I N A C A PTCO. Prof: Sra.B de la Vega APUNTES DE GEOMETRIA

SUPERFICIES CONICAS

Existen lugares geométricos especiales que tienen un sinnúmero de aplicaciones en

matemáticas e ingeniería. Supongamos un cono que se le hacen diferentes cortes, tal que

al observar sus cortes desde arriba, se obtienen las siguientes curvas como lo indica elsiguiente esquema:

1.- La circunferencia: se genera al hacer un corte paralelo a la base del cono.2.- La elipse: se genera al hacer un corte transversal al cono, sin llegar a la base.3.- La parábola: se genera al hacer un corte transversal a la base del cono.4.- La hipérbola: se genera al hacer un corte perpendicular a la base del cono.

Como son áreas que se obtienen todas de un cono se llaman superficies cónicas.Algunos ejemplos de sus aplicaciones es que ayudan a explicar la trayectoria de los planetas, cometas,etc. En general la trayectoria de cualquier cuerpo sometido a una fuerza F obedece a alguna de estas curvas.

Todas estas curvas corresponden a la ecuación general de segundo grado

I.- CIRCUNFERENCIA

Es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro ( C ) y la distancia fija radio.

ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA:Centrada Traslada

1) Ecuación general

2) Ecuación particular (centrada en el origen)

3) Ecuación canónica (ejes trasladados)

4) Centro

5) Radio

6) Circunferencia real (condición)

7) Circunferencia imaginaria

8) Radio nulo

9) Procedimiento para obtener centro, radio y ecuación canónica.1° Ordenar términos en forma alfabética.2° Eliminar coeficientes de los términos cuadráticos, que sean distintos

de 13° Completar cuadrados de binomios.4° Identificar elementos de la circunferencia.

EJERCICIOS RESUELTOS DE CIRCUNFERENCIA

1) Hallar ec. de C(7,-6) y que pasa por el punto (2,2).Solución:

Como el punto pertenece a la circunferencia entonces satisface la ecuación

y por tanto se puede reemplazar en ella.

Como h=7, k=-6 entoncesPor lo tanto la ecuación es

2) La ec.de una es . Demostrar que el punto A(2,-5) es interior a la y que B(-4,1) es exterior a ella.

Solución: 6 interior

6 exterior

3) Encontrar el centro y radio de la cuya ecuación es Solución:

Se ordena la ecuación

Eliminan coeficientes

Completar de cuadrados de binomio

Formar ec. canónica o principal

Por tanto

4) Determinar la ecuación, centro y radio de la que pasa por los puntos A(1,-1), B(3,5) y C(5,-3).

Solución:Cada punto satisface la ecuación general de la por tanto se

reemplazanlas coordenadas x e y, formando un sistema lineal de tres ecuaciones

resultando las soluciones del sistema;

se reemplazan en la ecuación general

se completan cuadrados de binomios

por lo tanto

5) Hallar ecuación de la que pasa por el origen y su centro pertenece a la intersección de las rectas x+y-8=0 ; x-y-2=0.Solución:

Se resuelve el sistema formado por ambas rectas

El punto de intersección (solución del sistema) es el centro de la

Ecuación es

6) Hallar la ecuación de la que pasa por el origen y el punto A(3,2), y su centro pertenece a la recta y+2x=0.Solución:

El centro C satisface la ecuación de la recta k+2h=0 (1)

es decir

4k+6h=13 (2)

de (1) y (2) se forma sistema de ecuación

se forma la ecuación principal

cualquiera de los 2 puntos que pertenecen a la satisfacen su ecuación

por tanto la ecuación canónica o principal es

7) Hallar ecuación de la que está centrada en el eje X y pasa por los puntos A(1,3) y B(4,6).Solución:

Como A y B pertenecen a la entonces satisfacen la ecuación principal, es decir se pueden reemplazar sus coordenadas en ella y formar un sistema de ecs.

