Conicas y Cuadricas

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Ingenier´ ıas: Aeroespacial, Civil y Qu´ ımica. Matem´ aticas I. 2010-2011. Departamento de Matem´ atica Aplicada II. Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla. Tema 1.- C´onicas y Cu´ adricas. 1.1.- Las c´onicas. Ecuaciones reducidas. Las secciones c´onicas. Definici´onm´ etrica y elementos notables. La propiedad focal. Ecuaci´on reducida de una c´onica no girada. Ecuaciones param´ etricas. 1.2.- Las cu´ adricas. Ecuaciones reducidas. Ecuaci´on reducida de una cu´adrica no girada. Los elipsoides. Los hiperboloides y el cono. Los paraboloides. Los cilindros y las cu´adricas degeneradas. 1.3.- Ejercicios. 1.4.- Ap´ endice: MATLAB. Referente a la geometr´ ıa del plano, el alumno conoce, de sus estudios de bachillerato, las curvas que se obtienen como gr´afica de una funci´on expl´ ıcita, y = f (x). Adem´as, conoce la ecuaci´on general (o impl´ ıcita) de la recta ax + by + c = 0, ecuaci´on que salvo casos excepcionales (b = 0) define a y comofunci´on expl´ ıcita de x, y = 1 b (ax + c). Por otra parte, conoce la circunferencia, curva que no puede obtenerse como gr´afica de una funci´on expl´ ıcita. La relaci´on que establece la ecuaci´on de una circunferencia (x a) 2 +(y b) 2 = r 2 entre las variables (x, y )esuna relaci´on impl´ ıcita. Podemos obtener expresiones expl´ ıcitas de y en funci´onde x si dividimos la circunferencia en dos semi-circunferencias y = b ± r 2 (x a) 2 , pero el trabajar con estas expresiones obliga a no poder considerar y hacer c´alculos sobre la curva completa. En este tema estudiaremos las ecuaciones y los aspectos elementales de las c´onicas (cur- vas planas de segundo grado) y las cu´adricas (las superficies de segundo grado). En dicho tratamiento elemental consideraremos las propiedades intr´ ınsecas (propiedades que no depen- den del sistema de coordenadas) y estudiaremos las ecuaciones de dichas curvas y superficies cuando sus elementos de simetr´ ıa son paralelos a alguno de los ejes o planos coordenados. M´as adelante, en la parte final de la asignatura, con las herramientas correspondientes al c´alculo de autovalores y autovectores y a la diagonalizaci´ on ortogonal de una matriz sim´ etrica real, podr´a completarse el estudio considerando las c´onicas y cu´adricas dadas por su ecuaci´on en forma general. 1

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Ingenierıas: Aeroespacial, Civil y Quımica.Matematicas I. 2010-2011.

Departamento de Matematica Aplicada II.Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla.

Tema 1.- Conicas y Cuadricas.

1.1.- Las conicas. Ecuaciones reducidas.

Las secciones conicas.Definicion metrica y elementos notables.La propiedad focal.Ecuacion reducida de una conica no girada.Ecuaciones parametricas.

1.2.- Las cuadricas. Ecuaciones reducidas.

Ecuacion reducida de una cuadrica no girada.Los elipsoides.Los hiperboloides y el cono.Los paraboloides.Los cilindros y las cuadricas degeneradas.

1.3.- Ejercicios.

1.4.- Apendice: MATLAB.

Referente a la geometrıa del plano, el alumno conoce, de sus estudios de bachillerato,las curvas que se obtienen como grafica de una funcion explıcita, y = f(x). Ademas, conocela ecuacion general (o implıcita) de la recta ax + by + c = 0, ecuacion que salvo casosexcepcionales (b = 0) define a y como funcion explıcita de x, y = −1

b(ax+ c). Por otra parte,

conoce la circunferencia, curva que no puede obtenerse como grafica de una funcion explıcita.La relacion que establece la ecuacion de una circunferencia (x − a)2 + (y − b)2 = r2 entrelas variables (x, y) es una relacion implıcita. Podemos obtener expresiones explıcitas de y enfuncion de x si dividimos la circunferencia en dos semi-circunferencias y = b±

Èr2 − (x − a)2,

pero el trabajar con estas expresiones obliga a no poder considerar y hacer calculos sobre lacurva completa.

En este tema estudiaremos las ecuaciones y los aspectos elementales de las conicas (cur-vas planas de segundo grado) y las cuadricas (las superficies de segundo grado). En dichotratamiento elemental consideraremos las propiedades intrınsecas (propiedades que no depen-den del sistema de coordenadas) y estudiaremos las ecuaciones de dichas curvas y superficiescuando sus elementos de simetrıa son paralelos a alguno de los ejes o planos coordenados. Masadelante, en la parte final de la asignatura, con las herramientas correspondientes al calculode autovalores y autovectores y a la diagonalizacion ortogonal de una matriz simetrica real,podra completarse el estudio considerando las conicas y cuadricas dadas por su ecuacion enforma general.

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2 Tema 1.- Conicas y Cuadricas.

1.1.- Las conicas. Ecuaciones reducidas.

En primer lugar vamos a estudiar los aspectos basicos de las conicas no degeneradas(parabola, elipse e hiperbola), considerando la definicion de estas como el lugar geo-metrico de todos los puntos del plano que verifican una determinada propiedad metrica.

Independientemente de que el resultado sea o no sea una conica, algunos ejemplos sencillosde lugares geometricos definidos mediante condiciones metricas son los siguientes:

La circunferencia: lugar geometrico de los puntos de un plano que estan a una distanciaprefijada de un punto fijo,

La mediatriz de un segmento: el lugar geometrico de los puntos de un plano queequidistan de los extremos del segmento,

El lugar geometrico de los puntos que equidistan de dos rectas que se cortan esta for-mado por las dos bisectrices de los angulos que determinan las rectas dadas,

Una vez definida cada conica, veremos que, adoptando un sistema de ejes adecuado, estaqueda caracterizada mediante una ecuacion implıcita en dos variables (x, y) que vendra dadapor una ecuacion polinomica de segundo grado sin termino en xy.

Ademas de las ecuaciones implıcitas de las distintas conicas (referidas a ejes apropiados)consideraremos una descripcion parametrica. En terminos generales, puede decirse que lasdescripciones parametricas son las herramientas mas apropiadas a la hora de representargraficamente una curva (plana o tridimensional) o una superficie. Esto se pone de manifiestoa la hora de obtener las graficas de curvas y superficies usando MATLAB (o cualquier otropaquete de programas que permita representar graficamente curvas y superficies definidasmediante ecuaciones).

1.1.1.- Las secciones conicas.

Dejando al margen coordenadas, ecuaciones,...el nombre completo de las conicas es elde secciones conicas pues son las curvas que se obtienen al seccionar un cono medianteun plano. El tipo de curva que se obtiene al cortar un cono circular recto (mas adelanteobtendremos su ecuacion) con un plano depende de si el plano pasa o no por el vertice delcono y de la relacion entre el angulo, 0 ≤ α ≤ π

2, de inclinacion del plano respecto al eje del

cono y el angulo, 0 < β < π2, de inclinacion de la recta generatriz del cono respecto del eje.

Tenemos los siguientes casos:

• Un punto, concretamente el vertice del cono, si cortamos con un plano que pasa por elvertice y β < α ≤ π

2.

• Dos rectas secantes, si cortamos con un plano que pasa por el vertice y 0 ≤ α < β.

• Una recta doble, si cortamos con un plano que pasa por el vertice y α = β.

• Una elipse, si cortamos con un plano que no pase por el vertice del cono y β < α ≤ π2. En

particular, si cortamos con un plano perpendicular al eje del cono (α = π2), se obtiene

una circunferencia.

• Una parabola, si cortamos con un plano que no pase por el vertice y sea paralelo a unageneratriz, α = β.

• Una hiperbola, si cortamos con un plano que no pase por el vertice y 0 ≤ α < β.

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1.1- Las conicas. Ecuaciones reducidas. 3

Un punto Una recta dobleDos rectas que se cortan

ElipseCircunferencia

ParabolaHiperbola

1.1.2.- Definicion metrica y elementos notables.

Vamos a definir (cada una de) las conicas como el conjunto de puntos del plano queverifican una determinada propiedad metrica (referida a distancias). Adoptando un sistemade referencia adecuado, obtendremos la ecuacion implıcita correspondiente y las coordenadasy ecuaciones de los elementos distintivos (centro, ejes,...) que tenga en cada caso.

• La parabola.Aunque sea una curva plana conocida por el alumno como la grafica de una funcion

polinomica de segundo grado y = f(x) = ax2 + bx + c y como la trayectoria descrita por unproyectil, adoptaremos ahora otro punto de vista.

Definicion. Dada una recta L y un punto F (que no este en L), se denomina parabolade foco F y directriz L al lugar geometrico de los puntos P (del plano determinado porla directriz y el foco) que equidistan de la directriz L y el foco F ,

d (P, L) = d (P, F ).

Ejercicio. ¿Que sucede si el punto F esta en la recta L?

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4 Tema 1.- Conicas y Cuadricas.

En la definicion considerada no hay ninguna referencia a sistema de coordenadas alguno.En el plano determinado por la recta y el punto dados, vamos a considerar un sistema dereferencia adecuado, de forma que la ecuacion que caracterice a los puntos de la parabolasea lo mas sencilla posible. Como eje OX, de la variable independiente, vamos a tomar larecta que pasa por el foco F y es perpendicular a la directriz L. Como origen del sistema dereferencia tomamos el punto O de dicha recta que equidista del foco y de la directriz. Porultimo, como eje OY de nuestro sistema de referencia tomamos la recta que pasa por O yes paralela a la directriz.

En este sistema de ejes perpendiculares tendremos que las coordenadas del foco seran dela forma F = (p

2, 0) y la ecuacion de la directriz sera L ≡ x = −p

2. U n punto P = (x, y)

pertenecera a la parabola definida si y solo si

d (P, L) =

����x +p

2

���� = d (P, F ) =

r(x − p

2)2 + y2.

De aquı es facil obtener que los puntos(x, y) que estan en la parabola estancaracterizados por la ecuacion

y2 = 2p x |p| = d (F, L).

La recta y = 0 (el eje OX) es eje desimetrıa de la parabola anterior y elvertice (el punto de corte del eje desimetrıa con la parabola) es el origende coordenadas O = (x = 0, y = 0).

y2 = 2p x

X

Y

Foco

Eje de simetrıa

F = (p

2, 0)

x = −p

2

directriz

VerticeO

P = (x, y)

El eje de simetrıa de una parabola tambien se suele llamar eje focal. La recta que pasapor el vertice y es perpendicular al eje de simetrıa se suele llamar eje secundario de laparabola.

Una ecuacion del tipo x2 = 2q y define una parabola con eje de simetrıa el eje OY yvertice en el origen de coordenadas.

