Conocimientos Basicos Para Ingresar a FACES

Universidad de Carabobo Facultad de Ciencias Económicas y Sociales

Coordinación Académica Coordinación de Apoyo Docente

CONOCIMIENTOS BÁSICOS PARA

INGRESARA LA FACULTAD DE CIENCIAS

ECONOMICAS Y SOCIALES

Hilda Saer de Asunción Carlos Alvarado B.

Marzo 2005

CONOCIMIENTO BASICOS PARA INGRESAR A LA FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y SOCIALES

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Ediciones de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales de la Universidad de Carabobo ISBN 980-223-214-3 Depósito Legal Lf55319993781130 Primera Edición, abril 1999 Segunda Edición, julio 2000 Tercera Edición ampliada, enero 2001 Cuarta Edición ampliada, noviembre 2001 Quinta Edición ampliada, diciembre 2002


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La Facultad de Ciencias Económicas y Sociales

es una de las siete facultades de la Universidad de Carabobo, cuya trayectoria y prestigio en la comunidad están cimentados en altos niveles de calidad y excelencia académica, aunado a la mística de trabajo y sentido de pertenencia de su gente.

Desde hace algunos años atrás, debido a este prestigio académico reconocido en el ámbito de la región y fuera de nuestras fronteras, la demanda de estudiantes que quiere engrosar nuestras aulas se ha incrementado de tal manera que la Facultad se ha visto obligada a someter a los aspirantes a un riguroso Proceso Interno de Admisión. La Facultad debido a sus limitaciones de espacio físico, recursos humanos y materiales que impiden satisfacer tal demanda, sólo admite a aquellos estudiantes cuyas características aptitudinales sean congruentes con la excelencia académica que caracteriza a FACES y además a aquellos, que exhiban las mayores probabilidades de éxito, seleccionados rigurosamente a través del proceso de admisión, el cual se administra con transparencia, ética y seriedad.

Este libro preparado por los autores, presenta los criterios que han pronosticado el rendimiento académico en las distintas carreras; las habilidades cuantitativas, las destrezas verbales; el razonamiento abstracto y los antecedentes académicos del estudiante. A través de este material, se explica qué es el Proceso Interno de


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Admisión, cómo participar en él; en qué consisten las pruebas y se incluye un repaso orientador de contenidos básicos sobre los que versa la Prueba de Admisión Interna. En esta oportunidad se ha actualizado el texto con los conceptos correspondientes a logaritmos y a radicación, así como también algunos conceptos elementales sobre ángulos, cálculo de áreas de regiones en el plano cartesiano y algunos aspectos básicos relacionados con los conceptos de razón y proporción.

El proceso de enseñanza aprendizaje se ejecuta fundamentalmente a través de procesos lingüísticos, razón por la cual la evaluación de destrezas verbales es fundamental y se incluye en la prueba. Además de este elemento, el razonamiento básico cuantitativo es columna vertebral de nuestras carreras, constituyéndose en predictor de un rendimiento académico excelente, aún en aquellas carreras en las cuales no se considera esencial, el denominado razonamiento cuantitativo. El razonamiento abstracto, por su parte, se ha convertido en un excelente indicador de desempeño académico, ligado a estudiantes que comienzan y terminan sus estudios satisfactoriamente. Otro de los factores que se consideran está representado por los antecedentes del estudiante, siendo el principal indicador, hasta el momento, el promedio global de calificaciones obtenido en Bachillerato.


5

INTRODUCCION

El objeto primordial de la Prueba de Admisión Interna de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales es detectar dentro del universo de aspirantes al ingreso, el grupo de bachilleres que están adecuadamente capacitados para enfrentar con éxito los contenidos curriculares de las diferentes carreras que se dictan en esta Facultad. Por ello, todos los bachilleres que deseen estudiar en esta institución, y que no hayan sido asignados por otra modalidad, deben presentar la prueba. La Prueba Interna de Admisión de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales de la Universidad de Carabobo consta de las siguientes partes:

a) Conocimientos Básicos en Matemática. b) Habilidad Verbal y Comprensión Lectora. c) Razonamiento Abstracto.

Conocimientos Básicos en Matemática Los conocimientos básicos del área de Matemática, son aquellos considerados como habilidades instrumentales mínimas que debe manejar el bachiller aspirante a estudiar alguna de las carreras que se imparten en la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales, los cuales deben haber sido adquiridos en sus estudios previos de Educación Básica y Media Diversificada ya que son


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indispensables principalmente en los dos primeros semestres de la carrera universitaria Los tópicos corresponden a Aritmética, Algebra, Geometría y Trigonometría. Los temas específicos de estas áreas son los siguientes:

� Porcentaje. Interés: simple y compuesto � Operaciones con Números Naturales,

Enteros, Racionales y Reales: suma, diferencia, multiplicación, división, potenciación y radicación.

� Logaritmos. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

� Divisibilidad. � Razones y Proporciones. � Operaciones fundamentales del Algebra:

suma, diferencia, multiplicación y división de polinomios.

� Signos de agrupación y reducción de términos semejantes,

� Productos notables y cocientes notables. � Factorización de expresiones algebraicas � Racionalización. � Potenciación. Radicales � Funciones reales: dominio y rango. � Función lineal y cuadrática. � Resolución de ecuaciones de primero y

segundo grado, con o sin fracciones. � Sistemas de ecuaciones con dos y con tres

variables. � Intervalos en la recta real. � Inecuaciones de primero y segundo grado. � Cálculo de áreas y perímetros de figuras

geométricas: triángulo, cuadrado, rectángulo, etc.


7

� Tipos de ángulos. Medida de ángulos. � Identidades trigonométricas. � Teoría de Conjuntos. � Progresiones.

Habilidad Verbal y Comprensión Lectora

Esta prueba mide el manejo que el aspirante tiene del idioma, en lo referente a la amplitud, precisión y comprensión del vocabulario; y el razonamiento verbal. Asimismo, mide la capacidad del aspirante de comprender material escrito y relacionar u ordenar ideas y conceptos. Consta de tres partes:

a) Relaciones analógicas entre palabras. b) Significación de palabras en un contexto c) Comprensión lectora

Razonamiento Abstracto

Esta prueba de Razonamiento Abstracto tiene como objetivo medir la habilidad de describir la ley de formación, regla o principio que rige una secuencia y la capacidad de inducción o de abstracción de relaciones. CONOCIMIENTOS BASICOS DE MATEMATICA

La Matemática indudablemente es una

herramienta fundamental en las áreas de las


8

Ciencias exactas; sin embargo, aún, en las Ciencias Sociales, el uso de razonamientos asociados con las Matemáticas, es primordial para tomar decisiones, obtener conclusiones y predecir situaciones con razonable exactitud.

La prueba de Admisión interna relacionada

con la evaluación de los conocimientos y habilidades en esta área, contendrá planteamientos para medir razonamiento, habilidad y algunos conocimientos básicos.

A continuación se plantea un repaso de algunos de los conocimientos básicos que debe manejar quien aspire ingresar a FACES. 1. OPERACIONES ELEMENTALES CON

NUMEROS RACIONALES

Se entiende por números racionales al conjunto de todos los números que se simbolizan de la forma conocida como fracción ba / donde bya son números enteros; es decir,

{ }0,:),( ≠∧Ζ∈Ζ∈ bbaba

Ejemplo: Resolver 2

1

3

2

5

8 −+

Solución

30

53

30

152048

2

1

3

2

5

8 =−+=−+


9

Ejemplo: Resolver 2

15

3

7x

Solución

2

35

6

105

2

15

3

7 ==x

2. ELIMINACION DE SIGNOS Y REDUCCION DE

TERMINOS SEMEJANTES Esta operación consiste en eliminar y reducir términos semejantes, hasta llegar a una mínima expresión algebraica, respetando signos y operaciones con signos.

Ejemplo: Eliminar los signos y reducir los términos semejantes de la siguiente expresión:

+−−++−−3

21979

5

22 22 bbbb

Solución

−+++−−

3

21979

5

22 22 bbbb

−−+−

3

2

5

27282 2 bbb

15

)5(2)2(37282 2 −+−− bbb


10

15

16528 2 +−− bb

3. POTENCIACION

La potenciación es una de las operaciones más importantes en Matemática, es por ello necesario incluirla en el repaso de los aspectos que se consideran de imprescindible manejo en el campo de las Ciencias Sociales y Económicas.

Una potencia se expresa de la forma ma ,

donde ""a se llama base y ""m se denomina exponente. Entre las propiedades de la potenciación se cuentan: 3.1. Propiedades de las potencias: 3.1.1. Producto de potencias de igual base:

nmnm aaa += Es decir, el producto de potencias de igual base es igual a la base elevada a la suma de los exponentes. 3.1.2. Cociente de potencias de igual base:

nm

n

m

aa

a −=


11

Es decir, el cociente de potencias de igual base es igual a la base elevada a la diferencia de los exponentes: al exponente del numerador se le resta el exponente del denominador. 3.1.3. Potencia de una potencia:

mnnm aa =)(

Es decir, la potencia de potencia en base a, es igual a la base elevada al producto de los exponentes. 3.1.4. Distributiva de la potencia respecto del producto:

nnnn cbacba =)(

Es decir, el producto de factores elevado a la potencia n, es igual al producto de potencias de cada base elevada a la potencia n. 3.1.5. Todo número elevado a la cero es igual a la unidad.

10 =a Los siguientes son ejercicios de aplicación de las propiedades de la potenciación: Ejemplo: Resolver lo planteado en cada caso a) 11245245 222.2.2 == ++


12

b) 9333

3 2575

7

=== −

c) 124.343 55)5( ==

d) 90025.9.45.3.2)5.3.2( 2222 ===

e) 1)3.4.2( 0753 =

3.2. Potencias de exponente negativo y fraccionario. Además de las potencias con exponente entero y positivo, existen potencias con exponentes negativos y con exponentes que son números racionales. 3.2.1. La potencia negativa se expresa de la siguiente forma:

nn

aa

1=−

Las siguientes expresiones son ejemplos de exponentes negativos:

33

1

5

15

21

2

=

=

−

−

3.2.2. La potencia fraccionaria se expresa de la siguiente forma:


13

n mn

m

aa =

Algunos ejemplos de exponentes fraccionarios, con su expresión equivalente en forma de radical.