resultando las solucionesh=7 k= 0

reemplazando estos valores en la ec. Principal se obtiene

para determinar r se logra por la distancia entre dos puntos, como por ejemplo entre C y A

por lo tanto la ec de la es

PROBLEMAS PROPUESTOS DE CIRCUNFERENCIA

1) Encontrar ecuación canónica o principal , centro y radio de las que a continuación se indican:

a)b)c)d)e)f)g)h)i)

j)k) 0

2) Determinar la ecuación, centro y radio de la que pasa por los puntos:a) A(0,0), B(3,6) , C(7,0)b) A(2,-2), B(-1,4), C(4,6)c) A(4,-1), B(0,-7), (-2,-3)d) A(1,2), B(-3,4), C(0,-2)e) A(1,0), B(3,-2), C(1,-4)

3) Hallar la ecuación, centro y radio de la que pasa por los puntos A(6,2) y B(8,0), y cuyo centro está sobre la recta 3x+7y+2=0

Rp.:

4) Hallar ecuación, centro y radio de la que pasa por A(-3,3), B(1,4) y cuyo centro pertenece a la recta 3x-2y-23=0.

Rp.:

5) Determinar la ecuación de la cuerda cuyo punto medio es M=(-2,4) y corta a la . Rp.: x-2y +10=0

6) Hallar la ecuación de la cuyo centro es C(0,-2) y es tangente a la recta 5x - 12y + 2=0. Rp.:

7) Una cuerda de la está sobre la recta x-7y+25=0.Hallar la longitud de la cuerda. Rp.:A(3,4), B(-4,3)

8) Determinar los coeficientes D,E y F en la ecuación canónica de la de centro

en el punto (2,5) y radio 6. Rp.: D=-4 , E=-10 , F=-7

9) Determinar la ec. General de la , si uno de sus diámetros es el segmento que une los puntos A(-5,7) y B(7,-3) Rp.:

10) Hallar el lugar geométrico de los puntos (x,y), cuya suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos fijos (2,3) y (-1,-2) sea igual a 34.

Rp.:

11) Hallar el lugar geométrico de los puntos (x,y) cuya relación de distancias a

los puntos fijos (-1,3) y (3,-2) sea igual a . Rp.:

( )

12) Hallar el lugar geométrico de los puntos (x,y) cuyo cuadrado de la distancia al punto fijo (-5,2) sea igual a su distancia a la recta 5x+12y-26=0

Rp.:

13) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la circunferencia dada, en el punto dado:a) Rp:9x-8y-26=0b) Rp: x+2y-11=0

14) Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por el puntp P(-2,4) y tiene el mismo centro que la representada por la ecuación

Rp:

15) Obtenga la ecuación de la circunferencia determinada por los extremos de un diámetro son los puntos (-2,3) y (4,-1). Rp:

LA PARABOLA

Es el lugar geométrico de los puntos que se mueven en el plano, de tal manera que su distancia de una recta fija, situada en el plano, llamada directriz es siempre igual a la distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta, llamado foco.

ELEMENTOS DE LA PARABOLA:

D: directrizF: focoV: vértice o punto medio de AFCd: cuerda focalBB‘: lado recto=4pEF: eje focalP : distancia VF=VD

Ec.General: a) Eje focal // eje X

b) Eje focal // eje Y

Ec.Canónica: a) E.F.// X

b) E.F.//Y

La concavidad de la parábola dependerá del signo de p, pudiendo abrir sus ramas en cualquiera de las siguientes direcciones, esté trasladada o centrada, como se indica a continuación:

PROBLEMAS RESUELTOS DE PARABOLA

1)Determinar los elementos y gráfico de la parábola dada su ecuación general

Solución:

Ordenar y eliminar coeficiente

Completar cuadrado de binomio

Determinar p

Elementos LR=6

2)Determinar los elementos de la parábola de ecuación Solución:

Esta es una ecuación del tipoParábola centrada en el origen

Entonces p=8, p0

EF // Y, concavidad hacia arriba

Luego el gráfico es:

F(0,2)Directriz: y=-2 LR=8

3)Determinar la ecuación de la parábola cuyo F(3,0) y su directriz es x+3=0Solución:Graficar la parábolaSe deduce que está centradV=(0,0EF//eje X

Se identifica el tipo de ec.

se determina el valor de p

4) Hallar la ecuación de la parábola de vértice en la recta 7x+3y-4=0, de eje horizontal y

que pasa por los puntos (3,-5) y ( ,1).

