CONJUNTOS NUMÉRICOS · O conjunto dos irracionais é um conjunto disjunto do conjunto dos números...
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Ano: 2016
CONJUNTOS
NUMÉRICOS Aulas 01 a 06
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos
Sumário CONJUNTOS NUMÉRICOS ....................................................................................................................................... 2
Conjunto dos números Naturais ......................................................................................................................... 2
Conjunto dos números Inteiros .......................................................................................................................... 2
Conjunto dos números Racionais ....................................................................................................................... 2
Conjunto dos números Irracionais ...................................................................................................................... 2
Conjunto dos números Reais .............................................................................................................................. 2
RELAÇÃO DE INCLUSÃO .......................................................................................................................................... 2
SUBCONJUNTOS ...................................................................................................................................................... 3
OBSERVAÇÕES ......................................................................................................................................................... 3
INVERSO E OPOSTO DE UM RACIONAL ................................................................................................................... 3
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 3
FECHAMENTO ......................................................................................................................................................... 3
MÚLTIPLO E DIVISOR DE UM NÚMERO INTEIRO .................................................................................................... 4
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) ..................................................................................................................... 4
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) ......................................................................................................................... 4
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 4
O VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO ................................................................................................................... 4
Módulo de um número (definição formal) ............................................................................................................. 5
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 5
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS ................................................................................................................. 5
FRAÇÃO GERATRIZ .................................................................................................................................................. 5
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 6
CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS .............................................................................................................. 6
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 6
CONJUNTO DOS REAIS ............................................................................................................................................ 6
REAIS E A RETA NUMÉRICA ..................................................................................................................................... 6
INTERVALOS REAIS .................................................................................................................................................. 7
PRELIMINAR 1 ..................................................................................................................................................... 7
PRELIMINAR 2 ..................................................................................................................................................... 7
INTERVALOS REAIS .................................................................................................................................................. 7
REPRESENTAÇÃO DOS INTERVALOS ....................................................................................................................... 7
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 8
OPERAÇÕES ENTRE INTERVALOS ............................................................................................................................ 8
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 8
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 1
QUESTÕES EXTRAS .............................................................................................................................................. 8
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 2
AULA 01
CONJUNTOS NUMÉRICOS Alguns conjuntos numéricos já foram estudados em
anos anteriores. São eles:
Conjunto dos números Naturais Surgiu a partir da necessidade de contagem –
importante passo no desenvolvimento da
matemática.
em que representa um número natural genérico.
Conjunto dos números Inteiros Surgiu a partir da necessidade gerada pela operação
diferença.
Conjunto dos números Racionais O conjunto dos racionais surge da necessidade de
representar algumas razões não exatas.
e
Exemplo 1.1
Conjunto dos números Irracionais Esse conjunto surgiu a partir da necessidade de
calcular o comprimento da diagonal de um quadrado
de lado com medida 1. (PITAGÓRICOS)
O conjunto dos irracionais é um conjunto disjunto do
conjunto dos números racionais e tem como
elementos apenas as dízimas não-periódicas.
Exemplo 1.2
é irracional é irracional ;
é irracional
Conjunto dos números Reais É o conjunto formado pela união do conjunto dos
números racionais com o conjunto dos números
irracionais.
Note que, o conjunto dos números irracionais pode
ser representado por “ ”.
RELAÇÃO DE INCLUSÃO A relação de inclusão entre os conjuntos estudados
pode ser ilustrada pelos diagramas de Venn a seguir.
Temos a seguinte cadeia de inclusão: .
Os números inteiros;
Os decimais exatos (aqueles que, na sua
representação decimal, têm parte decimal
finita); Exemplos:
As dízimas periódicas (aqueles que, na sua
representação decimal, têm parte decimal
infinita e com repetição de um "bloco" formado
por um ou mais algarismos). Exemplo:
Não. Há alguns “tipos” de números que não são
racionais, entre eles:
As dízimas não-periódicas (aqueles que, na sua
representação decimal, têm parte decimal
infinita e SEM repetição de um "bloco" formado
por um ou mais algarismos); e
As raízes que têm índice par e radicando
negativo.
Quais números podem ser escritos na forma
mencionada?
