Congruencia, semejanza y transformacionesisometricas

Congruencia de triangulos

Definicion

Dos triangulos son congruentes si y solo si existe una correspondencia entre sus vertices, de modoque cada par de lados y angulos correspondientes sean congruentes.

△ABC ∼= △PQR ⇒

AB ∼= PQAC ∼= PRCB ∼= RQ

∠A ∼= ∠P∠B ∼= ∠Q∠C ∼= ∠R

Postulados de congruencia de triangulos

ALA: Dos triangulos son congruentessi tienen respectivamente iguales un la-do y los dos angulos adyacentes a eselado.

LAL: Dos triangulos son congruentescuando tienen dos lados y el angulocomprendido entre ellos respectivamen-te iguales.

LLL: Dos triangulos son congruentessi tienen sus tres lados respectivamenteiguales.

LLA: Dos triangulos son congruentescuando tiene dos lados y el anguloopuesto al mayor de esos lados respec-tivamente iguales.

Ejercicios

1. En la figura, PQRS es un paralelogramo y las diagonales SQ y PR se intersectan en T .¿Cual(es) de las siguientes congruencias es(son) siempre verdadera(s)?

I) △PTS ∼= △STR

II) △PTS ∼= △RTQ

III) △PSR ∼= △RQP

a) Solo III

b) Solo I y II

c) Solo I y III

d) Solo II y III

e) I, II y III

2. En la figura, △PTR y △SV Q son congruentes. ¿Cual(es) de las siguientes afirmacioneses(son) siempre verdadera(s)?

I) TR // V Q

II) PT // SV

III) ∠RQV ∼= ∠RPT

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo III

d) Solo I y II

e) I, II y III

3. El triangulo ABC de la figura es isosceles de base AB. Si P , Q y R son puntos medios desus lados respectivos, entonces ¿cual(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) Los triangulos AQP y PRC son congruentes.

II) Los triangulos QBP y RPB son congruentes.

III) El area del triangulo QBP es la cuarta parte del area del triangulo ABC.

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo III

d) Solo I y II

e) I, II y III

4. El triangulo ABC es isosceles de base AB. La circunferencia de centro C y radio r inter-secta a los lados del triangulo en D y E. ¿Cual(es) de las siguientes afirmaciones es(son)verdadera(s)?

I) △ABE ∼= △ABD

II) △BEC ∼= △ADC

III) △ABD ∼= △ADC

a) Solo III

b) Solo I y II

c) Solo I y III

d) Solo II y III

e) I, II y III

5. En la figura, △ABC ∼= △BAD, entonces es(son) verdadera(s):

I) △AEC ∼= △ADB

II) △AEC ∼= △BED

III) AC ∼= DB

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo I y II

d) Solo II y III

e) I, II y III

6. En la figura, los triangulos ABC y DAE son isosceles congruentes de bases BC y AE ,respectivamente. Si ∠BAC = 36o, ¿cual(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdade-ra(s)?

I) ∠DAC ∼= ∠CAB

II) △ABC ∼= △ACD

III) △AEP ∼= △DCP

a) Solo I

b) Solo I y II

c) Solo I y III

d) Solo II y III

e) I, II y III

7. Si el triangulo ABC de la figura es equilatero de lado 2 y AD ∼= DB , ¿cual(es) de lassiguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) △ADC ∼= △BDC

II) ∠ACD = 30◦

III) CD =

√3

2

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo I y II

d) Solo II y III

e) I, II y III

8. ¿Cual(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

a) Solo I

b) Solo I y II

c) Solo I y III

d) Solo II y III

e) I, II y III

I) Dos triangulos son congruentes si sus lados homologoscon congruentes.

II) Dos triangulos son congruentes si sus angulos respec-tivos son congruentes.

III) Dos triangulos rectangulos son congruentes si sus ca-tetos homologos son congruentes.

9. En la figura △ABC ∼= △ABD. ¿Cual de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)?

I) Es posible inscribir el cuadrilatero ADBC en una circunferencia.

II) ∠CAB = ∠DBA

III) ∠CBD = 90◦

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo III

d) Solo II y III

e) I, II y III

10. En la figura, el triangulo ABC es equilatero y AD es bisectriz del angulo CAB. ¿Cual(es)de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) El angulo CDA mide 90◦.

