Concept de fonction ou modélisation fonctionnelle ? Quelques pistes de réflexion pour...

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Concept de fonction ou Concept de fonction ou modélisation fonctionnelle ? modélisation fonctionnelle ? Quelques pistes de réflexion pour Quelques pistes de réflexion pour l’enseignement secondaire et/ou l’enseignement secondaire et/ou universitaire universitaire Pierre Henrotay Pierre Henrotay Pierre Job Pierre Job Maggy Schneider Maggy Schneider CDS, 9 décembre 2011 CDS, 9 décembre 2011

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Concept de fonction ou modélisation Concept de fonction ou modélisation fonctionnelle ?fonctionnelle ?

Quelques pistes de réflexion pour Quelques pistes de réflexion pour l’enseignement secondaire et/ou universitairel’enseignement secondaire et/ou universitaire

Pierre HenrotayPierre Henrotay

Pierre JobPierre Job

Maggy SchneiderMaggy Schneider

CDS, 9 décembre 2011CDS, 9 décembre 2011

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Plan de l’exposéPlan de l’exposé

Le caractère unificateur du concept de fonctionLe caractère unificateur du concept de fonctionDeux faits divers qui illustrent des carences Deux faits divers qui illustrent des carences

dans l’enseignementdans l’enseignementUne étude critique des transpositions Une étude critique des transpositions

didactiques habituellesdidactiques habituellesApprofondissement de l’exemple de la Approfondissement de l’exemple de la

désintégration radioactivedésintégration radioactiveDes modèles qui donnent lieu à une étude plus Des modèles qui donnent lieu à une étude plus

théoriquethéoriqueConclusionConclusion

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Un concept unificateurUn concept unificateur

De nombreux chercheurs (Artigue, Robert, …) De nombreux chercheurs (Artigue, Robert, …) soulignent le soulignent le caractère unificateur et généralisateur caractère unificateur et généralisateur du du concept de fonction, associé à concept de fonction, associé à un nouveau formalismeun nouveau formalisme

Mais pensent ce caractère unificateur au niveau des Mais pensent ce caractère unificateur au niveau des fondements des mathématiques, le concept de fonction fondements des mathématiques, le concept de fonction étant défini comme triplet particulier d’ensembles et étant défini comme triplet particulier d’ensembles et recouvrant aussi bien des transformations géométriques recouvrant aussi bien des transformations géométriques que les fonctions de l’analyse ou les opérateurs entre que les fonctions de l’analyse ou les opérateurs entre espaces fonctionnelsespaces fonctionnels

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Un rôle unificateur au niveau Un rôle unificateur au niveau de la modélisation déjàde la modélisation déjà

Le concept de fonction peut être vu comme Le concept de fonction peut être vu comme concept unificateur au niveau des fondements des concept unificateur au niveau des fondements des mathématiques, c’est-à-dire dans une organisation mathématiques, c’est-à-dire dans une organisation déductive, mais aussi à un niveau plus déductive, mais aussi à un niveau plus « élémentaire », comme outil de modélisation et « élémentaire », comme outil de modélisation et de catégorisation de phénomènes extra ou intra-de catégorisation de phénomènes extra ou intra-mathématiques mathématiques l’exemple du calcul intégrall’exemple du calcul intégral

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Des problèmes qui relèvent de la Des problèmes qui relèvent de la même catégorie fonctionnellemême catégorie fonctionnelle

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Les fonctions sont des outils de Les fonctions sont des outils de classement des problèmesclassement des problèmes

Pour Archimède, ces problèmes sont distincts même Pour Archimède, ces problèmes sont distincts même s’ils relèvent tous deux de la méthode d’exhaustions’ils relèvent tous deux de la méthode d’exhaustionPour nous, c’est le même problème : primitive d’une Pour nous, c’est le même problème : primitive d’une fonction du second degré ou limite de sommes de fonction du second degré ou limite de sommes de Riemann de même structure Riemann de même structure « Mais pour qu’on ait le droit de voir là un “ calcul « Mais pour qu’on ait le droit de voir là un “ calcul intégral ”, il faudrait y mettre en évidence, à travers la intégral ”, il faudrait y mettre en évidence, à travers la multiplicité des apparences géométriques, quelque multiplicité des apparences géométriques, quelque ébauche de classification des problèmes suivant la ébauche de classification des problèmes suivant la nature de “ l’intégrand ” sous-jacent. Au XVIInature de “ l’intégrand ” sous-jacent. Au XVIIee siècle, siècle, nous allons le voir, la recherche d’une telle classification nous allons le voir, la recherche d’une telle classification devient peu à peu l’un des principaux soucis des devient peu à peu l’un des principaux soucis des géomètres »géomètres » (Bourbaki) (Bourbaki)