Mas, pode-se dizer que o conjunto dos números
racionais contém todos os números conhecidos?
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 3
SUBCONJUNTOS
OBSERVAÇÕES Obs.1: O sucessor de um número natural é o número
natural que vem imediatamente após o número em
questão.
Exemplo 1.3:
a) . b) .
c) .
d) 0 (zero) não é sucessor de nenhum número
natural.
Obs.2: Os conjuntos estudados são infinitos.
Obs.3: Há uma forma para se representar números
pares e ímpares de maneira genérica:
PARES
Se é par, então para algum .
ÍMPARES
Se é ímpar, então para algum .
Obs.4: Podemos descrever cada número inteiro como
um ponto na reta ordenada.
Obs.5: O oposto de um número é dado por – .
Na reta ordenada, dois números opostos são
equidistantes da origem.
INVERSO E OPOSTO DE UM RACIONAL
Dado
, temos
Seu oposto:
Seu inverso:
, onde
Exemplo 1.4
Tomando o número racional
, temos
seu oposto:
seu inverso:
Obs.6: Uma fração
é dita irredutível quando
.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. Dados e números naturais, tais que
e , determine:
a)
b)
1.2. Determine natural, tal que .
1.3. Sabendo que a soma de três números
consecutivos é 63, determine esses números.
AULA 02 FECHAMENTO
Considere um conjunto A e quaisquer dois de
seus elementos. Se o resultado de uma operação feita
com esses dois elementos também for elemento de A,
então é dito que A é fechado para essa operação.
Exemplo 2.1: O conjunto dos números naturais é
fechado para as operações de adição e multiplicação.
Isto é,
TAREFA 2: Ler, na página 4, o tópico “As
propriedades fundamentais da adição e da
multiplicação em ” e o exercício 5. Além disso, fazer
os PRATICANDO EM SALA (PSA) 2, 3, 4, 5 e 6.
TAREFA 1 – Ler: na página 3 e 11, os tópicos “Alguns
subconjuntos especiais do conjunto dos números
naturais” e “Alguns subconjuntos especiais do conjunto
dos números inteiros”; e na página 43, as observações
21 e 22.
Após a leitura recomendada, você deve ter
observado que
um * na parte superior à direita do símbolo do
conjunto exclui o zero do conjunto.
um + na parte inferior à direita do símbolo do
conjunto mantém somente o 0 e os positivos
no conjunto.
um – na parte inferior à direita do símbolo do
conjunto mantém somente o 0 e os negativos
no conjunto.
Qual é o padrão na escrita dos subconjuntos?
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 4
Note que na operação diferença isto nem sempre
acontece,
no entanto .
Veja, na tabela a seguir, para quais operações cada
conjunto numérico estudado é fechado.
Operação
Adição X X X X Multiplicação X X X X Subtração X X X Divisão X X
Obs.1: Quando se trata do fechamento da operação
divisão é evidente que estamos tratando dos
respectivos conjuntos sem o elemento “0 (zero)”, pois
a divisão por zero não está definida.
MÚLTIPLO E DIVISOR DE UM
NÚMERO INTEIRO Considere os números ,a b .
Diz-se que a é divisor de b, ou que b é múltiplo de a, se
existe um número inteiro c tal que b a c .
Exemplo 2.2: O número 26 é múltiplo de 13, pois
26 13 2 , pode-se dizer ainda que 13 é um divisor do
26.
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) Considere os números ,a b .
O mínimo múltiplo comum de a e b é o menor c
que é múltiplo de a e de b.
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números
pode ser obtido por fatoração simultânea como
podemos observar no exemplo a seguir.
Exemplo 2.3: Vamos determinar o 24, 30mmc .
Observe que vamos dividir pelos fatores dos dois
números até que eles fiquem iguais a 1.
3
224, 30
212, 15
26, 15
33, 15
51, 5
1, 1 2 3 5
Assim temos que 24, 30 120mmc
Obs.2: Todos os múltiplos comuns de a e b são
múltiplos do mmc de a e b.
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) Considere os números ,a b .
O máximo divisor comum de a e b é o maior c que
é divisor de a e de b.
O máximo comum de dois ou mais números pode ser
obtido por fatoração simultânea como podemos
observar no exemplo a seguir.
