Computer Graphics 2 D Transformations

Компютърна графикаКомпютърна графика

Двумерни координатни Двумерни координатни трансформациитрансформации

доц. М. Иванова

Технически университет - София


Транслация

M X

y

x

P(X,Y)

0

Y

N

P’(X’,Y’)


Ротация

x

y

P’(P’,Y’)

P(X,Y)

0


Мащабиране

X

P(X,Y)

Kx X

Ky Y

Y

P’(X’,Y’)

y

x0


Симетрия относно началото на координатната система

0

P(X,Y)

P’(X’,Y’)x

y


Симетрия относно остта ОХ

P(X,Y)

P’(X’,Y’)

x

y

0


Симетрия относно остта ОУ

P(X,Y)P’(X’,Y’)

x

y

0


Симетрия относно права с уравнение

y = x

Y=X

0

P’(X’,Y’)

P(X,Y)

y


В компютърната графика една точка се представя матрично като

вектор-ред [X Y 1] – хомогенни координати

Двумерните трансформации се представят чрез матрици с размерност 3 * 3

Двумерни координатни Двумерни координатни трансформации – матрично трансформации – матрично представянепредставяне

Трансформация над точка с координати (X, Y) в нова точка (X’, Y’) чрез прилагане на всяка последователност от транслации, ротации и други се реализира чрез следното матрично умножение

[

Матрицата

с размери 3 * 3, представяща произволна двумерна трансформация, се нарича обобщена трансформационна матрица и тя еднозначно и напълно определя трансформацията

Координатите на новополучената точка след прилагане на обобщена трансформация се получават в следния вид:

Транслация с вектор (M, N)

Двумерни координатни трансформации – матрично представяне

Двумерни координатни Двумерни координатни трансформации – матрично трансформации – матрично представянепредставянеРотация на ъгъл относно

началото на координатната система

Двумерни координатни Двумерни координатни трансформации – матрично трансформации – матрично представянепредставянеМащабиране с коефициенти Кx и

Ky

Двумерни координатни Двумерни координатни трансформации – матрично трансформации – матрично представянепредставянеСиметрия относно началото на

координатната система

Двумерни координатни Двумерни координатни трансформации – матрично трансформации – матрично представянепредставянеСиметрия относно оста OX

Двумерни координатни Двумерни координатни трансформации – матрично трансформации – матрично представянепредставянеСиметрия относно оста OY

Двумерни координатни Двумерни координатни трансформации – матрично трансформации – матрично представянепредставянеСиметрия относно права y = x


Описаните по-горе трансформации са афинни трансформации, т.е. трансформации, които запазват топологията на преобразуваните елементи: ◦ права се трансформира в права; ◦ средата на отсечка - в среда на новата отсечка;◦ успоредни прави след трансформиране остават

успоредни; ◦ две пресичащи се прави след трансформиране

остават пресичащи се, като пресечната им точка се трансформира в пресечната точка на трансформираните прави


Последователното прилагане на трансформации може да се запише във вид на матрица, получена чрез умножение на матриците, представящи отделните трансформации

Матрицата, представяща ротация около произволен центьр в равнината, се получава чрез умножение на матриците, представящи трите трансформации: транслация до началото на координатната система (транслация с параметри –Xc и -Yc), ротация около началото на координатната система на ъгъл α и транслация обратно до точката C (транслация с Xc и Yc )

1

010

001

*

100

0cossin

0sincos

*

1

010

001

YcXcYcXc

Ротация около произволна точка

x

y

О

C(Xc,Yc)

x

y

О x

y

О

C(Xc,Yc)

x

y

О

Computer Graphics 2 D Transformations

Spiritual

Transcript of Computer Graphics 2 D Transformations