Solución:

Los puntos satisfacen la ec.de la parábola

Como (h,k) a la recta, la satisface 7h+3k-4=0

Se resuelve el sistema de 3 ecs.resultando

La ec. Canónica o principal es

5) Hallar la altura de un punto de un arco parabólico de 18 m de altura y 24 m de base, situado a una distancia de 8 m del centro del arco.

Solución:Se toma el eje X en la base del arco y el origen en el punto medio. La ec. De la parábola será de la forma

resulta al reemplazarcomo pasa por (12,0) se obtiene p=-2

para hallar altura del arco si x=8 donde al graficar y=10

por tanto el arco simple más resistente es el de la forma parabólica.

6) Hallar la longitud de la cuerda focal (CF) de , paralela a la recta .

Solución:Se identifica el tipo de parábola

Se determina p y F p=2 F(2,0)

Si CF // recta, es de forma

Como F(2,0)recta, la satisface

Por lo tanto ecuación de CF es

Se grafica la situación

A y B a la parábola y recta

Cualquiera de ellos satisface ambas

ecuaciones. Usemos A y forme un sistema de ecs.

se obtienen los valores

longitud de la cuerda es

PROBLEMAS PROPUESTOS DE PARABOLA

1) En cada uno de los siguientes ejercicios, determinar los elementos de la Parábola, la ecuación canónica o principal y el gráfico respectivo.

a)b) c)d)e)f)g)h)i)j)k)l)m)n)o)p)q)

2) Hallar la ecuación de la parábola aplicando el método gráfico, dados los siguientes

elementos respectivamente.

a) F(0,-4), directriz es y=-2 n) F(2a,b); V(a,b)b) F(0,-4), directriz es y=4 ñ) V en el origen; directriz

y-5=0c) F(0,-1), directriz es y=1 o) F(6,0); directriz y=-6

d) F(0, ), directriz es p) F(2,2); EF sobre eje abcisas

e) F , V

f) F(3,2), directriz es y+4=0g) V(3,4), directriz eje Yh) V(4,3), F(4,6)i) V(0,0), F(3,0)j) F(7,3), directriz es x=1k) F(3,0), directriz es x+3=0l) F(1,3), V(-2,3)m) F(6,-2), directriz es x-2=0

3) Encuentre la ecuación de la parábola y la ecuación de la directriz, si V=(0,0), F(3,0).

4) Hallar la longitud del radio vector del punto de la parábola , cuya ordenada es 6.

5) Una cuerda de la parábola es un segmento de la recta x-2y+3=0. Calcular su longitud. Rp: u.

6) Una recta que pasa por el foco de la parábola corta a la parábola en el

punto . Encontrar el otro punto de intersección entre la recta y la

parábola.Rp:

7) Dados los puntos (-1,2), (1,-1) , (2,1); determinar la ecuación de la parábola que pasa por esos tres puntos y tiene su eje paralelo al eje X.

Rp:

8) Encuentre la ecuación de la parábola de vértice en (-3,5); eje paralelo al eje X y pasa por A(5,9). Rp:

9) La recta de ecuación 2x+y=3, intersecta a la parábola en los extremos de un diámetro de una circunferencia. Determinar la ecuación de la

circunferencia. Rp:

10) Una circunferencia de centro (4,-1) pasa por el foco de la parábola . Demostrar que es tangente a la directriz de la parábola.

11) Encuentre la ecuación de la parábola, si V(0,0); eje focal paralelo al eje Y, y que pasa por el punto (-3,6). Rp:

LA ELIPSE

Es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante. Los puntos fijos se llaman focos.

