Constitutief gedrag van elastisch materiaal

Citation for published version (APA):Schouten, J. (1990). Constitutief gedrag van elastisch materiaal. (DCT rapporten; Vol. 1990.008). TechnischeUniversiteit Eindhoven.

Document status and date:Gepubliceerd: 01/01/1990

Document Version:Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can beimportant differences between the submitted version and the official published version of record. Peopleinterested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit theDOI to the publisher's website.• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and pagenumbers.Link to publication

General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain • You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, pleasefollow below link for the End User Agreement:www.tue.nl/taverne

Take down policyIf you believe that this document breaches copyright please contact us at:openaccess@tue.nlproviding details and we will investigate your claim.

Download date: 29. Aug. 2021

CONSTITUTIEFGEDRAG VAN

ELASTISCH. MATERIAAL

Een stageverslag door

Jeroen Schouten

Begeleider : Gert-jan Sehreppers

Vakgroep : WFW

Rapport : WFW 90.008

febr 1990

SAMENVATTING.

Om numerieke berekeningen aan een fysisch model van het kniegewricht

uit te voeren, dienen de eigenschappen van de materialen van het fysisch model bekend te zijn. Aan de hand van experimenten kunnen de berekeningen vervolgens getoetst worden. Dit rapport beschrijft hoe mei behulp van trekprueven ûe

materiaaieigeïisc~appen van de kwiìststof Silastic E RT? Clilicone RUbbeï

bepaald kunnen worden. Met het verkregen Mooney materiaalmodel worden analytische en numerieke berekeningen van een drukproef gedaan.

Tenslotte wordt ter validatie van deze analytische en numerieke berekeningen een drukproef uitgevoerd. Vergelijking van berekende en experimentele drukproef leidt tot verwerpen of accepteren van het Mooney materiaalmodel, als beschrijving van het materiaalgedrag van de kunststof Silastic E RTV Silicone Rubber.

INHOUDSOPGAVE

HOOFDSTUK 1 INLEIDING.

HOOFDSTUK 2 THEORETISCHE ACHTERGROND VAN CONSTITUTIEF MODEL VAN ELASTISCHE MATERIALEN.

2.î Inleiding. pug. 2

2.3 Trekproef voor Mooney materiaalmodel. Pag. 8

2.2 Trekproef voor Neo-Hookean materiaalmouei. pag. 4

2.4 Beschrijving van het Mooney model volgens "Diana". pag. 9

HOOFDSTUK 3 UITGEVOERDE EXPERIMENTEN. 3.1 Inleiding. 3.2 Specificaties van de trekproef. 3.3 Specificaties van de drukproef.

3.4 Aspekten bij de berekening van de drukproef.

3.5 Materiaal van de proefstukken.

HOOFDSTUK 4 RESULTATEN VAN EXPERIENTEN EN BEREKENINGEN. 4.1 Inleiding. 4.2 Resultaten van de trekproef. 4.3 Berekening van de boven- en ondergrens

van de drukproef.

4.4 Resultaten van de drukproef.

HOOFDSTUK 5 EINDCONCLUSIES.

HOOFDSTUK 6 VOORTGANG.

pag. 12 pag. 13 pag. 14

pag. 16

pag. 18

pag. 19 pag. 19

pag. 22

pag. 24

pag. 27

pag. 29

LITERATUURLIJST.

APPENDIX : tabellen meetresultaten.

HOOFDSTUK 1 : INLEIDING.

Het onderwerp van dit rapport beschrijft een stageopdracht binnen het

knieproject. Dit project heeft als doel, het verkrijgen van een beter

inzicht in de belastingssituatie van het kniegewricht. Binnen dit project wordt onder andere onderzoek gedaan naar de mechanische

eigencchappm van kunststoffen. ûfe gebrdikt w r d e n ir? fysische modellen van het kniegewiielit. Met deze fysische mdellen v~rden

experimenten uitgevoerd ter validatie van numerieke berekeningen. Het

doel van deze stage is het bepalen van het constitutief gedrag van zo’n kunststof. Het constitutief gedrag dient, omdat het karakteristiek is voor een materiaal, zowel voor trek als drukproeven hetzelfde te zijn. Is dit niet het geval, dan voldoet het constitutieve model niet en

dient men het te verwerpen.

Hoofdstuk 2 geeft een beschrijving van de theorie van de constitutieve

modellen voor elastische materialen. Voor de trekproef worden twee

modellen uitgewerkt.

Hoofdstuk 3 geeft een beschrijving van de experimenten, die uitgevoerd worden om het constitutieve model te toetsen, waarna de resultaten van

de experimenten en berekeningen in hoofdstuk 4 aan de orde komen. Na formulering van de eindconclusies van dit onderzoek in hoofdstuk 5,

worden in hoofdstuk 6 tenslotte nog enige suggesties voor de voortgang van het onderzoek gedaan.

HOOFDSTUK 2 : THEORETISCHE ACHTERGROND VAN CONSTITUTIEF MODEL VAN ELASTISCHE MATERIALEN.

2.1 Inleiding.

Tussen spanningen en vervormingen bestaat een verband, dat karakteristiek is ïc?c?T het materiaal= n i t verband beschrijft het materiaaigedrag en worat ook wei aangeduid ais conctit~tief gedrag. De

relaties waardoor dit gedrag beschreven wordt, noemt men de

constitutieve vergelijkingen. Op basis van thermodynamische

beschouwingen, volgt dat er een potentiaal U bestaat, die een funktie is van de linkse Cauchy-Green-tensor.

U = U ( [ B ) c3 = I F - P

waarin F de deformatietensor voorstelt en die aan de tweede

Piola-Kirchhoff-spanningstensor lP gekoppeld is volgens 2

( 2.1 1

waarbij p de soortelijke massa in de referentietoestand voorstelt. De

elastische potentiaal U, is interpreteerbaar als de inwendige energietoename per eenheid van het referentievolume. Beperkt men zich

tot isotrope materialen en gaat men uit van een spanningsloze

referentietoestand, dan is de elastische potentiaal U een funktie van

de invarianten van de linkse Cauchy-Green-tensor [B.

o

u = u ( IB , IIB , IIIB 1

Waarin I I1 en I11 de invarianten van c3 zijn, met: B 9 B B

( 2.3 1

2

Voor de tweede Piola-Kirchhoff-spanningstensor IP

relatie:

geldt dan de volgende 2

+ - - + - - BU dIB BU dIIB

iP = 2 p - - [ aIB d5 aIIB d5 aIIIB d5 2 O ( 2.7 1

Vmr de h i J z ~ ? ~ i ~ S e r e gevallen van ru’ober elasticiteit gebrdikt men in h e t

algemeen het Neo-Eooicean of het Eiooney materiaahode? ( [ I ! ! . Beide

modellen veronderstellen incompressibel materiaalgedrag. In het

Neo-Hookean materiaalmodel is de elastische potentiaal U als volgt gedefinieerd:

U = A ( I - 3 ) B ( 2.8 1

Coëfficiënt A is afhankelijk van de Boltzmann constante, de absolute temperatuur en de dichtheid van de dwarsverbindingen in het materiaal.