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Les fonctions sont des outils Les fonctions sont des outils de classement des problèmesde classement des problèmes

En amont d’une définition générale du concept En amont d’une définition générale du concept de fonction dans un projet de fondement : une de fonction dans un projet de fondement : une classification algébrique de modèles classification algébrique de modèles fonctionnels paramétrés qui donnera prise aux fonctionnels paramétrés qui donnera prise aux techniques de dérivation et de primitivation… techniques de dérivation et de primitivation…

Possibilité d’une initiation à un tel regard dès les Possibilité d’une initiation à un tel regard dès les premières années du secondaire : cf. l’ingénierie premières années du secondaire : cf. l’ingénierie relative aux problèmes de suites de nombres relative aux problèmes de suites de nombres figurés (Krysinska)figurés (Krysinska)

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La modélisation fonctionnelle comme La modélisation fonctionnelle comme parent pauvre de l’enseignementparent pauvre de l’enseignement

Deux faits divers qui désignent un « manque à Deux faits divers qui désignent un « manque à enseigner » :enseigner » :

Question testée par la commission des outils Question testée par la commission des outils d’évaluation relative aux compétences d’évaluation relative aux compétences terminales en mathématiquesterminales en mathématiques

Question posée à l’épreuve du baccalauréat Question posée à l’épreuve du baccalauréat français de 2003français de 2003

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Question testée par la commissionQuestion testée par la commission des outils d’évaluation des outils d’évaluation

Un détecteur à scintillations est utilisé pour mesurer la radioactivité Un détecteur à scintillations est utilisé pour mesurer la radioactivité d’un échantillon. L’activité d’un échantillon est évaluée par le nombre d’un échantillon. L’activité d’un échantillon est évaluée par le nombre d’impulsions par minute que reçoit le détecteur; elle varie avec le d’impulsions par minute que reçoit le détecteur; elle varie avec le temps et peut être décrite par un type de fonction que tu as étudié. temps et peut être décrite par un type de fonction que tu as étudié. On te demande deOn te demande de construire un graphique à partir des données du construire un graphique à partir des données du tableautableau, puis de , puis de déterminer une fonction qui modélise le phénomènedéterminer une fonction qui modélise le phénomène et ensuite de discuter l’adéquation de ton modèle aux données et ensuite de discuter l’adéquation de ton modèle aux données fournies.fournies.

(Dans certaines versions, on fait référence au modèle exponentiel)(Dans certaines versions, on fait référence au modèle exponentiel)

Temps Temps t t (en (en jours)jours)

00 3030 6060 9090 120120 150150 180180 210210 240240 270270

Activité Activité AA

(impulsion/min)(impulsion/min)

10001000 869869 797797 701701 571571 474474 417417 348348 291291 262262

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Question testée par la commissionQuestion testée par la commission des outils d’évaluation des outils d’évaluation

Résultats négatifs des tests :Résultats négatifs des tests :

Difficultés des élèves :Difficultés des élèves : à identifier un modèle adéquat, le cas échéantà identifier un modèle adéquat, le cas échéant à exploiter la régularité numérique du tableauà exploiter la régularité numérique du tableau à paramétriser le modèle ou à le faire convenablementà paramétriser le modèle ou à le faire convenablement à ajuster le modèle et exploiter le tableau pour juger de à ajuster le modèle et exploiter le tableau pour juger de

son adéquationson adéquation

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Question testée par la commissionQuestion testée par la commission des outils d’évaluation des outils d’évaluation

Interviews des élèves et des professeurs qui permettent Interviews des élèves et des professeurs qui permettent de supposer un « manque à enseigner » que l’analyse de supposer un « manque à enseigner » que l’analyse de la transposition didactique standard permettra de de la transposition didactique standard permettra de confirmer :confirmer :• « Je ne savais pas comment mettre l'énoncé et le problème « Je ne savais pas comment mettre l'énoncé et le problème

demandé en rapport avec la théorie et les exercices faits en demandé en rapport avec la théorie et les exercices faits en classe ». classe ». (un élève)(un élève)