3 23

2

2

1

33

22

=

=

4 34

34

3

5

1

5

15 ==

−

Ejemplo: Aplicando propiedades de potenciación,

simplificar la siguiente expresión 4

5

4

3

2

3

2

1

2

2.2.2−

−

Solución

222

2

2

2

2

2

222 14

5

4

1

4

5

4

1

4

5

4

3

2

3

2

1

4

5

4

3

2

3

2

1

=====+−

−

−

−

+−

−

−

4. LOGARITMO

Dada la expresión exponencial man = , se define el logaritmo como el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número.

En este caso, el logaritmo en base a del

número m es el exponente n al cual hay que elevar la base a , para que nos resulte el mismo número m .


14

Dada la potencia 823 = , entonces 38log2 = .

Otros ejemplos:

8135 = , entonces 581log3 =

62554 = , entonces 4625log5 = 4.1. Propiedades de los logaritmos. Las propiedades de los logaritmos son las siguientes: 4.1.1. El logaritmo de la unidad es cero, en cualquier base.

01log =b

4.1.2. Logaritmo de un producto.

nmnm bbb loglog).(log +=

Es decir, el logaritmo en cualquier base de un producto es igual a la suma de los logaritmos 4.1.3. Logaritmo de un cociente.

nmn

mbbb logloglog −=

Es decir, el logaritmo en cualquier base de un cociente es igual a la diferencia de los logaritmos


15

4.1.4. Logaritmo de una potencia.

( ) ana bn

b log.log =

Es decir, el logaritmo en cualquier base de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base.

4.1.5. Logaritmo de una raíz enésima.

n

mm bn

b

loglog =

Ejemplo: En la siguiente expresión logarítmica, determinar el valor de M : Solución )log(.2)log()log( nmnmnmM −−−++=

2)()).((

lognm

nmnmM

−−+=

nm

nmM

−+= log

4.2. Ecuaciones Exponenciales. Son aquellas en las cuales la incógnita se encuentra en el exponente de una potencia. Son ejemplos de ecuaciones exponenciales:

13 35

162−− =

=xx

x


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A continuación el método de igualación de las bases para resolver ecuaciones exponenciales. Mediante este método se persigue expresar ambos lados de la ecuación en términos de la misma base con la finalidad de igualar los exponentes; ya que si, las bases son iguales, los exponentes también lo son. Ejemplo: Determinar el valor de x que satisface la

ecuación 21

2 3 =−x

Solución

21

2 3 =−x

13 22 −− =x

13 −=−x

2=x

Ejemplo: Determinar el valor de x que satisface la ecuación xx 255 13 =− Solución

xx 255 13 =−

xx 213 55 =−

xx 213 =−


17

1=x

Ejemplo: Determinar el valor de x que satisface la ecuación 152 −= xx Solución

152 −= xx

15log2log −= xx

5log)1(2log −= xx

5log5log2log −= xx

5log5log2log −=− xx

5log)5log2(log −=−x

6989.03010.06989.0−

−=x

75.13979.06989.0 =

−−=x

4.3. Ecuaciones logarítmicas Son aquellas en las cuales la incógnita se encuentra en el argumento del logaritmo. Las ecuaciones logarítmicas se resuelven aplicando antilogaritmo en ambos miembros de la igualdad. Los siguientes son algunos ejemplos:


18

Ejemplo: Resolver la ecuación 1log)1log( =−+ xx Solución

1log)1log( =−+ xx

11

log =+x

x

101 =+

x

x

110 =− xx

91=x

Ejemplo: Resolver la ecuación logarítmica dada Solución

11

loglog =

++

x

xx

11

log2

=

+x

x

101

2

=+x

x

)1(102 += xx

010102 =−− xx


19

Resolviendo la ecuación de segundo grado, la solución es:

90,090,10 21 −== xyx 5. CONCEPTO DE RAÍZ Se llama raíz enésima de un número, a otro número que elevado a la potencia n reproduce el primero. Si b es la raíz enésima de a , se expresa

ban = , se cumple que .abn = La operación que nos permite obtener una raíz cualquiera de un número se llama radicación, y se

expresa con el símbolo , que se conoce como signo radical. La cantidad a la cual se le va a determinar la raíz, y que va ubicada dentro del signo radical se denomina cantidad subradical. El índice de la raíz se coloca en la parte superior del signo radical, como se indica a

continuación: , 3

, 5

; en el caso de índice dos, este se omite, y se conoce como raíz cuadrada.

A continuación algunas propiedades del proceso de radicación.

5.1 Raíz de un producto La raíz enésima de un producto de factores es igual al producto de las raíces enésimas de dichos factores:


20

nnnn cbaabc ⋅⋅= Ejemplos: Resolver

a) 3 233 2 baba ⋅=⋅

b) 5 35 255 32 33 baba ⋅⋅=⋅

c) 123

1212123

15

5b

ab

a ⋅⋅=

5.2 Multiplicación de radicales La multiplicación de radicales de igual índice es otro radical, cuyo índice es el mismo de los factores, y la cantidad radical es igual al producto de las cantidades subradicales de los factores. Así:

nnnn cbacba ⋅⋅=⋅⋅ Ejemplos: Resolver

a) 3 223 83 533 53 3 66)3)(2(32 aaaaaaa ===⋅

b) 5 335 225 25 2 15)5(3(53 yxxyyxxyyx ==⋅

c) .6

2

632

53

6 63

3

2

5

3

3

62

5

15

2

15

2

5

2

35

2

3

ab

ba

ba

b

a

a

b

b

a

a

b ==

=⋅

d) 3 223 3233 33 2 1510155325 bbcacbaababcbbaa ==⋅ 5.3 Potencia de una raíz La potencia de un radical es otro radical, de igual índice cuya cantidad subradical está elevada a la potencia dada


21

( ) n mmn aa =

Ejemplos:

a) ( ) 33332)2(2 aaa ==

b) ( ) 3 223 6423 2322

3 32 55)5(5 aabbababa ===

c) 54

34

54

84

5

42

5

42 3333

b

aa

b

a

b

a

b

ab ==

=

5.4 Raíz de un cociente La raíz enésima de un cociente es igual al cociente entre las raíces enésimas del dividendo y el divisor. Así:

n

n

n

b

a

b

a =

Ejemplos:

a) b

a

b

a

2

323 =

b) 3

3 2

3

3 23

3

23

3

2

3

2

32

z

yx

z

yx

z

yx ==

c) 5 22

5 2

5 22

5 25

522

25

3

4

3

434

yx

ba

yx

ba

yx

ba ==

5.5 División de radicales de igual índice


22

El cociente de dos radicales de igual índice, es otro radical del mismo índice, cuya cantidad subradical es el cociente entre las cantidades subradicales del dividendo y el divisor.

nn

n

b

a

b

a =

Ejemplos:

a) 225

10

5

10 233

aaa

a

a

a ===

b) 332

2

3 2

3 2

23

23

2

3b

a

ab

ba

ab

ba ==

c) 52

535

23

5 35

5 23

31

155

15

5

yxyx

yx

yx

yx==

5.6 Raíz de una potencia La raíz enésima de una potencia es otra potencia de igual base, cuyo exponente es el coeficiente entre el exponente de la potencia y el índice de la raíz.

n

mn m aa =

Ejemplos:

a) 3

53 5 aa =


23

b) 4

34 3 xx =

c) 2

1

aa = Las potencias de exponente fraccionario se originan cuando en la extracción de la raíz de una potencia el exponente de ésta no es divisible entre el índice de la raíz. 5.7 Multiplicación de radicales de diferente índice En este caso se procede de la siguiente forma: se determina el mínimo común índice (mcm de todos los índices). Este índice se le coloca a todos los radicales. Se divide el mínimo común índice entre cada índice, y a la cantidad subradical se eleva al resultado de la división. Finalmente, se efectúa la multiplicación de los radicales de igual índice. Así:

4 23 32 ba

Se determina el mínimo común índice (mcm de todos los índices). Este índice se le coloca a todos los radicales.

12)4.3( =mcm

Se divide el mínimo común índice entre cada índice, y a la cantidad subradical se eleva al resultado de la división.

12 3212 4 )3()2( ba 12 6312 44 32 ba


24

Se efectúa la multiplicación de los radicales de igual índice, resultando:

12 643412 6344 32)3)(2( baba =

Ejemplo: Efectuar 53 222 352 abbaab El mínimo común índice entre 53,2 y es 30, por tanto las raíces quedan todas con ese índice:

=⋅⋅ 53 222 352 abbaab

30 630 102230 152 )3()5()2( abbaab ⋅⋅=

30 66630 20201030 301515 352 bababa ⋅⋅=

30 666202010301515 )3()5()2( bababa ⋅⋅=

30 26116101530 564161015 352352 baabba == 5.8 División de radicales de diferente índice Para dividir radicales de diferentes índices, se reducen al mínimo común índice y luego se dividen los radicales de igual índice que resultan.

Ejemplo: Efectuar 4 53

6 32

2

3

ba

ba


25

Solución: El mínimo común índice entre 4 y 6 es 12

=4 53

6 32

2

3

ba

ba

12953

2

12 1593

12 642

12 353

12 232

23

2

3

)2(

)3(

baba

ba

ba

ba===

5.9 Raíz de una raíz La raíz de otra raíz es un radical cuyo índice es igual al producto de los índices de los radicales

mnn m aa ⋅=

Ejemplo :

a) 155 3 55 abab =

b) 6 233 23 22 yxyx =

c) 3 30 35 3 66 abab = 5.10 Racionalización de denominadores a) Cuando el denominador es un monomio (formado

por un solo radical.

Ejemplo: Racionalizar ,b

a


26

Se multiplican ambos factores (numerador y denominador) por b y se obtiene:

b

ba

b

ba

b

b

b

a ==⋅2

Ejemplo: Racionalizar ,2

3 2ab

Se multiplican ambos miembros por 3 2ba y se obtiene:

ab

ba

ba

ba

ba

ba

ab

3 2

3 33

3 2

3 2

3 2

3 2

222 ==⋅

b) Cuando el denominador es un binomio (está

formado por dos radicales, se multiplican ambos miembros por la conjugada del denominador.