Hieruit blijkt dus, dat coëfficiënt A terug te voeren is op de

moleculaire basis van het elastisch materiaal. Het Neo-Hookean

materiaalmodel voldoet in de beschrijving van het gedrag van natuurlijk

rubber voor rekken tot ongeveer 10% . Voor grotere deformaties blijkt in het algemeen het Mooney materiaalmodel beter te voldoen. De

elastische potentiaal is voor dit model als volgt gedefinieerd:

De tweede term, in de rechterzijde van bovenstaande vergelijking bevat

de coëfficiënt B. Deze coëfficiënt berust, in tegenstelling met

coëfficiënt A, niet op enige moleculaire basis. Uit ervaring is echter gebleken, dat met deze toevoeging een goede beschrijving van het

materiaalgedrag wordt verkregen. Zowel het Neo-Hookean als het Mooney materiaalmodel zal in de volgende twee paragrafen worden uitgewerkt voor het bijzondere geval van een trekproef.

3

2.2 Trekproef voor Neo-Hookean materiaalmodel.

Uit de vorige paragraaf bleek, dat voor de tweede

Piola-Kirchhoff-spanningstensor P relatie ( 2.7 1 geldt. 2

Maakt men nu gebruik van het Neo-Hookean materiaalmodel, dan geldt voor

de elastische potentiaal U = A (IB - 3 I . Kombineert men deze twee vergelijkingen, dan volgt voor de tweede Piola-Kirchhoff-spanningstensor :

d(IB : U ) = o dxB - - - met :

IB [Pz 2poA -

diB diB diB

Pz = 2poA ii ( 2.10 1

De tweede Piola-Kirchhoff-spanningstensor U' werken we om naar de

Cauchy-spanningstensor S, omdat deze te splitsen is in een deviatorisch en een hydrostatisch gedeelte ( [ 2 l ) .

2

( 2.11 1

( 2.12 1

J is in ( 2.11 1 de volumeveranderingsfactor. In het bijzondere geval van incompressibiliteit is J gelijk aan 1. Alleen het deviatorisch deel van de Cauchy-spanningstensor wordt bepaald door de deformatietoestand.

Formeel kan dus genoteerd worden dat geldt.

In deze relatie is p de hydrostatische druk en is úà ( IF 1 de deviatorische spanning, eenduidig bepaald door de deformatietensor.

4

Voor de Cauchy-spanningstensor kan men met de relaties ( 2.12 1 en ( 2.13 1 dus het volgende schrijven.

( 2.14

-> e 1

F F ? 1

figuur 2.1 Schematische voorstelling van een trekproef.

Bovenstaand figuur geeft een schematische voorstelling van een trekproef. In de referentietoestand heeft het proefstuk lengte lo en

doorsnede A . In de momentane toestand wordt een kracht F op het proefstuk uitgeoefend, ten gevolge van deze kracht treedt een

verlenging op, zodat het proefstuk in de momentane toestand lengte 1 en, ten gevolge van dwarscontractie, doorsnede A heeft. Wordt

incompressibiliteit verondersteld, dan betekent dit dat er geen

volumeverandering van het proefstuk optreedt.

O

1

1

( 2.15 l1 - A. - bode lo Al bldl

_ - - - - v = v =a 1 A = 1 A * O 1 O 0 1 1

In figuur 2.1

uitdrukken in basisvectoren

het volgende:

-> kan men de plaatsvector in de momentane toestand x

de plaatsvector in de referentie toestand xo en de -*

+ - + -* -* e e en e . Voor x geldt dan, bij homogene deformatie,

1 ’ 2 3

5

11-10 -3 + + bl-bo + + + + + + x = x O + - (xo.el)e 1 + - (xo.e )e + - ( xo - e3 1 e 3 + +

2 2 l0

+ + De deformatie van x naar x wordt beschreven door de deformatietensor

[F, welke als volgt gedefinieerd is. O

+ + + + + + azo ïl-ïo a(xo-el) + bl-bo a(xo-e2) + dl-do a(xo.e3) -$

e + + 3

e + - 2 aXo

V x = - + - e + - O ax l0 azo 1 azo

O

11-10 + + b1-bo + + + + Go; = IJ + - e e + - e e + - e e 1 1 2 2 3 3

l0

+ + 1 1 + + bl + + dl + 4

V x = - e e + - e e + - e e O 1 1 2 2 3 3 l0

11 + +

%O

l + + d bl + +

[F = - e e + - e e + - e e 1 1 2 2 3 3 - A met : - - l1

( 2.16 1

De relatieve veranderingen van de breedte en de dikte van het proefstuk zijn aan elkaar gelijk. Tevens geldt dat het product van deze relatieve

veranderingen gelijk is aan de verhouding van de doorsneden A 1 en A O e

Met relatie ( 2.15 1 volgt nu voor de breedte en dikte verhouding:

bo do c O l1 47 ( 2.17 1

Met de definitie van A, kan in het geval van de trekproef, voor

deformatietensor [F de onderstaande vergelijking worden afgeleid.

e ; + + 1 + + [ F = A e e + - e e + - 3 3 J-T 2 2 K 1 1

6

( 2.18 )

Nu de deformatietensor 5 bekend is, kan met relatie ( 2.1 1 de linkse Cauchy-Green-tensor U3 bepaald worden. Vervolgens wordt met relatie

( 2.14 1 de Cauchy-spanningstensor S berekend, waaruit de eerste Piola-Kirchhoff-spanningstensor P bepaald kan worden. De eerste

Piola-Kirchhoff-spanningstensor geeft de spanning ten opzichte van de

referentie doorsnede A weer. Men krijgt zodoende uiteindelijk een

1

O relatie tUcc;e:: de trekkrucht F en de rpkgriQtheia 0 .

