Condensazione di Bose-Einstein

Guido Cioni

6 gennaio 2011

Introduzione

In questo breve articolo l’autore si propone di analizzare il fenomeno del-la condensazione di Bose-Einstein , teorizzata nel 1924 dal fisico indianoSatyendra Nat Bose e dal noto fisico Albert Einstein. Il primo aveva inviatonel 1924 un articolo ad Einstein in cui , trattando i fotoni come particelleidentiche, era riuscito a derivare la legge di Planck per la radiazione di corponero : fino ad allora il problema del corpo nero era stato affrontato invanoin quanto la ricerca teorica aveva portato a delle formule valide sono in par-ticolari regimi di frequenze ( Legge di Wien e Legge di Rayleigh-Jeans ) .Einstein teorizzo che ,in un gas formato da particelle indistinguibili , un ab-bassamento della temperatura porta all’occupazione , da parte degli atomi ,di un solo livello energetico possibile , quello di energia nulla. Questo com-portamento singolare ipotizza un nuovo stato di aggregazione della materia,detto BEC (Bose-Einstein Condensate ) .

1 Statistica Quantistica in un Gas Ideale

Prima di affrontare il problema vero e proprio e necessario elencare i pos-tulati e le principali proprieta delle statistiche quantistiche , soffermandocisulla Statistica di Bose-Einstein. Le statistiche quantistiche, o pi general-mente la meccanica quantistica, vennero introdotte per sopperire ad alcuniproblemi sostanziali che erano emersi negli anni durante lo studio dei com-portamenti a livello subatomico in alcune particelle. Gli esperimenti1 (chenon verranno ivi discussi) misero in dubbio la vecchia fisica corpuscolare checonsiderava le particelle alla stregua di pura materia inerte : la meccani-ca quantistica ipotizzava che ad ogni particella fosse associata un’onda dimateria identificata dall’impulso p associato a questa. Non si trattava dirivoluzionare l’intero impianto della fisica ma di estenderne la validita anchea livello subatomico : come la Dinamica rappresentava il limite della Rel-ativita Generale , cosı la meccanica quantistica generalizzava la meccanica

1Si veda, ad esempio, l’esperimento di Davisson e Germer (1927) o quello ti Tonomuraet.al. ( Am.Journ.Phys. 57) (1989) .

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classica in un particolare limite. La meccanica quantistica permetteva dispiegare molti comportamenti insoliti degli atomi che sembravano adattareuna natura discreta , occupando solo certi livelli di energia (a differenza diquanto accadeva in meccanica classica dove una particella avrebbe potutoassumere qualsiasi valore di energia). Nel seguito ci interessera analizzaregli aspetti fondamentali delle statistiche quantistiche che analizzano il com-portamento di sistemi in cui , nonostante l’elevato numero di particelle , icomportamenti quantistici non possono essere trascurati. Queste statistichesi basano sui postulati seguenti :

Indistinguibilita delle particelle Si abbandona l’idea di distinguibilitadelle particelle in un sistema complesso come un gas.

Occupazione della cella in un dominio La conoscenza sulla posizionedelle particelle si limita alla determinazione dell’occupazione nik rela-tiva ad una cella gi nello spazio delle fasi µ2.

In natura le particelle si possono raggruppare in due diversi gruppi , identi-ficati da due diverse statistiche .

Statistica di Bose-Einstein Le celle nik possono essere riempite in qual-siasi modo. Le particelle descritte con questo tipo di statistica vengonodette bosoni ed hanno spin INTERO (0, 1...).

Statistica di Fermi-Dirac Le celle nik possono essere o vuote o piene,ovvero nik = 0, 1 : non esistono altri valori possibili. Le particelle cheappartengono a questa categoria vengono dette fermioni ed hanno spinSEMIINTERO (1/2, 3/2, ...).

In aggiunta a questi due modelli si puo considerare il Sistema di Boltzmannche non esiste in natura, ma un modello matematico che ad alte temperaturedescrive bene il comportamento termodinamico di entrambi i sistemi reali.