Ejemplo: Racionalizar yx +

3,

Solución: Se multiplican ambos miembros por la expresión conjugada del denominador, es decir,

yx − , obteniendo:

))((

)(33

yxyx

yx

yx

yx

yx −+−

=−−

⋅+


27

yx

yx

yx

yx

−−

=−

−=

)(3)(322

Ejemplo: Racionalizar:23

23

−+

Solución:

)23)(23(

)23(

23

23

23

23 2

+−+=

++⋅

−+

1

625

23

2623

)2()3(

)2(2)3(2)3(22

22 +=−

++=−

++=

625+=

5.11 Radicales semejantes Son aquellos que tienen igual índice e igual cantidad subradical. Así: Son semejantes:

3 22 b , 3 2

21

b− , 3 25 b

5 322 x ,

5 323 x− , 5 327 x

No son semejantes:

a , a2 , a5


28

3 2b ,

3 3b , 3 32b

Para reducir radicales es necesario que estos sean semejantes. La operación de reducción de radicales se efectúa mediante la suma algebraica de los coeficientes de las cantidades radical acompañada del mismo radical. Ejemplos: a) baba 523453 ++−

Se agrupan los radicales semejantes

aaa 35343 =+

bbb 5525 =+− El resultado es: ba 535 +

b) zyxzyx 1048435 22 ++−+− Agrupando los términos semejantes, el resultado es:

zyx 143 2 ++−

6. PROPORCIONALIDAD

Pueden plantearse dos tipos de

proporcionalidad:


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a) Directa : es aquella que se establece entre

dos cantidades, de tal forma que se verifica que cuando una cantidad varía, la otra experimenta una variación idénticamente proporcional y en el mismo sentido.

b) Inversa : es aquella que se establece entre dos cantidades de tal manera que se verifica que cuando una cantidad varía, la otra experimenta una variación en sentido inverso.

Ejemplo: Diez obreros tardan en hacer un trabajo cuatro días ¿Cuántos obreros serán necesarios para realizar el mismo trabajo en dos días? Como las magnitudes son inversamente proporcionales, se cumplirá que: Siendo Y : el número de obreros X : el número de días Con los datos del problema

xobrero10 obrerosdías

días20

2

4 =

7. RAZÓN Y PROPORCIÓN

Razón es el cociente indicado entre dos cantidades. Si se consideran dos magnitudes a y b, y establecemos una proporcionalidad entre ellos, seria:


30

razónKb

a ==

Proporción es la igualdad de dos razones, se

expresa:

d

c

b

a =

los términos a y d se denominan extremos, b y c medios; asimismo, a y c antecedentes y b y d consecuentes. Propiedades de las proporciones:

a) El producto de los medios es igual al producto de los extremos; es decir,

bcad =

b) La suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes como un antecedente cualquiera es su consecuente; es decir,

d

c

b

a

db

ca ==++

Reparto Proporcional : Muchos problemas se

presentan en la práctica con el objetivo de repartir una determinada cantidad entre varias personas, proporcionalmente a una variable como la edad, años en una empresa, entre otros. Cuando este reparto proporcional se aplica al cálculo de beneficios o pérdidas producidas por un negocio, se le llama Regla de Compañía. Los repartos


31

proporcionales pueden ser directos, si la proporcionalidad es directa; inversos, si la proporcionalidad es inversa.

Ejemplo: Un padre desea repartir Bs 000.000.1 , en forma directamente proporcional a sus edades. Si las edades de los hijos son 3735,28 y años respectivamente, calcular cuanto le corresponde a cada uno?

Sean ZYX ,, la parte proporcional que le

corresponde

100

37

35

28

=++

→→→

zyx

z

y

x

000.10100

000.000.1

28==X

000.280=∴ x

000.10100

000.000.135

==Y 000.350=∴ y

000.10100

000.000.1

37==Z

000.370=∴ z

A los hijos zyx ,, les corresponden

000.370.000.350.,000.280. BsyBsBs respectivamente.


32

8. PRODUCTOS NOTABLES Y COCIENTES NOTABLES

PRODUCTOS NOTABLES

Se denominan productos notables aquellos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito, siguiendo patrones de formación, sin necesidad de recurrir a la multiplicación. Productos notables de 2do. grado

a) Cuadrado de la suma de dos términos:

( ) 222 2 bababa ++=+

Es decir, el cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término, mas el doble producto del producto de los dos términos, mas el cuadrado del segundo término. Este es el llamado trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplo: Desarrollar 2

2

52

+ ba

Solución

( ) ( )2

22

2

5

2

5222

2

52

+

+=

+ bbaaba

22

4

25104 baba ++=

b) Cuadrado de la diferencia de dos términos:


33

( ) 222 2 bababa +−=−

Es decir, el cuadrado de la diferencia de dos

términos es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del producto de los dos términos, mas el cuadrado del segundo término.

Ejemplo: Desarrollar 2

35

2

− ba

Solución

( ) ( )222

335

22

5

23

5

2bbaaba +

−

=

−

22 9

5

12

25

4baba +−=

c) Producto de la suma de dos términos por su

diferencia:

( )( ) 22 bababa −=−+

Es decir, el producto de la suma de dos términos por su diferencia es igual a la diferencia del cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.

Ejemplo: Desarrollar ( )( )baba 3232 −+ Solución


34

( )( ) ( ) ( )22 323232 bababa −=−+

22 94 ba −=

d) Producto de dos binomios que tienen un término común:

( )( )bxax ±±

El término común es una letra cualquiera con

coeficiente unitario; el término no común es un número cualquiera. El desarrollo de este producto notable es un trinomio, que se obtiene aplicando las siguientes reglas:

1) El primer término del trinomio, es el producto

de los términos comunes de los binomios. 2) El segundo término es la suma algebraica de

los términos no comunes multiplicado por la letra del término común.

3) El tercer término del trinomio es igual al producto de los términos no comunes.

Ejemplo: Desarrollar ( )( )83 −+ xx Solución

( )( ) 245243883 22 −−=−+−=−+ xxxxxxx

e) Producto de dos binomios de la forma:

( )( )bnxamx ++


35

El procedimiento para obtener el producto de dos binomios, en los cuales los términos en x presentan coeficientes diferentes, consiste en aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación y reducir los términos semejantes. Ejemplo: Resolver ( )( )5462 ++ xx Solución

( )( )5462 ++ xx 3024108 2 +++= xxx

30348 2 ++= xx

f) Cubo de la suma de dos términos:

( ) 32233 33 babbaaba +++=+

Es decir, el cubo de la suma de dos términos es igual a la suma del cubo del primer término, mas el triple del cuadrado del primer término por el segundo, mas el triple del primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.

Ejemplo: Desarrollar ( )352 ba + Solución

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )32233 5523523252 bbabaaba +++=+

3223 125150608 babbaa +++=

g) Cubo de la diferencia de dos términos:


36

( ) 32233 33 babbaaba −+−=−

Es decir, el cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del primer término, menos el triple del cuadrado del primer término por el segundo, mas el triple del primer término por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término.

Ejemplo: Desarrollar ( )352 ba −

Solución

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )32233 5523523252 bbabaaba −+−=−

3223 125150608 babbaa −+−=

COCIENTES NOTABLES

Los cocientes notables son aquellos que se pueden obtener aplicando regla fijas sin necesidad de realizar las divisiones. a) Cociente de la diferencia de cuadrados de dos

términos entre la suma de las bases: El cociente de la diferencia de cuadrados de dos términos dividido entre la suma de las bases es igual a la diferencia de las bases:

baba

ba −=+− 22


37

Ejemplo: Resolver 7

492

+−

a

a

Solución

77

492

−=+−

aa

a

b) Cociente de la diferencia de cuadrados de dos términos entre la diferencia de las bases:

El cociente de la diferencia de cuadrados de dos términos entre la diferencia de las bases es igual a la suma de las bases:

baba

ba +=−− 22

Ejemplo: Resolver 6

362

−−

a

a

Solución

a

aa

2 36

66

−−

= +

c) Cociente de la suma de cubos de dos

términos entre la suma de las bases:

a b

a b

3 3++

El cociente de la suma de cubos de dos términos dividido entre la suma de las bases es igual: al


38

cuadrado del primer término, menos el producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término.

a b

a ba ab b

3 32 2+

+= − +

Ejemplo: Resolver ba

ba

4

64 33

++

Solución

2233

1644

64baba

ba

ba +−=++

d) Cociente de la diferencia de cubos de dos términos dividida entre la diferencia de las bases:

a b

a b

3 3−−

El cociente de la diferencia de cubos de dos términos dividido entre la diferencia de las bases es igual al cuadrado del primer término, más el producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término.

2233

bababa

ba ++=−−

Ejemplo: Resolver a

a

−−

3

27 3


39

Solución

27

39 3

32−

−= + +a

aa a

9. FACTORIZACION DE EXPRESIONES

ALGEBRAICAS

Factorizar una expresión algebraica consiste en transformarla en otra equivalente que sea el producto de dos o más factores.

a) Factor común monomio Un polinomio admite un factor común si todos sus términos son divisibles por dicho factor. Ejemplo: Factorizar 23 318 aa − Solución

( )163318 223 −=− aaaa b) Factor común polinomio

En este caso, el factor común es a su vez un polinomio.

Ejemplo: Factorizar ( ) ( )bayxba +++ Solución

( ) ( ) ( )( )yxbabayxba ++=+++


40

Ejemplo: Factorizar ( ) npxnp −−+ Solución

( ) ( ) ( )npxnpnpxnp +−+=−−+

( ) ( )( )1−+=−−+ xnpnpxnp c) Factor común por agrupación de términos En este caso, los términos agrupados deben tener un factor común para aplicar los procedimientos anteriores. Ejemplo: Factorizar el siguiente polinomio:

baaba 82123 2 −+−

Solución

)812()23(82123 22 babaabaaba +−+=−+−

= ( ) ( )23423 +−+ abaa

( )( )baa 423 −+=

d) Trinomio cuadrado perfecto Un trinomio es cuadrado perfecto si el primero y el tercer término tienen raíz cuadrada exacta y además el segundo término es el doble de las raíces cuadradas del primero por el segundo; es decir,


41

Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto se extrae la raíz cuadrada del primero y del tercer término y se colocan dentro de un paréntesis separados entre sí por el signo del segundo término, elevando el paréntesis al cuadrado.

