Cong thuc 2013 (pc2013072414 ovr's conflicted copy 2013 11-08)

Cô sôû BDVH - LTĐH Cao NguyeânBMT www.luyenthicaonguyen.com

ĐC: 25/8 Mai Hắc Đế-128/39 Ywang - BMT ĐT: 0945.46.00.44

Thaày Phuùc-phuùcmaihaécñeáhttp://facebook.com/phuctoanbmt Khai giảng hàng năm vào ngày 10/06 1

MỘT SỐ BÀI GIẢI ẤN TƯỢNG

Bài 1. Giải phương trình: 2x 2 4 x 2x 5x 1

Nhận xét:

Sử dụng máy tính bỏ túi nhập biểu thức: 2x 2 4 x 2x 5x 1 bấm shift solve

với các giá trị nguyên trong khoảng tập xác định x 2;4 , ta nhận được f x 0 khi x 3, nghĩa là x 3 là một nghiệm của phương trình. Một cách tự nhiên, ta suy nghĩ tách ghép phù hợp sao cho khi nhân lượng liên hợp xuất hiện nhân tử x 3 hoặc bội của nó.

Ta không nên ghép cặp 2 x 3x 2 4 x

x 2 4 x

với nhau, mặc dù nó xuất

hiện nhân tử x 3 và đặc biệt là biểu thức 22x 5x 1 không xuất hiện x 3 . Hơn

nữa, sau khi nhân liên hợp nó xuất hiện hạng tử x 2 4 x dưới mẫu số mà chưa có thể khẳng định được âm hay dương trong tập xác định của x, điều đó sẽ gây khó khăn cho ta khi giải quyết (đánh giá) biểu thức g x 0 trong x 3 .g x 0 .Do đó, ta suy nghĩ đi tìm hai

số , 0 trong hai biểu thức x 2 , 4 x để sau khi nhân lượng liên hợp,

Cơ sở 1: 25/8 Mai Hắc Đế- Buôn Ma Thuột Bồi dưỡng nâng cao kiến thức môn toán 10, 11, 12, Luyện thi đại học cao đẳng

Cơ sở 2: Cao Nguyên BMT-128/39 Ywang- Buôn Ma Thuột Bồi dưỡng nâng cao kiến thức môn toán, vật lí, hóa học, sinh học 10, 11,

12 Luyện thi đại học cao đẳng Chủ nhiệm: thầy Nguyễn Trọng phúc Phụ trách môn toán: - Thầy Nguyễn Trọng Phúc

-Thầy Phạm Trung Khuê Phụ trách môn lí: - Th.s Nguyễn Đình Nguyên Phụ trách môn hóa: - Th.s Phạm Huy Quang

-Thầy Hoàng Viết Tiến Phụ trách môn sinh - Th.s Võ Thị Tuyết Nga

Luôn nhận học sinh trong năm Có kế hoạch phụ đạo cho học sinh yếu và học sinh nhập học sau. Phân loại lớp theo trình độ

Thầy Phúc: 09.45.46.00.44




cả hai đều xuất hiện x 3 . Vì vậy, hai số , 0 phải thỏa mãn đồng nhất:

x 2 x 2 x 3

x 2 x 24 x 4 x x 3

4 x 4 x

2

2

x 2 x 3

4 x x 3 1

, 0

. Nên ta có lời giải sau:

Bài giải tham khảo

● Điều kiện: 2 x 4 .

2x 2 1 4 x 1 2x 5x 3 0

x 3 3 xx 3 2x 1 0

x 2 1 4 x 1

1 1x 3 2x 1 0

x 2 1 4 x 1

x 3

1 12x 1 1

x 2 1 4 x 1

● Xét hàm số f x 2x 1 trên x 2;4 thấy f x 2x 1 5 2

● Xét hàm số 1 1g x

x 2 1 4 x 1

trên x 2;4 .

1 1g ' x 0, x 2;4

2 x 2 x 2 1 2 4 x 4 x 1

.

g x nghịch biến và 2;4

1max g x g 2 1 3

2 1

● Từ 2 , 3 2 hàm số f x , g x có đồ thị không thể cắt nhau. Do đó 1 vô nghiệm.

● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 3 .

Bài 2: Giải phương trình: 2 5 3 1 13x x x




Đặt 33 1 2 3 ;2

x y y ta có hệ phương trình sau:

2

22 3 2 1

2 3 3 1

x y x

y x

trừ vế theo

vế ta có 2 2 5 0x y x y ;

Với 15 978

x y x

Với 11 732 2 5 08

x y x

Vấn đề ở đây là tại sao lại đặt 3 1 2 3x y . Cách đặt trên không phải ngẫu nhiên. Bài

toán trên có dạng sau: 2ax b r ux v dx e trong đó: u ar dv br e

Cách giải: đặt uy v ax b ta có hệ

2

2uy v r ux v dx e

ax b ux v

Với pt trên ta biến đổi: 23 1 2 3 4 0x x x từ đó ta có cách giải

Bài 3: Tính

1

0 3 2 8dx

x x

Cách thông thường: xét

1 1

0 0

2 8 313 2 8 3 2 8 3 2 8

2 8 3 1

12 0 1 1 ...28 3 1 2 3 2 81

A B x A BA Bx x x x x x

A B x A B

A B AI dx dx

A B x xB

Kĩ thuật tách đồng bậc:

