Concavidade+e+Convexidade

8/16/2019 Concavidade+e+Convexidade

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MÉTODOS QUANTITATIVOS I | CIÊNCIAS ECONÔMICAS | UDESC ESAG | 2016/1| PROFª DRª THAIS WAIDEMAN NIQUITO


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CONCAVIDADE E

CONVEXIDADE

Condições de segunda ordem estão sempre relacionadas àquestão de um ponto estacionário ser o

ou o

.

Para uma função de duas variáveis:


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CONCAVIDADE E

CONVEXIDADE

CONCAVIDADE (CONVEXIDADE) ESTRITA E NÃO ESTRITA

Não es tr it a : colina (vale) pode conter uma ou mais porções planas, tais comosegmentos de reta (em uma curva) ou segmentos de plano (em uma superfície).

Estr i ta : não permite tais segmentos de reta ou de plano.

Uma função estritamente côncava (estritamente convexa) deve ser côncava (convexa),

mas a recíproca não é verdadeira

Em vista da associação de concavidade e concavidade estrita com uma

configuração global de colina, um extremo de uma função côncava deve ser um

máximo absoluto (em oposição a um máximo relativo), já que a colina abrange o

domínio inteiro.

Se a função for côncava (não estrita) esse máximo absoluto pode não ser único

(podem ocorrer vários máximos se a colina tiver um topo horizontal plano). O máximo absoluto será único quando especificamos concavidade estrita. Apenas

nesse caso que um pico consistirá em um único ponto e o máximo absoluto será

único.

Um máximo absoluto único (não-único) também é denominado um máximo

absoluto forte (fraco).

Raciocínio análogo é válido para um função convexa (convexa estrita).


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CONCAVIDADE E

CONVEXIDADE

Se as propriedades de concavidade e convexidade forem válidas somente

para uma porção da curva ou da superfície (somente para um subconjunto do domínio), então o máximo e o mínimo associados são

(ou

locais) para aquele subconjunto do domínio, uma vez que não podemos ter

certeza da situação fora desse subconjunto.

Quando discutimos a condição de sinal definido de 2 (ou da matrizhessiana ), avaliamos os menores principais somente no pontoestacionário, de modo que poderíamos discutir apenas máximos e mínimosrelativos.

Se 2 tiver um sinal definido em toda sua extensão, independentemente deonde os menores principais são avaliados, a colina ou vale cobrirá todo o

domínio e o máximo ou mínimo encontrado seria de natureza absoluta.

Seja a função: (, , … , ) • Se 2 for negativa (positiva) semi-definida em toda a sua extensão, z será

côncava (convexa)

• Se 2 for negativa (positiva) definida em toda a sua extensão, z seráestritamente côncava (convexa).


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CONCAVIDADE E

CONVEXIDADE

Uma vez satisfeita a condição de primeira ordem, a

— melhor dizendo,

para um máximo absoluto. Raciocínio análogo é válido para um função

convexa (convexa estrita).

O poder dessa nova condição suficiente fica claro quando lembramos que

pode acontecer de 2 ser igual a zero em um pico, o que faz com que acondição suficiente de segunda ordem falhe. A concavidade, ou a concavidade estrita, entretanto, pode dar conta ate

mesmo desses picos difíceis, porque garante que uma condição suficiente

de ordem mais alta seja satisfeita, mesmo que a de segunda ordem não

seja.


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VERIFICAÇÃO DE

CONCAVIDADE E CONVEXIDADE

DEFINIÇÃO GEOMÉTRICA (para uma função de duas variáveis): A função z , 2 é côncava (convexa) se, e somente se, para qualquer parde pontos distintos Me N em seu gráfico um segmento de reta MN estiver sobre

ou abaixo (acima) da superfície. A função é estritamente côncava (estritamente

convexa) se, e somente se, o segmento de reta MN estiver inteiramente abaixo

(acima) da superficie, exceto em M e N.