2" I + + I + + [ ~ = ü - ü ' = h elel + - e e + - e e h 2 2 A 3 3

( 2.19 1

2 + + I + + I + + $ = - pii+2poA(h e l e l + - e e + - e e 1 h 2 2 h 3 3

+ + + + + + $ = e e e + C T e e + @ e e 11 1 1 22 2 2 33 3 3

In het geval van de trekproef, heeft men met een uniaxiale

spanningstoestand te maken. De Cauchy-spanningstensor heeft dan slechts

een component ongelijk aan nul. In ons geval is (r ongelijk aan nul en

zijn (r en (r beide gelijk aan nul. 11

22 33

2 @ = 2poA h - p 11

1 22 33 o A <r = C = 2 p A - - p = O

1 p = 2 p A - o h

1 + + s = 2 p o ~ ( h2 -

5 O

iP1 - - P l l e e = -

p1 1

1 elel = J B - ~ - S = ~ ~ A ( A - - - - ) ~ ~ 1 + +

1 1 A2 + + F + +

e e 1 1 A. i i

1 = a ( A - - ) A2

F =aA ( A - - 5 A2 O

met a = 2 p A O

( 2.20 1

2.21 1

( 2.22 1

Relatie ( 2.21 1 is karakteristiek voor Neo-Hookean materiaalgedrag. Het verband tussen de spanning P en de rekgrootheid A wordt slechts

door een constante a beschreven. Door een eenvoudige trekproef uit te 11

7

voeren wordt a bepaald voor het beproefde materiaal.

2.3 Trekproef voor Mooney materiaalmodel.

Voor het Mooney materiaalmodel kan men op dezelfde wijze te werk gaan

als bij het Neo-Hookean materiaalmodel. Voor de elastische potentiaal U

geldt nu echter relatie i 2 , 9 i uit paragraaf 2.1.

U = A ( IB - 3 1 + B ( IIB - 3 1 ( 2.9 1

Kombineert men dit met relatie ( 2.7 1 , dan volgt voor de tweede Piola-Kirchhoff-spanningstensor.

dI IB dlB P2 = 2p A - + 2poB - dû3 dlû O

met : dlB - = 0 dlû

en dI IB

dlB - - - I g 0 - l B

P2 = 2po( A + B IB 1 O - 2poB lû ( 2.23

Relatie ( 2.23 1 wordt nu op dezelfde manier, als in paragraaf 2.2, voor het Mooney model omgewerkt naar een relatie tussen de

Cauchy-spanningstensor S en de linkse Cauchy-Green-tensor lû. Voor de

totale Cauchy-spanningstensor geldt dan de volgende relatie:

$ = - p O + 2po( A + B IB 1 E? - 2poB [B2 ( 2.24 1

De linkse Cauchy-Green-tensor U3 wordt voor het speciale geval van de

trekproef gegeven in vergelijking ( 2.19 1 . Kombineert men dit met vergelijking ( 2.24 1 , dan volgt hieruit voor de Cauchy-spanningstensor:

+ + + + + + $ = e e e + e e e + e e e

1 1 1 1 22 2 2 33 3 3

Met : 2

c = 2poA A + 4poB A - p 11

8

2.26 1

Relatie ( 2.27 1 is karakteristiek voor Mooney materiaalgedrag. Het verband tussen de spanning P en de rekgrootheid h wordt nu door twee

constanten, namelijk a en P, beschreven. Ook nu is het met behulp van een eenvoudige trekproef mogelijk, om de beide constanten a: en /3 te

bepa 1 en.

11

2.4 Beschrijving van het Mooney model volgens "Diana".

In het computerprogramma "Diana" gaat men van een ander uitgangspunt uit bij de beschrijving van het constitutief gedrag van het Mooney

materiaalmodel dan in de vorige paragraaf. In paragraaf 2.2 is men

uitgegaan van de elastische potentiaal U als funktie van de invarianten

van de linkse Cauchy-Green-tensor 5.

met

I I ~ = [ - tr I [B l 2 1 B ( 2.5 1

De elastische potentiaal U is, in de beschouuingswijze volgens "Diana",

een funktie van de invarianten van de Green-Lagrange-rektensor E, zoals

9

in vergelijking ( 2.29 1 i s weergegeven.

U = C IE + D IIE

=tr(IE) IE met

- t r ( ~ ) ~ ] 1 2 I I E = 2 [ IE

( 2.29 )

( 2.30 1

( 2.31 1

In deze paragraaf zal worden bewezen dat beide uitgangspunten gelijkwaardig zijn. De Green-Lagrange-rektensor IE is een funktie van de deformatietensor F of van de rechtse Cauchy-Green tensor C.

I E = q F = . F - q = - 2 2 [ = i 1 ( 2.32 ) 1

met a: = FC.F

De invarianten van de Green-Lagrange-rektensor IE worden omgewerkt naar de invarianten van de rechtse Cauchy-Green tensor C.

3 1 = - ( IC - 3 1 IE = - t r ( C ) - ~ 1 2

1 1 6 = 2 [ 2 I I c - IC + 41

De invarianten van de rechtse Cauchy-Green tensor (E zijn gelijk aan de invarianten van de linkse Cauchy-Green tensor IB. Hierdoor worden de invarianten van de Green-Lagrange-rektensor [E een funktie van de

invarianten van de linkse Cauchy-Green tensor IB.

( I B - 3 ) ( 2.33 ) 1 = -

IE 2

Voor de elastische potentiaal uit relatie ( 2.29 geldt nu dat deze

10

afhankelijk is van de invarianten van de linkse Cauchy-Green tensor B,

zoals in onderstaande vergelijking is weergegeven.

6 D l C u = - 2 - 3 ) + 5 ( 5 IIB - IB + 4

( 'B

U = - ( C - D ) ( I B - 3 ) + 5 1 ( I IB - 3 1 2

Vergelijking ( 2.35 1 is identiek met vergelijking ( 2.9 I . Uit deze afleiding blijkt dus dat de beschrijving volgens "Diana", met een

ander uitgangspunt eenzelfde resultaat zal hebben als het resultaat, verkregen in paragraaf 2.3, omdat beide uitgangspunten in elkaar zijn

over te voeren.

11

HOOFDSTUK 3 : UITGEVOERDE EXPERIMENTEN.