1 1 1

0 0 0

1 1

0 0

2 8 2 623 2 8 2 6 2 8 2 6 2 8

1 12 6 2 8

x xdx dx dxx x x x x x

dx dxx x

Nhận xét:

Kĩ thuật tách đồng bậc cho ta cách tính nhanh và chính xác. Trong ví dụ sau kĩ thuật sau sẽ

thực sự phát huy tác dụng:

1

0 1 2 3dxI

x x x

. xin được dành lời giải cho quý độc giả.




Bài 3:

3

32 1

dxIx x

Cách thông thường:

3 2

3 3 2 3

3 2

11 1 1

2 10 1

10 1

1 1

C D x B C x A B x AA B C Dx x x x x x x x

C D AB C B

C D x B C x A B x AA B C

A D

3 3 3 3

3 22 2 2 2 1

dx dx dx dxIx x x x

Kĩ thuật tách không đồng bậc:

3 3 3 3

3 3 2 32 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

2 3 2 3 2 3 2 32 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 11 1 1

1 111 1 1 1

x xdx dxI dx dxx x x x x x x

x x x xdx dx dx dx dx dx dx dx dxdx dx dxx x x x x x x x x x x x x x x

Nhận xét:

Kĩ thuật tách không đồng bậc giúp ta giải nhanh và chính xác. Hãy thử ví dụ sau để thấy rõ

ưu điểm của kĩ thuật này: 2

51 5 20

dxIx x

NHÌN NHẬN VỀ VIỆC TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC -Câu 5 (câu hình học tổng hợp) trong đề thi đại học là một câu cung tương đối khó khăn với học sinh. Câu đó thông thường gồm 2 ý, một ý tính thể tích và một ý tính khoảng cách.việc tính thể tích thường đơn giản, việc tính khoảng cách thì khó khăn hơn. Đề thi đại học thường ra 2 loại tính khoảng cách: tính khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng hoặc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau -Trước hết chúng ta xét việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. đối với loại này thường có 2 cách làm: +Cách 1( cách trực tiếp):tìm hình chiếu của điểm đó trên mặt phẳng +Cách 2(cách gián tiếp): kẻ một đường thẳng đi qua điểm đó và song song với mặt phẳng. khi đó khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng. mà khoảng cách từ đường thẳng song song với mặt phẳng là khoang cách từ một điểm bất kì trên đường thẳng đó đến mặt phẳng. cách này có thể hiểu theo một cách đơn giản là dịch chuyển điểm đó đến một chỗ khác mà viec tính khoảng cách dễ dàng hơn. Cách 2 tỏ ra khá hiệu quả trong đề thi một số năm gần đây. Ví dụ như đề đại học khối B năm 2013




Thực ra cách tính trên là chúng ta dịch

chuyển điểm A sang điểm H để việc tính khoảng cách trở nên dễ dàng. Vậy tại sao chúng ta không tính trực tiếp khoảng cách từ điểm A? Việc tính khoảng cách trực tiếp từ điểm A là khó khăn, trong một số bài gần như không thể tính trực tiếp.hoặc nếu tìm được hình chiếu thì khó khan trong việc tính khoảng cách! Việc dịch chuyển điểm A cũng có nguyên tắc, chúng ta cần dựa vào yếu tố vuông góc. Nhận xét rằng SH ABCD . Bởi vậy ta cần dịch chuyển A đến điểm H. Chúng ta xét một ví dụ khác Khối A 2013 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, góc ABC = 30o, SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB)

Thôngthường HS thường nghĩ cách tính trực tiếp khoảng cách từ C đến (SAB). Nhưng việc tính như vậy trở nên khó khăn vì việc tìm hình chiếu của C lên mặt phẳng (SAB) không dễ dàng. Vì vậy chúng ta dịch chuyển điểm C đến một vị trí khác. Việc dịch cũng có nguyên tắc của nó. Như đã nói ở trên, chúng ta sẽ dịch chuyển C trên một đường thăng song song với mặt phẳng (SAB). Ta dựng điểm D sao cho ABDC là hình chữ nhật.Nhưng dịch chuyển đến vị trí nào là thích hợp? chúng ta sẽ tận dụng yếu tố vuông góc. Ta thấy ngay SH vuông góc




với mặt phẳng(ABC) , do đó SH vuông góc với DC, ta cần chọn thêm một yếu tố vuông góc nữa. đối với bài này giả thiết đã cho tam giác ABC vuông tại A và H là trung điểm của BC thì chúng ta chỉ cần lấy E là trung điểm của CD là đủ. Nhưng nếu là bai toán khác thì theo nguyên tắc chung qua H chúng ta kẻ đường thẳng vuông góc với DC cắt DC tại E và cắt AB tại M. từ E kẻ EK vuông góc SM thì EK chính là khoảng cách từ E đến (SAB) mà d(E,(SAB))=d(C,(SAB)). Việc tính EK có nhiều cách. Đến đây bài toán đã được giải quyết.