II) AD es eje de simetrıa del triangulo ABC.

III) Los triangulos ADC y ADB son congruentes.

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo I y II

d) Solo III

e) I, II y III

11. Si en la figura, DA⊥BA, CB⊥AB y α = β. ¿Cual(es) de las siguientes afirmaciones es(son)siempre verdadera(s)?

I) CB ∼= DA

II) DB ∼= AC

III) OA⊥OB

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo I y II

d) Solo II y III

e) I, II y III

Semejanza de polıgonos

Dos polıgonos de un mismo numero de lados se diran semejantes, cuando los angulos del uno seanrespectivamente iguales con los angulos del otro y cuando, ademas, tengan sus lados homologosproporcionales.

∠A ∼= ∠P∠B ∼= ∠Q

∠C ∼= ∠RAB

PQ=

BC

QR=

CD

RS=

DE

ST=

EA

TP∠D ∼= ∠S∠E ∼= ∠T

Observacion: Esta definicion de semejanza encierra la idea de similitud de forma; es decir, dospolıgonos son semejantes, sı y solo si, tienen la “misma forma”. Ası, por ejemplo:

1. todos los cuadrados son semejantes entre sı.

2. todos los triangulos equilateros son semejantes entre sı.

3. todos los pentagonos regulares son semejantes entre sı.

En general, todos los polıgonos regulares de un mismo numero de lados son semejantes entresı; e incluso podemos extender esta definicion y decir tambien que todas las circunferencias sonsemejantes entre si.

Semejanza de triangulos

El hecho que todo polıgono, de mas de tres lados, admita descomposicion en triangulos, motivo enlos geometras una especial atencion por estas elementales figuras.

△ABC ∼ △PQR si y solo si:

∠A = ∠P ; ∠B = ∠Q; ∠C = ∠R

y

AB

PQ=

BC

QR=

CA

RP

Teoremas de semejanza de triangulos

Los geometras griegos de la antiguedad, notaron que para establecer la semejanza entre dos triangu-los no era necesario verificar cada una de las seis condiciones expuestas anteriormente, sino que laocurrencia de algunas de ellas provocaba necesariamente la ocurrencia de los otros restantes.

Teorema Fundamental

Para que dos triangulos sean semejan-tes, basta que los angulos de uno seaniguales a los angulos del otro.Corolario: Toda paralela a un lado deun triangulo, determina un triangulosemejante al primero. Si DE // AB ,entonces △CDE ∼ △CAB

Los criterios de semejanza son condiciones mınimas para decidir si dos triangulos son semejantes.Una vez comprobada la semejanza se cumplen todas las condiciones que le son propias, es decir, lostres angulos correspondientes son congruentes y los tres pares de lados homologos proporcionales.

Teorema AA (o criterio AA de semejanza)

Dos triangulos que tienen dos angulos respectivamente congruentes son semejantes.

Hipotesis: ∠A ∼= ∠D y ∠C ∼= ∠FTesis: △ABC ∼ △DEF

Nota: Ten presente que si un triangulo es semejante a otro y este ultimo es congruente con untercero, el primero y el tercero son semejantes.

Teorema LAL (o criterio LAL de semejanza)

Si en dos triangulos las medidas de dos pares de lados son proporcionales y los angulos compren-didos entre esos lados son congruentes, entonces los triangulos son semejantes.

CA

C ′A′=

CB

C ′B′∧ ∠C ∼= ∠C ′

⇓△ABC ∼ △A′B′C ′

Teorema LLL (o criterio LLL de semejanza)

Si las medidas de los tres pares de lados de dos triangulos son proporcionales, entonces los triangulosson semejantes.

AB

A′B′=

BC

B′C ′=

CA

C ′A′

⇒ △ABC ∼ △A′B′C ′

Notas:

• Como criterios de semejanza de triangulos tenemos el teorema AA y los teoremas LAL yLLL.

