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1. Múltiplo de um número natural
Um número natural 𝑎 é múltiplo do número natural 𝑏 se existe
um natural 𝑘 tal que 𝑎 = 𝑏 ∙ 𝑘, ou seja, 𝑎 é múltiplo de 𝑏 se 𝑎 é
divisível por 𝑏 ou 𝑏 divide 𝑎.
Ex1: a) 21 é múltiplo de 3, pois 21 = 3 ∙ 7;
b) 45 é múltiplo de 5, pois 45 = 5 ∙ 9.
c) 20 não é múltiplo de 6, pois ∄𝑘 ∈ ℕ tal que 20 = 6 ∙ 𝑘
Ex2: Quais são os cinco menores múltiplos de 7? E de 12?
Ex3: Pedro deseja comprar carros em miniatura, em um número
maior que 50 e menor que 90. Quantos desses carros ele deve
comprar se pretende reparti-los, em quantidades iguais, entre ele e
seus oito irmãos?
Ex4: Qual é o menor número natural que devemos somar com 710
para obtermos um múltiplo de 11?
Ex5: Quantos múltiplos de 7 existem entre 20 e 1000?
Ex6: Quantos números naturais existem, de 1000 a 10000, que não
são múltiplos nem de 5 nem de 7?
Obs: 1. O zero é múltiplo de todo número natural;
2. Todo número natural é múltiplo de 1 e dele mesmo;
3. O único múltiplo de 0 é o próprio 0;
4. A soma e a subtração de dois múltiplos de 𝑎 ainda é um
múltiplo de 𝑎.
2. Critérios de divisibilidade
Divisibilidade por 2
Um número natural é divisível por 2 quando é par, ou seja,
quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.
Ex: a) 236 é divisível por 2, pois termina em 6;
b) 13458 é divisível por 2, pois termina em 8;
c) 7854 é divisível por 2, pois termina em 2.
Divisibilidade por 3
Um número natural é divisível por 3 quando a soma de seus
algarismos é divisível por 3.
Ex: a) 1347 é divisível por 3, pois 1 + 3 + 4 + 7 = 15, que é
múltiplo de 3.
b) 819 é divisível por 3, pois 8 + 1 + 9 = 18, que é múltiplo
de 3.
c) 777 é divisível por 3, pois 7 + 7 + 7 = 21, que é múltiplo
de 3
Divisibilidade por 4
Um número natural é divisível por 4 quando o número formado
pelos seus dois últimos algarismos da direita é divisível por 4.
Ex: a) 31724 é divisível por 4, pois 24 é múltiplo de 4.
b) 8132 é divisível por 4, pois 32 é múltiplo de 4.
c) 32700 é divisível por 4, pois 0 é múltiplo de 4
Divisibilidade por 5
Um número natural é divisível por 5 quando termina em 0 ou
5.
Ex: a) 1720 é divisível por 5, pois termina em 0
b) 43135 é divisível por 5, pois termina em 5.
Divisibilidade por 6
Um número natural é divisível por 6 quando é divisível por 2 e
por 3 ao mesmo tempo
Ex: a) 8712 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3
b) 42138 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3.
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Divisibilidade por 7
Um natural é divisível por 7 se o dobro do último algarismo,
subtraído do número sem o último algarismo, resultar um número
divisível por 7.
Ex: a) 196 é divisível por 7, pois 19 − 2 ∙ 6 = 7, que é divisível
por 7.
b) 1813 é divisível por 7, pois 181 − 2 ∙ 3 = 175, que é
divisível por 7.
c) 103.523
Divisibilidade por 8
Um natural é divisível por 8 se o número formado pelos seus
três últimos algarismos é divisível por 8.
Ex: a) 45320 é divisível por 8, 320 é divisível por 8.
b) 10032 é divisível por 8, pois 32, que é divisível por 8.
Divisibilidade por 9
Um natural é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos
é divisível por 9.
Ex: a) 6435 é divisível por 9, pois 6 + 4 + 3 + 5 = 18, que é
divisível por 9.
b) 34776 é divisível por 9, pois 3 + 4 + 7 + 7 + 6 = 27, que
é divisível por 9.
Divisibilidade por 10
Um natural é divisível por 10 quando termina em 0.
Ex: a) 3430 é divisível por 10, pois termina em 0.
b) 4770 é divisível por 10, pois termina em 0.
Divisibilidade por 11
Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as
somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a
dos de ordem par é divisível por 11.
Ex: a) 87549 é divisível por 11, pois (9 + 5 + 8) − (4 + 7) =
11, que é múltiplo de 11.
a) 340978 é divisível por 11, pois (8 + 9 + 4) − (7 + 0 +
3) = 11, que é múltiplo de 11.
Divisibilidade por 12
Um número natural é divisível por 12 quando é divisível por 3
e por 4 ao mesmo tempo
Ex: a) 540 é divisível por 12, pois é divisível por 3 e por 4
b) 7500 é divisível por 12, pois é divisível por 3 e por 4.
Divisibilidade por 13
Um número é divisível por 13 quando o quádruplo (4 vezes)
do último algarismo, somado ao número sem o último algarismo,
resultar um número divisível por 13.