• « Avant ce test, je n'avais jamais proposé ce type d’exercices à « Avant ce test, je n'avais jamais proposé ce type d’exercices à mes élèves. Les résultats le prouvent... Il me faudra mieux mes élèves. Les résultats le prouvent... Il me faudra mieux préparer mes élèves à ce type d'exercices ». préparer mes élèves à ce type d'exercices ». (un professeur)(un professeur)

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Question proposée à l’épreuve 2003 Question proposée à l’épreuve 2003 du baccalauréat françaisdu baccalauréat français

Dans les instants qui suivent l'ensemencement du milieu de Dans les instants qui suivent l'ensemencement du milieu de culture, on considère que la vitesse d'accroissement des culture, on considère que la vitesse d'accroissement des bactéries est proportionnelle au nombre de bactéries en bactéries est proportionnelle au nombre de bactéries en présence. Dans ce (…) modèle, on note fprésence. Dans ce (…) modèle, on note f((t) le nombre de t) le nombre de bactéries à l'instant t (exprimé en millions d'individus). La bactéries à l'instant t (exprimé en millions d'individus). La fonction f est donc solution de l'équation différentielle : yfonction f est donc solution de l'équation différentielle : y ' ' = ay (où = ay (où « a » est un réel strictement positif dépendant des conditions « a » est un réel strictement positif dépendant des conditions expérimentales).expérimentales).

Résoudre cette équation différentielleRésoudre cette équation différentielle, sachant que , sachant que f(0) = Nf(0) = N00

On note T le temps de doublement de la population bactérienne. On note T le temps de doublement de la population bactérienne. Démontrer que, pour tout réel t positif Démontrer que, pour tout réel t positif :: ff((tt) = ) = NN0022t/Tt/T

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Question proposée à l’épreuve 2003 Question proposée à l’épreuve 2003 du baccalauréat françaisdu baccalauréat français

Polémique suscitée par cette question, jugée « en Polémique suscitée par cette question, jugée « en rupture » par rapport aux pratiques enseignantes :rupture » par rapport aux pratiques enseignantes :

«  «  [… le problème posé][… le problème posé] n’a rien de standard. D’abord, il essaie de n’a rien de standard. D’abord, il essaie de refléter certaines des intentions nouvelles des programmes, en se refléter certaines des intentions nouvelles des programmes, en se situant dans un contexte d’évolution de population en biologie. (…) situant dans un contexte d’évolution de population en biologie. (…) Ce qui a été fortement critiqué, c’est la façon dont le problème a Ce qui a été fortement critiqué, c’est la façon dont le problème a été inutilement compliqué, dès le début, par l’introduction de été inutilement compliqué, dès le début, par l’introduction de nombreux paramètres. L’usage des paramètres est au lycée très nombreux paramètres. L’usage des paramètres est au lycée très réduit et les élèves ne sont pas habitués à effectuer des calculs réduit et les élèves ne sont pas habitués à effectuer des calculs impliquant plusieurs paramètres ». impliquant plusieurs paramètres ». (M. Artigue)(M. Artigue)

On retrouve ici le même « manque à enseigner »On retrouve ici le même « manque à enseigner »

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Une démarche à enseignerUne démarche à enseigner

Dans les deux faits divers décrits, il s’agit deDans les deux faits divers décrits, il s’agit de

• choisir un modèle fonctionnel parmi d’autres;choisir un modèle fonctionnel parmi d’autres;

• le paramétrer convenablement;le paramétrer convenablement;

• ajuster les paramètres;ajuster les paramètres;

soit à partir d’un tableau ou d’un graphique, soit à partir d’une soit à partir d’un tableau ou d’un graphique, soit à partir d’une équation différentielle et de ses conditions spécifiqueséquation différentielle et de ses conditions spécifiques

Traiter, si possible, des aspects proprement expérimentaux Traiter, si possible, des aspects proprement expérimentaux mentionnés par les « scientifiques » ou professeurs de mentionnés par les « scientifiques » ou professeurs de sciences : hypothèses qui permettent la formulation de l’équation sciences : hypothèses qui permettent la formulation de l’équation différentielle; mise à l’épreuve des paramètres comme différentielle; mise à l’épreuve des paramètres comme constantes expérimentalesconstantes expérimentales

