IX

Oleh: Sittati Musalamah

132

6. Metode Balok Padanan

a) Penurunan Rumus Dasar

Tinjau balok kantilever yang mengalami pembebanan seperti diperlihatkan pada Gambar 5.24-a. Kurva M/EI dari balok tersebut diperlihatkan Gambar 5.24-b. Kemudian bayangkan suatu balok kedua, disebut balok padanan, yang berbentuk kantilever terbalik dari kanteliver sesungguhnya, seperti terlihat pada Gambar 5.24-c. Kurva M/EI pada sisi bawah balok asli dianggap sebagai beban yang bekerja ke atas pada balok padanannya.

Terapkan Teorema Bidang Momen I:

B searah putaran jarum jam = luas M/EI dari Gambar 5.24-b.

= gaya geser positif di B dari Gambar 5.24-c

Terapkan Teorema Bidang Momen I:

B ke bawah = momen dari luas M/EI pada Gambar 5.24-b terhadap B

= momen lentur positif di B pada Gambar 5.24-c

B

A

B

B

a. Balok kantilever asli

Kurva M/EI

b. Luas M/EI balok asli

Gambar 5.24 Balok Padanan dari Balok Kantilever Asli

Kurva M/EI

c. Balok padanan

A

B

C

C

C1

C

B1

(a) Balok Sederhana Asli

(b) Luas M/EI Balok Asli

(c) Balok Padanan

Gambar 5.25 Balok Padanan dari Balok Sederhana Asli

Kemudian tinjaulah kemiringan C dan lendutan C pada balok sederhana asli dari Gambar 5.25-a, yang kurva M/EI nya diperlihatkan pada Gambar 5.25-b. Dapat dilihat bahwa balok padanannya juga merupakan balok sederhana seperti diperlihatkan pada Gambar 5.25-c

Dengan menggunakan Metode Bidang Momen,

C searah putaran jarum jam = A luas M/EI diantara A dan C

=

EI

M

luas

L

B

B

-

1

di antara A dan C

C

dan

A

diantara

M/EI

luas

B

terhadap

B

dan

A

antara

di

M/EI

luas

dari

momen

-

=

L

C ke bawah = CC1 C1C

= C (AC) momen dari luas M/EI diantara A dan C terhadap C

A

B

C

(a) Balok Menggantung Asli

(b) Luas M/EI Balok Asli

(c) Balok Padanan

A

B

C

Gambar 5.26 Balok Padanan dari Bagian Suatu Balok Gantung Asli

(

)

(

)

C

terhadap

C

dan

A

antara

di

EI

M

luas

dari

momen

-

B

terhadap

B

dan

A

antara

di

M/EI

luas

dari

momen

C

terhadap

C

dan

A

antara

di

EI

M

luas

dari

momen

1

AC

L

AC

L

B

B

=

-

=

Tapi kedua ekspresi terakhir ini merupakan gaya geser positif dan momen lentur positif di C pada balok padanan. Sehingga:

C searah putaran jarum jam pada balok asli = gaya geser positif di C pada balok padanan dan

C ke bawah pada balok asli = momen lentur positif di C pada balok padanan.

Akhirnya tinjaulah balok menggantung pada Gambar 5.26-a yang kurva M/EI nya diperlihatkan pada Gambar 5.26-b. Balok padanannya diperlihatkan pada Gambar 5.26-c, tumpuan sederhana sebelah luar di A pada balok asli tetap merupakan tumpuan sederhana, tumpuan sebelah dalam di B pada balok asli menjadi sendi dalam yang tak ditumpu, dan di ujung bebas asli di C diganti dengan tumpuan jepit.

Dapat diperlihatkan bahwa dengan Metode Bidang Momen akan diperoleh:

D searah putaran jarum jam pada balok asli

= gaya geser positif di D pada balok padanan

D ke bawah pada balok asli

= momen lentur positif di D pada balok padanan

tidak peduli apakah titik D terletak di bentang AB atau BC.

Dengan demikian dua Teorema Umum Balok Padanan dapat dinyatakan sebagai berikut:

Kemiringan searah jarum jam dan lendutan ke bawah sembarang titik pada balok asli masing-masing sama dengan gaya geser positif dan momen lentur positif di titik yang bersangkutan pada balok padanan, dengan mengingat bahwa tumpuan sederhana sebelah luar, tumpuan sebelah dalam dan ujung pada balok asli masing-masing harus dijadikan tumpuan sederhana sebelah luar, sendi dalam tak ditumpu dan tumpaun jepit pada balok padanannya, dan sebaliknya

Karenanya dapat kita lihat bahwa penggunaan balok padanan hanyalah merupakan upaya meringkas urutan langkah dalam Metode Bidang Momen. Metode ini diperkenalkan untuk pertama kalinya oleh Prof. H.F.B. Mueller-Breslau pada tahun 1885.

