Conducao Calor
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Equao de Conduo de Calor
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ObjetivosQuando termine de estudar este captulo, se deve: Entender a dependncia multidimensional e temporal da transferncia
de calor, e as condies sob as quais um problema de transferncia de calor pode ser aproximado para um problema unidimensional,
Obter a equao diferencial da conduo de calor em vrios sistemas coordenados, e simplificar eles para um caso unidimensional,
Identificar as condies trmicas nas superfcies, e expressar as Identificar as condies trmicas nas superfcies, e expressar as mesmas matematicamente como condies de contorno e iniciais,
Resolver problemas de conduo de calor unidimensionais e obter a distribuio de temperaturas dentro do meio e o fluxo de calor,
Analisar a conduo de calor unidimensional em slidos que envolvem a gerao de calor, e
Avaliar a conduo de calor em slidos com condutividade trmica dependente da temperatura.
-
Introduo Embora a transferncia de calor e a temperatura
so bastante relacionados, eles so de natureza diferente.
Temperatura apenas possui a magnitude
uma quantidade escalar.
A transferncia de calor possui direo assim como magnitude
uma quantidade vetorial.
Se trabalha com um sistema de coordenadas e se indica a direo com sinais + e -.
-
Introduo Continuao A fora motriz para qualquer forma de transferncia
de calor a diferena de temperatura.
Quando a diferena de temperatura maior, maior a taxa de transferncia de calor.
Trs sistemas coordenados primrios: Trs sistemas coordenados primrios: cartesiano (T(x, y, z, t)),
cilndrico (T(r, , z, t)), esfrico (T(r, , , t)).
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Classificao dos problemas de transferncia de calor por conduo:
transferncia de calor estacionria versus
Introduo Continuao
transferncia de calor estacionria versus transiente,
transferncia de calor multidimensional,
gerao de calor.
-
Transferncia de Calor Estacionria versus Transiente
Estacionriaimplica a no variao com o tempo em qualquer ponto
dentro do meio
Transienteimplica a variao com o tempo ou a dependncia temporal
-
Transferncia de Calor Multidimensional
Problemas de transferncia de calor tambm se classificam como: unidimensionais,
bidimensionais,
tridimensionais.
No caso mais geral, a transferncia de calor atravs de um meio tridimensional. Porem, alguns problemas podem ser classificados como bi- ou unidimensionais dependendo das magnitudes relativas das taxas de transferncia de calor nas diferentes direes e do nvel de exatido desejado.
-
A taxa de conduo de calor atravs do meio numa direo determinada (e.g., na direo x) expressa pela Lei de Fourier da conduo de calor para a conduo de calor unidimensional:
O calor conduzido na direo de
(W)conddT
Q kAdx
= & (2-1)
O calor conduzido na direo de
diminuio da temperatura, e ento
o gradiente da temperatura
negativo quando o calor conduzido na direo positiva de x.
-
Relao Geral da Lei de Fourier da Conduo de Calor
O fluxo de calor no ponto P na superfcie da figura deve ser perpendicular superfcie, e deve apontar na direo de diminuio da temperatura
Se n a normal da superfcie
isotrmica no ponto P, a taxaisotrmica no ponto P, a taxa
de conduo de calor no ponto
pode ser expressa pela lei de
Fouriercomo
(W)ndT
Q kAdn
= & (2-2)
-
Relao Geral da Lei de Fourier da Conduo de Calor
Em coordenadas cartesianas, o vetor da conduo de calor pode ser expresso em termos de seus componentes como
que pode ser determinado da lei de Fourier comon x y zQ Q i Q j Q k= + +
r rr r& & & & (2-3)
que pode ser determinado da lei de Fourier como
x x
y y
z z
TQ kA
xT
Q kAy
TQ kA
z
= =
=
&
&
&
(2-4)
-
Gerao de Calor Exemplos:
energia eltrica se convertendo calor na taxa I2R,
elementos combustvel de reatores nucleares,
reaes qumicas exotrmicas.
A gerao de calor um fenmeno volumtrico.
As unidades da gerao de calor: W/m3 ou Btu/h ft3. As unidades da gerao de calor: W/m3 ou Btu/h ft3.
A taxa de gerao de calor num meio pode variar com o tempo, assim como com a posio dentro do meio.