Exemplo 2.4: Vamos determinar o 24, 30mdc .
Observe que vamos dividir apenas pelos fatores que
dividem simultaneamente os dois números.
24, 30 2
12, 15 3
6, 5 2 3
Assim temos que 24, 30 6mdc
Obs.3: Todos os divisores comuns de a e b são
divisores do mdc de a e b.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1. Dois corredores partem juntos numa pista
circular no mesmo sentido. Sabendo que o primeiro
completa uma volta a cada 12 minutos e o segundo
uma volta a cada 15 minutos, determine o tempo
mínimo para eles se encontrarem na linha de
chegada.
O VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO Considere que, em uma reta ordenada, a abscissa
(zero) esteja associada a um ponto (origem) e um
ponto qualquer tenha sua abscissa denominada .
O módulo ou valor absoluto do número inteiro ,
denotado por , é um valor (necessariamente
positivo) que nos diz a distância entre os pontos e .
Se está à direita de , então sua abscissa é
um número inteiro positivo e, desse modo, seu
valor absoluto é igual a ele mesmo.
Em símbolos:
.
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 5
Exemplo 2.5
, então
Se está à esquerda de , então sua abscissa é
um valor inteiro negativo e, desse modo, seu
valor absoluto é igual ao seu oposto (que é
positivo).
Em símbolos:
, então .
Exemplo 2.6
então
Módulo de um número (definição
formal) O módulo ou valor absoluto do número inteiro ,
denotado por , é o quanto ele dista da origem na
reta real. Temos que,
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.2. Determine o valor ou simplifique as expressões
a seguir:
a)
b) , se
AULA 03 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS Vimos que os decimais exatos e as dízimas periódicas
podem ser representados na forma
, com e
inteiros e .
Exemplo 3.1
FRAÇÃO GERATRIZ Como já foi dito, uma dízima periódica pode ser
representada como uma fração de dois números
inteiros (com denominador não nulo). A essa fração é
dado o nome de fração geratriz.
Obs.1: Em uma dízima periódica, a menor sequência
de algarismos que se repete é denominada período.
Destacamos o período de uma dízima periódica
colocando um “–“ sobre ele. Veja:
Exemplo 3.2
Determinar a fração geratriz de 2,03333.
I)
II)
III)
IV)
Logo,
Exemplo 3.3
TAREFA 3 – Ler, nas páginas 3 a 5 do tablet, “O valor
absoluto de um número inteiro” e fazer o PSA 7, 30 e 31.
Como retirar o módulo de um expressão?
Note que o resultado do módulo depende do sinal
da expressão “dentro” dele. Logo, para retirar o
módulo de uma expressão, faça o seguinte:
1º) Avalie o sinal da expressão “dentro” do módulo. Em geral, para avaliar o sinal das expressões algébricas,
basta substituir alguns valores do intervalo ao qual pertence.
2º) Se for positiva, apenas elimine o módulo e
reescreva a expressão, sem alterá-la; se for negativa,
elimine o módulo e escreva o oposto da expressão
(isto é, troque os sinais de todos os seus termos).
Este processo é relevante quando temos
incógnitas dentro do módulo.
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Para determinar a fração geratriz ( ) de ,
basta utilizar o seguinte método:
i) Escreva a dízima destacando o período,
conforme a Obs.1 e iguale-a a .
ii) Se entre a vírgula e o período não houver
nenhum algarismo, vá para o passo iii).
Caso haja, conte o número de algarismos
entre a vírgula e o período e multiplique
ambos os lados da equação pela potência
de 10 correspondente.
Não há algarismos entre a vírgula e o
período, logo continuamos com .
iii) Conte o número de algarismos que
formam o período (no caso, ) e
multiplique a equação obtida em i) pela
potência de 10 correspondente.
iv) Subtraia ii) de iv) e resolva a equação
resultante.
Logo,
.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
3.1. Sejam p e q, primos entre si, tais que
.
Determine a diferença .
3.2. Encontre a fração geratriz, em cada caso a seguir.
a)
b)
c)
3.3. Escreva em ordem crescente as frações
,
e
.
AULA 04
CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS Vimos que o conjunto dos irracionais abrange todas as
dízimas não periódicas.
