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Conocimientos previos

Tema 1: Algebra

Factorización

Factor común Consiste en utilizar la propiedad distributiva, para lo cual se efectúan los siguientes pasos:

Se calcula el máximo común divisor (MCD) de los coeficientes (constantes) de los monomios que

forman el polinomio.

Se determina, entre los factores literales (variables) del polinomio las variables comunes de menor

exponente.

El factor común es el monomio cuyo factor numérico es el MCD obtenido en el primer paso, el factor literal estará formado por todas las variables comunes de menor exponente, conseguido en

el paso anterior.

La factorización del polinomio es la multiplicación del factor común por el polinomio que resulta

de dividir cada término del polinomio dado entre el factor común.

Nota: cuando todos o algún coeficiente del polinomio es un número fraccionario, primero se procede a

efectuar la suma o resta entre los monomios que lo forman, antes de factorizar.

Agrupación: Consiste en descomponer el polinomio en grupos de igual número de términos (con excepción de las que

agrupan polinomios que se pueden factorizar mediante fórmulas notables), obteniendo un factor común

de cada grupo seleccionado, para luego encontrar un factor común entre cada uno de los grupos, para así

llegar a la multiplicación que forma la factorización del polinomio.

Fórmulas (productos) notables 2 2 2( ) 2a b a ab b 2 2 2( ) 2a b a ab b

2 2( )( )a b a b a b 3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b

3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b 2 2 3 3( )( )a b a ab b a b 2 2 3 3( )( )a b a ab b a b

Para determinar si un polinomio se factoriza mediante productos notables, se debe comprobar primero

que tiene la forma de los mismos, para luego aplicarlos.

Fórmula general

Se emplea para polinomios de la forma 2ax bx c (trinomio cuadrático), con 0a y , ,a b c .

Definición: se llama discriminante del trinomio de segundo grado a la expresión 2 4b ac y se representa

con el símbolo , entonces 2 4b ac

Teorema: Sea el trinomio 2( )P x ax bx c con 0a y 2 4b ac , entonces se cumple que

Si 0 ( )P x no es factorizable en

Si 0 ( )P x tienen dos factores diferentes y su factorización viene dada por

2

1 2( ) ( )( )P x ax bx c d x x x x , donde 12

bx

a

y 2

2

bx

a

con d

Si 0 ( )P x tienen dos factores iguales, entonces 2 2

1( ) ( )P x ax bx c d x x con

d

Inspección

Sea 2( )P x ax bx c con 0a , ,a b c , este método consiste en

determinar dos expresiones que multiplicadas den el termino “ 2ax ” (1) y dos expresiones

que multiplicadas den “c” (2)

2 se multiplican en cruz los términos de (1) con los de (2)

comprobamos que los valores escogidos en el primer paso es correcta, si al sumar los

productos del segundo paso dan el término 2ab del polinomio.

Definición: Sea P un polinomio, se dice que es un cero del P sii ( ) 0P

Teorema del factor El teorema del factor se realiza mediante la división sintética y sirve para determinar la factorización de

polinomios de grado mayor que dos, siguiendo los siguientes pasos:

Se determinan los ceros del polinomio

Se toma uno de los ceros del polinomio para realizar la división sintética, entre el

polinomio y el cero.

Formamos los factores, resultantes de la división

Si el grado de algunos de los factores es igual o mayor a dos, se repite los pasos anteriores

hasta determinar factores irreducibles.

Sustitución Este método se utiliza para polinomios de grado mayor que dos, donde los exponentes son múltiplos de

un mismo número. Para factorizar el polinomio se realiza un cambio de variable, con la intención de

convertir el polinomio en uno de menor grado, la mayoría de veces se trabaja con trinomios cuadráticos Reglas a seguir en la factorización

( ) ( )n na b b a , si n es par

( ) ( )n na b b a , si n es impar Expresiones Algebraicas Racionales

Definición: Sean ( )N x y ( )D x dos polinomios. La expresión ( )

( )

N x

D x recibe el nombre de fracción

algebraica racional con ( ) 0D x

Simplificación de fracciones Para simplificar una fracción se factoriza el numerador y el denominador, para luego cancelar los factores

iguales entre cada una de las partes de la fracción.

