LUGARES GEOMÉTRICOS EN EL PLANO

CIRCUNFERENCIADefinición: Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya distancia a un punto fijo, llamado centro, es una constante denominada radio.

Ecuación: Sea C ( ; ) centro r: radio

( ; ) :x y r

r

C CP

CP 2 2

Siendo CP = ( x y ; )

C : ( ) ( )x y r 2 2 2 (1)

En particular si COC (( 0 ; 0 ) ; r ) : x y r2 2 2 ecuación canónica

Desarrollando la ecuación (1) y ordenando se obtiene:

C : x y x y r2 2 2 2 22 2 0 ( ) (2)comparemos esta ecuación con la ecuación general de segundo grado en dos variables: x x y y x y2 2 0 C D F (3)Observaciones: 1) Carece de término rectangular ( B = 0 ) 2) Los coeficientes cuadráticos son iguales y distintos de cero ( A = C 0 )

Veamos ahora si toda ecuación como la (3) que cumpla con 1) y 2) representará una circunferencia, para esto debemos factorear la ecuación: x y x y2 2 0 0 D F

x y x y2 2 0 DA

EA

FA multip. m. a m.

1

completamos trinomios cuadrados prefectos

1

x x y y2 2

4 4 4 4

DA

DA

EA

EA

DA

EA

FA

2

2

2

2

2

2

2

2

factoreamos los trinomios

x y

D2A

E2A

D E AFA

2 2

2

2 2 44

(4)

comparándola con la ecuación (1)

D

2AE

2A

C

D

2AE

2A; y r2 = D E AF

A

2 2

2

4

4La ecuación (4) representará: Una circunferencia si: D E AF2 2 4 > 0 Un solo punto (C)( cfcia. deg.) si: D E AF2 2 4 = 0 No existe l. g. ( cfcia. imag. ) si: D E AF2 2 4 < 0

PARÁBOLADefinición: Dados en el plano un punto fijo, llamado foco, y una recta fija, llamada directriz. Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan del foco y de la directriz.Sea F : foco d : directriz P d: ( ; ) ( ;dist dist F ) A la recta que contiene al foco y es perpendicular a la directriz se la llama eje focal y es el eje de simetría de la parábola. El punto de la parábolaque esta contenido en el eje focal es el vértice de la parábola: V

PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN Y DE EJE FOCAL EJE XEcuación:

P dist dist F )

F P

PP

d

xp

xp

y

: ( ; ) ( ;

:

2 2

2 22

elevando m. a m. al cuadrado

2

xp

xp

y

2 2

2 22

desarrollando

x p xp

x p xp

y22

22

24 4

P : y p x2 2 ecuación canónica

Nota: dist dist )( ; ) ( ; d siendo A

p

y2

;

Análisis de la ecuación: y p x 2

Si p < 0 Dom = R0-

Si p > 0 Dom = R0+

Im = R y p x

22 por lo tanto la curva es simétrica con respecto al eje x ( su eje focal )

p : se denomina parámetro de la parábola.Lado recto de la parábola: Es el segmento de perpendicular al eje focal trazada por el foco que tiene por extremos a dos puntos de la parábola: LL’Longitud del lado recto: depende de la forma de la parábola y no de su posición con respecto al sistema.

y p x 2 y p y pp p

L L'( ) ( )2 2LongLL' = 2 p

dist ( F ; d ) = p

PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN Y DE EJE FOCAL EJE YEs la relación inversa de la anteriorEcuación:

x p y2 2 Dom = R Si p < 0 : Im = R0-

Si p > 0 : Im = R0+

TRASLACIÓN DE UN SISTEMA

Dados los sistemas S = { O ; i ; j } y S’= { O’ ; i’ ; j’ } siendo: i = í’ j = j’

3

x

x´

S S'

S S'O' O'

OP = OO' + O' P

( ; ) ( '; ' )

( ; ) ( ; ; )

''