A taxa total de gerao de calor num meio de volume V pode ser determinada de
(W)gen genV
E e dV= & & (2-5)
-
Equao de Conduo de Calor Unidimensional Parede Plana
Taxa de conduo de calor em x
Taxa de conduo de
calor emx+x
Taxa de gerao de calor dentro
do elemento
Taxa de variao do contedo de
energia do elemento
- + =
ExQ& ,gen elementE+ &x xQ + &
elementE
t
=
(2-6)
-
A variao do contedo de energia e a taxa de gerao de calor pode ser expressa como
( ) ( ),
element t t t t t t t t t
gen element gen element gen
E E E mc T T cA x T T
E e V e A x
+ + + = = =
= = & & &
,element
x x x gen element
EQ Q E
t+ + =
& & & (2-6)
(2-7)
(2-8)
Substituindo na Eq. 26, se obtm
x x xQ Q +& &(2-9)
gene A x+ & t t tT T
cA xt
+ =
1gen
T TkA e c
A x x t + =
& (2-11)
Dividindo por Ax, tomando o limite de x 0 e t 0, e usando a lei de Fourier:
-
A rea A de uma parede plana constante a equao de conduo de calor 1D transiente numa parede plana
gen
T Tk e c
x x t + =
&Condutividade varivel:
Condutividade constante:2
2
1 ; gen
eT T k
x k t c
+ = =
&
A equao da conduo unidimensional se pode reduzir as
(2-13)
(2-14)
1) Estado estacionrio:
2) Transiente, sem gerao de calor:
3) Estacionrio, sem gerao de calor:
2
20gen
ed T
dx k+ =
&
2
2
1T T
x t =
2
20
d T
dx=
A equao da conduo unidimensional se pode reduzir as seguintes formas sob condies especiais
(2-15)
(2-16)
(2-17)
-
Equao de Conduo de Calor Unidimensional Cilindro Longo
Taxa de conduo de calor em r
Taxa de conduo de
calor emr+r
Taxa de gerao de calor dentro
do elemento
Taxa de variao do contedo de
energia do elemento
- + =
rQ& ,gen elementE+ &elementE
t
=r rQ +
&
(2-18)
-
A variao do contedo de energia e a taxa de gerao de calor se podem expressar como
( ) ( ),
element t t t t t t t t t
gen element gen element gen
E E E mc T T cA r T T
E e V e A r
+ + + = = =
= = & & &
,element
r r r gen element
EQ Q E
t+ + =
& & & (2-18)
(2-19)
(2-20)
Substituindo na Eq. 218, se obtm
r r rQ Q+& &(2-21)
gene A r+ & t t tT T
cA rt
+ =
1gen
T TkA e c
A r r t + =
& (2-23)
Dividindo por Ar, tomando o limite r 0 e t 0, e usando a lei de Fourier:
-
Notando que a rea varia com a varivel independente r de acordo com A=2rL, a equao unidimensional transiente da conduo de calor num cilindro longo se torna
1gen
T Trk e c
r r r t + =
&
A equao da conduo unidimensional se pode reduzir as
1 1geneT Trr r r k t
+ =
&
Condutividade varivel:
Condutividade constante:
(2-25)
(2-26)
10gen
ed dTr
r dr dr k + =
&
A equao da conduo unidimensional se pode reduzir as seguintes formas baixo condies particulares
1 1T Tr
r r r t =
0d dT
rdr dr
=
1) Estado estacionrio:
2) Transiente, sem ger. de calor:
3) Estacionrio, sem ger. de calor:
(2-27)
(2-28)
(2-29)
-
Equao de Conduo de Calor Unidimensional Esfera
22
1gen
T Tr k e c
r r r t + =
&
22
1 1geneT Trr r r k t
+ =
&
Condutividade varivel:
Condutividade constante:
(2-30)
(2-31)
-
Equao Geral da Conduo de Calor
x y zQ Q Q+ +& & &
Taxa de conduo de calor em x, y,
ez
Taxa de conduo de
calor emx+x, y+y, e
z+z
Taxa degerao de
calor dentrodo elemento
Taxa de variao do contedo de energia do elemento
- + =
x x y y z zQ Q Q+ + + & & & ,gen elementE+ elementE
t
=
(2-36)
-
Repetindo o procedimento matemtico usado para a conduo de calor unidimensional a equao de conduo de calor tridimensional se determina por
2 2 2
2 2 2
1geneT T T T
x y z k t + + + =
&
Bidimensional
Condutividade constante: (2-39)
2 2 2
2 2 20gen
eT T T
x y z k
+ + + =
&
2 2 2
2 2 2
1T T T T
x y z t + + =
2 2 2
2 2 20
T T T
x y z
+ + =
Tridimensional
1) Estado estacionrio:
2) Transiente, sem ger. de calor:
3) Estacionrio, sem ger. de calor:
(2-40)
(2-41)
(2-42)
-
Coordenadas cilndricas
2
1 1gen
T T T T Trk k k e c
r r r r z z t
+ + + =
&
(2-43)
-
Coordenadas esfricas
22 2 2 2
1 1 1sin
sin sin genT T T T
kr k k e cr r r r r t
+ + + = &
(2-44)
-
Condies de Contorno e Iniciais
Condio de temperatura especificada
Fluxo de calor especificado
Condio de conveco no contorno
Condio de radiao no contorno
Condies de contorno na interface
Condies de contorno generalizadas
-
Condio de temperatura especificada
Para a transferncia de calor unidimensional atravs de uma parede plana de espessura L, a condio de temperatura condio de temperatura especificada se pode expressar por
T(0, t) = T1T(L, t) = T2
As temperaturas especificadas podem ser constantes, que caso para a conduo de calor estacionria, ou podem variar com o tempo.
