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Eine Einführung in die Grundbedienung
Computer-Algebra-System
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Was kann ein CAS?
• Terme berechnen• Terme umformen• Gleichungen lösen• Gleichungssysteme lösen• Funktionen berechnen und zeichnen• Integral- und Differentialrechnung• u.v.a.m.
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Voraussetzungen• Computer• Internetverbindung• Browser• Java
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Start von Wiris
• http://www.Erzgebirgskolleg.de• -> Links• -> Wissen• -> WiRiS • (daneben der Link zu Materialien)oder:
http://wiris.schule.at
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Startbildschirm
Menüleiste
Befehle
Eingabebereich
Hilfe
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EingabenViele Befehle sind mit Symbolbuttons in den Menüs zu bedienen oder aber durch dieEingabe von Befehlsnamen z.B.: plot(f)
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Erste Schritte in WIRIS – WIRIS als Rechenknecht
• Solange man nach Eingabe von Befehlen ENTER betätigt, beginnt eine neue Zeile und man bleibt innerhalb eines Blocks (eckige Klammer am linken Rand).
• Alle Befehle in einem Block werden durch Betätigen des gemeinsam ausgeführt und ein neuer Block beginnt.
• Rote Pfeile kennzeichnen die Ausführung der Befehle.
• Ein Semikolon am Ende einer Zeile unterdrückt die Ausgabe der Berechnungen.
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Blöcke
Berechnung
Berechnung ohne Ausgabe
Zeichnen einer Funktion
Klickt man auf das = , so wird der gesamte Block berechnet.
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Termberechnungen
+ / - und *
Division
wie beim GTR
oder als Bruch
Ergebnis als Bruch
oder als Dezimalzahl
Der . bewirkt die Ausgabe als Dezimalzahl!
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Termberechnungen
Potenzen sollte man auch mit dem . Punkt versehen, sonst kann man lange zählen!
Wurzeln lassen sich ebenfalls berechnen
gemischte Zahlen kennt es nicht, man muss sie mit „+“ eingeben!
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Termberechnungen
Bogenmaß
Gradmaß (unter „Einheiten“ hinzufügen)
Berechnung von Winkelfunktionswerten
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TermberechnungenBerechnungen mit Konstanten (π / e)
WiRiS unterscheidet zwischen der Konstanten und dem Zahlenwert!
Will man den numerischen Wert verwenden, muss man die unteren Symbole benutzen, bzw. pi_ oder e_ eingeben.
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TermberechnungenBerechnungen von Logarithmen
Der dekadische Logarithmus (Basis 10)
Der natürliche Logarithmus (Basis e)
Der dekadische etwas (2. Möglichkeit)
Der duale Logarithmus (Basis 2)
Die Eingabe beliebiger Logarithmen erfolgt über die Schaltfläche zum Tiefstellen (Unterer Index) im „Operationen“-Menü
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üben, üben, üben• Berechnen Sie Termwerte!• Beachten Sie die Eingabeschritte!• Benutzen Sie die Menüs!• Schauen Sie ggf. in die Hilfe (Anleitung)!
• Stellen Sie Fragen!
Ermitteln Sie wie man mit WiRiS Einheiten umrechnen kann!
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Termumformungen• Addition / Subtraktion von Termen
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Termumformungen• Multiplikation von Termen
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Termumformungen• Division von Termen
Funktioniert nur gut, wenn es auch aufgeht!
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Termumformungen• Polynomdivision
Zuerst das Symbol für die Polynomdivision anklicken, dann die Terme eingeben!
ErgebnisRest
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Termumformungen• Polynomdivision
( ) ( )3224)3(32:7235 3
23235
−++−++=−+−+−+xxxxxxxxxx
mathematische Schreibweise:
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Termumformungen• Polynomdivision
Probe:
stimmt!
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Termumformungen• Faktorisieren von SummenBefehl: factor
Führt natürlich nur zum Erfolg, wenn es auch eine Zerlegung in Faktoren gibt!
… übrigens, für die Primfaktorenzerlegung:
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Termumformungen• Was mit Termen u.a. nicht sofort geht
leider nicht (x+1)
und leider nicht x2a+7
und leider nicht 2a+b
und leider nicht (ab)2
leider keine Polynomdivision
leider keine Basis 8 mehr, also 85
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… und trotzdem müssen Sie noch selber denken – der Computer kann nur das ausrechnen, was Sie im eingeben!
Computer-Algebra-System
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Lösen von Gleichungen• Lösen linearer Gleichungen
eine Lösung
unendlich viele Lösungen {x;xєR}
keine Lösung
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Lösen von Gleichungen• Lösen linearer Gleichungen
eine Lösung für x
unendlich viele Lösungen {x;xєR}
eine Lösung für a
Wenn a=b ist gibt es für beliebige b unendlich viele Lösungen für x
Hmm …
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Lösen von Gleichungen• Lösen quadratischer Gleichungen
eine Lösung
eine Lösung
zwei Lösungen
keine Lösung
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Lösen von Gleichungen• Lösen quadratischer Gleichungen
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Lösen von Gleichungen• Lösen beliebiger
Gleichungen
Man muss denken – dann klappts auch mit WiRiS!