Adición y sustracción de fracciones algebraicas El proceso para sumar fracciones consiste en seguir los siguientes pasos:

Se factoriza los denominadores que forman la expresión

Se determinan las restricciones de los denominadores

Se calcula el común denominador que estará formado por el producto de los factores comunes y

no comunes de mayor índice.

El común denominador se divide entre cada uno de los denominadores y el cociente se multiplica

por el respectivo denominador.

Finalmente, se simplifica la fracción algebraica resultante y se indican las restricciones

respectivas, obtenidas en el segundo paso.

Multiplicación de fracciones algebraicas Pasos a seguir para multiplicar fracciones algebraicas:

Se factorizan todos los numeradores y denominadores

Se determinan las restricciones de los denominadores

Se cancelan los factores iguales, entre los numeradores y denominadores

Se multiplican los factores que no se simplificaron en el paso anterior y se reducen los términos

semejantes (si los factores son muchos o de expresiones muy largas, no se realiza este paso)

3

División de fracciones algebraicas Para dividir fracciones algebraicas se procede en convertirla en una multiplicación de la siguiente manera:

Se convierte cada uno de los signos de división a los de multiplicación

Se efectúa la multiplicación entre la primera fracción que forma la división y los recíprocos de las

demás fracciones que constituyen la operación original.

Fracciones complejas Definición: Una fracción compleja, es una expresión racional que tienen una o más fracciones en el

numerador, en el denominador o en ambos.

Entonces si a

b y

c

d son fracciones algebraicas con , 0

cb

d , entonces

a

bc

d

, es una fracción compleja.

Simplificación de fracciones complejas Se resuelven las operaciones que hallan en el numerador y el denominador

Se simplifica cada uno de los resultados obtenidos en el paso anterior.

Se determinan las restricciones correspondientes.

Se multiplican extremos por extremos y medios por medios, donde la primera multiplicación

forma el numerador de la fracción a determinar y la segunda el denominador

Se simplifica la fracción resultante.

Ecuaciones Ecuación cuadrática Definición: una ecuación cuadrática o de segundo grado en una variable, es aquella que se puede

expresar de la forma 2 0ax bx c , con a, b , c números reales y 0a ,donde “x” es la variable y

satisface la ecuación para a lo sumo dos valores reales.

Solución de una ecuación cuadrática

Para resolver ecuaciones cuadráticas (determinar sus raíces), se debe tomar en cuenta si alguna de sus

constantes es cero.

Caso 1 Si 0c

Igualamos la ecuación a cero

Factorizamos , mediante factor común , el polinomio que forma la ecuación

Utilizamos el principio nulo del producto, ie 0 0 0a b a b

Se resuelve cada una de las ecuaciones resultantes

Caso 2 Si 0b

En este caso se resuelve la ecuación, de tal manera que de un lado del igual (=) este el término

cuadrático (x2) y del otro las constantes.

Para encontrarlas soluciones se utiliza la propiedad 2x x x

: : : ... ...a c e a d f

b d f b c e

Medios Extremos

a

bc

d

a d

c b

es la fracción resultante

4

Análisis del discriminante

Sea la ecuación cuadrática 2 0ax bx c , con a, b, c números reales, 0a y 2 4b ac ,

entonces se cumple que:

Si 0 la ecuación no tienen raíces reales S

Si 0 la ecuación tiene una raíz real repetida2

bS

a

Si 0 la ecuación tiene dos raíces reales diferentes2

bS

a

Caso 3 Si , , 0a b c

Igualamos la ecuación a cero

Factorizamos (inspección, fórmula general o teorema del factor) , el polinomio que forma la ecuación

Utilizamos el principio nulo del producto, ie 0 0 0a b a b

Se resuelve cada una de las ecuaciones resultante

Nota: Recordemos que en la ecuación 2 3 2x x las raíces son 1 2 , el conjunto solución es

2, 1S y sus factores son ( 1) ( 2)x x

Análisis de los términos de la ecuación cuadrática

Además de las características del discriminante, podemos determinar algunas generalidades de las

ecuaciones de segundo grado si se cumple que

Si c = 0, la ecuación tiene una raíz nula

Si b = 0, la ecuación tiene raíces opuestas

El producto de sus raíces da como resultado c

a, ie si 1 2x x son las raíces (soluciones) de la

ecuación 2 0ax bx c ,entonces 1 2

cx x

a

La suma de sus raíces da como resultado b

a

, ie si 1 2x x son las raíces (soluciones) de la

ecuación 2 0ax bx c ,entonces 1 2

bx x

a

Ecuaciones de grado mayor que dos Definición: una ecuación de grado mayor que dos en una variable, es aquella que se puede expresar de la

forma 1

1 1 0... 0n n

n na x a x a x a

, na con 0,..., y 0nn n a , donde “x” es la variable y

satisface la ecuación para a lo sumo n valores reales.