Ex: a) 182 é divisível por 13, pois 18 + 4 ∙ 2 = 26, que é divisível
por 13.
b) 273 é divisível por 13, pois 27 + 4 ∙ 3 = 39, que é
divisível por 13.
Ex01: Determine o menor número de três algarismos divisível ao
mesmo tempo por 2, por 3 e por 5.
Ex02: Considere o número de quatro algarismo 123𝑎. Determine
os valores de a para que esse número seja divisível por:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
f) 11
Ex03: Qual é o menor número divisível por 9, formado apenas
pelo algarismo 4?
Ex4: Qual é o menor número que se deve somar a 1528 para obter
um número divisível por 25?
Ex5: Considere que 5𝑎6 seja um número natural de 3 algarismos.
Qual o algarismo de menor valor absoluto que devemos colocar no
lugar de a, para que o número resultante seja divisível por 2, por 3
e por 4?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
Ex6: Qual deve ser o valor de “b” em 10𝑏8, para que este número
seja múltiplo de 11?
Ex7: Determine o resto da divisão de 4.857.008 por 9.
Ex8: Um número de dois algarismos é múltiplo de 11 e, dividido
por 9, dá resto 5. Qual é o número?
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3. Divisor de um número natural
Um número natural a é divisor do número natural 𝑏 se a divide
𝑏, ou seja, b é múltiplo de a.
Ex1: a) 4 é divisor de 12, pois 12= 4 ∙ 3;
b) 5 é divisor de 40, pois 40 = 5 ∙ 8.
Ex2: Determine os divisores de:
a) 5 b) 30 c) 36 d) 50
Ex3: Um natural é chamado de número perfeito quando a soma de
seus divisores próprios (excluído o próprio número) coincide com
ele. Verifique se os números 6, 28 e 40 são perfeitos.
Ex4: Dizemos que dois números são amigos se cada um deles é
igual a soma dos divisores próprios do outro. Verifique se 284 e
220 são amigos.
4. Número primo e número composto
Um número natural diferente de 0 e de 1 é chamado número
primo se for divisível apenas por 1 e por ele mesmo. Um número
diferente de 0 e de 1 que não é primo é chamado número composto.
Ex1: são primos: 2, 3, 5, 7, 19, 47
são compostos: 6, 14, 45, 51
Ex2: Dois primos consecutivos são chamados primos gêmeos se
eles diferem de 2. Dê três exemplos de primos gêmeos.
Ex3: Três primos consecutivos são chamados primos trigêmeos se
a diferença entre cada dois primos consecutivos é 2. Dê um
exemplo de primos trigêmeos.
Ex4: A Conjectura de Goldbach diz que todo número par maior
ou igual do que 4 pode ser escrito como a soma de dois números
primos. Exemplifique-a.
5. Crivo de Eratóstenes
Se um número natural 𝑎 > 1 é composto, então ele é múltiplo
de algum número primo p tal que 𝑝2 ≤ 𝑎.
Ex1: a) 6 é múltiplo de 2 e 22 ≤ 6
b) 15 é múltiplo de 3 e 32 ≤ 15
c) 47 é múltiplo de 7 e 72 ≤ 49
Ex2: O número 101 é primo? E o número 133?
Ex3: Liste todos números primos menores que 100.
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6. Teorema Fundamental da Aritmética
Todo número natural 𝑎 > 1, ou é primo, ou se escreve como
produto de números primos.
Ex1: Fatore os números: 360, 150, 500 e 240
Ex2: Calcule:
a) √144 b) √33753
c) √12964
Ex3: Verificar, pela decomposição em fatores primos, se 1.620 é
divisível por 108.
Ex4: Calcular o menor número pelo qual se deve multiplicar 192,
para se obter um produto múltiplo de 80.
Ex5: Determine os divisores de 30, 24, e 120.
Ex6: Determine quantos divisores naturais possui o número 72,
144, 200 e 450
Ex7: Qual o valor de n para que o número 23 × 32 × 5𝑛 admita 60
divisores?
Obs1: Se a é múltiplo de b então a possui, em sua forma fatorada,
todos os fatores primos da forma fatorada de b com expoentes
maiores ou iguais.
Ex: 360 = 23 ∙ 32 ∙ 5 é múltiplo de 24 = 23 ∙ 3
Obs2: Se a é divisor de b então a possui, em sua forma fatorada,
apenas fatores primos da forma fatorada de b com expoentes
menores ou iguais.
Ex: 90 = 2 ∙ 32 ∙ 5 é divisor de 6300 = 22 ∙ 32 ∙ 52 ∙ 7
7. Mínimo Múltiplo Comum: mmc
O mínimo múltiplo comum de dois naturais não nulos a e b,
representado por 𝑚𝑚𝑐(𝑎, 𝑏), é o menor múltiplo não nulo comum
de a e b.
Ex1: Ache o 𝑚𝑚𝑐 dos seguintes pares de números:
a) 3 e 4
b) 6 e 11
c) 3 e 9
d) 4 e 12
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Ex2: Determine, pela decomposição em fatores primos, o 𝑚𝑚𝑐
de:
a) 18 e 42 b) 25 e 65
c) 48 e 12 d) 8 e 36
e) 10, 15 e 18 f) 9, 15 e 42
Ex3: Determine, pela decomposição simultânea, o 𝑚𝑚𝑐 de:
a) 36 e 27 b) 12 e 18
c) 52 e 78 c) 22, 30 e 63
d) 8, 10 e 14 e) 10, 35 e 80
Ex4: Quais são os naturais menores que 1000, divisíveis por 7, 15
e 45 ao mesmo tempo?