Trong đề thi đại học việc tìm ra lời giải tối ưu là rất cần thiết. Nó giúp ta tiết kiệm thời gian và cho ra kết quả chính xác. Còn rất nhiều kĩ thuật hay nhưng không thể trình bày hết ở đây.xin được hẹn quý độc giả trong một cơ hội khác.




PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: Các dạng cơ bản:

A B

A BA B

2/

0BA B A B

A B

3/ A B A B A 4/ A B

A Ba B

PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PT CHỨA CĂN THỨC: Các dạng cơ bản:

1/ 0A

A BA B

2/ 2

0BA B

A B

3/ 2

00

AA B B

A B

4/

2

00

0

AB

A BBA B

CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ: 1/ Các hệ thức cơ bản:

1/ 2 2sin x cos x 1 2/ sintanxcos

xx

3/ coscot xsin

xx

4/ 1tancot

xx

5/ 22

11 tancos

xx

6/ 22

11 cotsin

xx

2/ Công thức cộng: sin( ) sin cos coscos( ) cos cos sin sin

a b a b asinba b a b a b

tg(a b) = 1tga tgb

tgatgb

cotg(a b) =

1 tgatgbtga tgb

3/ Công thức nhân đôi: a/ sin2x = 2sinxcosx b/ cos2x = cos2x – sin2x = 2 cos2x – 1 = 1 - 2 sin2x

c/ tan2a = 2

2 tan1 tan

aa

d/ cot2a = 2cot 1

2cota

a

4/ Công thức hạ bậc

2 1 cos2sin2

xx 2 1 cos2cos

2xx

tan2a = 1 cos21 cos2

aa

5/ Công thức nhân ba: Sin3x = 3sinx – 4sin3x cos3x = 4cos3x – 3cosx. 7/ Công thức biến đổi tích thành tổng:




1cos cos cos( ) cos( )2

1sin sin cos( ) cos( )2

a b a b a b

a b a b a b

1sin cos sin( ) sin( )2

a b a b a b

8/ Công thức biến đổi tổng thành tích:

sin sin 2sin cos2 2

x y x yx y sin sin 2cos sin

2 2x y x yx y

cos cos 2cos cos2 2

x y x yx y cos cos 2sin sin

2 2x y x yx y

tan tan = sin( )cos .cos

; ,2

k k

Z

9/ Các cung liên kết: a. Cung đối: và

cos( ) cos sin( ) sin

n( ) n cot( ) cotta ta

b. Cung bù: và c. Cung phụ: và 2

sin( ) sincos( ) costan( ) ncot( ) cot

ta

sin cos2

cos sin2

tan cot2

cot tan2

d. Cung sai kém nhau : và e. Cung hơn kém nhau 2 : và

2

tan( ) tancot( ) cotsin( ) sincos( ) cos

sin cos2

cos sin2

tan cot2

cot tan2




C.PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC. 1/ Phöông trình löôïng giaùc cô baûn .

sin u = sin v 2

2u v ku v k

( k Z )

cos u = cos v u = v + k2. ( k Z ) tanu = tanv u = v + k ( k Z ) cotu = cotv u = v + k ( k Z )

2/ Phöông trình cơ bản ñaëc bieät :

sinx = 0 x = k , sinx = 1 x =2 + k2 ,

sinx = -1 x = - 2 + k2 cosx = 0 x =

2 + k ,

cosx = 1 x = k2 , cosx = -1 x = + k2 . PHẦN 2: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

1. Toạ độ của vectơ và toạ độ của điểm: Vectơ u

có toạ độ (x;y) u=x.i+y.j

.

Điểm M có toạ độ (x;y) OM=x.i+y.j

. Nếu điểm A(xA;yA) và điểm B(xB;yB) thì : o B A B AAB=(x -x ;y -y )

o 2 2B A B AAB= x -x + y -y

Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k1: A B A Bx -kx y -kyMA=kMB M ;1-k 1-k

.

Trung điểm I của AB có tọa độ A B A Bx +x y +yI ;2 2

.

Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ A B C A B Cx +x +x y +y +yG ;3 3

.