Ejemplo: Factorizar el trinomio 29

32 ++ xx

Solución 2

2

2

3

4

93

+=++ xxx

Ejemplo: Factorizar el trinomio 22

49

64 yxyx +−

Solución 2

22

2

32

4

964

−=+− yxyxyx

e) Diferencia de cuadrados perfectos La diferencia de cuadrados perfectos es igual al producto de la suma de las raíces cuadradas por la diferencia de dichas raíces.

( )( )bababa −+=− 22

Para factorizar una diferencia de cuadrados se extrae la raíz cuadrada al minuendo y se extrae la raíz cuadrada del sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces por la diferencia entre la raíz del minuendo y la raíz del sustraendo.

Ejemplo: Factorizar 42 814 yx −


42

Solución

( )( )2242 9292814 yxyxyx −+=− f) Diferencia de cubos

La diferencia de dos cubos se descompone en dos factores:

( )( )2233 babababa ++−=− Nótese que:

1) El primer factor es un binomio compuesto por la diferencia de las raíces cúbicas de cada cubo de la suma.

2) El segundo factor es un trinomio compuesto por: el cuadrado de la raíz cúbica del minuendo; más el producto de las dos raíces cúbicas; más el cuadrado de la raíz cúbica del sustraendo Ejemplo: Factorizar 13 −y Solución

( )( )111 23 ++−=− yyyy

g) Suma de cubos 33 ba +

Se factoriza en forma similar a la diferencia de cubos, observándose el cambio en los signos:

2233

bababa

ba +−=++


43

Por lo tanto:

( )( )2233 babababa +−+=+

Ejemplo: Factorizar la siguiente suma de cubos:

129 yx + Solución

( ) ( ) ( )( )24432343129 yyxxyxyx +−+=+

( )( )843643 yyxxyx +−+=

h) Trinomio de la forma cbxx ++2

Es un trinomio con las siguientes condiciones:

1) El coeficiente del primer término es 1. 2) El primer término está elevado al cuadrado. 3) El segundo término es el producto de la raíz

del primer término del trinomio por una cantidad cualquiera positiva o negativa.

4) El tercer término es independiente de los dos términos anteriores; es decir, es un escalar cualquiera positivo o negativo.

Para factorizar un trinomio de esta forma se descompone en el producto de dos binomios tales que:

1) El primer término de cada factor es la raíz cuadrada del término del trinomio que se eleva al cuadrado.


44

2) Los segundos términos deben ser dos números cuya suma sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y el producto sea igual al tercer término independiente del trinomio con su propio signo.

Ejemplo: Factorizar el siguiente trinomio

1272 ++ pp Solución

( )( )341272 ++=++ pppp

i) Trinomio de la forma cbxax ++2

Este trinomio se diferencia del caso anterior, en

que el término que se eleva al cuadrado se multiplica por una constante no unitaria. Para factorizar trinomios de esta forma se aplica el siguiente procedimiento:

1) Se multiplican todos los términos por el

coeficiente del término cuadrático.

acabxaax ++2

2) Se aplica la conmutatividad al producto de

factores siguiente: ( ) ( )axbbxa =

( ) ( )acaxbxa ++22

3) Se aplica el criterio de factorización del

trinomio


45

cbxx ++2

4) Se dividen los factores binomiales por a o por su producto equivalente. Ejemplo: Factorizar el siguiente trinomio

628 2 −− xx Solución

( ) ( ) ( )862888 2 −− xx

( ) ( ) ( )868288 2 −− xx ( ) 488264 2 −− xx

( )( )6888 +− xx

2

68

4

88 +− xx

( )( )3422 +− xx

( )( )3412 +− xx

El resultado es:

=−− 628 2 xx ( )( )3412 +− xx

j) Factorización de un polinomio de grado n, si n Ζ∈


46

Para descomponer en factores a un polinomio

entero de grado n < 2 se aplica el criterio de divisibilidad. Para ello, se aplica el hecho de que todo polinomio entero y racional en x que se anula en

ax= , es divisible por ax− El proceso se realiza mediante la aplicación de

la regla de Ruffini. Ejemplo: Descomponer en factores:

4434 234 −−++ xxxx

Solución Divisores del término independiente ,4,2,1:4 ±±±− Por lo tanto el resultado es:

( )( )( )( )22114434 234 ++−+=−−++ xxxxxxxx Ejemplo: Descomponer en factores:

( )22 23 −−+ xxx

Solución

( ) ( )( )23122 223 ++−=−−+ xxxxxx

10. SIMPLIFICACION DE FRACCIONES ALGEBRAICAS


47

Simplificar una fracción algebraica significa obtener otra fracción equivalente que tenga un menor número de factores comunes que la fracción dada.

Ejemplo: Simplificar: 52

23

27

48

ba

ba

Solución

32323

224

52

23

9

16

.3

.32

27

48

b

a

bba

baa

ba

ba ==

Ejemplo: Simplificar: bcaa

ba22

2

129

81

+

Solución

( ) bc

b

bca

ba

bcaa

ba

43

27

433

81

129

812

2

22

2

+=

+=

+

Ejemplo: Efectuar y simplificar: ab

a

a

a

3

532

−−+

Solución

ba

aaab

ab

a

a

a22 3

)5()3(33

53 −−+=−−+

ba

aabab2

2

3593 +−+=

Ejemplo: Simplificar:


48

6

5

2

3

3

22 −+

+−

−+ aa

a

aa Solución

)3)(2(

5)2(2)3(3

6

5

2

3

3

22 +−

+−++−=−+

+−

−+ aa

aaa

aa

a

aa

)3)(2(

54293

+−+−+−−=

aa

aaa

)3)(2(

)134(

+−−=

aa

a

Ejemplo: Simplificar:

183

86

4

24102

2

2

2

−−++⋅

−+−

aa

aa

a

aa

Solución

=−−++⋅

−+−

183

86

4

24102

2

2

2

aa

aa

a

aa

=+−++⋅

−+−−

)3)(6(

)2)(4(

)2)(2(

)6)(4(

aa

aa

aa

aa

( )( )( )( )32

44

+−+−

aa

aa


49

Ejemplo: Efectuar y simplificar:

−+÷

++−

abba

a 31

21

Solución

−+−÷

++−−=

−+÷

++−

ab

ab

ba

aba

abba

a 3231

21

+−−

+−=

3.

ab

ab

ba

ba

Ejemplo: Reducir:

ba

aba

ba

aba

+−

−+

Solución

ba

abababa

ababa

ba

aba

ba

aba

+−+

−+−

=

+−

−+

)(

)(

ba

ba

aba

aba

ba

abababa

ababa

−+=

−+=

+−+

−+−

=2

2

2

2

)(

)(

11. RESOLUCION DE ECUACIONES


50

RESOLUCION DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Ejemplo: Resolver la ecuación: 47612 −=+ xx Solución

247612 −=+ xx

246712 −−=− xx

305 −=x 6−=x

Ejemplo: Resolver la ecuación:

( ) ( )34816 −−=++ xxx

Solución

( ) ( )34816 −−=++ xxx

34816 +−=++ xxx

xx 41117 −=+

11147 −=+ xx

1011 =x

11

10=x


51

RESOLUCION DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

La ecuación de segundo grado es de la forma

02 =++ cbxax , con a diferente de cero

La fórmula para resolverla en su forma completa es:

xb b ac

a= − ± −2 4

2

Ejemplo: Resolver la ecuación: 0154 2 =+− xx Solución

Fórmula a

acbbx

2

42 −±−=

sustituyendo )4(2

)1)(4(4)5()5( 2 −−±−−=x

8

16255 −±=x

8

95 ±=x

8

35 ±=x


52

8

351

+=x 8

352

−=x

1

8

81 ==x

4

1

8

22 ==x

Ejemplo: Resolver la ecuación

5

12

3

321

−=+−+ x

x

x

Solución

05

22

3

321 =−−

+−+ x

x

x

( ) ( ) ( )( ) 022332535 =−+−−++ xxxx

066221510155 2 =+−+−−++ xxxxx

06112 2 =++− xx

06112 2 =−− xx

)2(2

)6)(2(412111 −−±=x

4

4812111 +±=x

4

16911±=x


53

4

1311±=x

4

13111

+=x 4

13112

−=x

6

4

241 ==x

2

1

4

22 −=−=x

RESOLUCION DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO POR DESCOMPOSICION EN FACTORES

Ejemplo: Resolver la ecuación 01552 =−+ xx Solución

01522 =−+ xx

( )( ) 035 =−+ xx

Al Igualar cada factor a cero y resolver, resulta:

505 −=∴=+ xx

303 =∴=− xx RESOLUCION DE ECUACIONES INCOMPLETAS DE SEGUNDO GRADO DE LA FORMA

02 =+ bxax Ejemplo: Resolver la ecuación 0324 2 =− xx Solución


54

0324 2 =− xx

( ) 084 =−xx

004 =∴= xx 808 =∴=− xx

RESOLUCION DE ECUACIONES INCOMPLETAS DE SEGUNDO GRADO DE LA FORMA

02 =+ xax En este tipo de ecuación cuadrática, se

obtienen dos raíces reales o dos imaginarias.

Ejemplo: Resolver la ecuación 01473 2 =−x Solución

01473 2 =−x

1473 2 =x

3

1472 ±=x 492 ±=x

71 =x 72 −=x

12. SISTEMAS DE ECUACIONES SIMULTANEAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS

Un sistema que incluye varias ecuaciones a

resolver, es simultáneo si las ecuaciones se satisfacen con los mismos valores. A continuación se presentan sistemas de dos ecuaciones con dos


55

incógnitas. Resolverlo implica conseguir el par de valores de las incógnitas que satisfacen simultáneamente las dos ecuaciones.

