Continuum mechanics v3
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CONTINUUM MECHANICS
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INTRODUCTION
Continuum mechanics: Continuum assumption: matter is distributed continuously in space
No voids between molecules Density function of the continuum is continuous: Density function of the continuum is continuous:
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EXAMPLES OF CONTINUAEXAMPLES OF CONTINUA
Crankshaft
Solids heartBridge
Continua FluidsWaterOilContinuaContinua Fluids OilBlood
Continua
GasAirCO2Steam
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WHY CONTINUUM MECHANICS?
Continuum mechanics is used to determine: Stresses & Strains Kinematics and deformation
F il Failure Fluid flow Gas flow Etc…
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MATHEMATICAL PRELIMINARIES: VECTORS
A vector quantity is represented by an arrow.
Li f f
Force Vector
Line of force (or pull).
Length represents magnitude.
Arrow head represents
Tail represents point of forceapplicationArrow head represents
direction.
application.
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SCALARS
Scalars are quantities which are fully described by a i d l magnitude alone.
Examples are time, energy, speed, distance
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VECTORS
Vectors are quantities which are fully described by both a Vectors are quantities which are fully described by both a magnitude and a direction.
Examples include force, momentum, velocity and displacement.
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WHICH ARE VECTOR AND WHICH ARESCALARS?
Quantity Example Type
Length 5 m Scalar
Velocity 30 m/sec, East Vector
Speed 30 m/sec Scalar
Temperature 20ºC Scalar
Energy 5 Joules ScalarEnergy 5 Joules Scalar
Displacement 2 m to the right Vector
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VECTOR ALGEBRA: ZERO AND UNIT VECTORS
Unit Vector: is a vector with a unit length Unit Vector: is a vector with a unit length
ˆ ˆsuch that 1e e
We can always extract a unit vector from any non zero vector as:
ˆ ˆwhereue u u e
Zero Vector: is a vector with a unit length
where u u e u u eu
Zero Vector: is a vector with a unit length
such that 00 0
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VECTOR ALGEBRA: VECTOR ADDITION
t ti it+
commutativity
associativity
u v = v + uu v + w = u v + w
null element
it l t u 0 0 u u
0 opposite element u u 0
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VECTOR ALGEBRA: MULTIPLICATION BY ASCALAR
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SVECTOR ALGEBRA: SCALAR PRODUCT
lbl tdspacein or plane in the vectorsbe w and,v,uLet
wuvu)wv(u:holdspropertyvedistributiThe2..uvvu :holdsproperty ecommutativ The 1.
scalar. a be clet and
0v0 4.
vcuvuc)vuc( 3.wuvu)wv(u:holdsproperty vedistributi The 2.
2vvv 5.
vectorsnonzeroobetween twangletheisIf
.vuvucos then v and u
vectorsnonzeroobetween tw angle theis If
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VECTOR ALGEBRA: VECTOR PRODUCT
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VECTOR ALGEBRA: COMPONENTS OF AVECTOR
In a 3-dimensional vector space we can assign an p gortho-normal vector basis:
ORTHO
NORMAL
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such that
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VECTOR ALGEBRA: COMPONENTS OF AVECTOR
Any vector can be expressed as a linear combination y pof the basis vectors :
All the expressions we saw previously and be expressed in component form. Vector sum:Vector sum:
Multiplication by scalar: Scalar Product:
Vector Product:
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SUMMATION CONVENTION: FREE AND DUMMY INDICES
Component form:p f
Can be written as:
By convention we write this as:
Examples of expressions using summation convention:
In this expression ‘i’ is a free index
In this expression ‘k’ is a free index and ‘i’ and ‘j’ are dummy indices.
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index and j is a dummy
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SUMMATION CONVENTION: KRONECKER DELTA SYMBOL
The Kronecker delta symbol is defined as y f
It i ft i i d t ti i d ti It is often in index notation expressions and equations It is also known as the ‘substitution operator’ because it has
the effect of substituting one index by another.