2. Tích vô hướng của hai véctơ: Cho u=(x;y)

và v=(x';y')

. Ta có: Các phép toán về vectơ: o u ± v = (x±x' ; y±y' )

o ku=(kx;ky)

o 2 2| u|= x +y

Tích vô hướng của hai vectơ:




o ĐN tích vô hướng: u.v=

u . v .cos(u,v)

o Biểu thức toạ độ: u.v=x.x'+y.y'

o Góc giữa hai vectơ: 2 2 2 2

x.x'+y.y'cos(u,v)=x +y . x' +y'

Diện tích tam giác :

Cho tam giác ABC với 1 2;AB a a

và 1 2;AC b b

. Ta có: ABC 1 2 2 11S = a b -a b 2

3. Phương trình đường thẳng: Cho đường thẳng d đi qua điểm M0(x0;y0) và có vectơ chỉ phương là u=(a;b)

. Khi đó:

Phương trình tham số của d là: 0

0

x=x +aty=y +bt

(1)

PT chính tắc của d (khi ab0) là: 0 0x-x y-y=a b

(2)

Cho đường thẳng d đi qua điểm M0(x0;y0) và có vectơ pháp tuyến n=(A;B)

Phương trình tổng quát của d A(x-x0)+B(y-y0)=0 (3) Phương trình : Ax+By+C=0 với A2+B2>0 là pt đt(d) có vectơ pháp tuyến là n=(A;B)

Chú ý: - Phương trình các đường thẳng đặc biệt: Trục Ox: y = 0 ; Trục Ox: y = 0 Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn:Đường thẳng (d) đi qua A(a;0), B(0;b)

Phương trình là: x y+ =1a b

(4)

Phương trình đường thẳng theo hệ số góc k Nếu đường thẳng (d) đi qua điểm M0(x0;y0) và có hệ số góc k thì: Phương trình là: 0 0y k x x y (5) Phương trình đường thẳng dạng: y = ax + b (6) 4. Góc giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng: (d1): A1 x+B1 y+C1=0 có VTPT 1 1 1n =(A ;B )

và

(d2): A2 x+B2 y+C2=0 có VTPT 2 2 2n =(A ;B )

Gọi là góc giữa (d1) và (d2). Ta có:

1 2 1 2 1 2

2 2 2 21 2 1 1 1 1

.cosφ= =

. .

n n A A B Bn n A B A B

5. Khoảng cách từ điểm M0(x0;y0) đến đt (d) có phương trình Ax+By+C=0

là: 0 00 2 2

Ax +By +Cd M ,(d) =

A +B




6. Phương trình đường tròn: Dạng 1: Đường tròn (C) có tâm I(a;b) và có bán kính R. Phương trình có dạng: (x-a)2 + (y-b)2 = R2. Dạng 2: Phương trình có dạng: x2+y2+2ax+2by +c=0, với điều kiện : a2+b2>d, là phương trình đường tròn có tâm I(a;b;c) và có bán kính

2 2 2R= a +b +c -d * Giao điểm của đường thẳng (d) và đường tròn (C): Gọi IH là khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng (d); R là bán kính của đường tròn : o IH>R : (d)(C)= o IH=R : (d)(C)=H, (d) tiếp xúc với (C) o IH<R : (d)(C) tại hai điểm phân biệt 7. Phương trìnhtiếp tuyến của đường tròn: Dạng 1: Cho đường tròn (C) có tâm I(a;b) và có bán kính R và điểm M(x0;y0) thuộc (C). Khi đó 0 0;IM x a y b

là VTPT của tiếp tuyến (d)

Phương trình tiếp tuyến có dạng: 0 0 0 0 0x a x x y b y y . Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến (d)của đường tròn đi qua điểm M(x0;y0) không thuộc (C). * Gọi n=(A;B)

là VTPT của (d) qua M. Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng:

A ( x – x0 ) + B ( y – y0 ) = 0 0 0 0Ax By Ax By * Do (d) tiếp xúc (C) nên : ;d I d R . Giải phương trình tìm A, B * Khi đó ta viết phương trình tiếp tuyến (d) Dạng 3: Phương trình tiếp tuyến (d)cho biết hệ số góc a. * Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng: y = ax + b 0ax y b * Do (d) tiếp xúc (C) nên : ;d I d R . Giải phương trình tìm A, B * Khi đó ta viết phương trình tiếp tuyến (d)

PHẦN 3: GIẢI TÍCH 11& 12 A. ĐẠO HÀM: 1/ Đạo hàm của một số hàm số thường gặp:

1/ / 0C 2/ / 1x

3/ /2 2x x 4/ / 1n nx nx

5/ /

2

1 1x x

6/ / 12

xx

/ 1 /.n nu nu u

/ /

2

1 uu u

//

2uu

u

2/ Các qui tắc tính đạo hàm: 1/ QT1: / /. .a u a u 2/ QT2: / / /u v u v




3/ QT3: / / /. . .u v u v u v 4/ QT4: / / /

2

. .u u v u vv v

5/ QT5: ( Đạo hàm của hàm số hợp): / / /.x u xy y u a/ Các hệ quả:

+ HQ1: / /

2

1 vv v

+ HQ2: / /

2

C Cvv v

b/ Nhận xét:

