Conseguenze generali delle leggi di Newton. Principi di conservazione

Note le forze, la 2a L. di Newton consente di calcolare il moto di un corpo. E’ solo questione di calcolo

Tuttavia si possono dimostrare alcune proprietà o leggi generali molto importanti, perché

• forniscono un punto di vista globale di applicabilità generale

• la loro validità trascende di gran lunga i limiti della meccanica newtoniana

Il lavoro di sistemazione della meccanica classica copre un lungo periodo storico: dalla pubblicazione

dei “Principia” di I.Newton (1687) ai lavori di P-S de Laplace e W.R.Hamilton (1796 - 1835)

Queste sono formulate come “leggi di conservazione”, nel senso che, a certe condizioni,

alcune quantità rimangono costanti durante l’evoluzione del sistema.

Conservazione dell’Energia (invarianza per traslazione temporale: omogeneità del tempo)

Conservazione della quantità di moto (invarianza per traslazione: omogeneità dello spazio)

Conservazione del momento angolare (invarianza per rotazione: isotropia dello spazio)

sono considerate le leggi più generali della Fisica e derivano in ultima analisi da

simmetrie fondamentali dello spazio-tempo.

Altezza massima raggiunta da un corpo con velocità iniziale v0

g

vh

2

2

0

v0

h

in entrambi i casi

e in molti altri

v0

h

Esempio 1.

Energia meccanica - Introduzione. C’è sotto qualcosa?

h

v0 il modulo della velocità all’impatto vale: ghvv f 22

0

Velocità al suolo di un corpo lanciato con velocità iniziale v0 Esempio 2:

indipendentemente dall’angolo di lancio

sFFssFABFW T cos

Esempio:

lavoro di una forza costante, il cui punto di applicazione si sposta da A a B.

rs

F

A B

900

180900

9000

W

W

Wlavoro motore

lavoro resistente

lavoro nullo

Unità di misura è il Joule. grandezza scalare 2

2

s

mkgNmJW

Lavoro di una forza - definizione

prodotto scalare

Nota: questo è un esempio particolare, non la definizione generale di lavoro (*)

(*) Non dire che il lavoro è «forza per spostamento»

dsFsdFW

B

A

B

A

cos,,

F

A

B

s

d

In generale, il lavoro dipende dal tragitto.

in componenti cartesiane:

B

A

Z

B

A

Y

B

A

X

B

A

ZYX dzFdyFdxFdzFdyFdxFW ,,,,

sdFdW

Nel caso generale si divide il tragitto in tratti

abbastanza piccoli che la forza F si possa

considerare costante in ognuno di essi

queste sono le formule da ricordare!

Lavoro di una forza il cui punto di applica-

zione si sposta da A a B lungo la linea .

attenzione: i tre integrali non sono indipendenti.

Lavoro di una forza - definizione

smgABgmWP sin

Massa che scivola da A a B su un piano inclinato liscio (AB=s)

0NW smgWWW NPTOT sin

A

B P

P

||P

N

moto uniformemente accelerato con singa sgvv

if sin

22

22

moltiplicando per la massa: 22

22ifTOT v

mv

mW ovvero KTOT EW

Energia cinetica di un punto materiale

m

pv

mEK

22

22

Js

mkgEK

2

2

grandezza scalare, si misura in

Il risultato appena ottenuto è un caso particolare di un teorema generale

Lavoro di una forza - Esempio

dtmvdt

ddtv

dt

vdmsd

dt

vdmsdF

2

2

1

Teorema dell’Energia cinetica

KTOT EW

B

A

sdFW

KiKfAB

B

A

EEvm

vm

sdFW 22

22

ovvero

di validità generale, conseguenza delle sole leggi di Newton

v F

v F

v F

se W>0 l’energia cinetica aumenta (|v| aumenta)

se W<0 l’energia cinetica diminuisce (|v| diminuisce)

se W=0 l’energia cinetica non varia

12

3

Il segno del lavoro non è convenzionale! Non dipende dalla scelta delle coordinate.

per un punto materiale

Si consideri un punto materiale soggetto alla forza risultante F. In uno spostamento da A a B

il teorema è stato dimostrato per un punto materiale. Vedremo in seguito che si può

estendere ad un sistema qualsiasi

K

N

k

kTOT EWW 1

lavoro della forza Fk

la formula è identica ma c’è una differenza importante: se il sistema non è un punto

materiale il lavoro totale (somma del lavoro di tutte le forze) non è uguale al lavoro

della forza risultante

totF

N

k

k WW

1

(L’uguaglianza è garantita solo per un punto materiale)

Teorema dell’Energia cinetica – precisazione importante

Potenza

Il lavoro per unità di tempo si dice potenza.

vFdt

sdF

dt

dWP

t

WP

si misura in Watt:

potenza media potenza istantanea

grandezza scalare

Un’auto (m=1200kg) accelera da 0 a 100km/h in 6.0s.