A continuación algunos métodos para resolver un sistema de ecuaciones. a) Método de Igualación

Para resolver un sistema usando el método de igualación se utiliza el siguiente procedimiento:

1) Se despeja una cualquiera de las incógnitas en ambas ecuaciones.

2) Se igualan entre sí los dos valores de la incógnita despejada.

3) Se despeja la incógnita que aparece en la ecuación resultante:

4) Se sustituye el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones iniciales.

5) Se obtiene el valor de la otra variable Ejemplo: Resolver el sistema usando el método de igualación

=−=+

523242

40168

xy

yx

Solución

8

1640 yx

−=

32

5242 −= yx


56

32

5242

8

1640 −=− yy

( ) ( )26212516 −=− yy

26213280 −=− yy 10653 =y

53

106=y

yx

yx

258

1640

−=

−=

53

10625−=x

1=x

b) Método de Reducción

Para resolver un sistema usando el método de reducción se utiliza el siguiente procedimiento:

1) Se efectúan operaciones hasta lograr que los coeficientes de algunas de las incógnitas sean iguales. Esto se logra multiplicando las ecuaciones por constantes adecuadas, diferentes de cero.

2) Se suman algebraicamente miembro a miembro, las ecuaciones con el objeto de eliminar los términos que contienen a las variables con el mismo coeficiente.


57

3) Se despeja el valor de la variable resultante. 4) Se sustituye el valor obtenido en cualquiera

de las ecuaciones originales Ejemplo: Resolver el sistema planteado, usando el método de reducción

=+=−285

623

yx

yx

( )2852

623

=+=−

yx

yx

Solución:

46210

623

=+=−

yx

yx

46210

623

=+=−

yx

yx

5213 =x

413

52 ==x

235 =+ yx

23)4(5 =+ y

3=y

c) Método de Sustitución


58

Para resolver un sistema usando el método de sustitución se utiliza el siguiente procedimiento:

1) Se despeja una de las incógnitas en una cualquiera de las ecuaciones del sistema.

2) Se sustituye la incógnita despejada en la otra ecuación del sistema.

3) Se despeja la variable de la ecuación obtenida.

4) Se sustituye el valor de la variable en la ecuación que resulta al despejar la variable según el primer paso. Ejemplo: Resolver el sistema planteado, usando el método de sustitución

=+=−275

1123

yx

yx

Solución xy 527−=

( )xx 5272113 −+=

xx 1054113 −+=

6513 =x

513

65 ==x

2)5(527 =−=y

13. INTERVALO


59

Si a y b son dos números reales (con a menor que b), entonces el intervalo de extremos a y b es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b. Dependiendo de si se incluyen o no se incluyen los extremos, se definen los siguientes tipos:

a) Intervalo cerrado : si a y b son dos números

reales (con a menor que b), el intervalo cerrado de extremos a y b es el conjunto de números reales que son mayores o iguales que a y menores o iguales que b. Se denota [a, b]

b) Intervalo abierto : si a y b son dos números reales (con a menor que b), intervalo abierto de extremos a y b es el conjunto de números reales mayores que a y menores que b. Se denota (a, b)

c) Intervalo cerrado por la izquierda y abierto por

la derecha: si a y b son dos números reales (con a menor que b), intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la derecha, es el conjunto de números reales mayores o iguales que a y menores que b. Se denota [a, b)

d) Intervalo abierto por la izquierda y cerrado

por la derecha: si a y b son dos números reales (con a menor b), intervalo abierto por la izquierda y cerrado por la derecha, es el conjunto de números reales mayores que a y menores o iguales que b. Se denota (a, b].

Ejemplo: Representar como intervalo el conjunto siguiente:


60

{ }83),(:),( ≤≤−∧ℜ∈ xyxyx Solución

{ } [ ]8,383),(:),( −=≤≤−∧ℜ∈ xyxyx

Este es un intervalo cerrado por los dos

extremos; incluye el -3 y el 8. Este intervalo contiene los infinitos números reales desde -3 hasta 8.

Ejemplo: Representar en la recta real el siguiente intervalo:

[ )5,3− Solución

Este intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la derecha; incluye el -3 pero no el 5. Este intervalo contiene todos los números reales desde -3 inclusive hasta el 5, sin incluirlo.

Ejemplo: Representar el intervalo:

− 2

1,1 real

usando conjuntos

( / / / ]

- 1 0 2

1

[ / / / / / / / / / / ) -3 0 5


61

En este caso, el intervalo es abierto por la izquierda y cerrado por la derecha contiene todos los números reales desde el -1, sin incluirlo, hasta el

21 inclusive. Ejemplo: Representar como intervalo el conjunto siguiente:

{ }∞<≤−∧ℜ∈ xyxyx 7),(:),( Solución

{ } [ )∞−=∞<≤−∧ℜ∈ ,33),(:),( xyxyx

Este es un intervalo cerrado por la izquierda e ilimitado por la derecha. Este intervalo contiene los infinitos números reales mayores o iguales a -3, sin cota superior. Ejemplo: Representar como intervalo el conjunto siguiente:

{ }6),(:),( ≤<−∞∧ℜ∈ xyxyx

Solución

{ } ( ]6,6),(:),( ∞−=≤<−∞∧ℜ∈ xyxyx

Este es un intervalo cerrado por la derecha e

ilimitado por la izquierda. Este intervalo contiene los infinitos números reales menores o iguales a 6, sin cota inferior.


62

( ( ] ] -2 0 1 5 7

Ejemplo: Representar en forma gráfica y de intervalo el siguiente conjunto

{ }π≤≤−∧ℜ∈ xyxyx 2),(:),( Solución

{ } =≤≤−∧ℜ∈ πxyxyx 2),(:),( [ ]π,2− Ejemplo: Graficar y expresar en forma de intervalo la siguiente operación de conjuntos:

( ] ( ]7,15,2 ∪−

Solución

El intervalo obtenido serán los puntos de la recta real que pertenecen al uno o al otro intervalo; es decir, ( ]7,2−

Ejemplo: Graficar y representar el intervalo solución de:

[ ] [ ]8,26,4 I−

Solución

[ ] - 2 0 π

[ ////////////////// ] -4 0 2 6 8


63

El intervalo solución estará formado por los

puntos de la recta real que pertenecen a ambos intervalos, simultáneamente: es decir, [ ]6,2 14. VALOR ABSOLUTO

ax≤ equivale a − ≤ ≤a x a

ax≥ equivale a x a≥ ó x a≤ −

Ejemplo: Representar en forma gráfica y de intervalo el siguiente conjunto:

{ }6≤∧∈= xRxxA

Por definición de Valor Absoluto 6≤x

equivale a 6−≥x y 6≤x es decir 66 ≤≤− x Gráficamente:

El intervalo resultante es [ ]6;6− que resulta de

interceptar los intervalos [ )+∞− ;6 y ( ]6;∞− Ejemplo: Representar en forma de intervalo el siguiente conjunto:

=A { }7≥∧∈ xRxx

[ ] - 6 0 6


64

Por definición de Valor Absoluto 7≥x

equivale a 7≥x ó 7−≤x . El intervalo resultante es la unión de los intervalos ( ]7,−∞− y [ ].,7 +∞ Es decir, ( ]7,−∞− [ )+∞,7U

15. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE

Se llama inecuación de primer grado con una

variable a una desigualdad entre dos expresiones reales tales que por lo menos una contiene una variable. Por ejemplo:

35 ≥+x

0135 ≤−+ xx

xx 534 +−≥+

Resolver la inecuación significa encontrar el conjunto de números reales que al ser sustituidos en la inecuación satisfacen la desigualdad; es decir, aquellos valores que hacen que la inecuación, sea proposición verdadera. Ejemplo: Resolver: 08 ≤−x Solución

Se despeja x,

8≤x


65

La solución es el conjunto formado por todos

los números reales menores que 8 , es decir, si se toma cualquier número menor que 8 y se sustituye en 08 <−x , esta desigualdad es verdadera. Ejemplo: Resolver la inecuación expresando en forma de intervalo la solución obtenida:

32

3 ≥+x

Solución

032

)3( ≥−+x

03

063

≥−≥−+

x

x

16. TRIGONOMETRÍA

A continuación, se representa el Círculo trigonométrico y sus relaciones trigonométricas.

distancia

ordenada=αsen

distancia

abscisa=αcos

ααα

cos

sentg =

900

1800 00

3600

r=1

α distancia


66

ααα

sen

costg =c

abscisa

distancia=αsec

ordenada

distancia=αcsc

En el siguiente cuadro se presentan los signos de cada una de las funciones trigonométricas en cada uno de los cuadrantes del círculo trigonométrico Cuadrantes

Funciones I II III IV

Seno + + - - Coseno + - - + Tangente + - + - Cotangente + - + - Secante + - - + Cosecante + + - -

A menudo es necesario conocer los ángulos de

45,60,30 grados. A continuación se explica cómo se deducen. Comenzando por los ángulos de 6030 y grados, los mismos se pueden deducir usando como base un triángulo equilátero cuyo lado mide una unidad, con una de las bisectrices dibujadas.

2700

30º

A


67

C M B

1

2 A continuación se traza la altura (h), que por ser el triángulo equilátero, es también: mediana, mediatriz y bisectriz del ángulo del vértice. Si se considera el triángulo ACM, el cual es rectángulo (porque la altura es perpendicular a la base), entonces:

2

2

2

1)1(

−=h por el Teorema de Pitágoras,

que plantea que 222 bac += , siendo c la hipotenusa y a,b los catetos de una triángulo rectángulo.

=−=4

11h

=−

4

14

3

4=

3

2 Si º30=α , entonces,

21

12

130 ==°sen 230csc =°

23

12

330cos ==° 3

3230sec =°

60º 60º


68

33

23

21

30 ==°tg 330tg =°c

Si º60=α , entonces

2

3

12

360 ==°sen

3

3260csc =°

21

121

60cos ==° 260sec =

32

12

360 ==°tg

33

60 =°ctg

Para determinar el valor de las funciones trigonométricas de un ángulo de 45º, se traza un triángulo rectángulo isósceles, a cuyos catetos se les asigna el valor de 1.