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Lösen von Gleichungssystemen• Lösen linearer Gleichungssysteme
anklicken
Anzahl eingebenausfüllen
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Lösen von Gleichungssystemen• Lösen linearer Gleichungssysteme
eine Lösung
unendlich viele Lösungen
keine Lösung
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Lösen von Gleichungssystemen• Lösen linearer Gleichungssysteme
Für letzteren Fall sollte der zusätzliche Parameter weiter hinten im Alphabet kommen!
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Probe!• Vertrauen Sie niemanden!
den Variablen Werte zuweisen!
mit dem ? Prüfen, ob die Aussage wahr ist
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Probe!• Vertrauen Sie niemanden!
den Variablen Werte zuweisen!
mit dem ? Prüfen, ob die Aussage wahr ist
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Grenzen• Vergessen Sie niemals selbst zu denken!
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Funktionen• Zeichnen von Funkionen
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Funktionen• Das Koordinatensystem
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Funktionen• Vereinbaren und Zeichnen mehrere Fnk‘s
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Funktionen• Verändern des Anzeigebereiches
Mittelpunkt, Gesamtbreite, -höhe
Höhe: 11 – d.h. von [- 5,5 ; 5,5]
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Funktionen• Kurvendiskussion:
- DB- WB- Nst.- Y-Sst.- Extrema- Monotonie
- Symmetrie- Verhalten im
Unendlichen- Polstellen- Wendestellen
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Funktionen• Kurvendiskussion:
- DB: Menge aller Argumente, für die die Fnk. definiert ist
- WB: Menge aller Funktionswerte, die die Fnk. annimmt
- Nst.: Argumente, für die Fnk. den Wert y = 0 annimmt f(x0) = 0
- Y-Sst.: Funktionswert, den die Fnk. für das Argument x = 0 annimmt y = f(0)
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Funktionen• Kurvendiskussion:
- Extrema: - Maximum: Punkt mit dem in der Umgebung
größten Funktionswert- Minimum: Punkt mit dem in der Umgebung
kleinsten Funktionswert
Die Funktion hat an dem (den) Extrempunkt(en) einewaagerechte Tangente, d.h. ihr „Anstieg“ ist 0!
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Funktionen• Kurvendiskussion:
- Monotonie: - mon. wachsend (steigend):
der Anstieg ist ≥ 0 (streng: >0)- mon. fallend :
der Anstieg ist ≤ 0 (streng: <0)
s.m.s. s.m.f.
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Funktionen• Kurvendiskussion:
- Symmetrie: - axialsymmetrisch (zur y-Achse):
f(x) = f(-x)
- Punktsymmetrisch (zum Ursprung)f(x)=-f(-x) oder -f(x)=f(-x)
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Funktionen• Kurvendiskussion:
- Verhalten im Unendlichen(Wie verändert sich die Größe von y, wenn x gegen Unendlich geht?)
- Polstellen(treten u.U. an Lücken des DB auf)
- Wendestellen(Wo ändert sich die Krümmungs- richtung der Funktion?)
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Funktionen• Kurvendiskussion:
- DB: Menge aller Argumente, für die die Fnk. definiert ist
- WB: Menge aller Funktionswerte, die die Fnk. annimmt
Zeichnen und ansehen!DB: x є RWB: x є R ; x ≤ 5
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Funktionen• Kurvendiskussion:
- Nst.: Argumente, für die Fnk. den Wert y = 0 annimmt f(x0) = y = 0
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Funktionen• Kurvendiskussion:
- Y-Sst.: Funktionswert, den die Fnk. für das Argument x = 0 annimmt y = f(0)
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Funktionen• Kurvendiskussion:
- Extrema: Die Funktion hat an den Extrempunkt(en) einewaagerechte Tangente, d.h. ihr „Anstieg“ ist 0!(Anstieg = 1. Ableitung = Differentialquotient)tan(α) = m = f´(x)
Pmin (- 0,5 ; - 8,75 )
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Funktionen
Also ein Maximum!
… und was bedeudet das?
• Kurvendiskussion:
- Extrema: Für ein Maximum gilt: Die 2. Ableitung ist kleiner 0Für ein Maximum gilt: Die 2. Ableitung ist kleiner 0
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Funktionen• Kurvendiskussion:
- Monotonie: - mon. steigend f´(x) ≥ 0 / mon. fallend f´(x) ≤ 0 (streng – ohne Gleichheit)
m.s. für alle x ≥ -0,5
m.f. für alle x ≤ -0,5
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Funktionen• Kurvendiskussion:
- Symmetrie: - axialsymmetrisch (zur y-Achse): f(x) = f(-x)- punktsymmetrisch (zum Ursprung): f(x) = -f(-x)
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Funktionen• Kurvendiskussion:
- Verhalten im UnendlichenGrenzwert von f(x) für x gegen ± ∞
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Funktionen• Kurvendiskussion:
- PolstellenGrenzwert von f(x) für x gegen xP = 0
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Funktionen• Kurvendiskussion:
- WendestellenWo ändert sich die Krümmungsrichtung der Fnk?
Wo ist der Anstieg der Anstiegsfunktion 0 ? Betrachtung der 2. Ableitung f´´(x)=0
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