/

2ax b ad bccx d cx d

/2 2

2.2ax bx c adx ae x be cd

dx e dx e

/ / / 2 / / / /2

2/ 2 / / / 2 / /

.2ab ba x ac ca x bc cbax bx ca x b x c a x b x c

3/ Đạo hàm của các hàm số lượng giác: 1/ ( sinx )/ = cosx 2/ ( cosx )/ = -sinx

3/ /2

1tancos

xx

4/ /2

1cotsin

xx

5/ ( sin2 x )/ = sin2x 6/ ( cos2 x )/ = -sin2x

1/ ( sinu )/ = u/.cosu 2/ ( cosu )/ = - u/.sinu

3/ /

/2tan

cosuu

u

4/ /

/2cot

sinuu

u

5/ ( sin2 u )/ = u/ sin2u 6/ ( cos2 u )/ = - u/ sin2u

4/ Đạo hàm của các hàm số mũ: 5/ Đạo hàm của các hàm số logarit: C. MỘT SỐ CÔNG THỨC VỀ LOGARIT, LŨY THỪA, MŨ

.I / Coâng thöùc luy thöøa .Cho a, b laø soá thöïc döông vaø x, y laø soá thöïc tuøy y ù

/x xe e / / .u ue u e /.lnx xa a a / / . .lnu ua u a a

/ 1ln xx

/

/ln uuu

/ 1log.lna x

x a

/

/log.lnauu

u a




0alog 1=0 a =1 IV/ Công thức Lôgarit .

. .

2 / ,

x y x y

x y x yy y

a a

a aa a

x x

x x

1 / a , ngöôïc laïi = aa a ngöôïc laïi

y ya a

. .3 / ,4 / . , .

x y x y

x x x x

a aa b a b

x y y x x y y x

x x

(a ) (a ) ngöôïc laïi (a ) (a ) (a.b) ngöôïc laïi (a.b)

5 / ,x xx x

x x

a ab b

a a ngöôïc laïi b b

m mm mn nn na a a a ngöôïc laïi

1 / . . . .

2 /

3 /

4 /

n n n n n n

n nn n

n n

m mm mn nn n

nn

nn

a b a b a b a b

a a a ab bb b

a a a a

a a

a a

,

,

ngöôïc laïi =

ngöôïc laïi

ngöôïc laïi

neáu n le û .

5 / neáu n chaün .

2 / 1 0 1.

3 /1.log 5 / log

16 / 7 /log

8 / . 9 /

a

y

x x

xa a

b

x y x aa

x a x

b x b b bx

bb ba a

x y x y

a , log

x

a

a alog

a a

ca a

c

a a a a

1 / log log , log a , cuøng cô soá .

4 / log log

log log loglog

log log log log x x yy a alog log

III/ Tính chất của căn bậc n

II/ Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ




E. LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ , HÀM SỐ LOGARIT

Lũy thừa thừa với số mũ nguyên Định nghĩa: an =

. ...

n thuasoa a a , a R, n

N*. Khi a 0 ta có

a0 = 1 , a-n = 1na

, a-1 = 1a

Tính chất: với a,b 0 , m,n Z ta có: . ; . ( )

;

( )

m n m n n n n

nm nm n

n n

n m mn

a a a a b ab

a a aaa b ba a

Căn bậc n:

m

mnna a ; . ;m n m na a ;

m mnn a a

. . ; ;n

n n n nn

a aa b a bbb

n

nnn

a nchana

a n le

Tínhchất : + a > 1: m > n am > an + 0 < a < 1 : m > n am < an + 0 < a < b * ax < bx khi x > 0 ; * ax > bx khi x < 0 HÀM SỐ LOGARIT: 1. Đ/n : y = logax ( 0 <a 1) TXĐ: R*+ ; TGT: R logax = y ay = x Nếu : a > 1 HS: đồng biến trên R*+ ; Nếu: 0 < a < 1 HS nghịch biến trên

1 2 1 2log ( . ) log loga a ax x x x , ( x1,x2 > 0 )

11 2

2

log log loga a ax x xx

,

(x1,x2 > 0 ) log logn

a ax n x (x > 0) logloglog

ab

a

xxb

(x,b > 0 )

log .log loga b ab x x 1log

logab

ba

a1log .log x

ax

PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Các công thức và quy tắc logarit cần nhớ: 1/ 0, 1a a

x R

log a b có nghĩa 2/ , 0, 1

,a b a

m n R

10 / log lg11 / ln

x x xx x

10

e

log , loâgarit thaäp phaân . log , loâgarit töï nhieân .