Si cuando hemos obtenido la ecuacion de laparabola, y2 = 2p x, hubieramos adoptadoun sistema de ejes paralelo al que hemosadoptado (o lo que es lo mismo si hacemosuna traslacion del sistema de coordenadas),en el cual el eje OX sea paralelo al eje desimetrıa de la parabola (dicho eje de simetrıatendrıa como ecuacion y = β) y el vertice tu-viera como coordenadas (α, β), la ecuacionde la parabola en dicho sistema de coorde-nadas serıa de la forma

(y − β)2 = 2p (x − α). X

Y

Vertice (α, β)

O

Eje

x = α

y = β(y − β)2 = 2p (x − α)

Ejercicio. Determina el vertice, el eje de simetrıa, el foco y la directriz de las parabolas

(y − β)2 = 2p (x − α), (x − α)2 = 2q (y − β).

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1.1- Las conicas. Ecuaciones reducidas. 5

Las ecuaciones anteriores cubren todos los casos en los que el eje de la parabola es paraleloa uno de los ejes coordenados. No estamos todavıa en condiciones de estudiar la ecuacionde una parabola cuyo eje de simetrıa no sea paralelo a ninguno de los ejes del sistema dereferencia que se considere.

Ejercicio. Expresa la ecuacion 2y2 + 4y + 3x + 7 = 0 en la forma

(y − β)2 = 2p (x − α).

Determina el vertice, el foco, la directriz y el eje de simetrıa de la parabola y haz la repre-sentacion grafica.

• La elipse.

Definicion. Dados dos puntos F1 y F2 (iguales o distintos) y una constante 2a (mayor quela distancia entre los focos), se llama elipse de focos F1 y F2 y constante 2a al lugargeometrico de los puntos, P , cuya suma de distancias a F1 y F2 es 2a,

d (P, F1) + d (P, F2) = 2a.

Ejercicio. ¿Que sucede si 2a es igual a la distancia entre los focos? ¿y si es menor?¿Que sucede si F1 = F2?

Introducimos ahora un sistema de referencia respecto del cual la elipse estara caracteri-zada por una ecuacion lo mas simple posible. Tomamos como eje OX la recta que une losfocos F1 y F2 y como eje OY la recta perpendicular en el punto medio de los focos, puntoque sera por tanto el origen de coordenadas del sistema de referencia. Respecto de este dereferencia los focos vendran dados mediante F1 = (c, 0) y F2 = (−c, 0).

Un punto P = (x, y) estara en la elipse si y solo si

d(P, F1) + d(P, F2) =È

(x − c)2 + y2 +È

(x + c)2 + y2 = 2a.

Sin mas que hacer operaciones tenemos

dejando una raız cuadrada en cada uno de los miembros de la igualdad,È(x − c)2 + y2 = 2a −

È(x + c)2 + y2

elevando al cuadrado los dos miembros de la igualdad,

(x − c)2 + y2 =�2a −

È(x + c)2 + y2

�2

desarrollando,

(x − c)2 + y2 = 4a2 + [(x + c)2 + y2] − 4aÈ

(x + c)2 + y2

x2 + c2 − 2cx + y2 = 4a2 + x2 + c2 + 2cx + y2 − 4aÈ

(x + c)2 + y2

Matematicas I. 5 2010-2011

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6 Tema 1.- Conicas y Cuadricas.

simplificando y dejando en uno de los miembros de la igualdad solo la raız cuadrada

4aÈ

(x + c)2 + y2 = 4a2 + 4cx

simplificando y elevando al cuadrado cada uno de los dos miembros de la igualdad,

a2�(x + c)2 + y2

�=�a2 + cx

�2,

desarrollando,

a2 [x2 + c2 + 2cx + y2] = a4 + c2x2 + 2a2cx

a2x2 + a2c2 + 2a2cx + a2y2 = a4 + c2x2 + 2a2cx,

simplificando, agrupando terminos y despejando,

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a4 − a2c2 ⇔ (a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)

denotando b2 = a2 − c2(> 0) y dividiendo ambos miembros de la igualdad por a2b2

tenemos

x2

a2+

y2

b2= 1, siendo b2 = a2 − c2.

x2

a2+

y2

b2= 1

X

Y

F1 = (c, 0)F2 = (−c, 0)

(a, 0)

(−a, 0)

(0, b)

(0,−b)

P = (x, y)

O

a

bc

Es facil comprobar que el eje OX (la recta que une los focos) y el eje OY (la perpendicularen el punto medio de los focos) son ejes de simetrıa de la elipse y su punto de corte (elorigen de coordenadas) es centro de simetrıa. Notemos que si un punto (x, y) verifica laecuacion de la elipse, los puntos

(±x,±y) : (x, y), (x,−y), (−x, y), (−x,−y)

tambien verifican dicha ecuacion. El eje de simetrıa que pasa por los focos suele denominarseeje focal.

Los puntos en los que los ejes de simetrıa cortan a la elipse (±a, 0) y (0,±b) se denominanvertices. Tambien suelen denominarse ejes de la elipse a los dos segmentos que se determinan

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1.1- Las conicas. Ecuaciones reducidas. 7

por los vertices en cada eje de simetrıa. Las distancias a > 0 y b > 0 del centro de la elipse alos vertices se denominan semiejes. Notemos que dichos semiejes son la mayor y la menordistancia de un punto de elipse a su centro.

Cuando hay un unico foco, F1 = F2, la definicion de elipse corresponde a la circunferenciade centro F1 = F2 y radio r = a > 0. En este caso tenemos que 2c = d (F1, F2) = 0, b2 = a2

y la ecuacion puede escribirse como x2 + y2 = a2. En este caso cualquier recta que pase porel centro es eje de simetrıa y de la circunferencia hay un unico foco que coincide con elcentro y cualquier recta que pase por el centro es eje de simetrıa.

Si tenemos un sistema de referencia respecto del cual el centro de simetrıa de la elipsetiene por coordenadas (α, β) y sus ejes de simetrıa son paralelos a los ejes coordenados (conlo cual seran las rectas x = α e y = β) la ecuacion de la elipse sera de la forma

(x − α)2

a2+

(y − β)2

b2= 1

Si a = b tendremos una circunferencia y dependiendo de si a > b o a < b, los focos de laelipse y el semieje mayor de la elipse estara sobre uno de los ejes de simetrıa o sobre el otro.

a > b

O X

Y

(α, β)

x = α

y = β

a < b

O X

Y

(α, β)

x = α

y = β

• La hiperbola.

Al igual que la parabola, el alumno conoce la hiperbola como representacion grafica deuna funcion explıcita y = f(x) = k

x, k 6= 0. Todas estas hiperbolas son equilateras y tienen

como asıntotas a los ejes coordenados. Veamos la hiperbola desde otro punto de vista.

Definicion. Dados dos puntos distintos, F1 y F2, y una constante 2a > 0 (menor que ladistancia entre los focos), se llama hiperbola de focos F1 y F2 y constante 2a al lugargeometrico de los puntos P cuya diferencia de distancias a F1 y F2 es 2a,

|d (P, F1) − d (P, F2)| = 2a.

Ejercicio. ¿Que sucede si 2a es mayor que la distancia entre los focos? ¿y si es igual? ¿y si2a = 0?

Al igual que en el caso de la elipse, tomamos como sistema de referencia el que tienecomo eje OX la recta que une los focos y como eje OY la perpendicular en el punto medio

Matematicas I. 7 2010-2011

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8 Tema 1.- Conicas y Cuadricas.

de los focos. En este sistema de referencia las coordenadas de los focos seran de la formaF1 = (c, 0), F2 = (−c, 0). Un punto P = (x, y) estara en la hiperbola si y solo si

|d(P, F1) − d(P, F2)| =���È(x − c)2 + y2 −

È(x + c)2 + y2

��� = 2a.

Sin mas que hacer operaciones se puede obtener que la anterior ecuacion es equivalente a laecuacion

x2

a2− y2

b2= 1, b2 = c2 − a2.

Una hiperbola esta formada por dos ramas(dos curvas sin puntos en comun) que vienendadas, respectivamente, por los puntos P queverifican

d(P, F1) − d(P, F2) = 2a

y por los que verifican

d(P, F1) − d(P, F2) = −2a.

F1F2X

Y

Es facil comprobar que el eje OX (la recta que une los focos) y el eje OY (la perpendicularen el punto medio de los focos) son ejes de simetrıa de la hiperbola y su punto de corte(el origen de coordenadas) es centro de simetrıa. Notemos que si un punto (x, y) verifica laecuacion de la hiperbola, los puntos

(±x,±y) : (x, y), (x,−y), (−x, y), (−x,−y)

tambien verifican dicha ecuacion. El eje de simetrıa que pasa por los focos suele denominarseeje focal. Notemos que uno de los ejes de simetrıa, el que hemos tomado como eje OY , nocorta a la hiperbola mientras que el otro, la recta que une los focos, corta a la hiperbola endos puntos (±a, 0) que se denominan vertices. Los valores a > 0 y b > 0 se denominansemiejes de la hiperbola. Otro elemento caracterıstico de las hiperbolas son sus asıntotas.

Las rectas y = ± b

ax que pasan por el centro de la hiperbola

x2

a2− y2

b2= 1 y tienen pendiente

± b

ason sus asıntotas. Se dice que la hiperbola es equilatera si sus dos semiejes son iguales

a = b, o lo que es equivalente, si sus asıntotas son perpendiculares entre sı.

x2

a2− y2

b2= 1

X

Y

F1F2

a

bc

Asıntotas y = ± b

ax

Vertices (±a, 0)

Ejes de simetrıaCentro

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1.1- Las conicas. Ecuaciones reducidas. 9

Ejercicio. Siendo F1 = (0, c) y F2 = (0,−c), determina la ecuacion de la hiperbola formadapor los puntos P que verifican |d(P, F1) − d(P, F2)| = 2a.

Si cuando hemos obtenido la ecuacion de la hiperbola,x2

a2− y2

b2= 1, hubieramos adoptado

un sistema de ejes paralelo al que hemos adoptado (o lo que es lo mismo si hacemos unatraslacion del sistema de coordenadas), en el cual el eje OX fuera paralelo a la recta queune los focos (y el eje OY fuera la perpendicular en el punto medio de los focos), los ejesde simetrıa tendrıan por ecuaciones respectivas x = α e y = β y la ecuacion de la hiperbolaserıa

(x − α)2

a2− (y − β)2

b2= 1.

X

Y

Centro (α, β)

x = α

y = β

En el caso de que adoptaramos un sistema de ejes en el que los focos estuvieran sobreuna recta paralela al eje OY , tendrıamos

(x − α)2

a2− (y − β)2

b2= −1

X

Y

Centro (α, β)

x = α

y = β

Observacion. ¿Que relacion hay entre las graficas y =k

xy las hiperbolas? Caundo es-

tudiemos la ecuacion de un giro veremos que, si giramos la hiperbola xy = k, con centro en

el origen de coordenadas, un angulo de φ = −π

4radianes obtenemos la hiperbola de ecuacion

(x)2

2k− (y)2

2k= 1

que es una hiperbola equilatera con centro el origen de coordenadas y ejes los ejes coorde-nados.