Apabila disajikan dalam bentuk tabel, ketentuan hubungan antara balok asli dan balok padanan adalah sebagai berikut:

No.

(1)

Balok Asli

(2)

Balok Padanan

(3)

Keterangan

(4)

1

Tumpuan jepit

Ujung bebas

Kemiringan dan defleksi pada tumpuan jepit balok asli sama dengan nol. Gaya geser dan momen pada ujung bebas balok padanan juga sama dengan nol

(1)

(2)

(3)

(4)

2

Ujung bebas

Tumpuan jepit

Kemiringan dan defleksi pada ujung bebas balok asli bisa dihitung dan gaya geser dan momen pada tumpuan jepit balok padanan juga bisa dihitung

3

Tumpuan sederhana

Tumpuan sederhana

Kemiringan pada ujung bebas balok asli bisa dihitung. Tapi defleksi sama dengan nol, gaya geser pada tumpuan sederhana pada balok padanan bisa dihitung. Tetapi momen sama dengan nol.

b. Penerapan pada Lendutan dan Kemiringan Balok

A

B

C

D

E

max

D

A

B

2,7 m

x m

5,4 m

1,8 m

3,6 m

E = 200 x 106 kN/m2

I = 160 x 10-6 m4

120 kN

Gambar 5.27 Contoh Soal 5-8

Metode Bidang Momen sesungguhnya berkaitan erat dengan Metode Balok Padanan. Teorema Bidang Momen benar-benar mengacu pada bentuk geometri kurva elastis, sedangkan konsep balok padanan memanfaatkan analogi antara kemiringan dan gaya geser serta antara lendutan momen lentur.

Contoh Soal 5-8

Tentukan dengan Metode Balok Padanan besarnya A, B dan defleksi di titik D (D) balok sederhana berikut. Hitung kedudukan dan besar lendutan maksimum pada balok tersebut.

144 kNm

A

B

108 kNm

C

D

(a) Diagram Momen

.

G

a

b

3

a

L

+

3

b

L

+

L

(c) Penentuan Letak Titik Berat

(b) Kurva M/EI Balok Padanan

A

C

D

B

EI

144

EI

108

.

G

5,4 m

EI

216

A

R'

=

EI

8

,

172

B

R'

=

2,4 m

3 m

(d) Menghitung Reaksi Perletakan Balok Padanan

EI

144

Gambar 5.28 Langkah Penyelesaian Menentukan A dan B

3

a

L

+

3

b

L

+

EI

144

EI

108

EI

216

A

R'

=

EI

8

,

172

B

R'

=

EI

144

Penyelesaian

1.Tentukan rekasi perletakan (RA dan RB) akibat beban luar yang bekerja pada balok, kemudian gambarkan diagram momen sesuai kondisi pembebanan (Gambar 5.28-a).

MA = 0 RB (5,4) (120)(1,8) = 0 RB = 40 kN

MB = 0 RA (5,4) (120)(3,6) = 0RA = 80 kN

MC = RA (1,8) = (80)(1,8) = 144 kNm

MD = RB (3,6) = (40)(2,7) = 108 kNm

2.Menghitung A dan B berarti menghitung gaya geser di titik A dan B pada balok padanan. Karena titik A dan B adalah perletakan maka gaya geser di sini adalah besarnya reaksi perletakan balok padanan (RA dan RB). Harap diingat, bahwa perletakan sederhana pada balok asli tetap menjadi perletakan sederhana juga pada balok padanan. Langkah penyelesaian untuk mendapatkan RA dan RB adalah dengan menganggap diagram momen balok asli adalah beban yang bekerja pada balok padanan. Kemudian dihitung reaksi perletakan akibat pembebanan tersebut (Gambar 5.28-b). Untuk mempermudah perhitungan, tentukan letak titik berat luasan M/EI tersebut (Gambar 5.28-c).

