CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC1.Công thức cộng:

( )1 .

tga tgbtg a b

tga tgb

cos(a+b) = cosacosb - sinasinb

cos(a-b) = cosacosb + sinasinb

sin(a+b) = sinacosb + sinbcosasin(a-b) = sinacosb – sinbcosa

( )1 .

tga tgbtg a b

tga tgb

Nhớ :

cos thời cos cos, sin sin sin thời sin cos, cos sin là cùng

tg tổng thì tổng tg ta phép chia của một trừ thừa tg ra

Cụ thể : VT và VP ngược dấu

VT và VP cùng dấu

( )1 .

tg tgtg

tg tg

tg hiệu là hiệu tg ngươi

phép chia của một cộng thừa tg vô ( )1 .

tg tgtg

tg tg

cos

cotg

tg

O

+

-1

-1

1

1

B

AA’

B’

M

P

Q

sin

K

αN

E

F β

Vận dụng kiến thức đã học :

. . .cos ;u v u v u v

. .u p i q j

1i j

; 2ON OM k ����������������������������

j

i

0 1 x

y1

1;0i

0;1j

( ; )u p q

2 2u p q

;v a b

. . .u v p a q b

Xét M , N trên mp tọa độ Oxy :

x

y

cos ;sinOM ��������������

cos ;sinON ��������������

. . .cos ;OM ON OM ON OM ON������������������������������������������������������������������������������������

cos cos sin sin 1. 1.cos 2k

cos cos sin sin 2 2 2 2cos sin . cos sin . cos 2k

cos cos sin sin cos

cos cos cos cos cos sin sin

cos cos sin sin

sin sin cos sin cos

cos cos cos sin sintg

sin cos sin coscos cos cos coscos cos sin sincos cos cos cos

sin sincos cos

sin sin1 .

cos cos

1

tg tg

tg tg

1

tg tgtg

tg tg

tg tg 1

tg tg

tg tg

1

tg tg

tg tg

Đối với cotg(α±β) vận dụng tg(α±β) vào và nhớ cotg bằng nghịch đảo của tgVí dụ : Tính cos150 và cotg2150

0cos15 0 0cos 45 30 0 0 0 0cos 45 cos30 sin 45 sin 302 0 2 0sin 15 1 cos 15

2 4 2 26 2 8 4 2 2 21 1 1

4 16 4 4

2 0 2 2

sin 154

0 2 2 2 2sin15

4 2

2 02 0

115 1

sin 15cotg

4 2 21 4 2 2 2 11 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 14

Giải

Ví dụ : Tính sin8

2 2cos cos sin4 8 8

2 21 sin sin

8 8

2cos 1 2sin4 8

21 cos 2 2 2 24sin sin

8 2 4 8 2

2 2sin

8 2

cos cos cos sin sin8 8 8 8 8 8

Giải

2. Công thức nhân đôi :

sin2α = 2sinαcosαcos2α = cos2α – sin2α

= 2cos2α – 1= 1 – 2sin2α

2

22

1

tgtg

tg

Nhớ :sin cặp thì cặp sin cô

cos hai lấy hiệu bình cô sin bìnhthêm hai cos bình trừ duy nhất

duy nhất trừ đi hai sin bình

tg nhị là nhị tg anhphép chia của một trừ bình tg thôi

Chứng minh : Vận dụng các công thức sin(α+β), cos(α+β) và tg(α+β). Cụ thể :

cos 2 cos( ) cos cos sin sin 2 2cos sin sin 2 sin( ) sin cos sin cos 2sin cos

2

22

1 1

tg tg tgtg

tg tg tg

a. Hệ quả 1:

2

2

2

1 cos 2cos

21 cos 2

sin2

1 cos 2

1 cos 2tg

Các công thức sau đây cho phép tính cosα, sinα và tgα theo , 2

2t tg k

2

2

2

2

2sin

1

1cos

12

1

t

t

t

tt

tgt

Chứng minh : Chứng minh : Vận dụng các công thức nhân

đôi ta được hệ qủa một.

b. Hệ quả 2:

cos bình không biết bằng chi ?mẫu hai, tử tổng một và cos hai

Nhớ :

sin 2sin cos2 2

2sin cos

2 21

2

2 2

2 2

2sin cos2 2

cos2

sin cos2 2

cos cos2 2

2 2

2sin cos2 2

sin cos2 2

2

22sin

12

tg

tg

2

2sin

1

t

t

2

2

12cos

12

tg

tg

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

cos sin2 2

cos sin cos sin cos cos2 2 2 2 2 2cos cos sin

2 2 1 cos sin cos sin2 2 2 2

cos cos2 2

2

2

1cos

1

t

t

Ta có :

Ví dụ : Tính giá trị của biểu thức sau :25 cos

2 7sin

xM

x

1

2 2

xtg

2 25 1 sin 4 sin

2 7sin 2 7sin

x xM

x x

22

12.2 42sin

1 511

2

tx

t

24

4585

4 952 7.5

M

Giải

Áp dụng hệ qủa 2 : đặt1

2 2

xt tg

3. Công thức biến đổi :a. Công thức biến đổi tích các hàm số lượng giác

thành tổng :

1sin sin cos cos

21

cos cos cos cos21

sin cos sin sin2

Nhớ : tích sin là tích nửa âm

cô đầu lấy tổng, cô sau lấy trừ

Chứng minh : Vận dụng công thức cộng rồi cộng hoặc trừ vế theo vế.

