Compresibles Total

8/15/2019 Compresibles Total

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- 1 -

COMPRESIBLES: TOBERASFlujo másico:

S*v*

La variación de velocidad genera variación de densidad:

2

2

22

2

2

2

f

f

2

v

P10

:tetanconscionsec A

)1(v

P1

v

P

v

P

S

S

:Despejando

v

P

S

S0

:dcontinuidadeecuaciónlaenemplazandoRe

presiondeiaciónvar laarespectoconvelocidadladeVariaciónv

P

v

v

:despejandoy"v"por Dividiendo

0P

vv

:ndoSimplifica

friccionsincasoel Analizamos)3

externotrabajohayNo)2

horizontalEs)1

0WgHdzgP

2

vv2:Derivando

0WgHZgP

2

v

:MecanicaEnergiadeEcuacion

v

v

S

S0

:dcontinuidadeEcuación

vSvS

vSSv

vSvS

En una evolución isentrópica sin fricción:

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- 2 -

2

2

22

2

2

212

cteS

2

cteS

v

P

v

vyMa1v

P

a

v1v

PS

)1(enemplazandoRe

MachdeNúmeroa

vMa

M

RTPa

aPP

**cteaP

P

M

RT

M

RTP

*ctePcteV*P

gasdelsonidodelvelocidadaP

Tobera divergente:

Sistema Ma<1

0

0v

0P

0S

Tobera convergente

Sistema Ma<1

0

0v

0P

0S




- 3 -

Tobera divergente:

Sistema Ma>1

0

0v0P

0S

Tobera convergente

Sistema Ma>1

0

0v

0P

0S

Tobera Convergente Divergente

Subsónico Supersónico

Ma < 1 Ma =1 Ma >1




- 4 -

TOBERAS SIN FRICCION

To

P0 v1

V0 =0 T1

P1

1

Balance de energía:

Hvv

:egralesint Aplicando

0vvH

externotrabajoSin)c

oisentropicSistema)b

horizontalSistema)a

WQzgvvH

Siendo:

M

RTa

:Siendo

1RT

M*1

2

v

T

T

1T

T

M*1

RTT

M*1

R

2

v

:)2(enemplazandoRe

M*1

Rc

111

c

c1

Mc

R

c

cc

:totanloPor

M

Rccy

c

c

2TTcHH2

v

2

v

:IntegrandoTcH

1

2

1

1

0

1

0

10

2

1

p

p

v

pp

vp

vp

v

p

10p10

2

02

1

p




- 5 -

Reemplazando:

1

1

21

1

1

1

0

1

1

0

1

0

12

1

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

1

1

0

0

1

1

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

01100

2

1

0

1

0

2

1

2

1

2

1(Ma1

T

T

P

P

2

1(Ma1

T

T

P

P

T

T

P

P

T

T

P

P

T

T

P

P

MP

RT*

RT

MP

P

P

P

PVPVP

cteVP

:Siendo2

)1(Ma1

T

T

T

T1)1(

a

v

2

1

Si Ma = 1, flujo sónico y las ecuaciones se reducen a:

1

1

*1

0

1

*

1

0

*

1

0

2

1

2

1

P

P

2

1

T

T

En este punto alcanzo a transportar la mayor cantidad de flujo másico




- 6 -

CAÑERIA ISOTERMICA CON FRICCION

P1 P2 L

T1 =T2

Balance de masa:

v*Gyss:Siendo

svsv

21

222111

)3(0D

L*f *2

v

P

v

v

:v*gpor Dividiendo

externotrabajohayNo)2

horizontalEs)1

0WgHdzgP

2

vv2

:Derivando

0WgHZgP

2

v

:MecánicaEnergiadeEcuacion

v

v

S

S0

:dcontinuidadeEcuación

vS

vS

vS

Sv

vS

vS

2

2

f

f

2

Como el fluido circula a alta velocidad, depende de la rugosidad pero no delRe.

Relacionando la velocidad con la presión:




- 7 -

)4(0N1PP

RTGMP

PPln

cañerialadefriccionlaeskD

L*f *4N

0D

L*f *41

P

P

RTG

MP

P

Pln2

:despejandoy2por ndoMultiplica

0D

L*f *2

2

PP

RTG

M

P

Pln

:2y1entreIntegrando

D

L*f *2P

T*R*G

M*PP0

D

L*f *2P

RTG

PM

v

v

)3(De

M

RT*

P

Gv

vG

P

P

v

vP

PP

GRT

MP*

MP

GRT

v

v

PMP

GRTv

:Derivando

PM

GRTGv

2

12

2

1

2

1

2

2

12

2

1

1

2

2

1

2

2

21

2

22

22

222

2

2

2

2

Determinación de flujo másico por unidad de área máximo:Derivando y calculando el máximo de la ecuación (5):

22

2

MAX22

22MAX

22

2

22

2

2

22MAX

2

22MAX222MAX

2

MAX

2

2

vaGa

M

RTG

:por dividoyMultiplico

M

RTPPG

:por dividoyMultiplico

PGPG

0G

1*

RT

MP22*

P

1

0P

G




- 8 -

1

Ma

:Entonces

a

vMav*G

av

2

2

2222MAX

22

FLUJO ADIABATICO CON FRICCION

P1 P2

V*V*Gvv

:vpor ndoMultiplica

V*Gv

:lesdiferencia Aplicando

V*GvV

v

AG

2

Balance de Energía Total:

