte del capıtulo retomamos el concepto de modo disyuntivo

a la luz de las propiedades descritas para + y la diferencia simetrica. En primer

lugar se estudia la analogıa entre el razonamiento condicional del capıtulo 4 y

el disyuntivo en el caso de las algebras de De Morgan y los retıculos ortomo-

dulares. Entre los resultados mostrados en este capıtulo se destaca un nuevo

teorema de caracterizacion de las algebras de Boole (5.4.3). Finalmente se es-

tudian las soluciones borrosas de ecuaciones funcionales en correspondientes a

un modelo inclusivo formalizado con una t-conorma y dos exclusivos con dos

modelos de operadores diferencia simetrica.

Antes de entrar en el estudio del modo disyuntivo propiamente dicho este

capıtulo se dedica al estudio de tres aspectos fuertemente ligados al mismo: el

uso de la disyuncion en el lenguaje; el estudio, tanto en estructuras algebraicas

como teorıas de conjuntos borrosos, de los modelos logicos de la disyuncion in-

clusiva y exclusiva, haciendo especial hincapie en las propiedades del operador

diferencia simetrica [7] [15] [89] [99] [27] en diferentes estructuras algebraicas

y en conjuntos borrosos, cuyo estudio ofrece algunos resultados originales.

147

5.1. La disyuncion en el lenguaje, usos del ‘o’

La palabra ‘o’ es una entidad del lenguaje, un enlace gramatical coordi-

nante con valor disyuntivo o valor explicativo segun la nueva definicion de la

gramatica del espanol (de paso evita en la logica el equıvoco del uso de la an-

tigua denominacion ‘conjuncion coordinante’ ). La busqueda de formalismos

logicos disyuntivos no es otra cosa que intentos de formalizar el uso de esta pa-

labra en el lenguaje, de la forma en que esta palabra ‘conecta’ otros elementos

del lenguaje para dar lugar a distintos significados.

En el lenguaje podemos encontrar diferentes usos, pero no en el sentido

polisemico sino en el del diferente significado que adquiere en las distintas

frases que se construyen con una disyuncion. Es obvio que el uso linguıstico

difiere del uso logico, entre otros motivos porque el uso mas habitual en logica,

y el de lejos mas estudiado, es el inclusivo, mientras que en el lenguaje el o

es ordinariamente exclusivo; de hecho el inclusivo suele expresarse de modo

explıcito con el termino y/o o similar. En la primera parte de este capıtulo

mostraremos algunos ejemplos de usos de la disyuncion reproducidos de los

que el diccionario utiliza para elucidar tales usos. La lista no es exhaustiva -

serıa vana pretension-, pero da una idea de la diversidad con la que se encuentra

quien aborde problemas de significado en el lenguaje aunque sea sobre terminos

simples.

En este capitulo se aborda la disyuncion y sus propiedades aproximandose a

su uso linguıstico, acotando el significado dentro de estructuras formales con el

objeto de hallar relaciones entre dicho uso y las propiedades de las estructuras.

5.1.1. Algunos usos del o en lenguaje comun

Se exponen a continuacion ejemplos de uso y sus significados (aproximados)

extraıdos del diccionario. Encontramos el uso de la disyuncion agrupado segun

tres acepciones generales.

La primera acepcion gramatical, que podemos denominar como uso disyun-

tivo propiamente dicho, tiene a su vez dos usos bien diferenciados: el inclusivo

y el exclusivo. El primero se corresponde con el uso habitual que en logica se

hace de la conectiva o, y el segundo corresponde a la conectiva o exclusivo

[42]. Ya sabemos que en logica el primero es ampliamente mas utilizado que el

148

segundo. Por el contrario, en el lenguaje la situacion es muy distinta, salvo que

se refuerce el sentido inclusivo, la intencion de la disyuncion es marcadamente

exclusiva. La diferencia entre ambos extremos suele estar explıcita gramatical-

mente, se usa la o indistintamente, es el contexto de la frase y el significado

mas o menos opuesto o contradictorio de los terminos de la disyuncion lo que

indica la intencion.

La segunda acepcion confiere a la frase que lo incorpora un significado

de tipo descriptivo o explicativo; la tercera es de tipo consecutivo o causal y

recuerda de inmediato la relacion entre la disyuncion y el condicional material

clasico; por ejemplo, la frase ‘no bebas mucho o no podras conducir’ se utiliza

en forma equivalente a ‘si bebes mucho, entonces no podras conducir’.

Los ejemplos linguısticos muestran, ademas, que el grado de inclusion o ex-

clusion de una disyuncion es variable. Ası, la oposicion inclusivo-exclusivo no es

radical, hay frases en la que el significado tiene una valoracion intermedia entre

ambos, veremos ejemplos de esto. Por ultimo, la disyuncion linguıstica no es en

general monotona, conmutativa o idempotente. En algunos de los ejemplos que

siguen se puede observar que un cambio en el orden de los terminos cambia el

sentido global, en especial en aquellos en los que la frase tiene un cierto sentido

consecutivo, p.ej. no es igual “Te callas o me marcho” que “Me marcho o te

callas”. En ocasiones la repeticion de un termino en una disyuncion enfatiza, y

puede tener caracter imperativo, p.ej. despues de un repertorio de estrategias

ad hoc perfectamente inutiles decimos al nino “¡O comes o comes!”

5.1.2. Ejemplos linguısticos

Disyuntivo alternativo, exclusivo

Conecta diferentes posibilidades. Indica una posible alternativa:

El agua, ¿la quieres frıa o caliente?

Tarde o temprano se enterara

Cuando hay mas de dos terminos se escribe antes del ultimo termino de la

serie:

Lo tiene Juan, Luis, o Pedro

149

Puede usarse en un sentido de indiferencia o intercambiabilidad:

Se coge un vaso de agua o de cualquier otro lıquido.

Cuando se quiere expresar un refuerzo de la exclusion se emplea repetida-

mente:

O te callas o me marcho

La exclusion se refuerza tambien por la oposicion de los terminos:

Un numero natural es par o impar

Disyuntivo y/o (o logico)

Para expresar una disyuncion inclusiva, es decir uno, otro o ambos, equivale

a ‘tanto...como’:

Gozne: Dispositivo articulado con el que se sujetan al marco puertas

o [y] ventanas.

En la guerra o en la paz su vida es siempre una lucha

Descriptivo con incertidumbre y/o imprecision

Tiene dos o tres

¿La cita es el jueves o el viernes?

Vive en Murcia o en los alrededores

Descriptivo de cambio o correccion

Expresa una modificacion de lo anterior:

Vinieron todos o casi todos

Explicativo (o sea)

Se usa para explicar o acotar una palabra o frase:

El emperador, o pez espada, es muy sabroso

Francisco, o Pancho para sus amigos, esta enfermo

150

Consecutivo, si no

En este caso se usa como enlace entre frases con el significado de ‘si no’:

Conduce con cuidado o tendras un disgusto

Consecutivo causal

Debe gustarle mucho o no hubiera pagado tanto

5.1.3. O inclusivo: Disyuncion y disyuncion debil

Despues de revisar algunos de los usos linguısticos del o es facil comprender

que los modelos clasicos del los conectivos, de la disyuncion en este caso, son

muy rıgidos. Deberemos buscar modelos mas flexibles, no conmutativos, no

idempotentes, no monotonos, etc. En los apartados que siguen se estudian

propiedades que caracterizan de los operadores de disyuncion inclusiva debiles

[31] y [94]) y o exclusivo con el proposito de aproximar modelos que representen

algunas de las caracterısticas linguısticas descritas.

Comencemos por introducir el concepto de relacion derivada de, o inducida

por, un operador.

5.1.4. Relacion producida por un operador

Definicion 5.1.1. Dado un universo X y una operacion binaria ∗ : X ×X →X, la ∗-relacion Rl

∗ derivada de la operation ∗ por la izquierda se define por

Rl∗ = {(a, b) ∈ X ×X; existe un c ∈ X, tal que, a = b ∗ c} (5.1.1)

o su equivalente

∀ a, b ∈ X : (a ∗ b, a) ∈ Rl∗ (5.1.2)

La ∗-relacion Rr∗ derivada de la operacion ∗ por la derecha se define por

Rl∗ = {(a, b) ∈ X ×X; existe un c ∈ X, tal que, a = c ∗ b}

o de manera equivalente

∀ a, b ∈ X : (a ∗ b, b) ∈ Rr∗.

151

Lema 5.1.1. Cuando la operacion ∗ es conmutativa, las relaciones Rl∗ y Rr

∗producidas por ∗ son identicas, y se denotan por R∗ = Rl

∗ = Rr∗.

Lema 5.1.2. Si la operacion ∗ es asociativa y verifica que para cada a ∈ Xexiste un e ∈ X tal que a = a ∗ e (alt. a = e ∗ a), entonces Rl

∗ (alt. Rr∗) es un

preorden. (Ver demostracion en [41])

Veamos algun ejemplo,

Ejemplo 5.1.1. L es el retıculo ([0, 1],≤), con el orden usual. T es una t-norma

continua en L.

T produce el orden ≤. En efecto, si dados a, b de [0, 1] se encuentra un

elemento c de [0, 1] que cumple a = T (b, c), entonces a ≤ b. Es decir, todo par

que pertenece a la relacion RT pertenece a ≤, simbolicamente, RT ⊂≤.

Tambien sucede lo contrario, si a ≤ b, es verdad que para cualquier t-norma

continua T existe un c de [0, 1] que cumple a = T (b, c). En efecto, si

T = mın, con c = a, es a = mın(b, c)

T = Prodϕ, con c = ϕ−1(ϕ(a)ϕ(b)

)es a = Prodϕ(b, c).

T = Wϕ, con c = ϕ−1(1 + ϕ(a)− ϕ(b)) es a = Wϕ(b, c).

Es decir, todo par que pertenece a la relacion ≤ pertenece a RT , simboli-

camente, ≤ ⊂ RT .

La conclusion del ejemplo es, por lo tanto, que la relacion generada por una

t-norma continua T y la relacion ≤ coinciden, (fig. 5.1.1)

De un modo analogo se encuentra que la relacion generada por una t-

conorma continua S coincide con la relacion ≥ (fig 5.1.1).

152

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

RT ≤

Figura 5.1:

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

RS R≥

Figura 5.2:

Definicion 5.1.2. [94] En el conjunto [0, 1] dotado de un orden parcial ≤, se

dice que una operacion binaria ∗ : [0, 1]× [0, 1]→ [0, 1] es una:

conjuncion si ≤ = R∗, conjuncion debil si ≤ ⊂ R∗;

disyuncion si ≥ = R∗, disyuncion debil si ≥ ⊂ R∗.

donde R≥ es la relacion de orden inverso, i.e. (x, y) ∈ R≥ ⇔ x ≥ y.

El siguiente ejemplo muestra un caso de disyuncion debil.

153

Ejemplo 5.1.2. En el retıculo L con la operacion dual de la media geometrica,

(fig. 5.1.2) dmg(x, y) = 1 −√

(1− x).(1− y). La relacion generada por esta

operacion es: (a, b) ∈ Rdgm si ∃ c = a2

b∈ [0, 1]; a = 1 −

√(1− b).(1− c) ⇔

a2 ≤ b

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Rdgm R≥

Figura 5.3:

Segun se observa en la figura, R≥ ⊂ Rdmg, en consecuencia dmg es una

disyuncion debil en ([0, 1],≤),

Veamos, por ultimo, un ejemplo de operacion que no es disyuncion.

Ejemplo 5.1.3. Consideremos la operacion media aritmetica en L (5.1.3), la

relacion generada es: (a, b) ∈ Ram si ∃ c = 2a− b ∈ [0, 1]; a = b+c2⇔ b

2≤ a ≤

b2

+ 12.

La representacion grafica de ambas relaciones muestra que R≥ * Rma y

Rma * R≥, y, por lo tanto, la media aritmetica no es una disyuncion debil en

(L,≤)

154

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

R≥ Rma

Nota 5.1.1. En un retıculo (L,≤, ·,+), el operador · es una conjuncion, y el

operador + es una disyuncion, ya que para todo x, y ∈ L, x = x · y o y =

x + y equivale a x ≤ y y, en consecuencia, sucede que R· = ≤ y R+ =

≥. La definicion 5.1.2 es generalizable de modo que un operador ∗ es una

conjuncion/conjuncion debil en L si la relacion R∗ es igual/contiene la relacion

≤ (analogamente para disyuncion/disyuncion debil).

