Concreto Armado Semana 15 (22!06!15) Revnasa
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Transcript of Concreto Armado Semana 15 (22!06!15) Revnasa
Mag. Natividad Sánchez A ().
CONCRETO ARMADO Semana 15(24-11-14)
Semana 15 – Recomendaciones para el armado de columnas y Diseño de columnas L y T para
flexocompresión
CONTENIDO
• Recomendaciones para el armado de columnas• Diseño de Columnas T, L• Diseño para fuerza cortante
Recomendaciones para el armado de columnas
1. Las columnas mas económicas limitan sus cuantías entre 1% a 3%2. Se deben respetar los recubrimientos mínimos especificados por la
NTE-060 y el espaciamiento mínimo entre barras, así como la distribución de estribos, para no dejar mas de una barra longitudinal suelta.
3. En algunos casos será conveniente armar las barras en paquete. Trate de limitar a dos barras como máximo, para evitar pandeo. Todos los paquetes deberán ubicarse en las esquinas de un estribo cerrado.
4. Si existe limitaciones en el tamaño de la sección transversal, utilice concretos de mayor resistencia, en los primeros pisos de los edificios altos.
5. En edificios altos pueden realizarse cambios de sección cada tres ó cuatro pisos.
6. No es muy conveniente, usar dentro de una misma columna, barras de diámetros muy diferentes.
7. Las armaduras de los extremos de vigas debe anclar dentro de las columnas
4) Modulo de elasticidadEl modulo de elasticidad tiene valores relativamente grandes para materiales muy rígidos. Ejemplo:
En la curva esfuerzos-deformación, mostrada, se observaEn la fase elástica para aceros de diversos grados, tienen un comportamiento similar y las curvas se confunden. Es así Como se define el módulo de elasticidad del acero independiente de su grado ó calidad.
DISEÑO DE COLUMNAS T o L
22/04/2023 8MSc. Ing. Civil Natividad Sánchez A.
¿Cómo se diseñan las columnas en L, T?
1º Se determina el centro plástico de la sección, cuando se tienen secciones asimétricas como en el presente caso.
“El centro plástico se define como el punto donde aplicada la carga axial (sin momento flector), la sección baja paralelamente sin rotaciones. Se calcula como el centroide del concreto de toda la sección trabajando a 0.85 f´c y de todo el acero trabajando a fy”
2ºEn los diagramas de interacción se usa este punto para encontrar los momentos nominales.
22/04/2023MSc. Ing. Civil Natividad Sánchez A. 10
EJEMPLO PARA CALCULAR EL CENTRO PLÁSTICOVer en la pizarra el proceso
1. El ejemplo se trabaja en forma exacta, considerando secciones de concreto y acero con sus verdaderas ubicaciones con respecto a la cara izquierda de la sección.
∑Fuerzas = 543.38 ton∑(Fuerzas x distancias) = 119.63 ton-m
C.G = 0.22
22/04/2023MSc. Ing. Civil Natividad Sánchez A. 11
EJEMPLO PARA CALCULAR EL CENTRO PLÁSTICOVer en la pizarra el proceso
1. El ejemplo se trabaja en forma exacta, considerando secciones de concreto y acero con sus verdaderas ubicaciones con respecto a la cara izquierda de la sección.
∑Fuerzas = 543.38 ton∑(Fuerzas x distancias) = 119.63 ton-m
C.G = 0.22
2. También se trabaja considerando solo secciones de concreto ∑Fuerzas = 379.3.38 ton; ∑(Fuerzas x distancias) = 84.24 ton-m
C.G 0 0.22, en este caso no hay diferencia; pero también existen casos de asimetría
CL2-1º Resolver el ejemplo 16-9. Otazzi (2011); previo debe ilustrar el momento, según sea positivo ó negativo
Y = (452.95/939.75) = 0.482, desde el borde inferior
CL2-1º Resolver el ejemplo 16-9. Otazzi (2011); previo debe ilustrar el momento, según sea positivo ó negativo
Y = (452.95/939.75) = 0.482, desde el borde inferior
Consideraciones que se deben tener en cuenta
• La flexión positiva corresponde a compresiones en la fibra superior y la flexión negativa a compresiones en la fibra inferior.
• Los momentos nominales se encuentran con respecto al centroide plástico
• En las secciones T ó L se debe tener en cuenta las formas que toman las zonas de compresión.
• El diagrama de interacción obtenido para la columna T, es el que se muestra a continuación.
• Es notable la asimetría del diagrama producto de la forma de la sección y de la distribución de las armaduras longitudinales
Cuando la columna tiene zona de compresión T
M-
Datos: F’c= 280 kg/cm2.Fy= 4200 kg/cm2Ast= 6 1“ + 4 ¾”
DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN
M+
Punto 1: Compresión Pura𝑃𝑜=0.85∗ 𝑓 ´𝑐∗ ( 𝐴𝑔−𝐴𝑠𝑡 )+ 𝐴𝑠𝑡∗ 𝑓𝑦Fórmula a usar:
𝑃𝑜=0.85∗280∗ ( (25∗80+25∗50 )−41.96 )+41.96∗4200=939.75𝑇𝑜𝑛 .
𝑃𝑢𝑚á 𝑥=∅ ∗0.8∗𝑃𝑜Ojo: La carga axial máxima permitida por la norma es: ∅=0.70→𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠𝑐𝑜𝑛𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 .
𝑃𝑢𝑚á 𝑥=0.70∗0.8∗939.75=526.26 𝑡𝑜𝑛𝑃𝑛𝑚á 𝑥=0.8∗939.75=751.80 𝑡𝑜𝑛 .
∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜1(0 𝑡𝑜𝑛 .𝑚 ,939.75 𝑡𝑜𝑛) = 0.70
El momento nominal es : 𝑀𝑛=0𝑡𝑜𝑛 .𝑚
Punto 2: Fisuración Incipiente 69 cmCálculo de “c”:
acmCálculo de “a”:
𝜀𝑠3(69−6)
=0.00369
𝜀𝑠3=0.0027>0.0021
𝐹𝑠3=𝐴𝑠3∗ 𝑓𝑠 3
𝑓𝑠3=𝐸𝑠∗𝜀𝑠 3 𝑓𝑠3=4200𝑘𝑔/𝑐𝑚2𝐹𝑠3=(2∗5.10+2∗2.84)∗4200=66.70 𝑡𝑜𝑛
𝜀𝑠2(69−19)
=0.00369
𝜀𝑠2=0.0022>0.0021
𝐹𝑠2=𝐴𝑠2∗ 𝑓𝑠2
𝑓𝑠2=𝐸𝑠∗𝜀𝑠2 𝑓𝑠2=4200𝑘𝑔/𝑐𝑚2𝐹𝑠2=(2∗5.10+2∗2.84)∗4200=66.70 𝑡𝑜𝑛
𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐∗𝑎∗𝑏𝐶𝑐1(𝑎𝑙𝑎𝑠)=0.85∗280∗25∗55=327.25 𝑡𝑜𝑛
𝐶𝑐2 (𝑎𝑙𝑚𝑎 )=0.85∗280∗58.65∗25=348.97 𝑡𝑜𝑛
Punto 2: Fisuración Incipiente
PnCálculo del Pn:
Cálculo del Mn:
Mn
∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜2 (47.92 𝑡𝑜𝑛 .𝑚 ,809.62𝑡𝑜𝑛) = 0.70
= (0.1/0.7)*280*(= 130 ton
∴𝑃𝑛>𝑃𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠→∅=0.70
Punto 3: Falla Balanceada
acmCálculo de “a”:
𝜀𝑠 3(40.59−6)
=0.00340.59
𝜀𝑠3=0.0026>0.0021
𝐹𝑠3=𝐴𝑠 3∗ 𝑓𝑠 3
𝑓𝑠3=𝐸𝑠∗𝜀𝑠 3 𝑓𝑠3=4200𝑘𝑔/𝑐𝑚2𝐹𝑠3=(2∗5.10+2∗2.84)∗4200=66.70 𝑡𝑜𝑛
𝜀𝑠2(40.59−19)
=0.00340.59
𝜀𝑠2=0.0016>0.0021
𝐹𝑠2=𝐴𝑠2∗ 𝑓𝑠2
𝑓𝑠2=𝐸𝑠∗𝜀𝑠2 𝑓𝑠2=2∗106∗0.0016=3200𝑘𝑔 /𝑐𝑚2𝐹𝑠2=(2∗5.10+2∗2.84 )∗3200=50.82 𝑡𝑜𝑛
𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐∗𝑎∗𝑏𝐶𝑐1(𝑎𝑙𝑎𝑠)=0.85∗280∗25∗55=327.25 𝑡𝑜𝑛
𝐶𝑐2 (𝑎𝑙𝑚𝑎 )=0.85∗280∗34.5∗25=205.28 𝑡𝑜𝑛
𝑐0.003=
690.003+0.0021=40.59𝑐𝑚
Cálculo de “c”:
𝜀𝑠1=0.0021𝐹𝑠1=𝐴𝑠1∗ 𝑓𝑠1
𝑓𝑠1=4200𝑘𝑔 /𝑐𝑚2(negativo)
PnCálculo del Pn:
Cálculo del Mn:Mn
∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜3 (102.92 𝑡𝑜𝑛 .𝑚 ,607.21 𝑡𝑜𝑛) = 0.70
= (0.1/0.7)*280*(= 130 ton
∴𝑃𝑛>𝑃𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠→∅=0.70
Punto 3: Falla Balanceada
Punto 4: Cambio en el valor de
acmCálculo de “a”:
𝜀 𝑠3
(11.61−6)=0.00311.61
𝜀𝑠3=0.0014>0.0021
𝐹𝑠3=𝐴𝑠3∗ 𝑓𝑠 3
𝑓𝑠3=𝐸𝑠∗𝜀𝑠 3
𝐹𝑠3=(2∗5.10+2∗2.84 )∗2800=+46.05 𝑡𝑜𝑛
𝜀 𝑠2
(7.39)=0.00311.61
𝜀𝑠2=0.0019>0.0021
𝐹𝑠2=𝐴𝑠2∗ 𝑓𝑠2
𝑓𝑠2=𝐸𝑠∗𝜀𝑠2 𝑓𝑠2=2∗106∗0.0019=3800𝑘𝑔 /𝑐𝑚2𝐹𝑠2=(2∗5.10+2∗2.84 )∗3800=−60.34 𝑡𝑜𝑛
𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐∗𝑎∗𝑏𝐶𝑐=0.85∗280∗80∗9.87=187.92 𝑡𝑜𝑛
cPor tanteo “c”:
𝑓𝑠3=2∗106∗0.00145=2900 𝑘𝑔/𝑐𝑚2
𝜀𝑠1(57.39)
= 0.00311.61
𝜀𝑠1=0.015>0.0021
𝐹𝑠1=𝐴𝑠1∗ 𝑓𝑠1
𝑓𝑠1=𝐸𝑠∗𝜀𝑠1 𝑓𝑠1=2∗106∗0.0021=4200𝑘𝑔 /𝑐𝑚2𝐹𝑠1=(2∗5.10 )∗4200=−42.84 𝑡𝑜𝑛
PnCálculo del Pn:
Cálculo del Mn:
Mn
∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 4 (64.25 𝑡𝑜𝑛 .𝑚 ,130.79 𝑡𝑜𝑛) = 0.70
= (0.1/0.7)*280*(= 130 ton
∴𝑃𝑛>𝑃𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠→∅=0.70
Punto 4: Cambio en el valor de
C.P
Punto 5: Flexión Pura
acmCálculo de “a”:
𝜀𝑠3(6.40−6)
=0.0036.40
𝜀𝑠3=0.000190.0021
𝐹𝑠3=𝐴𝑠3∗ 𝑓𝑠 3
𝑓𝑠3=𝐸𝑠∗𝜀𝑠 3
𝐹𝑠3=(2∗5.10+2∗2.84 )∗375=+5.96 𝑡𝑜𝑛
𝜀𝑠2(12.60)
=0.0036.40
𝜀𝑠2=0.0059>0.0021
𝐹𝑠2=𝐴𝑠2∗ 𝑓𝑠2
𝑓𝑠2=𝐸𝑠∗𝜀𝑠2 𝑓𝑠2=4200𝑘𝑔/𝑐𝑚2𝐹𝑠2=(2∗5.10+2∗2.84 )∗ 4800=−66.70 𝑡𝑜𝑛
𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐∗𝑎∗𝑏𝐶𝑐=0.85∗280∗80∗5.44=103.58 𝑡𝑜𝑛
cPor tanteo “c”:
𝑓𝑠3=2∗106∗0.00019=375𝑘𝑔 /𝑐𝑚2
𝜀𝑠1(62.60)
=0.0036.40
𝜀𝑠1=0.029>0.0021
𝐹𝑠1=𝐴𝑠1∗ 𝑓𝑠1
𝑓𝑠1=𝐸𝑠∗𝜀𝑠1 𝑓𝑠1=4200𝑘𝑔 /𝑐𝑚2𝐹𝑠1=(2∗5.10 )∗4200=−42.84 𝑡𝑜𝑛
PnCálculo del Pn:
Cálculo del Mn:
Mn
∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 4 (39.33 𝑡𝑜𝑛 .𝑚 ,0 𝑡𝑜𝑛) = 0.90
= (0.1/0.7)*280*(= 130 ton
∴𝑃𝑛>𝑃𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠→∅=0.70
Punto 5: Flexión Pura
C.P
Punto 6: Tracción Pura
Fórmula a usar:=176.23 ton
∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜6 (0 𝑡𝑜𝑛 .𝑚 ,176.23 𝑡𝑜𝑛) ∅=0.90
M
M-
Datos: F’c= 280 kg/cm2.Fy= 4200 kg/cm2Ast= 6 1“ + 4 ¾”
DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN
M-
Punto 1: Compresión Pura𝑃𝑜=0.85∗ 𝑓 ´𝑐∗ ( 𝐴𝑔−𝐴𝑠𝑡 )+ 𝐴𝑠𝑡∗ 𝑓𝑦Fórmula a usar:
𝑃𝑜=0.85∗280∗ ( (25∗80+25∗50 )−41.96 )+41.96∗4200=939.75𝑇𝑜𝑛 .
