Conjuntos de Los N Meros Racionales (1)
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Prof. Isaías Correa Marín
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• Utilizar y clasificar los distintos conjuntos numéricos en sus diversas formas de expresión, tanto en las ciencias exactas como en las ciencias sociales y en el ámbito cotidiano.
• Aplicar la operatoria básica en los números naturales y enteros.
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• Aplicar las operaciones básicas en los números racionales.
• Resolver problemas que involucren operaciones con números enteros, decimales y fracciones.
• Reconocer regularidades numéricas (secuencias).
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1. Números racionales (Q)
1.1 Propiedades de los racionales1.2 Operatoria en los racionales1.3 Transformaciones de números racionales1.4 Comparación de fracciones
2. Números irracionales (Q*)
Contenidos
3. Números reales ( IR )4. Números imaginarios ( II )
5. Números complejos ( C )
1.5 Secuencia numérica
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Es un conjunto infinito, ordenado y denso, donde todos los números se pueden escribir como fracción, es decir:
ab
/ a y b son enteros, y b es distinto de ceroQ =
Ejemplos:2; 17; 0; -6; -45; -2;
70,489; 2,18; -0,647-1;
814; 3
15, 0 NO es racional
a: numerador y b: denominador
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Por ejemplo:3 es Natural (3 IN), 3 es Cardinal (3 IN0),
3 es Entero (3 Z), y como
3 = , 3 es racional (3 Q). 31
IN IN0 Z Q
Todo número entero es racional.
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Diagrama representativo:
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1.1 Propiedades de los racionales
• Amplificar y simplificar fracciones
Ejemplo:
2∙3∙
Amplificar una fracción, significa multiplicar, tanto el numerador como el denominador por un mismo número.
66
Al amplificar la fracción por 6 resulta:23
= 1218
• Las fracciones se pueden clasificar en: Fracción propia, donde el numerador es menor que el denominador.Fracción impropia, donde el numerador es mayor que el denominador.Fracción Mixta, está compuesta de una parte entera y de otra fraccionaria.
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Ejemplo:
Simplificar una fracción, significa dividir, tanto el numerador como el denominador por un mismo número.
33
= 915
Al simplificar la fracción por 3 resulta:2745
27 :45 :
• Inverso multiplicativo o recíproco de una fracción
El inverso multiplicativo, o recíproco de 29
es: 92
Ejemplo:
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1.2 Operatoria en los racionales
• Suma y restaEjemplos:1. Si los denominadores son iguales:
415
+ 715
= 1115
2. Si uno de los denominadores es múltiplo del otro:
215
+ 745
= 2∙3 + 7∙145
= 6 + 745
= 1345
415
- 715
= -315
y
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3. Si los denominadores son primos entre sí:
5 12
+ 718
= 5∙3 + 7∙236
15 + 1436
= = 2936
4. Aplicando mínimo común múltiplo (m.c.m.):
4 5
+ 7 8
= 4∙8 + 5∙740
32 + 3540
= = 6740
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-4 5
∙ 8 7
= -32 35
=
• Multiplicación:Ejemplo:
-4 5
7 8
= ∙ -28 40
= 2840
-
• División:Ejemplo:
-4 5
: 7 8
= 3235
-
• Número Mixto:Ejemplo:
8 3 5 = 8∙5 + 3
5= 43
5
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1.3 Transformación de números racionales
• De fracción a decimal:
Ejemplo:Se divide el numerador por el denominador.
7 4 = 1,75
• De decimal finito a fracción:
Ejemplo:
El numerador corresponde al número sin comas, y el denominador es una potencia de 10 que depende del número de decimales que tenga el número.
100175 =1,75 = 7
425∙7 25∙4
=
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• De un número decimal periódico a fracción:
1. El numerador de la fracción es la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma, y la parte entera.
2. El denominador está formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período.
Ejemplo 1: 2,35 = 235 – 2 = 23399 99
Ejemplo 2: 0,376 = 376 – 0 = 376999 999
Nota: Se llama “período” al conjunto de dígitos que se repite indefinidamente.
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3,21 = 321-32 = 289 9090
• De un número decimal semi periódico a fracción:
1. El numerador de la fracción corresponde a la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma; y la parte entera incluyendo las cifras del ante período.
2. El denominador queda formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período, y tantos ceros (0), como cifras tenga el ante período.
Nota: Se llama “ante período” a los números que hay entre la coma decimal, y el período.
Ejemplo:
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1.4 Comparación de fracciones
• Multiplicación cruzada:Ejemplo:Al comparar
(Multiplicando cruzado)1315
910
y
13 ∙ 10 y 15 ∙ 9130 y 135
Como 130 < 135, entonces: 1315
910
<
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• Igualando denominadores:Ejemplo:
1315
712
Al comparar
y (Igualando denominadores)
13∙415∙4
7∙512∙5
y
5260
3560
y
Como 52 > 35, entonces 1315
712
>
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• Transformar a decimal:Ejemplo:
1315
712
Al comparar
(Transformando a decimal)y
1315
= 0,86666666…
712
= 0,58333333…
1315
712
>Como 0,86 > 0,583 , entonces
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• Igualando Numeradores:
Ejemplo:Al comparar (Multiplicamos ambos numeradores
por un factor para obtener el m.c.m. entre 10 y 13 en este caso 130)
10 3
13 4
y
10·13 3·13
13·10 4·10
y
130 39
130 40
y
Por lo tanto, 103
13 4
es mayor que
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Ejemplo:En la secuencia: 6 ,
516 , 5
26 , 5
36 , ... 5
¿Qué número tendríamos que sumar a para obtener el 7° término ?
1 ,5
De acuerdo a las características de la secuencia, el 7° término es 66 .
5Tendríamos que sumar a para obtener el 7° término.
65 5
1 ,5
65 = 13 5
Es decir:
Respuesta:
1.5 Secuencia Numérica
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Observación:La secuencia anterior también se puede analizar de la siguiente manera:
1 + 1 ,5
1 + 3 ,5
1 + 5 ,5
1 + 7 , 5
1 + 13…5
... ,
1° 2° 3° 4° ... , 7°…
Lo que nos permitiría saber, por ejemplo,¿cuál es el valor del n-ésimo término de la secuencia?
Respuesta:Es , más un número impar, lo que se expresa como: 1
51 + (2n - 1)5
(Con n = posición del término)
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Son aquellos que NO se pueden escribir como una fracción (decimales infinitos NO periódicos).
2. Números Irracionales (Q*)
,....,,2,3..... Q* =
Q
U
Q*=
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3. Números Reales (IR)Es el conjunto formado por la unión entre los números racionales y los números irracionales.
IR = Q U Q*
Ejemplos:
Diagrama representativo:
3, -89, -2; 7
2,18; ;2 23,491002
IN IN0 Z Q IR
Q* IR
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4. Números imaginarios (II)
Todos aquellos números que NO son reales, son imaginarios.
IR
U
II = O
Ejemplo:Raíces de índice par y parte subradical negativa:
,26 ,4 4 16,25
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5. Números complejos (C)
Es el conjunto formado por el producto cartesiano entre los números reales y los números imaginarios.
Diagrama representativo:
IN IN0 Z Q IR C
II C
IR x II = C
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Sinteticemos en el siguiente mapa conceptual
lo que hemos aprendido
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Conjunto Q
Propiedadesy comparación Operatoria Transformaciones
Decimal finito a fracción
Decimal periódico a fracción
Decimal semiperiódico a
fracción
Adición
Sustracción
Multiplicación
División
Simplificación
Amplificación
Fracciones equivalentes