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Exponentielles et LogarithmesExponentielles et LogarithmesFonctions reines des SciencesFonctions reines des Sciences

Evidente omniprésence de ces fonctions, à côté des Evidente omniprésence de ces fonctions, à côté des fonctions trigonométriquesfonctions trigonométriques

Dans les manuels de Math : une profusion d’exemples Dans les manuels de Math : une profusion d’exemples d’application d’application

Question légitime :Question légitime :

Les élèves sortant de l’enseignement secondaire Les élèves sortant de l’enseignement secondaire maîtrisent-ils ces notions fondamentales ? Sont-ils maîtrisent-ils ces notions fondamentales ? Sont-ils formés à identifier ces familles de fonctions comme formés à identifier ces familles de fonctions comme outils de modélisation ?outils de modélisation ?

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Que disent les programmes (CF) ?Que disent les programmes (CF) ?

Compétences (extrait)Compétences (extrait) ModéliserModéliser des des problèmesproblèmes de manière à les traiter au de manière à les traiter au

moyen des fonctions logarithmique et exponentiellemoyen des fonctions logarithmique et exponentielle Interpréter un graphique en le reliant au Interpréter un graphique en le reliant au problèmeproblème

qu’il qu’il modélisemodélise Dégager les propriétés communes d’une Dégager les propriétés communes d’une famillefamille de de

fonctionsfonctions

Conseils méthodologiques (extrait)Conseils méthodologiques (extrait) On traitera quelques applications, par exemple : On traitera quelques applications, par exemple :

problèmes démographiques, économiques ou problèmes démographiques, économiques ou scientifiquesscientifiques

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Que disent les programmes (FESeC) ?Que disent les programmes (FESeC) ?

Où va-t-on ? (extrait)Où va-t-on ? (extrait) Ces outils permettent de résoudre des Ces outils permettent de résoudre des problèmesproblèmes

scientifiquesscientifiques (radioactivité, pH, acoustique, (radioactivité, pH, acoustique, médecine, biologie), sociaux (démographie, médecine, biologie), sociaux (démographie, écologie), économiques (calcul d'annuités)écologie), économiques (calcul d'annuités)

RRésoudre un problèmeésoudre un problème Interpréter un graphique en le reliant au Interpréter un graphique en le reliant au problèmeproblème

qu’il qu’il modélisemodélise Résoudre un Résoudre un problèmeproblème issu des mathématiques, issu des mathématiques,

des des sciencessciences, de l’économie, … au moyen des , de l’économie, … au moyen des fonctions logarithmes et/ou exponentiellesfonctions logarithmes et/ou exponentielles

1717

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Une transposition classique aujourd’huiUne transposition classique aujourd’hui

Séquence traditionnellement suivie (Math 4H et 6H) :Séquence traditionnellement suivie (Math 4H et 6H) : Fonctions réciproquesFonctions réciproques ExponentielleExponentielle LogarithmeLogarithme

1818

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Une transposition classique aujourd’huiUne transposition classique aujourd’hui

ExponentielleExponentielle Rappels sur les puissancesRappels sur les puissances Proposition d’étendre aux exposants irrationnelsProposition d’étendre aux exposants irrationnels Détail des propriétés (acceptées)Détail des propriétés (acceptées) Etude de « la » fonctionEtude de « la » fonction Etablissement de la dérivéeEtablissement de la dérivée

proportionnalité à « la » fonctionproportionnalité à « la » fonction définition et existence du nombre d’Eulerdéfinition et existence du nombre d’Euler

LogarithmeLogarithme Définitions, propriétés, dérivée… via la fonction Définitions, propriétés, dérivée… via la fonction

réciproque de l’exponentielleréciproque de l’exponentielle1919

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Une transposition classique aujourd’huiUne transposition classique aujourd’hui

Equations et inéquations exponentielles et logarithmiquesEquations et inéquations exponentielles et logarithmiques Etudes de fonctionsEtudes de fonctions ApplicationsApplications

Désintégration radioactiveDésintégration radioactive AcoustiqueAcoustique SismologieSismologie Intérêts composésIntérêts composés Graphiques lin/log et log/logGraphiques lin/log et log/log

2020

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Regards sur cette transpositionRegards sur cette transposition