𝑃𝑢𝑚á 𝑥=∅ ∗0.8∗𝑃𝑜Ojo: La carga axial máxima permitida por la norma es: ∅=0.70→𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠𝑐𝑜𝑛𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 .
𝑃𝑢𝑚á 𝑥=0.70∗0.8∗939.75=526.26 𝑡𝑜𝑛𝑃𝑛𝑚á 𝑥=0.8∗939.75=751.80 𝑡𝑜𝑛 .
∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜1(0 𝑡𝑜𝑛 .𝑚 ,939.75 𝑡𝑜𝑛) = 0.70
El momento nominal es : 𝑀𝑛=0𝑡𝑜𝑛 .𝑚
Punto 2: Fisuración Incipiente 69 cmCálculo de “c”:
acmCálculo de “a”:
𝜀𝑠2(13)
= 0.00369
𝜀𝑠3=0.00057>0.0021
𝐹𝑠2=𝐴𝑠 2∗ 𝑓𝑠2
𝑓𝑠2=𝐸𝑠∗𝜀𝑠2𝐹𝑠3=(2∗5.10+2∗2.84 )∗1130.43=17.95 𝑡𝑜𝑛
𝜀𝑠1(69−6)
=0.00369
𝜀𝑠1=0.0027>0.0021
𝐹𝑠1=𝐴𝑠 1∗ 𝑓𝑠1
𝑓𝑠1=𝐸𝑠∗𝜀𝑠1 𝑓𝑠1=4200𝑘𝑔 /𝑐𝑚2𝐹𝑠1=(2∗5.10 )∗4200=42.84 𝑡𝑜𝑛
𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐∗𝑎∗𝑏𝐶𝑐1=0.85∗280∗8.65∗80=164.70 𝑡𝑜𝑛
𝐶𝑐2=0.85∗280∗50∗25=297.5 𝑡𝑜𝑛
𝑓𝑠2=2∗106∗0.00057=1130.43𝑘𝑔/𝑐𝑚2
Punto 2: Fisuración Incipiente
PnCálculo del Pn:
Cálculo del Mn:
Mn
∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜2 (−74.96 𝑡𝑜𝑛 .𝑚 ,522.99 𝑡𝑜𝑛) = 0.70
= (0.1/0.7)*280*(= 130 ton
∴𝑃𝑛>𝑃𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠→∅=0.70
C.P
Punto 3: Falla Balanceada
acmCálculo de “a”:
𝜀𝑠 1(40.59−6)
=0.00340.59
𝜀𝑠1=0.0026>0.0021
𝐹𝑠1=𝐴𝑠 1∗ 𝑓𝑠1
𝑓𝑠1=𝐸𝑠∗𝜀𝑠1 𝑓𝑠1=4200𝑘𝑔 /𝑐𝑚2𝐹𝑠1=(2∗5.10 )∗4200=42.84 𝑡𝑜𝑛
𝜀𝑠215.41
= 0.00340.59
𝜀𝑠2=0.0011>0.0021
𝐹𝑠2=𝐴𝑠2∗ 𝑓𝑠2
𝑓𝑠2=𝐸𝑠∗𝜀𝑠2 𝑓𝑠2=2∗106∗0.0011=2277.9𝑘𝑔 /𝑐𝑚2𝐹𝑠2=(2∗5.10+2∗2.84 )∗2277.9=36.17 𝑡𝑜𝑛
𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐∗𝑎∗𝑏
𝐶𝑐=0.85∗280∗34.5∗25=205.28 𝑡𝑜𝑛
𝑐0.003=
690.003+0.0021=40.59𝑐𝑚
Cálculo de “c”:
𝜀𝑠3=0.0021𝐹𝑠1=𝐴𝑠1∗ 𝑓𝑠1
𝑓𝑠1=4200𝑘𝑔 /𝑐𝑚2𝐹𝑠3=(2∗5.10+2∗2.84)∗4200=66.70 𝑡𝑜𝑛
PnCálculo del Pn:
Cálculo del Mn:
Mn
∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜2 (1−98.16 𝑡𝑜𝑛 .𝑚 ,145.25 𝑡𝑜𝑛) = 0.70
= (0.1/0.7)*280*(= 130 ton
∴𝑃𝑛>𝑃𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠→∅=0.70
Punto 3: Falla Balanceada
C.P
Punto 4: Cambio en el valor de
acmCálculo de “a”:
𝜀 𝑠3
(30.2)=0.00338.8
𝜀𝑠3=0.0023>0.0021
𝐹𝑠3=𝐴𝑠 3∗ 𝑓𝑠 3
𝑓𝑠3=𝐸𝑠∗𝜀𝑠 3 𝑓𝑠3=4200𝑘𝑔/𝑐𝑚2𝐹𝑠3=(2∗5.10+2∗2.84 )∗4200=−66.70 𝑡𝑜𝑛
𝜀 𝑠2
(17.2)=0.00338.8
𝜀𝑠2=0.0013>0.0021
𝐹𝑠2=𝐴𝑠 2∗ 𝑓𝑠2
𝑓𝑠2=𝐸𝑠∗𝜀𝑠2 𝑓𝑠2=2∗106∗0.0013=2659.79𝑘𝑔 /𝑐𝑚2𝐹𝑠2=(2∗5.10+2∗2.84 )∗2659.79=−42.24 𝑡𝑜𝑛
𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐∗𝑎∗𝑏𝐶𝑐=0.85∗280∗33∗25=196.23 𝑡𝑜𝑛
𝑐=38.8𝑐𝑚“c” por tanteos:
𝜀𝑠2(32.8)
=0.00338.8
𝜀𝑠2=0.00125>0.0021
𝐹𝑠2=𝐴𝑠2∗ 𝑓𝑠2
𝑓𝑠2=𝐸𝑠∗𝜀𝑠2 𝑓𝑠2=4200𝑘𝑔/𝑐𝑚2𝐹𝑠2=(2∗5.10 )∗4200=+42.84 𝑡𝑜𝑛
PnCálculo del Pn:
Cálculo del Mn:
Mn
∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 4 (−97.32 𝑡𝑜𝑛 .𝑚 ,130.13 𝑡𝑜𝑛) = 0.70
= (0.1/0.7)*280*(= 130 ton
∴𝑃𝑛>𝑃𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠→∅=0.70
Punto 4: Cambio en el valor de
C.P
Punto 5: Flexión Pura
acmCálculo de “a”:
𝜀𝑠3(50.7)
=0.00318.3
𝜀𝑠3=0.0083>0.0021
𝐹𝑠3=𝐴𝑠 3∗ 𝑓𝑠 3
𝑓𝑠3=𝐸𝑠∗𝜀𝑠 3 𝑓𝑠3=4200𝑘𝑔/𝑐𝑚2𝐹𝑠3=(2∗5.10+2∗2.84 )∗4200=−66.70 𝑡𝑜𝑛
𝜀𝑠2(37.7 )
=0.00318.3
𝜀𝑠2=0.0062>0.0021
𝐹𝑠2=𝐴𝑠 2∗ 𝑓𝑠2
𝑓𝑠2=𝐸𝑠∗𝜀𝑠2 𝑓𝑠2=4200𝑘𝑔/𝑐𝑚2𝐹𝑠2=(2∗5.10+2∗2.84 )∗ 4200=−66.70 𝑡𝑜𝑛
𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐∗𝑎∗𝑏
𝐶𝑐=0.85∗280∗15.56∗25=92.55 𝑡𝑜𝑛