• Los criterios de semejanza son condiciones mınimas para decidir si dos triangulos son se-mejantes. Una vez comprobada la semejanza se cumplen todas las condiciones que le sonpropias, es decir, los tres angulos correspondientes son congruentes y los tres pares de ladoshomologos, proporcionales.

• Se llaman figuras equivalentes a aquellas que poseen igual area.

Semejanza de triangulos rectangulos

Dos triangulos rectangulos siempre tienen un angulo congruente entre ellos: el de 90◦. Por lo tanto,se tiene dada, de antemano, una condicion para que sean semejantes. Entonces, a partir del teoremade semejanza AA (para cualquier triangulo), se deduce:

a. Dos triangulos rectangulos son seme-jantes si tienen un angulo agudo con-gruente.

b. Dos triangulos rectangulos son seme-jantes si tienen los catetos respectiva-mente proporcionales.

c. Dos triangulos rectangulos son seme-jantes si tienen las medidas de la hipo-tenusa y de un cateto respectivamenteproporcional.

Razon entre las alturas de triangulos semejantes

Si dos triangulos son semejantes, entonces sus alturas correspondientes son proporcionales a loslados respectivos.

Sea △ABC ∼ △A′B′C ′. Por el postulado AA se tiene que △ADC ∼ △A′D′C ′. De esa semejanza

se deduce que:CD

C ′D′=

AC

A′C ′

En general, esto se puede demostrar para todos los elementos secundarios homologos de dos triangu-los semejantes.

ha

h′

a

=tct′c

=bαb′α

= · · · = λ

Razon de los perimetros de dos triangulos semejantes

Los perımetros de triangulos semejantes estan en la misma razon que dos trazos homologos cua-lesquiera.

Perımetro △ ABC

Perımetro △ A′B′C ′=

hc

hc′

=baba′

= · · ·

Razon de las areas de dos triangulos semejantes

Las areas de triangulos semejantes estan en una razon equivalente al cuadrado de la razon en quese encuentran dos trazos homologos cualesquiera.

Area △ ABC

Area △ A′B′C ′

=

(

hc

hc′

)2

=

(

baba′

)2

= · · ·

Observacion: Al comparar por cociente las medidas de dos segmentos expresados en la mismaunidad, se establece una razon entre estas medidas. Si la razon entre dos segmentos es un numeroracional, diremos que lo segmentos son conmensurables entre si. Si la razon entre dos segmentoses un numero irracional, diremos que esos segmentos son inconmensurables entre si.

Notas:

• Los lados de un polıgono se dicen homologos si estan comprendidos entre dos angulosrespectivamente congruentes.

• Todos los polıgonos regulares de igual numero de lados son semejantes (todos los triangulosequilateros son semejantes)

• Dados dos polıgonos semejantes, aun cuando no sean regulares, se cumple que sus perımetrosestan en la razon que hay entre cualquier par de lados homologos.

Perımetro polıgono ABCDE = P = a+ b+ c+ d+ ePerımetro polıgono A′B′C ′D′E ′ = P ′ = a′ + b′ + c′ + d′ + e′

P

P ′=

a

a′;

P

P ′=

b

b′; · · · ;

P

P ′=

e

e′

Ejercicios

1. ¿En cual(es) de las siguientes figuras el triangulo P es semejante con el triangulo Q?

I) II) III)

a) Solo en I

b) Solo en II

c) Solo en I y en II

d) Solo en II y en III

e) En I, en II y en III

2. Una torre de TV proyecta una sombra que mide 150 metros de longitud. A 148,8 metros delpie de la torre y en la misma direccion que se proyecta la sombra, se encuentra un poste quemide 1,6 metros de altura. Sabiendo que los puntos extremos de la sombra que proyectan latorre y el poste coinciden, ¿que altura tiene la torre?

a) 200 metros

b) 198, 4 metros

c) 113, 2 metros

d) 112, 5 metros

e) 110 metros

3. ¿Que significa que dos triangulos sean semejantes?

a) Que tienen igual area.

b) Que tienen igual perımetro.

c) Que sus lados son proporcionales.

d) Que sus tres lados respectivos coinciden.

e) Que sus angulos son proporcionales, en razon distinta de uno.

