Conicas Elipse

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Cónicas

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  • Lugaresgeomtricos

    LauraHidalgo Sols

    La definicinde cnica

    Clasificacinde cnicas

    La elipse

    Transformacindecoordenadas

    Construccincon regla ycomps

    LosTeoremas deApolonio

    Aplicacionesde la elipse

    Referencias

    Lugares geomtricosLa Elipse

    Laura Hidalgo Sols

    Universidad Autnoma MetropolitanaUnidad Iztapalapa

    2 de Febrero de 2012

  • Lugaresgeomtricos

    LauraHidalgo Sols

    La definicinde cnica

    Clasificacinde cnicas

    La elipse

    Transformacindecoordenadas

    Construccincon regla ycomps

    LosTeoremas deApolonio

    Aplicacionesde la elipse

    Referencias

    Cnicas

    1 La definicin de cnica

    2 Clasificacin de cnicas

    3 La elipse

    4 Transformacin de coordenadas

    5 Construccin con regla y comps

    6 Los Teoremas de Apolonio

    7 Aplicaciones de la elipse

    8 Referencias

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    Transformacindecoordenadas

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    La definicin de cnica

    Se denomina seccin cnica (o simplemente cnica) a lacurva interseccin de un cono con un plano que no pasapor su vrtice.

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    La definicinde cnica

    Clasificacinde cnicas

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    Aplicacionesde la elipse

    Referencias

    Clasificacin de cnicas

    Clasificacin de cnicas

    En funcin de la relacin existente entre el ngulo deconicidad y la inclinacin del plano respecto del eje delcono , pueden obtenerse diferentes secciones cnicas, asaber:

    1 < : Hiprbola (excesiva).2 = : Parbola.3 > : Elipse (contraida o deficiente).4 = 900: Circunferencia (un caso particular de elipse).

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    Cnicas degeneradas

    Cnicas degeneradas

    Si el plano pasa por el vrtice del cono, se puedecomprobar que:

    1 Cuando > la interseccin es un nico punto (elvrtice).

    2 Cuando = la interseccin es una recta generatrizdel cono En este caso, el plano ser tangente al cono.

    3 Cuando < la interseccin vendr dada por dosrectas que se cortan en el vrtice. El ngulo formadopor las rectas ir aumentando a medida disminuye,hasta alcanzar el mximo cuando el plano contengaal eje del cono = 0.

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    La elipseLa elipse

    La elipse es el lugar geomtrico de los puntos del planocuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos,es constante y mayor que la distancia entre los focos.

    Si F1 y F2 son los focos, y 2a > d(F1,F2) entonces

    E = {U R2;d(U,F1) + d(U,F2) = 2a}

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    Elementos de la elipse

    Los puntos F1 y F2 se llaman los focos de la elipse, y larecta que contiene a los focos se llama eje principal. Elpunto medio de F1 y F2 se llama el centro de la elipse. Lospuntos de interseccin de la elipse con su eje principal V1 yV2 se llaman los vrtices de la elipse y el segmento cuyosextremos son los vrtices recibe el nombre de eje mayor dela elipse. El segmento que es perpendicular al eje mayor,que pasa por el centro y cuyos extremos estn W1 y W2sobre la elispe sellama el eje menor y la recta perpendicularal eje principal que pasa por el centro de la elipse se llamaeje normal de la elipse.

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    Los segmentos AA u BB perpendiculares al eje principalque pasan por los focos y cuyos extremos sobre la elipse sedenominan lados rectos. La longitud del lado recto es elancho focal de la elipse.Cualquier segmento de recta que une dos puntos de laelipse se llama cuerda de la elipse. En particular, el ladorecto, es una cuerda de la elipse, llamada cuerda focal. Unacuerda que pasa por el centro de la elipse se llamadimetro.Si U es un punto cualquiera de la elipse, los segmentosUF1 y UF2 que unen los focos con el punto U se llamanradio vectores de U.

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    La ecuacin de la elipse

    Es muy fcil obtener la ecuacin de la elipse con centro enel origen y focos en el eje x (respectivamente y ):Supongamos que la elipse E tiene focos F1(0, c) yF2(0,c) y que para cada punto U(x , y) E la suma de lasdistancias que separan a U de F1 y F2 es la constante 2a,donde 2a > 2c, o sea, a > c. Entonces

    d(U,F1) + d(U,F2) = 2a

    de donde x2 + (y + c)2 +

    x2 + (y c)2 = 2a (1)

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    Si ahora se suma

    x2 + (y c)2 a ambos miembros deesta ecuacin, y se eleva al cuadrado a ambos miembrosde la ecuacin resultante, que es equivalente a la anterior,tenemos:

    x2 + (y + c)2 = 4a2 4a

    x2 + (y c)2 + x2 + (y c)2.

    Desarrollando binomios y simplificando tenemos:

    a

    x2 + (y c)2 = a2 cy . (2)Si ahora elevamos al cuadrado ambos miembros de laigualdad tenemos:

    a2(x2 + y2 2cy + c2) = a4 2a2cy + c2y2.

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    Simplificando y factorizando obtenemos:

    a2x2 + (a2 c2)y2 = a2(a2 c2).Como a > c > 0, entonces a2 > c2, de donde a2 c2 > 0.Si b2 = a2 c2, b > 0(*), y la ecuacin se reduce a

    a2x2 + b2y2 = a2b2

    dividiendo por a2b2 tenemos la ecuacin

    x2

    b2+

    y2

    a2= 1. (3)

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    Si ahora los focos son F1(c,0), F2(c,0) y2a > 2c = d(F1,F2), tenemos de manra anloga laecuacin

    x2

    a2+

    y2

    b2= 1. (4)

    Las ecuacines 3 y 4 suelen llamarse la primera ecuacingeneral de la elipse, o forma cannica de la elipse.

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    Reciprocamente, si U(x , y) es un punto cualquiera cuyascoordenadas satisfacen la ecuacin

    x2

    b2+

    y2

    a2= 1.

    Invirtiendo el orden de las operaciones efectuadas parapasar de la ecuacin 3 a la ecuacin 1, y dando la debidainterpretacin a los signos de los radicales, podemosdemostrar que la ecuacin 1 conduce a la relacin

    d(U,F1) + d(U,F2) = 2a,

    que es la expresin analitica de la condicin geomtrica dela definicin de la elipse aplicada al punto U.Por tanto, U est sobre la elipse cuya ecuacin est dadapor la ecuacin 3.

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    Nota (*) Ya que 2a es la longitud del eje mayor, 2b es lalongitud del eje menor y 2c la distancia entre los focos.En particular, si consideramos el tringulo rectngulo convrtices W1, C y F1 tenemos que el cateto mayor es c, elmenor es b y la hipotenusa es a, es decir a2 = b2 + c2, dedonde b2 = a2 c2.Es inmediato de la ecuacin de la elipse que los ejesprincipal y normal son ejes de simetra de la elipse, y que elcentro tambin es un punto de simetra de la elipse.

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    Dada la ecuacinx2

    b2+

    y2

    a2= 1, si sustituimos el valor

    y = c, y usamos que a2 = b2 + c2, tenemos que

    x2 = b2(

    1 c2

    a2