Cuando una hiperbola (equilatera) viene dada por una ecuacion del tipo xy = k se diceque la hiperbola esta referida a sus asıntotas y cuando viene dada por una ecuacion del tipox2

a2− y2

b2= ±1 se dice que esta referida a sus ejes.

Matematicas I. 9 2010-2011

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10 Tema 1.- Conicas y Cuadricas.

1.1.3.- La propiedad focal.

Aunque las tres conicas (no degeneradas) tienen una propiedad focal, la mas conocida esla propiedad focal de la parabola. Vamos a enunciar la propiedad focal de cada una de lasconicas en terminos geometricos y en terminos opticos.

• Propiedad focal de la parabola.En cada punto P de la parabola, el angulo que forma la recta tangente con el segmento

PF , que une el punto con el foco, coincide con el angulo que forma con la recta paralela aleje que pasa por el punto considerado.

Eje de SimetrıaFoco

θ

Si colocamos una fuente luminosa en el foco de una parabola, los rayos emitidos se reflejanen la parabola en la direccion del eje. Y viceversa, todos los rayos de luz que incidan en unaparabola en la direccion de su eje se reflejan en el foco.

Si tenemos la superficie que se obtiene al girar una parabola, esta propiedad permite con-centrar en el foco de la parabola todo lo que recibe la superficie (ondas, luz,...) paralelamenteal eje. Recıprocamente, permite reflejar paralelamente al eje todo lo que se emite desde elfoco. Ejemplos de utilizacion de esta propiedad son los faros de los automoviles, las antenasparabolicas de TV, los grandes reflectores de los telescopios que se usan en Astronomıa, loshornos parabolicos,...

• Propiedad focal de la elipse.

En cada punto P de la elipse, la recta tangente forma angulos iguales con los segmentosPF1 y PF2 que unen el punto con los focos.

X

Y

F1F2

θθ

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1.1- Las conicas. Ecuaciones reducidas. 11

Si colocamos una fuente luminosa en uno de los focos de una elipse, los rayos emitidos sereflejan en la elipse y se concentran en el otro foco.

Ejercicio: ¿Que dice la propiedad focal de la circunferencia, si es que tiene sentido plantearsedicha propiedad?

• Propiedad focal de la hiperbola.

En cada punto P de la hiperbola, la recta tangente forma angulos iguales con los segmen-tos PF1 y PF2 que unen el punto con los focos.

F1F2

θ

Si tenemos una fuente luminosa situada en uno de los focos de una hiperbola, los rayosde luz se reflejan en (la correspondiente rama de) la hiperbola de forma divergente como siprovinieran del otro foco.

1.1.4.- Ecuacion reducida de una conica no girada.

En general, una conica es una curva formada por todos los puntos del plano cuyas coor-denadas (x, y) verifican una ecuacion de segundo grado

a11x2 + a22y

2 + 2a12xy + 2a1x + 2a2y + a0 = 0.

Notemos que una ecuacion de este tipo puede describir, junto a las conicas previamenteestudiadas, otro tipo de conicas que se suelen conocer, unas como conicas degeneradasy otras como conicas imaginarias. Los siguientes ejemplos ilustran este tipo de conicas: unapareja de rectas (que se corten en punto, x2 − y2 = 0, que sean paralelas x2 − 4 = 0 o quesean coincidentes, x2 = 0), o un unico punto, x2 + y2 = 0, o nada, x2 + y2 + 1 = 0.

En general, cualquier ecuacion de segundo grado, en dos variables (x, y), sin terminoen xy (a12 = 0) puede reducirse a uno de los siguientes tipos de ecuacion

a X2 + b Y 2 + c = 0, X2 + bY = 0, X2 + c = 0

sin mas que completar cuadrados. Estas ecuaciones representan a conicas cuyos ejes sonparalelos a los ejes coordenados (las conicas no estan giradas respecto al sistema de referenciaconsiderado). A este tipo de ecuacion se le denomina ecuacion reducida de la conica oecuacion de la conica referida a sus ejes. Cuando el coeficiente de xy es distinto de cero, laecuacion tambien se puede reducir a uno de los tipos de ecuacion anteriores, pero para esosera necesario hacer un giro y esta cuestion tendra su lugar natural mas adelante.

Matematicas I. 11 2010-2011

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12 Tema 1.- Conicas y Cuadricas.

Dado un polinomio de segundo grado (en una o varias variables) en el que no apare-cen terminos cruzados (xy si tenemos dos variables (x, y), o bien xy, xz e yz si tenemostres variables (x, y, z),...), completar cuadrados consiste en formar un cuadrado de unbinomio a partir de un cuadrado de un monomio y un termino de primer grado. Veamosalgunos ejemplos de como completar cuadrados en un polinomio de segundo grado (en 1, 2,... variables).

Ejemplo. La conocida formula

x =−b ±

√b2 − 4ac

2a,

de las soluciones de una ecuacion de segundo ax2 + bx + c = 0 (a 6= 0), se obtiene sin masque completar cuadrados en x (esto es posible porque el coeficiente de x es distinto de 0),

ax2 + bx + c = a

�x2 +

b

ax

�+ c = a

�x2 + 2

b

2ax

�+ c

= a

"x2 + 2

b

2ax +

�b

2a

�2

−�

b

2a

�2#

+ c

= a

"x2 + 2

b

2ax +

�b

2a

�2#− a

�b

2a

�2

+ c

= a

�x +

b

2a

�2

− b2

4a+ c.

Una vez que hemos completado cuadrados en x, basta manipular la expresion obtenida paraobtener la formula que nos da las soluciones,

a

�x +

b

2a

�2

− b2

4a+ c = 0 ⇐⇒

�x +

b

2a

�2

=1

a

�b2

4a− c

�⇐⇒

⇐⇒�x +

b

2a

�2

=b2 − 4ac

4a2⇐⇒ x +

b

2a= ±

sb2 − 4ac

4a2

⇐⇒ x = − b

2a±s

b2 − 4ac

4a2=

−b ±√

b2 − 4ac

2a.

Ejemplo. Consideremos la conica de ecuacion 2x2 + 3x + y2 − 5y − 1 = 0 y obtengamos suecuacion reducida. Sin mas que completar cuadrados en x y en y tenemos

2x2 + 3x + y2 − 5y − 1 = 2�x2 +

3

2x�

+�y2 − 5y

�− 1

= 2�x +

3

4

�2

− 2�

3

4

�2

+�y − 5

2

�2

−�

5

2

�2

− 1 = 0 ⇐⇒

⇐⇒ 2�x +

3

4

�2

+�y − 5

2

�2

= 2�

3

4

�2

+�

5

2

�2

+ 1

⇐⇒ 2�x +

3

4

�2

+�y − 5

2

�2

=67

8.

Por tanto, la ecuacion original es equivalente a la ecuacion�x + 3

4

�2

67

16

+

�y − 5

2

�2

67

8

= 1

Matematicas I. 12Ingenierıas: Aeroespacial, Civil y Quımica

Page 13: Conicas y Cuadricas

1.1- Las conicas. Ecuaciones reducidas. 13

y la conica es una elipse con centro el punto�−3

4,5

2

�y semiejes a =

Ê67

16y b =

Ê67

8.

¿Sobre que recta estan los focos de la elipse? ¿Cuales son los ejes de simetrıa? Calcula losfocos y los vertices de la elipse y dibujala.

1.1.5.- Ecuaciones parametricas.

Para describir mediante ecuaciones una curva plana hemos utilizado distintos tipos:

En forma explıcita mediante la cual una coordenada esta expresada como variabledependiente de la otra que es una variable independiente recorriendo un cierto intervalo(o semirrecta o toda la recta real). Por ejemplo, la igualdad y = 3x2 define a x comofuncion explıcita, y = f(x), de x y la curva esta formada por los puntos�

(x, f(x)) ∈ R2 : x ∈ I ⊂ R

©siendo I un determinado intervalo (finito o infinito) de la recta real.

En forma implıcita mediante la cual la curva esta formada por los puntos cuyas coor-denadas verifican una determinada ecuacion, F (x, y) = 0, en las dos variables (x, y),llamada ecuacion implıcita de la curva. Por ejemplo, la circunferencia de centro elorigen de coordenadas y radio 1 queda determinada por la ecuacion x2 + y2 = 1.

En forma parametrica mediante la cual las coordenadas, (x, y), de los puntos dela curva vienen definidas como funciones explıcitas de una variable independiente t,denominada parametro, que recorre un determinado intervalo,¨

x = f(t),y = g(t),

t ∈ I ⊂ R.

El ejemplo mas simple nos lo proporcionan las ecuaciones parametricas de una rectadescrita a traves de un punto A = (x0, y0) y un vector director v = (v1, v2),¨

x = x0 + tv1

y = y0 + tv2

t ∈ R.

Si quisieramos obtener un segmento de la recta, bastarıa con restringir el recorrido delparametro t a un cierto intervalo. Por ejemplo, cuando t recorre el intervalo [0, 1] elpunto (x, y) dado por la anterior parametrizacion recorre el segmento de extremos Ay A + v.

En general, para una misma curva se pueden dar distintas parametrizaciones mediantelas cuales se puede recorrer la curva de distintas formas: con distinto sentido, condistinta velocidad (constante o variable), etc. Por ejemplo, para la misma recta anterior,

• la parametrizacion ¨x = x0 − λv1

y = y0 − λv2

λ ∈ R.

permite, cuando λ va desde −∞ hasta +∞, recorrer la recta en sentido contrarioal dado por el recorrido que se obtiene cuando t va desde −∞ hasta +∞ en laprimera parametrizacion

Matematicas I. 13 2010-2011

Page 14: Conicas y Cuadricas

14 Tema 1.- Conicas y Cuadricas.

• la parametrizacion ¨x = x0 + µ2v1

y = y0 + µ2v2

µ ∈ R.

permite, cuando µ va desde −∞ hasta +∞, recorrer dos veces una de las dossemirrectas que parten del punto A,

• la parametrizacion ¨x = x0 + s3v1

y = y0 + s3v2

µ ∈ R.

permite, cuando s va desde −∞ hasta +∞, recorrer la recta completa pero convelocidad variable: cuando s recorre, por ejemplo, los intervalos [0, 1] y [3, 4] seobtienen segmentos de recta de distinta longitud,

• si consideramos unas ecuaciones parametricas tomando otro punto de la recta yotro vector direccion, la forma de recorrer la recta sera distinta.

Toda curva plana que venga dada en forma explıcita, por ejemplo y = f(x), tambienesta dada en forma implıcita, mediante F (x, y) = y − f(x) = 0, y en forma parametrica,mediante ¨

x = t,y = f(t).