𝑐=18.3𝑐𝑚“c” por tanteo:
𝜀𝑠2(12.3)
= 0.00318.3
𝜀𝑠2=0.0020>0.0021
𝐹𝑠2=𝐴𝑠2∗ 𝑓𝑠2
𝑓𝑠2=𝐸𝑠∗𝜀𝑠2
𝐹𝑠2=(2∗5.10 )∗4200=+41.13 𝑡𝑜𝑛
𝑓𝑠2=2∗106∗0.0020=4032.79𝑘𝑔/𝑐𝑚2
PnCálculo del Pn:
Cálculo del Mn:
Mn
∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜5 (−73.82 𝑡𝑜𝑛 .𝑚 ,0 𝑡𝑜𝑛) = 0.90
Punto 4: Cambio en el valor de Punto 5: Flexión Pura
C.P
Punto 6: Tracción Pura Fórmula a usar:
=176.23 ton
∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜6 (0 𝑡𝑜𝑛 .𝑚 ,176.23 𝑡𝑜𝑛) ∅=0.90
M
MOMENTOS POSITIVOSPunto Pn Mn Φ PnΦ MnΦ
1 939.75 0 0.7 657.825 02 809.62 47.92 0.7 566.734 33.5443 607.21 102.92 0.7 425.047 72.0444 130.79 64.25 0.7 91.553 44.9755 0 39.33 0.9 0 35.3976 -176.23 0 0.9 -158.607 0
MOMENTOS NEGATIVOSPunto Pn Mn Φ PnΦ MnΦ
1 939.75 0 0.7 657.825 02 522.99 -74.96 0.7 366.093 -52.4723 145.25 -98.16 0.7 101.675 -68.7124 130.13 -97.32 0.7 91.091 -68.1245 0 -73.82 0.9 0 -66.4386 -176.23 0 0.9 -158.607 0
22/04/2023MSc. Ing. Civil Natividad Sánchez A. 38
RESISTENCIA MÍNIMA A FLEXIÓN DE LAS COLUMNAS
Estas columnas, generalmente trabajan a flexo compresión.Las columnas deben ser mas resistentes que las vigas que llegan a ellas, para inducir la formación de rótulas plásticas en las vigas y no en las columnas.
Debe cumplirse que:
22/04/2023MSc. Ing. Civil Natividad Sánchez A. 39
22/04/2023MSc. Ing. Civil Natividad Sánchez A. 40
Diseño para fuerza cortante en columnas
La presencia de compresiones en las columnas mejora la capacidad resistente al corte del concreto porque retarda el agrietamiento diagonal.
Cuando hay solicitaciones de compresión+flexión+corte. La resistencia del concreto, según la NTE-060 es:
Nu = carga axial última de compresión expresada en Kg-f; Ag = area bruta de la sección transversal de la columna.D0S MÉTODOS DE DISEÑO: RESISTENCIA Y CAPACIDAD
METODO DE LA RESISTENCIA
El espaciamiento máximo viene dado por d/2. Adicionalmente es necesario verificar los requerimientos de estribos para el control del pandeo de las barras.(s≤16 db (db = diametro de la barra longitudinal); s≤menor dimensión de la columna; s≤48de (de = diámetro de la barra del estribo))
MÉTODO DE RESISTENCIA
22/04/2023MSc. Ing. Civil Natividad Sánchez A. 43
MÉTODO DE RESISTENCIA
En general será mas representativo en el diseño de los estribos, aquel espaciamiento que pueda restringir el pandeo de las barras verticales:S ≤ 16 db; S ≤ menor dimensión de la columna; S ≤ 48 de; S ≤ 0.30 m
En las columnas el diagrama de fuerzas cortantes es constante; sin embargo aún cuando se diseñe con el método de la resistencia, será necesario considerar estribos de confinamiento de acuerdo a la siguiente recomendación práctica: 1 @0.05, [email protected] a partir de cada extremo, donde las uniones pueden ser vigas o zapatas.
22/04/2023MSc. Ing. Civil Natividad Sánchez A.
22/04/2023MSc. Ing. Civil Natividad Sánchez A. 45
Nu = Pu
22/04/2023MSc. Ing. Civil Natividad Sánchez A. 47
1 @0.05, [email protected] a partir de cada extremo, donde las uniones pueden ser vigas o zapatas.