Procedimiento `para resolver ecuaciones de grado mayor que dos

Igualamos la ecuación a cero

Factorizamos el polinomio que forma la ecuación, mediante el teorema del factor o sustitución, con el fin de reducir uno o varios de sus factores en polinomios cuadráticos y

lineales.

Utilizamos el principio nulo del producto, ie 0 0 0a b a b

Se resuelve cada una de las ecuaciones resultantes

2 0ax bx c

5

Ecuaciones con radicales Definición: una ecuación radical es aquella en donde la incógnita aparece dentro de un signo radical.

Raíces de una ecuación radical

Como el conjunto solución (soluciones) de una ecuación radical de índice par, está limitada a que éste sea

parte del conjunto de 0, , entonces se debe probar las soluciones encontradas, para verificar si éstas

pertenecen a la ecuación original.

Procedimiento para resolver ecuaciones con radicales

Para resolver este tipo de ecuaciones se utiliza la potencia de un radical, en el cual el índice de la raíz y el

exponente de la potencia sean el mismo, es decir n

n x x , así como las fórmulas notables, en

algunos casos.

Ecuaciones con fracciones algebraicas Definición: es aquella ecuación que posee incógnitas en algunas o todas las fracciones que la forman, sus

denominadores deben ser diferentes de cero.

Procedimiento para resolver ecuaciones con expresiones racionales algebraicas

Consiste en convertir una ecuación fraccionaria en una ecuación equivalente entera, mediante los

siguientes pasos:

Se convierte el lado derecho y el lado izquierdo de la ecuación en una fracción.

Se factorizan cada uno de los polinomios, de cada lado del signo de igual.

Se determinan las restricciones de cada factor, que forma el denominador.

Se simplifican denominadores comunes, si es posible.

Se multiplica en cruz si es necesario o se iguala a cero.

Se resuelve la ecuación resultante.

Se verifica que las soluciones halladas no indefinan la ecuación original, ie que la o las posibles soluciones no sean restricciones.

Ecuaciones con valor absoluto Definición: es aquella en donde la incógnita se encuentra al menos dentro de un valor absoluto y se

cumple que

kx si y sólo si kxkx o

Procedimiento para resolver ecuaciones con valor absoluto

Recordemos que un valor absoluto siempre es positivo, aunque estemos calculándoselo a un número

negativo, por eso para resolver este tipo de ecuaciones, se debe trabajar con los dos valores posibles de x,

tanto el positivo como el negativo, por lo que procedemos de la siguiente manera

Dejamos de uno de los lados del signo de igualdad, solamente el valor absoluto que posee la incógnita.

Utilizamos la propiedad x k x k

Resolvemos las ecuaciones resultantes. Nota: Si el valor absoluto está igualado a una expresión algebraica, el resultado de las ecuaciones debe

probarse.

6

Intervalos Reales Sean con , entonces

Notación

Definición Intervalo Conjuntos o comprensiva

Gráfico

Un intervalo es cerrado, si

incluye sus extremos

Un intervalo es abierto, si

NO incluye sus extremos

Un intervalo es semiabierto,

si un extremo se incluye y el

otro no.

Un intervalo es al infinito, si

uno de sus extremos tiende a

infinito.

Un intervalo que representa

a la recta real, es aquel que

no tiene extremos.

Los intervalos abiertos se pueden denotar también con un paréntesis redondo, por ejemplo [2,3[ = [2,3)

Operaciones con Conjuntos

Definición: El conjunto universal o conjunto universo U, es el que contiene todos los elementos de una

situación determinada.

Definición: El complemento del conjunto A con respecto al conjunto universal U es el conjunto de todos

los elementos de U que no están en A y se denota como A`, entonces /A x U x A

, el

complemento de un conjunto se puede también denotar como Ac.

