(Conduction thermique/Diffusion de particules)

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O Granier, PC* J Decour (Phénomènes de transport)

Phénomènes de transport

(Conduction thermique/Diffusion de particules)

2


Transferts thermiques

(Conduction, convection, rayonnement)

I) Conduction (diffusion) thermique :

1 – Les différents modes de transfert thermique :

• Conduction (diffusion thermique) :

3


• Convection thermique :

• Rayonnement thermique :

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2 – Loi de Fourier et vecteur densité de courant de chaleur :

La présence, dans un milieu matériel sans mouvement macroscopique, d’une inhomogénéité de température fait apparaître un transfert thermique par conduction qui possède les propriétés suivantes :

• Le transfert a lieu des zones les plus chaudes vers les zones les plus froides

• Il est proportionnel à la surface à travers laquelle on évalue la puissance diffusée ainsi qu’à la durée du transfert

• Il augmente de manière linéaire avec le gradient de la température

Joseph Fourier (1768 – 1830) a proposé une loi phénoménologique décrivant ce mode de transfert thermique par conduction :

5


A une dimension (selon (Ox)) :

),(),(

;),(

txTgradux

txTujj

x

txT

dSdt

Qj xxththth λλλ

δ−=

∂∂

−==∂

∂−==

��

A trois dimensions :

( , )thj grad T M tλ= −��

λ est la conductivité thermique.

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* Quelques conductivités thermiques : (λλλλ en W.m-1.K-1)

- Gaz (λ de 0,006 à 0,18) : mauvais conducteurs

- Liquides non métalliques (λ de 0,1 à 1) : conducteurs moyens (eau)

- Solides métalliques (λ de 10 à 400) : excellents conducteurs (cuivre, acier)

- Matériaux non métalliques (λ de 0,004 à 4) : conducteurs moyens (verre, béton, bois) ou mauvais conducteurs (laine de verre, polystyrène expansé)

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3 – Bilan local d’énergie à une dimension : (sans ou avec sources)

On considère un corps homogène (en fait, le plus souvent liquide ou solide) de

masse volumique ρ, de conductivité thermique λ et de capacité thermique c.

On se place à 1 dimension selon (Ox).

Dans un 1er temps, on suppose qu’il n’y a pas au sein du milieu de sources susceptibles de fournir de la chaleur localement :

x

txj

t

txTc th

∂

∂−=

∂∂ ),(),(

ρ

8


On suppose maintenant la présence de sources de chaleur au sein du milieu ; on note ps(x,t) la puissance volumique dégagée (de manière algébrique) par ces sources :

),(),(),(

txpx

txj

t

txTc s

th +∂

∂−=

∂∂

ρ

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4 – Equation de la chaleur ou de la diffusion thermique à une dimension (sans ou avec sources) :

• Sans sources :

t

txTc

x

txT

∂∂

=∂

∂ ),(),(2

2

λρ

• Avec sources :

t

txTctxp

x

txTs ∂

∂=+

∂

∂ ),(),(

1),(2

2

λρ

λ

Il n’existe de solutions analytiques de cette équation que dans des cas particuliers que l’on étudiera dans les paragraphes suivants.

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5 – Equation de la chaleur à trois dimensions :

Sans sources :

TD T

t

∂∆ =

∂

,D diffusivitéc

λρ

=

Avec sources :

( , )( , ) ( , )s

T M tc T M t p M t

tρ λ

∂= ∆ +

∂

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6 – Exemples de résolution de l’équation de la chaleur :

• Résistance thermique : (régime permanent dans une tige cylindrique)

S

LRsoitRTT thth λ

121 =Φ=−

On définit également la conductance thermique : thth RG /1=

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Cas des symétries sphérique et cylindrique : (voir exercices)

2

1

1ln

2th

RR

h Rπλ

=

1 2

1 1 1

4thR

R Rπλ

= −

Résistance thermique entre deux cylindres coaxiaux :

Résistance thermique entre deux sphères :

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• Méthode dite “de séparation des variables” et analyse de Fourier des

conditions initiales :

Diffusion thermique dans un solide suivant la direction (Ox).

Ni production, ni absorption de chaleur dans le milieu.

On appelle T(x,t) la température au sein du solide et K le coefficient thermique.

Résolution de l’équation de la chaleur par la méthode de séparation des variables :

T(x,t) = T0 + f(x).g(t)

où T0 désigne une constante, f(x) une fonction de x uniquement et g(t) une fonction du

temps seulement.

a) Déterminer l'expression générale des fonctions f(x) et g(t).

b) On suppose qu'à t = 0, T(x,0) = T1 + T2 sin(px) (T1, T2 et p désignant des constantes).

Montrer que la solution trouvée ci-dessus convient et déterminer complètement cette

solution.