Por ejemplo, en el retıculo booleano de tres atomos la operacion ∗ definida

por x ∗ y = x · y′ + x′ · y es una conjuncion debil y una disyuncion debil

simultaneamente, segun se pone de manifiesto en la figura

NO modular

1

0

a b c

a’ b’

c’

0

a

b

c

a’

1

1

c’

c’ b’ a’ c b a

b’

0

a

b

c

a’

1

1

c’

c’ b’ a’ c b a

b’

Alg. de Boole 23 R≤ R∗

155

5.1.5. Modelos coherentes

En el capıtulo 3 se ha hablado sobre como la necesidad de comparar enun-

ciados lleva a establecer algun tipo de funcion de calificacion de los mismos. En

general esta calificacion vendra dada por la funcion de asignacion de verdad

T .

Sea E un conjunto de enunciados. Dados dos enunciados cualesquiera p, q

de E, p|q representa el enunciado ‘p o q ’ de E.

Sea (L,≤) un poset con cuyos elementos representaremos grados (o valores)

de verdad de las afirmaciones.

T : E → L es una funcion de asignacion de verdad; para cualquier p ∈ E el

elemento T (p) ∈ L representa cuan ‘verdadero’ es p. Dados dos enunciados p, q

sucede que o bien T (p) S T (q) lo que representa que q es menos, igual o mas

‘verdadero’ que p, o bien que T (p) y T (q) no son comparables con el orden

≤. Es importante senalar que T es una funcion arbitraria, el valor de verdad

de los diversos enunciados se obtiene de la informacion del problema concreto

que se este tratando, no olvidemos que, como se afirma en otra parte de este

trabajo, la teorıa de conjuntos borrosos es fundamentalmente una cuestion de

diseno.

Definicion 5.1.3. Diremos que la asignacion T es coherente con la disyuncion

| si

T (p|q) ≥ T (p) y T (p|q) ≥ T (q)

.

Si (L,≤,∨) es un semi-retıculo para la union [17], entonces la condicion

anterior es equivalente a

T (p|q) ≥ T (p) ∨ T (q)

Nota 5.1.2. En logica borrosa es habitual suponer que la asignacion de valores

de verdad a los enunciados de la forma (p|q) es funcionalmente expresable

mediante una funcion G : [0, 1]× [0, 1]→ [0, 1], tal que

T (p|q) = G(T (p), T (q))

156

Un caso particular de G son las t-conormas S : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1], que

para cualquier asignacion de verdad T verifican

T (p|q) = S(T (p), T (q)) ≥ max(T (p), T (q)).

5.2. Diferencia simetrica

5.2.1. Diferencia simetrica clasica (booleana)

En el algebra de Boole de los subconjuntos de X, (P (X),∩,∪,c ), la dife-

rencia simetrica de dos subconjuntos A y B, A∆B, es el subconjunto de los

elementos de X que pertenecen a A o B pero no a ambos a la vez.

A∆B = {x ∈ X; x ∈ A o x ∈ B y x /∈ A ∩B}

Las dos formulas booleanas equivalentes que se utilizan habitualmente son,

A∆B = (A ∪B) ∩ (A ∩B)c (5.2.1)

A∆B = (A ∩Bc) ∪ (Ac ∩B) (5.2.2)

La primera de las igualdades evidencia tambien que ∆ el complemento relativo

de la interseccion de dos subconjuntos respecto de la union de los mismos.

La diferencia simetrica ∆ verifica las propiedades siguientes en un algebra

de Boole,

1. A∆A = ∅

2. A∆∅ = A

3. A∆X = Ac

4. A∆B = A ∪B si A ∩B = ∅.

∆ se puede expresar tambien por medio de la operacion diferencia de conjuntos

\ : P (X)×P (X)→ P (X), que se define como A\B = {x ∈ X; x ∈ A, x /∈ B}.(Nota: en algunos textos la diferencia de conjuntos se expresa por A−B).

Con esta operacion, ∆ se puede formular tambien del modo siguiente:

A∆B = (A ∪B)\(A ∩B) = (A\B) ∪ (B\A).

157

La diferencia simetrica se comporta como una metrica generalizada en el

conjunto P (X) con el orden parcial ⊆. En efecto, las propiedades siguientes se

prueban facilmente a partir de las enunciadas arriba.

(i) A∆A = ∅

(ii) A∆B = B∆A

(iii) (A∆B) ∪ (B∆C) ⊇ (A∆C).

Se propone a continuacion, como paso previo a su estudio en la teorıa

de conjuntos borrosos, un estudio mas detallado de la diferencia simetrica en

retıculos, y sus propiedades en los casos de orto-retıculos, retıculos ortomodula-

res y algebras de De Morgan, ası como su relacion con las algebras de Boole. Se

expondran dos nuevos teoremas de caracterizacion de la booleanidad basados

en las propiedades de la diferencia simetrica [72]

5.2.2. Diferencia simetrica en retıculos

En un retıculo L con una negacion involutiva (fuerte), ′ : L→ L, se define

la aplicacion:

∆ : L× L→ L, tal que

∆(a, b) = (a+ b)(a · b)′, (5.2.3)

que es la expresion algebraica que se corresponde con la definicion booleana

5.2.1 de la diferencia simetrica.

La operacion ∆ verifica las propiedades siguientes:

1. ∆(a, a) = a · a′

2. ∆(a, 0) = a

3. ∆(a, 1) = a′

4. ∆(a, b) = ∆(b, a)

5. ∆(a, b) = ∆(a+ b, a · b)

6. a · b ≤ ∆(a, b)′, y ∆(a, b) ≤ a+ b

158

7. Si a ≤ b, entonces ∆(a, b) = b · a′.

8. ∆(a, b) = 1 si y solo si a+ b = 1 y a · b = 0,

para todo a, b de L. La demostracion de cada propiedad es inmediata.

Teorema 5.2.1. Si el retıculo L verifica la dualidad:

1. ∆(a′, b′) = ∆(a, b) = (a+ b) · (a′ + b′)

2. ∆(a, a′) = a+ a′

3. ∆(a, b′) = ∆(a′, b) = (a′ + b) · (a+ b′)

4. ∆(a, b′) = a′ · b′ + a · b

Demostracion. Inmediata a partir de la definicion de ∆

Es importante senalar que aunque la diferencia simetrica es asociativa en las

algebras de Boole, el operador definido no lo es en todos los casos. Considerese

el caso, por ejemplo, que N sea una negacion fuerte en [0, 1], existe un xn

(punto fijo de la negacion) que verifica N(xn) = xn. Si ∆ fuese asociativa

tendrıamos para la propiedad 3 (pag.156)

1 = ∆(0, 1) = ∆(∆(xn, xn), 1) = ∆(xn,∆(xn, 1)) = ∆(xn, N(xn)) = ∆(xn, xn) = 0,

que es una contradiccion. Esta propiedad, como se vera mas adelante, guarda

una estrecha relacion con la booleanidad.

La expresion (5.2.3) no verifica dicha propiedad, esta se verifica en los

orto-retıculos. Ademas, como muestra el teorema siguiente esta propiedad ca-

racteriza los orto-retıculos dentro del grupo mas general de los retıculos con

negacion.

Teorema 5.2.2. Un retıculo con negacion es complementado (orto-complementado

si la negacion es fuerte) si y solo si ∆(a, a) = 0 o ∆(a, a′) = 1

Demostracion. En un retıculo complementado es inmediato ∆(a, a) = 0 y

∆(a, a′) = 1.

159

Por el contrario, supuesto que ∆(a, a) = 0, (a + a) · (a · a)′ = a · a′ = 0,

ley NC. Ademas a + a′ ≥ a y a + a′ ≥ a′, luego (a + a′)′ ≤ a · a′, es decir

a+ a′ ≥ (a · a′)′ = 1, ley TE.

La prueba para ∆(a, a′) = 1 es analoga.

Por lo tanto la propiedad 1. de la definicion (5.2.3) ahora es ∆(a, a) = 0 y

el operador ∆ traslada a los orto-retıculos las propiedades 1, 2 y 3 booleanas

de (5.2.1). En este sentido puede ser considerada con mas propiedad como

funcion de diferencia simetrica que en el caso anterior.

5.2.3. Diferencia simetrica en retıculos ortomodulares

Daremos en primer lugar un teorema de caracterizacion de de los retıculos

ortomodulares dentro del conjunto de los orto-retıculos.

Teorema 5.2.3. Un orto-retıculo es ortomodular si y solo si a + b = a · b +

∆(a, b).

Demostracion.

1) a ·b ≤ a+b y, por tanto, en un ortomodular a+b = a ·b+(a+b) ·(a ·b)′ =a · b+ ∆(a, b).

2) Supuesto que en un orto-retıculo se cumple a + b = a · b + ∆(a, b), de

a ≤ b sigue b = a+ b · a′.

El teorema muestra que en retıculos ortomodulares (caracterizados por la

existencia del complemento relativo de a en b, si a ≤ b) la diferencia simetrica

de a y b es precisamente el complemento relativo de la interseccion a · b en la

union a+ b.

Ademas del operador ∆ existen otros cinco polinomios ortomodulares [?]

que verifican las propiedades 1, 2 y 3 de la pag. 157, esto es, son operadores

de diferencia simetrica, de los que el primero, ∇, es conmutativo y el resto son

no conmutativos:

∇(a, b) = a · b′ + a′ · b

∆73(a, b) = (a+ b) · (a′ + a · b′)

160

∆57(a, b) = (a+ b) · (b′ + a′ · b)

∆25(a, b) = (a′ + b′) · (a+ a′ · b)

∆41(a, b) = (a′ + b′) · (b+ a · b′)

La notacion ∇ esta tomada de un texto de G. Dorfer [27], y los subındices

corresponden al numero del polinomio ortomodular del texto de L. Beran.

Es facil probar que los seis polinomios ortomodulares son diferentes, por

ejemplo, en el retıculo ortomodular Linterna china, si x = a e y = b, ∆ = 1,

∇ = 0, ∆73 = a′, ∆57 = b′, ∆25 = a, y ∆41 = b. En el mismo retıculo es

inmediato comprobar la no conmutatividad de los operadores, por ejemplo

∆73(a, b) = a′ mientras que ∆73(b, a) = b′.

Los cinco operadores verifican el teorema 5.2.2, es decir caracterizan los

retıculos complementados dentro del conjunto de los retıculos con negacion.

Por ejemplo, de ∆73(a, a) = 0, se sigue 0 = ∆73(a, a) = (a+a)·(a′+a·a′) = a·a′,luego ′ es un complemento.

Se muestran a continuacion otras propiedades interesantes de las funciones

de diferencia simetrica en los retıculos ortomodulares.

Teorema 5.2.4. En un retıculo ortomodular, ∆(a, b) = 0 si y solo si a = b.

Demostracion.

1) ∆(a, a) = 0.

2) En el supuesto que ∆(a, b) = 0, del teorema 5.2.3 se sigue a + b =

a · b+ 0 = a · b que equivale a a = b.

Este teorema muestra que la propiedad 1 es mas estricta en los ortomodu-

lares: solo vale cero si los objetos coinciden.

En este punto cabe hacer una pregunta: ¿Hay estructuras no booleanas

diferentes de las ortomodulares en las que alguno de los seis polinomios de

diferencia simetrica coincidan? El teorema siguiente responde negativamente

a la vez que propone una caracterizacion de las algebras de Boole a partir de

los retıculos ortomodulares.

Teorema 5.2.5. Un retıculo ortomodular es un algebra de Boole, si y solo si

∆(a, b) = ∇(a, b).

161

Demostracion.

1) En un algebra de Boole la igualdad del teorema es inmediata.

2) Se supone ∆(a, b) = a · b′ + a′ · b.De a · b′ ≤ a + b′ se sigue (a + b′)′ ≤ (a · b′)′ y, por la ley ortomodular,

(a·b′)′ = (a+b′)′+(a·b′)′·(a+b′) = (a+b′)′+∆(a, b′) = a′·b+a′·b′+a·b ≤ b+a′·b′.Por otra parte, (a · b′)′ = a′ + b ≥ a′ · b′ + b.

