Congruencia, semejanza y transformaciones isom´ 11... · PDF fileCongruencia,...

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  • Congruencia, semejanza y transformacionesisometricas

    Congruencia de triangulos

    Definicion

    Dos triangulos son congruentes si y solo si existe una correspondencia entre sus vertices, de modoque cada par de lados y angulos correspondientes sean congruentes.

    ABC = PQR

    AB = PQAC = PRCB = RQ

    A = PB = QC = R

    Postulados de congruencia de triangulos

    ALA: Dos triangulos son congruentessi tienen respectivamente iguales un la-do y los dos angulos adyacentes a eselado.

    LAL: Dos triangulos son congruentescuando tienen dos lados y el angulocomprendido entre ellos respectivamen-te iguales.

    LLL: Dos triangulos son congruentessi tienen sus tres lados respectivamenteiguales.

    LLA: Dos triangulos son congruentescuando tiene dos lados y el anguloopuesto al mayor de esos lados respec-tivamente iguales.

  • Ejercicios

    1. En la figura, PQRS es un paralelogramo y las diagonales SQ y PR se intersectan en T .Cual(es) de las siguientes congruencias es(son) siempre verdadera(s)?

    I) PTS = STRII) PTS = RTQIII) PSR = RQP

    a) Solo III

    b) Solo I y II

    c) Solo I y III

    d) Solo II y III

    e) I, II y III

    2. En la figura, PTR y SV Q son congruentes. Cual(es) de las siguientes afirmacioneses(son) siempre verdadera(s)?

    I) TR // V Q

    II) PT // SV

    III) RQV = RPT

    a) Solo I

    b) Solo II

    c) Solo III

    d) Solo I y II

    e) I, II y III

    3. El triangulo ABC de la figura es isosceles de base AB. Si P , Q y R son puntos medios desus lados respectivos, entonces cual(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

    I) Los triangulos AQP y PRC son congruentes.

    II) Los triangulos QBP y RPB son congruentes.

    III) El area del triangulo QBP es la cuarta parte del area del triangulo ABC.

    a) Solo I

    b) Solo II

    c) Solo III

    d) Solo I y II

    e) I, II y III

  • 4. El triangulo ABC es isosceles de base AB. La circunferencia de centro C y radio r inter-secta a los lados del triangulo en D y E. Cual(es) de las siguientes afirmaciones es(son)verdadera(s)?

    I) ABE = ABDII) BEC = ADCIII) ABD = ADC

    a) Solo III

    b) Solo I y II

    c) Solo I y III

    d) Solo II y III

    e) I, II y III

    5. En la figura, ABC = BAD, entonces es(son) verdadera(s):

    I) AEC = ADBII) AEC = BEDIII) AC = DB

    a) Solo I

    b) Solo II

    c) Solo I y II

    d) Solo II y III

    e) I, II y III

    6. En la figura, los triangulos ABC y DAE son isosceles congruentes de bases BC y AE ,respectivamente. Si BAC = 36o, cual(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdade-ra(s)?

    I) DAC = CABII) ABC = ACDIII) AEP = DCP

    a) Solo I

    b) Solo I y II

    c) Solo I y III

    d) Solo II y III

    e) I, II y III

  • 7. Si el triangulo ABC de la figura es equilatero de lado 2 y AD = DB , cual(es) de lassiguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

    I) ADC = BDCII) ACD = 30

    III) CD =

    3

    2

    a) Solo I

    b) Solo II

    c) Solo I y II

    d) Solo II y III

    e) I, II y III

    8. Cual(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

    a) Solo I

    b) Solo I y II

    c) Solo I y III

    d) Solo II y III

    e) I, II y III

    I) Dos triangulos son congruentes si sus lados homologoscon congruentes.

    II) Dos triangulos son congruentes si sus angulos respec-tivos son congruentes.

    III) Dos triangulos rectangulos son congruentes si sus ca-tetos homologos son congruentes.

    9. En la figura ABC = ABD. Cual de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)?

    I) Es posible inscribir el cuadrilatero ADBC en una circunferencia.

    II) CAB = DBA

    III) CBD = 90

    a) Solo I

    b) Solo II

    c) Solo III

    d) Solo II y III

    e) I, II y III

  • 10. En la figura, el triangulo ABC es equilatero y AD es bisectriz del angulo CAB. Cual(es)de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

    I) El angulo CDA mide 90.

    II) AD es eje de simetra del triangulo ABC.

    III) Los triangulos ADC y ADB son congruentes.

    a) Solo I

    b) Solo II

    c) Solo I y II

    d) Solo III

    e) I, II y III

    11. Si en la figura, DABA, CBAB y = . Cual(es) de las siguientes afirmaciones es(son)siempre verdadera(s)?

    I) CB = DAII) DB = ACIII) OAOB

    a) Solo I

    b) Solo II

    c) Solo I y II

    d) Solo II y III

    e) I, II y III

  • Semejanza de polgonos

    Dos polgonos de un mismo numero de lados se diran semejantes, cuando los angulos del uno seanrespectivamente iguales con los angulos del otro y cuando, ademas, tengan sus lados homologosproporcionales.

