Consultatii ELa123, 06 ianuarie 2014 -...

Consultatii ELa123, 06 ianuarie 2014

Paul Ulmeanu

January 6, 2014

Paul Ulmeanu () Consultatii ELa123, 06 ianuarie 2014 January 6, 2014 1 / 22

Cuprins

1 Cuprins

2 Principii

3 Logica sistemuluiDate de intrareLogica sistemului

4 Calculul prob. de succes pentru x7 = 0

5 Calculul MUT pentru x4 = 0

6 Vectori critici comuni componentelor 3 si 6


Cuprins

Un Enunt de tip Simulare

Construirea adecvata a modelului de calcul, corespunzator datelor deintrare si cerintelor precizate in enunt

Evaluarea modelului

Solutii


Principii

Premize

Sistemul analizat are un numar de sapte componente binare siindependente

Logica sistemului este precizata prin indicarea unui set de traseeminimale (pt. cazul x6 = 0) si a unui set de taieturi minimale (pt.cazul x6 = 1)

Construirea modelului face apel la tehnici algebrice prezentate la curs,in principal bazate pe produse disjuncte


Logica sistemului Date de intrare

Date de intrare: Trasee minimale pt. cazul x6 = 0

Componenta / Traseu 1 2 3 4 5 6 7

Traseu → √ √

Traseu → √ √

Traseu → √ √ √ √

Traseu → √ √ √ √


Logica sistemului Date de intrare

Date de intrare: Taieturi minimale pt. cazul x6 = 1

Componenta indisponibila / Taietura 1̄ 2̄ 3̄ 4̄ 5̄ 6̄ 7̄

K1√ √

K2√ √ √

K3√ √ √

K4√ √ √ √


Logica sistemului Logica sistemului

Factorizare - teorema Shannon

Factorizare - teorema lui Shannon in raport cu componenta 6:SUCCES = x6 ? SUCCESx6=1+̇x̄6 ? SUCCESx6=0SUCCESx6=1 = INSUCCESx6=1SUCCESx6=1 = K1+̇K2+̇K3+̇K4x6=1(K1+̇K2+̇K3+̇K4)x6=1 = (K1 ? K2 ? K3 ? K4)x6=1Pentru x6 = 1, s-au notat: K1 = x̄3 ? x̄4 → K1 = x3+̇x4K2 = x̄1 ? x̄3 ? x̄5 → K2 = x1+̇x3+̇x5K3 = x̄2 ? x̄4 ? x̄7 → K3 = x2+̇x4+̇x7K4 = x̄1 ? x̄2 ? x̄5 ? x̄7 → K4 = x1+̇x2+̇x5+̇x7K1 ? K2 = x3+̇x1 ? x4+̇x4 ? x5K3 ? K4 = x2+̇x7+̇x1 ? x4+̇x4 ? x5K1 ? K2 ? K3 ? K4 = x1 ? x4+̇x2 ? x3+̇x4 ? x5+̇x3 ? x7


Logica sistemului Logica sistemului

Factorizare - teorema Shannon

Cazul x6 = 1: traseele minimale sunt T1 = {1, 4}; T2 = {2, 3};T3′ = {4, 5}; T4′ = {3, 7}.Cazul x6 = 0: traseele minimale numerotate:T1 = {1, 4}; T2 = {2, 3};T5 = {2, 4, 5, 7}; T6 = {1, 3, 5, 7}.Traseele sistemului:- trasee care nu au legatura cu starea componentei 6: T1 = {1, 4};T2 = {2, 3}; T5 = {2, 4, 5, 7}; T6 = {1, 3, 5, 7}- trasee care sunt in legatura cu starea componentei 6: pt. x6 = 1:T3′ = {4, 5}; T4′ = {3, 7}.T3′ → T3 = {4, 5, 6}; T4′ → T4 = {3, 6, 7}.Concluzie: Sistemul are sase trasee minimale: T1,T2,T3,T4,T5,T6.