Definición: Un conjunto vacío es aquel que NO tiene elementos. Éste se denota por { } ó . (ó: implica

que sólo se puede usar una de las dos notaciones, NO se pueden combinar)

Definición: Sean A y B dos conjuntos arbitrarios, entonces la unión de A y B son todos los elementos de

A y todos los elementos de B; se denota por , ie /A B x U x A x B

conjunción, implica unión

ó

Definición: la inecuación lineal o de primer grado con una incógnita, es aquella que se pueden escribir de

la forma 0bax 0bax 0bax 0bax , donde a, b y c y 0a .

,a b a b

[ , ]a b { / }x a x b

] , [a b { / }x a x b

[ , [

] , ]

a b

a b

{ / }

{ / }

x a x b

x a x b

[ , [

] , ]

a

b

] , [

] , [

a

b

{ / }x x a

{ / }x x b

{ / }x x a

{ / }x x b

] , [ { / }x x

BA

:

card: cardinalidad, cantidad de

elementos de un conjunto finito.

7 ó

Definición: es aquella que está formada, simultáneamente, por dos desigualdades.

ó áDefinición: la inecuación cuadrática o de grado dos, es aquella inecuación que se puede expresar de la

forma 02 cbxax 02 cbxax 02 cbxax 02 cbxax , donde a, b y c y

0a

Procedimiento para resolver Inecuaciones cuadráticas factorizables

Para resolver una desigualdad de grado dos, se factoriza el polinomio 2 cbxax , una vez factorizada la

expresión, se tienen las siguientes situaciones, donde ))(( 21 rxrx son sus factores.

Si la desigualdad es del tipo ¨ mayor que ¨ o ¨ mayor o igual a que ¨, ambos factores deben ser positivos o ambos factores deben ser negativos, para que al multiplicar de una cantidad

positiva,

ya que y también (ley de signos para la multiplicación)

ie

1 2 1 2 1 2( )( ) 0 si [( ) 0 ( ) 0] [( ) 0 ( ) 0]x r x r x r x r x r x r

Si la desigualdad es del tipo ¨ menor que ¨ o ¨ menor o igual a que ¨, los dos factores deben ser de signo contrario, ie uno negativo y otro positivo

Eso es por que la ley de signos para la multiplicación dice que y , entonces

Si 0))(( 21 rxrx tenemos que 1 2 1 2 [( ) 0 ( ) 0] [( ) 0 ( ) 0]x r x r x r x r

Para ambas situaciones la solución será la unión del resultado de los dos casos.

Cuando el polinomio de la ecuación cuadrática no es factorizable

Analizamos el signo con diferentes valores positivos y negativos, por ejemplo^ 21) 1 0x x S 22) 1 0x x S

Cuadro de variación

Para resolver inecuaciones de segundo grado, se puede utilizar el cuadro de variación, este cuadro permite

de manera conjunta, analizar cada uno de los casos para resolver este tipo de inecuaciones.

Recordemos que la idea de analizar por casos una inecuación de segundo grado, es saber el signo que

poseen cada uno de los factores, para así determinar la solución de la inecuación original.

El cuadro de variación analiza el signo de cada uno de los factores que forma el polinomio de la ecuación

en todo , para poder determinar donde la ecuación cumple ser mayor o menor que cero, así como

mayor igual o menor igual que cero.

Para construir la tabla de variación primero debemos factorizar el polinomio, luego calculamos los ceros

de cada factor y finalmente construimos la tabla de la siguiente manera

Se buscan los ceros y se escribe los infinitos ya que la idea, como se menciono anteriormente, es observar

en cada intervalo definido por éstos, el signo correspondiente al producto formado por los factores del

polinomio que forma la inecuación que se desea resolver.

analiza el signo de

producto

analiza el signo de

cada factor

factores

ceros+- r2r1

(x-r2)(x-r1)

(x-r2)

(x-r1)

8

Para resolver este tipo de inecuaciones se procede a Aislamos el cero (igualamos la inecuación a cero)

Factorizamos el polinomio que forma la inecuación.

Utilizamos el cuadro de variación para determinar el conjunto solución.