4. En la figura, ¿cual(es) de los siguientes triangulos es(son) semejantes?

I) △ACD y △BCE

II) △BEC y △AEB

III) △ACD y △CAB

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo III

d) Solo I y II

e) I, II y III

5. En la figura, ¿cual(es) de los siguientes triangulos es(son) semejantes?

I) △ABE ∼ △AFD

II) △FEC ∼ △BDC

III) △CFE ∼ △ABE

a) Solo I

b) Solo I y II

c) Solo I y III

d) Solo II y III

e) I, II y III

6. ¿Cuales de los siguientes triangulos son semejantes entre si?

I) II) III)

a) Solo I y II

b) Solo I y III

c) Solo II y III

d) I, II y III

e) Ninguno de ellos son semejantes entre sı.

7. En la figura se representa un poste y una nina. Si la nina tiene una altura de 1 metro, y lassombras del poste y de la nina miden 7 metros y 50 centımetros, respectivamente, ¿cual esla altura del poste?

a) 3, 5 metros

b) 7, 1 metros

c) 14 metros

d) 35 metros

e) No se puede determinar.

8. En la figura, el triangulo ABC es semejante con el triangulo DEC. Si CM = 5, AB = 21 yCN = 15, ¿cual(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) CN : AB = CM : ED

II) Area △ EDC =35

2

III)Area △ EDC

Area △ ABC=

1

9

a) Solo I

b) Solo I y II

c) Solo I y III

d) Solo II y III

e) I, II y III

9. En relacion a la figura, la razonAN

NMes equivalente a:

a)BC

AB

b)AB

BC

c)AC

BC

d)AN

NC

e)AM

AC

10. Una torre de dos pisos proyecta una sombra de 20 m; si el primer piso tiene una altura de 15m y el segundo piso una altura de 10 m, ¿cuanto mide la sombra proyectada por el segundopiso?

a) 8 m

b) 10 m

c) 15 m

d)40

3e) No se puede determinar.

11. ¿Cual de los siguientes triangulos son semejantes al de la figura?

I) II) III)

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo I y III

d) Solo II y III

e) I, II y III

12. ¿Cual de las siguientes afirmaciones es FALSA?

a) Todos los triangulos equilateros son semejantes

b) Todos los cuadrados son semejantes

c) Todos los triangulos rectangulos isosceles son semejantes

d) Todos los cırculos son semejantes

e) Todos los triangulos isosceles son semejantes

13. ¿Cual(es) de estas semejanzas es(son) verdadera(s)?

I) T1 − T2

II) T1 − T3

III) T2 − T4

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo III

d) Solo I y II

e) Solo I y III

Transformaciones isometricas

Se llaman transformaciones isometricas de una figura a las transformaciones que no alteran laforma ni el tamano de la figura sobre la que se aplica; solo pueden cambiarla de posicion (la orien-tacion o el sentido de esta).Entre las transformaciones isometricas estan las traslaciones, las rotaciones (o giros) y las reflexio-nes (o simetrıas).Una traslacion es el movimiento que se hace al deslizar o mover una figura, en lınea recta, man-teniendo su forma y su tamano. En una traslacion se distinguen tres elementos:

Direccion: que puede ser horizontal, vertical u oblicua

Sentido: derecha, izquierda, arriba, abajo

Magnitud del desplazamiento: es la distancia que existe entre la posicion inicial y laposicion final de cualquier punto de la figura que se desplaza. Al trasladar una figura enun sistema de ejes coordenados es necesario senalar el vector de traslacion. Este es un parordenado de numeros (x, y) donde x representa el desplazamiento horizontal e y representael desplazamiento vertical.

Una rotacion es el movimiento que se efectua al girar una figura en torno a un punto. Este movi-miento mantiene la forma y el tamano de la figura. En una rotacion se identifican tres elementos:

El punto de rotacion ( o centro de rotacion) que es el punto en torno al cual se va aefectuar la rotacion: este puede formar parte de la figura o puede ser un punto exterior a ella.

Magnitud de rotacion, que corresponde a la medida del angulo determinado por un pun-to cualquiera de la figura original, el centro de rotacion, o vertice del angulo, y el puntocorrespondiente en la figura obtenida despues de la rotacion.