Dans l’introduction :Dans l’introduction : Actes de foi répétés demandés aux élèvesActes de foi répétés demandés aux élèves

Nécessité du prolongement continu, propriétésNécessité du prolongement continu, propriétés Tentatives d’appel à l’intuitionTentatives d’appel à l’intuition

essais de légitimation pas toujours évidents essais de légitimation pas toujours évidents recours à des SA et SG mais omniprésence des recours à des SA et SG mais omniprésence des

rationnelsrationnels

Difficulté des élèves àDifficulté des élèves à Y voir plus qu’un produitY voir plus qu’un produit Distinguer des puissances (dérivée en )Distinguer des puissances (dérivée en ) Franchir l’obstacle : puissances négatives et Franchir l’obstacle : puissances négatives et

fractionnairesfractionnaires Travailler la notion de réciproqueTravailler la notion de réciproque 2121

1. xxa

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Regards sur cette transpositionRegards sur cette transposition

Malaise vis-à-vis du mot « fonction »Malaise vis-à-vis du mot « fonction » Peu de réflexion sur « famille »Peu de réflexion sur « famille » Or des possibilités sont offertesOr des possibilités sont offertes

Equations et inéquations : strict aspect calculatoire ?Equations et inéquations : strict aspect calculatoire ? Etude de fonction Etude de fonction plutôt que de classes paramétréesplutôt que de classes paramétrées Longue énumération d’applicationsLongue énumération d’applications

Quel intérêt réel, puisque peu ou pas travaillé ?Quel intérêt réel, puisque peu ou pas travaillé ? Parfois artificiel (intérêts composés) ou anecdotique Parfois artificiel (intérêts composés) ou anecdotique

(origine du jeu d’échec) – ici les SG suffisent(origine du jeu d’échec) – ici les SG suffisent Accepté, pas ou peu modéliséAccepté, pas ou peu modélisé

2222

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Elèves compétents ou pas ? Elèves compétents ou pas ? Des résultats négatifsDes résultats négatifs

Krysinska (2007) – HypothèseKrysinska (2007) – Hypothèse On a les indices d’une absence d’enseignement On a les indices d’une absence d’enseignement

relatif à la modélisation fonctionnelle et d’un rapport relatif à la modélisation fonctionnelle et d’un rapport institutionnel adéquat aux signes qui permettent de institutionnel adéquat aux signes qui permettent de l’outiller : graphiques, tableaux et formules l’outiller : graphiques, tableaux et formules paramétréesparamétrées

C’est le prix payé par l’importance attachée à C’est le prix payé par l’importance attachée à l’étude de fonction, qui ne rend pas apte à l’étude de fonction, qui ne rend pas apte à modélisermodéliser

2323

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Des applications scientifiques à profusionDes applications scientifiques à profusion

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Une bien longue liste… pour se donner bonne conscience ?Une bien longue liste… pour se donner bonne conscience ?

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Regards sur une application couramment Regards sur une application couramment proposéeproposée

Application couramment choisie comme illustration des Application couramment choisie comme illustration des exponentielles : la désintégration radioactiveexponentielles : la désintégration radioactive

Inévitablement suivie d’exercices sur la datation par le Inévitablement suivie d’exercices sur la datation par le 1414CC Extrait choisi :Extrait choisi :

« La loi de Rutherford et Soddy décrit la désintégration « La loi de Rutherford et Soddy décrit la désintégration des éléments radioactifs au cours du temps : des éléments radioactifs au cours du temps :

Cette loi est déduite de l’hypothèse que le nombre Cette loi est déduite de l’hypothèse que le nombre d’atomes diminue en fonction du temps, d’atomes diminue en fonction du temps, proportionnellement au nombre d’atomes et à proportionnellement au nombre d’atomes et à l’intervalle de temps  »l’intervalle de temps  »

… … Réécriture rapide en : Réécriture rapide en :

2525

( )0

tN t N e

N N t '( ) ( )N t N t

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Regards sur une application couramment Regards sur une application couramment proposéeproposée

Peu de précautions prises :Peu de précautions prises : N est a priori un entier, N est a priori un entier, t un intervalle fini t un intervalle fini Le nombre de noyaux qui se désintègrent n’est pas Le nombre de noyaux qui se désintègrent n’est pas

observable directement (on ne connaît d’ailleurs observable directement (on ne connaît d’ailleurs pas la quantité initiale)pas la quantité initiale)