Este tipo de inecuaciones son los que poseen incógnitas tanto en el numerador como en el denominador

de las fracciones que las forman, para resolver este tipo de inecuaciones se sigue el siguiente

procedimiento.

Se iguala la inecuación a cero.

Se resuelven las operaciones resultantes del paso anterior, para convertirla en una sola fracción

Se factoriza los numeradores y denominadores resultantes del paso número dos (si es posible).

Se determinan las restricciones de cada factor, que forma el denominador.

Se simplifican los factores comunes entre el numerador y el denominador de la fracción que forma la inecuación.

NO se puede pasar el denominador al otro lado de la inecuación, ya que no sabemos el signo que

este posee.

Se utiliza el cuadro de variación para determinar el conjunto solución de la inecuación, tomando en cuenta las restricciones del denominador, ya que éstas en el cuadro de variación llevaran doble

barra.

óDefinición: son aquellas en las que las incógnitas se encuentran dentro de un valor absoluto. Para

resolver este tipo de inecuaciones se utiliza el siguiente teorema.

El valor de un número corresponde a la distancia del cero a ese número. Si a , entonces podemos

pensar en una partición de en tres conjuntos de la siguiente manera:

,a a -a, a son los únicos números reales que cumplen con la condición de tener valor

absoluto igual a “a ”, es decir que están a una distancia del cero igual a “a ”

,a a Los números reales entre a a son los que tienen la propiedad de estar a una

distancia del cero menor que “a ”, por lo tanto su valor absoluto es menor que “a”

, ,

[ , ]

a a

a a

Los números reales menores que –a y los mayores que “a ” están a una distancia del

cero mayor que “a ”, por lo tanto su valor absoluto es mayor que “a”

Teorema: Si x y 0a , entonces

axaxax

axaax

si sóloy si

si sóloy si

Es decir x k x k x k x k (1)

Procedimiento para resolver inecuaciones con valor absoluto

Despejamos las expresiones que posean valores absolutos, es decir, dejamos de uno de los lados del signo de desigualdad solamente el valor absoluto que posee la incógnita.

Utilizamos la propiedad (1) o el teorema anterior.

Resolvemos las inecuaciones resultantes.

0-a a

9

Nota: Cuando la inecuación es del tipo o x k x k , se utiliza la intersección de conjuntos para

asociar las soluciones de las inecuaciones resultantes y dar el conjunto solución de la inecuación original,

de lo contrario, si son del tipo o x k x k se utiliza la unión de conjuntos.

Tema 2: Geometría

Clasificación de Triángulos

Según la medida de sus lados

Equilátero

Escaleno

Isósceles

Según la medida de sus ángulos

Acutángulo

Rectángulo

Obtusángulo

Equiángulo

Según la medida de sus ángulos

dados sus lados

Si ,a b c son los lados de un triángulo, con “c” es el lado de mayor

medida, entonces se cumple que

2 2 2a b c ABC es obtusángulo 2 2 2a b c ABC es acutángulo 2 2 2a b c ABC es rectángulo

Fórmula de Herón

Definición: Sean “a”, “b”, “c” los lados del ABC , el área del triángulo esta dada por

( )( )( )ABCA S S a S b S c , con “S” el semiperímetro (mitad del perímetro) del ABC

Teorema de semejanza

Sea ABC un triángulo rectángulo, entonces la altura sobre la hipotenusa divide a éste en dos

triángulos, cada uno de ellos semejantes al ABC , así como los triángulos formados por la altura

sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, son semejantes entre sí

Teorema de la altura

Sean a, b, c los lados de un triángulo rectángulo, tal que c es la hipotenusa. Si “h” es la altura sobre la

hipotenusa, “m” y “n” los segmentos en los “h” divide a la hipotenusa

2h m n

Es decir, la altura correspondiente a la hipotenusa es medio proporcional1 entre los dos segmentos que

ésta determina sobre la hipotenusa.

1 Si en una proporción los medios o los extremos son iguales, entonces éstos reciben el nombre de medio proporcional.

DC

B

A

ABC ADB

ABC BDC

ABD BCD

10

60º

30º

l

l

23

l

2

Teorema de los catetos

Sean a, b, c los lados de un triángulo rectángulo, tal que c es la hipotenusa. Si “h” es la altura sobre la

hipotenusa, “m” es la proyección del cateto “b” y “n” es la proyección del cateto “a, entonces se

cumple que

Es decir, los catetos son medio proporcionales entre la hipotenusa y la proyección del cateto sobre ella.