Ex5: Calcule o menor número ao qual faltam 7 unidades para ser
divisível, ao mesmo tempo, por 18, 24 e 36.
Ex6: Três caixeiros viajantes seguiram hoje, de trem, para
Barbacena. O mais jovem viaja com o mesmo destino de 15 em 15
dias, o do meio, de 20 em 20 dias e o mais velho, de 24 em 24 dias.
De quantos em quantos dias são passageiros do mesmo trem?
Ex7: Contando a quantia que possuo de R$12,00 em R$12,00, de
R$24,00 em R$24,00 ou de R$36,00 em R$36,00 restam sempre
R$7,00. Qual a quantia que tenho, se ela é inferior a R$500,00 e
superior a R$400,00?
Ex8: (UPE) Neto e Rebeca fazem diariamente uma caminhada de
duas horas em uma pista circular. Rebeca gasta 18 minutos para
completar uma volta, e Neto, 12 minutos para completar a volta.
Se eles partem do mesmo ponto P da pista e caminham em sentidos
opostos, pode-se afirmar que o número de vezes que o casal se
encontra no ponto P é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
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8. Máximo Divisor Comum: mdc
O máximo divisor comum de dois naturais não nulos a e b,
representado por 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏), é o maior divisor comum de a e de b.
Ex1: Ache o 𝑚𝑑𝑐 dos seguintes pares de números?
a) 24 e 60 b) 60 e 24
Obs: 1. 𝑚𝑑𝑐(0,0) não existe
2. 𝑚𝑑𝑐(0, 𝑎) = 0, 𝑎 ≠ 0
3. 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑎) = 𝑎, 𝑎 ≠ 0
4. Se a é múltiplo de b então 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏) = 𝑏
Ex2: Calcule, pela decomposição em fatores primos, o 𝑚𝑑𝑐 dos
números abaixo.
a) 120 e 200 b) 108 e 144
c) 165, 231 e 550 d) 220, 300 e 630
Ex3: Use o Algoritmo de Euclides para calcular o 𝑚𝑑𝑐 dos
números abaixo.
a) 10 e 15
b) 270 e 350
c) 120 e 250
d) 45 e 1235
e) 15 e 180
f) 39 e 178
Ex4: (MACK) Nas últimas eleições, três partidos políticos
tiveram direito, por dia, a 90s, 108s e 144s de tempo gratuito de
propaganda na televisão, com diferentes números de aparições. O
tempo de cada aparição, para todos os partidos, foi sempre o
mesmo e o maior possível. A soma do número das aparições
diárias dos partidos na TV foi de:
a) 15
b) 16
c) 17
d) 19
e) 21
Ex5: (MACK) Um apinel decorativo retangular, com dimensões
2,31m e 92,4cm, foi dividido em um número mínimo de quadrados
de lados paralelos aos lados do painel e áreas iguais. Esse número
de quadrados é:
a) 10
b) 8
c) 16
d) 14
e) 12
Obs: 1. 𝑚𝑚𝑐(𝑎, 𝑏) × 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏) = 𝑎 × 𝑏
2. Se 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏) = 1 dizemos que a e b são primos entre si.
3. Se 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏) = 1 então 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏) = 𝑎 × 𝑏
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EXERCÍCIOS
01. Guilherme tem uma coleção de carrinhos. Dispondo-os em
grupos de 5, sobram dois. Dispondo-os em grupos de 9, sobra
apenas um. Qual a quantidade de carrinhos, sabendo que a coleção
de Guilherme tem menos de 50 carrinhos?
02. Ache três naturais 𝑎, 𝑏 e 𝑐 tais que 𝑎 divide (𝑏 + 𝑐) mas a não
divide b e a não divide c.
03. Ache três naturais 𝑎, 𝑏 e 𝑐 tais que 𝑎 divide 𝑏𝑐 mas a não divide
b e a não divide c.
04. Ache o maior número natural de 4 algarismos divisível por 17?
05. Calcular o resto da divisão por 11 e por 4 da soma: 2.244 +396 + 537, sem efetuá-la.
06. Verifique quais dos seguintes números são primos:
197, 211, 377, 321, 499, 881, 697, 637 e 187.
07. Qual o menor número pelo qual se deve multiplicar 80, para
se obter um produto múltiplo de 75?
08. Determine três múltiplos comuns e consecutivos de 2 e de 3,
cuja a soma é 2.304.
09. Determine quatro números múltiplos comuns e consecutivos
de 3 e de 5, e que tenham por soma 750.
10. Quantos divisores possui o número 324? E o número 840?
11. Calcular 𝑛 na igualdade 𝑛 = 2𝑎 × 52, sabendo que ele tem 12
divisores.
12. Qual o menor número que se deve subtrair de 8.407 para se
obter um múltiplo comum de 2 e 3?