Orthonormal basis vector are related by:
The scalar product is expressed as:
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SUMMATION CONVENTION: PERMUTATION SYMBOL
The permutation symbol is defined as:p y f
Orthonormal basis vector are related by:
The cross product is expressed as:
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EPSILON-DELTA RELATIONSHIP
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VECTOR TRANSFORMATION LAW
Given two vector bases: ' ' ' '1 2 3 1 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , and , ,B B e e e e e e
The directions of cosines are defined as:
A vector expressed in the two bases as:
1 2 3 1 2 3, , and , ,B Be e e e e e
'ˆ ˆ cosij i j ij e e
' ' ' ' ' ' ' '1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
' ' ' ' ' ' ' '
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ or
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆi i j j
j j i i j j k i i k j j kk ki i ik i
u u u u u u u u
u u u u uu u u
u e e e e e e u e e
e e e e e e Therefore the components of the vector transform
from base B to base B’ as:
j j j j j j
' 1 11 12 13 1' '
2 21 22 23 2'3 31 32 33 3
or k i ik
u uu u u u
u u
3 31 32 33 3
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MATRICES
A matrix is an ordered array of scalars:y11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
1,2,3 and 1,2,3,4ij
a a a aa a a a a i ja a a a
A
a matrix with m rows and n columns is said to be an m×nmatrix.
31 32 33 34
an n×n matrix is a square matrix.
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MATRIX ADDITION AND MULTIPLICATION BYA SCALAR
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TRANSPOSE & INVERSE OF A MATRIX
The transpose of a matrix A is denoted as ATpT
ij jib a B A and
T TT T T A A A B A B
1
T T TAB B A
The inverse of matrix A is denoted as A-1
1 1 AA A A I
The determinant of a matrix is given as:
1 11 1 1 and A A AB B A
ijAA The determinant of a matrix is given as: ijAA 1 2 3det ijk i j kA A AA
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EXERCISES
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VECTOR CALCULUS
The del operator is the ‘vector’ 1 2 3ˆ ˆ ˆ ˆix x x x e e e ep
The gradient of a scalar fun. f(x1,x2,x3) is a vector:1 2 31 2 3 i ix x x x
1 2 31 2 3ˆ ˆ ˆ ˆi
f f f fix x x xf
e e e e The divergence of a vector field is given as:ˆi iAe
31 2
1 2 3div i
i
A AA Ax x x x
A A
ˆA ˆ ˆ ˆe e e The curl of a vector is given as:ˆi iAe
1 2 3
1 2 3
ˆcurl i
j
Aijk kx x x x
A A A
e e eA A e
The Laplacian of a scalar fun. f(x1,x2,x3) is: 1 2 3A A A
22 ˆ ˆf ff f 2 ˆ ˆj i i i
f fj ix x x xf f
e e
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SUMMARY OF VECTOR FORMULAS
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TENSOR (EXAMPLE) A vector is defined as an quantity requiring a direction
d it d and a magnitude. A tensor (2nd order) is a quantity that requires TWO
directions and a magnitude. E l Example
If a plane cuts through a continuum subject to externalforces (F1, F2,…) an internal stress vector T will appear.Th i d & di i f T ill d d th The magnitude & direction of T will depend on theorientation of the plane defined by its normal n
Therefore, in order to completely define the stress stateat a point P on the plane two vectors are needed T and nat a point P on the plane two vectors are needed T and n
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2ND ORDER TENSORS: DYADS
A quantity that requires TWO directions to be q y qspecified is called a dyad or 2nd Order tensors.