3.1 Inleiding.

Om het doel van deze stage te verwezenlijken, moeten de experimenten aan bepaalde eisen voldoen. De experimenten moeten namelijk zodanig ingericht worden, dat de karakteristieke Jrâteïiâa?i;ârâmeters hieruit afgeleid kunnen worden. Uit de vergelijkingen ( 2.21 1 en [ 2.26 1 blijkt, dat het verband tussen de kracht F en de rekgrootheid h bepaald dient te worden. Voor het Neo-Hookean materiaalmodel dient alleen de

constante a bepaald te worden, terwijl voor het Mooney materiaalmodel

zowel a als ook @ moet worden bepaald. Zoals al eerder genoemd, i s een trekproef een uitermate geschikt experiment, waaruit deze constanten bepaald kunnen worden. Alvorens een trekproef kan worden uitgevoerd, dienen bepaalde gegevens van de geometrie van het proefstuk bekend te zijn. Van belang zijn de grootheden referentielengte lo en referentiedoorsnede A Hiertoe worden de lengte, breedte en dikte van

het proefstuk gemeten. Om een homogene spanningstoestand te creëren, is er voor gezorgd, dat de lengte veel groter is dan de breedte en de dikte. De lengte en de breedte zijn beide met behulp van een schuifmaat gemeten. Voor de diktemeting is gebruik gemaakt van de verplaatsingsopnemer van de Zwick-trekbank. In figuur 3 . 1 is het principe van deze meting weergegeven.

O'

arm van de verplaatsingsopnemer

van de Zwick-trekbank.

onderv 1 ak

figuur 3.1 Principe van de diktemeting.

12

i

De arm van de verplaatsingsopnemer wordt op het ondervlak op nul gecalibreerd. Vervolgens wordt het proefstuk onder de arm van de

verplaatsingsopnemer gelegd en wordt op verschillende plaatsen de dikte van het proefstuk gemeten. Aan het einde van de meting wordt ter

kontrole het ondervlak nogmaals gemeten. Na deze meting is de geometrie van het proefstuk bekend. Om een goed resultaat te krijgen, worden

met i~ger ; aan - 7 ; V I JI ;C t7-rc-h; V G X = ~ L I I L & ~ I I \ I ~ 1 Inna- nynnTctiikkpn y VWIY---I---- &aan. Ân_ri_ j_a.nd van de

resultaten van de trekproef kan het constitutief materlaalmodel bepaald worden. Met het aldus verkregen model kan men vervolgens het gedrag van

proefstuk tijdens een drukproef voorspellen. Om deze voorspelling te kontroleren, voeren we ook nog een drukproef uit. De proefstukken, waarmee de trekproeven zijn uitgevoerd, zijn niet

geschikt voor de drukproef. Voor de drukproef worden ronde schijven als

proefstukken gebruikt. Ook van deze proefstukken dienen de

referentiedoorsnede A en de hoogte h bepaald te worden. Hiertoe O O

worden de diameter en de hoogte gemeten. De diameter wordt weer met een

schuifmaat gemeten, terwijl de dikte met de verplaatsingsopnemer van de

Zwick-trekbank wordt gemeten.

3.2 Specificaties van de trekproef

Bij de trekproef spelen slechts twee grootheden een rol namelijk een krachtgrootheid en een vervormingsgrootheid. De trekproef wordt

uitgevoerd door een proefstuk met een axiale trekkracht te belasten en

wel zodanig dat, bij benadering, een uniaxiale spanningstoestand in het proefstuk zal ontstaan. Door deze belasting ontstaat een verlenging die

gemeten wordt. Het is ook mogelijk de verlenging voor te schrijven en

de kracht te meten die nodig is voor het tot stand brengen van deze

verlenging. Bij mijn experimenten heb ik daadwerkelijk de verlenging voorgeschreven en de trekkracht gemeten. Het materiaal dat beproefd

wordt, is niet echt elastisch, hierdoor is enige spanningsrelaxatie

onvermijdelijk. De spanningsrelaxatie kan het materiaalmodel

beinvloeden, daarom wordt de trekproef aangepast, zodat de

spanningsrelaxatie niet wordt meegenomen in de meting. Hiertoe wordt de

trekproef in verschillende stappen uitgevoerd. Op tijdstip t=O wordt een verplaatsing van 2 mm voorgeschreven met een verlengingssnelheid

een

13

mm van 4 . Na een halve minuut is de verplaatsing van 2 mm gerealiseerd en stopt de trekbank. De trekkracht veroorzaakt door de voorgeschreven verplaatsing neemt, ten gevolge van het

1 relaxatiefenomeen, geleidelijk af. Na 2- minuut is het materiaal 2 redelijk uitgerelaxeerd, de kracht wordt gemeten en op t=3 minuten kan

de volgende stap in de verplaatsing worden voorgeschreven. Deze

~~eetprouediire gordt 2G maai herhaaid. Men krijgt zadaende =p 20

tijastippen de Verplaatsing en de bijbehoreade kracht.

min

- t

figuur 3.2 Meetprocedure bij de trekproeven.

Figuur 3.2 geeft een beeld van de gevolgde procedure. De totale

Verplaatsing, van 20 maal 2 mm = 40 mm, is gelijk aan het maximum

bereik van de verplaatsingsopnemer van de Zwick-trekbank. Bij de

referentielengte van k 110 mm, ligt het bereik van h tussen 1 en 1,36.

3.3 Specificaties van de drukproef.

Voor de drukproef maak ik gebruik van de in figuur 3.3 weergegeven meetopstelling. Bij de drukproef wordt evenals bij de trekproef de

axiale verplaatsingsgrootheid voorgeschreven. De drukkracht en de radiale verplaatsing ter hoogte van het midden van het proefstuk worden

14

gemet en.

Schaevitz-DC-LVDT

verplaatsingsopnemer

axiale verplaatsingsopneme

figuur 3.3 Meetopstelling van de drukproef.