M1

R*c

:Siendo

V*PR

MT

:totanloPor

RM*V*PT

:Siendo

)5(0vvTc

0vvH

p

p




- 9 -

KVP

2

VG

1VP

2

VG

1

:Integrando

0VVG1

VP

0VVGVP*1

0vvTM*1

R*

:)5(enemplazandoRe

22

2

22

11

2

12

2

2

Por lo tanto:

VG2

1

V

K

P

)6(VPVG2

1K

2

22

Ecuación de Energía Mecánica para sistemas horizontales:

0D

L*V*G*f *2VPVVG

1VVG

:)7(enemplazandoRe

VV2G2

1V*P

:Derivando

VG2

1

kV*P

:)6(De

VPV*PPV

:Entonces

PVVPV*P

:Siendo

)7(0D

L*V*G*f *2P*VVVG

:Vdeosminter En

0D

L*v*f *2P*Vvv

0D

L*v*f *2Pvv

2222

2

22

222

2

2




- 10 -

Dividiendo todo por G2V2

0D

L*f *2V

VG

K

*2

1

V

V

0D

L*f *2V

VG

K

*2

1222

V

V

0D

L*f *2V

VG

K

*2

111

V

V

: Agrupando

0D

L*f *2

V

V

*2

1V

VG

K

V

V1

V

V

0D

L*f *2

VG

VV*G

*2

1

V

K

V

V1

V

V

32

32

32

32

22

2

Multiplicando por 2:2

1

2 3

2

2

2 2 2

1 2 1

2

2 1

2 2 2

1 1 2

1 2 40

1 1 1 40

4

11 0

VV * K * f * LV

ˆDV G V V

Integrando :

V K * f *L* ln

DGV V V

Siendo :

* f * Lk N

D

V VK* ln N

V G V V

Reemplazando “K”:2 2 2

2 1 1 1 1

2 2 2 2 2

1 1 1 2

2

2 1 1

2 2

1 1 2

1

1 1

1

1 11 0

2

1 11 0 8

2

V P V G V V* ln * * N

*V G V G V V

V P V* ln * N ( )

*V G V V

Siendo :

v MMa v *

a

1 1

1

1

1 1 1 1

1 1

2

1 1

1 1

11 1 1 1

2

2 1

1

1

1

1

y v G * VR * T *

R * TP V Ma v *

M P * V *

Reemplazando :

V VMa G * V * G * G *

P *P * V * P * V *G V

Ma *P




- 11 -

Reemplazando en (8)2

2 1

2 2

11 2

1 1 11 0

2

ˆ ˆV Vln N

ˆ ˆ*MaV V

Para poner los cocientes en el mismo sentido:

2 2

1 1

2

12 2

1

2

2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

2 2 2

2 2 1 1 1 2

1 1 1

1 02 2

1 1

2 2

1

2´

ˆ ˆV V

ln Nˆ ˆ* *MaV V

VCaso en el cociente sea conocido :

V

ˆ ˆ ˆ ˆP V G V P V G V* *

ˆ ˆ ˆ ˆP V P V G V V P*

2

2 2 2

1 1 1

1

11

2´

Vˆ ˆV G Vˆ* V

1 1

2

22 2 2

1

1 1 1

2

22 2 2

1

1 1 1

11 1

2

11 1

2

ˆDividiendo por P V :

ˆ ˆP V VMa

ˆ ˆ*P V V

Simplificando :

ˆ ˆP V VMa

ˆ ˆP V V

BOQUILLA SIN FRICCION

Partiendo de la ecuación de la energía total:

dv*vHd

Integrando:

2

vvHH

2

2

2

112

Siendo:

11

22

2

1

222111

A*

A*

v

v

A*v* A*v*




- 12 -

Entonces:

2

11

22

1

21p

2

11

22

1

21p

2

2

2

11

2222

1

21p

2

2

2

1

2

2

1

21p12p12

A*

A*1

TT1*T*c*2

1 A*

A*

1TT*T*c*2

v

1 A*

A**

2

v1

T

T*T*c

1v

v*

2

v1

T

T*T*c)TT(*cHH

Siendo:

2

11

22

1

21

2

2

p

A*

A*1

TT1*

M*1T*R**2

v

M*1

R*c

De acuerdo a las ecuaciones:

)10(P

P

)9(P

P

T

T

1

2

1

1

2

1

1

2

1

1

2

1

2

A partir de la ecuación (9):

2

11

22

1

1

21

22

A*

A*1

P

P1*

M*1

T*R**2

v

A partir de la ecuación 10:

)11(

A A*

PP1

P

P1*

M*1

T*R**2

v

P

P

2

1

2

2

1

2

1

1

21

22

2

1

2

2

1

2




- 13 -

A partir de la Ecuación Gral. de los Gases:

1

11 P

M

T*R

Entonces:

1

11 P*

1

*2

M*1

T*R**2

Siendo:

2

2

2

22

2

22

2

2

2

2

22

2

22

2

*v A

G

A*v

A*v

Entonces, desde la ecuación (11):

2

1

2

2

1

2

1

1

2

1

12

2

2

A

A*

PP

1

PP

1

*P

*1

*2*G

Multiplicando y dividiendo por 2

1:

)12(

A

A*

PP

1

PP

1

**P

*1

*2*G

2

1

2

2

1

2

1

1

2

2

1

1

1

2

1

2

22

De:

1

11

2

1

2

2

1

2

T*R

M*Py

P

P

Desde la ecuación (12):

1

0

1

0

0

2

0

12

2

1

2

2

1

2

1

1

2

1

1

2

1

22

PP

1*T*R

M*P*

1

*2*

P

PG

:ndoSimplifica

A

A*

PP

1

PP

1

*T*R

M*P*

1

*2*

P

PG


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