Microsoft Word - Tr-PC-transferts-1516.docPhénomènes de transport
Transferts thermiques
• Conduction (diffusion thermique) :
• Convection thermique :
• Rayonnement thermique :
O Granier, PC* J Decour (Phénomènes de transport)
2 – Loi de Fourier et vecteur densité de courant de chaleur :
La présence, dans un milieu matériel sans mouvement macroscopique, d’une inhomogénéité de température fait apparaître un transfert thermique par conduction qui possède les propriétés suivantes :
• Le transfert a lieu des zones les plus chaudes vers les zones les plus froides
• Il est proportionnel à la surface à travers laquelle on évalue la puissance diffusée ainsi qu’à la durée du transfert
• Il augmente de manière linéaire avec le gradient de la température
Joseph Fourier (1768 – 1830) a proposé une loi phénoménologique décrivant ce mode de transfert thermique par conduction :
5
A une dimension (selon (Ox)) :
),( ),(
; ),(
6
* Quelques conductivités thermiques : (λλλλ en W.m-1.K-1)
- Gaz (λ de 0,006 à 0,18) : mauvais conducteurs
- Liquides non métalliques (λ de 0,1 à 1) : conducteurs moyens (eau)
- Solides métalliques (λ de 10 à 400) : excellents conducteurs (cuivre, acier)
- Matériaux non métalliques (λ de 0,004 à 4) : conducteurs moyens (verre, béton, bois) ou mauvais conducteurs (laine de verre, polystyrène expansé)
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3 – Bilan local d’énergie à une dimension : (sans ou avec sources)
On considère un corps homogène (en fait, le plus souvent liquide ou solide) de
masse volumique ρ, de conductivité thermique λ et de capacité thermique c.
On se place à 1 dimension selon (Ox).
Dans un 1er temps, on suppose qu’il n’y a pas au sein du milieu de sources susceptibles de fournir de la chaleur localement :
x
txj
t
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),( ),(),(
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4 – Equation de la chaleur ou de la diffusion thermique à une dimension (sans ou avec sources) :
• Sans sources :
λ
Il n’existe de solutions analytiques de cette équation que dans des cas particuliers que l’on étudiera dans les paragraphes suivants.
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Sans sources :
T M t c T M t p M t
t ρ λ
6 – Exemples de résolution de l’équation de la chaleur :
• Résistance thermique : (régime permanent dans une tige cylindrique)
S
12
2
1
Résistance thermique entre deux sphères :
13
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• Méthode dite “de séparation des variables” et analyse de Fourier des
conditions initiales :
Diffusion thermique dans un solide suivant la direction (Ox).
Ni production, ni absorption de chaleur dans le milieu.
On appelle T(x,t) la température au sein du solide et K le coefficient thermique.
Résolution de l’équation de la chaleur par la méthode de séparation des variables :
T(x,t) = T0 + f(x).g(t)
où T0 désigne une constante, f(x) une fonction de x uniquement et g(t) une fonction du
temps seulement.
a) Déterminer l'expression générale des fonctions f(x) et g(t).
b) On suppose qu'à t = 0, T(x,0) = T1 + T2 sin(px) (T1, T2 et p désignant des constantes).
Montrer que la solution trouvée ci-dessus convient et déterminer complètement cette
solution.
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Equation de la chaleur : (Temps de diffusion : 2L / D )τ ≈
2
2
t x
Avec :
2
0
1 g( t ) f "( x ) T( x,t ) T f ( x )g( t ) cste k 0
D g( t ) f ( x ) = + ⇒ = = = − <

2 Dk t
f "( x ) k f ( x ) f ( x ) Acos( kx ) B sin( kx )
g( t ) Dk g( t ) g( t ) e−
= − ⇒ = +
Avec les conditions initiales :
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Des conditions initiales plus réalistes :
p
0
( 2 p 1) L
p 0
8T ( 1) x T( x,t ) sin ( 2 p 1) e
( 2 p 1) L
t
x
T(x,t)
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• Onde thermique (température d’une cave) :
Le sous-sol est considéré comme un milieu semi-infini, homogène, de conductivité
thermique K, de masse volumique ρ, de capacité thermique massique c, situé dans le
demi-espace x > 0. On suppose que la température de la surface du sol (plan x = 0) est
soumise à des variations sinusoïdales :
tTtTs ωθ cos)( 00 +=
a) Déterminer la température T(x,t) à la profondeur x en régime permanent.
b) Exprimer la vitesse v de l’onde thermique ainsi obtenue.
c) On considère des variations journalières de la température, la température au niveau
du sol variant entre 0°C la nuit et 16°C le jour. A partir de quelle profondeur les
variations de température sont-elles inférieures à 1°C ? Calculer la vitesse v. On
donne :
ρ
On considère des variations annuelles de température, la température variant de – 10°C
à 26°C. Répondre aux mêmes questions.
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Exercice : ” An experimental setup : how to measure the thermal conductivity of
the copper ?”
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_____________________________
1) Matériau isolant (heat insulating materials) : mousse de polystyrène (polystyrene
sponge), laine de verre (glass wool), …
2) L’équation de la conduction thermique est :
2
2
Cu
e
2 1T T KS
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4) Le 1er principe de la thermodynamique donne :
3 4 thdU dH dm c ( ) Q W P dtθ θ δ δ≈ = − = + =
th m 3 4P D c( )θ θ= −
5) L’échangeur est parfait :
2 1 th m 3 4
T T P D c( ) KS
e θ θ Φ
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Validité des hypothèses :
II) Transfert thermique convectif (convection) :
1 – Transfert conducto-convectif :
2 – La loi de Newton :
Les transferts thermiques entre un corps et le milieu extérieur suivent la loi de Newton si la densité de flux thermique sortant algébriquement à travers la surface du matériau est proportionnelle à l’écart de température entre celle de la surface du matériau et celle de l’extérieur.
jconv = h(TP – TF)
h est appelé le coefficient de transfert thermique de surface.
On peut montrer que :
=
où λF est la conductivité thermique du fluide et e l’épaisseur de la couche limite.
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3 – Un 1er exemple ; l’ailette de refroidissement :
On se propose de déterminer le profil de température T(x) atteint en régime permanent dans une tige cylindrique (de rayon R et d’axe (Ox)) dont une extrémité est maintenue à la température T0.
La tige n’est pas isolée latéralement :
On suppose que le transfert thermique sur la surface latérale avec l’atmosphère (de température constante Ta < T0) est du type conducto-convectif (il vérifie la loi de Newton).
On supposera l’ailette de longueur infinie.
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III) Diffusion de particules :
* Loi de Fick à 3 dimensions :
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* Equation de la diffusion à une dimension :
• Sans sources :
x t
x t σ
* Equation de la diffusion à trois dimensions :
Sans sources :
t σ