Omdat bij dit experiment ook spanningsrelaxatie optreedt, wordt ook de

drukproef in verschillende stappen uitgevoerd. Op tijdstip t=O wordt een verplaatsing van 0,2 mm voorgeschreven met een verlengingssnelheid van 0,4 - . De drukkracht die hierdoor ontstaat, zal vele malen hoger zijn dan de trekkracht bij de eerder besproken trekproef. Op tijdstip

t=5 minuten, worden de drukkracht en de radiale verplaatsing gemeten, dan kan de volgende stap in de axiale verplaatsing worden

voorgeschreven. Er worden 12 stappen in de verplaatsing gemaakt, dit leidt tot een totale verplaatsing van 12 maal 0,2 mm = 2,4 mm. De radiale verplaatsing wordt met een Schaevitz-DC-LVDT ( Linear

Variable Differential Transformer 1 verplaatsingsopnemer gemeten. Deze verplaatsingsopnemer bestaat uit een buitenmantel en een bijpassende kern. Beweegt de kern zich in de buitenmantel, dan verandert de capaciteit tussen kern en buitenmantel. De capaciteit tussen de kern en de buitenmantel is een maat voor de verplaatsing van de kern ten

opzichte van de buitenmantel. Alvorens deze verplaatsingsopnemer te

gaan gebruiken, dient hij geijkt te worden. De kern wordt hiertoe in de bovenklem van de Zwick-trekbank geplaatst. De buitenmantel wordt in de onderste klem bevestigd. De trekbank wordt ingesteld, vervolgens laat

men de kern in de buitenmantel zakken en registreert men het verband tussen de verplaatsing van de kern, weergegeven door de verplaatsingsopnemer van de Zwick-trekbank, en de waarde van de

mm min

15

spanning die de Schaevitz-DC-LDVT uitvoert.

figuur 3.4 Schaevitz-DC-LDVT verplaatsingsopnemer ijkcurve.

1 mm + 2,6843 V 1 V + 0,3725 mm

3.4 Aspekten bij de berekening van de drukproef

Bij de drukproef is het onmogelijk een homogene spanningstoestand te creëren. Men kan dus ook niet spreken over een rekpercentage, omdat er

oneindig veel verschillende rekken in het materiaal aanwezig zijn. Het

is niet mogelijk om met de gemeten krachten en verplaatsingen de

sgannings- en de rekgrootheden te berekenen, omdat men niet kan spreken

over dé spanning of dé rek. Het i s ook niet nodig om deze grootheden uit te rekenen omdat met behulp van de materiaalparameters, die voortvloeien uit de trekproef en de materiaalmodellen uit hoofdstuk 2,

de kracht en de verplaatsingsgrootheid numeriek met behulp van een

eindig elementen pakket als bijvoorbeeld "Diana", te berekenen zijn.

Bij de berekening met het eindig elementen pakket "Diana" moeten de randvoorwaarden aan boven en onderzijde van het proefstuk bekend zijn.

Deze randvoorwaarden zijn echter onbekend. Wel is het mogelijk om de twee uiterste gevallen te berekenen, omdat in de uiterste gevallen de randvoorwaarden wel bekend zijn. De bovengrens wordt bepaald door uit

1

16

te gaan van volledige stick tussen het proefstuk en de klemmen. Men

beschouwt de boven- en onderzijde van het proefstuk dan als ingeklemd.

Vervolgens kunnen de krachten en de radiale verplaatsingen met het

eindig elementen pakket "Diana" worden berekend. De ondergrens wordt bepaald door van het andere uiterste geval, namelijk volledige slip uit

te gaan. De boven- en onderzijde van het proefstuk worden nu in het - 7 1 V I S I & qb vun de inklemming als volledip vrij becchoiiwd. Er is dan wel eeri

homogene spanningssituatie ontstaan en de krachten kurìen met de relaties ( 2.22 1 en ( 2.28 1 voor respectievelijk Neo-Hookean en Mooney materiaalmodel worden berekend. Voor het berekenen van de radiale verplaatsing maakt men gebruik van de veronderstelde

incompressibiliteit. Hieruit kan de straal R. berekend worden. Trekt men hier de straal R vanaf, dan is de radiale verplaatsing AR bekend.

1

O

Vo = A. ho = 1rR2 h i i

( 3.1 1

- Ro AR = R i ( 3.3 1

De experimenteel gemeten krachten en radiale verplaatsingen dienen zich

nu tussen deze beide grenzen te bevinden, omdat in het experiment een

kombinatie van slip en stick zal optreden. Omdat de slip-stick-situatie in het uitgevoerde experiment onbekend is,

is er een tweede sessie metingen uitgevoerd. Bij deze tweede meetsessie

wordt het proefstuk gedurende het experiment door middel van fotografie

vastgelegd. De foto-negatieven worden uitvergroot met een projector.

Deze vergrotingen geven veel informatie over de vrije rand van het

proefstuk. Hieruit kan onder andere de maximale radiale verplaatsing en

de slip-stick-situatie aan de boven en onderzijde van het proefstuk

bepaald worden. Om duidelijk kontrast op de foto-negatieven te

verkrijgen, zijn de klemmen, waartussen het proefstuk geklemd is, mat

zwart gespoten. Het kontrast met het witte proefstuk is dan groot. Door het spuiten van de klemmen is de slip-stick-situatie niet meer te

vergelijken met de situatie, waar de klemmen nog niet gespoten waren.

17

De eigenschappen van de kontaktoppervlakken zijn veranderd. De metalen

klemmen zijn redelijk glad, dus treedt er relatief veel slip op. De mat

zwart gespoten klemmen zijn daarentegen veel ruwer waardoor er relatief

meer stick zal optreden.

3.5 Materiaal van de proefstukken.

Het materiaal waaruit de proefst-&ken bestaan is Silastic E RTV Silicone Rubber. Dit materiaal behoort tot de silicone elastomeren. Silastic E RTV Silicone Rubber is een sterk en scheurbestendig materiaal, wat is samengesteld uit een basismateriaal en een

katalysator. Het is belangrijk het basismateriaal en de katalysator in de juiste verhouding te mengen. Na toevoeging van de katalysator

vulcaniseert het materiaal en moet men 8 dagen wachten, voordat men het

materiaal gaat beproeven, omdat binnen de 8 dagen het materiaal nog van

eigenschappen kan veranderen.

18

HOOFDSTUK 4 : RESULTATEN VAN EXPERIMENTEN EN BEREKENINGEN.

4.1 Inleiding.

De resultaten van de, in het vorige hoofdstuk besproken experimenten zullen in dit hoofdstuk uitvoerig worden besproken. Allereerst zal ik

de resültâten -+ran de v i j f trekprieven bespreken. Vervolgens worder; m e t

een regressieprogramma het Neo-Hookean en ket I.ic>oney nateïiaalmvdel ep

deze gegevens gefit. Hieruit zal blijken welk materiaalmodel het beste voldoet. Voor dit model worden de boven- en ondergrens van de kracht en de radiale verplaatsing voor de drukproef bepaald. Tenslotte worden de

resultaten van de drukproef besproken.