Letak titik berat:

4

,

2

3

8

,

1

4

,

5

3

=

+

=

+

=

a

L

AG

m

3

3

6

,

3

4

,

5

3

=

+

=

+

=

b

L

GB

m

Dengan mengacu pada Gambar 5.28-d, didapatkan:

MA = 0

RB (5,4) ()(5,4)

EI

144

(2,4) = 0 RB =

EI

8

,

172

MB = 0

RA(5,4) ()(5,4)

EI

144

(3) = 0 RA =

EI

216

Sehingga

A = RA =

00675

,

0

)

10

160

)(

10

200

(

216

216

6

6

=

=

-

EI

rad, searah jarum jam

B = RB =

00540

,

0

)

10

160

)(

10

200

(

8

,

172

8

,

172

6

6

=

=

-

EI

rad, berlawanan arah jarum jam

3.Untuk menghitung besarnya defleksi di titik D (D), gunakan Gambar 5.29-a sebagai acuan. Agar lebih mudah, gunakan benda bebas sebelah kanan (tinjauan kanan).

D = momen lentur di titik D

= RB (2,7) A3 (0,9)

(a) Menghitung Defleksi di titik D

EI

216

EI

8

,

172

EI

144

A1

A2

(b) Posisi Defleksi Maksimum

A3

A4

x = 2,94 m

1,8 m

0,66 m

Gambar 5.29 Menentukan Defleksi Balok

EI

216

EI

8

,

172

EI

144

A1

A2

D

A3

2,7 m

0,9 m

E

EI

108

EI

EI

x

6

,

117

40

=

EI

216

EI

8

,

172

EI

144

EI

216

EI

8

,

172

EI

144

EI

108

EI

EI

x

6

,

117

40

=

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

160

200

34

,

335

34

,

335

9

,

0

108

7

,

2

2

1

7

,

2

8

,

172

1

=

=

-

=

EI

EI

= 0,01048 m ke bawah.

4.Menentukan posisi terjadinya defleksi maksimal dan besar defleksi tersebut. Misalkan defleksi terjadi di titik E (Gambar 5.29-b). Maka jumlah gaya geser di titik E pada balok padanan sama dengan nol.

VE =

(

)

m

2,94

x

0

40

2

1

8

,

172

=

=

+

-

x

EI

x

EI

maks = ME (tinjauan kanan)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

bawah.

ke

m

01058

,

0

160

200

62

,

338

62

,

338

98

,

0

94

,

2

6

,

117

2

1

94

,

2

8

,

172

1

94

,

2

3

1

A

94

,

2

'

4

=

=

=

-

=

-

=

EI

EI

R

B

D. Latihan

A

B

C

P

L

L

EI konstan

1.Dengan Metode Beban Satuan, hitung defleksi di titik C balok sederhana berikut. Hitung juga besarnya kemiringan kurva elastis di A dan B (A dan B)

A

B

C

q per jarak satuan

L

L

EI konstan

2.Hitung kemiringan di titik A dan B serta defleksi di titik C balok sederhana berikut yang menopang beban merata setengah bentang. Gunakan Metode Turunan Parsial.

3.Sebuah balok kayu berukuran 14/24 cm dengan bentang 4 meter merupakan struktur balok sederhana. Tentukan beban terpusat yang dapat diletakkan di tengah bentang yang menyebabkan defleksi balok sebesar 1 cm. Ambil E = 6 104 kg/cm2 dan gunakan Metode Bidang Momen.

4.Diketahui balok dengan tumpuan sendi-rol seperti tampak dalam gambar berikut. Hitung kemiringan kurva di perletakan A dan B (A dan B) dengan menggunakan Metode Balok Padanan.

1,8 m

1,8 m

1,8 m

1,8 m

A

B

C

150 kN

I

2I

I

1,8 m

5,4 m

7,2 m

E = 200106kN/m2 dan I = 16010-6 m4

5.Sebuah balok di atas perletakan sederhana dengan bentang 10 m. Balok menopang beban terpusat sebesar 10.000 kg yang terletak 6 m dari perletakan kiri. Dengan menggunakan Metode Balok Padanan, hitung defleksi yang terjadi di bawah beban jika nilai E = 2 106 kg/cm2 dan I = 100.000 cm4.

F. Sumber Pustaka

Hibbeller., R.C, Analisis Struktur, Edisi Ketiga, Jakarta, Prenhallindo, 2002

Khurmi., R.S., Theory of Structures, 10th Ed., New Delhi, S. Chand & Company, 1999

Wang., Chu-Kia, Analisa Struktur Lanjutan, Jilid 1, Jakarta, Erlangga, 1993