13. Qual número obtemos quando somamos o resto da divisão de
4.857.008 por 11 com o resto da divisão de 3.000.432 por 10?
14. Qual o menor natural não nulo que dividido por 15, 21 e 35
deixa sempre resto 13?
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15. Determine os divisores comuns de 1080 e 1386.
16. (VUNESP) A soma de quatro números é 100. Três deles são
primos e um dos quatro é a soma dos outros três. O número de
soluções existentes para este problema é:
a) 3
b) 4
c) 2
d) 5
e) 6
17. O número de múltiplos de 12 compreendidos entre 357 e 3578
é igual a:
a) 268
b) 269
c) 270
d) 271
e) 272
18. O número natural abaixo é divisível por:
2103 + 2102 + 2101 − 2100
a) 6
b) 10
c) 14
d) 22
e) 26
19. Considere os números naturais de 100 a 1000.
a) Quantos são múltiplos de 3 e de 7?
b) Quantos são múltiplos de 3 mas não de 7?
c) Quantos são múltiplos de 3 ou de 7?
20. Um agente administrativo foi incumbido de tirar cópias das
255 páginas de um texto. Para tal ele só dispõe de uma impressora
que apresenta o seguinte defeito: apenas nas páginas de números
8, 16, 24, 32, ... (múltiplos de 8) o cartucho de tinta vermelha falha.
Considerando que em todas as páginas do texto aparecem
destaques na cor vermelha, então, ao tirar uma única cópia do
texto, o número de páginas que serão impressas sem essa falha é:
a) 226
b) 225
c) 224
d) 223
e) 222
21. Num circuito automobilístico, dois corredores saem juntos.
Um deles faz cada volta em 12 min e o outro em 15 min. Quantos
minutos terão decorridos quando o mais veloz ficar, exatamente,
uma volta na frente? Quantas voltas terá dado cada um?
22. Uma estrada de ferro circular tem 18 estações. Um trêm que
faz parada de 8 em 8 estações, quantas voltas terá dado na estrada
ao fazer nova parada na estção inicial?
23. Considere o natural 𝑛 = 5 × 251 × 31. Qual é o resto da
divisão de 𝑛 por cinco?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
24. Uma das conjecturas existentes em Matemática é a seguinte:
Dado um número natural 𝑛 > 0, sempre existe um número primo
p, tal que 𝑛2 < 𝑝 < (𝑛 + 1)2. Teste essa conjectura para 𝑛 =2, 3, 6 e 10.
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25. (CESGRANRIO) Considere os números inteiros 𝑎𝑏𝑐 e 𝑏𝑎𝑐,
em que a, b e c são algarismos distintos e diferentes de zero, e 𝑎 >𝑏. A diferença 𝑎𝑏𝑐 − 𝑏𝑎𝑐 será sempre um múltiplo de
a) 4
b) 8
c) 9
d) 12
e) 20
26. Qual o algarismo de menor valor que se pode atribuir à letra
“m” no número 3𝑚541 para torná-lo divisível por 3?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
27. Determine o valor de 𝑛
2, sabendo que n é o número de divisores
naturais de 3000.
a) 3
b) 4
c) 8
d) 16
e) 24
28. Sendo D o número de divisores naturais de 252, e N o número
de divisores naturais de 1296, então o valor de 2𝐷 + 3𝑁 será:
a) 18
b) 25
c) 43
d) 75
e) 111
29. Calcular o valor de cada letra, nos números 34𝑎7, 5𝑏34, 𝑐76, 6𝑑289 e 9862𝑒, para que o resto da divisão por 11 seja sempre 5.
30. Qual é o menor número que se deve subtrair de 8407 para se
obter um múltiplo comum de 2 e 3?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
31. No número 3𝑎7𝑏 as letras a e b são algarismos. Determine a
soma 𝑎 + 𝑏 sabendo que ele é divisível por 3, 5, 9 e 10.
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11
32. (UEC) A quantidade de números naturais que são
simultaneamente divisores de 48 e de 64 é:
a) uma potência de 4
b) um número primo
c) igual a seis
d) igual a oito
e) igual a um
33. (UFC) Os naturais 𝑝 = 231 ∙ 231 − 1 e 𝑞 = 261 ∙ 261 − 1 são
primos. Então, o número de divisores naturais de 2𝑝𝑞 é igual a:
a) 1
b) 2
c) 4
d) 6
e) 8
34. O 𝑚𝑑𝑐 de dois números é 11. Se multiplicarmos cada um dos
dois números por 23 × 5, qual é o novo 𝑚𝑑𝑐?
35. O 𝑚𝑑𝑐 de três números é 96. Se dividirmos cada um dos três
números por 24 × 3, qual é o 𝑚𝑑𝑐 dos quocientes obtidos?
36. (UNIFOR) Três números primos, 𝑎, 𝑏, 𝑐, são tais que 𝑎 < 𝑏 <𝑐 e 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 = 1001. É verdade que:
a) 𝑎 + 𝑏 = 18
b) 𝑎 + 𝑐 = 24
c) 𝑏 + 𝑐 = 28
d) 𝑐 − 𝑏 = 𝑏 − 𝑎
e) 𝑎 ∙ 𝑏 = 55
37. (UNIFOR) Se o máximo divisor comum dos números 𝐴 = 23 ∙33, 𝐵 = 23 ∙ 3𝑠 ∙ 7 e 𝐶 = 2𝑡 ∙ 34 é igual a 12, então:
a) 𝑡 = 3
b) 𝑡 = 2
c) 𝑠 = 2
d) 𝑡 = 1
e) 𝑠 = 0
38. Quantos são os divisores naturais pares do número 280?
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39. Quais são os divisores primos de 360?