Sin embargo, dada una ecuacion implıcita, F (x, y) = 0, no siempre es posible despejaruna variable en funcion de la otra (como una unica funcion). Por ejemplo, de la ecuacionx2 + y2 − 1 = 0 no es posible despejar ninguna variable en funcion de la otra. Para describirla circunferencia completa necesitarıamos dos funciones explıcitas. De la misma forma, nosiempre es posible pasar de las ecuaciones parametricas a una ecuacion explıcita o implıcita.El estudio de las condiciones bajo las cuales una ecuacion implıcita, F (x, y) = 0, define auna de las variables como funcion explıcita de la otra, cae dentro del campo de actuacion delcalculo diferencial de varias variables. Desde el punto de vista de la representacion graficade una curva, habitualmente se considera a esta dada por unas ecuaciones parametricas (o elcaso mas simple de una ecuacion explıcita). En la relacion de ejercicios se consideran algunosejemplos de parametrizacion de curvas en el espacio. Basicamente, las parametrizacionesse obtienen a partir de levantar una parametrizacion de una curva en uno de los planoscoordenados.

Referente a una parametrizacion de las conicas no giradas (en el plano) tenemos:

Parabola. Es inmediato parametrizar cualquier parabola con ejes paralelos a los co-ordenados. Segun que el eje de simetrıa sea horizontal o vertical podremos expre-sar x como funcion explıcita de y o y como funcion explıcita de x. La parabola(y − β)2 = 2p(x − α), (p 6= 0), de vertice (α, β) y eje horizontal, define a x comofuncion explıcita de y y tenemos la parametrizacion asociada,

(y − β)2 = 2p(x − α) =⇒(

x = α + 1

2p(t − β)2 ,

y = t

)(−∞ < t < ∞)

Elipse. La elipse de centro (α, β) y semiejes a y b respectivamente, tiene por ecuacion

(x − α)2

a2+

(y − β)2

b2= 1.

Matematicas I. 14Ingenierıas: Aeroespacial, Civil y Quımica

Page 15: Conicas y Cuadricas

1.2.-Las cuadricas. 15

Teniendo en cuenta que la circunferencia unidad, X2+Y 2 = 1, la podemos parametrizartomando como parametro el angulo polar t,¨

X = cos(t),Y = sen(t),

t ∈ [0, 2π];

podemos parametrizar la elipse dada mediante¨x − α = a cos(t)y − β = b sen(t)

t ∈ [0, 2π].

Si quisieramos obtener un arco de la circunferencia o de la elipse bastarıa con considerarun intervalo apropiado de variacion de t.

Hiperbola. Para describir mediante ecuaciones parametricas una hiperbola vamosa considerar por separado cada una de las ramas y vamos a utilizar las funcioneshiperbolicas: la funcion coseno hiperbolico y la funcion seno hiperbolico dadaspor

cosh(t) =et + e−t

2, senh(t) =

et − e−t

2, t ∈ R

que tienen algunas similitudes con las funciones trigonometricas (paridad, derivadas,...)y algunas diferencias significativas (acotacion,...). En particular tendremos en cuentaque senh(t) recorre toda la recta real cuando t varıa desde −∞ a +∞ y que

cosh2(t) − senh2(t) = 1.

Ejercicio. Obtener la representacion grafica de las funciones hiperbolicas y comprobarla igualdad anterior.

La rama derecha de la hiperbola x2−y2 = 1 puede obtenerse mediante la parametrizacion¨x = cosh(t)y = senh(t)

t ∈ R.

Ejercicio. Obtener una parametrizacion de la rama izquierda de la hiperbola anteriorası como de cada una de las ramas de las hiperbolas

(x − α)2

a2− (y − β)2

b2= ±1.

1.2.- Las cuadricas. Ecuaciones reducidas.

1.2.1.- La ecuacion reducida de una cuadrica no girada.

En general, una cuadrica es la superficie formada por todos los puntos del espacio cuyascoordenadas (x, y, z) verifican una ecuacion de segundo grado

a11x2 + a22y

2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a1x + 2a2y + 2a3z + a0 = 0.

Matematicas I. 15 2010-2011

Page 16: Conicas y Cuadricas

16 Tema 1.- Conicas y Cuadricas.

Notemos que una ecuacion de este tipo puede describir, ademas de las superficies que veremosmas adelante, las llamadas cuadricas degeneradas: una pareja de planos (que se corten enuna recta, que sean paralelos o que sean coincidentes),

x2 − y2 = 0, x2 − 4 = 0, x2 = 0

o una recta, x2 + y2 = 0, o un unico punto, x2 + y2 + z2 = 0, o nada x2 + y2 + z2 + 1 = 0.

Cuando en la ecuacion de la cuadrica no aparecen terminos cruzados, la ecuacion puedereducirse, sin mas que completar cuadrados y terminos lineales, a una ecuacion en laque a lo sumo aparece un termino en cada variable (y, posiblemente, un termino indepen-diente), es decir a uno de los siguientes tipos de ecuacion:

ax2 + by2 + cz2 + d = 0ax2 + by2 + cz = 0ax2 + by + cz = 0ax2 + by = 0ax2 + c = 0.

Dependiendo de los signos de los coeficientes involucrados tendremos superficies con dife-rentes elementos distintivos (planos, ejes y centros de simetrıa, vertices, cortes con planosparalelos a los planos coordenados,...).

Aunque todavıa no estemos en condiciones de abordar el estudio de la ecuacion general, laecuacion de cualquier cuadrica se puede reducir a uno de los tipos anteriores que se denominaecuacion reducida de la cuadrica correspondiente. A continuacion estudiamos las diferentescuadricas y sus elementos notables.

1.2.2.- Los elipsoides.

Los elipsoides se obtienen cuando, una vez completados cuadrados, nos quedan tres termi-nos de segundo grado con coeficientes del mismo signo, es decir la ecuacion tıpica es:

X2

a2+

Y 2

b2+

Z2

c2=

8><>: 1,0,−1

siendo a, b, c 6= 0.

• El elipsoide (real).

Los elipsoides propiamente dichos se tienen en el caso

X2

a2+

Y 2

b2+

Z2

c2= 1

que es una superficie que es simetrica respecto a cada uno de los planos coordenados. Siun punto (X, Y, Z) pertenece a dicha superficie (sus coordenadas verifican la ecuacion), lospuntos (−X, Y, Z), (X,−Y, Z), (X, Y,−Z) tambien pertenecen. Por tanto, dicha superficietambien es simetrica respecto a los ejes coordenados (rectas de corte de los planos de simetrıa)y respecto del origen de coordenadas (punto de corte de los tres planos de simetrıa). Porotra parte, cuando cortamos dicha superficie con un plano paralelo a alguno de los planos

Matematicas I. 16Ingenierıas: Aeroespacial, Civil y Quımica

Page 17: Conicas y Cuadricas

1.2.-Las cuadricas. 17

coordenados, por ejemplo Z = k, obtenemos una elipse para ciertos valores de k, o un puntoo nada. La grafica del elipsoide es la que se ve en la figura adjunta.

Elipsoide

X

Y

Z

ab

c

X2

a2 + Y 2

b2+ Z2

c2= 1

Elementos caracterısticos de un elipsoide son:

Centro de simetrıa, (X = 0, Y = 0, Z = 0).

Planos y Ejes de simetrıa, los coordenados.

Vertices, puntos de corte del elipsoide con susejes de simetrıa con , es decir, los puntos

(±a, 0, 0), (0,±b, 0), (0, 0,±c).

Los semiejes a, b, c, distancias del centro a losvertices.

Cuando los tres semiejes del elipsoide son iguales, a = b = c, tenemos una esfera

X2 + Y 2 + Z2 = a2

de centro el origen de coordenadas (X = 0, Y = 0, Z = 0) y radio r = a. Cuando solo dosde los semiejes sean iguales (y el otro distinto) tendremos un elipsoide de revolucion (ver elepıgrafe 3).

• El caso degenerado y el caso imaginario.

Los otros dos casos que pueden aparecer cuando los tres coeficientes de los terminos desegundo grado son (no nulos y) del mismo signo corresponden a situaciones geometricas queno se deben llamar elipsoides propiamente dichos.

La ecuacionX2

a2+

Y 2

b2+

Z2

c2= 0 tiene como unica solucion real (X = 0, Y = 0, Z = 0).

Es decir, la cuadrica se reduce a un unico punto.

La ecuacion X2

a2 + Y 2

b2+ Z2

c2= −1 no tiene ninguna solucion real, es decir, no representa

a ninguna superficie del espacio real tridimensional. A veces se denomina elipsoideimaginario.

1.2.3.- Los hiperboloides y el cono.

Los hiperboloides y el cono se obtienen cuando, una vez completados cuadrados, nosquedan tres terminos de segundo grado con dos coeficientes del mismo signo (y el otrodistinto), es decir la ecuacion tıpica es:

X2

a2+

Y 2

b2− Z2

c2=

8><>: 1,0,−1

siendo a, b, c 6= 0.

• El hiperboloide hiperbolico (o de una hoja).Una ecuacion del tipo

X2

a2+

Y 2

b2− Z2

c2= 1

Matematicas I. 17 2010-2011

Page 18: Conicas y Cuadricas

18 Tema 1.- Conicas y Cuadricas.

corresponde a una superficie denominada hiperboloide hiperbolico o de una hoja. Notemosque al cortar esta superficie con planos Z = k, paralelos al plano OXY , se obtienen elipses,al cortar con planos X = k o Y = k, paralelos a los otros dos planos coordenados, se obtienenhiperbolas.

Elementos caracterısticos de un hiperboloidede una hoja son su centro y su eje. En el casoconsiderado,

X2

a2+

Y 2

b2− Z2

c2= 1,

el centro es el origen de coordenadas (X =

0, Y = 0, Z = 0) y el eje es OZ ≡¨

X = 0Z = 0

que es un eje de simetrıa.Hiperboloide hiperbolico

X2

a2 + Y 2

b2− Z2

c2= 1(

X2

a2 + Y 2

b2= 1

Z = 0

XY

Z

Al igual que el elipsoide, el hiperboloide de dos hojas es simetrico respecto a los planosy ejes coordenados. Si un punto (X, Y, Z) verifica la ecuacion, los puntos

(±X,±Y,±Z)

tambien verifican dicha ecuacion. Los cortes con los planos coordenados son

con Z = 0, la elipse (llamada elipse de garganta)X2

a2+

Y 2

b2= 1.

con Y = 0, la hiperbolaX2

a2− Z2

c2= 1.

con X = 0, la hiperbolaY 2

b2− Z2

c2= 1.

El hiperboloide de una hoja tiene una particularidad que resulta sorprendente (desde unpunto de vista intuitivo), esta particularidad es el ser una superficie reglada. Se dice queuna superficie es reglada si por cada uno de sus puntos pasa una recta totalmente contenidaen la superficie (es decir, puede considerarse formada por rectas). Por cada punto de unhiperboloide de una hoja pasan dos rectas totalmente contenidas en la superficie.