El sentido de giro, que puede ser obtenido ( en el sentido contrario al avance de los punterosdel reloj).

Nota: En una rotacion se cumple siempre que la distancia entre un punto cualquiera de la figuragirada y el centro de rotacion es la misma que la distancia entre el punto correspondiente de lafigura original y el centro de rotacion.

Rotacion de 90◦(x, y) −→ (−y, x)

Rotacion de 180◦(x, y) −→ (−x,−y)

Una reflexion de un figura geometrica respecto de un eje llamado eje de simetrıa es el movimientoque transforma la figura de manera que cada punto P y su imagen P ′ equidisten del eje de simetrıay el segmento PP ′ sea perpendicular al eje de simetrıa.

Notas:

1. Una reflexion respecto de un eje es conocida como simetrıa axial.

2. Una reflexion respecto de un punto es conocida como simetrıa central.

Ejes de simetrıa: Si al aplicar una reflexion a una figura geometrica en torno a un eje esta semantiene “invariante”, es decir, no cambia, diremos que ese es un eje de simetrıa de la figura.

El cuadrado de la figura permanecera igual si se refleja en torno a sus diagonales. Ambas diagonalesson ejes de simetrıa del cuadrado. Tambien permanecera igual (o se superpondra sobre sı mismo)si se refleja en torno a los ejes determinados por los puntos medios de lados opuestos.

En el caso de los triangulos, tenemos:

Tipo Ejes

Triangulo equilatero Tres ejes se simetrıaTriangulo isossceles Un eje de simetrıaTriangulo escaleno Ningun eje de simetrıa

En el caso de los cuadrilateros, tenemos:

Tipo Ejes

Cuadrado Cuatro ejes de simetrıaRectangulo Dos ejes de simetrıaRombo Dos ejes de simetrıaTrapecioisosceles Un eje de simetrıaTrapezoide Ningun eje de simetrıa

Nota: El cırculo tiene infinitos ejes de simetrıa. Cada recta que pasa por el centro es un eje desimetrıa del cırculo.Nota: En el caso de los polıgonos regulares, estos tienen tantos ejes de simetrıa como numeros delados.Teselar una superficie consiste en cubrirla completamente con “baldosas”, de modo que estasencajen perfectamente sin dejar espacios por cubrir.Con rectangulos, cuadrados y rombos es muy sencillo cubrir una superficie o teselar. Tambien esposible teselar con cualquier tipo de triangulos.Con polıgonos regulares, la condicion que debe cumplirse para recubrir una superficie es quelos angulos que convergen en cada vertice sumen 360◦.

Nota: Los unicos polıgonos regulares que permiten teselar son los triangulos equilateros, los cua-drados y los hexagonos regulares. Todo cuadrilatero tesela el plano.

Ejercicios

1. Al punto (2, 3) del plano se le aplica una traslacion, obteniendose el punto (5, 2). Si al punto(−2,−1) se le aplica la misma traslacion se obtiene el punto.

a) (1,−2)

b) (−5, 0)

c) (3,−1)

d) (−5, 2)

e) (1, 0)

2. En la figura, al vertice C del cuadrado ABCD se le aplica una rotacion en 180◦ en el sentidohorario, con centro en A. ¿Cuales son las coordenadas de C en su nueva posicion?

a) En (2, 2)

b) En (2, 0)

c) En (4, 2)

d) En (0, 0)

e) En (0, 2)

3. En la figura, la imagen reflexiva del punto P , con respecto al eje de simetrıa L, es el punto:

a) Q

b) R

c) S

d) T

e) U

4. ¿Cual(es) de los siguientes cuadrilateros tiene(n) siempre ejes de simetrıa?

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo I y II

d) Solo I y III

e) I, II y III

I) Cuadrado

II) Rombo

III) Trapecio

5. El piso de un bano se puede teselar con 360 ceramicas cuadradas de 10 cm de lado cadauna. Si se pudiera teselar con ceramicas cuadradas de 30 cm de lado, entonces el numero deceramicas que se ocuparıan es:

a) 120

b) 60

c) 40

d) 18

e) 12

6. Sea A un punto del primer cuadrante que no esta en los ejes, J es el reflejo de A respecto aleje x. Si H es el reflejo de J respecto al eje y, entonces HJ es un segmento:

a) paralelo al eje x.

b) paralelo al eje y.

c) de la bisectriz del segundo cuadrante.

d) de la bisectriz del primer cuadrante.

e) perpendicular al eje x.

