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Conjuntos Finitos e InfinitosGlaucio Terra

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Departamento de Matematica

IME - USP

Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 1/18

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Axiomas de Peano


Axiomas de Peano

(N1) s : N → N é injetiva e o complementar dasua imagem contém apenas um elemento,denotado pelo símbolo “1”.


Axiomas de Peano

(N1) s : N → N é injetiva e o complementar dasua imagem contém apenas um elemento,denotado pelo símbolo “1”.

(N2) Seja S ⊂ N; então S = N se, e somente se:1. 1 ∈ S;2. n ∈ S ⇒ s(n) ∈ S.


1o. Princípio da Indução

TEOREMA Seja P : N → {0, 1}. Se (i) P (1) = 1 e(ii) P (n) = 1 ⇒ P

(

s(n))

= 1, então ∀n ∈ N,P (n) = 1.


Princípio da Definição porRecorrência

Seja X um conjunto. Queremos definir umafunção f : N → X. Suponha que seja dado ovalor f(1) e, para todo n ∈ N, uma regra para sedefinir f

(

s(n))

supondo-se definido f(n). Entãoexiste uma única f : N → X nestas condições.


Soma de Números Naturais

Define-se indutivamente, ∀n ∈ N:



Define-se indutivamente, ∀n ∈ N:• n + 1

.= s(n);



Define-se indutivamente, ∀n ∈ N:• n + 1

.= s(n);

• n + s(m).= s(m + n).


Produto de Números Naturais

Define-se indutivamente, ∀n ∈ N:



Define-se indutivamente, ∀n ∈ N:• n · 1

.= n;



Define-se indutivamente, ∀n ∈ N:• n · 1

.= n;

• n · s(m).= n · m + n.


Relação de Ordem emN

DEFINIÇÃO Sejam n,m ∈ N.

m < n · ≡ · ∃p ∈ N/n = m + p

m 6 n · ≡ · m = n ou m < n


Teorema da Boa Ordenação

TEOREMA Seja A ⊂ N não-vazio. Então Apossui um menor elemento.


2o. Princípio da Indução

TEOREMA Seja P : N → {0, 1}. Suponha que,para todo n ∈ N, (k < n ∧ P (k) = 1) ⇒ P (n) = 1.Então ∀n ∈ N, P (n) = 1.


Princípio da Definição porRecorrência

Seja X um conjunto. Queremos definir umafunção f : N → X. Suponha que seja dado ovalor f(1) e uma regra para se definir f(n)supondo-se definidos os valores f(m) para todom < n. Então existe uma única f : N → Xnestas condições.


Conjuntos Finitos

DEFINIÇÃO Diz-se que um conjunto X é finito seX = ∅ ou se existir n ∈ N e uma bijeçãof : In → X. Neste caso, diz-se que X tem nelementos.


Conjuntos Finitos

TEOREMA Seja A ⊂ In. Suponha que existef : A → In bijeção. Então A = In.


Conjuntos Finitos

TEOREMA Seja A ⊂ In. Suponha que existef : A → In bijeção. Então A = In.

COROLÁRIO Seja A um conjunto. Se existembijeções f : A → In e f : A → Im, então m = n.


Conjuntos Finitos

COROLÁRIO Sejam A e B conjuntos finitos,ambos com n elementos. Seja f : A → B. Sãoequivalentes:

1. f é injetiva;

2. f é sobre;

3. f é bijetiva.


Conjuntos Finitos

COROLÁRIO Sejam A e B conjuntos finitos,ambos com n elementos. Seja f : A → B. Sãoequivalentes:

1. f é injetiva;

2. f é sobre;

3. f é bijetiva.

COROLÁRIO Seja A um conjunto. Se A é finito,não existe bijeção entre A e uma parte própriade A.


Conjuntos Finitos

TEOREMA Sejam X um conjunto finito com nelementos e A ⊂ X. Então A é finito e temm 6 n elementos.


Conjuntos Finitos


COROLÁRIO Seja f : X → Y . Tem-se:

1. Se Y é finito e f é injetiva, então X é finito.

2. Se X é finito e f é sobre, então Y é finito.


Conjuntos Finitos





COROLÁRIO X ⊂ N é finito se, e somente se, forlimitado, i.e. se existir p ∈ N tal que(∀n ∈ X)n 6 p.


Conjuntos Finitos





COROLÁRIO X ⊂ N é finito se, e somente se, forlimitado, i.e. se existir p ∈ N tal que(∀n ∈ X)n 6 p.

COROLÁRIO N não é finito.Conjuntos Finitos e Infinitos – p. 14/18

Conjuntos Enumeráveis enão-Enumeráveis

DEFINIÇÃO Um conjunto X se diz infinito se nãofor finito; X se diz enumerável se for finito ou seexistir uma bijeção N → X.



TEOREMA Seja X um conjunto. Sãoequivalentes:

1. X é infinito;

2. existe f : N → X injetiva;

3. existe uma bijeção entre X e uma parteprópria de X.



TEOREMA Seja X ⊂ N. Então X é enumerável.



TEOREMA Seja X ⊂ N. Então X é enumerável.


1. Se Y é enumerável e f injetiva, então X éenumerável.

2. Se X é enumerável e f é sobre, então Y éenumerável.



TEOREMA N × N é enumerável.




COROLÁRIO O produto cartesiano de doisconjuntos enumeráveis é um conjuntoenumerável.




COROLÁRIO O produto cartesiano de doisconjuntos enumeráveis é um conjuntoenumerável.

COROLÁRIO Seja (Xi)i∈N uma famíliaenumerável de conjuntos enumeráveis. Então∪i∈NXi é enumerável.


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