40. Quantos são os divisores de 820 que não são primos?
41. Qual o menor número de divisores que um número composto
pode ter?
42. (UECE) Se n é um número primo positivo e 𝑆𝑛 a soma de todos
os números primos positivos e menores ou iguais a n (por exemplo,
𝑆5 = 2 + 3 + 5 = 10), o valor de 𝑆23 é igual a:
a) 98
b) 99
c) 100
d) 101
43. O salto de um coelho tem mais de 20dm e menos de 30dm. Ao
completar 240dm dá um número exato de saltos e o mesmo
acontece ao percorrer 336dm. Qual o comprimento do salto?
44. (OBM) Dos números a seguir, qual é o único que pode ser
escrito como produto de quatro naturais consecutivos?
a) 712
b) 548
c) 1026
d) 1456
e) 1680
45. (CMF) Numa subtração, quando somamos 20 unidades ao
minuendo e subtraímos 12 unidades do subtraendo, o resto
aumenta de:
a) 8 unidades
b) 12 unidades
c) 20 unidades
d) 32 unidades
46. Quantos números naturais positivos menores que 30 têm
exatamente quatro divisores positivos?
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
47. Se a é um número natural, 𝑎(𝑎 + 1)(𝑎 + 2)(𝑎 + 3)(𝑎 + 4) é
sempre divisível por:
a) 41
b) 48
c) 50
d) 60
e) 72
48. (OBM) 108 crianças da 5ª e 6ª séries vão fazer um passeio
numa caverna. São formados grupos iguais com mais de 5 porém
menos de 20 alunos. Com relação ao número de estudantes por
grupo, de quantas formas diferentes eles podem ser feitos?
a) 2
b) 8
c) 5
d) 4
e) 3
49. (PUC) O piso retangular de uma sala, com 8,75m de
comprimento e 4,20m de largura, deve ser coberto com ladrilhos
quadrados. Admitindo-se que não haverá perda de material e que
será utilizado o menor número de ladrilhos inteiros, pode-se
estimar que serão colocados:
a) 49 ladrilhos
b) 147 ladrilhos
c) 245 ladrilhos
d) 300 ladrilhos
50. (UVA) Dois satélites vasculham a superfície de um planeta
distante que enviam mensagens codificadas para a Terra. Um deles
emite um sinal a cada 15 minutos; e o outro a cada 12 minutos. Se,
num dado instante, os dois sinais foram emitidos simultaneamente,
pergunta-se: qual o menor intervalo de tempo em que novamente
os dois sinais voltarão a ser emitidos ao mesmo tempo?
a) 50 minutos
b) 1 hora
c) 90 minutos
d) 2 horas
51. (FUVEST) No alto de uma torre de uma emissora de televisão
duas luzes “piscam” com frequência diferentes. A primeira “pisca”
15 vezes por minuto e a segunda “pisca” 10 vezes por minuto. Se
num certo instante as luzes piscam simultaneamente, após quantos
segundos elas voltarão a piscar simultaneamente?
a) 30
b) 20
c) 15
d) 12
e) 10
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52. (CMF) Os alunos Tiago e Igor receberam um desafio
matemático de encontrar o maior número pelo qual podemos
dividir 52 e 73 para encontrar, respectivamente, restos 7 e 13. Se
eles calcularam corretamente, encontraram o número:
a) 5
b) 15
d) 13
d) 52
e) 73
53. (UFJF) A quantidade de números naturais existentes entre 100
e 300, inclusive, que são divisíveis por 3 e 2, é:
a) 34
b) 67
c) 101
d) 134
54. (MACK) O número mínimo de cubos de mesmo volume e
dimensões naturais, que preenchem completamente o
paralelepípedo retângulo da figura, é:
a) 64
b) 90
c) 48
d) 125
e) 100
55. Desejamos arborizar o contorno de um terreno retangular de
1320m por 1456m, mantendo as árvores com a maior distância
possível. Se em cada canto plantarmos uma árvore, quantas serão
necessárias?
56. Os navios de quatro companhias de navegação atracam no
porto de vitória do seguinte modo: os da primeira companhia de
18 em 18 dias; os da segunda de 4 em 4 dias; os da terceira de 12
em 12 dias, e os da quarta de 24 em 24 dias. Aportaram, juntos,
naquela capital, em 1º de janeiro de 1945. Qual é o primeiro dia
em que se repetirá?
57. Qual o comprimento da maior trena que fica contida
exatamente nas dimensões de um campo de futebol, cujo
comprimento é de 120m e a largura de 75m?
58. Dividi, com traços, em partes iguais, um cajado, um taco, um
sarrafo e um bambu e juntei-os, verticalmente, sobre o assoalho.
Cada parte do primeiro tem 4mm, do segundo 6, do terceiro 16 e
do quarto 18. Quais são os primeiros traços que coincidem?