Abbiamo gia visto che ad ogni atomo corrisponde un pacchetto d’ondecon dimensione spaziale dell’ordine della lunghezza d’onda termica di DeBroglie

λdB =h√

2πmkT(1)

Quando la distanza media tra gli atomi diventa paragonabile con λdB , lefunzioni d’onda di atomi adiacenti si sovrappongono ed essi perdono la loroidentita. A differenza dei fermioni, per i quali vale il principio di esclusione diPauli, i bosoni tendono ad occupare insieme lo stesso stato quantico. Questocomportamento e alla base del fenomeno di condensazione che andremo adescrivere.

2Lo spazio delle fasi µ e costituito da tutte le possibili combinazioni {p, q} per unasingola particella.

2

2 Statistica di Bose per un gas ideale

La statistica di Bose ammette qualsiasi valore per il numero di occupazionedelle celle gi, ovvero nik = 0, 1, 2, .... Dal punto di vista matematico si trattaquindi di ripartire Ni particelle in gi celle distinguibili. Il numero di modiper realizzare lo stato macroscopico nei diversi domini e dato da

W =∏i

Wi =∏i

(Ni + gi − 1)!

Ni!(gi − 1)!(2)

Lo stato piu probabile si trova massimizzando W e dunque basta trovare ivalori per cui d lnW = 0 , dato che il logaritmo e una funzione monotona.Si tratta quindi di massimizzare la funzione W sui vincoli di conservazionedell’energia totale del numero di particelle.

d lnW = 0∑iNi = N∑i uiNi = U

(3)

Il problema si risolve con i moltiplicatori di Lagrange : senza eseguire tut-ti i calcoli ( basta utilizzare l’approssimazione di Sterling e utilizzare ilmoltiplicatori βµ e β ) si riporta il risultato finale.

n0i = N0

i /gi =1

eβ(ui−µ) − 1(4)

dove µ e i potenziale chimico e β ≡ 1/kT .

3 Analisi del fenomeno

Si utilizza quindi la (4) applicandola nel limite di forte occupazione (n0i ≫ 1)

in cui non vale l’approssimazione classica. Affinche n0i sia sempre positivo

occorre che sia eui/kT e−µ/kT ≥ 1 : applicando questa relazione allo statodi energia piu bassa con u0 = 0 si ricava e−µ/kT ≥ 1 , ovvero µ ≤ 0. Talecondizione rappresenta quindi un limite per il valore del potenziale chimico: per µ → 0 la popolazione dello stato di energia piu bassa diventa moltogrande, mentre quella per gli stati di energia piu alti di quello fondamentalesi riduce a

n0i =

1

eui/kT − 1(5)

Pertanto questa popolazione risulta indipendente dal numero totale di par-ticelle presenti e dipende solo dalla temperatura del sistema.

Passiamo quindi a calcolare la popolazione totale per un valore genericodi µ , il limite verra fatto successivamente. Per un sistema di particelle liberecon energia dei domini data dalla sola energia cinetica il numero di celle si

3

puo calcolare considerando il volume di una calotta sferica nello spazio dellefasi, ovvero

g(p) dp =4πV p2 dp

h3(6)

Questa equazione non tiene conto pero della degenerazione dei domini percui il valore p = 0 e un valore permesso alle particelle. La relazione sicorregge quindi aggiungendo una funzione δ(p) che tiene conto della nuovadegenerazione.

g(p) =4πV p2

h3+ δ(p) (7)

Il numero di particelle si ottiene quindi sostituendo la (7) nella seguente, chesi ottiene estendendo al continuo la (4) .