6.34
22/04/2023MSc. Ing. Civil Natividad Sánchez A. 48
METODO DE LA CAPACIDAD
Para poder realizar el diseño por capacidad de una columna frente a fuerzas cortantes, se supone que en los extremos se desarrollan “rótulas plásticas”, con una resistencia probable Mpr = 1.25 Mn. Por equilibrio de la columna, se calcula la fuerza cortante Vpr = 2Mpr/h, donde h = altura de la columna.
1. Es necesario encontrar los valores de ¢ para cada una de las combinaciones, para poder encontrar los valores nominales.
2. Se calcula la cuantía del acero longitudinal3. Para las secciones de columnas se puede encontrar Pn,
dividiendo Pu/¢ (Pu es dato, resulta de cada una de las combinaciones de carga, con las cargas axiales obtenidas del análisis estructural)
4. Con los Pn que corresponden a los mayores momentos ultimos se puede encontrar Mn para cada una de las combinaciones desfavorables, utilizando los ábacos ó el diagrama de interacción de la columna.
22/04/2023MSc. Ing. Civil Natividad Sánchez A. 49
DISEÑO POR CAPACIDAD
El mayor momento corresponde a la combinación 2
Mu
Conviene trabajar con la combinación nº 2, ya que obtendremos el mayor momento nominal. El momento nominal para la combinación 2 se encuentra Ingresando al diagrama de interacción con el Pn de la combinación 2
22/04/2023MSc. Ing. Civil Natividad Sánchez A. 52
0.78
ɸ
0.79
0.810.83
0.85
11.1
El espaciamiento So no debe exceder de la menor de cualquiera de las siguientes expresiones:1. La tercera parte de la dimensión mínima del elemento 2. 6 veces el diámetro del refuerzo longitudinal3. 10 cm
22/04/2023MSc. Ing. Civil Natividad Sánchez A.
54
¿Cómo se trabaja con los diagramas de interacción?
1) Mediante el uso de los diagramas de interacción, ya elaborados (ábacos), solo si se trata de columnas rectangulares o circulares. Estos se pueden encontrar en diferentes manuales como por ejemplo en el libro del Ing. Harmsen o en el SP-7.
2) En forma manual, con la variación del eje neutro, para cualquier tipo de sección de columna. De esta forma deben encontrarse algunos puntos notables.
ɸ = 0.9 – 0.2Pn/Ptransición
ɸPn = 0.1f´cAg; columnas de estribos ɸ = 0.7
P transición=(0.1/ 0.7) (f´c Ag) ACI, 9.3.2 ; NTE -060 , 9.3.2.2
Entre P transición y P = 0. el valor de ɸ > 0.7 variando hasta 0.9
Ptransición
A continuación con la ayuda de los diagramas de interacción del libro de T. Harmsen se harán varios ejercicios en la pizarra para que el alumno, pueda adquirir destreza en la utilización de estas tablas y entender su significado.Para entrar a la tabla se necesita, estos datos:
Kn = Pn/(f´cbh) Rn = Kne/h)Rn = Pne/((f´cbh)h)= Kne/h
Kn = Pn/(f´cbh) Rn = Kne/h)
CASO : CUANTÍA DE ACERO DEBE CALCULARSE CON 0.8Pocuando e < 0.1 h, no es posible encontrar Ast con los ábacos
DOS FORMAS DE DISEÑAR COLUMNASEl diseño de las columnas se puede hacer de dos formas:
1)Mediante el uso de abacos o diagramas de interacción pre elaborados en diversos manuales para columnas rectangulares o circulares. ¡El alumno ya aprendió a usar estos diagramas. Por tanto está capacitado para ejecutarlo por sí mismo!2) Elaboración manual o con computadora con el uso de la hoja de cálculo EXCEL, a partir de columnas prediseñadas con variaciones del eje neutro, para cualquier tipo de sección de columna. De esta forma deben encontrarse algunos puntos notables. 3)Uso de programas, elaborados para tal fin (ej. SAP)
Ptransición
¿DIAGRAMA DE INTERACCIÓN?Es el lugar geométrico de las combinaciones Pn, Mn o Pu , Mu.¡representa la resistencia nominal o de diseño de una columna prediseñada!
¿Cómo se elabora un diagrama de interacción?
Todo diagrama de interacción parte de un diseño ya determinado en función de la cantidad de acero longitudinal, dimensiones de la sección, f´c, fy.Para su elaboración se encuentran Mn, Pn con variaciones del eje neutro
Diagrama de Interacción• Se construyen variando sucesivamente la ubicación del eje
neutro “c”, para una sección y acero dados.
Forma típica de un diagrama de
interacción para columnas con
estribos .
Po = Ast fy + 0.85f´c(Ag-Ast) ; Para el diseño se usa Pu = ɸPoEste es un caso ideal, que raramente se puede alcanzar, ya que siempre habrá un momento flector asociado con la carga axial, por desalineamiento vertical de la columna, desalineamiento del refuerzo vertical , por falta de uniformidad en la compactación del concreto, etc. por tanto:Pn max = 0.8 Po , para el caso de columnas con estribosPu max = ɸ 0.8 Po = ɸ 0.8 (Ast fy + 0.85 f`c (Ag - Ast))
Ptransición
Diagrama de Interacción Algunos Puntos notables de un diagrama de interacción, obtenidos con variaciones del eje neutro
Punto A Punto B
Punto C Punto D
Punto E
CONOCIMIENTOS PREVIOS
CENTROIDE PLASTICO Es el punto donde se aplica la carga axial (sin momento). De tal manera que la sección baja paralelamente sin rotaciones. En las secciones de columnas simétricas, el centroide plástico coincide con el centro geométrico de la sección
ESTE ES EL CASO HIPOTÉTICO DE COMPRESIÓN PURA
22/04/2023MSc. Ing. Civil Natividad Sánchez A. 70
CASO DE FLEXOCOMPRESIÓN
CASOS DE EXCÉNTRICIDAD P
EXCÉNTRICIDAD EN «Y»
PEXCÉNTRICIDAD EN «X»
CASO EXCÉNTRICIDAD EN «X»
CASO EXCÉNTRICIDAD EN «Y»
FISURACIÓN INCIPIENTE
FALLA BALANCEADA
4) Modulo de elasticidadEl modulo de elasticidad tiene valores relativamente grandes para materiales muy rígidos. Ejemplo:
Ejemplo
Se quiere construir los diagrama de interacción para excéntricidades en X,Y para la columna de concreto armado de 0.40*0.40m a continuación. Se usara como centro de reducción el centroide de la sección .