Se puede comprobar que si tenemos un punto, A = (x0, y0, z0), del hiperboloide de unahoja de ecuacion x2+y2 = 1+z2, las rectas que pasan por A y tienen como vectores direccionrespectivos

u =

264 x0z0 + y0

y0z0 − x0

1 + z20

375 y v =

264 x0z0 − y0

y0z0 + x0

1 + z20

375estan totalmente contenidas en el hiperboloide de una hoja. Para un hiperboloide de unahoja de ecuacion

X2

a2+

Y 2

b2− Z2

c2= 1

Matematicas I. 18Ingenierıas: Aeroespacial, Civil y Quımica

Page 19: Conicas y Cuadricas

1.2.-Las cuadricas. 19

basta hacer el cambio de variables

x =X

a, y =

Y

b, z =

Z

c

para obtener las rectas contenidas en el hiperboloide y que pasan por uno de sus puntos.

• El hiperboloide elıptico (o de dos hojas).

Una ecuacion del tipoX2

a2+

Y 2

b2− Z2

c2= −1 corresponde a una superficie denominada

hiperboloide elıptico o de dos hojas. Notemos que al cortar esta superficie con planos

Z = k, paralelos al plano OXY , se obtienen elipses (o un punto o nada)

X2

a2+

Y 2

b2=

k2

c2− 1.

X = k, paralelos al plano OY Z, se obtienen hiperbolas

Y 2

b2− Z2

c2= −1 − k2

a2.

Y = k, paralelos al plano OXZ, se obtienen hiperbolas

X2

a2− Z2

c2= −1 − k2

b2.

Elementos caracterısticos de un hiperboloide de unahoja son su centro y su eje. En el caso considerado,

X2

a2+

Y 2

b2− Z2

c2= −1.

el centro es el origen de coordenadas

(X = 0, Y = 0, Z = 0)

y el eje es el eje OZ ≡¨

X = 0Y = 0

.

Obviamente, teniendo en cuenta la ecuacion consider-ada, el hiperboloide de dos hojas es simetrico respectoa los planos y ejes coordenados.

X2

a2 + Y 2

b2− Z2

c2= −1

Hiperboloide elıptico

X

Y

Z

• El cono.

Una ecuacion del tipoX2

a2+

Y 2

b2− Z2

c2= 0 corresponde a una superficie denominada cono.

Se puede considerar como un caso lımite de los dos tipos de hiperboloides que acabamos dever. Sin mas que despejar, podemos escribir la ecuacion anterior de la forma

Z2 =X2

A2+

Y 2

B2, A, B 6= 0.

Notemos que al cortar esta superficie con planos Z = k paralelos al plano OXY se obtienenelipses (salvo en el caso k = 0 que obtenemos un unico punto) y al cortar con planos paralelos

Matematicas I. 19 2010-2011

Page 20: Conicas y Cuadricas

20 Tema 1.- Conicas y Cuadricas.

a los otros dos planos coordenados se obtienen hiperbolas. Ademas, al cortar con planos quepasan por el origen de coordenadas pueden obtenerse: una pareja de rectas que se cortan,una recta doble o un unico punto. Elementos caracterısticos de un cono son su vertice,en los casos considerados es el origen de coordenadas (0, 0, 0), y su eje, que en los casosconsiderados es el eje OZ ≡ X = 0 = Y . ¿Cuales son el eje y el vertice del cono de ecuacion(x − 3)2 = 2 (y + 1)2 + z2?

O

X

Y

Z

Cono

Z2 = X2

A2 + Y 2

B2

Notemos que un cono es una superficie quepuede ser descrita facilmente mediante rectas.Si tenemos una elipse en el espacio y un puntoV que no esta en el plano de la elipse, la su-perficie formada por (todos los puntos de) lasrectas que pasan por V y por un punto de laelipse es un cono con vertice V .

1.2.4.- Los paraboloides.

Los paraboloides se obtienen cuando en la ecuacion reducida aparecen dos terminos desegundo grado y un termino de primer grado. Es decir, dos de las variables aparecen elevadasal cuadrado y la otra aparece con exponente uno. Para fijar ideas, supongamos que la variableen la que no aparece ningun termino de segundo grado es Z. En este caso, la ecuacion sepodra expresar de una de las dos formas siguientes:

Z = ±�

X2

a2+

Y 2

b2

�o Z = ±

�X2

a2− Y 2

b2

�con a, b 6= 0.

• El paraboloide elıptico.

Una ecuacion del tipo

Z = ±�

X2

a2+

Y 2

b2

�, a, b 6= 0

corresponde a una superficie denominada paraboloide elıptico. Notemos que al cortar conplanos paralelos a los planos coordenados, por ejemplo la superficie correspondiente al signo+ en el segundo miembro, obtenemos:

con X = k, las parabolas dadas por Z − k2

a2 = Y 2

b2(en el plano X = k).

con Y = k, las parabolas dadas por Z − k2

b2= X2

a2 (en el plano Y = k).

con Z = k, las elipses (o un punto o nada) dadas por X2

a2 + Y 2

b2= k (en el plano Z = k).

Matematicas I. 20Ingenierıas: Aeroespacial, Civil y Quımica

Page 21: Conicas y Cuadricas

1.2.-Las cuadricas. 21

Elementos caraterısticos de un paraboloide elıpticoson su vertice y su eje de simetrıa, en el caso consi-derado,

Z =X2

a2+

Y 2

b2,

el vertice es el origen de coordenadas

(X = 0, Y = 0, Z = 0)

y el eje es el eje OZ ≡¨

x = 0y = 0

. Por otra parte, la

superficie es simetrica respecto a dos de los planoscoordenados, OY Z ≡ X = 0 y OXZ ≡ Y = 0.

O

X

Y

Z

Paraboloide elıptico

Z =X2

a2+

Y 2

b2

OX

Y

Z Paraboloide elıptico

Z = −�

X2

a2 + Y 2

b2

� Si hubieramos considerado la ecuacion

Z = −�

X2

a2+

Y 2

b2

�tendrıamos una superficie de la mismaforma pero abierta hacia los valores nega-tivos de Z.

• El paraboloide hiperbolico.

Una ecuacion del tipo

Z = −X2

a2+

Y 2

b2, a, b 6= 0

corresponde a una superficie, denominada paraboloide hiperbolico, que se asemeja a unasilla de montar y a veces recibe ese nombre.

Al cortar con planos paralelos a los planos coordenados obtenemos:

con X = k, las parabolas dadas por Z +k2

a2=

Y 2

b2(en el plano X = k).

con Y = k, las parabolas dadas porX2

b2= −

�Z +

k2

b2

�(en el plano Y = k).

con Z = k, para k 6= 0 las hiperbolas dadas por −X2

a2+

Y 2

b2= k (en el plano Z = k)

y para k = 0 las asıntotas comunes de (la proyeccion sobre el plano Z = 0 de) todaslas hiperbolas anteriores.

Matematicas I. 21 2010-2011

Page 22: Conicas y Cuadricas

22 Tema 1.- Conicas y Cuadricas.

Z = −X2

a2+

Y 2

b2

O

X

Y

Z

Paraboloide hiperbolico

El paraboloide hiperbolico considerado es simetricorespecto a dos de los planos coordenados, respec-to al plano OXZ ≡ Y = 0 y respecto al planoOY Z ≡ X = 0. Por tanto, es simetrico respectoal eje coordenado interseccion de los planos anteri-

ores, el eje OZ ≡¨

X = 0Y = 0

puesto que si un pun-

to de coordenadas (X, Y, Z) verifica la ecuacion,el punto de coordenadas (−X,−Y, Z) tambien laverfica.

Notemos ademas que el paraboloide hiperbolico tambien es una superficie reglada. Dehecho, por cada uno de sus puntos pasan dos rectas totalmente contenidas en el. Se puedecomprobar que si tenemos un punto A = (x0, y0, z0) del paraboloide hiperbolico de ecuacion

z = −x2

a2+

y2

b2

las rectas que pasan por dicho punto y tienen como vectores direccion respectivos

u = (a2b, ab2, 2(ay0 − bx0)) y v = (−a2b, ab2, 2(ay0 + bx0))

estan totalmente contenidas en el paraboloide hiperbolico.

1.2.5.- Los cilindros y las cuadricas degeneradas.

Las cuadricas de tipo cilındrico corresponden a los casos restantes, es decir, cuando enla ecuacion reducida en los que en la ecuacion reducida no aparece alguna de las variables.Las posibles ecuaciones tıpicas son:

Tipo elıptico: dos cuadrados del mismo signo y la otra variable no aparece,

X2

a2+

Y 2

b2=

8><>: 10−1

• Cilindro elıptico: X2

a2 + Y 2

b2= 1.

• Recta (doble): X2

a2 + Y 2

b2= 0 ≡ X = Y = 0.

• Cilindro elıptico imaginario (Nada): X2

a2 + Y 2

b2= −1. No hay ningun punto de R

3

cuyas coordenadas verifiquen la ecuacion anterior.

Tipo hiperbolico: dos cuadrados de distinto signo y la otra variable no aparece,

X2

a2− Y 2

b2=

¨ ±10

• Cilindro hiperbolico: X2

a2 − Y 2

b2= ±1.

Matematicas I. 22Ingenierıas: Aeroespacial, Civil y Quımica

Page 23: Conicas y Cuadricas

1.2.-Las cuadricas. 23

• Par de planos secantes: X2

a2 − Y 2

b2= 0 ≡ X

a− Y

b= 0, o X

a+ Y

b= 0.

Tipo parabolico: Un unico cuadrado

Y 2 = aX + bZ + c

• Cilindro parabolico: a o b distintos de cero. Por ejemplo Y 2 = 2pZ, p 6= 0.

• Par de planos paralelos: Y 2 = c > 0 ≡ Y = ±√c.

• Plano doble: Y 2 = 0.

• Nada: Y 2 = c < 0.

X

Y

Z

X2

a2+

Y 2

b2= 1

Cilindro Elıptico

X

Y

Z

Y 2 = 2pZ

Cilindro parabolico

X

Y

Z

X2

a2− Y 2

b2= −1

Cilindro hiperbolico

De forma generica, todos los casos en los que la ecuacion de segundo grado representaplanos (secantes, paralelos o coincidendes), rectas, puntos o nada se suelen denominar casosdegenerados.

Obviamente, todos los cilindros (y los casos degenerados en los que hay superficie) sonsuperficies regladas.

Nota.

Paginas web sobre conicas, cuadricas y otras curvas y superficies:

http://www.cnice.mec.es/mem2000/superficies

http://www.math.com/tables/algebra/conics.htm

http://www.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2000/conicas/portada

http://www.cnice.mec.es/programa/mates.htm

http://platea.pntic.mec.es/~jescuder/

http://www.monografias.com/Matematicas/

En alguna de ellas, como por ejemplo http://www.cnice.mec.es/mem2000/superficies

pueden verse en movimiento las cuadricas y otras superficies (poliedros, superficies de revo-lucion,...) y pueden modificarse los parametros en el “applet” asociado (subprograma quegenera la superficie) para comprobar como afectan a la representacion grafica los cambios enlos coeficientes de las variables.