''

x y x y

xy

xy

x xy y

0 0 0

x xy y''

P y p xS ' : ' '2 2 y p x

22 ( )

4

P

O´

O

y´

y

x´

x

y p x y p2 22 2 2 0 ( )

P x p yS ' : ' '2 2

x p y 2

2 ( ) x x p y p2 22 2 2 0 ( )

0 0 )

0

x x y

x x y

x x y

x y

2

2

2

2

2

2 2

2

0

4 4

4

D F = 0DA

EA

FA

mult. m. a m. por 1A

DA

D EA

FA

Dcompl. trinomio cuadrado perfecto

D2 A

EA

FA

Dfactoreo del trinomio

2

2

Si E = 0 D

2 A = D A F

4 A

2

2

x2 4

Si E = 0 D2 A F > 0 4

5

r x r x14

24

: :

D

2 AD2 A F

4 A2D

2 AD2 A F

4 A2

Si E = 0 D A F = 0 dos rectas coincidentes y paralelas al eje y

D

2 A es el eje focal )

Si E = 0 D A F < 0 no existe lugar geometrico en R

Si E 0 D

2 AEA

D A FA E parabola con vertice en

V D

2 AD A F

A E y eje focal D

2 A

2

2 2

2

2

4

4

44

44

2

x

x y

x

(

;

F y F focos2 constante

dist ( P ;F dist ( P ;FC : centro de simetríaC : punto medio de F F

1 2

1 2

1 2

aE a

02 : ) )

F F siendo1 2( ; ) ( ; )c c c0 0 0 ( ; ) :x y E F F1 2 2 a

cuadrado al m. a m. elevandoy radicalun despejandoexpresión la mossimplifica

2)()( 2222 aycxycx

6

222

2222222

2222222

222222

)(4

44

2)(442

)()(44) (

)(2)(

ycxa

axc

cxcxycxaacxcx

ycxycxaaycx

ycxaycx

ca x a x c y

ca

x c x a x c x c y

ca

x y a c

c a

a c a c a c a c

b a c

ba

x y bb

22 2

2

2

22 2 2 2 2

2

22 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

22 2 2

2

2 2

1

2 2

2 2 0

( )

:

.

,

en el triangulo F F F F F P F

por desigualdad triangular : F P F F F

entonces

llamamos reemplazandolo en la ecuacion

mult. m. a .m por 1

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

xa

yb

2

2

2

2 1

yba a x

x a x a ab b

x y b y b b y by x a x a a y a

2 2

2 2

1 2

1 2

0

0 0 00 0 0

Dom = { RIm = [ es una curva cerrada con centrode simetríaSi verticesSi vertices

/ } [ ; ]; ]

( ; ) ( ; )( ; ) ( ; )

222

abc

:

:

diametro mayor: diametro menor

distancia focal

En el triangulo rectangulo FCB1 1 : a b c2 2 2

yba a c

ba

baL Long LL' =

2 2 2

2 2

eca c a e como para cualquier elipse0 1

ya

xb

2

2

2

2 1

7

xb

ya

2

2

2

2 1

Vé rtices A A

Focos F FDom = Im = [

Relación Pitagórica

Log LL' =2

1 2

1 2

2

( ; ) ( ; )( ; ) ( ; )( ; ) ( ; )

[ ; ]; ]

0 00 0

0 01 2

2 2

2

a ab b

c cb b

a a

a b c

ba

eca

Exa

ybS' :

' '2

2

2

2 1

S x

a

y

b

2

2

2

2 1

Exb

yaS' :

' '2

2

2

2 1

S x

b

y

a

2

2

2

2 1

8

b x a y b x a y b a a b2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 0 ( ) a x b y a x b y a b a b2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 0 ( )

x y x y

x x y y

2 2

24 4 4 4

C D F = 0 A .C > 0

A DA

DC

EC

EC

D EC

F22

22

2

2 2

AD

2 A CE

2 CD C + E A 4 A C F

A C

Como A.C > 0 entonces el lugar geometrico dependera de (D C + E A 4 A C F)