Análisis con excentricidad en “y”:
Punto 1: Compresión Pura
𝑃𝑜=0.85∗ 𝑓 ´𝑐∗ ( 𝐴𝑔−𝐴𝑠𝑡 )+ 𝐴𝑠𝑡∗ 𝑓𝑦Fórmula a usar:
𝑃𝑜=0.85∗280∗ (40∗40−40.80 )+40.80∗4200 𝑃𝑜=542 𝑡𝑜𝑛 .
𝑃𝑢𝑚á 𝑥=∅ ∗0.8∗𝑃𝑜
Po, es el punto inicial para el trazo de la curva de interacción; pero la carga axial pura es rara, por eso, para casos reales, la NTE-060 recomienda: Pnmax = 0.8 Po, lo cual determina que el diagrama de interación sea trunco.
La sección está sometida a una
carga de compresión pura. Actuando en el
C. P.
∅=0.70→𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠𝑐𝑜𝑛𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 .
𝑃 𝑛𝑚 á 𝑥=0.8∗542=433.6 𝑡𝑜𝑛
∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜1(0,542)
M𝑃 𝑢𝑚 á 𝑥=0.7∗0.8∗542=303.5 𝑡𝑜𝑛
Punto 2: Fisuración incipiente.
=34 cm (por condición)Cálculo de “c”:
𝜀𝑠 2(34−6)
=0.00334
𝜀𝑠2=0.0025>𝜀 𝑦
𝐹𝑠2=𝐴𝑠2∗ 𝑓𝑠2
fy (Ɛs2 > Ɛy) 𝑓𝑠2=4200𝑘𝑔/𝑐𝑚2
𝐹𝑠2=20.40∗4200𝐹𝑠2=85.68 𝑡𝑜𝑛 .
acmCálculo de “a”:
𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐∗𝑎∗𝑏
𝐶𝑐=0.85∗280∗28.90∗ 40=275.13 𝑡𝑜𝑛
𝑃 𝑛=𝐹𝑠 2+𝐶𝑐=85.68+275.13=360.81𝑡𝑜𝑛Cálculo del Pn:
Cálculo del Mn:
M
Con respecto al punto del centroide plástico, que por ser simétrico se encuentra al centro de la sección.
M
= (0.1/0.7)*280*40*40= 64 ton
∴𝑃𝑛>𝑃𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠→∅=0.70
P
∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜2 (27.30,360 .81)
Punto 3: Falla balanceada.
𝑐0.003=
340.003+0.0021=20𝑐𝑚
Cálculo de “c”:
acmCálculo de “a”:
𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐∗𝑎∗𝑏𝐶𝑐=0.85∗280∗17∗ 40=161.84 𝑡𝑜𝑛
𝑃 𝑏=𝐹𝑠2+𝐶𝑐−𝐹𝑠1=85.68+161.84−85.68=161.84 𝑡𝑜𝑛Cálculo del Pb:
Cálculo del Mb:Mb
Mb
= (0.1/0.7)*280*40*40= 64 ton
𝜀𝑠2(20−6)
=0.00320
𝜀𝑠2=0.0021=𝜀 𝑦
𝐹𝑠2=𝐴𝑠2∗ 𝑓𝑠2𝑓𝑠2=𝐸𝑠∗𝜀𝑠2 𝑓𝑠2=4200𝑘𝑔/𝑐𝑚2
𝐹𝑠2=20.40∗4200=+85.68 𝑡𝑜𝑛
∴𝑃𝑏>𝑃𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠→∅=0.70
𝜀𝑠1=0.0021=𝜀 𝑦
𝐹𝑠1=𝐴𝑠 1∗ 𝑓𝑠1𝑓𝑠1=4200𝑘𝑔 /𝑐𝑚2
𝐹𝑠1=20.40∗4200=−85.68 𝑡𝑜𝑛
Compresión
Tracción
Pb
∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜3 (42.60,161.84 )
17
Punto 4: Cambio del valor de “c” por tanteos: 11.40 cm.
acmCálculo de “a”:
𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐∗𝑎∗𝑏𝐶𝑐=0.85∗280∗9.69∗ 40=92.25 𝑡𝑜𝑛
PnCálculo del Pn:
Cálculo del Mn:Mn
Mn
=(0.1/0.7)*280*40*40=64 ton𝜀𝑠1
(22.60)= 0.00311.40
𝜀𝑠1=0.0059=2.83𝜀 𝑦
𝐹𝑠1=𝐴𝑠1∗ 𝑓𝑠2Ɛ 𝑠1>Ɛ 𝑦 𝑓𝑠1=4200𝑘𝑔 /𝑐𝑚2
𝐹𝑠1=20.40∗4200=−85.68 𝑡𝑜𝑛
Compresión
Tracción
P
∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 4 (33.97,63 .69)
𝜀𝑠2
(11.40−6)=0.00311.40
𝜀𝑠2=0.0014<𝜀 𝑦
𝐹𝑠2=𝐴𝑠2∗ 𝑓𝑠2
𝑓𝑠2=𝐸𝑠∗𝜀𝑠2 𝑓𝑠2=2∗106∗0.0014=2800𝑘𝑔/𝑐𝑚2𝐹𝑠2=20.40∗2800=+57.12𝑡𝑜𝑛
∅=0.70
Punto 5: Punto cercano a la flexión pura.
“c” por tanteos: 7.56 cm.
acmCálculo de “a”:
𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐∗𝑎∗𝑏𝐶𝑐=0.85∗280∗6.43∗ 40=61.21𝑡𝑜𝑛
PnCálculo del Pn:
Cálculo del Mn:
Mn
Mb
𝜀𝑠 1(32.44−6)
=0.0037.56
𝜀𝑠1=0.010=5𝜀 𝑦
1𝑓𝑠1=𝐸𝑠∗𝜀𝑠1 𝑓𝑠1=4200𝑘𝑔 /𝑐𝑚2
𝐹𝑠1=20.40∗4200=−85.68 𝑡𝑜𝑛
Compresión
TracciónP
∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜5 (25.81,0)
𝜀𝑠2(7.56−6)
=0.0037.56
𝜀𝑠2=0.00062<𝜀 𝑦
𝐹𝑠2=𝐴𝑠2∗ 𝑓𝑠2
𝑓𝑠2=𝐸𝑠∗𝜀𝑠2 𝑓𝑠2=2∗106∗0.00062=1240𝑘𝑔/𝑐𝑚2
𝐹𝑠2=20.40∗1240=+25.30 𝑡𝑜𝑛
∅=0.90
Punto 6: Tracción pura.