7/14MÉTODOS QUANTITATIVOS I | CIÊNCIAS ECONÔMICAS | UDESC ESAG | 2016/1| PROFª DRª THAIS WAIDEMAN NIQUITO

DEFINIÇÃO ALGÉBRICA (para uma função de

variáveis):

• A função , 2, … , é se, e somente se, para qualquer parde pontos distintos e no domínio de e para 0 < < 1,

+ 1 − ≤ + 1 −

•

A função , 2, … , é se, e somente se, para qualquer parde pontos distintos e no domínio de e para 0 < < 1,

+ 1 − ≥ + 1 −

Em ambos os casos, a definição pode ser adaptada com facilidade para

concavidade e convexidade estritas, mudando-se as desigualdades fracaspara as desigualdade estritas.

VERIFICAÇÃO DE




TEOREMA I (função linear)• Se , 2, … , for uma função linear, então ela é uma função côncava,

bem como uma função convexa, mas não estritamente.

TEOREMA II (negativa de uma função)• Se , 2, … , for uma função côncava, então − , 2, … , é uma

função convexa, e vice-versa. De modo semelhante, se , 2, … , foruma função estritamente côncava, então − , 2, … , é uma funçãoestritamente convexa, e vice-versa.

TEOREMA III (soma de funções)• Se , 2, … , e , 2, … , forem ambas funções côncavas

(convexas), então , 2, … , + , 2, … , também é uma funçãocôncava (convexa). Se , 2, … , e , 2, … , forem ambasfunções côncavas (convexas) e, além disso, qualquer uma delas, ou ambas,

for estritamente côncava (convexa), então , 2, … , + , 2, … , também é uma função estritamente côncava (convexa).

VERIFICAÇÃO DE




EXEMPLO:• Verifique a concavidade ou

convexidade de + 2 2

2

VERIFICAÇÃO DE




FUNÇÕES

DIFERENCIÁVEIS

FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL

• Uma função diferenciável () é se, e somente se, para qualquerponto dado e qualquer outro ponto no domínio:

≤ + ′()( − ) • Uma função diferenciável () é se, e somente se, para qualquer

ponto dado e qualquer outro ponto no domínio: ≥ + ′()( − ) Concavidade e convexidade serão estritas se as desigualdades fracas em

forem substituídas pelas desigualdades estritas.

Geometricamente, essa definição retrata uma curva côncava (convexa)

como uma curva que está sobre ou abaixo (acima) de todas as suas retas

tangentes.

Para se qualificar como uma curva estritamente côncava (estritamente

convexa), por outro lado, a curva deve estar estritamente abaixo (acima) de

todas as retas tangentes, exceto nos pontos de tangência.



FUNÇÕES

DIFERENCIÁVEIS

FUNÇÃO DE VÁRIAS VARIÁVEIS (para funções diferenciáveis 1 vez)• Uma função diferenciável , 2, … , é se, e somente se, paraqualquer ponto dado (, 2, … , ) e qualquer outro ponto

(, 2, … , ) no domínio: ≤ + ()( − )

=

• Uma função diferenciável , 2, … , é se, e somente se, paraqualquer ponto dado (, 2, … , ) e qualquer outro ponto (, 2, … , ) no domínio:

≥ + ()( − )

=

onde está calculado em , 2, … , Essa definição requer que o gráfico de uma função côncava (convexa) esteja

sobre ou abaixo (acima) de todos os seus planos tangentes ou hiperplanos.

Para concavidade e convexidade estritas, as desigualdades fracas em

devem ser mudadas para desigualdades estritas.



FUNÇÕES

DIFERENCIÁVEIS

FUNÇÃO DE VÁRIAS VARIÁVEIS (para funções diferenciáveis 2 vezes)

• Uma função continuamente diferenciável duas vezes , 2, … , ése, e somente se, 2 for negativa semi-definida em toda sua

extensão. A função citada é se 2 for negativadefinida em toda sua extensão.

•

Uma função continuamente diferenciável duas vezes , 2, … , ése, e somente se, 2 for positiva semi-definida em toda suaextensão. A função citada é se 2 for positivadefinida em toda sua extensão.



FUNÇÕES

DIFERENCIÁVEIS

EXEMPLO:• Verifique a concavidade ou

convexidade de 2 + 22

2


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LEITURA OBRIGATÓRIA• CHIANG, A. C. Matemática para economistas. Rio de Janeiro:

ELSEVIER, 2006. Capítulo 11.

Obrigada!

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