En consecuencia: 222 bac += (Pitágoras)

2)1()1( 22 =+=c Luego, si α = 45º

2

2

2

145sen ==°

245csc =°


69

2

2

2

145cos ==° 245sec =°

11

145 ==°tg 145tg =°c

Ejemplo: Determinar el valor numérico de x en las siguientes expresiones:

ooo 45cos6030 2 −+= tgsenx Solución

( )2

23

2

1 2−+=x

2

23

2

1 −+=x

2

2)3(21 −+=x

2

27 −=x

Ejemplo: Resolver º30

º45º304

2

tg

sensenx

+=

Solución


70

2

3

3

2

2

2

1

4

+

=x

3

32

1

2

1

4

3

34

2

2

1

4+

=+

=x

343

334

3

34

3

3

14 ====x

De seguido se presentan las razones trigonométricas fundamentales.

1csc.sensen

1csc

csc

1sen =∴=∴= αα

αα

αα

1sen.coscos

1csc

sen

1cos =∴=∴= αα

αα

αα

1tg.tgtg

1tg

tg

1tg =∴=∴= αα

αα

αα cc

c

∴=ααα

cos

sentg

sen cos tg

cossen

tg

α α α

α αα

=

=


71

=

=∴=

ααα

ααα

ααα

tg

cossen

tgsencos

sen

costg

c

c

c

−=

−=∴=+

αααα

αα22

2222

sen1cos

cos1sen1cossen

1sectgtg1sec 2222 −=∴+= αααα

1csctgtg1csc 222 −=∴+= αααα cc Ejemplo: Comprobar si se verifica la siguiente identidad trigonométrica:

tg .cos senα α α=

Solución

sen

cos.cos sen

αα

α α=

sen senα α=

Ejemplo: Comprobar si se verifica la siguiente identidad trigonométrica:

sen . tg cos

cos

α α αα

c + = 2

Solución


72

2

cos

cossen

cos.sen

=+

α

αααα

2cos

cos.cos =+α

αα

2cos

.cos2 =αα

22 =

17. ANGULOS

Se denomina ángulo a la región angular comprendida entre dos semirectas, cuyo origen se llama vértice. Entre los ángulos se cuentan: Angulo recto : Región angular comprendida entre dos semirrectas perpendiculares. En el sistema sexagesimal un ángulo recto mide 90 grados Angulo agudo: cuando la región angular, comprendida entre las dos semirrectas tiene una magnitud inferior a la de un ángulo recto

90°


73

Angulo obtuso : cuando la región angular comprendida entre las dos semirrectas, tiene una magnitud mayor a la de un ángulo recto. Angulos adyacentes : son aquellos que tienen un lado común y los otros dos lados en una misma línea recta. β α α y β son adyacentes Angulos opuestos por el vértice: son aquellos que tienen el vértice común y los lados que lo forman según las mismas rectas.

β α


74

α y β son opuestos por el vértice Angulos complementarios : son aquellos cuya suma es igual a un ángulo recto.

β α α y β son complementarios Angulos suplementarios : son aquellos cuya suma es igual a dos ángulos rectos.

α β

α y β son suplementarios Angulos formados por una recta que corta a dos rectas paralelas. β α χ δ


75

µ ε

φ ϕ los ángulos que se determinan en este gráfico son los siguientes: Angulos alternos internos , son los que están situados a uno y otro lado de la secante, entre las rectas y con diferente vértice. [ µδεχ yy ; ] Angulos correspondientes : son aquellos que están situados a un mismo lado de la secante, uno dentro y el otro fuera de las rectas y además, con diferente vértice. Un ejemplo de ellos son: [ εαµβ yy ; ] Angulos alternos externos son los que están situados a uno y otro lado de la secante, fuera de las rectas y con diferente vértice. [ ϕαφβ yy ; ] Ejemplo: Hallar el ángulo complementario de

'2335o=α Solución: El complemento de un ángulo de 35° 23’ es igual a:

'233590 oo −=β

'' 23356089 oo −=β

3754o=β


76

110°

El complemento es '3754o Ejemplo: ¿Cuál es el ángulo suplementario de

'16112o Solución: El suplemento de un ángulo de '16112o es:

'16112180 oo −=β

'' 1611260179 oo −=β

'4467o=β El suplementario es '4467o Ejemplo: En la gráfica, las rectas L1 y L2 son paralelas. Si L es una recta secante. ¿Cuáles son

los valores de los ángulos α , β , y γ indicados en la figura? α L

L1 ϕ

β L2 ρ

Solución:

a) En la figura o110=α , por ser ángulos correspondientes

L

γ


77

Luego α + ϕ o180= suplementarios

ϕ oo 110180 −=

α o70=

b) El ángulo ª110== aρ por ser alternos externos

c) Por ultimo, el ángulo ª70== lβ , por

ser opuestos por el vértice.

18. CALCULO DE AREAS Ejemplo: Calcular el área de la zona sombreada sabiendo que la circunferencia tiene radio de cm4 .

El área de la zona sombreada es:

2. RA π=

24.π=A

π16=A


78

El área de la zona rayada representa la mitad de toda la superficie del circulo, por lo tanto, el área buscada es

ππ8

2

16 =

=A

Ejemplo: Dado un circulo inscrito en un cuadrado de lado 1 cm. Determinar el área sombreada de la figura; si el

radio del círculo es 21

Área del cuadrado:

222 1.)1( cmcmA === l Área del círculo:

4

1

2

12

2 πππ =

== rA

Área de zona sombreada:

El área sombreada es igual al área del cuadrado menos el área del círculo.


79

4

3

4

11

ππ =−=A

Ejemplo: Un cuadro ABCD se divide en 4 partes iguales. Calcular el área sombreada del cuadrado ABCD, cuya diagonal es igual a 8 cm. El área del cuadrado es:

=1A 2α

℘ α α

A

El lado se calcula aplicando el teorema de Pitágoras:

2℘ = 2α + 2α 2℘ = 2 2α

2α = 2

64

A B

C D


80

Luego: 22

1 32)24( cmA ==

El área de la región sombreada será:

=A224

4

9632

4

3cmx ==

MODELO DE PREGUNTAS En esta sección, se presenta un grupo de preguntas relacionadas con las diferentes partes que componen la Prueba de Admisión Interna de FACES, esto con el objeto de que el aspirante se vaya familiarizando con el estilo de las preguntas, y de esta forma pueda prepararse adecuadamente para su presentación. Es muy importante que una vez inscrito para presentar la prueba, comience a repasar los conocimientos relacionados con los temas indicados en este folleto como contenidos básicos a ser evaluados, en las áreas de Aritmética, Algebra, Geometría y Trigonometría. Para el día de la presentación de la prueba, debe tener en cuanta algunos puntos importantes: 1. Debe leer bien el enunciado de la pregunta.

Verifique que entiende qué es exactamente lo que le están preguntando.


81

2. No debe insistir mucho tiempo en responder preguntas que le resulten complicadas. Debe seguir, y contestar aquellas que le sean más sencillas. Es mucho mejor responder cinco (5) preguntas fáciles que una (1) difícil. Luego si el tiempo se lo permite, regrese a las preguntas que haya dejado de responder.

3. Siempre que sea necesario, debe ayudarse con dibujos o gráficos en el mismo examen (en el folleto de preguntas, no en la hoja de respuestas): Ello será muy útil en preguntas que involucren relaciones espaciales, Geometría o Trigonometría.

4. Finalmente, debe tener en cuenta algo muy importante: No conteste al azar , ya que ello disminuye su puntuación. Si tiene duda en la respuesta, debe dejarla en blanco.

EJEMPLOS EN EL AREA DE MATEMATICA A continuación se le presentan una serie de preguntas. Seleccione la respuesta correcta, entre las cinco alternativas.

1. El resultado de la siguiente operación

−−4

1

2

1

3

2

es:

a) 5

2

b) 5

2−

c) 12

7−


82

d) 12

5

e) 12

5−

La alternativa correcta es la (d) 2. Al efectuar la siguiente multiplicación de factores

( )( )88 +− yy el resultado es:

a) 642 +y

b) 642 −y

c) 1682 −− xy

d) 1682 +− xy

e) 6482 −− xy La alternativa correcta es la (b)

3. La expresión 5

4

4

5 − es igual a:

a) 10

5

b) 1

c) 4

5

d) 3

e) 10

1

La alternativa correcta es la (a)


83

4. Si xxf 3)( = , el valor de )2(f es igual a:

a) 2 b) 3 c) 8 d) 9 e) 6

La alternativa correcta es la (d)

5. Si 1

1)(

+=

xxf ¿Para qué valores racionales de

x , )(xf no es un número racional?:

a) 1 b) 2 c) 1− d) 2− e) 0

La alternativa correcta es la (c)

6. Al simplificar la fracción

x

11

1

− resulta:

a) 2

1−x

b) x

x−1

c) x

x

−−

2

1


84

d) x

x

−1

e) 1−x

x

La alternativa correcta es la (e)

7. Si 15

=+−

x

yx 4=xy entonces el valor de y es:

a) 5− b) 1 c) 0 d) 2 e) 4


8. Si 0)4(

)4)(62(

)2(

)2)(3( =−

−−+−

−−x

xx

x

xx, entonces x es

igual a:

a) 0 b) 2 c) 1 d) 4 e) 3

La alternativa correcta es la (e) 9. El resultado de la suma

)24()68()1012()1416()1820( −−−+−+−+−− es:

a) 2−


85

b) 10− c) 0 d) 10 e) 2

La alternativa correcta es la (e) 10. Al racionalizar el denominador de la fracción

32

23

+−

el resultado es: a) 625+−

b) 265− c) 625−−

d) 625−

e) 625+ La alternativa correcta es la (d) EJEMPLOS SOBRE HABILIDAD VERBAL PRIMERA PARTE: AMPLITUD DE VOCABULARIO La utilización de preguntas como las que se presentan en las partes I y II, pretenden apreciar la amplitud de vocabulario del aspirante. Para ello, debe evidenciar precisión en el uso del vocabulario mediante la selección de expresiones análogas u opuestas.