Fórmula a usar:=171.36 ton
∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜6 (0,171.36 ) ∅=0.90
M Pn Mn542 0
360.81 27.3161.84 42.663.69 33.97
0 25.81-
171.36 0Pn Mn
379.4 0252.5
7 19.11113.2
9 29.8244.58 23.78
0 23.23-
154.22 0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
600
379.4
252.567
113.288
44.5830
-154.224
303.52
542
360.81
161.84
63.69
0
-171.36
Análisis con excentricidad en “x”:
M
M
Análisis con excentricidad en “x”:
COMPRESIÓN TRACCIÓN
COMPRESIÓN
TRACCIÓN
0.06
0.06
0.09
0.090.10
C
T
M
0.06
0.06
0.09
0.09
0.10
As1= 2*5.1=10.2 cm2
As2= 2*5.1=10.2 cm2
As3= 2*5.1=10.2 cm2
As4= 2*5.1=10.2 cm2
f´c=280 kg/cm2fy=4200 kg/cm2
Ast = 40.8 cm2
Es=2*106 kg/cm2
34 cm
25 cm
15 cm
6 cm
Punto 1: Compresión Pura
𝑷𝒐=𝟎 .𝟖𝟓∗ 𝒇 ´𝒄∗ (𝑨𝒈−𝑨𝒔𝒕 )+𝑨𝒔𝒕 ∗ 𝒇𝒚Fórmula a usar:
𝑃𝑜=0.85∗280∗ (40∗40−40.80 )+40.80∗4200𝑃𝑜=542 𝑡𝑜𝑛 .
𝑃𝑢𝑚á 𝑥=∅ ∗0.8∗𝑃𝑜
Ojo: La carga axial máxima permitida por la norma es:
La sección está sometida a una
carga de compresión pura. Actuando en el
C. P. 𝑃 𝑛𝑚 á 𝑥=0.8∗542=433.6 𝑡𝑜𝑛
∴𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐𝟏(𝟎 ,𝟓𝟒𝟐)
M𝑃 𝑢𝑚 á 𝑥=0.7∗0.8∗542=303.5 𝑡𝑜𝑛
Punto 2: El eje neutro coincide con el As 1
“c”: 34 cm
= 0.003*9/34= 0.00079 ˂
𝐹𝑠2= 𝑓𝑠2∗10.2=16.2 ton𝑓𝑠2=𝜀𝑠2∗2∗106=1588𝑘𝑔 /𝑐𝑚2
acm
Cálculo de “a”:
= 0.003*19/34= 0.00168 ˂
𝐹𝑠3= 𝑓𝑠3∗10.2=34.2ton𝑓𝑠3=𝜀𝑠3∗2∗106=3353𝑘𝑔/𝑐𝑚2
= 0.003*28/34= 0.00247 ˃
𝐹𝑠 4= 𝑓𝑠 4∗10.2=42.8 ton𝑓𝑠4=4200𝑘𝑔 /𝑐𝑚2
𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐 ∗𝑏∗𝑎
𝜀𝑠4𝜀𝑠3𝜀𝑠2
a=0.289m
c=0.34m
123
4
𝑃𝑛=𝐹𝑠2+𝐹𝑠 3+𝐹𝑠 4+𝐶𝑐=16.8+33.6+42.8+275=368.2 𝑡𝑜𝑛Cálculo del Pn:
Cálculo del Mn:
MCon respecto al punto del centroide plástico, que coincide con el centro geométrico.
M
= (0.1/0.7)*280*40*40= 64 ton
∴𝑷𝒏>𝑷𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔→∅=𝟎 .𝟕𝟎
∴𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐𝟐(𝟐𝟐 .𝟐 ,𝟑𝟔𝟖 .𝟐)
𝜀𝑠4𝜀𝑠3𝜀𝑠2
a=0.289m
c=0.34m
123
40.2m
Fs4
Fs3Fs2
Cc
Punto 3: El eje neutro coincide con el As 2
“c”: 25 cm
=0.003*34/25 – 0.003= .00108 ˂ 𝑓𝑠1=𝜀 𝑠1∗2∗106=2160𝑘𝑔 /𝑐𝑚2
acm
Cálculo de “a”:
= 0.003*10/25= 0.0012 ˂ 𝑓𝑠3=𝜀𝑠3∗2∗106=2400𝑘𝑔/𝑐𝑚2
= 0.003*19/25= 0.00228 ˃
(compresión)
𝑓𝑠4=4200𝑘𝑔 /𝑐𝑚2
𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐 ∗𝑏∗𝑎
𝜀𝑠4𝜀𝑠3
𝜀𝑠1
ac=0.25m
123
4
𝑃𝑛=𝐹𝑠1+𝐹𝑠3+𝐹𝑠 4+𝐶𝑐=−22+24.5+42.8+202=247.3𝑡𝑜𝑛Cálculo del Pn:
Cálculo del Mn:
MCon respecto al punto del centroide plástico, que coincide con el centro geométrico.
M
= (0.1/0.7)*280*40*40= 64 ton
∴𝑷𝒏>𝑷𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔→∅=𝟎 .𝟕𝟎∴𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐𝟑(𝟐𝟗 .𝟐 ,𝟐𝟒𝟕 .𝟑)
𝜀𝑠4𝜀𝑠3
𝜀𝑠1
ac=0.25m
1
23
40.2m
Fs4
Fs3
Fs1
Cc
Punto 4: El eje neutro coincide con el As 3
“c”: 15 cm
=0.003*34/15 – 0.003= .0038 ˃ 𝑓𝑠1=4200𝑘𝑔 /𝑐𝑚2
acm
Cálculo de “a”:
= 0.003*25/15= 0.002 ˂ 𝑓𝑠2=𝜀𝑠2∗2∗106=4000𝑘𝑔/𝑐𝑚2
= 0.003*9/15= 0.0018 ˂
(compresión)
𝑓𝑠4=𝜀𝑠 4∗2∗10 6=3600𝑘𝑔/𝑐𝑚2
𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐 ∗𝑏∗𝑎
𝜀𝑠4
𝜀𝑠2𝜀𝑠1
ac= 0.15m
123
4
𝑃𝑛=𝐹𝑠1+𝐹𝑠2+𝐹𝑠4+𝐶𝑐=−42.8−40.8+36.7+121.4=74.8 𝑡𝑜𝑛Cálculo del Pn:
Cálculo del Mn:
M
Con respecto al punto del centroide plástico, que coincide con el centro geométrico.