7. En la figura, Q es el punto medio de NP y S es el punto medio de MQ . ¿Cual es el punto dela figura que es su propia imagen por la reflexion del eje MQ, como tambien por la reflexiondel eje NP?

a) S

b) Q

c) P

d) N

e) M

8. En la figura, se tiene un cırculo de centro (−3, 2) y radio 1, entonces la traslacion de toda lafigura al nuevo centro (2, 1) situa al punto P en las coordenadas:

a) (1, 2)

b) (2, 1)

c) (1, 1)

d) (2, 2)

e) (0, 2)

9. La figura se rota en el plano, en 180o en torno al punto P . ¿Cual de las opciones representamejor la rotacion de la figura?

a) b) c) d) e)

10. En la figura, al punto B se le aplica una rotacion en 90o con respecto al punto A, en el sentidohorario. Las nuevas coordenadas del punto B son:

a) (6, 2)

b) (−3, 6)

c) (6,−7)

d) (6,−3)

e) (6,−5)

11. En la figura, ¿cual es el punto simetrico del punto A(−1,−2) con respecto a la recta y = 3?

a) (−1, 8)

b) (1, 8)

c) (−1, 6)

d) (7,−2)

e) (−1,−4)

12. ¿Cual(es) de los siguientes polıgonos regulares permite(n) teselar (o embaldosar) el plano?

a) Solo II

b) Solo III

c) Solo I y III

d) Solo II y III

e) I, II y III

I) Pentagonos.

II) Triangulos equilateros.

III) Hexagonos.

13. ¿Cual de los siguientes puntos es simetrico al punto de coordenadas (8,−3) con respecto aleje de las ordenadas?

a) (−8,−3)

b) (8, 3)

c) (−8, 3)

d) (−3, 8)

e) (3, 8)

14. La figura en I) esta formado por 5 cuadrados congruentes, la figura en II) es un cuadrado yla figura en III) es un triangulo equilatero. ¿Cual(es) de ellas tiene(n) simetrıa central?

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo III

d) Solo I y II

e) I, II y III

I)

II)

III)

15. ¿Cual(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo I y II

d) Solo I y III

e) I, II y III

I) Un cuadrado tiene 4 ejes de si-metrıa.

II) Un rectangulo tiene 4 ejes de si-metrıa.

III) Un triangulo escaleno no tieneejes de simetrıa.

16. En la figura, ¿cual es el punto simetrico al punto P (2, 3), con respecto a la recta L de ecuaciony = x?

a) (2, 1)

b) (−2, 3)

c) (−2,−3)

d) (2,−3)

e) (3, 2)

17. ¿Cual de los siguientes puntos es simetrico al punto de coordenadas (8,−3) con respecto aleje de las ordenadas?

a) (−8,−3)

b) (8, 3)

c) (−8, 3)

d) (−3, 8)

e) (3, 8)

18. En la figura, ABCD es un cuadrado simetrico con el cuadrado A′B′C ′D′ con respecto al ejey. ¿Cual(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) D′ = (−5, 6)

II) Ambos cuadrados tienen igual perımetro.

III) Ambos cuadrados tienen igual area.

a) Solo I

b) Solo I y II

c) Solo I y III

d) Solo II y III

e) I, II y III

19. En la figura, el triangulo MNS es simetrico (reflejo) con el triangulo QPR respecto al ejeT , entonces ¿cual(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

I) RS⊥T

II) QR // NS

III) △PMR ∼= △NQS

a) Solo I

b) Solo III

c) Solo I y II

d) Solo I y III

e) I, II y III

20. En la figura, el cuadrado dibujado con diagonal en el eje y se traslada al cuadrado dibujadocon lınea punteada. ¿Cuales son los componentes del vector de la traslacion?

a) (1, 2)

b) (−2, 1)

c) (−1, 2)

d) (2, 1)

e) (−2,−1)

21. Se tiene un papel en forma de cuadrado, el cual posee simetrıa central. ¿En cual(es) de lossiguientes casos se obtiene, a partir de ese cuadrado, una nueva figura con simetrıa central?

a) Solo I

b) Solo III

c) Solo I y II

d) Solo I y III

e) I, II y III

I) Si se redondean todas las esquinas de la mis-ma forma y tamano.