59. (UER) O número de fitas de vídeo que Marcela possui está
compreendido entre 100 e 150. Grupando-as de 12 em 12, de 15
em 15 ou de 20 em 20, sempre resta uma fita. A soma dos três
algarismos do número total de fitas que ela possui é igual a:
a) 3
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
60. (PUC) Um depósito com 3,6m de altura, 4,8m de largura e
7,2m de comprimento foi planejado para armazenar caixas
cúbicas, todas de mesmo tamanho, sem que houvesse perda de
espaço. Pode-se estimar que o menor número de caixas cúbicas
necessárias para encher completamente esse depósito é:
a) 24
b) 36
c) 48
d) 72
e) 84
61. Seja o número 𝑚 = 488𝑎9𝑏, onde “b” é o algarismo das
unidades e “a” é o algarismo das centenas. Sabendo-se que 𝑚 é
divisível por 45, então 𝑎 + 𝑏 é igual a
a) 1
b) 7
c) 9
d) 16
e) 20
62. Um número natural é um quadrado perfeito quando ele for
igual ao quadrado de outro número natural. Por exemplo, 49 é um
quadrado perfeito, pois 49 = 72; 100 é um quadrado perfeito, pois
100 = 102, etc. Qual deve ser o menor valor do número x, não nulo,
de modo que o número 280 ∙ 𝑥 seja quadrado perfeito?
a) 50
b) 60
c) 70
d) 80
e) 90
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63. (UFCE) Seja 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ; 1 ≤ 𝑥 ≤ 1012}, em que ℕ indica o
conjunto dos números naturais. O número de elementos de 𝐴 que
não são quadrados perfeitos ou cubos perfeitos é igual a:
a) 106
b) 1012 − 106 − 104 + 102
c) 1012 − 106 − 104 − 102
d) 1012 + 106 + 104 + 102
e) 106 + 104 + 102
64. A famosa Conjectura de Goldbach diz que todo número
natural par maior que 2 pode ser escrito como a soma de dois
números primos. Por exemplo, 18 pode ser representado por 5 +13 ou, ainda, por 7 + 11. Todas as possíveis representações de
126, qual a maior diferença entre os dois primos que a formam?
a) 112
b) 100
c) 92
d) 88
e) 80
65. Quantos números naturais menores que 500 têm exatamente
15 divisores naturais?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
66. (ENEM) Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem
as mensagens, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores
primos. Um número N é dado pela expressão 2𝑥 ∙ 5𝑦 ∙ 7𝑧 , na qual
x, y e z são números inteiros não negativos. Sabe-se que N é
múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7. O número de divisores de N,
diferente de N, é:
a) 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑧
b) (𝑥 + 1) ∙ (𝑦 + 1) ∙ (𝑧 + 1)
c) 𝑥 ∙ 𝑦 ∙ 𝑧 − 1
d) (𝑥 + 1) ∙ (𝑦 + 1) ∙ 𝑧
e) (𝑥 + 1) ∙ (𝑦 + 1) ∙ (𝑧 + 1) − 1
67. Quantos divisores naturais de 360 são múltiplos de 12?
68. (UNICAMP) Sejam a e b dois números inteiros positivos tais
que 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏) = 5 e 𝑚𝑚𝑐(𝑎, 𝑏) = 105.
a) Qual é o valor de b se 𝑎 = 35?
b) Encontre todos os valores possíveis para (𝑎, 𝑏).
69. (UFPR) Sabendo que 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏) = 6 e 𝑚𝑚𝑐(𝑎, 𝑏) = 36,
avalie as seguintes afirmativas a respeito dos números naturais a e
b:
I. Os números a e b são ambos pares.
II. Quando 𝑎 = 12, teremos 𝑎 + 𝑏 = 24. III. O produto 𝑎 ∙ 𝑏 = 36.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente a afirmativa I é verdadeira
b) Somente a afirmativa II é verdadeira
c) Somente a afirmativa III é verdadeira
d) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras
e) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras
70. (PUC) A soma dos algarismos de um número natural 𝑛, 103 <𝑛 < 104, é 21. Além disso, seu algarismo das centenas é igual à
soma do algarismo das unidades com o algarismo das unidades de
milhar. Com base nessas informações, examine cada uma das três
afirmativas a seguir:
I. O número n é um múltiplo de 3.
II. Pelo menos um algarismo de n é ímpar.
III. O algarismo das dezenas de n é par.
O número de afirmativas verdadeiras é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
71. Seja 𝑁 = 24 ∙ 35 ∙ 56. O número de divisores de N que são
múltiplos de 10, é:
a) 24
b) 35
c) 120
d) 144
e) 210
72. Existe algum quadrado perfeito na sequência. Justifique
11 111 1111 11111 111111 1111111 …
73. Se um número de dois dígitos é 5 vezes a soma de seus dígitos,
então o número formado pela troca dos dígitos é a soma dos dígitos
multiplicada por:
a) 3
b) 5
c) 6
d) 4
e) 7
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74. Para cada número natural n, seja 𝑆𝑛 a soma dos dez primeiros
múltiplos positivos de n. Por exemplo, 𝑆2 = 2 + 4 + ⋯ + 20. Quanto é 𝑆1 + 𝑆2 + 𝑆3 + ⋯ + 𝑆10?