Matematicas I. 23 2010-2011

Page 24: Conicas y Cuadricas

24 Tema 1.- Conicas y Cuadricas.

A modo de resumen en lo que a cuadricas se refiere:

Completando cuadrados, con cambios de variables de la forma8><>: X = x − α,Y = y − β,Z = z − γ,

podemos reducir una ecuacion de segundo grado en tres variables, (x, y, z), en la queno aparezcan productos cruzados (xy, xz, yz), a una ecuacion de los tipos consideradosal inicio, es decir a una ecuacion en la que a lo sumo hay un sumando en cada una delas variables (X, Y, Z).

Las cuadricas regladas son:

• el cono,• el hiperboloide de una hoja,• el paraboloide hiperbolico y• los cilindros

ademas de los pares de planos y la recta (doble).

Una ecuacion de segundo grado en tres variables puede representar:

Pares de planos,...Nada Punto Recta doble Par de planos

x2 + 1 = 0 x2 + y2 + z2 = 0 x2 + y2 = 0Secantes, (x − 3)(y − 2) = 0.Paralelos, (x − 3)(x − 4) = 0.Coincidentes, (x − 3)2 = 0.

Cilindros

X

Y

Z

x2

a2+

y2

b2= 1

Cilindro elıptico X

Y

Z

y2 = 2p z

Cilindro parabolico

X

Y

Z

y2

a2− x2

b2= 1

Cilindro hiperbolico

Matematicas I. 24Ingenierıas: Aeroespacial, Civil y Quımica

Page 25: Conicas y Cuadricas

1.2.-Las cuadricas. 25

ab

c

XY

Z x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1. Elipsoide

Secciones con planos paralelos a los coordenados: Elipses.Simetrıa respecto a los planos y ejes coordenados.Centro (de simetrıa): Origen de coordenadas.Es de revolucion si dos de los coeficientes a, b y c son iguales.Es una esfera si a = b = c.

XY

Zx2

a2+

y2

b2− z2

c2= 1

Hiperboloide hiperbolico(o de una hoja)

Eje del hiperboloide: variable con coeficiente negativo.Secciones con planos paralelos al plano XY : elipsesSecciones con planos paralelos al plano XZ o Y Z: hiperbolasSimetrıa respecto a los ejes y los planos coordenados.Centro: Origen de coordenadas.Es de revolucion si a = b.

X

Y

Zx2

a2− y2

b2− z2

c2= 1

Hiperboloide elıptico(o de dos hojas)

Eje del hiperboloide: variable con coeficiente positivo.No hay corte con el plano coordenado perpendicular al eje.Secciones con planos paralelos al plano XY o XZ: hiperbolas.Secciones con planos paralelos al Y Z: elipses (o un punto o nada).Simetrıa respecto a los ejes y los planos coordenados.Centro: Origen de coordenadas.

X

Y

Zz2 =

x2

a2+

y2

b2Cono

Eje del cono: OZ. Vertice: O.Secciones con planos paralelos al plano XY : elipses (o un punto).Secciones con planos paralelos al plano XZ o Y Z: hiperbolas.Simetrıa: respecto a los planos y ejes coordenados.Centro (de simetrıa): Origen de coordenadas.Es de revolucion si a = b.

OX

Y

Zz =

x2

a2+

y2

b2Paraboloide elıptico

Eje del paraboloide: OZ variable que aparece con grado uno.Vertice: Origen de coordenadas.Secciones con planos paralelos al XY : elipses (o un punto o nada).Secciones con planos paralelos al plano XZ o Y Z: parabolas.Simetrıa respecto a los planos XZ e Y Z y al eje OZ.

X

Y

Zz = −x2

a2+

y2

b2Paraboloide hiperbolico

Eje de simetrıa: OZ.Simetrıa respecto a los planos XZ e Y Z.Secciones con planos paralelos al XY : hiperbolas (o dos rectas).Secciones con planos paralelos al plano XZ o Y Z: parabolas.

Matematicas I. 25 2010-2011

Page 26: Conicas y Cuadricas

26 Tema 1.- Conicas y Cuadricas.

1.3.- Ejercicios.

Ejercicio 1.

(1) Calcula la ecuacion de la parabola de eje horizontal que tiene por foco F = (−2, 3) ypasa por el punto (−1, 3).

(2) Calcula la ecuacion de la elipse que pasa por el punto P = (4, 15

4) y tiene por focos los

puntos F1 = (4, 2) y F2 = (−2, 2). Determina sus elementos notables y dibujala.

(3) Calcula la ecuacion de la hiperbola que tiene por vertices los puntos (1, 2) y (1, 6) ypasa por el punto (3, 8).

Ejercicio 2. Indica la respuesta correcta:

(1) La ecuacion y2 − 6x − 4y − 20 = 0 corresponde a:

Una parabola cuyo vertice es V = (−4, 2).

Una parabola cuyo eje es la recta de ecuacion y = −4.

Dos rectas que se cortan en un punto.

(2) La ecuacion 5x2 + y2 = 1 corresponde a:

Una elipse con focos en el eje de abscisas.

Una elipse con focos en el eje de ordenadas.

Una hiperbola.

(3) La cuadrica x2 − y2 + z2 + 4y + 6z + 13 = 0 verifica:

Tiene por centro C = (0, 2,−3).

Contiene a la recta x − 1 = y − 2, z = 4.

No tiene centro.

Ejercicio 3. Completa cuadrados en las siguientes ecuaciones y determina: el tipo de conicaque es, sus elementos notables y su representacion grafica:

(1) 3x2 + 3y2 + x + 5y + 1 = 0.

(2) 3x2 − 3y2 + x + 5y + 1 = 0.

(3) 3y2 + x + 5y + 1 = 0.

Ejercicio 4. Determina, segun los valores de α ∈ R, el tipo de conica que corresponde acada una de las ecuaciones siguientes:

(1) 2x2 + (α2 − 1)y2 − 2x + (α − 1)y − 3 = 0.

(2) x2 + αy2 + x + 2y + α − 1 = 0.

(3) αx2 + (α2 − α)y2 − 2x − 4y + 2 = 0.

Matematicas I. 26Ingenierıas: Aeroespacial, Civil y Quımica

Page 27: Conicas y Cuadricas

1.3.- Ejercicios. 27

Ejercicio 5. Determina, si existen, los valores de α ∈ R para los que la siguiente ecuacioncorresponde a una circunferencia o a una hiperbola equilatera

2x2 + αy2 − 6x + 3y + α = 0.

Ejercicio 6. Sea L una recta del plano y F un punto que no esta en la recta. Tomando comoeje OY la recta L y como eje OX la recta perpendicular a L que pasa por F , determina laecuacion del lugar geometrico de los puntos P para los que el cociente entre su distancia aF y su distancia a L es constante e > 0,

d (P, F )

d (P, L)= e.

Comprueba que:

(a) Si e = 1 dicho lugar geometrico es una parabola.

(b) Si 0 < e < 1 dicho lugar geometrico es una elipse.

(c) Si e > 1 dicho lugar geometrico es una hiperbola.

En cualquiera de los casos se trata de una conica y se dice que e es su excentricidad y queL y F son su directriz y su foco respectivamente. En el caso de la parabola, la directriz yel foco son unicos. Para la elipse y la hiperbola hay dos parejas foco-directriz.Observacion. Notemos que con la definicion anterior nunca se obtiene una circunferencia, aunque

esta pueda obtenerse como un caso lımite. Siendo p = d(F,L) la distancia del foco a la directriz,

tomando q = pe constante, cuando e → 0+ (y p = qe→ +∞) las elipses correpondientes tienden a

la circunferencia con centro el foco y radio q.

Ejercicio 7. Determinar en coordenadas cartesianas (x, y) la ecuacion de la conica que encoordenadas polares (r, θ) viene dada por

r =p

1 + e cos(θ).

Determina, en funcion de e, el tipo de conica que se obtiene y sus elementos notables.

Ejercicio 8. Completa cuadrados en las siguientes ecuaciones y determina: el tipo de cuadri-ca que es, sus elementos notables y su representacion grafica:

(1) x2 + 3y2 + z2 + 2x + 5y − 2z + 1 = 0.

(2) 3x2 + y2 − z2 + x + 2y + 2z + 1 = 0.

(3) x2 + y2 + x + 4y + 3z − 1 = 0.

(4) x2 + y2 + x + 4y − z2 − 1 = 0.

(5) x2 + y2 + x + 4y − 1 = 0.

Matematicas I. 27 2010-2011

Page 28: Conicas y Cuadricas

28 Tema 1.- Conicas y Cuadricas.

(6) x2 − y2 + x + 4y − 1 = 0.

(7) x2 + x + 4y + 3z − 1 = 0.

(8) x2 − y2 + x + 4y + z − 1 = 0.

Ejercicio 9. Determinar la ecuacion de las cuadricas siguientes:

(1) y

x

z

(1, 1, 0) (2, 3, 0)

(1, 3, 0)

(1, 3, 2)

(2) y

x

z

(1, 1, 0) (2, 3, 0)

(1, 3, 0)

(1, 3, 2)

Ejercicio 10. Determina, segun los valores de α ∈ R, el tipo de cuadrica que correspondea cada una de las ecuaciones siguientes:

(1) 2x2 + (α2 − 1)y2 + z2 + 2x + 5y − 2z + 1 = 0.

(2) x2 + αy2 + x + 2y + (α − 1)z + 1 = 0.

(3) αx2 + (α2 − α)y2 + α3z2 + x + 4y − 1 = 0.

Ejercicio 11. Considera la elipse de ecuacion x2 + 4y2 = 4 en el plano OXY . Determinalas ecuaciones de la parabola del plano OXZ que tiene como vertice el punto (0, 0, 8) y pasapor los vertices del semieje mayor de la elipse dada.

Ejercicio 12. Esboza y parametriza la curva determinada por la interseccion de las siguientessuperficies :

(1) El plano y − z + 2 = 0 con el cilindro x2 + y2 = 1.

(2) El hemisferio esferico x2 + y2 + z2 = 4, z ≥ 0, con el cilindro x2 + (y − 1)2 = 1.

(3) El cono x2 + y2 = z2 con el plano 3z = y + 4.

(4) Los paraboloides z = 2x2 + 2y2 y z = 5 − 3x2 − 3y2.

Matematicas I. 28Ingenierıas: Aeroespacial, Civil y Quımica

Page 29: Conicas y Cuadricas

1.4.- Apendice: MATLAB. 29

1.4.- Apendice: MATLAB.

Aunque las posibilidades de las que dispone MATLAB para representar curvas y super-ficies superan, con mucho, las posibilidades de lo que podemos considerar ahora, no soloen cuanto a la extension, sino tambien en cuanto a las herramientas tecnicas de las quedisponemos, a continuacion describimos algunas de las funciones de MATLAB relacionadascon el contenido del Tema 1. En terminos generales, en lo que se refiere a representacionde curvas y superficies, hay esencialmente dos opciones/posibilidades que pueden referirse adistintos tipos de coordenadas (cartesianas, polares,...):

(i) Comandos/Funciones que parten de datos numericos y a partir de ellos construyen lospuntos de la curva o superficie

(ii) Comandos/Funciones que parten de expresiones simbolicas. Estos comandos/funcionescomienzan con ez...