4.2 Resultaten van de trekproef.

Van de vijf proefstukken zijn eerst de lengte lo, breedte bo en de dikte d gemeten. De gemiddelde waarden van deze grootheden zijn voor

alle vijf de proefstukken in tabel 1 weergegeven ( de tabellen staan in

de appendix I . Uit de gemiddelde breedte en de dikte is meteen de gemiddelde doorsnede A berekend. In tabel 2 zijn de resultaten van de

trekproef weergegeven, de trekspanningen P

daarbij behorende axiale verplaatsing u en de pseudotijd t. De spanningen uit deze tabel zijn berekend uit de krachten, door te delen door de doorsnede A van de proefstukken. De axiale verplaatsing u wordt omgerekend naar A, met relatie ( 4.1 I . De axiale verplaatsing u en de beginlengte lo, zijn voor alle vijf de trekproeven ongeveer gelijk, zodat ook A voor alle trekproeven ongeveer gelijk is. In

tabel 2 zijn daarom slechts voor de eerste trekproef de waarden van u

en A weergegeven. Voor de trekproeven 2 tot en met 5 zijn de waarden van u en A ongeveer gelijk aan die van trekproef 1. In de grafiek in figuur 4.1 zijn wel de afzonderlijke A ' s weergegeven.

O

O tot en met P5 met de

1

O

lo + u

l0 a=- 4.1 1

Het verband tussen de spanning PII en de rekgrootheid h wordt voor alle

19

vijf de trekproeven weergegeven in figuur 4.1. Uit deze grafiek blijkt dat de spanning bij een trekproef beduidend lager is dan die van de

andere. Bij nadere kontrole blijkt een proefstuk ook onregelmatiger van vorm te zijn dan de andere vier. Deze afwijkende meting zal om deze

reden dan ook niet in volgende beschouwingen worden meegenomen. In

figuur 4.2 is de vijfde meting dus ook verwijderd.

0.05

trekproeven 1 t/m 5 silastic

6

- e . . I I 1

a

figuur 4.1 resultaten van de vijf trekproeven.

Met de resultaten van de overige vier zijn de materiaalparameters, met behulp van een regressie programma bepaald voor de beide materiaalmodellen. De grafiek van het Neo-Hookean materiaalmodel is in

figuur 4.2 samen met de resultaten van de metingen weergegeven. Figuur 4.3 toont de grafiek van het Mooney materiaalmodel en de resultaten van de metingen.

20

trekproeven silastic i t/m 4 Neo-Hookean model

025

0.20

0.15

4 / 0.10 - '/ a/

'/ a / 0.05 - ,/ ./

/ I I I

1.40 0.00 1.10 1 .zo 1.30

rekgootkid ia- [-I

1 .o0

figuur 4.2 trekproeven en het Neo-Hookean materiaalmodel.

trekproeven silastic 1 t/m 4 Mooney model

- 0.30 i 2 0.25

e

u- 2 0.15

.- 2 I R) O

Q,

- li *i'

0.10

0.05

0.00

a' ./ -/

1 .o0 1.10 J 1 .zo 1.30 1.40

rekgootheid lambda [-I

figuur 4.3 trekproeven en het Mooney materiaalmodel.

21

Uit deze grafieken blijkt duidelijk dat het Mooney materiaalmodel voor het beproefde materiaal een beter model is dan het Neo-Hookean model. De constante a uit relatie ( 2.21 1 van het Neo-Hookean materiaalmodel is gelijk aan 0,3133 N/mm2. Voor het Mooney materiaalmodel zijn de

constanten a en 6 uit relatie ( 2.27 1 respectievelijk gelijk aan 0,1462 N/mm2 en 0,2113 M/mm2. Omdat het Mooney materiaalmodel gescninux is gzaii xe ;;;et dit mdel verds. Het cinstitutief mociei

geeft nu de volgende relatie tussen de eerste Pioia-gi~ckrPsff-spaiining

- -L L 1-L _ _

en de rekgrootheid A . i

4.3 Berekening van de boven- en ondergrens van de drukproef

Met het constitutief model uit relatie ( 4.2 1 is de drukproef door te rekenen voor bekende randvoorwaarden. Voor de volledige stick-situatie

gebeurt dit numeriek met het eindig elementen pakket "Diana". Allereerst wordt een mesh van het proefstuk gemaakt. Vanwege de symmetrie van het proefstuk, hoeft slechts een kwart gemodelleerd t e

worden, hierdoor wordt veel rekentijd bespaard. Er worden rotatiesymmetrische elementen gebruikt. Figuur 4.4 toont de mesh met de

element verdeling en de knooppunten.

Y

figuur 4.4 Elementenmesh.

AR

- 7

De onderzijde van de mesh is in x- en y-richting voorgeschreven. De

22

600

500

- 400 Z U Y

300 f 2

200

1 O 0

knooppunten 12, 18, 29, 35, 46 en 52 zijn in x-richting voorgeschreven. De bovenzijde van de mesh wordt in stappen in negatieve y-richting

verplaatst met een totale verplaatsing ter grootte - De constanten die ingevoerd moeten worden zijn de bulkmodulus en de ’ , welke respectievelijk de waarden 100.000, materiaalconstanten 5 en 5 0,0731 en 0,1056 hebben. De ingevoerde bulkmodulus correspondeert met Sljrìâ incGmpressihfliteit. De kracht in knooppunt 52 en de raûia:e

U 2 .

c1

. .

Verplaatsing van knooppunt 62 worden bij iedere stap in de axiale verplaatsing berekend. De bovengrens van de kracht en de radiale

verplaatsing is zo bepaald. Voor de volledige slip-situatie kan analytisch de ondergrens van de drukproef bepaald worden, zoals in

paragraaf 3.4 is toegelicht. De resultaten van de berekeningen van de boven- en ondergrens van de drukkracht Fd en de maximale radiale verplaatsing AR zijn in tabel 3 en in figuur 4.5 weergegeven ten opzichte van de axiale verplaatsing u.

boven en ondergrens van de drukproeven

O 0.00 0.50 1.00 1-50 2.00 2.50

axiale verplaatsing u [mml

al m - ü L

2.50

2.00

1.50

1 .o0

0.50

0.00

boven en ondergrens van drukproeven

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50

axiale verplaatsing [ml

figuur 4.5 Boven- en ondergrens van de drukproef.