a dyad D is defined as the ‘product’ of two vectors u & d i itt D& v and is written as:
The product uv is known as the dyadic product it is just the vectors written next to each other (it is also known as the
D uv
(indeterminate vector product)
For vectors a and b the following dyadic product ti h ldproperties hold:
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2ND ORDER TENSORS: VARIOUS PRODUCTS
A dyadic is defined as: 1 1 2 2 N N D a b a b a b The dot product of a dyad D with a vector v is a vector and is defined as
(this product is NOT commutative): 1 1 2 2 = prefactorN N v D v a b v a b v a b u
The vector product of a dyad D with a vector v is a dyad: 1 1 2 2 = postfactorN N D v v b a v b a v b a w
1 1 2 2 = N N v D v a b v a b v a b E
The dot product of two dyads D and E is a dyad (this product is NOTcommutative):
1 1 2 2 = N N D v a v b a v b a v b F
D E ab cd b c ad F )
The tensor scalar product of two dyads D and E is dyad (this product IScommutative):
The tensor scalar product of two dyads D and E is dyad (this product IS
D E ab cd b c ad F
i i j ja c b d D E ab cd a c b d p y y ( p
commutative): i i j jb c a d D E ab cd b c a d
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2ND ORDER TENSORS: TRANSFORM, PRINCIPAL VALUES, INVARIANTS
A dyadic D can be written in component form with respect to an orthonomal basis as:
The identity dyad I is such that:
2ne order tensors (dyads) transform between basis according to:
ˆ ˆ ˆ ˆi j i j i j i ja b D D ab e e e e1 1 2 2 3 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ i i D I I D I e e e e e e e e
2 order tensors (dyads) transform between basis according to:
The principal values of 2nd order tensor T are defined as the f
' ' ' 'ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆi j i j i j ik k jm m ik jm i j k ma b a b a b D ab e e e e e e
roots of :
The determinant results in the Cubic equation known as the characteristic equation:
0 0 det 0ik k i ik ik k ik ikT u u T u T T u u 0
3 21 2 3 0I I I T u u
I1 , I2 and I3 are the first, second and third invariants of tensor T
3 2
1 2 3 0
(t ) d t
I I I
I T I T T T T I T T T T
T u u
1 2 3 1 2 3 (trace); - ; =det ii ii jj ij ij ijk i j j ijI T I T T T T I T T T T
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VECTOR CALCULUS: EXERCISES
1. calculate the gradient vector of the following scalar fields:g g
2.
3.
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TENSOR CALCULUS: EXERCISES
1.
2.
3.
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DEFORMATION: DEFINITIONS
Point: designates a fixed location in space.
Particle: is a small infinitesimal volumetric element of a continuum it is also called a material point
At any time t a continuum with a volume V and bounding surface S will occupy a region R of Spaceregion R of Space.
Configuration: The region occupied by the continuum at a given time t is known as the configuration of the continuum at time t
Deformation: the change in shape of a continuum between an initial(undeformed) configuration and a final deformed configuration.
X: material coordinates vectorx: spatial coordinates vectoru: displacement vector.
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current and initial configuration of a deformed solid
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current and initial configuration of a deformed solid
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DEFORMATION: LAGRANGIAN, EULERIAN
When a continuum deforms its particles move through space this motion is d fi d defined as:
This relation provides the current position of a particle that used to occupy the position at the initial time t=0
This relation is a mapping with one-to-one correspondence, continuous and with pp g p ,continuous first partial derivatives.
The description of the motion of the particles in this way is known as the Lagrangian formulation
Th f l ti i id t b E l i if th t f th ti l f th The formulation is said to be Eulerian if the movement of the particles of the continuum is given as:
the mappings and are unique inverses of one another such that: . This can be true only if the Jacobian of the mappings is not 1( , )tX x xzero:
det 0i iij
j j
x xJX X
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DEFORMATION GRADIENT
The gradient of the position coordinate vector xi with respect to material di X l i 2 d d k h i l d f i coordinates Xi results in 2nd order tensor know as the material deformation
gradient given by:
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆi ii i j i i j
j j j
x xxX X X
XF x e e e e e
The gradient of the displacement vector ui = xi – Xi produces the material displacement gradient given as:
i ii ix Xu x
Example: calculate the Jacobian, material deformation gradient and the displacement deformation gradient of the following:
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆi ii ii j i j i j ij i j
j j j
x Xu xX X X
XJ u e e e e e e e e F I
1 1 0
1 1 0 ;
0 0 1
det 1 1 1
t
ti
j
t t
ex eX
J F e e
F
1 1 0 0 1 01 0 0
1 1 0 0 1 0 1 0 0 ;0 0 10 0 1 0 0 0
t t
t tiij
j
e ex e eX
J F I
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DEFORMATION TENSORS I
î
î
Ca ch deformation tensorCauchy deformation tensor
Green deformation tensor
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DEFORMATION TENSORS II The difference is used to measure deformation of a continuum
between two configurations:between two configurations:
Where Lagrangian finite strain tensor
Lagrangian finite strain tensor can be written in terms of displacements as: Lagrangian finite strain tensor can be written in terms of displacements as:
If small deformation theory is assumed the linear lagrangian finite1iu If small deformation theory is assumed the linear lagrangian finite
strain tensor
Interpretation of the linear lagrange strain tensor:
1i
jX
ï ï
Example: find the linear lagrangian strain tensor for a line segment lying originally on the X2 axis.