Il s’agit d’un phénomène aléatoire (Von Schneidler Il s’agit d’un phénomène aléatoire (Von Schneidler 1905, Congrès de Liège pour la radiologie)1905, Congrès de Liège pour la radiologie)

on suppose la probabilité de désintégration constante on suppose la probabilité de désintégration constante avec le temps et identique pour tous les noyaux, présents avec le temps et identique pour tous les noyaux, présents en grand nombre en grand nombre

la rencontre des lois binomiale et de Poisson est en la rencontre des lois binomiale et de Poisson est en général pour bien plus tard général pour bien plus tard

2626

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Regards sur une application couramment Regards sur une application couramment proposéeproposée

Le contexte expérimental et historique est éclipséLe contexte expérimental et historique est éclipsé1903 Rutherford et Soddy « Radioactive Change »1903 Rutherford et Soddy « Radioactive Change »

L’activité (à l’époque, le nombre de particules L’activité (à l’époque, le nombre de particules émises/s) diminue avec le temps de façon prévisible émises/s) diminue avec le temps de façon prévisible

l’observation expérimentale est une mesure de la l’observation expérimentale est une mesure de la variation d’un taux sur un intervalle de tempsvariation d’un taux sur un intervalle de temps

Le résultat : le taux de désintégration relatif est Le résultat : le taux de désintégration relatif est constant dans le temps; donc en réalité : on relie des constant dans le temps; donc en réalité : on relie des accroissements à des accroissement s accroissements à des accroissement s

Rutherford &Soddy : Rutherford &Soddy : C’est un phénomène complexe car on a affaire à C’est un phénomène complexe car on a affaire à

plusieurs chaînes (familles) radioactives plusieurs chaînes (familles) radioactives

2727

( )0

tR t R e

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Regards sur une application couramment Regards sur une application couramment proposéeproposée

La datation au La datation au 1414C est également présentée sans C est également présentée sans précautions particulières, or :précautions particulières, or :

Elle repose sur un « principe d’actualisme » : le rapport Elle repose sur un « principe d’actualisme » : le rapport 1414C/C/1212C est supposé constant C est supposé constant

Elle suppose qu’à la mort, il n’y a plus d’apport en Elle suppose qu’à la mort, il n’y a plus d’apport en 1414CC Elle est imprécise au-delà de plusieurs périodes, vu les Elle est imprécise au-delà de plusieurs périodes, vu les

petites quantités concernéespetites quantités concernées Elle ignore certaines variabilités dans la production du Elle ignore certaines variabilités dans la production du

1414CC

2828

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Regards sur une application couramment Regards sur une application couramment proposéeproposée

Dans un article de 2006 (repères n° 65, IREM), sur « la Dans un article de 2006 (repères n° 65, IREM), sur « la mise en avant de la coopération exemplaire entre mise en avant de la coopération exemplaire entre mathématiciens et physiciens qui a donné lieu à mathématiciens et physiciens qui a donné lieu à l’introduction de l’exponentielle en mathématiques à partir l’introduction de l’exponentielle en mathématiques à partir de l’étude de la radioactivité en physique », Ferrier pose de l’étude de la radioactivité en physique », Ferrier pose la question : « Y a-t-il eu un mathématicien dans la la question : « Y a-t-il eu un mathématicien dans la salle ?»salle ?»

On peut également adjoindre la question réciproque : « Y On peut également adjoindre la question réciproque : « Y a-t-il eu un physicien dans la salle ? »a-t-il eu un physicien dans la salle ? »

Il y a un danger à proposer, dans un souci louable Il y a un danger à proposer, dans un souci louable d’interdisciplinarité, des exemples certes fondamentaux d’interdisciplinarité, des exemples certes fondamentaux mais abordés superficiellement ou de façon réductricemais abordés superficiellement ou de façon réductrice

2929

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Regards sur une application couramment Regards sur une application couramment proposéeproposée

Désintégration: 2 importantes hypothèses sous-jacentesDésintégration: 2 importantes hypothèses sous-jacentes Invariance dans le tempsInvariance dans le temps

Le nombre de noyaux N(t1+t2) restant au bout du temps Le nombre de noyaux N(t1+t2) restant au bout du temps t1+t2 est égal à celui restant après t2 à partir d’un stock t1+t2 est égal à celui restant après t2 à partir d’un stock N(t1)N(t1)

