COMPUTING POLYNOMIALS WITH FEW MULTIPLICATIONS

973311 張弘暐 973320 江宗翰指導教授 :張經略

作者 : Shachar Lovett

ECCC(Electronic Colloquium on Computational Complexity)

目的 改進計算多項式的時間複雜度 將 upper bound 接近 lower bound

Lower bound :

原先 Upper bound :

新 Upper bound :

n 項多項式 degree ≤ d

ටቀn+ dn ቁ

○(1nቀn+ dn ቁ)

ටቀn+ dn ቁ． (nd)o(1)

例 : n = 3 , d = 5

n 項多項式 degree ≤ d

x1

x2

x3

2 2 1 x1

x2

x3

2 1 2

x1

x2

x3

3 1 0

MONOTONE( 單調函數 ) x ≤ y if and only if f (x) ≤ f (y)

M(n,d) = multiplicationsቀn+ dn ቁ

x1

x2

x3

1 2 2 x1

x2

x3

0 1 3

目標 A 、 B 為兩種 monotone n 項多項式 degree ≤

d 的排列方法 找出一組 A 、 B

使得 A+B 為一種 n 項多項式 degree ≤ d 的排列方法 目標 : |A| 、 |B| ≤

ටቀn+ dn ቁ． (nd)o(1)

方法 令 A = M(S,d/2) B = M(T,d/2) |S| = |T| = (n+1)/2 |S ∩T| = 1

s

x1x2x3 ……. xn

α α α α α α β β β β β

x1x2x3 ……. xn

α α α α α α β β β β β

T

|S| = |T| = (n+1)/2 |S ∩T| = 1

S (n+1)/2 T

S ∩T

成果 A = M(S,d/2) B = M(T,d/2)

|S| = |T| = (n+1)/2

代入 M(n,d) =

M((n+1)/2,d/2) = ≤ ≤

滿足目標 : |A| 、 |B| ≤

ቀn+ dn ቁ

൬(n+ d+ 1)/2d/2 ൰

ටቀn+ d+ 1d ቁ

(n+ d)1 2Τ ．ටቀn+ dd ቁ

ටቀn+ dn ቁ． (nd)o(1)