Determinare la potenza media erogata e la potenza

istantanea massima nell’ipotesi di accelerazione costante.

kWt

E

t

WP K 77

FvvFP

kWFvP MAXMAX 154

3

2

s

mkg

s

JWP

2/63.4 smt

va

kNmaF 56.5

Lavoro di forze particolari - Forza peso

non dipende dal percorso, ma solo dagli estremi A e B

ABPsdPsdPW

B

A

B

A

,,

ABYYXX yymgABPABPW

0 AB xx AB yy -mg

proprietà di ogni forza costante, non solo forza peso.

Se yf > yi (il punto sale) il lavoro è negativo: l’energia cinetica diminuisce

Se yf < yi (il punto scende) lavoro positivo: l’energia cinetica aumenta

A

B

h

O

yA

yB

x

gmP

ABP yymgW

dxkxdW

Dipende solo dalla posizione iniziale e finale.

x

FEL

2

1

2

2

2

12

xxk

kxdxW

x

x

Lavoro di forze particolari - Forza elastica

2

1

2

22

xxk

WEL

12

12

0

0

xxW

xxW

EL

EL distensione

compressione

lunghezza del tragitto G G DADW f

dipende dal tragitto

è sempre negativo

GG

B

A

D

B

A

D dsdsW,,

ff

Lavoro di forze particolari - Forza di attrito dinamico

si consideri per semplicità il moto su un piano orizzontale, da A a B lungo la curva G.

Se l’unica forza verticale è la forza peso, il modulo di fAD è costante.

dssddW DD ff

dtv

opposta alla

velocità

A

B G

Il lavoro della forza di attrito dinamico

g

h A

B

una forza si dice conservativa se il suo lavoro non dipende dal tragitto ma solo

dalla posizione iniziale e finale

ABABAB WWW hg ,,

Una forza si dice conservativa se il suo lavoro lungo qualsiasi percorso chiuso è nullo

Forze conservative. Due definizioni equivalenti

E’ più corretto parlare di campi di forza: una forza conservativa può dipendere solo della posizione

0,,,,

B

A

B

A

A

B

B

A

sdFsdFsdFsdFsdFhghg

Def. 1

Def. 2

0 sdF

Sono definizioni equivalenti. Infatti:

Osservazione: non si può ottenere lavoro da una forza conservativa su un percorso chiuso.

Le forze il cui lavoro non dipende dal tragitto hanno un ruolo importante; sono dette conservative

ABPPP WAEBEE

Energia potenziale

Il lavoro della forza conservativa, cambiato di segno, è pari alla variazione di energia potenziale

Se una forza è conservativa si può definire una funzione della posizione (EP) tale che

A

B

la definizione ha senso perché WAB non dipende dal tragitto

(definizione “del libro”)

PEPè l’energia potenziale nel punto P

Osservazione: PEP kPEP

l’energia potenziale è definita a meno di una costante additiva.

[EP]=[W]=J grandezza scalare

g

h O

P Un modo forse più intuitivo di definire l’energia potenziale

della forza conservativa F:

P

O

PP sdFEPE 0)(

L’arbitrarietà della costante non è un problema: hanno senso solo le variazioni di energia potenziale

• Si sceglie un punto O arbitrario

• Si definisce EP(O) = EP0 arbitrario

• Nel punto P, EP vale:

La definizione ha senso perché l’integrale non dipende dal tragitto

L’energia potenziale è definita a meno della costante additiva EP0

Il lavoro WAB si può esprimere in funzione di EP calcolata in A e in B:

PPPOPPO

B

O

O

A

B

A

AB EBEEAEEsdFsdFsdFW

Energia potenziale (Altra definizione)

cost mgyEP

Energia Potenziale della forza peso

fi mgymgyW

PfPi EEW

nel caso della forza peso:

EP>0 se y>0 (W<0 e quindi EK<0)

EP<0 se y<0 (W>0 e quindi EK>0)

y è la coordinata su un asse verticale orientato «in su» (cioè opposto a g)

Dalla definizione di energia potenziale:

ogni funzione EP del tipo

Che EP sia definita a meno di una costante arbitraria appare anche dal fatto che l’origine

dell’asse y si può scegliere in modo arbitrario

costante arbitraria

Osservazioni:

soddisfa le condizioni

2

2x

kEP

In genere si pone cost=0 (EP nulla se la molla è a riposo)

+ cost.