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Equation de la chaleur : (Temps de diffusion : 2L / D )τ ≈

2

2

T( x,t ) T( x,t )D

t x

∂ ∂=

∂ ∂

Avec :

2

0

1 g( t ) f "( x )T( x,t ) T f ( x )g( t ) cste k 0

D g( t ) f ( x )= + ⇒ = = = − <

ɺ

Deux équations à résoudre :

2

2

2 Dk t

f "( x ) k f ( x ) f ( x ) Acos( kx ) B sin( kx )

g( t ) Dk g( t ) g( t ) e−

= − ⇒ = +

= − ⇒ =ɺ

Finalement :

( )2Dk t

0T( x,t ) T e Acos( kx ) B sin( kx )−= + +

Avec les conditions initiales :

2Dp t

1 2T( x,t ) T T e sin( px )−= +

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Des conditions initiales plus réalistes :

p

0

2 2p 0

8T ( 1) xT( x,0 ) sin ( 2 p 1)

( 2 p 1) L

ππ

∞

=

− = + + ∑

2 2

2

( 2 p 1 ) Dp t0 L2 2

p 0

8T ( 1) xT( x,t ) sin ( 2 p 1) e

( 2 p 1) L

πππ

+∞ −

=

− = + + ∑

T0

T(x,0)

T0/2

T0

16


t

x

T(x,t)

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• Onde thermique (température d’une cave) :

Le sous-sol est considéré comme un milieu semi-infini, homogène, de conductivité

thermique K, de masse volumique ρ, de capacité thermique massique c, situé dans le

demi-espace x > 0. On suppose que la température de la surface du sol (plan x = 0) est

soumise à des variations sinusoïdales :

tTtTs ωθ cos)( 00 +=

a) Déterminer la température T(x,t) à la profondeur x en régime permanent.

b) Exprimer la vitesse v de l’onde thermique ainsi obtenue.

c) On considère des variations journalières de la température, la température au niveau

du sol variant entre 0°C la nuit et 16°C le jour. A partir de quelle profondeur les

variations de température sont-elles inférieures à 1°C ? Calculer la vitesse v. On

donne :

127 .10.6 −−== smc

Ka

ρ

On considère des variations annuelles de température, la température variant de – 10°C

à 26°C. Répondre aux mêmes questions.

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Exercice : ” An experimental setup : how to measure the thermal conductivity of

the copper ?”

Temperature 100°C Thermal

insulation Copper rod Water

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20


_____________________________

21


1) Matériau isolant (heat insulating materials) : mousse de polystyrène (polystyrene

sponge), laine de verre (glass wool), …

2) L’équation de la conduction thermique est :

2

2

Cu

T K T

t c xµ∂ ∂

=∂ ∂

2 11 1

T TT( x ) T ( x x )

e

−= + −

3) La puissance thermique est :

2 1T TKS

eΦ

−= −

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4) Le 1er principe de la thermodynamique donne :

3 4 thdU dH dm c ( ) Q W P dtθ θ δ δ≈ = − = + =

th m 3 4P D c( )θ θ= −

5) L’échangeur est parfait :

2 1th m 3 4

T TP D c( ) KS

eθ θ Φ

−= − = = −

m 3 4

1 2

D ceK

S

θ θθ θ

−=

−

K?

K

∆⇒ =

AN : 1 1K 374W.m .K− −= .

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6) Incertitudes sur les mesures : températures et longueurs

Validité des hypothèses :

* Régime permanent

* Isolation latérale

* Matériau homogène

* Echangeur parfait

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II) Transfert thermique convectif (convection) :

1 – Transfert conducto-convectif :

Fluide

Paroi O x

x O

TP

TF

e

Couche

limite

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2 – La loi de Newton :

Les transferts thermiques entre un corps et le milieu extérieur suivent la loi de Newton si la densité de flux thermique sortant algébriquement à travers la surface du matériau est proportionnelle à l’écart de température entre celle de la surface du matériau et celle de l’extérieur.

jconv = h(TP – TF)

h est appelé le coefficient de transfert thermique de surface.

On peut montrer que :

eh Fλ

=

où λF est la conductivité thermique du fluide et e l’épaisseur de la couche limite.

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3 – Un 1er exemple ; l’ailette de refroidissement :

On se propose de déterminer le profil de température T(x) atteint en régime permanent dans une tige cylindrique (de rayon R et d’axe (Ox)) dont une extrémité est maintenue à la température T0.

La tige n’est pas isolée latéralement :

On suppose que le transfert thermique sur la surface latérale avec l’atmosphère (de température constante Ta < T0) est du type conducto-convectif (il vérifie la loi de Newton).

On supposera l’ailette de longueur infinie.

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III) Diffusion de particules :

* Vecteur densité volumique de courant de particules :

* Loi de Fick à 3 dimensions :

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* Equation de la diffusion à une dimension :

• Sans sources :

2 * *

2

n ( x,t ) n ( x,t )D

x t

∂ ∂=

∂ ∂

• Avec sources :

2 * *

s2

n ( x,t ) n ( x,t )D ( x,t )

x tσ

∂ ∂+ =

∂ ∂

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* Equation de la diffusion à trois dimensions :

Sans sources :

** n

D nt

∂∆ =

∂

Avec sources :

**( , )( , ) ( , )s

n M tn M t M t

tσ

∂= ∆ +

∂

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