Esta superficie cónica es aplicada comunmente en el trazado para jardines, siendo conocido el método del jardinero que consiste en que clavar dos estacas en la tierra, unidas por una soga cuyo largo es más grande que la distancia entre las estacas. La soga se tensa y se traslada alrededor de los focos, marcando en el suelo con un palo, obteniéndose una elipse u óvalo como también se le conoce, tal cual lo indica la siguiente figura.

Método del jardinero

ELEMENTOS:

Focos: F y F‘Centro: CEje focal: EFVértices: V y V‘Eje mayor: = 2aEje menor: = 2bDistancia Focal: =2c

Lado recto:

Condición de la elipse: , Ec.general de la ElipseEc. Canónica o principal;

a) Centrada en el origen, EF// eje X

b) Centrada en el origen, EF// eje Y

c) Trasladada, EF// eje X ab

d) Trasladada, EF// eje Y ab

Excentricidad de una elipse (e):Las elipses pueden ser muy alargadas o casi circulares. Para obtener

información acerca de la redondez de una elipse, se usa el concepto de excentricidad. Se define como:

a) excentricidad cercana a 1 b) excentricidad cercana a 0

Ecuación de las directrices: las ecs.de las directrices:

Si los focos están sobre el eje X

Si los focos están sobre el eje Y

PROBLEMAS RESUELTOS DE ELIPSE

1) Trazar la gráfica de la elipse cuya ecuación es .Solución:

Se divide por 18 para obtener 1

Como ab entonces

Aplicando condición elipse

VV‘= 6 FF‘= AA‘=

La grafica es

2) Hallar los elementos de la elipse

Solución:Ordenar la ecuación y completarcuadrado de binomio

se modela la ecuación

se identifican los valores h=8 k=-3 a=6 b= trasladada, EF//ejeX

VV‘=12 FF‘= 8 AA‘=

LR=

3)Determinar la ecuación de la elipse con centro en (3,1), si uno de sus vértices es

(3,-2) y .

Solución: Para determinar la ecuación, se ubican en un sistema cartesiano, el centro

y el vértice. Como el eje focal es paralelo al eje Y, la ecuación que le corres

ponde es

Si a=3 y entonces c=1

Por propiedad b=8

Por tanto la ecuación es

Y la ecuación general es

4)Determinar la ecuación del lugar geométrico de todos los puntos (x,y) del plano, cuya suma de distancias a los puntos fijos (3,1) y (-5,1) es 20.

Solución:Por definición corresponde a una elipseDistancia focal FF‘=20 =2a a=10

Centro es punto medio de FF‘

Por tanto C=(-1,1)

Por gráfico

Por condición elipse

EF // eje X, la ecuación es

Y la ecuación general es

El gráfico es

EJERCICIOS PROPUESTOS DE ELIPSE

1) Determinar los elementos de la elipse y el gráfico correspondiente para los siguientes ejercicios.

a)b)c)d)e)f)g)h)i)j)k)

2) Dado los siguientes elementos determinar la ecuación de la elpise y su respectivo gráfico:

a) F(3,8),F‘(3,2), longitud del eje mayor es 10.b) F(0,6), F‘(0,-6), longitud del eje menor es 8.c) V=(0,13), F(0,-12), C(0,0)d)e)f) , longitud del eje menor es 6.g) , longitud del lado recto es 6.h) F(3,2),F(3,8), longitud del eje menor es 8.i) C(-2,-1) y un vértice es (3,-1), lado recto es 4.

3) Hallar ecuación de la elipse que pasa por el punto con centro en el

origen, eje menor coincide con el eje X, además la longitud de su eje mayor es el doble de la de su eje menor. Rp:

4) Hallar la ecuación de la elipse cuya exentricidad es 1/2 y sus focos están en

los puntos F(10,-2) y F(4,-2). Rp:

5) La exentricidad de una elipse es 3/4. Si el eje mayor coincide con la longitud del lado recto de la parábola . Determine la ecuación de la elipse.

Rp:

LA HIPERBOLA

Es el lugar geométrico de todos los puntos que se mueven en el plano de modo que el valor absoluto de la diferencia entre las distancias a dos puntos fijos del plano llamados focos es igual a una constante (2a), menor que la distancia entre los focos.

ELEMENTOS DE LA HIPERBOLA

Principio:

AA‘=eje conjugado=2b

VV‘=eje transverso= 2a

FF‘=distancia focal=2c Condición:

EF: eje focal

Lado recto:

Ecuación general:

Ecuación canónica:

a) centrada, EF//eje X asíntota

b) centrada, EF// eje Y asíntota

c) trasladada, EF// ejeX asíntota

d) trasladada, EF// eje Y asíntota

Excentricidad de la hipérbola e1

EJERCICIOS RESUELTOS DE HIPERBOLA

1) Analizar y trazar la gráfica de la ecuación

Solución:Ordenando y completando cuadrado de binomio

Se obtiene la ecuación canónica

Identificando valores en la ecuación C=(3,-2) a=2 b=3

Aplicando la condición, c=

Se determinan los elementos y gráfico

es decir V(5,-2) V‘(1,-2)

asíntotas son

2) Trazar la gráfica de y determinar sus elementos.Solución:

Hipérbola centrada en el origen de ec.

Se identifica valores a=2 b=3

Vértices en el eje X

Puntos extremos del eje conjugadodeterminan un rectángulo cuyas diagonales al prolongarse forman lasasíntotas.

Gráfico de la hipérbola

3) Hallar el ángulo agudo de intersección de las asíntotas de la hipérbola

Solución:

Se obtiene la ecuación canónica

Se deducen los valores a=3 b=1 h=2 k=-1

Asíntotas obedecen a la ecuación

y=3x-7 y=-3x+5

por definición de ángulo entre rectas

4) Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos extremos del eje transverso son y el lado recto es 6.

Solución:Si VV‘=2a=6 entonces a=3

además si LR=6= entonces b=3

y por condición c=18

la ecuación es conjugada del tipo

5) Sea C(1,-2), V(-3,-2), e=5/4. Determinar la ecuación de la hipérbola.Solución:Se identifica valores derivadas del centro h=1 k=-2Se grafica la hipérbola y determinan los focos F(2,-4) F‘(-6,-4)

Se obtiene la ecuación canónica

Ecuación general

EJERCICIOS PROPUESTOS DE HIPERBOLA

1) Dada las siguientes ecuaciones de la hipérbola, determinar sus elementos y gráficos

respectivos.a)b)c)d)

e)f)g)h)i)j)k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

2) Dados los siguientes elementos, determinar la ecuación y gráfico para las siguientes hipérbolas:

a)

b) C(0,0), eje transverso está en el eje Y, F(0,5), e=3.

c)

d) C(0,0), eje transverso en el eje X, y pasa por P(2,1).

e) V(-1,3),V(3,3),

f) C(0,0), eje transverso en el eje X, pasa por P(3,-2)y Q(7,6).

g) C(0,0). V(4,0), F(5,0)

h) C(0,0), eje conjugado enl eje X, longitud del lado recto es 2/3, y pasa por p(-1,2).

i) F(4,-2), F‘(4,-8), eje transverso es 4

j) Los extremos del eje conjugado son (0,3) y (0,-3) y la longitud de cada lado recto es 6.

k) Determinar la ecuación canónica de la hipérbola que pasa por los puntos A(3,-2) y B(7,6), con centro en el origen, eje transverso coincide con eje X.

l) Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto (4,6), con eje focal paralelo al eje X y de asíntotas 2x+y-3=0 ; 2x-y-1=0

m) Localización de un barco:La estación A de guardacosta está 200 millas al este de otra estación B. Un barco navega en una línea paralela y 50 millas al norte de la recta que pasa por A y B. Se mandan señales de radio de A y B, a una velocidad de 980 (pies por microsegundos). A la 1:00 P.M. la seña de B llega al barco 400 después de la señal de A. Determine la posición del buque a esa hora.