Calculul prob. de succes pentru x7 = 0


In cazul in care componenta 7 este retrasa din exploatare / indisponibila,din cele 6 trasee minimale mai putem conta pe cele care NU-l contin pe 7:T1 = {1, 4}; T2 = {2, 3}; T3 = {4, 5, 6}



Diagrama de succes a sistemului in cazul x7 = 0

Px7=0 = p2 + (1− p2) · p · (p + (1− p) · p2)

Px7=0 = 2 · p2 + p3 − 2p4 − p5 + p6Pentru p = 0.9 → Px7=0 = 0.977751


Calculul MUT pentru x4 = 0

Calculul MUT - bazat pe lista traseelor minimale

Vom aborda calculul MUT plecand de la lista traseelor minimaleactualizate pentru cazul x4 = 0.Sistemul are, in acest caz, trei trasee minimale, respectiv pe cele care NUcontin componenta 4:T2 = {2, 3}; T4 = {3, 6, 7} ; T6 = {1, 3, 5, 7}.Ecuatia logica bazata pe dezvoltare de produse disjuncte:

SUCCESx4=0 = T2+̇T̄2T4+̇T̄2T̄4T6



T̄2 = x̄3+̇x̄2x3

T̄2T4 = x̄2x3x6x7

T̄2T6 = x1x̄2x3x5x7

T̄4 = x̄3+̇x̄7x3+̇x7x3x̄6

T̄2T6T̄4 = x1x̄2x3x5x̄6x7



Avem:SUCCESx4=0 = x2x3+̇x̄2x3x6x7+̇x1x̄2x3x5x̄6x7

Px4=0 = p2 + p3(1− p) + p4(1− p)2

νx4=0 = 2λp2 + p3(1− p)(3λ− µ) + p4(1− p)2(4λ− 2µ)

MUTx4=0 = Px4=0/νx4=0

Numeric: pentru p = 0.9 → Px4=0 = 0.889461pentru λ = 2 · 10−4 (1/h) → µ = λp/(1− p) = 18 · 10−4 (1/h)νx4=0 = 0.0002181492 (1/h); MUTx4=0

∼= 4077.3 (h).


Vectori critici comuni componentelor 3 si 6

Pasul 1: Trasee minimale care contin atat componenta 3,cat si componenta 6

Traseu / Componenta T4

3√

6√

7√

Pentru identificarea vectorilor critici ceruti: conditia 1: x3=1 si x6 = 1.Cum T4 este singurul traseu care contine cele doua componente:conditia 2: x7 = 1 (pentru ca sistemul sa fie in stare de succes).



Pasul 2: Restul traseelor - care nu contin componentele 3si 6

Traseu / Componenta T1 T2 T3 T5 T6

1√ √

2√ √

4√ √ √

5√ √ √

7√ √

Pentru x3 = 1 si x6 = 1, traseul T5 nu mai este minimal.In plus, x7 = 1.



Pasul 3: Nici unul din traseele minimale indicate la pasul 2nu trebuie sa fie functionale !

Traseu / Componenta T1 T2 T3 T6

1√ √

2√

4√ √

5√ √



Traseul T2 nefunctional daca si numai daca x2 = 0


1√ √

2√

4√ √

5√ √



Similar, T1, T3 si T6 (Solutia 1)


1√ √

2√

4√ √

5√ √

Componente in stare de insucces: 1,2,5;Componente in stare de succes: 3,4,6,7





1√ √

2√

4√ √

5√ √






1√ √

2√

4√ √

5√ √

Componente in stare de insucces: 1,2,4,5;Componente in stare de succes: 3,6,7



Din cele patru solutii, rezulta lista vectorilor critici comuni:

V1 = {!1, !2, 3, !4, !5, 6, 7}

V2 = {!1, !2, 3, !4, 5, 6, 7}

V3 = {!1, !2, 3, 4, !5, 6, 7}

V4 = {1, !2, 3, !4, !5, 6, 7}


CuprinsPrincipiiLogica sistemuluiDate de intrareLogica sistemului

Calculul prob. de succes pentru x7=0Calculul MUT pentru x4=0Vectori critici comuni componentelor 3 si 6

Consultatii ELa123, 06 ianuarie 2014 -...

Documents

Transcript of Consultatii ELa123, 06 ianuarie 2014 -...