Energia potenziale elastica

Dal confronto delle due espressioni si ricava:

22

22if x

kx

kW

PfPi EEW

nel caso della forza elastica:

Dalla definizione di energia potenziale:

gm

xk

In presenza di più forze conservative l’energia potenziale

è la somma delle energie potenziali.

PTOTPEPPEP EEEWWW

con PEPPPTOT EEE

Caso di più forze conservative

forza peso forza elastica

Se le forze sono tutte conservative

Energia meccanica:

Teorema di conservazione dell’energia meccanica

PFPIKIKF EEEE

PIKIPFKF EEEE 123 123

Se un corpo è soggetto a sole forze conservative, la sua energia meccanica è costante

KEW

PKM EEE

MIMF EE

PK EE Teorema dell’energia cinetica:

PEW

Definizione:

In altri termini:

Conservazione dell’energia meccanica

v0

Corpo lanciato verso l’alto Esempio con la forza peso.

mghvm

mghEEE

vm

EEE

PfKff

PiKii

20

20

20

02

Corpo lanciato verso l’alto lungo

un piano inclinato liscio.

v0

corpo lanciato lungo una guida liscia qualsiasi

Qual è l’altezza massima che può essere raggiunta?

il risultato non dipende dai dettagli del moto ma dalla conservazione dell’energia meccanica

g

vh

2

2

0

Conservazione dell’energia meccanica

Pendolo.

)cos1(2

2

cos0

0

2

max

2

max

0

mgvm

mgvm

EEE

mgEEE

PfKff

PiKii

Pendolo lasciato andare da un’inclinazione 0 rispetto alla verticale. Calcolare la velocità

nel punto più basso

Nota: Queste non sono piccole oscillazioni

Quanto vale la tensione del filo nel punto più basso?

2vaN

NmamgT

velocità e tensione ad un angolo generico?

v=0 0

T

gmv

0cos23 mgT

m

k

x

inizio fine

La massa m è lasciata andare con vi=0 e molla a riposo.

Trovare l’allungamento massimo della molla

doppio dell’allungamento all’equilibrio

k

mgxMax 2

00 PiKii EEE

mgxx

kEEE PfKff

2

20

Conservazione dell’energia meccanica

h

x

compressione massima della molla?

dzFdyFdxFsdFdWdE ZYXP

se si considera uno spostamento lungo x: dy = dz = 0 dxFdE XP

z

EF

y

EF

x

EF

PZ

PY

PX

Si è visto come si ricava l’energia potenziale data una forza conservativa.

Consideriamo il problema inverso: ricavare la forza (conservativa) data l’energia potenziale

In un caso 1D dx

dEF P

X

Esempi ….

La forza (conservativa) è sempre diretta nel verso di EP decrescente.

Forze conservative ed Energia potenziale

PP EEF

grad

x

EF P

X

si riassume dicendo

massa m vincolata all’estremo

di una molla ideale di costante k

su piano orizzontale liscio.

Grafico dell’Energia (caso 1D)

v

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

2

2x

kEP

cost22

22 vm

xk

EM

EP

EK

F

equilibrio

Grafico dell’Energia (caso 1D)

punti di inversione

EP

x

EM

posizioni di equilibrio

x

EM

EP

max min min

Energia meccanica in presenza di forze NON conservative

KNCCTOT EWWW

PKNC EEW

Teorema dell’energia cinetica:

PE

MNC EW

Il lavoro delle forze non conservative produce una variazione di energia meccanica.

L’energia meccanica di un sistema può essere modificata solo mediante il lavoro di

forze non conservative.

Quali sono le forze non conservative?

Oltre alle forze di attrito (radente o viscoso), resistenza del mezzo ...

consideriamo non conservative anche le “forze applicate” (muscolare, motore ...)

lavoro delle forze

non conservative

lavoro delle forze

conservative

Energia meccanica in presenza di forze NON conservative

che lavoro si deve fare per

mettere in orbita un satellite?

che lavoro si deve fare per portare il

pendolo dallo stato A allo stato B?

m

A B

A B

PKMF EEEW

il lavoro della «forza applicata» (o «esterna») F, considerata non conservativa, è

Se l’energia cinetica non varia (ad es. lavoro necessario per sollevare un oggetto)

PF EW