En consecuencia (a · b′)′ = b + a′ · b′, igualdad que, como se ha demos-

trado en el teorema 4.2.17, caracteriza las algebras de Boole en los retıculos

ortomodulares..

Algunos de los resultados mostrados en el capıtulo sugieren la pregunta

de si este teorema tendrıa validez en estructuras mas debiles que los retıculos

ortomodulares. El ejemplo siguiente muestra que la respuesta es negativa:

En el orto-retıculo no ortomodular hexagonal (fig.5.4), la igualdad ∆(a, b) =

∇(a, b) se verifica para todo a, b. 1 b’ a’ a b 0 Figura 5.4: Retıculo hexagonal

5.2.4. La diferencia simetrica en algebras de De Morgan

El teorema de caracterizacion de las algebras de Kleene que se obtiene como

resultado en este apartado proviene del estudio del comportamiento de los seis

polinomios ortomodulares en el ambito de las algebras de De Morgan. En el

estudio de la diferencia simetrica, al analizar las propiedades de la misma en

las algebras de De Morgan se encontraron los dos casos siguientes:

162

primer caso

En el algebra de Kleene ([0, 1],mın,max, 1 − id) los seis polinomios son

equivalentes entre sı. Para los ∆ y ∆73, un calculo rutinario muestra que

∆(a, b) = mın(max((a, b),max(1− a, 1− b))) =

∆73(a, b) = mın(max((a, b),max(1− a,mın(a, 1− b)))) =

b, si a ≤ b, a ≤ 1− b y b ≤ 1− bb, si a ≤ b, a ≤ 1− b y b ≥ 1− b1− a, si a ≤ b, a ≥ 1− b y b ≤ 1− b1− a, si a ≤ b, a ≥ 1− b y b ≥ 1− ba, si a ≥ b, a ≤ 1− b y b ≤ 1− ba, si a ≥ b, a ≤ 1− b y b ≥ 1− b1− b, si a ≥ b, a ≥ 1− b y b ≤ 1− b1− b, si a ≥ b, a ≥ 1− b y b ≥ 1− b

Para el resto de las equivalencias entre los polinomios ortomodulares se

procede analogamente con identico resultado.

segundo caso

El retıculo ({0, a, b, 1}, ·,+, ′) de la figura 5.5 con la negacion fuerte 0′ = 1,

1′ = 0, a′ = a y b′ = b es un algebra de De Morgan pero no es un algebra

de Kleene, en efecto, a · a′ = a � b = b+ b′.

Los valores que toman los polinomios ortomodulares de diferencia simetrica

para el par a, b son:

. ∆(a, b) = 1

. ∇(a, b) = 0

. ∆73(a, b) = a′

. ∆57(a, b) = b′

. ∆25(a, b) = a

163

a b

1

0

Figura 5.5: Algebra de De Morgan

. ∆41(a, b) = b

Estos resultados se generalizan en el siguiente teorema:

Teorema 5.2.6. Un algebra de De Morgan L es un algebra de Kleene si y

solo si los seis polinomios canonicos ortomodulares de diferencia simetrica son

equivalentes para todo par de objetos de L.

Demostracion. El teorema se demuestra caso a caso para cada par de polino-

mios.

caso 1: ∆(a, b) = (a+ b)(a′ + b′) y ∇(a, b) = ab′ + a′b

Hipotesis: L es un algebra de Kleene.

∆(a, b) = (a+ b)(a′ + b′) = aa′ + ab′ + a′b+ bb′ (*). De la ley de Kleene se

sigue,

(∗) ≤ a+a′+ab′+a′b+a+a′ = a+a′ y, analogamente, (∗) ≤ b+ b′, luego,

∆(a, b) ≤ (a+a′)(b+ b′) y de la regularidad, ∆(a, b) = ∆(a, b)(a+a′)(b+ b′) =

(a+ b)(a′ + b′)(a+ a′)(b+ b′) = ab′ + a′b = ∇(a, b).

Hipotesis: ∆ = ∇.

De (a+b)(a′+b′) = aa′+ab′+a′b+bb′ = ab′+a′b se sigue aa′+bb′ ≤ ab′+a′b,

y de aquı aa′ ≤ aa′ + bb′ ≤ ab′ + a′b ≤ b+ b′, que es la ley de Kleene.

164

caso 2: ∆(a, b) = (a+ b)(a′ + b′) y ∆73(a, b) = (a+ b)(a′ + ab′)


∆73(a, b) = (a + b)(a′ + ab′) = (a + b)(a′ + b′)(a + a′)(?) =(distributiv. y

regularidad) = aa′ + ab′ + a′b (??).

Ademas, la ley de Kleene en (?) lleva a (a+ b)(a′ + b′)(a+ a′) =

(a + b)(a′ + b′)[(a + a′) + bb′] = (a + b)(a′ + b′)(a + a′) + (a + b)(a′ + b′)bb′ =

(a+ b)(a′ + b′)(a+ a′) + bb′, es decir,

∆73(a, b) = ∆73(a, b) + bb′ = (de (??)) =aa′ + ab′ + a′b+ bb′ = ∆(a, b).

Hipotesis:∆ = ∆73

Con las expresiones (∗) y (??), de la hipotesis sigue aa′ + ab′ + a′b+ bb′ =

aa′ + ab′ + a′b, luego bb′ ≤ aa′ + ab′ + a′b ≤ a+ a′.

caso 3: ∆73(a, b) = (a+ b)(a′ + ab′) y ∆57(a, b) = (a+ b)(b′ + a′b)


∆73(a, b) = (a + b)(a′ + ab′) = aa′ + ab′ + a′b (??), un calculo analogo nos

da ∆57(a, b) = (a+ b)(b′ + a′b) = (/).

De la ley de Kleene se sigue de inmediato que aa′ = aa′(b + b′) y bb′ =

bb′(a+ a′), estas expresiones sustituidas en (??) y (/), llevan de inmediato a

∆73(a, b) = aa′(b+ b′) + ab′ + a′b = aa′b+ aa′b′ + ab′ + a′b = ab′ + a′b, y

∆57(a, b) = bb′(a+ a′) + ab′ + a′b = bb′a+ bb′a′ + ab′ + a′b = ab′ + a′b.

(Lo que, de paso, muestra la equivalencia de ambos con ∇.)

Hipotesis: ∆73 = ∆57.

Con las expresiones (??) y (/) en la hipotesis se sigue

aa′ ≤ aa′ + ab′ + a′b = bb′ + ab′ + a′b ≤ b+ b′.

Los restantes casos son simplemente la combinacion de alguno de los ex-

puestos.

Este teorema es una nueva caracterizacion da las algebras de Kleene en el

conjunto de las algebras de De Morgan.

165

5.2.5. La propiedad asociativa de la diferencia simetrica

La diferencia simetrica no es, en general, asociativa en los orto-retıculos. Por

ejemplo, en el orto-retıculo hexagonal (fig. 5.4) es ∆(a,∆(a, b′)) = a mientras

que ∆(∆(a, a), b′) = b′.

Tampoco lo es, en general, en los ortomodulares, por ejemplo, en el retıculo

Linterna china, ∆(a,∆(b, a′)) = a′ y ∆(∆(a, b), a′) = a. En esta seccion se

estudia el comportamiento asociativo de la diferencia simetrica para diferentes

estructuras, y, entre otros, se obtiene como resultado una nueva caracterizacion

de las algebras de Boole

Teorema 5.2.7. En un algebra de De Morgan L, los 6 operadores de dife-

rencia simetrica, ∆,∇, ∆73,∆57,∆25, y ∆41 verifican la propiedad asociativa

asociativa si y solo si el L es un algebra de Kleene.

Demostracion.

1) Supongamos que ∆ es asociativa. De ∆(a,∆(b, b)) = ∆(a, b · b′) = aa′ +

ab+ ab′ + bb′, y ∆(∆(a, b), b) = ∆(a′b+ ab′, b) = ab+ ab′ + bb′, se sigue:

aa′ + ab+ ab′ + bb′ = ab+ ab′ + bb′,

y

aa′ ≤ ab+ ab′ + bb′ ≤ b+ b′,

para todo a, b. Por lo tanto L es un algebra de Kleene.

2) Recıprocamente, si L es un algebra de Kleene, a · a′ · (b + b′) = a · a′,y b · b′ · (a + a′) = b · b′, para todo a, b. De aquı y tras un calculo un tanto

farragoso se obtiene:

∆(a,∆(b, c)) = ∆(∆(a, b), c) = a·a′+b·b′+c·c′+a·b′ ·c′+a′ ·b·c′+a′ ·b′ ·c+a·b·c.

La demostracion para los otros cinco operadores es del todo analoga.

Este teorema proporciona una re-definicion de las algebras de Kleene.

Los corolarios siguientes son sobradamente conocidos, se exponen desde el

punto de vista que proporciona el teorema.

166

Corolario 5.2.8. En el algebra de De Morgan ([0, 1],mın,max, 1− id), ∆ es

asociativa.

Demostracion. Este conocido resultado [7] se obtiene ahora partiendo de la

propiedad mın(x, 1− x) ≤ max(y, 1− y) para todo x, y de [0, 1]..

Nota 5.2.1. Es obvio que si J ⊂ [0, 1] es cerrado para mın,max y 1 − id,

entonces

(J,mın,max, 1− id) es un algebra de De Morgan con ∆ asociativa.

Corolario 5.2.9. En un algebra de Boole, ∆ es asociativa.

Demostracion. Otro resultado bien conocido, que ahora se sigue de a · a′ =

0 < 1 = b+ b′.

Teorema 5.2.10. Un retıculo ortomodular es un algebra de Boole si y solo si

∆ es una operacion asociativa

Demostracion.

1) En un algebra de Boole ∆ es asociativa (corolario 5.2.9).

2) Si L es un retıculo ortomodular, la secuencia de igualdades

((a′ + b)(a+ b′) + b′)((a′ + b)′ + b) =1 (a+ b′)(b+ ab′) =2 (a+ b′)b+ ab′

se verifica para todo a, b (ver [15]).

Ya que ∆ es asociativa en L, de ∆(a′,∆(b, b′)) = ∆(∆(a′, b), b′) se sigue:

i) ∆(a′,∆(b, b′)) = ∆(a′, (b+ b′)(bb′)′) = ∆(a′, 1) = a

ii) ∆(∆(a, b), b′) = ∆(((a′+b)(a′b)′, b′) = ((a′+b)(a+b′)+b′)((a′+b)(a′b)′b′)′ =

((a′ + b)(a+ b′) + b′)((a′ + b)′ + b) = (a+ b′)(b+ ab′), a causa de =1.

Es decir, (a+ b′)(b+ ab′) = a.

Con este resultado, escribimos:

ab+ ab′ = (a+ b′)(b+ ab′)b+ (a+ b′)(b+ ab′)b′

167

(b + ab′)b = b y, aplicando la ley ortomodular a ab′ ≤ b′, (b + ab′)b′ = ab′, por

lo tanto

ab+ ab′ = (a+ b′)b+ (a+ b′)ab′ = (a+ b′)b+ ab′ = a (por =2)

para todo a, b de L.

Este teorema proporciona un nueva caracterizacion de las algebras de Boo-

le.

5.2.6. Resumen

A continuacion se enumeran los resultados de caracterizacion en algebras

reticulares expuestos en este capıtulo.

1. Un retıculo con negacion es complementado si y solo si ∆(a, a) = 0

o ∆(a, a′) = 1. En el caso particular que la negacion se fuerte, el retıculo

es ortocomplementado.

2. Un orto-retıculo es ortomodular si y solo si a+b = a ·b+∆(a, b), es decir

∆ es el complemento relativo de a.b en a+ b.

3. Un retıculo ortomodular es algebra de Boole si y solo si ∆ = ∇.

4. Un algebra de De Morgan es algebra de Kleene si y solo si los seis poli-

nomios canonicos ortomodulares de diferencia simetrica, ∆,∇, ∆73, ∆57,

∆25, y ∆41 verifican la propiedad asociativa.