Exemplo 4.1
Obs.1: É importante lembrar que o conjunto dos
números irracionais não é fechado para as operações
básicas, entre elas diferença e soma. Isto é, nem toda
soma de irracionais é irracional.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
4.1. Prove que não é racional.
DESAFIO: Prove que não é racional.
CONJUNTO DOS REAIS Já vimos que,
Em outras palavras, o conjunto dos números reais é
dado pela união de racionais e irracionais.
REAIS E A RETA NUMÉRICA Para cada número real está associado um único ponto
da reta. Reciprocamente, à cada ponto da reta está
associado um único número real. Isto é, temos uma
relação biunívoca entre a reta numérica e os números
reais.
TAREFA 4 – Ler, no tablet, a parte teórica 4 exercício 25
TAREFA 5 – Ler, no tablet, a parte teórica 4 e fazer os
PROPOSTOS 35, 36, 37, 39, 40(a, d, f) e 41(a, b, c)
E
Os números reais e a reta numérica
É importante observar que os reais conseguem
completar uma reta, ou seja, você consegue associar
a cada ponto da reta um número real sem deixar
nenhum “buraco” na reta.
Note que, os conjuntos e não são capazes de
completar a reta. As suas representações na reta
numérica deixam “buracos” (pontos sem número).
Essa associação será muito importante quando
formos tratar os subconjuntos de .
TAREFA 6 – Ler, no tablet, nas páginas 42 a 45,
“Conjunto dos números reais” e “Representação dos
números reais na reta numérica”. E FAZER o PSA 42
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AULA 05
INTERVALOS REAIS Até agora, realizamos operações apenas entre
conjuntos finitos. Será iniciado o estudo de uma nova
classe de conjuntos, os intervalos. Estes, de modo
geral, possuem infinitos elementos.
PRELIMINAR 1 Dados os conjuntos e
, determine .
e
Logo,
Note que
os dois conjuntos são finitos; e
para realizar a operação união, primeiro
alteramos a representação dos conjuntos para a
forma tabular.
Obs.1: A representação dos conjuntos pode ser
fundamental para facilitar a realização das operações
entre conjuntos.
PRELIMINAR 2 Dados os conjuntos e
, tente determinar .
Note que
os dois conjuntos são infinitos; e
é “complicado” realizar a operação com a
representação atual, e também não é possível
representá-los na forma tabular.
Portanto, ainda não sabemos como determinar .
INTERVALOS REAIS Os intervalos são subconjuntos de que podem ser
expressos por meio de desigualdades.
Exemplo 5.1
O conjunto é um intervalo
real.
REPRESENTAÇÃO DOS INTERVALOS Para representar os intervalos reais de maneira mais
“visual” utilizaremos pedaços de retas.
Exemplo 5.2
O conjunto pode ser
representado da seguinte forma?
(onde a parte pintada representa os elementos de )
A representação apresentada é boa, porém, note que
não fica claro se os extremos, e , pertencem ou
não ao intervalo. Para deixar claro quando os
extremos pertencem ou não ao intervalo, será usada a
notação explicada no quadro a seguir.
Logo, o conjunto (do exemplo 5.2) seria
corretamente representado por
Assim, para representar qualquer intervalo de
números reais, basta seguir o seguinte passo-a-passo:
i. Desenhe uma reta (com a seta para a direita).
ii. Coloque os elementos dos extremos.
iii. Pinte a parte que representa os elementos do
intervalo.
iv. Avalie se os extremos pertencem ou não ao
intervalo.
v. Represente as “bolinhas”, deixando claro se
estão fechadas ou abertas.
Exemplo 5.3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
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1
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1
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1
1
1
1
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1
1
1
1
1
1
1
Extremos do intervalo
“Bolinha” fechada: quando o extremo pertencer ao
intervalo, utilizaremos uma “bolinha” fechada para
representá-lo. A ideia é mostrar que o ponto do
extremo também está pintado. Evidenciando, desse
modo, que ele também é elemento do intervalo.
“Bolinha” aberta: quando o extremo não pertencer
ao intervalo, utilizaremos uma “bolinha” aberta para
representá-lo. A ideia é mostrar que o ponto do
extremo não está pintado. Evidenciando, desse
modo, que ele não é elemento do intervalo.