Teorema de Pitágoras

Sean a, b, c los lados de un triángulo rectángulo, tal que c es la hipotenusa, entonces se cumple que 2 2 2a b c , también se cumple que 2 2 2a c b y 2 2 2b c a

Derivado del teorema de Pitágoras.

Si a, b y c son los lados de un triángulo, donde “c” es el lado de mayor medida, entonces

Si , el

triángulo es rectángulo

Si , el triángulo es

obtusángulo

Si , el triángulo es

acutángulo

Triángulo rectángulo isósceles

Sea ABC rectángulo isósceles, con “ l ” la medida de sus catetos, entonces la hipotenusa tiene longitud

2l

Triángulo semiequilátero

Sea ABC semiequilátero, con “ l ” la medida de su hipotenusa, entonces sus catetos tiene

longitud 2

l y 3

2

l

Rectas Notables

Altura

Es la recta que contiene un vértice del triángulo e interseca perpendicularmente al lado opuesto.

El punto de intersección o concurrencia de las tres alturas se llama ortocentro

El ortocentro puede estar en el interior o en el exterior del triángulo, así como, puede coincidir con

uno de los vértices. Esto depende del tipo de triángulo.

Mediana

Es el segmento de recta que une un vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto.

El punto de intersección o concurrencia de las tres medianas se denomina baricentro

El baricentro siempre se encuentra en el interior del triángulo y es el centro de gravedad de éste.

2 2 2a b c 2 2 2a b c 2 2 2a b c

2b m c 2a n c

l 2l

l

45ºm m

11 En todo triángulo, las medianas se cortan en dos segmentos, tales que el mayor es el doble que el

menor, es decir La distancia del baricentro al vértice es dos tercios de la MEDIANA y la distancia del

baricentro al lado es un tercio de la MEDIANA.

Bisectriz

La bisectriz del ángulo es el segmento de recta que biseca (divide en dos ángulos congruentes) a uno

de los ángulos internos del triángulo, y llega hasta el lado opuesto.

El punto de intersección o concurrencia de las tres bisectrices se denomina incentro.

El incentro es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo.

La bisectriz de un ángulo equidista de sus lados

.

Mediatriz

Es la recta perpendicular a uno de los lados del triángulo en su punto medio.

El punto de intersección o concurrencia de las tres mediatrices se llama circuncentro.

El circuncentro puede estar en el interior o en el exterior del triángulo, o bien, sobre uno de los lados

de éste, dependiendo del tipo de triángulo.

El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Características del Triángulo Equilátero 1. En todo triángulo equilátero las cuatro rectas notables coinciden entonces, el punto de intersección

es al vez ortocentro, baricentro, incentro y circuncentro.

2. De acuerdo con los datos de la figura adjunta si ABC es equilátero con “ l ” la medida de sus

lados, “a ” la longitud de la apotema y “r ” la medida del radio, entonces se cumple que

Características del Triángulo isósceles

1. En todo triángulo isósceles las cuatro rectas notables desde el vértice sobre el lado desigual

coinciden. Por lo tanto, si el ABC es isósceles tal que AB AC , entonces AM es altura,

mediana, mediatriz y

bisectriz

2. Al trazar la altura sobre el lado desigual determina dos triángulos congruentes.

l

a

r

DCB

A La altura AD mide 3

2

l

mAD a r ; 2r a

3

2 33 3 6

lAD l

a

2 2 3 36 3

l lr a

Área = 23

32

2 4

ll

l

Circuncentro

BD b: bisectriz del ABC

ZYXZ

12

Tema 3: Trigonometría

ó : el seno de un ángulo es la razón entre el cateto opuesto a dicho ángulo y el

valor de la hipotenusa, se denota como sen

ó : el coseno de un ángulo es la razón entre el cateto adyacente a dicho

ángulo y el valor de la hipotenusa, se denota como cos

ó : la tangente de un ángulo es la razón entre el cateto opuesto a dicho

ángulo y el cateto adyacente al mismo ángulo, se denota como tan

ó : la cotangente de un ángulo es la razón entre el cateto adyacente a

dicho ángulo y el cateto opuesto del mismo ángulo, se denota como cot.

