Concavité et points d'inflexion
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Département de mathématiques 1
Concavité et points d'inflexion
Jacques ParadisProfesseur
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2Département de mathématiques
Plan de la rencontre
Élément de compétence
Concavité vers le haut et le bas
Lien entre la concavité et la dérivée seconde
Nombre critique et point d’inflexion
Tableau de variation relatif à f’’
Exemples et exercice
Test de la dérivée seconde
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3Département de mathématiques
Élément de compétence Reconnaître et décrire les caractéristiques d'une
fonction représentée sous forme d'expression symbolique ou sous forme graphique
Utiliser la dérivée et les notions connexes pour analyser les variations d'une fonction et tracer son graphique Relier la concavité d’une fonction au signe de sa dérivée
seconde Déterminer les intervalles de concavité vers le haut et de
concavité vers le bas Déterminer les points d’inflexion d’une fonction Construire un tableau de variation relatif à f’’ Donner une esquisse du graphique d’une fonction Utiliser le test de la dérivée seconde pour les extremums d’une
fonction
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4Département de mathématiques
Concavité (1 de 2)
bas
haut
Soit une fonction f définie sur un intervalle I, f est concave vers le haut sur I si la courbe de f est
au-dessus de ses tangentes dans cet intervalle. f est concave vers le bas sur I si la courbe de f est
au-dessous de ses tangentes dans cet intervalle. Un point (c , f(c)) est un point d’inflexion de f si la
courbe change de concavité en ce point.
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5Département de mathématiques
Concavité (2 de 2)
Concavité et signe de la dérivée seconde f ’’ (x) > 0 sur ]a,b[ f(x) concave vers le haut sur [a,b] f ’’ (x) < 0 sur ]a,b[ f(x) concave vers le bas sur [a,b]
m=0
m>0
f’(x) est croissante, d’où sa dérivée f’’ > 0
m>0
m=0
m<0
m<0
f’(x) est décroissante, d’où sa dérivée f’’ < 0
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6Département de mathématiques
Remarque : Le point (c , f(c)) est un point d’inflexion de f ssi f’’(x) change de signe lorsque x passe de c à c+.
Nombre critique de f’ : une valeur c du domaine de f’ pour laquelle f’’(c) = 0 ou f’’(c) n’existe pas. (Un point d’inflexion potentiel)
Nombre critique / Point d’inflexion
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7Département de mathématiques
x
f’’(x)
f(x)
Tableau de variation relatif à f’’
Valeurs de x
Valeurs de f’’(x)
Valeurs de f(x)
Borne inférieure Borne supérieure
Points d’inflexion
Nombres critiques
Pour une fonction définie sur un intervalle : - - - - -
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8Département de mathématiques
Exemple 1 Déterminer les intervalles de concavité vers le haut, de concavité vers
le bas et les points d’inflexion de la fonction f(x) = x4 – 10x3 + 36x – 12. Étape 1 : Donner le domaine de la fonction Étape 2 : Trouver f’’(x) et factoriser, si possible Étape 3 : Identifier les nombres critiques de f’ Étape 4 : Compléter le tableau de variation relatif à f’’ Étape 5 : Donner une esquisse du graphique de f
x - 0 5
f’’(x) + 0 0 +
f(x) -12 -457
inf inf
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9Département de mathématiques
Exercice 1 Déterminer les intervalles de concavité vers le haut, de
concavité vers le bas et les points d’inflexion de la fonction f(x) = x4 - 24x2 + 14x + 40 définie sur [-5,2 ; 4,6].
x -5,2 -2 2 4,6
f’’(x) + 0 0 +
f(x) 49,4 -68 -12 44,3
inf inf
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10Département de mathématiques
Exemple 2 Déterminer les intervalles de concavité vers le haut, de
concavité vers le bas et les points d’inflexion de la fonction f(x) =
x -2 0 2
f’’(x) + 0
f(x) 0 0 0
inf
2x 4 x .
2
2
4 2xf '(x)4 x
2
2 3
2x(x 6)f ''(x)(4 x )
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11Département de mathématiques
Test de la dérivée seconde (1 de 2)
Soit une fonction f et c un nombre critique de f tel que f’(c) = 0.
1) Si f’’(c) < 0, alors (c , f(c)) est un point de maximum relatif de f.
2) Si f’’(c) > 0, alors (c , f(c)) est un point de minimum relatif de f.
3) Si f’’(c) = 0 ou n’existe pas, alors le test ne fonctionne pas et il faut revenir au test de la dérivée première.
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12Département de mathématiques
Test de la dérivée seconde (2 de 2)
Exemple : Soit f(x) = 2x3 – 0,25x4 – 0,2x5, déterminer les points de maximum relatif et les points de minimum relatif de f à l’aide du test de la dérivée seconde. Étape 1 : Trouver f’(x) et factoriser, si possible Étape 2 : Identifier les nombres critiques de f ayant f’(x) = 0 Étape 3 : Trouver f’’(x) (Inutile de factoriser) Étape 4 : Évaluer f’’(x) pour les nombres trouvés à l’étape 2 Étape 5 : Utiliser le test de la dérivée première si le test de la
dérivée seconde ne permet pas de conclure
x 0
f’(x) + 0 +
f(x) 0
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13Département de mathématiques
Devoir
Série 6.2, page 246, nos 1 à 5.
Exercices récapitulatifs, page 284, no 4. 4a) concavité vers le haut : - ; 0,25], concavité
vers le bas : [0,25 ; , point d’inflexion : (0,25 ; 0). 4c) concavité vers le haut : [2 ; , concavité vers
le bas : - ; 2], point d’inflexion : (2 ; 16). 4e) concavité vers le haut : [-2 ; 0] , concavité
vers le bas : [0 ; 2], point d’inflexion : (0 , 0).