0, 10

a ab

logxaa b b x

log log .loglogloglog

a a b

ba

b

c b ccca




R*+ 2. Công thức về logarit : 0 < a 1 loga1 = 0; logaa = 1; log ;x

a a x loga xa x ( x > 0)

log log1log log

log log

1log log

m

m

na a

aa

naa

a a

b n b

b bm

nb bm

bb

, 0, 1

03 / a bc

4/ , 0, 1

a ba b

, , 0

, 1a b cb c

log

log log

a

b b

b

c a

a ba c

F. TÍCH PHÂN

Bảng nguyên hàm Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp thường gặp

Nguyên hàm của những hàm số thường gặp

dx x C

adx ax C

1

11

xx dx C

ln 0dx x C xx

2

1 0dx C xx x

32 0

3xdx x C x

433 34

xdx x C

1 2dx x Cx

0x

x xe dx e C

1d ax b ax b Ca

1

1 11

ax bax b dx C

a

1 ln 0dx ax b C x

ax b a

21 1dx Ca ax bax b

31 23

ax bdx ax b Ca

43 31 3

4ax bdx ax b C

a

1 1 2dx x Caax b

0x

1ax b ax be dx e Ca

log 1xa a ; log 1a a ; log 1 0a 0 , 1

, 1

0 10 1

log 0

log 0

a ba a b

a ba b a

b

b

1 2 1 2log ( . ) log loga a ab b b b

log .log 11log

log

a b

ab

b a

ba




0 1ln

xx aa dx C a

a

cos sinxdx x C

sin cosxdx x C

2

1 tancos

dx x Cx

2

1 cotsin

dx x Cx

2 2

1 ln2

dx x a Ca x ax a

1cos sinax b dx ax b Ca

1sin cosax b dx ax b C

a

2

1 1 tancos

dx ax b Cax b a

2

1 1 cotsin

dx ax b Cax b a

1 lndx x a C

x a x b a b x b

G . ỨNG DUNG TÍCH PHÂN I//Diện tích hình phẳng Công thức 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

( ) : ( )( ) : 0

;

C y f xOx y

x a x b

là S = ( )b

a

f x dx

Công thức 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

( ) : ( )( ') : ( )

;

C y f xC y g x

x a x b

là S = ( ) ( ) .b

a

f x g x dx

Công thức3 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

( ) : ( )( ') : ( )

;

C x f yC x g yy a y b

là S = ( ) ( ) .b

a

f y g y dy

II. Thể tích hình tròn xoay

Công thức 1: Thể tích hình tròn xoay do hình thang cong giới hạn bởi :( ) : ( )

: 0;

C y f xOx yx a x b

quay quanh trục Ox là V = 2( ) .b

a

f x dx




c b

aMH CB

A

Công thức 2: Thể tích hình tròn xoay do hình thang cong giới hạn bởi : /

( ) : ( )( ) : ( )

;

C y f xC y g x

x a x b

quay quanh trục Ox là V = 2 2( ) . ( ) .b b

a a

f x dx g x dx

H. SỐ PHỨC 1.Hai số phức bằng nhau: a + bi = c + di a = c và b = d Hai số phức liên hợp: cho z = a + bi thì z = a – bi 2.Môđun của số phức: cho z = a + bi thì |z| = 3.Các phép toán với số phức (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i 1 2 1 2z z z z

(a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i ; 1 2.z z = 1z . 2z ; z. z = |z|2

1 1

2 2

z zz z

4.Dạng lượng giác của số phức *Cho z = a + bi thì môđun r và argument được tính bởi công thức sau:

r = 2 2a b ; cos = ar

; sin = br

* Cho z = a + bi thì có thể viết z = r(cos + i.sin) 5.Công thức MOAVRƠ Cho hai số phức z1 = r1(cos1 + i.sin1) và z2 = r2(cos2 + i.sin2) khi đó: * z1.z2 = r1.r2[cos(1 + 2) + i.sin(1 + 2)] * = [cos(– ) + i.sin(– )] * = [cos(1 – 2) + i.sin(1 – 2)] Công thức MOAVRƠ: Cho z = r(cos + i.sin) thì zn = rn(cosn + i.sinn) Căn bậc n của z có n giá trị là n số phức được xác định như sau: zk = (cos + i.sin ) với k = 0,1,….n – 1

PHẦN 4: HÌNH HỌC 11& 12

ÔN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9 - 10

1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông : Cho ABC vuông ở A ta có : a) Định lý Pitago : 2 2 2BC AB AC




b) 2 2BA =BH.BC; CA =CH.CB c) AB. AC = BC. AH=2SABC

d) 2 2 2

1 1 1= +AH AB AC

e) BC = 2AM

f) b c b csinB= , cosB= , tanB= , cotB=a a c b

g) b = a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB,

a = sin cos

b bB C , b = c. tanB = c.cot C

2.Hệ thức lượng trong tam giác thường: * Định lý hàm số Côsin:

a2=b2+c2-2bc.cosA 2 2 2b +c -acosA=

2bc

* Định lý hàm số Sin: a b c= = =2RsinA sinB sinC

* Độ dài đường trung tuyến: 2 2 2

a

2 b +c -am =

4

3. Các công thức tính diện tích. a/ Công thức tính diện tích tam giác:

a1 1 a.b.cS = a.h = a.bsinC = = p.r = p.(p-a)(p-b)(p-c)2 2 4R

với a+b+cp=2

Đặc biệt : * ABC vuông ở A : 1S= AB.AC2

,

* ABC đều cạnh a: diện tích 2a 3S=4

; đường cao: a 3h=2

b/ Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng

d/ Diên tích hình thoi : S = 12

(chéo dài x chéo ngắn)

d/ Diện tích hình thang : 12

S [(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao]

e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao f/ Diện tích hình tròn : 2S .R

KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11 Hai đường thẳng vuông góc:




A. Dạng toán cơ bản: 1) Tính góc giữa hai đường thẳng:

PP1: Áp dụng định nghĩa:

a'//a

a,b = a';b'b'//b

PP2: Sử dụng tích vô hướng:

a.b

cos a;b = cos a;b =a . b

2) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc:

PP1: a b a.b=0

PP2: a//b

a cb c

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

A. Dạng toán cơ bản: 1) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: PP1:

,, ( ) ( ), caét nhau

d a d ba b mp P d mp Pa b

PP2: a//b

a mp(P)b (P)

2) Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng :

PP1 a (P)

a bb (P)

PP2: Sử dụng định lý ba đường vuông góc

3) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng : Định nghĩa: Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng(P) là góc giữa đường thẳng d và hình chiếu d’ của nó trên (P)

b'b

a'a

d

ab

P

a b

(P)

a'

a

b P

Pa'

a




PP: d’ là hình chiếu của d trên (P) (d;(P))=(d;d’) 4) ĐL: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Hai mặt phẳng vuông góc

A. Dạng toán cơ bản: 1) Góc giữa hai mặt phẳng : Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến.

PP1: ( ) ( )

( ), (( );( )) ( ; )( ),

P Qa P a P Q a bb Q b

PP2: Sử dụng định lý về diện tích hình chiếu

'' . os os SS S c cS

2) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc:

PP1: (P)(Q)((P);(Q))=900

PP2: ( )

( ) ( )( )

a PP Q

a Q

3) Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng :

PP: (P) (R)(Q) (R) Δ (R)(P) (Q)=Δ

4) Cho đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P). Có duy nhất một mặt phẳng chứa a và vuông góc với (P).

Khoảng cách A. Dạng toán cơ bản: 1) Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng : Hạ MH vuông góc với tại H d(M;)=MH 2) Khoảng cách từ một điểm M đến một mặt phẳng (P): Hạ MH vuông góc với (P) tại H d(M;(P))=MH 3) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. Lấy M bất kì thuộc (P) d((P);(Q))=d(M;(Q)) 3) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: a) Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau:

ba

QP P Q

a b

d Q

P

a

a

R

QP

a

bP

MN




Nếu ab thì ta dựng mặt phẳng(P) chứa b và vuông góc với a tại M, kẻ MNb tại N. Khi đó MN là đoạn vuông góc chung của a và b Nếu a không vuông góc với b thì: - Dựng mặt phẳng(Q) chứa b và song song với a - Dựng hình chiếu a’ của a trên (Q), a’ cắt b tại J - Dựng đường thẳng qua J và vuông góc với (Q) cắt a tại I. Khi đó: IJ là đoạn vuôn góc chung của a và b. b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: d(a;b)=MN

KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12 PHẦN 1:THỂ TÍCH

A. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN I/ Các công thức thể tích của khối đa diện: 1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V= B.h

với B:dieän tích ñaùyh: chieàu cao

2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP:

V= 13

Bh

với

B:dieän tích ñaùyh: chieàu cao

a) Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c với a,b,c là ba kích thước b) Thể tích khối lập phương: V = a3 với a là độ dài cạnh

3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN: Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’ là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA, SB, SC ta có:

' ' ' ' ' '

SABC

SA B C

V SA SB SCV SA SB SC

Chú ý: 1/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a 2 , Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a 3 , Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d = 2 2 2a +b +c ,

2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h = a 32

3/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy). 4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. B. KHỐI TRÒN XOAY: 1. Hình trụ , khối trụ và mặt trụ tròn xoay: - Trục OO’ - Đường sinh MM’=l




- Bán kính R=OM, đường cao h=OO’=MM’ - Diện tích xung quanh: Sxq=2Rl - Diện tích toàn phần: Stp=2Rl+2R2 - Thể tích khối trụ: V=R2l - Mặt trụ tròn xoay sinh ra khi quay đường thẳng l song song đt cố định và cách một đoạn R không đổi.

2. Hình nón, khối nón, mặt nón tròn xoay: - Trục SO - Đường sinh SM=l - Góc ở đỉnh là 2 Bán kính đáy R=OM, chiều cao h=SO

l2=R2+h2 Diện tích xung quanh: Sxq=Rl

Thể tích khối nón: 213

V R h

Mặt nón tròn xoay sinh ra khi quay đường thẳng l cắt cố định và hợp với góc không đổi, góc ở đỉnh là 2.