Si D C + E A 4 A C F > 0 elipse con centro en C D

2 A ;E

2 C

Si D C + E A 4 A C F 0 un punto C D

2 A ;E

2 C

Si D C + E A 4 A C F 0 no existe lugar geometrico en R

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

x y

2 2

4

F y F1 2

dist ( P ; F dist ( P ; F1 2) 2aF F1 2

F F siendo1 2( ; ) ( ; )c c c0 0 0 ( ; ) :x y H F F1 2 2 a

9

( ) ( )

( ) ( )

) ( ) ( )

( )

( )

( )

x c y x c y a

x c y a x c y

x c y a a x c y x c y

x c x c a a x c y x c x c

c x aa x c y

ca x a x c y

ca

x c x a x

2 2 2 2

2 2 2 2 22

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

22 2

22 2

2

2

22 2

2

2

4 4

2 4 4 2

4 44

2

(

2 2 2

2

22 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

22 2 2

2

2

1

2 2

2 2 0

c x c y

ca

x y c a

c a

c a c a c a c a

b c a

ba

x y bb

en el triangulo F F F F F P P F

por desigualdad triangular : F P P F F F

F F F P P F F F F P P F

entonces

llamamos reemplazandolo en la ecuacion

mult. m. a .m por 1

1 2 1 2 2 1

2 1 1 2

1 2 2 1 1 2 2 1

:

.

,

xa

yb

2

2

2

2 1

yba

x a

x x a a a

2 2

2 2 0Dom = { RIm = R posee centro de simetría

/ } ( ; ] [ ; )

Asintotas oblicuasPara

y m x kx y

m Límyx Lím

ba

x ax

ba Lím

ax

ba

mba

x x x

0 0

12 2 2

2

10

k Lím y mx Límba x a

ba x

ba Lím x a x

ba Lím

x a x x a x

x a x

x x

x x

2 2

2 22 2 2 2

2 2

ba

Límx a x

x a x

ba

Líma

x a x

ba

k

yba

x

yba

x

a y ab y b

abc

x x

2 2 2

2 2

2

2 2

1 2

1 2

0 0

0

0 00 0

222

Asintota

Asintota por simetria )

vertices realesvertices imaginarios

diametro real: diametro imaginariodistancia focal

(

( ; ) ( ; )( ; ) ( ; ):

:

c a b2 2 2

yba c a

ba

baL Long LL' =

2 2 2

2 2

eca c a e 1

ya

xb

2

2

2

2 1

xb

ya

2

2

2

2 1

( ; ] [ ; ) a a

Asintotas:

Vertices reales: AVertices imaginarios:

1

1

yab x y

ab x

a ab b

;

( ; ) ; ( ; )( ; ) ( ; )

0 00 0

2

2

Long LL'=2

Excentricidad:

Relación Pitagórica:

ba

ecac a b

2

2 2 2

11

Hxa

ybS' :

' '2

2

2

2 1

S x

a

y

b

2

2

2

2 1

Hxb

yaS' :

' '

2

2

2

2 1

S

x

b

y

a

2

2

2

2 1

b x a y b x a y b a a b2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 0 ( ) a x b y a x b y a b a b2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 0 ( )

12

x y x y

x x y y

x y

2 2

2

2 2

4 4 4 4

4

C D F = 0 A .C 0

A DA

DC

EC

EC

D EC

F

AD

2 A CE

2 CD C + E A 4 A C F

A C

Como A.C < 0 entonces el lugar geometrico dependera de (D C + E A 4 A C F)

Si D C + E A 4 A C F 0 hiperbola con centro en C D

2 A ;E

2 C

Si D C + E A

22

22

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 4 A C F 0 dos rectas concurrentes en el punto C D

2 A ;E

2 Cson las asintotas de las hiperbolas anteriores

13