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 8
O conjunto pode ser
representado por
Exemplo 5.4
O conjunto pode ser também
escrito na forma
Obs.1: ou não são números Reais, portanto,
nunca usamos qualquer notação que indique a ideia
de fechado junto aos símbolos ou .
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 5.1. Represente cada intervalo a seguir, em seu
caderno, utilizando as três notações estudadas:
parênteses ou colchetes, pela propriedade e,
também, na reta numérica.
a)
b)
c)
d)
e)
AULA 06
OPERAÇÕES ENTRE INTERVALOS Visto que os intervalos são conjuntos, podemos
efetuar, entre eles, as operações união, interseção,
diferença e complementar.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 6.1. Dado o conjunto ,
, e determine os conjuntos a
seguir.
a)
b)
c)
d)
e)
EXTRA
QUESTÕES EXTRAS
1. Sendo 1, 6A , 0, 8B e , 10C , tem-se
que o conjunto B A B C é igual a
(A) .
(B) 8, 10 .
(C) 6, 10 .
(D) 6, 8 .
(E) , 6 8, 10 .
2. Sejam x e y número primos entre si, tais que
1
11
11
1 1,23
x
y
.
A soma x y é igual a
(A) 67.
(B) 37.
(C) 30.
1
1
1
1
1
1
1
TAREFA 7 – Ler, no tablet, na página 46, a tabela
“Intervalos com descrição, notação e representação”.
Parêntese e colchete
Após a leitura recomendada, você deve ter observado
que podemos representar os intervalos utilizando
parênteses ou colchetes.
Colchete no sentido normal [ ] : utilizado para
denotar extremos fechados.
Colchete no sentido contrário ] [ : utilizado para
denotar extremos abertos.
Parêntese: utilizado para denotar extremos
abertos.
TAREFA 8 – Fazer os PSA 44 e 45(a, d)
TAREFA 9 – Ler, nas 45 a 50, “Os intervalos” e fazer os PSA
46, 47 e 48
EXTRA: Exercícios CONHECENDO AVALIAÇÕES 15,
18.
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 9
(D) 23.
(E) 7.
3. Sendo x , com 0 4x , tem-se que a
expressão 2 8 5 12 3 30x x x é igual a
(A) 16 98x .
(B)16 82x .
(C) 18 38x .
(D)12 38x .
(E)12 22x .
4. Sejam , e .
Represente, por meio de uma propriedade que
caracterize seus elementos, o conjunto
.
5. Calcule o valor numérico da expressão a seguir.
6. Uma rodoviária possui duas linhas de ônibus. Um
ônibus da linha sai da rodoviária a cada minutos
e um ônibus da linha sai a cada minutos. Dado
que às h saem juntos, da rodoviária, um ônibus de
cada linha, determine o primeiro horário, após as h,
no qual os ônibus das linhas e sairão juntos
novamente.
7. Dados os conjuntos ,
e , uma representação gráfica
do conjunto é
8. Em algumas famílias de uma comunidade carente
foram distribuídos 240 cadernos, 576 lápis e 1080
borrachas. A distribuição foi feita de tal modo que o
maior número de famílias fosse contemplado e que
cada família recebesse a mesma quantidade de
lápis, a mesma quantidade de cadernos e a mesma
quantidade de borrachas. Nessas condições, a
quantidade de borrachas que cada família recebeu
foi igual a
a) 24.
b) 28.
c) 36.
d) 40.
e) 45.
GABARITO
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. a) 120 b) 60
1.2. 5n
1.3. 20, 21, 22
2.1. 60 minutos
2.2. a) 16 b) 2 4 6x x
3.1. 9
3.2. a) 1
3 b)
7
3 c)
23
99
3.3. 1 15 2 7
5 30 3 5
4.1. Demonstração
5.1. A representação por reta será feita em sala.
a) 2, 5 b) 3, c) |1 4x x
d) | 1 3x x e) |0 4x x
6.1. a) 1, 5 b) 0, 3 c) 1, 0 d) 3, 5 e) 1, 0
QUESTÕES EXTRAS 1. D
2. A
3. E
4. | 10 3 ou 4<x<10x x
5. 1
256
6. 12h15
7. C
8. E