5. Un algebra de De Morgan es algebra de Kleene si y solo si los seis poli-

nomios canonicos ortomodulares de diferencia simetrica, ∆,∇, ∆73, ∆57,

∆25, y ∆41 son equivalentes.

6. Un retıculo ortomodular es algebra de Boole si y solo si ∆ verifica la

propiedad asociativa.

168

5.3. Diferencia simetrica en conjuntos borro-

sos

5.3.1. Funcion de diferencia simetrica

Abordamos la definicion de funciones de diferencia simetrica en teorıas

de conjuntos borrosos. Dichas funciones tienen que definirse de forma que

se respete el principio de consistencia con la logica clasica, que en este caso

viene representado por las condiciones de frontera ∆(0, 0) = ∆(1, 1) = 0 y

∆(0, 1) = ∆(1, 0) = 1. En esta seccion se propone una definicion general

de operador de diferencia simetrica en el marco de las teorıas de conjuntos

borrosos. Entre las distintas opciones se estudian aquellas que verifiquen un

mayor numero de propiedades de las que hemos visto se cumplen en las algebras

reticulares. Consideraremos solamente el caso en que la diferencia simetrica sea

funcionalmente expresable, esto es, funciones ∆ : [0, 1]X × [0, 1]X → [0, 1]X ,

tales que ∆(µ, σ)(x) = ∆(µ(x), σ(x)) para toda µ, σ de [0, 1]X , todo x ∈ X, y

una funcion numerica ∆ : [0, 1]× [0, 1]→ [0, 1].

Comencemos por la siguiente definicion,

Definicion 5.3.1. Una funcion numerica ∆ : [0, 1]×[0, 1]→ [0, 1] se denomina

funcion de diferencia simetrica si, para todo a, b de [0, 1], satisface:

1. ∆(a, 0) = ∆(0, a) = a

2. ∆(a, a) = 0

3. ∆(a, 1) = ∆(1, a) = N(a); N es una funcion de negacion fuerte.

A continuacion se estudian varios modelos posibles entre los que generalizan

el caso clasico. Para un mayor detalle sobre este tema se remite a [7].

5.3.2. Modelo S(T1(a,N1(b)), T2(N2(a), b))

La funcion

∆(a, b) = S(T1(a,N1(b)), T2(N2(a), b)) (5.3.1)

generaliza la expresion A∆B = (A∩Bc)∪ (Ac ∩B) de la teorıa de conjuntos.

169

Teorema 5.3.1. La funcion (5.3.1) verifica las propiedades de la definicion

5.3.1 si y solo si S es una t-conorma continua, T1 = Wϕ1 T2 = Wϕ2 son

t-normas Arquimedianas no estrictas continuas y N1 ≤ Nϕ1 y N2 ≤ Nϕ21

negaciones fuertes.

Demostracion.

1) Es inmediato probar que las propiedades 1. y 3. se verifican para cual-

quier quıntupla (T1, T2, S,N1, N2).

Con b = a, ∆(a, a) = 0 fuerza T1(a,N1(a)) = 0 y T2(N2(a), a)) = 0, que

lleva a T1 = Wϕ1 , T2 = Wϕ2 , N1 ≤ Nϕ1 y N2 ≤ Nϕ21.

2) Con las condiciones necesarias,∇(a, a) = S(Wϕ1(a,N1(a)),Wϕ2(N2(a), a)) =

S(0, 0) = 0

Corolario 5.3.2. La funcion (5.3.1) es una funcion de diferencia simetrica

para toda teorıa estandar tal que T = Wϕ y N ≤ mın(Nϕ1 , Nϕ1).

5.3.3. Modelo T1(S(a, b), N(T2(a, b)))

La funcion

∆(a, b) = T1(S(a, b), N(T2(a, b))) (5.3.2)

generaliza la expresion A∆B = (A ∪B) ∩ (A ∩B)c de la teorıa de conjuntos.

En el Teorema 5. del artıculo [7] se prueba que la funcion (5.3.2) no verifica

la propiedad 2. de la definicion 5.3.1 en ninguna teorıa estandar de conjuntos

borrosos y no puede, por tanto ser considerada en propiedad una funcion de

diferencia simetrica en ninguna teorıa estandar. Es posible, sin embargo, en-

contrar teorıas Pexider en las cuales es valida segun se muestra en la siguiente

proposicion.

Proposicion 5.3.3. Condicion suficiente: la funcion 5.3.2 es una funcion de

diferencia simetrica para las teorıas Pexider de conjuntos borrosos del tipo

(T1, T2, S,N) donde T1 = Wϕ,para cualquier automorfismo de orden ϕ, T2 =

mın, S = max y una negacion fuerte N ≤ Nϕ

Demostracion.

170

1) Es inmediato probar que las propiedades 1. y 3. se verifican para cual-

quier cuadrupla (T1, T2, S,N).

2) Con las condiciones suficientes, ∆(a, a) = Wϕ(max(a, a), N(mın(a, a))) ≤Wϕ(a,Nϕ(a)) = 0

5.3.4. Modelo T (S1(a, b), S2(N1(a), N2(b)))

Este modelo es una generalizacion de la forma equivalente al anterior en

orto-retıculos, es decir ∆(a, b) = (a+ b) · (a′ + b′).

Teorema 5.3.4. La funcion ∆(a, b) = T (S1(a, b), S2(N1(a), N2(b))) es una

funcion de diferencia simetrica en una teorıa estandar de conjuntos borrosos

si y solo si T = Wϕ, S1 = S2 = max, y max(N1, N2) ≤ Nϕ.

Demostracion.

1) Las propiedades 1. y 3. se verifican para cualquier quıntupla

(T, S1, S2, N1, N2)).

Del cumplimiento de la propiedad 2., T (S1(a, a), S2(N1(a), N2(a))) = 0,

mas la condicion a ∈ (0, 1) se sigue que T es una t-norma Arquimediana no

estricta. Por otro lado, tanto si N1 ≥ Nϕ o N2 ≥ Nϕ, entonces deberıa ser

Wϕ(S1(a, a), S2(N1(a), N2(a))) ≥ 0, en contra de lo supuesto. Por lo tanto

deben ser N1 ≤ Nϕ y N2 ≤ Nϕ.

Supongamos que N1 = N2 = Nϕ y hagamos a = n = ϕ−1(12), el punto fijo

de Nϕ, con esta sustitucion obtendremos:

Wϕ(S1(n, n), S2(n, n)) = 0

ϕ−1(max(0, ϕ(S1(n, n)) + ϕ(S2(n, n))− 1)) = 0

ϕ(S1(n, n)) + ϕ(S2(n, n)) ≤ 1

se sabe que para cualquier t-conorma, S(a, b) ≥ max(a, b) y por tanto ϕ(S(n, n)) ≥ϕ(n) = 1

2. En consecuencia, ϕ(S1(n, n)) = 1

2, y por lo tanto S1(n, n) =

ϕ−1(12) = n, es decir S1 = max (id. para S2).

2) Wϕ(max(a, a),max(N(a), N(a))) = Wϕ(a,N(a)) = 0, para todo a de

[0, 1], cualquier automorfismo ϕ y cualquier N ≤ Nϕ.

171

5.3.5. Modelo T1(S1(a, b), S2(N1(a), T2(a,N2(b))))

El modelo

∆(a, b) = T1(S1(a, b), S2(N1(a), T2(a,N2(b)))) (5.3.3)

generaliza la formula ortomodular ∆73 (Sec. 5.2.3).

Teorema 5.3.5. La funcion (5.3.3) es una funcion de diferencia simetrica

en una teorıa estandar de conjuntos borrosos si y solo si T1 = T2 = Wϕ,

S1 = S2 = max, y N1 = N2 ≤ Nϕ.

Demostracion.

1) La propiedad 2. se representa por T (S(a, a), S(N(a), T (a,N(a)))) = 0.

Si T es una t-norma estricta, entonces S(a, a) = 0 (∗) y, S(N(a), T (a,N(a))) =

0 (∗∗).(∗) implica a = 0 y esto contradice (∗∗) ya que S(N(0), T (0, N(0))) = 1, por

lo tanto T debe ser una t-norma no estricta Wϕ.

Para el caso particular a = 0,5 y ϕ = id, la igualdad nos queda

W (S(0,5, 0, 5), S(0,5,W (0,5, 0, 5))) = 0,

que lleva a S(0,5, 0,5) = 0,5, y, en consecuencia, S es la t-norma max.

2) Propiedad 1. ∆(a, 0) = Wϕ(max(a, 0),max(Nϕ(a),Wϕ(a, 1))) = Wϕ(a, 1)) =

a.

Propiedad 2. ∆(a, a) = Wϕ(max(a, a),max(Nϕ(a),Wϕ(a,Nϕ(a)))) =

Wϕ(a,max(Nϕ(a), 0)) = Wϕ(a,Nϕ(a)) = 0.

Propiedad 3. ∆(a, 1) = Wϕ(1,max(Nϕ(a),Wϕ(a, 0))) = Wϕ(1, Nϕ(a)) =

Nϕ(a).

Ademas de las teorıas estandar, existen teorıas Pexider en las que este

modelo es funcion de diferencia simetrica, por ejemplo, T1 = Wϕ, T2 = mın,

S1 = S2 = max; T1 = Wϕ, T2 = Prodϕ, S1 = S2 = max; T1 = T2 = Wϕ,

S1 = max, S2 = Prod∗ ; T1 = T2 = Wϕ, S1 = max, S2 = W ∗

La comparacion entre el tercer modelo, que proviene de una expresion no

conmutativa y mas compleja que el segundo y que, sin embargo, al contrario

172

que este se verifica en teorıas estandar, pone de relieve que no siempre aquellas

expresiones que estan formalmente mas cerca de las algebras de Boole son mas

simples o mas utiles cuando se quiere tratar la imprecision. Esto quiere decir

que en la busqueda de ambitos logicos para formalizar razonamiento impreciso

es importante no rechazar a priori elementos cuya ‘distancia’ a la logica clasica

pueda parecer excesiva.

5.4. Modo disyuntivo

En el capıtulo 4 se han estudiado los esquemas logicos del Modus Ponens

y el Modus Tollens del razonamiento condicional, que en el caso de la logi-

ca borrosa se formalizan mediante el analisis de las desigualdades funcionales

T (a, J(a, b)) ≤ b, y T (N(b), J(a, b)) ≤ N(a), respectivamente. En el comienzo

de dicho capıtulo se hizo notar que estos esquemas de inferencia, aunque son

los mas usados, no son los unicos con los que se representan modos de razo-

namiento. En este capıtulo nos ocuparemos de otro modo, el llamado modo

disyuntivo que se expresa mediante el argumento:

‘Si p o q, y (tenemos)no p, entonces (se concluye) q’

que en su forma clasica se describe por el esquema

p o q

no p

q

O bien, utilizando el sımbolo || para la disyuncion, y ` la inferencia logica,

el esquema anterior adopta la forma

(p||q)& ∼ p ` q.

Expresion, que traducida a la operatoria de la logica algebraica, toma la

forma:

b′ · (a+ b) ≤ a (5.4.1)

173

Hay dos tipos basicos de disyuncion: inclusiva y exclusiva. La operacion

union + de los retıculos es de tipo inclusivo mientras que la disyuncion exclu-

siva se representa habitualmente mediante el operador o exclusivo (xor), que

en lo sucesivo simbolizaremos con la delta mayuscula ∆.

El esquema del modo disyuntivo, por tanto, pude adoptar dos formas dis-

tintas, segun el tipo de disyuncion que se emplee, bien la inclusiva de la formula

(5.4.1) o la correspondiente a la o exclusiva

b′ ·∆(a, b) ≤ a (5.4.2)

.

Ambas desigualdades valen en las algebras de Boole. En efecto, para la

disyuncion inclusiva se verifica que

b′ · (a+ b) = b′ · a+ b′ · b = b′ · a ≤ a,

y, adoptando para ∆ el valor dado por la expresion ∆(a, b) = (a + b) · (a · b)′(que no es unica en estructuras diferentes de las booleanas, como se vera mas

adelante), se obtiene

b′ ·∆(a, b) = b′ · (a+ b) · (a · b)′ = b′ · (a+ b) · (a′ + b′) = b′ · (a+ b) = b′ · a ≤ a.