N =∑i

n0i gi =

∫ng(p) dp =

4πV

h3

∫p2

ep2/2mkT e−µ/kT − 1dp+

eµ/kT

1− eµ/kT

(8)Definendo la fugacita come z ≡ emu/kT si ottiene

N = N0 +Necc =z

1− z+

4πV

h3(2mkT )3/2

∫ ∞

0

x2

ex2/z − 1dx (9)

avendo cambiato variabile con x2 ≡ p2/2mkT . Si procede quindi calcolando

Necc =4πV

h3(2mkT )3/2

∫ ∞

0

x2

ex2/z − 1dx

=4πV

h3(2mkT )3/2

∫ ∞

0x2z e−x2

∞∑m=0

zm e−mx2dx

=4πV

h3(2mkT )3/2

∫ ∞

0x2

(z e−x2

+ z2 e−2x2+

∞∑m>1

zm e−mx2

)dx

=4πV

h3(2mkT )3/2

∫ ∞

0x2

∞∑m=1

zm e−mx2dx

=4πV

h3(2mkT )3/2

∞∑m=1

zm∫ ∞

0x2 e−mx2

dx (10)

Sostituendo mx2 = y2 si perviene all’integrale∫ +∞

0y2 e−y2 =

√π

4(11)

grazie alle proprieta dell’integrale Gaussiano. Quindi la popolazione eccitatadiviene

Necc =4πV

h3(2πmkT )3/2

∞∑m=1

zm

m3/2≡ 4πV

h3(2πmkT )3/2g3/2(z) (12)

4

Poiche la fugacita z e compresa tra 0 ed 1 , la funzione g3/2(z) e limitata, positiva e monotona crescente. Il valore massimo e assunto in z = 1 : inquesto punto la funzione vale g3/2(1) =

∑∞1 m−3/2 = 2, 612. Recuperando

il numero totale di particelle si ottiene

N

V=

1

λ3dB

g3/2(z) +N0

V(13)

Pertanto, per una data densita e temperatura , dall’equazione precedentesi puo determinare implicitamente il potenziale chimico µ del gas in quantoz = eβµ . Fissata la densita , al diminuire di T , la funzione g3/2(z) cresce :poiche la funzione e monotona si deve avere una crescita di z che implica unacrescita di µ fino a quando non raggiunge il suo valore massimo annullandosi(µ ≤ 0) ottenendo , come visto prima , il valore di 2, 612. La temperaturaTC alla quale z = 1 ( e quindi µ = 0 , condizione presentata all’inizio delcapitolo ) e detta temperatura critica :

TC ≡(

N

g3/2(z)V

)2/3 h2

2πmk(14)

Dobbiamo quindi risolvere l’equazione (13) : per temperature molto basse,ovvero per T < TC , µ e molto vicino allo zero , quindi possiamo assumerez = 1 e riscrivere la popolazione totale come

N =V

h3(2πmkT )3/2g3/2(1) +N0 = N

(T

TC

)3/2

+N0 (15)

dalla quale si ricava

Necc = N

(T

TC

)3/2

; N0 = N

{1−N

(T

TC

)3/2}

(16)

In virtu della limitatezza della funzione g3/2(z) , per dati valori di V, T ,il numero totale di particelle negli stati eccitati e dato dalla (16) , dunquee limitato. Quindi se il numero di particelle N del sistema e maggioredi questo valore limite , e naturale che gli stati eccitati saranno occupatidal numero massimo di particelle che possono contenere, che si ha nel casodi uguaglianza nella seconda relazione della (16) , mentre le rimanenti sidisporranno nello stato fondamentale , la cui capacita e pressoche illimitata.La condizione per cui si verifichi il fenomeno e quindi data da

λ3dB ≥ V

Ng3/2(1) (17)

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4 Conclusioni

Possiamo pertanto concludere che c’e un numero macroscopico di particellenello stato fondamentale con p = 0 : allo zero assoluto tutte le particellesono nella cella dello spazio delle fasi con energia piu bassa , che possiede unadegenerazione unitaria, per cui W = 1 e l’entropia vale S = k lnW = 0 , inaccordo con il terzo principio della termodinamica .Questo fenomeno e det-to condensazione di Bose-Einstein. A differenza della condensazione fisica ,relativa al passaggio da vapore a liquido, la BEC e un fenomeno puramentequantistico che nasce dall’indistinguibilita delle particelle bosoniche non in-teragenti. Dalla formula (17) si nota, esplicitando la forma di λdB , che glieffetti quantistici sono piu evidenti quando la temperatura e relativamentebassa e la densita relativamente alta.

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