II) Si se redondean solo 2 esquinas adyacentesde la misma forma y tamano.

III) Si se redondean solo 2 esquinas opuestas dela misma forma y tamano.

22. En la figura, ¿cual de las siguientes transformaciones rıgidas permite obtener el polıgono Pa partir del polıgono Q?

a) Simetrıa (reflexion) con respecto al eje y.

b) Rotacion en 180o con respecto al origen.

c) Simetrıa (reflexion) con respecto al eje y, yuna rotacion en 180o con respecto al origen.

d) Simetrıa (reflexion) con respecto al eje x, yuna rotacion en 180o con respecto al origen.

e) Rotacion de 90o con respecto al origen.

23. El triangulo ABC tiene coordenadas: A(2, 3), B(−3, 8) y C(3, 7). Si se aplica una traslacionsegun el vector (5,−7), las nuevas coordenadas del triangulo seran:

a) Solo II

b) Solo I y II

c) Solo I y III

d) Solo II y III

e) I, II y III

I) A′(7,−4)

II) B′(−8, 1)

III) C ′(8, 0)

24. En la figura, el △ABC se traslada segun el vector (4, 2). ¿Cual(es) de las siguientes afirma-ciones es(son) verdadera(s)?

I) A se traslada al punto de coordenadas (6, 3).

II) La distancia entre A y su imagen segun esta traslacion es 2√5.

III) El perımetro del triangulo que se obtiene por esta traslacion, es igual al perımetro deltriangulo ABC.

a) Solo I

b) Solo I y II

c) Solo I y III

d) Solo II y III

e) I, II y III

25. En la figura, la circunferencia tiene radio 1 y la semicircunferencia tiene radio1

2. Si se gira

toda la figura en torno al centro O en 180o, en el sentido de la flecha, el punto A, queesta sobre la semicircunferencia, queda en las coordenadas:

a)

(

1

2,−1

2

)

b)

(

1

2, 0

)

c)

(

−1

2,−1

2

)

d)

(

0,1

2

)

e)

(

−1

2,1

2

)

26. Se tiene el triangulo cuyos vertices estan ubicados en los puntos A(1, 2), B(3, 2) y C(3, 5).Si al triangulo ABC se le aplica una traslacion que sea paralela al eje x en una unidad a laizquierda, y luego se le aplica otra traslacion paralela al eje y en dos unidades hacia arriba,¿cual(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

a) Solo I

b) Solo III

c) Solo I y II

d) Solo I y III

e) I, II y III

I) El nuevo vertice B queda ubicadoen el punto (2, 4)

II) El nuevo vertice C queda ubicadoen el punto (2, 7)

III) El nuevo vertice A queda ubicadoen el punto (0, 4)

27. El numero de ejes de simetrıa que tiene un triangulo con dos lados iguales y uno distinto es:

a) 4

b) 3

c) 2

d) 1

e) 0

28. Dado el punto P de coordenadas (7,−9), ¿cuales son las coordenadas del punto simetrico deP con respecto al eje y?

a) (−7,−9)

b) (7, 9)

c) (−7, 9)

d) (−9, 7)

e) (−9,−7)

29. Si a un triangulo ABC de vertices A(1, 2), B(−2, 1) y C(4, 0), se le aplica la traslacion segunel vector ~u = (−5, 7) , ¿cual(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo I y II

d) Solo I y III

e) Solo II y III

I) A se transforma en A′(−4, 9)

II) B se transforma en B′(−3, 8)

III) C se transforma en C ′(−1, 7)

30. A la figura se aplica una simetrıa (reflexion) con respecto al eje RS. ¿Cual es la opcion quemuestra mejor la figura resultante?

a) b) c)

d) e)

31. Si el grafico de la funcion f(x) se obtiene por reflexion del grafico de la funcion g(x) respectode y = x. ¿Cual de los siguientes graficos representa esta situacion?

a) b) c)

d) e)

32. En la figura, las coordenadas del punto A son (−4,−1), ¿cual(es) de las siguientes afirma-ciones es(son) verdadera(s)?