a) 2925
b) 3025
c) 3125
d)3225
e) 3325
75. O número 583𝑎𝑏 é divisível por 9. O valor máximo da soma
dos algarismos a e b, é:
a) indeterminado
b) 20
c) 18
d) 11
e) 2
76. Sobre o menor número natural n de 4 algarismos, divisível por
3, tal que o algarismo das dezenas é a metade do algarismo das
unidades e igual ao dobro do algarismo das unidades de milhar, é
correto afirmar que:
a) 𝑛 + 1 é divisível por 7
b) n está entre 2000 e 3009
c) 𝑛 + 2 é múltiplo de 10
d) n apresenta 12 divisores positivos
77. (EPCAR) Juntamente com o Governador de um Estado, foram
para uma reunião 4 Prefeitos. Cada Prefeito levou 4 Secretários e
cada Secretário levou 4 Vereadores. Sabendo-se que nessa reunião
não houve participação de mais nenhuma pessoa, então, o número
T, total de participantes, é múltiplo de
a) 7
b) 11
c) 17
d) 19
78. (UFMG) Entre algumas famílias de um bairro, foi distribuído
um total de 144 cadernos, 192 lápis e 216 borrachas. Essa
distribuição foi feita de modo que o maior número possível de
famílias fosse contemplado e todas recebessem o mesmo número
de cadernos, o mesmo número de lápis e o mesmo número de
borrachas, sem haver sobra de qualquer material. Nesse caso, o
número de cadernos que cada família ganhou foi:
a) 4
b) 6
c) 8
d) 9
79. Um feirante deseja distribuir 576 goiabas, 432 laranjas e 504
maçâs entre várias famílias de um bairro carente. A exigência do
feirantes é que a distribuição seja feita de modo que cada família
receba o mesmo e o menor número possível de frutas de uma
mesma espécie. A quantidade total de frutas recebida por cada
família representa um número:
a) divisível por 9
b) múltiplo de 7
c) múltiplo de 12
d) entre 40 e 50
80. Determine os naturais positivos a e b, sabendo que 𝑎 + 𝑏 =64 e 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏) = 9.
81. (ITA-modificada) Qual o número de divisores naturais de
17640 que, por sua vez, são divisíveis por 3?
a) 48
b) 50
c) 56
d) 60
e) 30
82. (OBM) Para n inteiro positivo, definimos 𝑛! (lê-se “n fatorial”)
como o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a
n. Por exemplo, 6! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6. Se 𝑛! = 215 ∙ 36 ∙ 53 ∙ 72 ∙11 ∙ 13,, então n é igual a:
a) 13
b) 14
c) 15
d) 16
e) 17
83. (EPCAR) Uma pessoa foi realizar um curso de
aperfeiçoamento. O curso foi ministrado em x dias nos períodos
da manhã e da tarde desses dias. Durante o curso foram aplicadas
9 avaliações que ocorreram em dias distintos, cada um no período
da tarde ou no período da manhã, nunca havendo mais de uma
avaliação no mesmo dia. Houve 7 manhãs e 4 tardes sem
avaliação. O número x é divisor natural de
a) 45
b) 36
c) 20
d) 18
84. (EPCAR) Um agricultor fará uma plantação de feijão em
canteiro retilíneo. Para isso, começou a marcar os locais onde
plantaria as sementes. A figura abaixo indica os pontos marcados
pelo agricultor e as distâncias, em cm, entre eles.
Esse agricultor, depois, marcou outros pontos entre os já
existentes, de modo que a distância d entre todos eles fosse a
mesma e a maior possível.
Se x representa o número de vezes que a distância d foi obtida pelo
agricultor então x é um número divisível por
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
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85. (UNICAMP) Três líquidos diferentes A, B e C, devem ser
distribuídos em barris iguais. Há 108 litros do líquido A, 96 litros
do B e 72 litros do C. Para que o número de barris seja o menor
possível.
a) Qual deve ser a capacidade de cada barril?
b) Quantos barris serão necessários para conter cada um dos
líquidos?
86. (PUC) Dois livros, um dos quais tem 256 páginas e outro 160
páginas, são formados por capítulos com o mesmo número de
páginas (superior a 10 e inferior a 50). Cada capítulo:
a) pode ter 32 páginas
b) pode ter 24 páginas
c) tem 16 páginas
d) tem 18 páginas
e) nenhuma das alternativas
87. É possível que os naturais ímpares sejam os múltiplos de
algum natural 𝑎 > 1?
88. Dado um natural 𝑛, definimos o fatorial de n, e indicamos 𝑛!, como:
𝑛! = 𝑛 ∙ (𝑛 − 1) ∙ … ∙ 2 ∙ 1
Por exemplo, 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24.
a) Em quantos zeros termina o número 1000!?
b) Obtenha uma sequência de 100.000 naturais consecutivos sendo
todos eles compostos.
89. (UFMG) Três fios têm comprimentos de 36m, 48m e 72m.