86

Similitud entre Palabras

A continuación, se da una palabra base, seguida de cinco palabras. Seleccione aquella cuyo significado sea similar al de la palabra base.

1. Obvio es similar a:

a) fácil b) viable c) evidente d) subjetivo e) preciso

La alternativa correcta es la (c) 2. Carnada es similar a:

a) ardid b) pretexto c) señuelo d) artificio e) estrategia

La alternativa correcta es la (c) 3. Extenso es similar a:

a) largo b) ancho c) despejado d) vasto e) infinito

La alternativa correcta es la (d) 4. Polémica es similar a:

a) contraposición


87

b) controversia c) contraataque d) contradicción e) contraseña

La alternativa correcta es la (b) 5. Sosiego es similar a:

a) paz b) paciencia c) tolerancia d) descanso e) tranquilidad

La alternativa correcta es la (e) Antagonismo entre Palabras A continuación, se da una palabra base, seguida de cinco palabras. Seleccione aquella palabra cuyo significado sea opuesto al de la palabra base.

6. Incapaz es opuesto a:

a) dispuesto b) inteligente c) competente d) estudioso e) diligente

La alternativa correcta es la (c) 7. Inerme es opuesto a:

a) armado b) diestro c) abastecido


88

d) experto e) equipado

La alternativa correcta es la (a) 8. Arcaico es opuesto a:

a) estético b) precursor c) primitivo d) novedoso e) moderno

La alternativa correcta es la (e) 9. Discordia es opuesto a:

a) pacto b) arreglo c) unidad d) consenso e) acuerdo

La alternativa correcta es la (e) 10. Exilio es opuesto a:

a) refugio b) albergue c) asilo d) destierro e) embajada

La alternativa correcta es la (c) Relación entre Pares de Palabras


89

En esta parte se evalúa la habilidad para identificar la relación que une un par de palabras. Normalmente el tipo de relación que se establece puede ser: • Similitud, cuando los pares de palabras están

relacionados por el significado entre las parejas de palabras. Por ejemplo:

11. Amar es a querer como:

a) Comunicar es a manifestar b) Creer a dudar c) Nominar es a votar d) Difundir es a divulgar e) Ganar es a perder

La respuesta correcta es la (d) • Oposición, cuando los pares de palabras se

encuentran relacionados por lo opuesto que son ambas parejas. Por ejemplo:

12. Guerra es a paz, como: a) lado es a cuadrado b) luna es anoche c) noche es a día d) cuerda es a arco e) hoy es a presente

La respuesta es la alternativa (c). • Parte a Todo, cuando en la relación, la primera

palabra es un aspecto, una parte de lo que se menciona en la segunda palabra. Por ejemplo:


90

13. País es a continente, como

a) tierra a mar b) mano es a cuerpo c) madre es a hija d) brillar es a relucir e) mentira es a verdad

La alternativa (b) es la correcta • Todo a Parte, es lo inverso a la relación anterior,

la primera palabra es la que engloba a la segunda. Por ejemplo:

14. Continente es a país, como:

a) escalera es a elevador b) actualidad es a contemporaneidad c) género es a número d) relativo es a absoluto e) cuerpo es a mano

La respuesta es la alternativa (e) • Causa-Efecto, cuando la relación que se tiene

entre los pares de palabras, establece una implicación de una con otra, sea que la primera es causa de la segunda o viceversa. Ejemplo:

15. Infección es a fiebre, como:

a) campeonato es a atleta b) guerra es a destrucción c) locura es a cordura d) reloj es a orden e) rutina es a caos


91

La alternativa correcta es la (b) A continuación se presenta un par de palabras relacionadas, seguidas de cinco pares de palabras. Seleccione la alternativa que expresa mejor una relación semejante a la que se da en el par de palabras que sirve de base. 15. Matrimonio es a unión como:

a) Viudez es a soledad b) Soltería es a libertad c) Divorcio es a separación d) Casamiento es a enlace e) Noviazgo es a ilusión

La alternativa correcta es la (d) 16. Perro es a fidelidad como:

a) Mariposa es a esplendor b) Zorro es a astucia c) Tigre es ferocidad d) Gallo es a colorido e) Ave es a candor

La alternativa correcta es la (b) 17. Vestido es a abrigo como:

a) Dinero es a ostentación b) Visita es a emoción c) Mueble es a reposo d) Camino es a comunicación e) Casa es a protección

La alternativa correcta es la (e)


92

18. Subalterno es a Jefe como:

a) Esclavo es a siervo b) Comerciante es a empresario c) Obrero es a patrón d) Dirigente es a oficinista e) Empleado es a principal

La alternativa correcta es la (c) 19. Fuego es a Ceniza como:

a) Terremoto es a escombro b) Erosión es a lluvia c) Inundación es a lluvia d) Huracán es a viento e) Tornado es a nube

La alternativa correcta es la (a) Uso de Palabras en Contexto Esta parte mide la habilidad de seleccionar palabras que sustituyan otras, que están subrayadas, sin que se cambie el sentido del texto. Tácticas para responder este tipo de preguntas: a) No debe elegir ninguna alternativa que cambie el

sentido original del texto. b) Verifique que el par de palabras concuerde

perfectamente con las dos que se sustituyen. c) Si desconoce el significado de la palabra

subrayada trate de descubrir si por el contexto en que se encuentra puede deducirlo.


93

d) Recuerde que no debe contestar por tanteo, porque las respuestas incorrectas disminuyen la puntuación. Si no está seguro o no conoce la respuesta, lo mejor es dejarla en blanco.

Cada una de las siguientes oraciones tiene una o más palabras subrayadas. Seleccione de las cinco alternativas, aquella cuya sustitución no altere el sentido de la oración.

20. En las economías de mercado, la propaganda

tiene como finalidad introducir los productos que se anuncian: a) destino b) objetivo c) sentido d) centro e) hito

La alternativa correcta es la (b) 21. Los recursos naturales deben ser administrados

con prudencia. a) manejados-cautela b) tutelados-cordura c) repartidos-mesura d) organizados-discernimiento e) otorgados-circunspección

La alternativa correcta es la (a) 22. La práctica de un gobierno está fundada en los

principios y éstos en teorías: a) acción b) costumbre


94

c) rutina d) facilidad e) consciencia

La alternativa correcta es la (a) 23. En el ámbito universitario los estudios de

arqueología son muy recientes. a) espacio-modernos b) contorno-frescos c) ambiente-nuevos d) círculo-originales e) recinto-desconocidos

La alternativa correcta es la (c) 24. El Deporte se ha convertido en un elemento

esencial de la cultura humana. a) mudado-importante b) trocado-notable c) mutado-destacado d) cambiado-trascendente e) transformado-indispensable

La alternativa correcta es la (e) SEGUNDA PARTE: COMPRENSION LECTORA Esta parte mide la habilidad para captar tanto el sentido explícitamente anotado en el texto, como el sentido implícito. En el primer caso, se trata de identificar las ideas principales y secundarias que aparecen en el texto. En el segundo caso, se debe ser capaz de “ver” a través de la lectura, qué idea nos está tratando de trasmitir el autor, por ejemplo: sus sentimientos (amor, odio, disgusto), opinión


95

(favorable, desfavorable), estilo (romántico, prosaico), posición ante la vida o de los hechos (optimista, pesimista). En este tipo de prueba, se pueden hacer varios tipos de preguntas: a) Idea Principal, en este caso se

preguntará....¿Cuál es el tema del texto? o también, de las siguientes alternativas, ¿cuál refleja mejor el contenido del párrafo en general (idea principal), no, a los detalles que se brindan? Generalmente, aunque no siempre, la idea principal está al comienzo, explícitamente anotada, pero igualmente puede estar a la mitad o al final del texto.

b) Detalles del texto, en este caso, la pregunta se refiere explícitamente a aspectos que están en el párrafo, por ejemplo, preguntas como: “El autor considera que.........”; “Según la lectura, el número de casos............”, son ejemplos de esta categoría.

• Ideas implícitas, son preguntas que no aparecen explícitamente en el texto, pero pueden inferirse de acuerdo a las posiciones o argumentos presentados. Son ejemplos típicos de este tipo, preguntas como “después de la lectura, se puede concluir que .......”; “La frase..............implica que el autor está de acuerdo con la teoría e la relatividad”.

c) Ideas implícitas, son preguntas que no aparecen explícitamente en el texto, pero pueden inferirse de acuerdo a las posiciones o argumentos presentados. Son ejemplos típicos de este tipo, preguntas como: “después de la lectura, se puede


96

concluir que.........”; “la frase................implica que el autor está de acuerdo con la teoría de la relatividad”.

Tácticas para responder este tipo de preguntas: Deben tomarse en consideración las siguientes recomendaciones: 1. Lea primero la pregunta y luego el texto,

comenzando por el título del párrafo que puede estar al comienzo o al final en pequeñas letras. Esto normalmente le indica cuál es la materia que se trata en el mismo. El leer primero la pregunta le guiará en su lectura hacia la identificación de la idea principal.

2. Subraye aquello que considere importante para la comprensión de la idea principal.

3. Lea todas las alternativas de respuestas que se presentan. Aquí es importante que tome en cuenta que cuando la pregunta refiera aspectos del texto, no responda por lo que sabe, piense o sienta. ¡Cuidado! Siempre las preguntas se refieren al texto, al autor, a lo que está implícito, pero no a lo que usted sabe o piensa.

4. Como siempre, no asuma que encontró la respuesta antes de haber considerado las restantes.

5. Si tiene duda entre dos (2) respuestas, es mejor que la deje en blanco.

6. Traten de leer lo más rápidamente que pueda, sin que ello implique que pierda la capacidad de comprensión. Si ello sucediese, disminuya la velocidad de la lectura.


97

A continuación se presentan algunos ejercicios para que practique lo antes mencionado. Para ello el interesado debe leer con mucha atención y detenimiento el trozo de lectura y posteriormente seleccionar la alternativa correcta entre las cinco (5) que se le presentan en las diferentes preguntas alusivas al contenido de la lectura.