I) El punto simetrico de A con respecto al eje y es el punto (4,−1).

II) Al rotar el punto A en 90◦ en sentido antihorario, en torno al origen, se obtiene elpunto (−1, 4).

III) Al trasladar el punto A dos unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba, se obtieneel punto (−2, 1).

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo III

d) Solo I y III

e) I, II y III

33. ¿Cual de las siguientes opciones representa una simetrıa (reflexion) de la figura respecto a larecta L?

a) b) c)

d) e)

34. En la figura, el cuadrado A′B′C ′D′ es la imagen del cuadrado ABCD bajo una:

I) Rotacion de 180o con centro en el origen.

II) Simetrıa respecto al origen.

III) Simetrıa respecto al eje x.

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo III

d) Solo I y II

e) I, II y III

35. La recta L es simetral del segmento AB. ¿Cual(es) de las siguientes afirmaciones es(son)verdadera(s)?

I) AO ∼= OB

II) B es simetrico de A respecto a L.

III) △ARB es escaleno.

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo III

d) Solo I y II

e) I, II y III

36. El trazo AB, con A = (−4,−3) y B = (5,−1), se traslada 3 unidades a la izquierda en laabscisa y 5 unidades hacia arriba en la ordenada. El nuevo trazo A′B′ queda con coordenadas:

a) (−7, 2) y (2, 4)

b) (−1, 2) y (8, 4)

c) (1, 0) y (10, 0)

d) (−9, 0) y (0, 2)

e) (−7, 2) y (2, 6)

37. Todos los triangulos son congruentes. ¿En que caso(s) son simetricos respecto de la recta L?

I) II) III)

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo III

d) Solo I y III

e) Ninguna de las anteriores.

38. La figura esta formada por 4 triangulos equilateros congruentes entre sı ¿Cual(es) de lasfiguras en I), en II) y en III) se obtiene(n) por alguna rotacion con respecto al centro de lafigura?

I) II) III)

a) Solo I

b) Solo I y II

c) Solo I y III

d) Solo II y III

e) I, II y III

39. El domino esta formado por dos cuadrados congruentes entre sı, como lo muestra la figura.Cada una de las figuras presentadas en I), en II) y en III) estan formadas por cuadradoscongruentes a los que forman el domino. ¿Cual(es) de ellas es(son) posible(s) de embaldosar(o teselar) completamente con el domino?

I) II) III)

a) Solo II

b) Solo I y II

c) Solo I y III

d) Solo II y III

e) I, II y III

40. Se desea teselar un bano cuadrado que mide 10 m por lado. Se tienen tres tipos de baldosas:una cuadrada de lado 30 cm, una rectangular de lados 30 y 10 cm y un triangulo rectangulode catetos 20 y 50 cm. ¿Con cual de las baldosas se puede embaldosar el bano completo?

a) Solo con los triangulos.

b) Solo con los cuadrados.

c) Con los cuadrados y rectangulos.

d) Solo con los rectangulos.

e) Con ninguna de las figuras.

41. ¿Cual de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?

a) El triangulo tiene tres ejes de simetrıa.

b) El rectangulo tiene cuatro ejes de simetrıa.

c) La circunferencia tiene solo dos ejes de simetrıa.

d) El trapecio isosceles tiene un eje de simetrıa.

e) El cuadrado tiene solo dos ejes de simetrıa.

42. En el sistema de ejes coordenados de la figura se ha ubicado el punto P (a, b). ¿Cual(es) delas siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

I) El simetrico de P con respecto al eje x es P ′(a,−b).

II) El simetrico de P con respecto al origen es P ′(−a,−b).

III) El simetrico de P con respecto a un punto en el primer cuadrante es otro punto queesta en el primer cuadrante.

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo I y II

d) Solo I y III

e) I, II y III