Cones e Cilindros§ão I Para efeito de aplicações, os cones mais importantes são os cones retos...
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Cones e CilindrosGeometria Espacial
Dr. Marcos Aurélio Basso
29 de Setembro de 2016
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Cones
I Considere uma região plana limitada por uma curva suave(sem quinas), fechada e um ponto P fora desse plano.
I Denominamos cone ao sólido formado pela reunião de todos ossegmentos de reta que têm uma extremidade em um ponto P(vértice) e a outra num ponto qualquer da região.
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Elementos do Cone
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Classi�cação dos ConesI A classi�cação do cone se diz respeito a posição relativa do
eixo em relação a base;I deste modo o cone pode ser classi�cado como reto ou
oblíquo;I um cone é dito reto quando o eixo é perpendicular ao o
plano da base;I e o cone oblíquo é quando um cone não é reto;
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Observação
I Para efeito de aplicações, os cones mais importantes são oscones retos;
I Em função das bases, os cones recebem nomes especiais;
I Por exemplo, um cone é dito circular se a base é um círculo eé dito elíptico se a base é uma região elíptica.
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Cone Circular RetoI É denominado como cone de revolução ;I recebe este nome em razão da rotação de um triângulo
retângulo em torno de um de seus catetos;
I A seção meridiana do cone circular reto é a interseção do conecom um plano que contem o eixo do cone.
I Na �gura observa-se, a seção meridiana é a região triangularlimitada pelo triângulo isósceles VAB.
I
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Cone Circular Reto
I Em um cone circular reto, todas as geratrizes são congruentesentre si.
I Se g é a medida da geratriz então, pelo Teorema de Pitágoras,temos uma relação notável no cone: g2 = h2 + r2, que podeser "vista"na �gura abaixo:
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Área do Cone
I A área total é:AT = AL + AB
I A Área Lateral de um cone circular reto pode ser obtida emfunção de g (medida da geratriz) e r (raio da base do cone):
AL = π.g2.2.π.r2.π.g
= π.r .g
I Como a base do cone é uma circunferência de raio r, sua áreaé dada por:
AB = π.r2
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Área do Cone
I Deste modo, podemos obter uma expressão para a área totaldo cone em função da medida do raio (r) da base e do valorda geratriz.
AT = π.r2 + π.r .g
I Colocando π, r em evidência, a fórmula pode ser reescrita daseguinte forma:
AT = π.r .(g + r)
Onde:AT : é a área totalr : é a medida do raio da baseg : é a medida da geratriz
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Volume do Cone
I Como o volume do cone é obtido por 1/3 do produto da áreada base pela altura, então:
V =13.π.r3
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Tronco do Cone
I Se um cone sofrer a intersecção (corte) de um plano paralelo àsua base circular, a uma determinada altura, teremos aconstituição de uma nova �gura geométrica espacialdenominada Tronco de Cone
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Tronco do Cone
I Conforme apresentado na �gura, o tronco possui duas basescirculares em que uma delas é maior que a outra;
I desta forma, os cálculos envolvendo a área da superfícieincluirá a medida dos dois raios;
I A geratriz, que e a medida da altura lateral do cone, tambémesta presente na composição do tronco do cone;
I devemos confundir a altura do tronco com o comprimento dageratriz;
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As fórmular referentes ao cálculo da área super�cial e do volumesão as seguintes:
I Área Super�cial:AS = π.g .(R + r)
I Volume:
V =π.h
3.(r2 + r .R + R2)
Onde:R : raio da base maiorr : raio da base menorh : altura do tronco do coneg : geratriz