Un poco de sintaxis: siendo MATLAB un entorno que trabaja, esenciamente, con matri-ces, las operaciones se refieren, habitualmente, a operaciones matriciales. Por ejemplo:

x*y

denota la matriz producto de las matrices x e y (cuando sus dimensiones lo permiten),

x^3

denota la potencia 3 de la matriz (cuadrada) x.

Si tenemos que hacer operaciones sobre las entradas de una o varias matrices, cosa habi-tual a la hora de generar datos, necesitamos anteponer un punto (.) a la operacion corres-pondiente. Por ejemplo:

x.*y

denota la matriz que se obtiene multiplicando cada elemento de la matriz x con elcorrespondiente elemento de y (para lo cual es necesario que las matrices x e y tenganlas mismas dimensiones),

x.^3

denota la matriz que se obtiene elevando a 3 cada uno de los elementos de matriz(cuadrada o no) x.

Para las operaciones que estan definidas elemento a elemento (suma, producto por unnumero, ...) no es necesario anteponer el punto y, de hecho, si se hace da un mensaje deerror.

Por otra parte, para indicar a MATLAB que una expresion es simbolica, y no se refiere aexpresiones numericas previamente consideradas, se utilizan comillas simples. Por ejemplo,para indicar 3x2 − 2 cos(y) + xy se hace mediante ’3*x2-2*cos(x)+x*y’ y para almacenaresta expresion como una funcion f se utiliza inline

f=inline(’3*x^2-2*cos(x)+x*y’).

Matematicas I. 29 2010-2011

Page 30: Conicas y Cuadricas

30 Tema 1.- Conicas y Cuadricas.

Pasamos a describir como obtener, usando MATLAB, la representacion grafica de curvas(en el plano y en el espacio) y superficies.

Curvas Planas.

(a) PLOT. La sintaxis basica es plot(x,y) siendo x e y vectores reales con la mismalongitud. Mediante dicha orden se representa la curva que se obtiene al unir lospuntos que tienen como coordenadas las correspondientes componentes de losvectores x e y. Comprueba el resultado que se obtiene mediante las siguientesordenes:

>> x = [0:0.1:2];

>> y = x.^2;

>> plot(x,y)

>> plot(x,y,’or’)

y consulta la ayuda sobre dicha orden plot para ver las distintas opciones sobre:tipo de lınea, color, ejes, marcas en los ejes, tıtulos, datos complejos, distintascurvas en la misma grafica,....

Por otra parte, para dibujar usando plot una curva descrita mediante expre-siones simbolicas en un cierto intervalo, basta con generar los datos numericoscorrespondientes. Por ejemplo,

para dibujar el arco de la elipse¨x = 2 cos(t),y = sen(t),

que esta en el segundo cuadrante basta con obtener una particion del intervalo[π2, π] de variacion de t que permite recorrer el arco considerado, por ejemplo

>> t=[pi/2: 0.01 :pi];

generar a continuacion los datos numericos de las coordenadas de los puntoscorrespondientes de la curva,

>> x=2*cos(t);

>> y=sin(t);

y dibujar los puntos correspondientes con las opciones deseadas en cuanto aejes, tipo de linea para unir los puntos considerados, etc. Por ejemplo,

>> plot(x,y,’b’), axis equal

Notemos que en lo que se refiere a la particion del intervalo de variacion de t,si consideramos muy pocos valores de t, tendremos pocos puntos de la curvacorrespondiente y la grafica que se obtiene al unir los puntos se parecera pocoa la que pretendemos obtener.

(b) EZPLOT. La funcion ezplot permite reprsentar graficamente curvas planas quepueden venir definidas a traves de expresiones simbolicas:

en forma explıcita mediante una expresion y = f(x). Por ejemplo la orden

>> ezplot(’sqrt(1-x^2)’,[-0.5,1])

dibuja la grafica de y =√

1 − x2 cuando la variable independiente x recorreel intervalo [−0.5, 1]. Es decir, dibuja un arco de la circunferencia x2 + y2 = 1de centro el origen de coordenadas y radio 1.

Matematicas I. 30Ingenierıas: Aeroespacial, Civil y Quımica

Page 31: Conicas y Cuadricas

1.4.- Apendice: MATLAB. 31

en forma implıcita mediante una ecuacion f(x, y) = 0. Por ejemplo la orden

>> ezplot(’x^2+y^2-1’,[-0.5,1,-2,1])

dibuja la grafica dada por la ecuacion x2 + y2 − 1 = 0 en el rectangulo

{(x, y) : −0.5 ≤ x ≤ 1,−2 ≤ y ≤ 1} .

en forma parametrica mediante expresiones¨x = x(t),y = y(t),

a ≤ t ≤ b.

La orden ezplot(x(t),y(t),[a,b]) dibuja la curva dada por las expresionesconsideradas cuando el parametro t recorre el intervalo [a, b]. Por ejemplo, laorden

>> ezplot(’cos(t)’,’sin(t)’,[-pi/3,pi])

dibuja el arco que se obtiene de la circunferencia unidad, sobre la cual estanlos puntos (cos(t), sen(t)), cuando el angulo t recorre el intervalo dado.

(c) Consular la ayuda sobre las ordenes polar, ezpolar referidas a la representacionde curvas planas dadas en forma polar y sobre fplot referida a la representaciongrafica de una funcion explıcita y = f(x).

Curvas en el espacio.

(a) PLOT3 Es, para el espacio real tridimensional, la orden analoga a la orden plot.La sintaxis basica es plot3(x,y,z) siendo x, y, z vectores de la misma longitud.Consulta la ayuda sobre plot3 para ver las distintas opciones y comprueba elresultado que se obtiene mediante las ordenes:

>> x = [0:0.1:1];

>> y = [-1 3 7 2 4 0 -2 3.5 2 -3 6];

>> z = x-2*y.^2;

>> plot3(x,y,z)

>> plot3(x,y,z,’r*’)

>> plot3(x,y,z,’bo-.’)

>> plot3(x,y,z,’kd:’)

>> plot3(x,y,z,’cs’)

Por otra parte, para dibujar, usando plot3, una curva descrita mediante expre-siones simbolicas en un cierto intervalo, basta con generar los datos numericoscorrespondientes. Por ejemplo:

para dibujar la helice conica dada por las ecuaciones8><>: x = t sen(t)y = t cos(t)z = t

cuando t recorre el intervalo [0, 4π] basta con obtener una particion del inter-valo de variacion de t, por ejemplo

Matematicas I. 31 2010-2011

Page 32: Conicas y Cuadricas

32 Tema 1.- Conicas y Cuadricas.

>> t=[0:4*pi/100:4*pi];

generar los datos numericos de las coordenadas de los puntos de la curva,

>> x=t.*sin(t);

>> y=t.*cos(t);

>> z=t;

y dibujar los puntos correspondientes con las opciones deseadas en cuanto aejes, tipo de linea, color, ..., por ejemplo

>> plot3(x,y,z,’ro:’), title(’espiral conica’)

para dibujar (el arco de) la parabola que se obtiene al cortar el paraboloidez = x2 + y2 con el plano x + y = 0 cuando x recorre el intervalo [−1, 3] bastacon ejecutar las siguientes ordenes:

>> x=[-1:0.1:3];

>> y=1-x;

>> z=x.^2+y.^2;

>> plot3(x,y,z), axis equal

(b) EZPLOT3. Es, para el espacio real tridimensional, la orden analoga a la ordenezplot. La sintaxis basica es ezplot3(x,y,z) siendo x, y, z expresiones simboli-cas. Consulta la ayuda sobre ezplot3 para ver las distintas opciones y compruebael resultado que se obtiene mediante las ordenes:

>> ezplot3(’cos(t)’,’sin(t)’,’t’,[1,8*pi])

>> ezplot3(’t*cos(t)’,’t*sin(t)’,’t’,[1,6*pi])

Superficies. Al igual que para la representacion de curvas, la representacion de superficiespuede abordarse desde dos puntos de vista:

(a) desde el punto de vista de la representacion a partir de datos numericos, MATLABdispone de las siguientes ordenes:

SURFACE, MESH, SURF, MESHC, SURFC, MESHZ, WATERFALL,

que tienen todas una sintaxis basica similar a partir de tres matrices numericasX, Y, Z con las mismas dimensiones. Ejecutar las siguientes ordenes y comprobarlos resultados:

>> x=rand(7,4);

>> y=randn(7,4);

>> z=2*randn(7,4);

>> figure(1), surface(x,y,z)

>> figure(2), mesh(x,y,z)

>> figure(3), surf(x,y,z)

>> figure(4), meshc(x,y,z)

>> figure(5), surfc(x,y,z)

>> figure(6), meshz(x,y,z)

>> figure(7), waterfall(x,y,z)

Matematicas I. 32Ingenierıas: Aeroespacial, Civil y Quımica

Page 33: Conicas y Cuadricas

1.4.- Apendice: MATLAB. 33

No obstante, cuando se trata de representar una superficie dada, por ejemplo,mediante unas ecuciones parametricas8><>: x = f(s, t)

y = g(s, t)z = h(s, t)

,

cuando los parametros (s, t) recorren un determinado rectangulo [a, b] × [c, d],podemos usar las ordenes anteriores, con todas las opciones que cada una de ellasacepta, generando los datos de la siguiente forma:

(1) particion de cada uno de los intervalos de variacion de los parametros s y t.Dividimos el intervalo [a, b] en (n + 1) subintervalos de longitud (b − a)/n yel intervalo [c, d] en (m + 1) subintervalos de longitud (d − c)/m mediante

>> s=[a : a+(b-a)/n : b]; t=[c : (d-c)/m : d];

(2) generacion de (las matrices asociadas al) mallado que permite obtener lascoordenadas de los puntos de la superficie,

>> [S,T]=meshgrid(s,t)

(3) calculo de las matrices X, Y, Z asociadas a las coordenadas de los puntos dela superficie que queremos representar,

>> X=f(S,T);

>> Y=g(S,T);

>> Z=h(S,T);

(4) dibujo de la superficie con alguna de las funciones apropiadas y opcionesposibles,

>> mesh(X,Y,Z), axis square

>> surfc(X,Y,Z),

>> ...

Consideremos, por ejemplo:

El (trozo de) cono de ecuacion z2 = x2 + 2y2 que se obtiene mediante laparametrizacion 8><>: x = s cos(t)

y = 1

2s sen(t)

z = s

cuando s recorre el intervalo [−1, 2] y t recorre el intervalo [0, π].

>> s=[-1:0.1:2]; t=[0:0.1:pi];

>> [S,T]=meshgrid(s,t);

>> X= S.* cos(T);

>> Y=0.5*S.*sin(T);

>> Z= S;

>> mesh(X,Y,Z), axis square

>> surfc(X,Y,Z),

>> ...

Comprueba los resultados que se obtienen cuando se consideran distintosintervalos de recorrido de los parametros s y t o particiones distintas de losintervalos correspondientes.