EJEMPLO UNO

Aunque la ciencia moderna sólo existe desde

hace unos pocos cientos de años, casi no hay un solo aspecto de la vida cotidiana, en el mundo occidental, que no haya sido transformado por ella. La aplicación del conocimiento científico ha dado como resultado la introducción de adelantos en la agricultura, en las comunicaciones y en los transportes, en la salud y la higiene y en nuestro nivel de vida en general. La domesticación de la potencia del vapor y el agua para poner en funcionamiento nuestras maquinarias, y la desviación de cursos de aguas para convertir desiertos en viñedos son solamente dos ejemplos de los usos benéficos de la ciencia como instrumento para el mejoramiento de un medio hostil.

Claro que algunos resultados prácticos de la ciencia no son tan alegres. El enorme aumento del poder destructivo de las armas ha hecho que la amenaza de la guerra se convierta en una amenaza para la civilización misma. Sin embargo, a pesar de estos aspectos infortunados de las conquistas científicas, en conjunto, el desarrollo de la ciencia y sus aplicaciones han sido beneficiosos para la humanidad.


98

Por terribles que sean los estragos de las explosiones atómicas, el sacrificio de vidas humanas que implican, parece ser mucho menor que el de las grandes plagas que antiguamente se esparcía en Europa y diezmaba su población. Estas plagas han sido completamente extirpadas por la moderna ciencia médica. El valor práctico de la ciencia reside en la ida más fácil y más pletórica que han posibilitado los avances tecnológicos basados en el conocimiento científico. Pero su aspecto práctico no es el único valor de la ciencia. La ciencia es conocimiento y como tal un fin en sí mismo. Las leyes y los principios descubiertos por la investigación científica tienen un valor intrínseco, independiente de toda estrecha utilidad que puedan poseer. Este valor intrínseco reside en la satisfacción de la curiosidad, en la realización del deseo de conocer. Se ha reconocido desde hace mucho tiempo que Aristóteles escribió: “...aprender algo es el más grande de los placeres, no solamente para el filósofo, sino también para el resto de la humanidad, por pequeña que sea su capacidad para ello..”. Si consultamos a uno de los más distinguidos científicos contemporáneos, Albert Einstein, éste nos dice: “Existe una pasión por la comprensión como existe una pasión por la música. Esta pasión es común en los niños, pero la mayoría de la gente la pierde posteriormente. Sin esta pasión no hubiera habido matemática, no ciencia natural”. El conocimiento científico no solamente da al que lo posee el poder de satisfacer sus diversas


99

necesidades prácticas, sino que es también, en sí mismo la satisfacción directa de un deseo particular, el deseo de saber.

(Copi, Inrving M. Introducción a la Lógica. Editorial EUDEBA, 171, PP. 368-369)

1. Según el contenido del fragmento, el tema central lo constituye: a) El confort como consecuencia del auge

tecnológico b) El poder de la tecnología c) La ciencia y su valor en sí misma d) Los avances tecnológicos e) La satisfacción de dominar la naturaleza

La alternativa correcta es la (c) 2. Para el autor, el valor intrínseco de las leyes y

principios descubiertos por la investigación científica radica en: a) Su aspecto teórico b) La formulación de nuevas teorías científicas c) El exterminio de epidemias en el mundo d) El aumento del poder del hombre e) La satisfacción de dominar la naturaleza

La alternativa correcta es la (b) 3. Según ese expresa en el texto, el valor utilitario de

la ciencia reside en su: a) Naturaleza b) Sabiduría c) Aplicación d) Experimentación e) Desarrollo


100

La alternativa correcta es la (c) 4. El autor considera que el conocimiento científica

satisface al hombre como: a) Realización colectiva b) Placer de descubrir c) Deseo de transcendencia d) Manifestación de su ego e) Expresión de la tradición

La alternativa correcta es la (b) 5. Según el autor, el confort que ha logrado el

hombre moderno se debe al: a) Conocimiento científico b) Conocimiento práctico c) Desarrollo de la medicina d) Pragmatismo del individuo e) Conocimiento de sí mismo

La alternativa correcta es la (a) EJEMPLO DOS

La burocracia está todavía en los negocios, a pesar de más de una década de esfuerzos de privatización y un consenso creciente de que los gobiernos manejan la economía no tan bien como en el sector privado en una multitud de actividades. El reporte de un grupo de investigadores del Banco Mundial concluye que aunque se hable mucho de privatización, aún en la mayoría de los países de bajos ingresos y en vías de desarrollo, las


101

empresas estatales son tan importantes como hace 20 años. El estudio, además de mostrar los efectos sociales negativos de las empresas estatales en casi todo el mundo, analiza las estrategias eficientes para privatizar y señala errores en las privatizaciones. La mayor reducción de las empresas estatales , según el estudio, se ha dado en los países industrializados, en los ex-socialistas y en algunos de mediano ingresos. Los países con menores ingresos, los más pobres siguen con un enorme sector empresarial manejado por la burocracia, lo que se convierte en un obstáculo para salir de la miseria. Es estudio muestra una relación entre mayor pobreza y una mayor carga de paraestatales. A pesar de una multitud de datos objetivos sobre la ineficiencia y daños socioeconómicos causados por las empresas propiedad de los gobiernos, por diversas circunstancias en muchos países todavía tienen gran importancia. Parece que importantes grupos de presión política, escudándose en manipulados conceptos de nacionalismo y soberanía, sabotean los procesos de privatización que, como demuestra el Banco Mundial, son hasta ahora más ruido que realidad en la mayoría de los países pobres y subdesarrollados.

(PAZOS, Luis, Revista Visión. Diciembre de 1996. Vol. 87. Nº 11, p.25)

6. El tema central del artículo es:

a) Las empresas del gobierno b) La privatización


102

c) El Banco Mundial d) Los países más pobres e) Los países subdesarrollados

La alternativa correcta es la (b) 7. La privatización se ha dado en mayor grado:

a) En los países más pobres b) Países con grupos con presión política c) Países industrializados y exsocialistas d) Grupos con altos conceptos de nacionalismo e) Los países con bajos ingresos

La alternativa correcta es la (c) 8. La burocracia, según el artículo, está presente en:

a) Los países desarrollados b) Las empresas de negocios c) Las empresas estatales d) Los países con altos ingresos e) Los países totalitarios

La alternativa correcta es la (b) EJEMPLOS DE HABILIDAD NUMERICA 1. La suma de dos números impares distintos,

mayores que 7 y menores que 12 es:

a) 15 b) 21 c) 14 d) 20 e) 22


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La alternativa correcta es la (d). 2. Una empresa vendió 800 artículos durante 1996.

En 1997 duplicó la venta, y en 1998 vendió la mitad del total vendido en los años 19971996 y . Entonces el promedio de venta durante los tres años fue:

a) 1600 b) 1200 c) 800 d) 3600 e) 2400

La respuesta es la alternativa (b) 3. Juan dispone de 4 horas para recreación, utiliza

5

1

del tiempo para juegos y el resto lo dedica a oír música ¿Cuánto tiempo, en minutos, dedica a oír música?.

a) 20 b) 102 c) 48 d) 27 e) 192

La alternativa correcta es la (e) 4. Si el cuadrado de un número positivo menos su

doble es igual a 0 , entonces el número es igual a:


104

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

La respuesta es la alternativa (b) 5. Una persona lleva al Banco tres cheques para

depositarlos en su cuenta, si se sabe que: el 1ro y el 2do suman 000.35.Bs ; el 2do y el 3ro suman

000.30.Bs y el 1ro y el 3ro suman 000.15.Bs ¿Cúal era el monto del primer cheque?

a) 000.10 b) 000.12 c) 000.15 d) 000.20 e) 000.13

La alternativa correcta es la (a) 6. En una lámina de metal se corta un trozo que

representa el %40 de toda la lámina. Si el pedazo no cortado pesa Kg3,36 entonces el peso del trozo cortado es: a) .2,24 Kg b) .3.36 Kg c) .5,60 Kg d) .6,40 Kg e) Kg10,16



105

7. En una tienda se ofrece un descuento del %25 .

Si al comprar un artículo se ahorra 21.Bs , entonces el costo original del artículo es de bolívares: a) 24 b) 28 c) 32 d) 36 e) 84

La alternativa correcta es la (e) 8. Una docena de naranjas cuesta 192 bolívares y

una docena de mandarinas cuesta 96 bolívares. Si Carlos compra 4 naranjas y 3 mandarinas y paga con un billete de cien bolívares ¿Cuánto es el vuelto que recibe?

a) 16 b) 12 c) 8 d) 18 e) 22

La alternativa correcta es la (b) 9. Si X es promedio de cuatro números enteros y

cada uno de éstos aumenta en una unidad, entonces el nuevo promedio es: a) x b) 1+x c) 1−x d) 4+x


106

e) 2+x La alternativa correcta es la (b) 10. Si el cuadrado de un número positivo menos su

doble más uno es igual a cero, entonces el número es igual a: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

La alternativa correcta es la (b) 11. Un comerciante compró cierto número de

artículos y el precio de cada artículo era la cuarta parte del número de artículos comprados. Si pagó un total de 000.40.Bs el número de artículos comprados fue:

a) 20 b) 10 c) 400 d) 200 e) 100

La alternativa correcta es la (c)


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BIBLIOGRAFIA Curso Propedéutico FACES. Matemática Básica. Tríptico informativo de la Escuela de Economía. Facultad de Ciencias Económicas y Sociales de la Universidad de Carabobo Alvarado Carlos; Asunción Hilda Saer; Font Ivonne; Mostafá Mirella. Folleto Informativo de la Prueba de Admisión Interna. Ediciones de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales de la Universidad de Carabobo.Valencia. 1997 Navarro E. Problemario de Análisis y Geometría Analítica. Caracas, 1992 Revista de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales de la Universidad de Carabobo. Oficina de Planificación, 1999


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ANEXOS


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Ediciones de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales

de la Universidad de Carabobo

Marzo 2005

8.000 ejemplares

Conocimientos Basicos Para Ingresar a FACES

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