23

4.4 Resultaten van de drukproef.

600

500

400

300

200

100

O

Er zijn twee drukproeven uitgevoerd, de eerste met metalen klemmen en de Schaevitz-DC-LDVT verplaatsingsopnemer en de tweede met mat zwart gespoten klemmen. Bij de tweede drukproef zijn foto's gemaakt, waaruit de radiale verplaatsing van de vrije rand van het proefstuk wordt gezetela. De res~ l tz ter? ï un beide dr~&proeven zijn weergeseven in tabel 4 en in figuur 4.6, waar tevens de boven- en ondergrens i n zijn

weergegeven.

drukproeven silastic met boven en ondergrens

2.50

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 axiale verplaatsing u [ml

. . . . . . . . &ukproef 2

drukproeven silastic met boven en ondergrens

2 .o0

1.50

1 .00

0.50

0.00 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50

axiale verplaatsing íml

. . . . . . . . drukproef 2

figuur 4.6 Resultaten van de drukproeven en hun boven- en ondergrens.

Uit de foto's volgen meer gegevens over de rand dan alleen de maximale

24

radiale verplaatsing, zo is ook de radiale verplaatsing aan de boven-

en onderzijde van het proefstuk gemeten. Deze verplaatsingen staan in

tabel 5. Uit deze tabel volgt de slip-stick-situatie van de boven- en

onderzijde van het proefstuk. Zet men dit in een grafiek uit, dan krijgt men de grafiek uit figuur 4.7.

si ip-stick situatie drukproef 2

0.60

0.50

0.40

0.30

0.20

0.10

0.00 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50

axiale Verplaatsing [ml

figuur 4.7 Slip-stick-situatie van de boven- en onderzijde.

In het eindig elementen pakket "Diana" wordt de koppeling tussen axiale

en radiale verplaatsing volgens het in figuur 4.7 aangegeven "gemiddelde" ingevoerd. Daarbij wordt de radiale verplaatsing lineair

over de knooppunten 1 tot en met 11 verdeeld. De radiale verplaatsing van de knooppunten 1 tot en met 11 is nu afhankelijk van de axiale verplaatsing u. Drukproef 2 wordt nu met deze randvoorwaarde berekend. Men krijgt met deze randvoorwaarde een betere schatting van de

werkelijke drukproef. In werkelijkheid zal de slip-stick-situatie waarschijnlijk niet lineair over de boven en onderzijde van het proefstuk verdeeld zijn. Maar de kombinatie van slip en stick die nu in

de berekening wordt meegenomen zal er toe leiden dat de berekening

25

dichter bij de resultaten van drukproef 2 zal komen te liggen dan de

beide grensgevallen, die alleen volledige slip of volledige stick

weergeven. De resulaten van de bovenstaande berekening staan in tabel 6

en in figuur 4.8.

drukproef 2 si!astic met berekening

600

500

400

300

200

100

0 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50

axiale verplaatsing u ímml

&Woef 2 . . . . .

bwekend slip-stick

---

drukproef 2 silastic met berekening

2 . /?' 0.00

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 axiale verplaatsing [ml

. . . . . &&proef 2

berekend slip-stick

---

figuur 4.8 Drukproef 2 met linear verdeelde slip-stick-situatie.

26

HOOFDSTUK 5 : EINDCONCLUSIES.

Aan de hand van de resultaten, in hoofdstuk 4, kan men een aantal conclusies trekken. Deze conclusies hebben betrekking op het beproefde materiaal en de beide materiaal modellen.

- Uit de resultaten van de trek- en drukproeven volgt dat het materiaal Silustic Y RTV Silic1~1e Ri'nber bij een constante belactins

spanningsreiaxaiie vertoont. - De vier trekproeven zijn gezien de spreiding van de meetresultaten in figuur 4.2, zorgvuldig uitgevoerd. De Neo-Hookean en Mooney materiaal

modellen kunnen hierdoor, met een kleinste kwadraten methode, goed over de meetresultaten gelegd worden. - Uit de figuren 4.3 en 4.4 blijkt, dat het Mooney materiaalmodel beter op de meetresultaten ligt dan het Neo-Hookean materiaalmodel. Men kan

hieruit concluderen, dat het materiaal Silastic E RTV Silicone Rubber beter door het Mooney materiaalmodel beschreven wordt, dan door het

Neo-Hookean materiaalmodel.

- De karakteristieken van de drukkracht van drukproef 1 en 2 blijken tussen de berekende boven- en ondergrens te liggen, voor het Mooney

materiaalmodel. - De karakteristiek van de drukkracht van drukproef 2 ligt dichter bij de bovengrens en de karakteristiek van de drukkracht van drukproef 1 ligt dichter bij de ondergrens. Dit is te verklaren door de wrijving

tussen het proefstuk en de klemmen. Bij drukproef 1 zijn gladde metalen klemmen gebruikt en bij drukproef 2 mat zwart gespoten klemmen, die

aanmerkelijk ruwer zijn. Hierdoor is de wrijving bij drukproef 1 lager dan bij drukproef 2 en treedt in het geval van drukproef 1 meer slip op, zodat de karakteristiek van de drukkracht van drukproef 1 dichter bij de ondergrens ligt. In het geval van drukproef 2 treedt meer stick op, de karakteristiek van de drukkracht van drukproef 2 ligt daarom ook

dichter bij de bovengrens. - De berekende karakteristiek van de drukkracht van drukproef 2, met gecombineerde slip-stick randvoorwaarden, benadert drukproef 2

redelijk. Dat er toch nog verschil is, is te verklaren door het, in de berekening veronderstelde, lineaire verloop van de radiale verplaatsing

over de boven- en onderzijde van het proefstuk.

27

- De karakteristieken van de maximale radiale verplaatsing van

drukproef 1 en 2 blijken niet tussen de boven- en ondergrens, voor het

Mooney materiaalmodel te liggen. Hiervoor zijn twee verklaringen te vinden. Ten eerste is de positie van de klemmen, waartussen het

proefstuk zich bevindt, wanneer het experiment wordt gestart, niet eenduidig bepaald. Er kan namelijk lucht tussen de klemmen en de boven-

zn onderzijde VUE het priefst i i l zitten. 'w'ordt de axiale verplaatshg n~

ingezet, dan volgt er nog geen radiale verplaatsing, omdat de lucht

eerst ontsnapt. De karakteristieken van de maximale radiale

verplaatsing van drukproef 1 en 2 komen hierdoor verder naar rechts te

liggen. Een tweede verklaring is compressie van het materiaal. Het is niet ondenkbaar dat er in het proefstuk luchtbelletjes zitten, die

samengeperst worden. De karakteristieken van de maximale radiale

verplaatsing van de drukproeven komen hierdoor lager te liggen.