ó : la secante de un ángulo es la razón entre la hipotenusa del triángulo y el

cateto adyacente del ángulo, se denota como sec

13

ó : la cosecante de un ángulo es la razón entre la hipotenusa del

triángulo y el cateto opuesto del ángulo, se denota como csc

í

La razón cotangente es el recíproco de la razón tangente y viceversa.

La razón secante es el recíproco de la razón coseno y viceversa.

La razón cosecante es el recíproco de la razón seno y viceversa.

( es el complemento de o viceversa, entonces

90º 90º )

( ) cos( )sen

cos( ) ( )sen

tan( ) cot( )

cot( ) tan( )

sec( ) csc( )

csc( ) sec( )

á é

Triángulo Rectángulos isósceles

Triángulo semiequilátero

é Á º º º

é

Hasta el momento sólo hemos determinado el valor de las razones trigonométricas a partir de la ubicación

de los ángulos agudos en el triángulo rectángulo o el valor de éstos, pero también se puede determinar la

medida de los ángulos a partir de la medida de los lados, para esto se utilizan las razones inversas de las

seis razones trigonométricas estudiadas.

Razón Notación Razón Inversa Notación

seno sen arco seno 1sen o arcsen

coseno cos arco coseno 1cos o arccos

tangente tan arco tangente 1tan o arctan

C

B

A

c

b

a

21

1

l = 1 l = 2

14

Nota: en trigonometría la simbología de elevar a la menos uno NO indica la propiedad de las potencias,

sino la notación de las razones inversas, por lo cual en este caso 1 1( )

( )sen x

sen x

, así para todas las

demás razones.

ó

Definición: Si la línea de visibilidad está por

encima de la horizontal, el ángulo se denomina

ángulo de elevación.

ó

Definición: Si la línea de visibilidad está por

debajo de la horizontal, el ángulo se denomina

ángulo de depresión.

Definición: Sean a, b, c, respectivamente los lados de un triángulo oblicuo, con A, B, C sus vértices,

entonces se cumple que

( ) ( ) ( )sen A sen B sen C

a b c

recíprocamente

( ) ( ) ( )

a b c

sen A sen B sen C

Definición: Sean a, b, c, respectivamente los lados de un triángulo oblicuo, con A, B, C sus vértices,

entonces se cumple que

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos( )

2 cos( )

2 cos( )

a b c bc A

b a c ac B

c b a ba C

Á á

Definición: Sean “a”,”b”,”c” los lados de un triángulo un triángulo con vértices A, B, C respectivamente,

entonces se cumple que el área del triángulo es

a

b

c

c

b

a

B CA

C

B

A

a

b

c

c

b

a

B CA

C

B

A

15

( )

2

( )

2

( )

2

ABC

bc sen A

ac sen BA

ab sen C

Geometría analítica Teorema: Sean (x1, y1) y (x2, y2) dos pares ordenados, que pertenecen al plano cartesiano y a la misma

recta, entonces . Además, como el criterio de la función lineal es de la forma ,

entonces b = y1 - mx1, donde x1 y1 son los valores de las coordenadas de un punto cualquiera que

pertenezca a la recta.

Una recta paralela al eje “y”, no tiene pendiente.

(Está recta no es función)

La pendiente de una recta paralela al eje “x”, es

cero. (Está recta es una función constante)

Definición: Las gráficas de dos funciones lineales representan rectas paralelas, si y sólo si, sus

pendientes son iguales.

Definición: Dos funciones lineales tienen gráficas perpendiculares si el producto de sus pendientes da

menos uno 1 1m m , es decir, son pendientes recíprocamente opuestas .