3. Hình cầu, mặt cầu và khối cầu: - Tâm O, bán kính R=OM - Diện tích mặt cầu: S=4R2

- Thể tich khối cầu: 243

V R

4. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện: Tâm O của mặt cầu nếu có là điểm cách đều tất cả các đỉnh của nên thuộc tất cả các mặt phẳng trung trực của các cạnh. Với tứ diện thì luôn tồn tại mặt cầu ngoại tiếp, tâm E là giao điểm của trục tam giác đáy với một trung trực đồng phẳng của một cạnh bên. Với hình chóp thì điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp là khi đáy hình chóp là đa giác nội tiếp, lúc đó tâm E là giao điểm của trục tam giác đáy với một trung trực đồng phẳng của một cạnh bên.

PHẦN 2: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1. Toạ độ của vectơ và toạ độ của điểm: Vectơ u

có toạ độ (x;y;z) u=x.i+y.j+z.k

.

Điểm M có toạ độ (x;y;z) OM=x.i+y.j+z.k

. Nếu điểm A(xA;yA;zA) và điểm B(xB;yB;zB) thì : o B A B A B AAB=(x -x ;y -y ;z -z )

M'

O

O'

M

h

RR

O

S

M

l h

R

R R

O

M




o 2 2 2B A B A B AAB= x -x + y -y + z -z

Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k1: A B A B A Bx -kx y -ky z -kzMA=kMB M ; ;1-k 1-k 1-k

.

Trung điểm I của AB có tọa độ A B A B A Bx +x y +y z +zI ; ;2 2 2

.

Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ A B C A B C A B Cx +x +x y +y +y z +z +zG ; ;3 3 3

.

Trọng tâm G của tứ diện ABCD có tọa độ A B C D A B C D A B C Dx +x +x +x y +y +y +y z +z +z +zG ; ;

4 4 4

.

2. Tích vô hướng và tích có hướng: Cho u=(x;y;z)

và v=(x';y';z')

. Ta có: Các phép toán về vectơ: o u ± v = (x±x' ; y±y' ; z±z')

o ku=(kx;ky;kz)

o 2 2 2| u|= x +y +z

Tích vô hướng của hai vectơ: o Biểu thức toạ độ: u.v=x.x'+y.y'+z.z'

= u . v .cos(u,v)

o Góc giữa hai vectơ: 2 2 2 2 2 2

x.x'+y.y'+z.z'cos(u,v)=x +y +z . x' +y' +z'

Tích có hướng của hai vectơ:

, ; ;' ' ' ' ' '

y z z x x yu v

y z z x x y

Vectơ u,v

vuông góc với của hai vectơ u

và v

Một số tính chất: o . 0u v u v

o u

và v

cùng phương u,v 0

o u

, v

, w

đồng phẳng u,v .w 0

Diện tích hình bình hành: ABCDS = AB,AD

Diện tích tam giác : ABC1S = AB,AC 2

Thể tích hình hộp: ABCD.A'B'C'D'V = AB,AD .AA'




Thể tích tứ diện : ABCD1V = AB,AC .AD 6

3. Phương trình mặt cầu: Dạng 1: Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và có bán kính R. Phương trình có dạng: (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2. Dạng 2: Phương trình có dạng: x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0,

với điều kiện : a2+b2+c2>d, là phương trình mặt cầu có tâm I(a;b;c) và có bán kính 2 2 2R= a +b +c -d * Giao điểm của mặt phẳng () và mặt cầu (S): Gọi IH là khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (); R là bán kính mặt cầu: o IH>R : ()(S)= IH=R : ()(S)=H o IH<R : ()(S)=(C) Cách xác định tâm và bán kính của đường tròn (C): Viết phương trình đường thẳng d đi qua I và vuông góc với (): d αu =n

Tâm H của đường tròn (C): H=d()

Bán kính r của (C): 2 2r= R -IH 4. Phương trình mặt phẳng: Mặt phẳng đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vectơ pháp tuyến n=(A;B;C)

có phương trình: A(x-

x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 Phương trình : Ax+By+Cz+D=0 với A2+B2+C2>0 là phương trình mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là n=(A;B;C)

Chú ý: - Phương trình các mặt phẳng đặc biệt: mp(Oxy):z=0 ; mp(Oyz):x=0 ; mp(Oxz):y=0

- Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng có vectơ pháp tuyến n= AB,AC

và ta gọi

AB, AC

là cặp vectơ chỉ phương của mp(ABC).

- Pt mặt phẳng theo đoạn chắn: Mp đi qua M(a;0;0),N(0;b;0) và P(0;0;c) có phương trình là: x y z+ + =1a b c

- Mp chứa hai đường thẳng cắt nhau: Nếu (P) =mp(d,d’) thì (P) có vectơ pháp tuyến là 'n= ,d du u

5. Phương trình đường thẳng: Cho đường thẳng d đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phương là u=(a;b;c)

. Khi đó:

Phương trình tham số của d là: 0

0

0

x=x +aty=y +btz=z +ct

Phương trình chính tắc của d (khi abc0) là: 0 0 0x-x y-y z-z= =a b c

R

r

I

H

Cong thuc 2013 (pc2013072414 ovr's conflicted copy 2013 11-08)

Documents

Transcript of Cong thuc 2013 (pc2013072414 ovr's conflicted copy 2013 11-08)