Matematicas I. 33 2010-2011

Page 34: Conicas y Cuadricas

34 Tema 1.- Conicas y Cuadricas.

El trozo de cono dado por la ecuacion explıcita z =√

x2 + 2y2 cuando (x, y)recorre el rectangulo [−1, 2]×[−1, 1]. En este caso, tenemos la parametrizacionasociada 8><>: x = x

y = yz = f(x, y) =

√x2 + 2y2

,

y podemos obtener la representacion grafica mediante:

>> x=[-1:0.1:2]; y=[-1:0.1:1];

>> [X,Y]=meshgrid(x,y);

>> Z= sqrt(X.^2+2*Y.^2);

>> mesh(X,Y,Z), axis square

>> surfc(X,Y,Z),

>> ...

(b) Desde el punto de vista de expresiones simbolicas MATLAB cuenta con los co-mandos/funciones:

EZMESH, EZMESHC, EZSURF, EZSURFC.

Para representar la grafica de una funcion explıcita z = f(x, y) de dos variablesindependientes, por ejemplo z = x2 − y2, basta con ejecutar

>> ezmesh(’x^2-y^2’)

con las opciones que se deseen en cuanto a dominio de las variables. Para obteneruna grafica dada por unas ecuaciones parametricas, por ejemplo8><>: x = es cos(t)

y = es sen(t)z = s − log(t2 + 1)

basta con ejecutar

>> ezmesh(’exp(s)*cos(t)’,’exp(s)*sin(t)’,’s-log(1+t^2)’)

o bien

>> x=inline(’exp(s)*cos(t)’)

>> y=inline(’exp(s)*sin(t)’)

>> z=inline(’s-log(1+t^2)’)

>> ezmesh(x,y,z)

(c) Consultar la ayuda sobre los comandos

CONTOUR, CONTOUR3, CONTOURC, CONTOURF, EZCONTOUR, EZCONTOURF

referidos a la representacion de una superficie a traves de sus curvas de nivel.

Superficies particulares.

Elipsoides. Dados el centro (x0, y0, z0) y los semiejes a, b, c de un elipsoide,

(x − x0)2

a2+

(y − y0)2

b2+

(z − z0)2

c2= 1,

la funcion ELLIPSOID permite

Matematicas I. 34Ingenierıas: Aeroespacial, Civil y Quımica

Page 35: Conicas y Cuadricas

1.4.- Apendice: MATLAB. 35

• representar graficamente el elipsoide indicado mediante la orden

ellipsoid(x0,y0,z0,a,b,c,N)

mediante la cual se genera la figura pero sin argumentos de salida y

• generar los datos,

[X,Y,Z]=ellipsoid(x0,y0,z0,a,b,c,N)

que permiten representar el elipsoide mediante diferente posibilidades de rep-resentacion de superficies como

surf(X,Y,Z), mesh(X,Y,Z), ...

con las cuales se pueden utilizar las distintas opciones relativas a ejes, colore-ado,...

Ejecutar las siguientes ordenes y comprobar los resultados

>> ellipsoid(-1,2,1,1,2,3), axis equal

>> [X,Y,Z]=ellipsoid(-1,2,1,1,2,3); mesh(X,Y,Z), axis equal

>> ellipsoid(-1,2,1,1,2,3,50), axis equal

>> [X,Y,Z]=ellipsoid(-1,2,1,1,2,3,50); mesh(X,Y,Z), axis equal

Esferas. MATLAB dispone del comando SPHERE para generar la esfera unidad(centro en el origen de coordenadas y radio 1) con un numero prefijado de caras.Consultar la ayuda y ejecutar las siguientes ordenes

>> sphere(6)

>> [X,Y,Z]=sphere(6); mesh(X,Y,Z)

>> sphere(36)

>> [X,Y,Z]=sphere(36); meshc(X,Y,Z)

Superficies de revolucion. MATLAB dispone de la funcion CYLINDER que permitegenerar (dibujar directamente y obtener los datos para poder dibujar posterior-mente con distintos comandos opciones) superficies de revolucion alrededor del ejeOZ en la franja 0 ≤ z ≤ 1. Consultar la ayuda sobre dicha funcion y comprobarel resultado que se obtiene mediante las siguientes ordenes

>> cylinder([0 1 0 2])

>> [X,Y,Z]=cylinder([0 1 0 2]), mesh(X,Y,Z)

Sin embargo, no es esta la forma mas versatil de generar una superficie de revolu-cion, sino que podemos utilizar las ecuaciones parametricas que hemos obtenidocuando hemos considerado las superficies de revolucion. Si, por ejemplo, tenemosuna curva en el plano OY Z que viene dada por los puntos (0, g(s), h(s)) cuandoel parametro real s recorre un cierto intervalo [a, b], al girar un punto de dichacurva alrededor del eje OZ obtenemos los puntos de coordenadas (x, y, z) dadaspor 8><>: x = |g(s)| cos(θ)

y = |g(s)| sin(θ)z = g(s)

, 0 ≤ θ ≤ 2π.

es decir la superficie esta formada por los puntos de la forma

(x = |g(s)| cos(θ), y = |g(s)| sin(θ), z = g(s))

Matematicas I. 35 2010-2011

Page 36: Conicas y Cuadricas

36 Tema 1.- Conicas y Cuadricas.

cuando s recorre el intervalo [a, b] y θ recorre el intervalo [0, 2π] (o cualquier otrointervalo de longitud 2π). Utilizando el proceso descrito antes:

(1) particion de cada uno de los inetrvalos de variacion de los parametros s y θ.Dividimos el intervalo [a, b] en (n + 1) subintervalos de longitud (b − a)/n yel intervalo [0, 2π] en (m + 1) subintervalos de longitud 2π/m mediante

> s=[a : a+(b-a)/n : b]; theta=[0 : 2*pi/m : 2*pi];

(2) generacion de (las matrices asociadas al) mallado que permite obtener lascoordenadas de los puntos de la superficie,

> [S,T]=meshgrid(s,theta)

(3) calculo de las (matrices asociadas a las) coordenadas de los puntos de lasuperficie

> X=abs(g(S)).*cos(T);

> Y=abs(g(S)).*cos(T);

> Z=g(S);

(4) dibujo de la superficie con alguna de las funciones apropiadas y opcionesposibles,

>> mesh(X,Y,Z), axis square

>> surfc((X,Y,Z)

Notemos que si en lugar de considerar un intervalo de amplitud 2π, hacemos queθ recorra un intervalo de amplitud menor, tendremos la representacion graficade una franja de la superficie de revolucion. Ejecutar las siguientes ordenes ycomprobar el efecto de considerar el valor absoluto en las variables X e Y :

>> s=[1:0.1:5];

>> t=[1:0.1:3*pi/2];

>> [S,T]=meshgrid(s,t);

>> X= abs(sin(S)).*cos(T);

>> Y= abs(sin(S)).*sin(T);

>> Z=S;

>> mesh(X,Y,Z), axis square

>> surfc((X,Y,Z)

y ejecutar a continuacion

>> X= sin(S).*cos(T);

>> Y= sin(S).*sin(T);

>> Z=S;

>> mesh(X,Y,Z), axis square

>> surfc(X,Y,Z)

Ejemplo.-

En el ejercicio 6 hemos considerado la definicion de una conica definida por un foco yuna directriz. Si adoptamos un sistema de coordenadas en el que el foco F es el origen decoordenadas y la directriz L es la recta de ecuacion x = −p, la ecuacion de la conica que tienefoco F = (0, 0), como directriz L ≡ x = −p y como excentricidad e > 0 es, en coordenadas

Matematicas I. 36Ingenierıas: Aeroespacial, Civil y Quımica

Page 37: Conicas y Cuadricas

1.4.- Apendice: MATLAB. 37

polares (θ, r),

r = e (p + r cos(θ)) ≡ r =q

1 − e cos(θ), siendo q = pe.

Recordemos que, aunque no se pueda obtener de la ecuacion original para ningun valor dee > 0, si tomamos e = 0, q 6= 0, la conica correspondiente es una circunferencia.

En este ejemplo vamos a definir una funcion que dibuje, en funcion de ciertos parametros(argumentos de entrada), las conicas que tienen como ecuaciones, en coordenadas polares(θ, r)

r = r(θ) =q

1 − e cos(θ)y r = r(θ) =

q

1 + e cos(θ).

Ya hemos descrito el foco y la directriz de la primera, la segunda conica tiene por foco elorigen de coordenadas y por directriz la recta x = p (q = pe). Mediante dicha funcion,teniendo como argumentos de entrada

e la excentricidad,

q es el parametro q = pe relacionado con la excentricidad y con la distancia del foco ala directriz,

n numero de subintervalos en los que se divide el intervalo [0, 2π] para obtener lasrepresentaciones graficas,

dibujaremos cada una de las dos conicas de dos formas distintas:

primero mediante la orden polar que permite representar una curva con ecuacionr = r(θ) en coordenadas polares

y a continuacion mediante la orden plot pasando a las correspondientes coordenadascartesianas ¨

x = r(θ) cos(θ)y = r(θ) sen(θ)

0 ≤ θ ≤ 2π.

Notemos que las anteriores expresiones nos dan una parametrizacion de la conica corres-pondiente, aunque dicha parametrizacion es en general distinta de la descrita en elepıgrafe 2.

Guardar el siguiente listado de instrucciones en un fichero con nombre conicafocal.m yalojado en la carpeta work.

%% Fichero conicafocal.m

function conicafocal(e,q,n)

% e es la excentricidad es la excentricidad de la conica

% q es la excentricidad por la distancia del foco a la directriz

% n denota el n\’umero de subintervalos en los que se divide

% el intervalo $[0,2\pi]$

Matematicas I. 37 2010-2011

Page 38: Conicas y Cuadricas

38 Tema 1.- Conicas y Cuadricas.

if e<1

t1=’elipse, ’;

elseif e==1

t1=’parabola, ’;

else

t1=’hiperbola, ’;

end

t2= ’ e= ’; t3= ’ , q= ’;

theta=[0:2*pi/n:2*pi];

r=q*ones(1,n+1)./(1-e*cos(theta));

subplot(2,2,1)

polar(theta,r)

title([t1 t2 num2str(e) t3 num2str(q) ’, foco (0,0)’ ’, directriz x=-q/e.’ ]);

pause

subplot(2,2,2)

plot(r.*cos(theta),r.*sin(theta)), grid, axis equal

pause

s=q*ones(1,n+1)./(1+e*cos(theta));

subplot(2,2,3)

polar(theta,s)

pause

subplot(2,2,4)

plot(s.*cos(theta),s.*sin(theta)), grid, axis equal

title([t1 t2 num2str(e) t3 num2str(q) ’, foco (0,0)’ ’, directriz x=q/e.’ ]);

A continuacion, en la linea de comandos de MATLAB, teclea, por ejemplo, las siguientesinstrucciones pulsando una tecla cada vez que se genera una grafica :

>> conicafocal(0.8,2,100)

>> conicafocal(0.1,2,100)

>> conicafocal(1,2,100)

>> conicafocal(4,2,100)

Matematicas I. 38Ingenierıas: Aeroespacial, Civil y Quımica