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DEFORMATION TENSORS: OVERVIEWdeformation gradient F i
j
xX
F
displacement gradient Ji i
ijj j
u xX X
J F I
deformation
Cauchy deformation tensor
deformation deformation Tensors
Green deformation tensor
deformation Tensors
Lagrangian finite strain tensor
Non-linear
in terms of material coordinates
in terms of displacementsstrain tensor
Linear
p
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DEFORMATION: EXERCISES
1.
2.
3.
4.
5.
6 6.
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DEFORMATION: EXERCISES II
1.
2.
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STRESS: THE STRESS VECTOR
Consider a body subject to body forces and surface forces:
Use an imaginary plane to cut through the body.
New forces will appear at the newly created surfaces.
The stress vector a point P is defined as
The stress vector depends on the applied forces as well as the magnitude and orientation of the area Da.
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STRESS: THE STRESS TENSOR
According to Cauchy’s principle we can associate a stress vector to each cutting l f l plane of normal n:
If we consider the stress vectors associated with normals along the Cartesian basis vectors we have:
The vectors
The components of normal vector n are:
The stress vector is written as ˆ.idA
idA n e 31 2ˆ ˆ ˆ ˆ i e en e eT n e T n e T n e T n e T The stress vector is written as
The stress vector is written in tensor form as:
The components of the stress tensor are:
1 2 3 i T n e T n e T n e T n e T 31 2
1 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ ii e en e eT n e T n e T n e T n e T
sij is the stress tensor, it describes the distribution of the internal forces in the ij ,continuum due to externally applied forces such as surface tractions and body forces.
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STRESS: THE STRESS TENSOR
sij is jth component of the stress vector acting on the plane with normal eij
The stress tensor describes the distribution of the internal force in the continuum due to externally applied forces (such as traction forces).
The stress tensor is a second order tensor that transforms from one basis to another according to where a are the ' or 'a a Tσ AσAanother according to where aij are the directions of the cosines.
or ij im jn mna a σ AσA
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STRESS: PROPERTIES OF THE STRESS TENSOR
The stress tensor is Symmetric: or ij ji Tσ σ
the principal directions are the directions such that:
The principal values of the stress tensor are obtained from the characteristic equation:
j j
q
ï 3 2 0I II IIII I I
The first, second and third stress invariants of the stress tensor are given by:
21 12 2; ; detI ii II ii jj ij ij IIII tr I tr tr I σ σ σ σ σ
The roots of the characteristic equation are known as the principal stress valuestheir associated direction are the principal directions they denoted by:
The maximum shear stress value of a stress state represented by the tensor s is
given by:
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HYDROSTATIC & DEVIATOR STRESS TENSORS
The hydrostatic stress tensor is defined as: 3 3
kkij
tr H
σσ I
The deviator stress tensor is defined as:
3 3 j
3 3
kkij ij ij
trs
σs σ I
The stress tensor can be split into hydrostatic and deviator stress tensors as follows:
3 3kk
ij ij
trs H
σσ s σ s I
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PLANE STRESS STATE
If one of the principal values of the stress tensor is zero then this state of stress is ll d l called plane stress.
This stress state occurs usually in very thin continuum where the external loads are applied in one plane.
Its corresponding stress and strain tensors are:
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EQUILIBRIUM EQUATIONS OF CONTINUUM
The equilibrium equations for a continuum medium can be derived as:
b is the body forces vector (e.g. gravity, magnetic force, electric force, etc..)
sij is the stress tensor at a point.
r is the density of the material at point P
The equilibrium equation in index form can be written as:
0 or iji
j
bx
σ b 0
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STRESS: EXERCISES I 1.
2.
3.
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STRESS: EXERCISES II 4.
5. 5.
6. show that the transformation tensor of the directions of cosines of problem 5transforms the stress tensor into a diagonal formtransforms the stress tensor into a diagonal form.
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EXERCISES III
7.
8.
9.
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EXERCISES IV
10.
11.
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