M= (0.1/0.7)*280*40*40= 64 ton
∴𝑷𝒏>𝑷𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔→∅=𝟎 .𝟕𝟎∴𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐𝟒(𝟐𝟗 .𝟕 ,𝟕𝟒 .𝟖)
0.2m
Fs4
Fs2Fs1
Cc𝜀𝑠4
𝜀𝑠2𝜀𝑠1
ac= 0.15m
1
2
3
4
Punto 5: Falla balanceada.
cb
Cálculo de “c”:
acm
Cálculo de “a”:
17
ac= 0.2m
123
4
0.003
0.0021
𝜀𝑠4
𝜀𝑠2𝜀𝑠1
𝜀𝑠3
= 𝐹𝑠1= 𝑓𝑠1∗10.2=−42.8 ton( tracció n)
𝑓𝑠1=4200𝑘𝑔 /𝑐𝑚2
= 0.0021*5/14= 0.00075 ˂ 𝑓𝑠2=𝜀𝑠2∗2∗106=1500𝑘𝑔 /𝑐𝑚2
= 0.0021*5/14= 0.00075˂
(compresión)
𝑓𝑠3=𝜀𝑠3∗2∗106=1500𝑘𝑔/𝑐𝑚2
𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐 ∗𝑏∗𝑎
= 𝐹𝑠 4=42.8 ton(compresi ó n)
𝑓𝑠4=4200𝑘𝑔 /𝑐𝑚2
𝑃𝑛=𝐹𝑠1+𝐹𝑠2+𝐹𝑠3+𝐹𝑠 4+𝐶𝑐=−42.8−15.3+15.3+42.8+161.8=161.8 𝑡𝑜𝑛Cálculo del Pn:
Cálculo del Mn:
M
Con respecto al punto del centroide plástico, que coincide con el centro geométrico.
M
= (0.1/0.7)*280*40*40= 64 ton
∴𝑷𝒏>𝑷𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔→∅=𝟎 .𝟕𝟎∴𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐𝟓(𝟑𝟐 .𝟏 ,𝟏𝟔𝟏 .𝟖)
17
ac= 0.2m
1
23
4
0.003
0.0021
𝜀𝑠3𝜀𝑠4
𝜀𝑠2𝜀𝑠1
0.2m
Fs4
Fs2Fs1
CcFs3
Punto 6: Cambio del valor de “c” por tanteos: 14.40 cm.
acm
Cálculo de “a”:
= 𝐹𝑠1= 𝑓𝑠1∗10.2=−42.8 ton( tracció n)
𝑓𝑠1=4200𝑘𝑔 /𝑐𝑚2
= 0.003*15/14.4-0.003= 0.000125 ˂ 𝑓𝑠3=𝜀𝑠3∗2∗106=250𝑘𝑔/𝑐𝑚2
= 0.003*8.4/14.4= 0.00175˂
(compresión)
𝑓𝑠4=𝜀𝑠 4∗2∗10 6=3500𝑘𝑔/𝑐𝑚2
𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐 ∗𝑏∗𝑎
= 𝐹𝑠2=−42.8 ton(tracci ón)
𝑓𝑠2=4200𝑘𝑔/𝑐𝑚2
ac= 0.14.4m
123
4 𝜀𝑠4
𝜀𝑠2𝜀𝑠1
𝜀𝑠3
𝑃𝑛=𝐹𝑠1+𝐹𝑠2+𝐹𝑠3+𝐹𝑠 4+𝐶𝑐=−42.8∗2−2.55+35.7+116.5=64.1 𝑡𝑜𝑛Cálculo del Pn:
Cálculo del Mn:
M
Con respecto al punto del centroide plástico, que coincide con el centro geométrico.
M= (0.1/0.7)*280*40*40= 64 ton
∴𝑷𝒏>𝑷𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔→∅=𝟎 .𝟕𝟎∴𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐𝟔(𝟐𝟗 .𝟐 ,𝟔𝟒 .𝟏)
0.2m
Fs4
Fs2Fs1
Ccac= 0.14.4m
1
2
3
4 𝜀𝑠4
𝜀𝑠2𝜀𝑠1
𝜀𝑠3 Fs3
Punto 7: Punto cercano a la flexión pura.
“c” por tanteos: 10.5 cm.
acm
Cálculo de “a”:Cálculo de “a”:
= 𝐹𝑠1= 𝑓𝑠1∗10.2=−42.8 ton( tracció n)
𝑓𝑠1=4200𝑘𝑔 /𝑐𝑚2
= 0.003*15/10.5-0.003= 0.000129 ˂ 𝑓𝑠3=𝜀𝑠3∗2∗106
= 0.003*4.5/10.5= 0.00129˂
(compresión)
𝑓𝑠4=𝜀𝑠 4∗2∗10 6
𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐 ∗𝑏∗𝑎
= 𝐹𝑠2=−42.8 ton(tracci ón)
𝑓𝑠2=4200𝑘𝑔/𝑐𝑚2
ac= 0.105m
123
4 𝜀𝑠4
𝜀𝑠2𝜀𝑠1
𝜀𝑠3
𝑃𝑛=𝐹𝑠1+𝐹𝑠2+𝐹𝑠3+𝐹𝑠 4+𝐶𝑐=−42.8∗2−26.2+26.2+85=−0.6=0 𝑡𝑜𝑛Cálculo del Pn:
Cálculo del Mn:
M
Con respecto al punto del centroide plástico, que coincide con el centro geométrico.
M
∴∅=𝟎 .𝟗𝟎∴𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐𝟕(𝟐𝟑 .𝟕 ,𝟎)
0.2m
Fs4
Fs2Fs1
Cc
Fs3
ac= 0.105m
1
23
4 𝜀𝑠4
𝜀𝑠2𝜀𝑠1
𝜀𝑠3
Punto 8: Tracción pura.
Fórmula a usar:
=171.36 ton ∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜6 (171.36 ,0) ∅=0.90
M Mn Pn0 542
22,15 367,629,2 247,332,12 161,829,71 74,829,2 64,0523,7 0
0 -171
ØM ØP0 379,4
15,505 257,3220,44 173,11
22,484 113,2620,797 52,3620,44 44,83521,33 0
0 -153,9
0 5 10 15 20 25 30 35
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
600
𝟎 .𝟖𝑷𝒐𝟎 .𝟖∅ 𝑷𝒐
Punto 6: Tracción pura
Diagrama de iteraccion: