CONJUNTOS NUMÉRICOS

Símbolos Matemáticos

a, b, ... variáveis e parâmetros = igual

A, B, ... conjuntos ≠ diferente

∈ pertence a >

maior que

∉ não pertence <

menor que

⊂ está contido ≥ maior ou igual a

⊄ não está contido ≤ menor ou igual a

⊃ contém !n fatorial

⊃ não contém Σ somatório

∃ existe Π produtório

∃ não existe ∞ infinito

∃| existe apenas um / existe um único ∫ integral

| tal que lim limite

∀ todo, qualquer log logaritmo

⇒ implica (se então) ln logaritmo natural (neperiano)

⇔ equivale (se e somente se) números naturais

∪ união de conjuntos números inteiros

∩ interseção de conjuntos números racionais

∅ Conjunto vazio números reais

∨ ou

∧ e

~ negação (lógica)

Propriedades das desigualdades: a) Se a > b e b > c ⇒ a > c Ex. a = 5 , b = 3 , c = 2

b) Seja a > b :

• Se c >0 ⇒ a . c > b . c Ex. a = 5 , b = 3 , c = 2

• Se c < 0 ⇒ a . c < b . c Ex. a = 5 , b = 3 , c = -2

c) a > b ⇒ a + c > b +c , ∀ c ∈ R

d) a > b e c > d ⇒ a + c > b + d Ex. a = 3 , b = 2 , c = - 3, d = - 4

e) Se a > b > 0 e c > d >0 ⇒ a . c > b. d

Valor Absoluto O valor absoluto ou módulo de um número real é a distância entre ele e a origem,

independentemente do sentido.

<−≥

=0 ,0a ,

aseasea

a

Propriedades do Valor Absoluto • 000 =⇔=≥ aaea

• 22 aa =

• aa =2

• a < b, b > 0 ⇔ - b < a < b

• a > b, b > 0 ⇔ a > b ou a < -b ou

• | a | = b, b > 0 ⇔ a = b ou a = -b

• Se a, b ∈ R ⇒ | a . b | = | a | . | b |

• Se a, b ∈ R , b ≠ 0 ⇒ ab

ab

=

• Se a, b ∈ R ⇒ | a + b | ≤ | a | + | b | (Desigualdade Triangular)

• Se a, b ∈ R ⇒ | a | - | b | ≤ | a - b | ≤ | a | + | b |

O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS Introdução

Tudo que será desenvolvido está baseado nas propriedades dos números reais.

Acreditamos ser imprescindível que você tenha essas propriedades bem conhecidas.

O conjunto dos números naturais ( ) é formado pelos números 0,1,2,...

= { 0,1,2,3,...}.

O conjunto dos números inteiros ( ) é formado pelos números naturais acrescido dos

números - 1,-2,-3,... .

= { .....,-3,-2,-1,0,1,2,3,....}

O conjunto dos números racionais ( ) é formado pelos números na forma a/b, onde a e

b são inteiros com b≠ 0.

= { .....,-3,-2,-1,21

− ,0, 21

,1,2,3,....}

Utilizando o elemento genérico, podemos escrever, de modo mais simples ,

=

∈∈ *Zb e Za|ba

O conjunto dos números irracionais ( I ) é formado pelos números cuja representação

decimal infinita não é periódica. Ex:

2 = 1,4142136...

3 = 1,7320508...

π = 3,1415926...

O conjunto dos números reais ( ) é formado pelos números racionais e pelos números

irracionais.

IQ U= , sendo =IQ I ∅

Regras Básicas

Em estão definidas duas operações: a adição e a multiplicação.

Para os números reais a e b associa-se um único número real, a + b, chamado soma de a e b.

Para os números reais a e b associa-se um único número real, ba ⋅ , chamado produto de a e

b.

As propriedades básicas das operações de adição e multiplicação são dadas a seguir:

• Propriedade comutativa

Quaisquer que sejam os números reais a e b, tem-se:

a + b = b + a a.b = b.a

• Propriedade associativa

Quaisquer que sejam os números reais a, b e c, tem-se

(a + b) + c = a + ( b + c) (ab)c = a(bc)

• Elemento Neutro

Existem únicos números reais, indicados por 0 e 1, tais que, para qualquer número real a,

tem-se:

a + 0 = a a . 1 = a

• Elemento oposto e elemento inverso

Existem únicos números reais, indicados

– a ( chamado oposto) e a1

( a ≠ 0) (chamado inverso), tal que

a + (–a) = 0 a . a1

= 1

• Propriedade distributiva

Quaisquer que sejam a,b e c reais, tem-se

a (b + c ) = ab + ac

(b + c) a = ba + ca

Partindo dessas propriedades, apresentaremos alguns resultados:

Cancelamento se a + b = a + c então b = c

se ab = ac e 0a ≠ então b = c

Anulamento a.0 = 0, para todo a pertencente a

para quaisquer a e b de , se ab = 0, então a = 0, ou b = 0.

Regras de sinal para quaisquer a e b de

–( –a) = a

(–a)b = – (ab) = a(–b)

(–a)(–b) = ab

Subtração

A diferença de b e a, indicada por b – a, é definida por b – a = b + (– a), para quaisquer a e b

reais.

A regra dos sinais nos diz:

– ( a + b) = – a – b

Divisão

O quociente de b por a, onde a≠ 0, indicado por ab

, onde b é o numerador e a o

denominador. Também é chamado fração ab

.

É PROIBIDO DIVIDIR POR ZERO !!

Soma de frações:

cba

cb

ca ±

=± (c ≠ 0)

bdbcad

dc

ba ±

=± (b ≠ 0, d ≠ 0)

Produto de frações:

bdac

dc

ba

=⋅ (b ≠ 0, d ≠ 0)

Quociente de frações:

dcba

= cd

ba

⋅ (b ≠ 0, d ≠ 0 e c ≠ 0)

Bibliografia:

1) Iezzi G, Dolce O, Gegenszain D, Périgo R. Matemática. Volume único. Atual editora. São

Paulo, 2002.

2) Iezzi G. Fundamentos da Matemática Elementar- vol. 1. Atual editora. São Paulo, 2000.

EXERCÍCIOS SOBRE CONJUNTOS NUMÉRICOS

1) Quais das proposições são verdadeiras?

a) 3 ∈ d)

21

∈

b) N ⊂ e) 4 ∈

c) Z ⊂ f) 3 ∈

2) Complete, usando as propriedades especificadas:

a) 32 . 45 = (comutativa)

b) 5(2 +3 ) = (distributiva)

c) 7 + 0 = (elemento neutro)

d) 3 . 31

= (elemento inverso)

3) Efetue:

a) (-4)(-3)=..........

b) (2)(-4)(3) =..............

c) (-3)6 =...............

4) Complete com verdadeiro ou falso, para todo a real:

( ) – (– a + 3) = a + 3

( ) – (1 – a) = –1 + a

( ) –2 – a = – (2 + a)

5) Efetue:

a) =+37

31

b) =−73

52

c) -232

+41

=

d) =+−51

43

32

e) =⋅34

58

f) =

−⋅

−

86

31

g) =

83

1012

h) =

−

7232

i) Sendo 0bcd ≠ , cda

bca − =

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS SOBRE CONJUNTOS NUMÈRICOS

INTRODUÇÃO:

1)a) V b) V c) V d) V e) V f) V

PROPRIEDADES

2) a) 45.32 b) 5.2 + 5.3 c) 0 + 7 = 7 d) 1

EFETUE

3) a) 12 b) – 24 c) – 18

REGRA DE SINAL

4) a) F b) V c) V

EFETUE

5) a) 83

b) 14 15 135 35− = −

c) 8 1 32 3 293 4 12 12

− +− + = = −

d) 40 45 12 52 45 760 60 60

− + −= =

e) 3215

f) 14

g) 12 3 12 8 16.

10 8 10 3 5÷ = =

h) 2 2 2 7 7.

3 7 3 2 3− ÷ = − = −

i) ( )ad ab a d bbcd bcd

− −=