(2-46)
-
Condio de fluxo de calor especificado
O fluxo de calor na direo positiva xem qualquer lugar do meio, incluindo os contornos, se pode expressar pela Lei de Fourier da conduo
dTq k
dx= =&
Fluxo de calor na direo positiva
de x
O sinal do fluxo de calor se determina por inspeo: positivo se o fluxo de calor na direo positiva do eixo de coordenadas, e negativo se na direo oposta.
(2-47)
-
Dois casos especiais
Contorno isolado Simetria trmica
(0, ) (0, )0 or 0
T t T tk
x x
= =
( ),2 0LT t
x
=
(2-49) (2-50)
-
Condio de contorno de conveco
Conduo de calor na superfcie na
direo selecionada
Conveco de calor na superfcie na mesma direo=
[ ]1 1(0, ) (0, )T tk h T T tx =
[ ]2 2( , ) ( , )T L tk h T L t Tx =
e
(2-51a)
(2-51b)
-
Condio de contorno de radiao
Conduo de calor na superfcie na direo selecionada
Troca por radiao na superfcie na mesma direo
=
4 41 ,1
(0, )(0, )surr
T tk T T t
x =
4 42 ,2
( , )( , ) surr
T L tk T L t T
x =
e
(2-52a)
(2-52b)
-
Condies de contorno na interfaceNa interface os requerimentos so:(1) dois corpos em contato devem ter a mesma
temperaturana rea de contato,(2) a interface (que uma superfcie)
no pode armazenar qualquer
0 0( , ) ( , )A BA B
T x t T x tk k
x x
=
no pode armazenar qualquertipo de energia, e dessa formao fluxo de calor em ambos oslados deve ser o mesmo.TA(x0, t) = TB(x0, t)
e(2-53)
(2-54)
-
Condies de contorno generalizadasEm geral uma superfcie pode englobar processos de conveco, radiao, e fluxo de calor especificado simultaneamente. As condies de contorno nesses casos se obtm de um balano de energia na superfcie, como
Transferncia de calor para a
Transferncia de calor da superfcie =calor para a superfcie em
todos os modos
calor da superfcie em todos os modos
=
Gerao de calor nos slidosAs quantidades de maior interesse num meio com gerao de calor so a temperatura da superfcie Ts e a temperatura mxima Tmax que ocorre no meio numa operao estacionria.
-
Taxa de transferncia de calor do slido
Taxa de gerao de energia dentro do
slido=
Para uma gerao de calor uniforme dentro do meio
(W)genQ e V=& &
Gerao de calor em slidos A temperatura da superfcie
(2-64)
(2-63)
A taxa de transferncia de calor por conveco pode ser expressa da lei de Newton do resfriamento como
( ) (W)s sQ hA T T= &
gens
s
e VT T
hA= +
&
(W)genQ e V=& &
-
(2-64)
(2-65)
(2-66)
-
Gerao de calor em slidos A temperatura da superfcie
Para uma parede plana grandede espessura 2L (As=2Awall e V=2LAwall)
, gen
s plane wall
e LT T
h= +
&
Para um cilindro slido longode raio r (A =2r L e
(2-67)
Para um cilindro slido longode raio r0 (As=2r0L e V=r02L) 0
, 2gen
s cylinder
e rT T
h= +
&
Para uma esferaslida de raio r0 (As=4r02 e V=4/3r03)
0, 3
gens sphere
e rT T
h= +
&
(2-68)
(2-69)
-
Gerao de calor em slidos A temperatura mxima num Cilindro
O calor geradodentro de um cilindro interno deve ser igual ao calor conduzido atravs de sua superfcie externa.
r gen r
dTkA e V
dr = & (2-70)r gen rdr
Substituindo essas expresses na equao acima e separando as variveis, se obtm
( ) ( )222gen
gen
edTk rL e r L dT rdr
dr k = =
&&
Integrando de r =0 onde T(0) =T0 at r=ro2
0max, 0 4
gencylinder s
e rT T T
k = =
&
(2-71)
(2-70)
-
Condutividade trmica varivel, k(T)
A condutividade trmicade um material, em geral, varia com a temperatura.
Um valor mdio para a condutividade trmica se usa condutividade trmica se usa comumente quando a variao pequena.
Isso tambm uma prtica comum para outras propriedades que dependem da temperatura tais como a densidade e o calor especfico.
-
Condutividade trmica varivel para casos unidimensionais
2
( )T
k T dT
Quando a variao da condutividade trmica com a temperatura k(T) conhecida, o valor mdio da condutividade trmica no intervalo de temperaturas entre T1e T2 se pode determinar de
(2-75)12 1
( )T
ave
k T dTk
T T=
A variao da condutividade trmica do material pode ser comumente aproximada por uma funo linear, sendo expressa por
0( ) (1 )k T k T= + coeficiente de temperatura da condutividade trmica.
(2-75)
(2-79)
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Condutividade trmica varivel
Para uma parede plana a temperatura varia linearmentedurante a conduo unidimensional quando a condutividade trmica condutividade trmica constante.
Esse no o caso quando a condutividade trmica varia com a temperatura (mesmo que seja linearmente).