Ví dụ : Tính2

cos cos5 5

M

1 2 2cos cos

2 5 5 5 5M

1 3 1 3

cos cos cos cos2 5 5 2 5 5

M

32sin cos cos

1 5 5 52 2sin

5

M

32sin cos 2sin cos1 5 5 5 5

2 2sin5

1 4 2 2sin sin sin

5 5 54sin5

M

4 sinsin55

4sin 4sin5 5

Giải

sin 1544sin

5

M

b. Công thức biến đổi tổng các hàm số lượng giác thành tích :

cos cos 2cos cos2 2

cos cos 2sin sin2 2

sin sin 2sin cos2 2

sin sin 2cos sin2 2

sin

cos cos

sin

cos cos

tg tg

tg tg

Nhớ :cos ‘+’ cos bằng 2 cos cos

cos ‘-’ cos bằng ‘-’ 2 sin sin

sin ‘+’ sin bằng 2 sin cos

sin ‘-’ sin bằng 2 cos sin

Cụ thể :Chữ cuối lên giọng thì VT là tổng, xuống giọng VT là hiệu

Ở VP đọc trước là tổng chia đôi, đọc sau là hiệu chia đôi

Chứng minh :

sin(a + b) = sinacosb + sinbcosasin(a – b) = sinacosb – sinbcosa

sin(a + b) + sin(a – b) = 2sinacosb

Đặt :

α = a + bβ = a – b

2

2

a

b

sin sin 2sin cos

2 2 2 2 2 2

sin sin 2sin cos2 2

Áp dụng tương tự với các hàm khác

Ví dụ : Biến đổi thành tích biểu thức sau

M = sinx – sin2x + sin3x

M = sin3x + sinx – sin2x – sin2x3 3

2sin cos2 2

x x x x =

Giải

2 22cos 2cos sin

2 2

x x x xM x

M = 2sin2xcosx – 2sinxcosx = 2cosx(sin2x – sinx)

34sin cos cos

2 2

x xM x

Ví dụ : Tính giá trị biểu thức sau N = tg750 – tg150

Giải 0 0 0

0 0 0 0

sin 75 15 sin 60

cos 75 cos15 cos 75 cos15N

Mở rộng cho các công thức sau :

sin cos 2 sin 2 cos4 4

sin cos 2 sin 2 cos4 4

i.

ii.

iii. sin3α = 3sinα – 4sin3α

iv. cos3α = 4cos3α – 3cosα

Vận dụng công thức : 1cos cos cos cos

2

Với α = 750 , β = 150 thế vào ta được kết quả :

0

0 0 0 0

sin 601

cos 75 15 cos 75 152

N

0

0 0

2sin 60

cos90 cos 60

00

0

2sin 602 60 2 3

cos 60N tg

Chứng minh :

sin3α = sin(2α + α) = sin2αcosα + sinαcos2α= 2sinαcos2α + sinα(1 – 2sin2α)

= 2sinα(1 – sin2α) + sinα(1 – 2sin2α)

= 2sinα – 2sin3α + sinα – 2sin3α

sin3α = 3sinα – 4sin3αTương tự cho cos3α

VT 2. 2

2 sin cos 2 2 2

sin cos2 2

2 cos sin sin cos4 4

VT

2 sin

4

2 sin sin cos cos4 4

VT

2 cos

4

Tương tự cho sinα - cosα

i.

ii.

iii.

iv.

Bài tập củng cố :1. Tính: A = sin100sin300sin500sin700

A.cos100 = cos100sin100cos200cos400sin300

0 0 0 01.cos10 sin 20 cos 20 cos 40

2A

A = sin100sin300sin(900 _ 400)sin(900 – 200)

A = sin100sin300 cos400cos200

0 0 01.cos10 sin 40 cos 40

4A

0 01.cos10 sin80

8A

0 0 01.cos10 sin(90 80 )

8A

0 01.cos10 cos10

8A

1

8A

Giải :

2. Tính : B = cos200 + cos400 + … + cos1600 + cos1800

B = (cos200 + cos1600 ) + (cos400 + cos1400 ) + (cos600 + cos1200 ) + (cos800 + cos1000 ) + cos1800

B = [cos200 + cos(1800 - 20 )] + [cos400 + cos(1800 - 400 )] + [cos600 + cos(1800 - 600 )] + [cos800 + cos(1800 - 800 )] +cos1800

B = (cos200 – cos200 ) + (cos400 – cos400 ) + (cos600 – cos600 ) + (cos800 – cos800 ) + cos1800

B = cos1800 = cos(1800 – 00) = – cos00 = -1

3.Ví dụ :CMR : . .tgA tgB tgC tgA tgB tgC

Theo giả thiết, A,B,C là các góc của một tam giác, ta có:A + B + C = π A + B = π – C

tg(A + B) = tg(π – C)

Giải :

Giải :

. 1 .tgA tgB tgC tgA tgB . .tgA tgB tgC tgC tgA tgB

. .tgA tgB tgC tgA tgB tgC

1 .

tgA tgBtgC

tgA tgB

(đpcm)

4.Ví dụ :CMR tam giác ABC cân tại B khi: sin

2cossin

BA

C

sin 2sin .cosB C A 12. sin sin

2C A C A

Mà : A + B + C = π C + A = π – B sin sin sinC A B B

sin 0C A A C

(1)Giải :

(1)

sin sin sinB B C A Do đó :

Tam giác ABC cân tại B