Definición: La distancia d(P, Q), entre dos puntos cualesquiera P(x1,y1) y Q(x2,y2) en un sistema de

coordenadas rectangulares es

Definición: Sea la recta : 0l ax by c y el punto 0 0,P x y , entonces 0 0

2 2( , )

ax by cd P l

a b

Definición: El punto medio del segmento de recta de P(x1, y1) a Q(x2,y2) es el par ordenado

Definición: La ecuación de una circunferencia de centro O(a, b) y radio r, es (x - a)2 + (y - b)

2 = r

2, con

P(x,y) un punto cualquiera de la circunferencia.

c

ab

C

BA

2 1

2 1

y ym

x x

y mx b

1

1m

m

2 2

2 1 2 1( , ) ( ) ( )d P Q x x y y

1 2 1 2,2 2

x x y y

16

Posición de un punto respecto a una Circunferencia Considere la ( , )O r y un punto P(x, y) cualquiera, entonces si se

cumple que:

(x -a)2 + (y - b)

2 = r

2, P es un punto que pertenece a la

circunferencia.

(x - a)2 + (y - b)

2 > r

2, P es un punto exterior a la

circunferencia.

(x - a)2 + (y - b)

2 < r

2, P es un punto interior a la circunferencia.

Posición de una recta con respecto a una Circunferencia

Considere la recta y = mx + b y la circunferencia de centro

O(a, b) y radio r, entonces, si al sustituir el criterio de la recta

en la ecuación de la circunferencia (x - a)2 + (y - b)

2 = r

2, se

cumple que:

el Δ = 0, la recta es tangente a la circunferencia.

el Δ > 0, la recta es secante a la circunferencia.

el Δ < 0, la recta es exterior a la circunferencia.

Traslación de una Circunferencia

Considere la circunferencia de centro O(a, b) y radio r de ecuación (x - a)2 + (y - b)

2 = r

2, y el vector

( , )v m n

, si se desea trasladar el centro (a, b) a la dirección de v

, se debe analizar el signo de m y n,

los cuales indicarán la trayectoria a seguir.

Por otro lado, si lo que se busca es trasladar el punto (a, b) al punto (c, d), entonces la ecuación de la

circunferencia será (x - c)2 + (y - d)

2 = r

2

17

Definición: Sea , una función cuadrática entonces f(x)= a(x-h)2 + k con a ≠ 0 es la

notación canónica o normal de la función cuadrática donde h y k son las coordenadas del vértice de la

parábola, es decir , donde y

:f

( , )V h k2

bh

a

4k

a

18

Si a >1 (creciente) y 1 2 1 2 ( ) ( )x x f x f x Si 0 1a (decreciente) y

1 2 1 2 ( ) ( )x x f x f x

Transformaciones de Funciones

Traslaciones Verticales: Son aquellas de la forma con

Entonces, la gráfica de la función g, se obtiene desplazando:

“c” unidades hacia arriba de la gráfica de la función f si c

“c” unidades hacia abajo de la gráfica de la función f si

Traslaciones Horizontales: Son aquellas de la forma con

Entonces, la gráfica de la función g, se obtiene desplazando:

“c” unidades hacia la izquierda de la gráfica de la función f si c

“c” unidades hacia la derecha de la gráfica de la función f si c

Si la función es de la forma ( ) ( )f x g nx c , entonces la función se desplaza

c

n unidades hacia la izquierda de la gráfica de la función loga(x) si

c

n

c

n unidades hacia la derecha de la gráfica de la función loga(x) si

c

n

Inversa Definición: Sea f una función biyectiva de A en B, entonces existe una función de B en

A, donde es la inversa de f, es decir, si f es una función biyectiva, entonces

, 1

1, ( ) , ( )

f fa b G f a b b a G f b a

Fuentes: Matemática 7º, Porras y Gamboa/ Folletos de Álgebra, ITCR / Álgebra, Baldor / Álgebra, Reinaldo Jiménez /Matemática para la Enseñanza Media, Lizeth Sancho & Randall Blanco/Matemática 10º, Porras & Gamboa / Matemática 10º, Roxana Meneses/ Matemática

Básica con Aplicaciones, Trigonometría de Reinaldo Jiménez/ Olimpiadas Matemática 10º Colombia/ Matemática 2 Educación a distancia y madurez/

Matemática Elemental II Geometría/ prácticas para Noveno Año de Carol Mora/ www.matebrunca.com /

http://www.esobachilleratouniversidad.com.es/formularios.html

( ) ( )g x f x c c

c

( ) ( )g x f x c c

1f

1f

1: :f A B f B A

( ) 0, 1f x x ( ) 0, ]0,1[f x x

( ) 0, ]0,1[

( ) 0, 1

f x x

f x x