    A = PB = QC = R

    AB

    PQ=

    BC

    QR=

    CD

    RS=

    DE

    ST=

    EA

    TPD = SE = T

    Observacion: Esta definicion de semejanza encierra la idea de similitud de forma; es decir, dospolgonos son semejantes, s y solo si, tienen la misma forma. As, por ejemplo:

    1. todos los cuadrados son semejantes entre s.

    2. todos los triangulos equilateros son semejantes entre s.

    3. todos los pentagonos regulares son semejantes entre s.

    En general, todos los polgonos regulares de un mismo numero de lados son semejantes entres; e incluso podemos extender esta definicion y decir tambien que todas las circunferencias sonsemejantes entre si.

    Semejanza de triangulos

    El hecho que todo polgono, de mas de tres lados, admita descomposicion en triangulos, motivo enlos geometras una especial atencion por estas elementales figuras.

    ABC PQR si y solo si:A = P ; B = Q; C = R

    y

    AB

    PQ=

    BC

    QR=

    CA

    RP

    Teoremas de semejanza de triangulos

    Los geometras griegos de la antiguedad, notaron que para establecer la semejanza entre dos triangu-los no era necesario verificar cada una de las seis condiciones expuestas anteriormente, sino que laocurrencia de algunas de ellas provocaba necesariamente la ocurrencia de los otros restantes.

  • Teorema Fundamental

    Para que dos triangulos sean semejan-tes, basta que los angulos de uno seaniguales a los angulos del otro.Corolario: Toda paralela a un lado deun triangulo, determina un triangulosemejante al primero. Si DE // AB ,entonces CDE CAB

    Los criterios de semejanza son condiciones mnimas para decidir si dos triangulos son semejantes.Una vez comprobada la semejanza se cumplen todas las condiciones que le son propias, es decir, lostres angulos correspondientes son congruentes y los tres pares de lados homologos proporcionales.

    Teorema AA (o criterio AA de semejanza)

    Dos triangulos que tienen dos angulos respectivamente congruentes son semejantes.

    Hipotesis: A = D y C = FTesis: ABC DEF

    Nota: Ten presente que si un triangulo es semejante a otro y este ultimo es congruente con untercero, el primero y el tercero son semejantes.

    Teorema LAL (o criterio LAL de semejanza)

    Si en dos triangulos las medidas de dos pares de lados son proporcionales y los angulos compren-didos entre esos lados son congruentes, entonces los triangulos son semejantes.

    CA

    C A=

    CB

    C B C = C

    ABC ABC

  • Teorema LLL (o criterio LLL de semejanza)

    Si las medidas de los tres pares de lados de dos triangulos son proporcionales, entonces los triangulosson semejantes.

    AB

    AB=

    BC

    BC =

    CA

    C A

    ABC ABC

    Notas:

    Como criterios de semejanza de triangulos tenemos el teorema AA y los teoremas LAL yLLL.

    Los criterios de semejanza son condiciones mnimas para decidir si dos triangulos son se-mejantes. Una vez comprobada la semejanza se cumplen todas las condiciones que le sonpropias, es decir, los tres angulos correspondientes son congruentes y los tres pares de ladoshomologos, proporcionales.

    Se llaman figuras equivalentes a aquellas que poseen igual area.

    Semejanza de triangulos rectangulos

    Dos triangulos rectangulos siempre tienen un angulo congruente entre ellos: el de 90. Por lo tanto,se tiene dada, de antemano, una condicion para que sean semejantes. Entonces, a partir del teoremade semejanza AA (para cualquier triangulo), se deduce:

    a. Dos triangulos rectangulos son seme-jantes si tienen un angulo agudo con-gruente.

    b. Dos triangulos rectangulos son seme-jantes si tienen los catetos respectiva-mente proporcionales.

    c. Dos triangulos rectangulos son seme-jantes si tienen las medidas de la hipo-tenusa y de un cateto respectivamenteproporcional.

    Razon entre las alturas de triangulos semejantes

    Si dos triangulos son semejantes, entonces sus alturas correspondientes son proporcionales a loslados respectivos.

  • Sea ABC ABC . Por el postulado AA se tiene que ADC ADC . De esa semejanzase deduce que:

    CD

    C D=

    AC

    AC En general, esto se puede demostrar para todos los elementos secundarios homologos de dos triangu-los semejantes.

    haha

    =tctc

    =bb

    = =

    Razon de los perimetros de dos triangulos semejantes

    Los permetros de triangulos semejantes estan en la misma razon que dos trazos homologos cua-lesquiera.

    Permetro ABCPermetro ABC =

    hchc

    =baba

    =

    Razon de las areas de dos triangulos semejantes

    Las areas de triangulos semejantes estan en una razon equivalente al cuadrado de la razon en quese encuentran dos trazos homologos cualesquiera.

    Area ABCArea ABC

    =

    (

    hchc

    )2

    =

    (

    baba

    )2

    =

    Observacion: Al comparar por cociente las medidas de dos segmentos expresados en la mismaunidad, se establece una razon entre estas medidas. Si la razon entre dos segmentos es un numeroracional, diremos que lo segmentos son conmensurables entre si. Si la razon ent