Esta propiedad no es extensible a otras estructuras algebraicas. Veamos

lo que sucede en el caso de los retıculos ortomodulares y las algebras de De

Morgan.

En el retıculo ortomodular Linterna china (fig. 4.1) el esquema no se verifica

para la disyuncion inclusiva ni exclusiva.

Ası, por ejemplo, b′ · (a + b) = b′ · 1 = b′, que no es comparable con a.

Ademas, en el ejemplo sucede que ∆(a, b) = (a+ b) · (a · b)′ = a+ b, con lo que

se repite el resultado anterior. El esquema disyuntivo no se cumple en ningun

caso.

Lo mismo sucede en el caso de las algebras de De Morgan. Consideremos el

algebra de De Morgan ([0, 1],mın,max, 1− id), para el par a = 0,3, b = 0,5, la

desigualdad inclusiva toma el valor b′ · (a+b) = mın(0,5 max(0,3, 0,5)) = 0,5 �0,3. En el caso del o exclusivo, b′ · (a+ b) · (a · b)′ = mın(0,5,max(0,3, 0,5), 1−mın(0,3, 0,5)) = 0,5 � 0,3. Ası pues, en ambos casos el modo disyuntivo no es

valido.

174

En el caso de las Standard Theories of Fuzzy Sets ([0, 1]X , T, S,N) el es-

quema se puede usar para hacer inferencia, para lo cual se deberan estudiar

las ecuaciones funcionales del tipo:

T (N(b), S(a, b)) ≤ a (5.4.3)

T (N(b),∆(a, b)) ≤ a (5.4.4)

con un modelo adecuado para la diferencia simetrica [7].

El ejemplo mostrado para las algebras de De Morgan muestra que tampoco

el esquema es valido para las teorıas ([0, 1]X ,mın,max, 1 − id). No obstante,

la primera desigualdad (5.4.3) tiene soluciones como por ejemplo, las teorıas

(W,max, 1− id) o (W,Prod∗, 1− id), en efecto:

W (max(a, b), 1− b) = max(0,max(a, b)− b) ≤ max(0, a− b) ≤ a,

W (Prod∗(a, b), 1−b) = max(0, a+b−ab−b) = max(0, a(1−b)) = a(1−b) ≤ a.

5.4.1. Modo disyuntivo en retıculos

Una vez que hemos estudiado las caracterısticas y propiedades de la dis-

yuncion inclusiva y exclusiva en retıculos y teorıas de conjuntos borrosos es el

momento de continuar el estudio sobre el modo disyuntivo, esbozado al inicio

de este capıtulo. En el capıtulo dedicado al al razonamiento condicional, se ha

probado que la validez de la inecuacion a ·(a→ b) ≤ b fuerza en un orto-retıcu-

lo la estructura de algebra de Boole. Tambien que asimismo en un algebra de

De Morgan se fuerza la booleanidad.

En la introduccion del capıtulo se ha mostrado que el modo disyuntivo

no es valido ni en ortomodulares ni algebras de De Morgan, lo que lleva a

pensar que es un modo de razonamiento absolutamente clasico. Esta idea se

ve confirmada por los teoremas siguientes.

Proposicion 5.4.1. La desigualdad b′ · (a + b) ≤ a, tanto en orto-retıculos

como en algebras de De Morgan, implica la desigualdad a · (a → b) ≤ b con

a→ b = a′ + b.

Demostracion. b′ · (a + b) = b′ · (b′′ + a) = b′ · (b′ → a) ≤ a, para todo a, b de

L. En consecuencia a · (a′ + b) = a · (a→ b) ≤ b.

175

Proposicion 5.4.2. La desigualdad a · (a → b) ≤ b con a → b = a′ + b

implica, tanto en orto-retıculos como algebras de De Morgan como, implica la

desigualdad b′ · (a+ b) ≤ a.

Demostracion. a · (a→ b) = a · (a′+ b) = a′′ · (b+ a′) ≤ b, para todo a, b de L.

En consecuencia, b′ · (a′ + b) ≤ a′, or b′ · (a+ b) ≤ a.

Teorema 5.4.3.

1) L es un algebra de Boole si y solo si L es un orto-retıculo en el

que se verifica b′ · (a+ b) ≤ a.

2) L es un algebra de Boole si y solo si L es un algebra de De

Morgan en el que se verifica b′ · (a+ b) ≤ a.

Demostracion. Se sigue de las proposiciones 5.4.1 y 5.4.2, y los teoremas 4.2.5

y 4.2.2

Es decir el comportamiento deductivo del modo disyuntivo es del todo

equivalente al del razonamiento condicional clasico, y por tanto el esquema a+

b, b′ : a no puede usarse como regla de inferencia en en caso de los orto-retıculos

y las algebras de De Morgan propiamente dichos. Si en lugar de considerar la

disyuncion inclusiva +, se toma la exclusiva ∆(a, b) = (a + b) · (a · b)′, sucede

que

b′ ·∆(a, b) = b′ · (a+ b) · (a · b)′ = b′ · (a+ b) · (a′ + b′) = b′ · (a+ b),

lo que lleva a la misma conclusion anterior.

5.5. Modo disyuntivo en conjuntos borrosos

El esquema de dicho modo dentro del marco de las teorıas estandar de

conjuntos borrosos es el siguiente:

x es P o y es Q S(µP (x), µQ(y)),D(µP (x), µQ(y))

y no es Q µnoQ(y) = N(µQ(y))

x es P µP (x)

176

El interes radica en estudiar la validez de dicho argumento en las teorıas

estandar de conjuntos borrosos con una funcion de disyuncion adecuada D que

puede ser disyuncion inclusiva, que vendrıa representada por una t-conorma

S, o exclusiva, en cuyo caso, lo sera por una diferencia simetrica ∆.

El problema se centra en el estudio de dos clases de desigualdades funcio-

nales:

T (S(a, b), N(b)) ≤ a, (5.5.1)

T (∆(a, b), N(b)) ≤ a (5.5.2)

cuyas soluciones, como en los casos anteriormente estudiados del Modus Ponens

y Modus Tollens, nos daran las familias de teorıas de conjuntos borrosos en

las que son factibles razonamientos de modo disyuntivo.

5.5.1. O inclusiva (t-conormas)

Es bien conocido que en las teorıas estandar de conjuntos borrosos la dis-

yuncion inclusiva se representa mediante las funciones S (t-conormas); el modo

disyuntivo sera valido, en otras palabras: podremos razonar de forma disyun-

tiva, en aquellas teorıas en que sean soluciones de la ecuacion funcional 5.5.1,

es decir, de la ecuacion:

T (S(µ(x), σ(x)), N(σ(x))) ≤ µ(x),

para alguna t-norma T , t-conorma S, ambas continuas y una negacion fuerte

N .

Teorema 5.5.1. Sea T una t-norma continua, S una t-conorma continua y N

una negacion fuerte. La tupla (T, S,N) satisface la desigualdad T (S(a, b), N(b)) ≤a, para todo a, b de [0, 1] si y solo si existe un automorfismo ϕ de modo que se

cumplan las condiciones siguientes:

(a) T = Wϕ;

(b) N ≤ Nϕ;

(c) S(a, b) ≤ W ∗ϕ(a, (Nϕ(N(b)))), para todo a, b de [0, 1].

177

Demostracion.

1) Supongamos que 5.5.1 se cumple. La sustitucion a = 0 lleva a T (b,N(b)) =

0 por tanto T ha de ser una t-norma Arquimediana no estricta, i.e. T es de

la forma representada en el punto (a), ademas, de Wϕ(b,N(b)) = 0 sigue la

condicion (b). Sustituyendo las dos condiciones necesarias (a) y (b) resulta:

Wϕ(S(a, b), N(b)) ≤ a,

max(0, ϕ(S(a, b)) + ϕ(N(b))− 1 ≤ ϕ(a),

S(a, b) ≤ ϕ−1(ϕ(a) + 1− ϕ(N(b))) = ϕ−1(ϕ(a) + ϕ(Nϕ(N(b)))),

S(a, b) ≤ mın(1, ϕ−1(ϕ(a) + ϕ(Nϕ(N(b)))) = W ∗ϕ(a, (Nϕ(N(b)))).

2) Con las condiciones necesarias,

T (S(a, b), N(b))) ≤ Wϕ(W ∗ϕ(a, (Nϕ(N(b)))), N(b)) =

ϕ−1(max(0, ϕ(W ∗ϕ(a, (Nϕ(N(b))))) + ϕ(N(b))− 1) =

ϕ−1(max(0, (W ∗(ϕ(a), ϕ(Nϕ(N(b))))) + ϕ(N(b))− 1) =

ϕ−1(max(0,mın(1, ϕ(a) + 1− ϕ(N(b))) + ϕ(N(b))− 1) =

ϕ−1(max(0,mın(ϕ(N(b), ϕ(a)) ≤ a.

5.5.2. O exclusiva (diferencia simetrica)

En el caso en que la disyuncion corresponda al tipo exclusivo deberemos

estudiar las soluciones de la ecuacion funcional (5.4.4) funciones de diferencia

simetrica, en nuestro caso con los modelos 5.3.1 y 5.3.2.

Modelo 5.3.1

La inecuacion 5.4.4 tiene la forma,

T1(N(b), T2(S(a, b), N(T3(a, b)))) ≤ a (5.5.3)

Teorema 5.5.2. Una condicion necesaria y suficiente para que se verifique la

inecuacion (5.5.3) es T1 = Wϕ, N ≤ Nϕ y S ≤ W ∗ϕ

178

Demostracion.

1) La sustitucion a = 0 en (5.5.3) lleva a T1(N(b), b) = 0, lo que implica

que T debe ser una t-norma de la familia F(W ) y N ≤ Nϕ

2) Supuesto que S ≤ W ∗ϕ, entonces

Wϕ(N(b), T2(S(a, b), N(T3(a, b)))) ≤Wϕ(Nϕ(b), T2(S(a, b), N(T3(a, b)))) ≤

Wϕ(Nϕ(b), S(a, b))) ≤ Wϕ(Nϕ(b),W ∗ϕ(a, b))) =

ϕ−1(1− ϕ(b) +W ∗(ϕ(a), ϕ(b))− 1) =

ϕ−1(W ∗(ϕ(a), ϕ(b))− ϕ(b)) = ϕ−1(mın(1− ϕ(b), ϕ(a))) ≤ ϕ−1(ϕ(a)) = a

Modelo 5.3.2

En este caso 5.4.4 es

T1(N(b), S(T2(a,N(b)), T3(N(a), b)))) ≤ a (5.5.4)

Teorema 5.5.3. Una condicion necesaria y suficiente para que se verifique la

ine-cuacion (5.5.4) es T1 = Wϕ, N ≤ Nϕ y S ≤ W ∗ϕ

Demostracion.

1) La sustitucion a = 0 en (5.5.4) lleva a T1(N(b), b) = 0, lo que implica

que T debe ser una t-norma de la familia F(W ) y N ≤ Nϕ

2) Supuesto que S ≤ W ∗ϕ, entonces

Wϕ(N(b), S(T2(a,N(b)), T3(N(a), b)))) ≤Wϕ(Nϕ(b), S(T2(a,N(b)), T3(N(a), b)))) ≤

Wϕ(Nϕ(b), S(a, b))) ≤ Wϕ(Nϕ(b),W ∗ϕ(a, b))) =

ϕ−1(1− ϕ(b) +W ∗(ϕ(a), ϕ(b))− 1) =

ϕ−1(W ∗(ϕ(a), ϕ(b))− ϕ(b)) = ϕ−1(mın(1− ϕ(b), ϕ(a))) ≤ ϕ−1(ϕ(a)) = a

179

La funcion (5.3.1) no es diferencia simetrica en ninguna teorıa estandar

de conjuntos borrosos, segun se ha visto en el apartado 5.3.3. Sin embargo el

teorema 5.5.2 muestra que el modo disyuntivo con esta disyuncion es valido

en, por ejemplo, las teorıas estandar ([0, 1]X ,Wϕ,W∗ϕ, Nϕ).