Proportionnalité au stock initialProportionnalité au stock initialSi on double la quantité de matière, on double le nombre de Si on double la quantité de matière, on double le nombre de désintégrationsdésintégrations

On en déduit la relation fonctionnelle :On en déduit la relation fonctionnelle :

N(t1+t2)/N(t2)=N(t1)/N(0)N(t1+t2)/N(t2)=N(t1)/N(0) Quid d’une approche basée surQuid d’une approche basée sur

les équations fonctionnelles ?les équations fonctionnelles ?3030

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Equations fonctionnelles et probabilitésEquations fonctionnelles et probabilités

Une relation qui peut être revisitée par les probabilitésUne relation qui peut être revisitée par les probabilités F(t) = probabilité pour qu’un noyau se désintègre entre F(t) = probabilité pour qu’un noyau se désintègre entre

les instants 0 et tles instants 0 et t Ne pas vieillir : la probabilité qu’a un noyau non Ne pas vieillir : la probabilité qu’a un noyau non

désintégré à l’instant t de se désintégrer dans les s désintégré à l’instant t de se désintégrer dans les s unités de temps suivantes ne dépend que de sunités de temps suivantes ne dépend que de s

Probabilité de se désintégrer entre t et t + s = probabilité Probabilité de se désintégrer entre t et t + s = probabilité de ne pas se désintégrer entre 0 et t multipliée par la de ne pas se désintégrer entre 0 et t multipliée par la probabilité conditionnelle de se désintégrer entre t et t + probabilité conditionnelle de se désintégrer entre t et t + s sachant que le noyau existe encore à l’instant ts sachant que le noyau existe encore à l’instant t

Probabilité de ne pas être désintégré à l’instant t : G(t + Probabilité de ne pas être désintégré à l’instant t : G(t + s) = G(t)G(s) avec G=1-Fs) = G(t)G(s) avec G=1-F

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Extraire et étudier les modèlesExtraire et étudier les modèles

Dans une culture où il n’y a pas de limites de croissance, Dans une culture où il n’y a pas de limites de croissance, la vitesse d’accroissement du nombre de bactéries est la vitesse d’accroissement du nombre de bactéries est proportionnelle à tout moment au nombre de bactéries proportionnelle à tout moment au nombre de bactéries existantes. Si l’on constate que ce nombre double en 4 existantes. Si l’on constate que ce nombre double en 4 heures, que vaudra-t-il au bout de 8 heures ?heures, que vaudra-t-il au bout de 8 heures ?

De cet énoncé « scolaire » et d’autres analogues De cet énoncé « scolaire » et d’autres analogues (radioactivité, refroidissement d’un corps, … ) on fait (radioactivité, refroidissement d’un corps, … ) on fait apparaître un unique modèle :apparaître un unique modèle :

f ’(x) = k f(x)f ’(x) = k f(x)

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Extraire et étudier les modèlesExtraire et étudier les modèles

Une exploration graphique :Une exploration graphique :

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Extraire et étudier les modèlesExtraire et étudier les modèles

Un modèle continu qui suppose des observations de l’ordre Un modèle continu qui suppose des observations de l’ordre du discret. Par exemple, pour le nombre de bactéries, on du discret. Par exemple, pour le nombre de bactéries, on observe des rapports constants sur de mêmes intervalles observe des rapports constants sur de mêmes intervalles de temps : de temps :

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Extraire et étudier les modèlesExtraire et étudier les modèles

La forme exponentielle, le lien avec l’autre équation La forme exponentielle, le lien avec l’autre équation fonctionnelle et les conséquences dont : fonctionnelle et les conséquences dont :

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Construction progressive d’un Construction progressive d’un circuit théoriquecircuit théorique

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ConclusionConclusion

1.1. Quelle place pour les équations fonctionnelles Quelle place pour les équations fonctionnelles dans le secondaire ?dans le secondaire ?

2.2. Quand et où travailler la standardisation des Quand et où travailler la standardisation des variables et paramètres ?variables et paramètres ?

3.3. Quelle part donner à l’expérimental au cours de Quelle part donner à l’expérimental au cours de mathématique ?mathématique ?

4.4. Les études de fonctions favorisent-elles une Les études de fonctions favorisent-elles une « culture fonctionnelle » ?« culture fonctionnelle » ?

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