Deseja-se cortá-los em pedaços menores, cujos comprimentos
sejam iguais, expressos em números inteiros de metros e sem que
haja perda de material. O menor número total possível de pedações
é:
a) 7
b) 9
c) 11
d) 13
e) 30
90. (UFMG) Se 𝐴 = 23 × 3 × 52 × 7 e 𝐵 = 22 × 32 × 72 × 11,
então a diferença entre o 𝑚𝑚𝑐(𝐴, 𝐵) e o 𝑚𝑑𝑐(𝐴, 𝐵) é divisível
por:
a) 23
b) 22 × 7
c) 2 × 3 × 5
d) 22 × 32
e) 5 × 11
91. (UFMG) Dois terrenos com áreas de 235ha e 141ha são
divididos em lotes, os maiores possíveis, todos da mesma área. O
número de lotes é:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 8
e) 47
92. (UFMG) O número de três algarismos divisível, ao mesmo
tempo, por 2, 3, 5, 6, 9 e 11 é:
a) 330
b) 660
c) 676
d) 990
e) 996
93. (UFMG) O produto dos números naturais a e b é 25 × 33 e o
𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏) = 22 × 3. Então, o 𝑚𝑚𝑐(𝑎, 𝑏) é:
a) 6
b) 54
c) 72
d) 96
e) 864
94. (UFMG) Considere o conjunto M de todos os naturais
formados por exatamente três algarismos iguais. Pode-se afirmar
que todo 𝑛 ∈ 𝑀 é múltiplo de:
a) 5
b) 7
c) 13
d) 17
e) 37
95. (UFMG) Sejam a, b, c três números primos, em que 𝑎 > 𝑏. O
mdc e o mmc de 𝑚 = 𝑎2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐2 e 𝑛 = 𝑎 ∙ 𝑏2 são, respectivamente,
21 e 1764. Pode-se afirmar que 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 é:
a) 9
b) 10
c) 12
d) 42
e) 62
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96. (UFMG) O menor número natural n pelo qual se deve
multiplicar 1188 para se obter um número divisível por 504 é tal
que:
a) 1 ≤ 𝑛 < 6
b) 7 ≤ 𝑛 < 10
c) 10 ≤ 𝑛 < 20
d) 20 ≤ 𝑛 < 30
e) 𝑛 ≥ 30
97. (UFMG) Sabe-se que o número 213 − 1 é primo. Seja 𝑛 =217 − 16. No conjunto dos números naturais, o número de
divisores de n é:
a) 5
b) 8
c) 6
d) 10
98. (UFMG) Três atletas correm numa pista e gastam,
respectivamente, 2,4min, 2,0 min e 1,6min para completar uma
volta na pista. Eles partem do mesmo local e no mesmo instante.
Após algum tempo, os três atletas se encontram, pela primeira vez,
no mesmo local da largada. Nesse momento, o atleta mais veloz
estará completando
a) 15 voltas
b) 18 voltas
c) 10 voltas
d) 12 voltas
99. (UFMG) Seja N o menor número inteiro pelo qual se deve
multiplicar 2520 para que o resultado seja o quadrado de um
número natural. Então, a soma dos algarismos de N é:
a) 9
b) 7
c) 8
d) 10
100. O número (1722)8 é divisível por 3
101. Estabeleça um critério para que o número (𝑎𝑏𝑐𝑑)6 seja
divisível por 5.
102. Determine os restos da divisão por 4 dos números:
a) 1 + 2 + 22 + 23 + ⋯ + 2100.
b) 15 + 25 + 35 + ⋯ + 205
GABARITO
01. 37 02. Resp. pessoal 03. Resp. pessoal
04. 9996 05. 9 e 11 06. 197, 211, 499 e 881
07. 15 08. 762, 768, 774 09. 165, 180, 195 e 210
10. 15 e 32 11. 200 12. 1
13. 4 14. 118 15. 1, 2, 3, 6, 9 e 18
16. D 17. B 18. E
19. a) 43 b) 257 c) 385 20. C
21. 60min, 5 voltas e 4 voltas 22. 4 voltas
23. A 24. Resp. pessoal 25. C
26. B 27. D 28. E
29. 𝑎 = 8, 𝑏 = 4, 𝑐 = 1, 𝑑 = 9 e 𝑒 = 6 30. A
31. B 32. B 33. E 34. 440
35. 2 36. A 37. B 38. 12
39. 2, 3 e 5 40. 9 41. 3 42. C
43. 24dm 44. E 45. D 46. D
47. D 48. D 49. D 50. B
51. D 52. B 53. A 54. B
55. 694 56. 13 mar 1945 57. 15m
58. 8º, 9º, 24º e 36º 59. B 60. D
61. B 62. C 63. B 64. B
65. D 66. E 67. 8
68. a) 15 b) (5, 105); (15, 35); (35, 15) e (105, 5)
69. A 70. C 71. D 72. Não
73. C 74. B 75. D 76. A
77. C 78. B 79. B
80. (9, 54); (18, 45) e (27, 36) 81. A 82. D
83. C 84. D 85. a) 12 b) 6, 8 e 9
86. A 87. Não 88. a) 249 89. D
90. B 91. D 92. D 93. C
94. E 95. C 96. C 97. D
98. A 99. B 100. Sim
101. 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 é múltiplo de 5
102. a) 3 b) 0
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