Esto sugiere una analogıa entre las funciones de diferencia simetrica en el

modo disyuntivo y las funciones de implicacion en el razonamiento implicativo

(MP, MT): De la misma manera que hay funciones que no son de implicacion

pero verifican el MP o MT para determinadas T , y decimos por ello que son T-

condicionales, hay funciones que no son diferencia simetrica en determinadas

teorıas y, sin embargo verifican la regla del modo disyuntivo para alguna t-

norma T .

Capıtulo 6

Conclusion

6.1. Aportaciones

Este apartado es deliberadamente sucinto. Ya en la introduccion de la me-

moria y de cada uno de los capıtulos se hace un resumen y una declaracion de

intenciones. Dejaremos para este lugar la exposicion de aquellas aportaciones

que, en nuestra opinion, son destacables en funcion, principalmente, de su ori-

ginalidad. Naturalmente, obviamos los capıtulos iniciales que de introduccion

y generalidades.

Capıtulos 2 y 3

Un conjunto borroso no es mas, ni menos, que la representacion de un

uso de un predicado impreciso medible en [0, 1] y calificado de alguna

forma tambien medible en [0, 1].

Una nueva prueba de que, en teorıas estandar, la igualdad (x · y′)′ =

y + x′ · y′ es una ley solo en las teorıas (Prodϕ,W∗ϕ, Nϕ).

Mejora del estudio de propiedades y demostraciones en el caso de la

teorıa no funcional (Fnc(X),∧T ,∨S,¬N) y de los correspondientes orto-

retıculos cuando T = mın, S = max.

Ejemplos de sub-teorıas finitas de Fnc que son algebras de Boole distintas

de cualquier subalgebra de {0, 1}X

181

182

Algunas sugerencias iniciales para el estudio de la booleanidad de las

teorıas de conjuntos borrosos.

Capıtulo 4

Todos los resultados que llevan a una nueva caracterizacion de las alge-

bras de Boole a partir del estudio de los condicionales en algebras de De

Morgan y en orto-retıculos.

Los resultados de caracterizacion de algebras de Boole a partir del estudio

de la igualdad (x · y′)′ = y + x′ · y′ en orto-retıculos y algebras de De

Morgan.

El estudio de la contrasimetrıa y auto-contrasimetrıa de los operadores

de implicacion, y su comportamiento (caracterizacion) como MP, MT

y MPT -condicionales. Esta metodologıa se extiende al estudio de un

nuevo tipo de operador de implicacion: el operador Dishkant y de su

caracterizacion como MP, MT y MPT condicional.

Capıtulo 5

El analisis de los usos de “o” en el lenguaje, ası como el de las relacio-

nes inducidas por un operador, y los casos particulares de operadores

disyuntivos.

Estudio de la diferencia simetrica en retıculos (especialmente en algebras

de De Morgan), y en teorıas de conjuntos borrosos.

Ampliacion de los modelos de diferencia simetrica en las teorıas borrosas

a expensas de los polinomios ortomodulares.

Teoremas de caracterizacion de las algebras de Kleene y de caracteriza-

cion de las algebras de Boole a partir de la propiedad asociativa de la

diferencia simetrica en retıculos ortomodulares y algebras de De Morgan,

respectivamente.

Analisis del razonamiento disyuntivo en retıculos y teorıas de conjuntos

borrosos.

183

6.2. El significado es un tema abierto. Una re-

flexion

En el trabajo que precede se describe como el significado de un predicado

se articula sobre tres conceptos basicos de la teorıa de conjuntos borrosos:

predicado, conjunto y funcion de pertenencia borrosos. El concepto de conjunto

borroso se origina en el de predicado borroso y, a su vez, el de funcion de

pertenencia en el de conjunto borroso. Sin embargo, estos tres elementos, en

general, son diferentes y forman diferentes conjuntos dentro un universo de

conocimiento. Un recorrido por la construccion de un conjunto borroso puede

echar luz sobre esto.

Comencemos por decir que los conjuntos borrosos no existen a priori, no

se dispone de un vademecum donde encontrar la funcion que representa el

predicado alto referido a las personas. Lo unico que se conoce es que hay una

caracterıstica de las personas que se denomina altura, que, en general, se usa

de manera imprecisa cuando se afirma ‘Juan es alto’.

¿Como se construyen los predicados borrosos?

El primer paso es precisamente el conocimiento (o reconocimiento) de las

propiedades de una determinada cualidad de los objetos de un universo X

representada por el predicado P . Es el punto de partida.

El paso siguiente tiene por objeto construir un conjunto borroso que repre-

sente el uso que se le da al predicado en el universo del discurso que nos ocupa.

Salvo entornos bien estructurados, matematicos, problemas-tipo, de variables

de medida objetiva, etc. este paso es generalmente experimental. Requiere en

primer lugar delimitar el contexto, expresado como un subconjunto apropiado

del universo del discurso, y dentro de este evaluar el grado en que los ob-

jetos poseen la propiedad especificada en el predicado. Baste pensar que un

conjunto borroso como el A∼

(alto) sera diferente en un contexto formado por

jovenes alemanes, viejos japoneses o italianos del sur, esto es, un individuo de

cierta estatura es mas o menos alto -es alto en grado diferente- en cada uno

de los grupos. Sin duda ası lo considera un fabricante de ropas que venda sus

productos en Alemania, Japon o el Mezzogiorno.

De lo dicho se infiere que un predicado puede originar diferentes conjuntos

borrosos, uno por cada uso concreto que hacemos de dicho predicado; pero

184

cada conjunto borroso no proviene mas que de un solo predicado. Se puede

decir, segun esto, que habra muchos mas conjuntos borrosos que predicados.

Por ultimo, se necesita construir una representacion del resultado del punto

anterior, que en el ejemplo anterior sera una cierta funcion de pertenencia µA∼de [0, 1]X . Los conjuntos borrosos tienen su correlato formal en las funciones,

pero sin duda hay mucha funciones de [0, 1]X que no representan (o, mas

bien, no pueden representar) un conjunto borroso, es decir, no hay ningun

predicado cuyo uso normal en el lenguaje tenga una tal representacion. Sirva

como ejemplo de esto ultimo el siguiente ejercicio.

“Supongamos que para una poblacion (el universo del discurso) se considera

que una persona es alta sin ninguna duda -grado 1- cuando mide mas de 185

cm., que no lo es en absoluto -grado 0- cuando mide menos de 160 cm. y que

entre ambos valores el grado de altura varıa linealmente entre 0 y 1 ¿cual es

el grado de ‘alto’ de una persona cuya altura es de 178 cm.?”

En conclusion,

La descripcion completa de un predicado y su uso requiere del

conocimiento de la terna (P, P∼, µP∼

)

Definir, construir, disenar conjuntos borrosos que representen adecuada-

mente el uso concreto de los predicados y de las expresiones linguısticas de

mayor complejidad, es la premisa primordial de la logica borrosa en su apro-

ximacion al razonamiento ( [85], [82], [38], [69]).

Los conectivos modifican el significado de los predicados

El problema del significado en relacion con el contexto tiene muchas deriva-

ciones. En el ejemplo que se propone a continuacion se ve como la introduccion

de conectivos (que en principio no son imprecisos) puede modificar el signifi-

cado de un predicado.

Veamos el ejemplo. Dos predicados, alto y joven, referidos a personas se

representan mediante sendos conjuntos borrosos con funciones de pertenencia,

µalto y µjoven, respectivamente. Se da por supuesto que se han disenado es-

tos conjuntos de manera que representen adecuadamente lo que en general, es

decir, en todo el universo del discurso, se entiende como alto y joven. Supon-

gamos que Luis mide 185 cm, y que su grado en este contexto es 0.9, es decir,

µalto(Luis) = 0,9.

185

Analicemos ahora el significado de ‘alto’ en la frase El joven Luis es alto.

Una pregunta surge de inmediato, ¿el grado de altura del ‘joven Luis’ es asimis-

mo 0.9?, obviamente, los 185 centımetros son iguales sease joven, viejo, sueco

o filipino y por tanto la respuesta en principio parece que debe ser afirmativa.

El enunciado es formalmente equivalente a Luis es joven y Luis es alto. En

una logica cuya conjuncion sea monotona el grado de verdad (o falsedad) del

enunciado Luis es alto es igual en ambas expresiones, es decir, la intervencion

del predicado joven no modifica en absoluto la condicion de alto en el caso de

Luis.

Sin embargo, en el uso habitual, una expresion como Luis es un joven alto

se entiende como que Luis es alto dentro del grupo de jovenes a los que perte-

nece o, como se dirıa de forma coloquial, Luis es alto para su edad. Es decir,

se esta reduciendo el ambito del predicado a un grupo que se caracteriza por

tener una talla mayor. Ahora, para esta nueva situacion deberıamos definir (sin

considerar, por el momento, en que forma se pueden definir este nuevo conjun-

to) un conjunto borroso, µjoven−alto, que represente el uso del predicado alto

restringido al sub-universo de los jovenes. Es razonable suponer, siguiendo el

ejemplo, que el grado disminuira, de modo que para el nuevo conjunto borroso

el nuevo valor del grado de alto serıa, por ejemplo, µjoven−alto(Luis) = 0,8.

Observemos que la introduccion de la conjuncion no se limita a yuxtaponer

ambos enunciados sino que introduce una correccion en el resultado y ahora

no se puede decir que los valores de verdad del enunciado Luis es alto sean

iguales en los dos casos; desde el punto de vista de los conectivos logicos cabe

decir que esta conjuncion no es monotona, pero atendiendo al significado lo

que sucede es que la conjuncion con el nuevo predicado modifica el contexto

y, por ende, dicho significado.

Los predicados modifican el significado de los conectivos

Pero tambien puede suceder lo contrario, es decir, que sea el significado de

los conectivos el que se vea modificado en diferentes contextos.

En lo que se refiere al uso de los predicados, se ha visto que contexto es un

conjunto de objetos, y que el significado es susceptible de variacion tanto por

un contexto diferente como por la aparicion de otros elementos del lenguaje.

186

Cuando nos ocupamos de otros terminos, por ejemplo, el caso de los conec-

tivos, se observa tambien que su significado1 puede variar en funcion de otros

terminos aledanos, es decir, que actuan como un contexto para los conectivos,

pero en este caso no es un grupo de objetos del universo el que conforma dicho

contexto sino algun tipo de relacion entre aquellos que son conectados.

Intentaremos aclarar esto con un ejemplo.

Consideremos la frase El joven Luis es alto y su anciano abuelo Juan es muy

vigoroso. Escribamosla explicitando las conjunciones ocultas: Luis es joven y1

alto y2 su abuelo Juan es muy viejo y3 muy vigoroso. Ya hemos razonado el

hecho de que la conjuncion y1 no es monotona; de la conjuncion y3 se puede

decir algo analogo ya que se asume que el grado de vigor en la poblacion

anciana se mide de modo diferente que en un grupo de jovenes y por tanto

esta contextualizada por la restriccion al grupo de ancianos. Por el contrario,

la conjuncion y2 no tiene esta caracterıstica, al menos no de manera evidente,

en efecto, el grado de verdad de la frase el joven Luis es alto no es diferente

tanto si se considera aisladamente como formando parte de la frase completa.

Es decir, la conjuncion y2 es monotona.

Siguiendo en el ejemplo se observa que entre los predicados joven y alto se

puede establecer una relacion causal, la observacion nos dice que los jovenes

tienen una talla mayor que los adultos o los viejos, es decir, se puede decir

que ’ser joven implica ser mas alto’ aunque por el momento se desconozca de

que manera y en que grado se produce tal implicacion. Las conjunciones y1 e

y3 conectan predicados cuyo uso tiene un cierto grado de interseccion, es claro

que existe relacion entre el grupo de edad al que se pertenece y la estatura, del

mismo modo que existe, aunque no en la misma medida, entre el grupo de edad

y el vigor fısico. Por el contrario los enunciados conjuntados por y2 no tienen,

en principio, relacion alguna. Se aprecia, por lo tanto, que las diferencias entre

los tipos de conjuncion aparecen en relacion con los elementos linguısticos que

conectan, mas concretamente sobre algun tipo de relacione entre ellos.

Se puede hablar de diferentes tipos de contexto segun el tipo de termino

linguıstico al que afecte. Ya hemos visto que en el caso de los predicados el

1Al igual que los predicados, el significado de los conectivos se refiere a su uso en ellenguaje, solo que en este caso la formalizacion conduce a funciones de conectivo, como, porejemplo, las distintas t-normas y t-conormas que se detallan en el capıtulo dedicado a lasteorıas de conjuntos borrosos.

187

contexto se refiere, por lo general, a los objetos del universo en el que se ha

definido. Pero, en el caso de conectivos como la conjuncion, las diferencias en

cuanto a su uso dependen de relaciones entre los terminos conectados y no

de su pertenencia a universos determinados. Por ejemplo, la conjuncion en

una frase como Es un frıo dıa invernal, es decir, es un dıa frıo y es un dıa

invernal, sera muy parecida a la y1 del ejemplo anterior con tal que que entre

los predicados frıo e invernal exista una relacion analoga a la hay entre los

predicados joven y alto.

La logica borrosa es una ciencia experimental

¿Como se construyen los predicados complejos? En el caso de la logica

clasica, puesto que tanto los predicados como los conectivos tienen significado

preciso, una sintaxis con reglas bien estructuradas nos permite construir frases

complejas con significado asimismo preciso y la validez del resultado se justifica

por la coherencia del procedimiento, es decir, por la utilizacion correcta de las

reglas sintacticas.

Cuando se trata de predicados complejos imprecisos, su validez sintactica

sigue el mismo esquema, es decir, a partir de frases simples podemos cons-

truir frases complejas cuya validez vendra dada por la adecuacion a las reglas

sintacticas. ¿Y, en lo que respecta al significado de los mismos? Ahora el asunto

dista de la sencillez de la logica clasica. Para empezar no hay reglas semanti-

cas. Veremos en lo sucesivo, y esto es muy importante para el uso de la logica

borrosa como modelo de razonamiento linguıstico, que la validacion semantica

solo puede venir refrendada por la experimentacion.

En sıntesis, la logica borrosa en su aplicacion al razonamiento es una cien-

cia experimental, en un doble sentido, construimos modelos formales de los

elementos del mundo: palabras, frases, conjunciones etc. y de las reglas de

razonamiento, a continuacion construimos argumentos y, obtenidas las conclu-

siones, es el contraste con las propiedades reales del mundo lo que determina

la validez del proceso.

188

6.3. Temas abiertos

La mayor parte de los contenidos de esta memoria no son si no respuestas

a preguntas que surgieron durante el analisis de la estructura de las teorıas de

conjuntos borrosos a la luz de las propiedades algebraicas y viceversa. Estas

preguntas no son ociosas. En la introduccion se afirma que los predicados orde-

nan el mundo y que la compresion y los modelos del conocimiento construidos

en torno a estos predicados necesitan a su vez de un mundo ordenado. Las

estructuras algebraicas proveen un marco ordenado en donde ir ubicando los

elementos de este conocimiento para ir dotandolos de propiedades estructura-

les. Es importante dotar de significado a las palabras y las frases simples y

complejas, y es importante evaluar este significado y ‘compararlo’. Pensemos,

por ejemplo, en un razonamiento del tipo siguiente:

“Es cierto que si un individuo es alto, entonces tiene el pie grande. Es cierto

que Luis es bastante alto, entonces Luis tiene el pie muy grande”

La formalizacion del argumento, con miras al calculo, requerira posible-

mente que situemos sus elementos en una estructura ordenada en donde, por

ejemplo, decir que un pie es muy grande ocupe un lugar ‘superior’ a decir que

un pie es grande; en donde, en ultima instancia, podamos tener capacidad de

representacion y calculo de todos los elementos que intervienen.

Ciertamente, el conjunto de respuestas presentado es parcial y reducido. En

este contexto, hacer una lista de problemas por resolver, asuntos por estudiar

o, simplemente, curiosidades por satisfacer, requerirıa de un segundo tomo.

Exponemos a continuacion algunas de las areas en las que, a nuestro juicio y

sin pretender ser exhaustivos, hay un vasto territorio por explorar. Como en

el caso de las conclusiones haremos un desglose en relacion a los capıtulos de

donde proceden.

Capıtulo 3

Estudiar casos particulares de teorıas minimales de conjuntos borrosos.

Por ejemplo, con operadores que sean pseudo-funcionalmente expresa-

bles, o con operadores del tipo de las weak t-norms (ver [34]).

Estudiar leyes especiales en el marco de las teorıa Pexider. Leyes, co-

mo por ejemplo, la ley de Kleene, que se ha introducido como ley en

189

las teorıas minimales, y que representada de modo mas general por

T (a,N1(a)) ≤ S(b,N2(b)) fuerza condiciones en las negaciones N1 y N2.

Encontrar un cuadro axiomatico para estudiar la booleanidad de las

teorıas de conjuntos borrosos, al estilo de la definicion de booleanidad

de conjuntos borrosos basada en el concepto de entropıa borrosa de De

Luca y Termini [56]

Capıtulo 4

En las estructuras algebraicas y las teorıas de conjuntos borrosos se en-

cuentran numerosas expresiones (implicaciones o no) que tienen caracter

condicional (vease p. ej. [25]) y de las que esta pendiente un estudio por-

menorizado de sus propiedades, e indagar en el concepto de medida de

condicionalidad en la lınea de los trabajos [36] y [37].

Analisis de la condicionalidad en diferentes estructuras en el caso de

algunas funciones especiales, por ejemplo la ‘force implication’ [30].

Estudio de nuevos modelos para conectivos y condicionales en relacion

con contextos especıficos (ver p. ej. [96]).

Ademas de los tratados en esta memoria, estudiar los restantes modelos

borrosos de diferencia simetrica basados en los polinomios ortomodulares.

Capıtulo 5

Estudiar otros esquemas clasicos de razonamiento, aparte del Modus Po-

nens - Modus Tollens o el disyuntivo, como el silogismo hipotetico, o

razonamiento transitivo: [(A → B), (B → C) � (A → C)]; los dilemas

constructivo : [(A → C), (B → D), (A ∨ B) � (C ∨ D)], y destructivo:

[(A → C), (B → D), (¬C ∨ ¬D) � (¬A ∨ ¬B)]; la introduccion de la

disyuncion: [(A ∨B), (A→ C), (B → C) � C], etc.

Analizar las relaciones derivadas de otros operadores, como, por ejemplo,

funciones de agregacion que sean medias cuasi-lineales ([68]).

Bibliografıa

[1] J. Aczel. Lectures on Functional Equations and their Applications. Aca-

demic Press, New York, 1966.

[2] C. Alsina. On connectives in fuzzy logic satisfying the condition

s(t1(x, y), t2(x, n(y))) = x. In Proceedings FUZZ’IEEE-97, pages 149–

153, Barcelona, 1997.

[3] C. Alsina, M. J. Frank, and B. Schweizer. Associative Functions. Trian-

gular Norms and Copulas. World Scientific, Singapore, 2006.

[4] C. Alsina, S. Guadarrama, E. Renedo, and E. Trillas. Studying fuzzy

modus ponens. In Proceedings NAFIPS’06, volume submitted, Montreal,

2006.

[5] C. Alsina and E. Trillas. On (s,n)-implications in fuzzy logic consistent

with t-conjunctions. In Proceddings of the 1st EUSFLAT Conference,

pages 425–428. EUSLFAT, 1999.

[6] C. Alsina and E. Trillas. When (s, n)-implications are (t, t1)-conditional

functions? Fuzzy Sets and Systems, 134:305–310, 2003.

[7] C. Alsina and E. Trillas. On the symmetric difference of fuzzy sets. Fuzzy

Sets and Systems, 153:181–194, 2005.

[8] C. Alsina, E. Trillas, and S. Cubillo. When (s, n)-implications are (t, t1)-

conditional functions? Fuzzy Sets and Systems, 134:305–310, 2003.

[9] C. Alsina, E. Trillas, and C. Moraga. Combining degrees of impair-

ment: the case of the index on balthazard. Mathware & Soft Computing,

X(1):23–41, 2003.

191

192 Bibliography

[10] C. Alsina, E. Trillas, and E. Renedo. On two classic laws with fuzzy sets.

In Proceedings ESTYLF’06, page submitted, Ciudad Real, 2006.

[11] C. Alsina, E. Trillas, and E. Renedo. On two pexider functional equations

arising in fuzzy logic. en publicacion.

[12] C. Alsina, E. Trillas, and L. Valverde. On some logical connectives for

fuzzy sets theories. J. of Math. Anal. & Appl., 93:15–26, 1983.

[13] C. Alsina and E. Trillas. Some remarks on approximate entailment. Int.

J. Approx. Reasoning, 6(4):525–533, 1992.

[14] L. Beran. Three identities for ortholattices. Notre Dame J. of Formal

Logic, 17:251–252, 1976.

[15] L. Beran. Orthomodular Lattices. D. Reidel Pubs., 1985.

[16] B. A. Bernstein. A set of four independent postulates for boolean alge-

bras. Trans. Amer. Math. Soc., 17(1):50–52, 1916.

[17] G. Birkhoff. Lattice Theory. Amer. Math. Society Colloq. Publs, 3th.

(7th. print.) edition, 1993.

[18] G. Birkhoff and J. von Neumann. The logic of quantum mechanics.

Annals of Mathematics, 37(4):823–843, 1936.

[19] B. Bouchon-Meunier, D. Dubois, Lluis Godo, and H. Prade. Fuzzy sets

and possibility theory in approximate and plausible reasoning. In J. C.

Bedzek, D. Dubois, and H. Prade, editors, Fuzzy Sets in Approximate

Reasoning and Information Sysstems, The Handbooks of Fuzzy Sets.

Kluwer, Dordrecht, 1985.

[20] C. Campo and E. Trillas. On Mamdani-larsen’s type fuzzy implica-

tions. In Proc. Int. Conf. on Information Processing and Management

of Uncertainty in Knowlegge-based Systems, IPMU 2000, volume 2, pa-

ges 712–716, Madrid, Spain, July 2000.

[21] J. L. Castro. Fuzzy logic controllers are universal approximators. IEEE

Transactions on Systems, Man, and Cyberneticss, 25(4):629–635, 1995.

Bibliography 193

[22] J.L. Castro. Contribucion al estudio de modelos logicos para la inteli-

gencia artificial. PhD thesis, Universidad de Granada, Granada, 1991.

[23] R. Cignoli, F. Esteva, L. Godo, and A. Torrens. Basic fuzzy logic is the

logic of continuous t-norms and their residua. Soft Comput., 4(2):106–

112, 2000.

[24] A. Deano. Introduccion a la logica formal. Alianza Ed., Madrid, 1974.

[25] C. del Campo. Contribucion al estudio y clasificacion de las funciones de

implicacion borrosas. PhD thesis, Univ. Politecnica de Madrid, Madrid,

2002.

[26] G. Dorfer. Non-commutative symmetric difference in orthomodular lat-

tices. 2003. (arXiv:math.RA/0211237 v2.

[27] G. Dorfer, A. Dvurecenskij, and H. Langer. Symmetric difference in

orthomodular lattices. Math. Slovaca, 46(5):435–444, 1996.

[28] D. Dubois and H. Prade. New results about properties and semantics of

fuzzy-set-theoretic operators. Plenum Publ., 1980.

[29] D. Dubois and H. Prade. Fundamentals of Fuzzy Sets. Kluwer, Upper

Saddle River, NJ, 2000.

[30] C. Dujet and N. Vincent. Force implication: a new approach to human

reasoning. Fuzzy Sets and Systems, 69(1):53–63, 1995.

[31] S. Cubillo E. Trillas, C. Alsina and J. Jacas. On “and” in [0, 1]. In Proc.

Int. Conf. on Information Processing and Management of Uncertainty

in Knowlegge-based Systems, IPMU 1992, pages 329–332, 1992.

[32] C. Elkan. The paradoxical success of fuzzy logic. IEEE Expert, 6(6):3–8,

1994.

[33] F. Esteva, L. Godo, P. Hajek, and M.Navara. Residuated fuzzy logics

with an involutive negation. Archive for Mathematical Logic, 39(2):103–

124, 2000.

194 Bibliography

[34] J.C. Fodor. A new look at fuzzy connecives. Fuzzy Sets and Systems,

57(2):141–148, 1993.

[35] J.C. Fodor. Contrapositive symmetry of fuzzy implications. Fuzzy Sets

and Systems, 69:141–156, 1995.

[36] L. Garmendia. Contribucion al Estudio de las Medidas en la Logica

Borrosa: Condicionalidad, Especificidad y Transitividad. PhD thesis,

Univ.Politecnica de Madrid, Madrid, 2001.

[37] L. Garmendia, A. Salvador, and E. Trillas. Sobre ‘medir’ la condicio-

nalidad. In egge-based Systems, IPMU 1992, volume 1, pages 57–62,

Navarra, Spain, Actas del VIII Congreso Espanol sobre Tecnologıas y

Logicas Fuzzy ESTYLF98.

[38] J. Goguen. The logic of inexact concepts. Synthese, 19:335–373, 1968.

[39] I. Gomez. El significado de la conjuncion y. Teorema, XXII(1-2):55–84,

2003.

[40] S. Gottwald. Fuzzy sets and fuzzy logic. Braunschweig, Wiesbaden, 1993.

[41] S. Guadarrama and E. Renedo. A reflection on the use of And. Int.

Jour. of Applied Mathematics and Computer Science, In press.

[42] S. Guadarrama, E. Renedo, and E. Trillas. Some fuzzy counterparts of

the language uses of And and Or. Springer Verlag, to appear.

[43] S. Guadarrama, E. Trillas, J. Gutierrez, and F. Fernandez. A step to-

wards conceptually improving takagi-sugeno approximation. In Proc.

Int. Conf. on Information Processing and Management of Uncertainty

in Knowlegge-based Systems, IPMU 2002, volume 2, pages 1789–1794,

Annecy, France, July 2002.

[44] P. Hajek. Metamathematics of Fuzzy Logic. Kluwer Academic, Dordre-

cht, 1998.

[45] Petr Hajek. Basic fuzzy logic and bl-algebras. Soft Comput., 2(3):124–

128, 1998.

Bibliography 195

[46] P. R. Halmos. Naıve set theory. van Nostrand, New York, 1960.

[47] G. M. Hardegree. Material implication in orthomodular (and boolean)

lattices. Noter Dame Journal of Formal Logic, 22(2):163–182, 1981.

[48] E. V. Huntington. Sets of independent postulates for the algebra of logic.

Trans. of Amer. Math. Society., 5(3):288–308, 1904.

[49] E. V. Huntington. New sets of independent postulates for the algebra of

logic, with special reference to whitehead and russell’s principia mathe-

matica. Trans. of Amer. Math. Society, 35(1):274–304, 1933.

[50] E.V. Huntington. Boolean algebras: A correction. Trans. Amer. Math.

Soc., 35(2):557–558, 1933.

[51] G. Kalmbach. Orthomodular Lattices. Academic Press, London, 1983.

[52] E.P. Klement and R. Mesiar. Logical, Algebraic, Analityc, and Probabi-

listic aspects of Triangular Norms. Elsevier B. V., Amsterdam, 2005.

[53] E.P. Klement, R. Mesiar, and E. Pap. Triangular Norms. Kluwer Aca-

demic Publishers, 2000.

[54] G. J. Klir and B. Yuan. Fuzzy sets and fuzzy logic. Prentice Hall PTR,

Upper Saddle River, NJ, 1995.

[55] R. Lowen. On fuzzy complements. Information Sciences.

[56] A. De Luca and S. Termini. A definition of a nonprobabilistic entropy in

the setting of fuzzy sets theory. Information and Control, 20(4):301–312,

1972.

[57] K. Menger. Statistical metric spaces. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 28:535–

537, 1942.

[58] P. Mittelstaedt. Quantum Logic. D. Reidel Pb. Co., Dordrecht, Holland,

1978.

[59] J. Ferrater Mora. Diccionario de filosofıa. Ariel, Barcelona, 1994.

196 Bibliography

[60] C. Moraga, E. Trillas, and S. Guadarrama. Multiple-valued logic and ar-

tificial intelligence: Fundamentals of fuzzy control revisited. Artif. Intell.

Rev., 20(3-4):169–197, 2003.

[61] M. Pavicic N.D. Megill. Orthomodular lattices and a quantum algebra.

Int. J. Theoretical Physics, 40:1387–140, 2001.

[62] H. T. Nguyen and E. A. Walker. A First course in Fuzzy Logic. Chapman

& Hall/Crc, 2000.

[63] S. V. Ovchinnikov. Involutions in fuzzy set theory. Stochastica,

IV(3):227–231, 1980.

[64] S. V. Ovchinnikov. General negations in fuzzy set theory. Journal of

Mathematical analyssis and applications, 92:234–239, 1983.

[65] A. Pradera, E. Trillas, and S. Cubillo. On modus ponens generating

functions. Int. Jour. of Uncertainty, Fuzzyness and Knowledge-based

Systems, 8(1):7–19, 2000.

[66] A. Pradera, E. Trillas, S. Guadarrama, and E. Renedo. On Fuzzy Set

Theories. Springer Verlag, to appear.

[67] A. Pradera, E. Trillas, and E. Renedo. An overview on the construction

of fuzzy set theories. New Maths and Natural Computation, 1(3):329–

358, 2005.

[68] A. Pradera. Contribucion al estudio de la agregacion de informacion en

un entorno borroso. PhD thesis, U. Politecnica de Madrid, Madrid, 1999.

[69] E. Renedo and A. Sobrino. Round numbers revisited. a new fuzzy ap-

proach. Fuzzy Sets and Systems, en publicacion.

[70] E. Renedo, E. Trillas, and C. Alsina. On the law (a.b′)′ = b + a′b′ in de

morgan algebras and orthomodular lattices. Soft Computing, 8:71–73,

2003.

[71] E. Renedo, E. Trillas, and C. Alsina. On three laws typical of booleanity.

In Proceedings NAFIPS-2004, pages 520–524, Banf, Canada, 2004.

Bibliography 197

[72] E. Renedo, E. Trillas, and C. Alsina. A note on the symmetric difference

in lattices. Mathware & Soft Computing, 12(1):75–81, 2005.

[73] B Russell. Historia de la filosofıa occidental. Espasa Calpe, Madrid,

2005.

[74] F. Sales. Calculo de Probabilidades II. Teorıa de retıculos. UNED, Ma-

drid, 1976.

[75] B. Schweizer and A. Sklar. Probabilistic metric spaces. Elsevier North-

Holland, 1983. Reprinted Dover Publications, New York, 2006.

[76] S.Cubillo and E.Castineira. Contradiction in intuitionistic fuzzy sets.

In Proc. IPMU 2004, X International Conference of Information Pro-

cessing and Management of Urcentainty in Knowledge-Based Systems,

pages 2180–2186, Perugia (Italia), 2004.

[77] H. M. Sheffer. A set of five independent postulates for boolean alge-

bras, with application to logical constants. Trans. Amer. Math. Soc.,

14(4):481–488, 1913.

[78] M. H. Stone. Postulates for boolean algebras and generalized boolean

algebras. American Journal of Mathematics, 57(4):703–732, 1935.

[79] M. H. Stone. The theory of representation for boolean algebras. Trans.

Amer. Math. Soc., 40(1):37–111, 1936.

[80] E. Trillas. Sobre funciones de negacion en la teorıa de conjuntos difusos.

Stochastica, 3(1):47–59, 1979.

[81] E. Trillas. On exact conditionals. Stochastica, XII(1):137–143, 1992.

[82] E. Trillas. On logic and fuzzy logic. Int. J. of Uncertainty, Fuzzyness

and Knowledgw-Based Systems, 1(2):107–137, 1993.

[83] E. Trillas. On the use of words and fuzzy sets. Information Science,

176:1463–1487, 2006.

[84] E. Trillas and C. Alsina. Logic: Going further from Tarski? Fuzzy Sets

and Systems, 53:1–13, 1993.

198 Bibliography

[85] E. Trillas and C. Alsina. A reflection on what is a membership function.

Mathware & Soft Computing, 6:201–215, 1999.

[86] E. Trillas and C. Alsina. Elkan’s theoretical argument reconsidered. Int.

Jour. of Approx. Reason., 26:145–152, 2001.

[87] E. Trillas and C. Alsina. On the joint verification of modus ponens and

modus tollens in fuzzy logic. In Proc. Int. Conf. in Fuzzy Logic and

Tecnology, EUSFLAT-2001, pages 257–260, Leicester, UK, September

2001. De Monfort University.

[88] E. Trillas and C. Alsina. Standard theories of fuzzy sets with the law

(µ∧σ′)′ = σ∨(µ′∧σ′). Int. Jour. of Approx. Reason., 37(2):87–92, 2004.

[89] E. Trillas and C. Alsina. On disjunctive reasoning with fuzzy sets. IEEE

Transactions on Fuzzy Systems, en curso de publicacion.

[90] E. Trillas, C. Alsina, and A. Pradera. Searching for the roots of non-

contradiction and excluded-middle. International Journal of General

Systems, 5(31):499–513, 2002.

[91] E. Trillas, C. Alsina, and A. Pradera. On mpt-implication functions for

fuzzy logic. Rev. R. Acad. Cien. Serie A. Mat., 98(1):259–271, 2004.

[92] E. Trillas, C. Alsina, E. Renedo, and A. Pradera. On contrasymmetry

and mpt-conditionality in fuzzy logic. Int. Jour. of Intelligent Systems,

20(3):313–326, 2005.

[93] E. Trillas and S. Cubillo. Fuzzy conditionals in a product universe.

Journal of Applied Non-Classical Logics, 4(2), 1994.

[94] E. Trillas, S. Cubillo, and J.L. Castro. Conjunction and disjunction on

([0,1],≤). Fuzzy Sets and Systems, 72:155–165, 1995.

[95] E. Trillas and S. Guadarrama. What about fuzzy logic’s linguistic sound-

ness? Fuzzy Sets and Systems, 156:334–340, 2005.

[96] E. Trillas, M. Mas, M. Monserrat, and J. Torrens. On the representation

of fuzzy if then rules. Int. Jour. of Approx. Reason., en publicacion.

Bibliography 199

[97] E. Trillas, A. Pradera, and E. Renedo. Non-dual fuzzy sets theories: a

didactic overview. In Proceedings ESTYLF’04, volume II, pages 29–49,

Jaen, 2004.

[98] E. Trillas and E. Renedo. Conjuntos borrosos y logica algebraica. Agora,

24(2):49–73, 2005.

[99] E. Trillas, E. Renedo, and C. Alsina. A short note on lattices allowing

disjunctive reasoning. Mathware and Soft Computing, en publicacion.

[100] E. Trillas, E. Renedo, and S. Guadarrama. On a new theory of fuzzy

sets with just one self-contradiction. In Proceedings of the 10th IEEE

International Conference on Fuzzy Systems, volume 2, pages 105–108,

Melbourne, Australia, 2001.

[101] E. Trillas and L. Valverde. On implication and indistinguisability in

the setting of fuzzy logic. In J. Kacprzyk and R.R. Yager, editors, Ma-

nagement Decision Support Sysstems Using Fuzzy Sets and Possibility

Theory, The Handbooks of Fuzzy Sets, pages 198–212. Verlag TUV-

Rheinland, Koln, 1985.

[102] L. Wittgenstein. Investigaciones filosoficas. Instituto de Investigaciones

Filosoficas, UNAM, 1988.

[103] R. L. Yager and L. A. Zadeh. Fuzzy Sets, Neural Networks and Soft

Computing. Thompson Learning, 1994.

[104] L. A: Zadeh. The concept of a linguistic variable and its application to

approximate reasonig. Information Sciences, 8(3):199–249, 1975.

[105] L.A. Zadeh. Fuzzy sets. Information and Control, 8:338–353, 1965.

[106] L.A. Zadeh. Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility. Jour. Math.

Anal. and Appls., 23:421–427, 1968.

[107] D. Zhang. Triangular norms on partially ordered sets. Fuzzy Sets and

Systems, 153(2):195–209, 2005.

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