- De steilheid van de karakteristieken van de maximale radiale

verplaatsing van de drukproeven is van dezelfde orde grootte als de

steilheid van de boven- en ondergrens. - De steilheid van de karakteristiek van de maximale radiale verplaatsing van drukproef 1 ligt dichter bij die van de ondergrens. De

steilheid van de karakteristiek van de maximale radiale verplaatsing

van drukproef 2 ligt dichter bij die van de bovengrens en komt overeen met die van de, met gecombineerde slip-stick randvoorwaarden berekende

karakteristiek.

- Na vergelijking van de drukproeven met de, met het Mooney materiaalmodel berekende karakteristieken, is er geen reden om het

Mooney materiaalmodel te verwerpen. Het Mooney materiaalmodel, waarmee Silastic E RTV Silicone Rubber beschreven kan worden, is hieronder weergegeven.

PI = 0,1462.(A - - ) + 0,2113*( 1 - - A2 A3

28

HOOFDSTUK 6 : VOORTGANG.

Omdat de karakteristieken van de maximale radiale verplaatsing van de

drukproeven niet tussen de boven- en ondergrens liggen, en dit aan de compressibiliteit van het materiaal Silastic E RTV Silicone Rubber kan

liggen, is het nuttig om een compressieproef uit te voeren. De resultaten van Se experimenteni d i e ie deze stage verricht zijn, geven

voldoende redenen om het materiaal Silastic E RTV Cilic~se Rirbber xet

het Mooney materiaalmodel te beschrijven. In het kader van het knieproject dient op korte termijn voor twee andere soortgelijke materialen het materiaalmodel bepaald te worden. Dit kan op dezelfde wijze als in dit rapport beschreven is, worden uitgevoerd. De gegevens

van deze materialen kunnen dan gebruikt worden in het huidige model van het kniegewricht. Hierdoor krijgt men enig inzicht in de

belastingssituatie van het kniegewricht. Op langere termijn moeten de

elastische materialen vervangen worden door materialen die de

werkelijke materialen in het kniegewricht beter benaderen.

29

LITERATUURLIJST .

([11) S.C. Hunter (1983). "Mechanics of continuous media."

(121) W.A.M. Brekelmans (1986). "Niet-lineaire Mechanica : basis."

I lengte I breedte mm mm

proefstuk 1

proefstuk 2

prGefctlA 3

proefstuk 4

proefstuk 5

111,o 10,3

111,o 10,3

îo,5 - - - > I ! / 0 - _

î î î , u iG,1

110,o 10,4

* - r

dikte

mm

O, 85

o, 91

u: 94

3,95

1,02

doorsnede 2 mm

8,82

9,34

??,a= 9,5?

10,55

tabel 1 Geometrie van de proefstukken.

t

min

O

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

33

36

39

42

45

48

51

54

57

60

U

mm

O

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

40

1,o

1,0184

1, o355

1, 0542

1,0724

1,0897

1,1079

1,1261

1 1443

1,1622

1,1791

1,1986

1,2162

1 , 2344

1,2524

1,2714

1 , 2885

1,3063

1,3245

1,3423

1,3595

N/llUl12

090

0,0193

E , '380

û , U567

O , 0731

O , 0879

o, 1020

O , 1156

O, 1281

O , 1406

O , 1514

O, 1638

O , 1740

O , 1848

o, 1950

O , 2058

0,2154

O , 2256

O , 2358

O , 2455

O , 2551

pz N/m2

090

o, o199

0,0396

u, 0565 O, 0723

O, O871

o, 1010

O , 1139

O, 1265

O , 1383

O, 1494

O, 1605

O, 1710

O, 1813

O , 1911

o, 2012

o, 2110

o, 2202

O , 2299

O, 2391

O, 2483

p3 N/rnm2

090 O, 0192

i^i i 03-79

u, u549

0,0710

O, 0857

O, 0998

O, 1130

O , 1255

O, 1373

O, 1489

O, 1604

O, 1712

O, 1816

O , 1918

o, 2020

o, 2122

o , 2222

O , 2322

O, 2418

0,2511

p4 N/Wl12

o, 0

O , 0198

0 , U383

u , u547

O , 0705

O, 0849

O , 0984

o, 1111

O, 1229

O , 1344

O, 1456

O, 1564

O, 1668

O , 1772

O, 1872

O , 1970

O, 2066

O, 2164

O, 2257

O , 2351

O, 2444

p5 N/rnrn2

090

O, 0205

U , 0389 3, 3555

O , 0707

O , 0847

O , 0980

o, 1101

O , 1219

O , 1329

O , 1435

O , 1537

O , 1636

O , 1732

O , 1827

O , 1918

o, 2009

O , 2098

O , 2189

O , 2276

O , 2363

tabel 2 Resultaten trekproeven.

ondergrens

AR rnrn

090

o, 163 o, 330 O, 502

O, 675

O, 862

1, o51

1,246

1,447

1,655

1,870

2 ? 093

2,324

F N

o , 0

In, 8

38,8

60,7

83,6

108,l

134,7

164,8

195,l

227,7

263,l

302,3

346,5

bovengrens

0 , O

n,224

o , 452 O, 686

O, 925

1,169

1 , 419 1,674

1,936

2,201 -

-

F N

090 46,3

96,9

152,1

212,5

278,4

350 ? 2

428,1

512,5

604,1 - -

tabel 3 Berekende boven en ondergrens van de drukproef.

drukproef 1

o , 022 G9 125

o 5 278

O, 458

O, 623

0,791

O, 976

1,170

1,336

1 , 533 1,732

1,950

2,177

F N

0,3 26,s

66,s

111,2

149,3

188, O

229, O

269, O

306,6

346,5

391,2

436,5

481,5

tabel 4 Resultaten drukproeven.

U

mm

0 , O

O, 47

0,87

1,24

1,59

2,Ol

drukproef 2

AR mm mm mb O

0 , O 090

o, 11 o, 12 0,21 o , 12 o, 21 0,26

0,51 0,36

0,61 0,54

drukproef 2

AR m

F N

5,2 á9,4

66,2

113,4

163,2

216,1

272,7

328, O

388,4

448,Z

514, O - -

tabel 5 Slip-stick-situatie aan de boven en onderzijde van het

proefstuk.

U mm

berekend

AF3 mm

0 , O

0,220

O, 439

O, 658

O, 889

1,125

1,368

1,744

1,873

2,135

2,403

F N

090

34,3

81,5

126,5

177,3

233,0

294,2

397,2

434,7

514,9

602,5

tabel 6 Berekening van de drukproef met bekende slip-stick-situatie.